Giáo trình động lực học công trình

tinetkvtvctvm 1)()()( ω=++  (2.55) Nghiệm ổn định có dạng: tinn enHtv 1)()( 1 ωω= (2.56) Thế vào (2.56), (2.55) ta được: ( ) 11 12 21 1 1( ) ; 2 1 H n k n in ωω β ωβ β ξ= =− + + (2.57) Dùng nguyên lý chồng chất tác dụng: ∑∞ ∞− = tinnecnHtv 1)()( 1 ωω (2.58) Chú ý: - )( 1ωnH và )( 1ωnH − là số phức liên hợp - )( 1ωnH gọi là hàm truyền - Complex frequency response function hay là Transfer function. 2.5 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG XUNG 2.5.1 Khái niệm tải trọng xung (Impulsive Loads) - Là tải trọng tác dụng trong thời gian tương đối ngắn, đột ngột. - Phản ứng (chuyển vị chẳng hạn ) lớn nhất của hệ đạt được trong thời gian rất ngắn. - Lực cản có vai trò nhỏ, hấp thụ ít năng lượng của kết cấu. Vì vậy chỉ xét hệ không có cản để đơn giản hóa. t O p(t) 2.5.2 Xung hình sin Xét tải trọng nửa sóng hình sin. Phản ứng của hệ được chia ra 2 pha: Cưỡng bức và tự do. + Phase I: 10 tt ≤≤ Kết cấu chịu tác dụng của tải trọng điều hòa. Điều kiện ban đầu: v(0) = v(0) = 0 (trạng thái nghỉ). Phản ứng gồm 2 số hạng (quá độ và bình ổn) cho bởi (2.37) : )sin(sin 1 1)( 2 tt k ptv o ωβωβ −−= (2.59) + Phase II: 01 ≥−= ttt Điều kiện ban đầu: )()0( 1tvtv == )()0( 1tvtv  == Theo (2.24): ttvttvtv ωωω cos)(sin )()( 11 +=  (2.60) O p(t) t p(t)=p sinω t o P0 π t1 t Phase I Phase II ϖτ1= π Tùy thuộc vào tỷ số t1/ T mà phản ứng cực đại thuộc vào Phase I hoặc Phase II. - Nếu vmax thuộc Phase I : ω π=≤ 1tt (2.59) 0)coscos( 1 1)( 2 0 =−−=⇒ ttk p dt tdv ωωωωβ Hay tt ωω coscos = ,...2,1,0,2 ±±=≤±= ntnt πωπω (a) Thế (a) vào (2.59) tìm được vmax Đặc biệt: khi ωω = , trong (a) lấy dấu (-) và n=1 ta có : ω ω πω + = 1 2t - Nếu vmax thuộc Phase II: khi ωω > (ω càng lớn thì ω π2 1 =t càng nhỏ) Dùng điều kiện ban đầu v(t1) và v(t1), ta có biên độ dao động tự do (2.25) [ ] 2 1 2 2 1 2 1 cos22 1 )()( ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= β πββωρ k p tvtv o Hệ số động: )cos1(2 1 20 β π β βρ +−== p kD hay β π β β 2 cos 1 2 2−=D (2.61) 2.5.3 Xung chữ nhật + Phase I: 10 tt ≤≤ Tải trọng đặt đột ngột và giữ nguyên không đổi trong phase I. Nghiệm riêng cho tải trọng bậc thang (Step loads) là chuyển vị tĩnh: k pv op = Nghiệm tổng quát với điều kiện đầu nghỉ (rest): ( )t k ptv o ωcos1)( −= (2.62) + Phase II: 01 ≥−= ttt p(t) O p0 Phase I 1 t Phase II t t Dao động tự do theo (2.60) ttvttvtv ωωω cos)(sin )()( 11 +=  (2.63) - vmax thuộc Phase I : 1tt ≤ 2 ,,0sin0)( Tttt dt tdv ====⇒= ω ππωω Nếu 1tt ≤ tức là ⇒≥ 21 Tt hệ số động D = 2, với 2 11 ≥ T t - vmax thuộc Phase II: 01 ≥−= ttt Biên độ dao động: [ ]21 2 1 max )( )( tvtvv +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡== ωρ  vì v(t1) = 11 2sinsin tTk pt k p oo πωωω = nên:vmax= 2 12 1 2 1 2 2cos12sin ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+ t T t Tk po ππ = T t k pt Tk p oo 12 1 1 sin2 2cos12 ππ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − Hệ số động: T t k p V D o 1max sin2 π== với 2 11 ≤ T t (2.64) 2.5.4 Xung tam giác + Phase I: 10 tt ≤≤ , p(t)=po(1- t/t1) Nghiệm riêng: ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= 1 1)( t t k Ptv op Ứng với điều kiện ban đầu nghỉ, nghiệm tổng quát có dạng: ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +−−= 1cossin)( 11 t tt t t k ptv o ωω ω (2.65) + Phase II: 0≥t Điều kiện ban đầu tại 0=t , hay t = t1 từ (2.65) Phase I O p(t) Phase II p0 1 t t t ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 1 1 1 1 1 1 1 1 1sincos)( cossin)( t t t t k ptv t t t k ptv o o ωωω ωω ωω ω  (2.66) Dao động tự do của Phase II thu được bằng cách thế (2.66) vào (2.60) vmax tìm từ điều kiện v(t) = 0. Với 4.01 ≤ T t thì vmax thuộc Phase I. Hệ số động D cho ở bảng: T t1 0.20 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00 D 0.66 1.05 1.2 1.42 1.55 1.69 1.76 2.5.5 Phổ phản ứng (Response Spectra) Khái niệm: Phổ phản ứng là đồ thị của hệ số động D theo tỷ số chiều dài xung Tt /1 , ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= T tDD 1 Ý nghĩa: Dùng tính chuyển vị của kết cấu chiụ tác dụng của xung lực. Chú ý: Nếu kết cấu chịu chuyển động của nền vg(t), thì tương đương với chịu lực xung pt(t) = -mv g(t), với trị số lớn nhất po = - m v g0. Khi này hệ số động được định nghĩa : kvm vD g t /0 max = hoặc go t v vD   max= Vì v g0 đo được nên sẽ tính được gia tốc cực đại của kết cấu tvmax 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 Rectangular Half since wave Triangular Hệ số động (Dynamic manification factor), D Ratio t1 T = Impulse duration Period 2.5.6 Tính toán gần đúng phản ứng do lực xung Giả xử p(t) là lực xung trong thời gian t1 rất bé. Hệ có chuyển vị v(t), cân bằng lực: kvtp dt vdmvm −== )( [ ]dtkvpvm t∫ −=∆ 1 0  Vì v(t1) là lượng bé bậc 2 so với t1 : ( )21~ tv , nên bỏ qua. Do đó: 1 1 1 0 1 ( ) ( ) (0) ( ) t v p t dt v t v v t m ∆ ≈ = − =∫    v(t1) = 0 và v (t1) đóng vai trò điều kiện ban đầu của Phase II. Dao động tự do sau khi lực thôi tác dụng: ttvttvtv ωωω cos)(sin )()( 11 +=  tdttp m tv t ωω sin))(( 1)( 1 0 ∫≈ (2.67) p(t) t t1 O Thí dụ: Xem E6-3, page 97-98 và Bài Tập 6-5, page 99 Dùng công thức gần đúng, phân tích phản ứng của hệ kết cấu một bậc tự do chịu tải trọng dạng xung p(t) như hình vẽ. Biết các đặc trưng vật lý của hệ kết cấu như sau: độ cứng k = 51.1 k/in, trọng lượng W = 2000 k. Giải: Tần số vòng: srad W kg /14.3==ω và ∫ =1 0 .10)( t skipdttp . Chu kỳ dao động của hệ: sT 22 == ω π . p(t) t 0.1s 0.1s 0.1s p0= 50k Vì tải trọng tác dụng trong thời gian ngắn ( 15.01 = T t ), nên dùng công thức gần đúng (2.67): 10(386)( ) sin 0.614sin 2,000(3.14) v t t tω ω= = trong đó gia tốc trọng trường cho bởi 2/386 sing = Phản ứng đạt cực đại khi 1sin =tω , nghĩa là: vmax = 0.614 in. Lực đàn hồi cực đại: kipskvf S 4.31)14.06(1.51maxmax, === Giá trị chính xác của chuyển vị cực đại được xác định từ phương pháp tích phân trực tiếp là 0.604 in. Nhận xét: Nghiệm thu được từ phương pháp xấp xỉ khá thích hợp, sai số nhỏ hơn 2%. CHƯƠNG 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 3.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG 3.1.1 Lựa chọn bậc tự do Ý nghĩa: thực tế kết cấu thường là hệ phân bố, có vô hạn bậc tự do. Đưa về sơ đồ một bậc tự do chỉ thích hợp trong một số trường hợp đặc biệt, khi hệ hầu như chỉ dao động với một dạng nhất định. Để thu được kết quả chính xác hơn, ta phải đưa hệ kết cấu về hệ rời rạc nhiều bậc tự do. Số bậc tự do được chọn dựa vào bài toán cụ thể. Các cách chọn bậc tự do: có hai cách - Chọn biên độ dao động tại một số điểm rời rạc: bao gồm phương pháp dồn khối lượng và phần tử hữu hạn (FEM) để rời rạc hóa. - Chọn tọa độ suy rộng, là biên độ của một số kiểu (pattern) biến dạng của hệ. 3.1.2 Phương trình cân bằng động Để đơn giản ta xét hệ liên tục như hình vẽ, với các bậc tự do là chuyển vị tại các điểm 1, 2, 3, ..., N. Tại mỗi điểm (nút) có các lực tác dụng: tải trọng pi(t), lực quán tính fIi, lực cản fDi, và lực đàn hồi fSi. Phương trình cân bằng nút i: fIi + fDi + fSi = pi(t) , i = 1, 2, 3, ..., N Dạng ma trận: [fI] + [fD] + [fS] = [p(t)] (3.1) trong đó: [fI] = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ IN I I f f f # 2 1 , [fD]= ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ DN D D f f f # 2 1 , [fS]= ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ SN S S f f f # 2 1 , [p(t)] = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ )( )( )( 2 1 tp tp tp N # - Lực đàn hồi Dùng nguyên lí cộng tác dụng, ta có: fSi = ki1v1 + ki2v2 + .... + kiNvN với i = N,1 v1(t) v2(t) vi(t) vN (t) 1 2 i Ν p(x,t) m(x) EI(x) chiều dương chuyển vị chiều dương của lực chuyển vị fDi fIi m i vi(t) pi(t) fSi với kij là lực tại nút i do chuyển vị vj = 1 gây ra. Chú ý: Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy trì đường đàn hồi (ngược chiều với lực nút). Dạng ma trận: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ SN S S f f f # 2 1 = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ NNNN N N kkk kkk kkk " """" " " 21 22221 11211 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ Nv v v # 2 1 (3.2) hay: [fS] = [K][v] (3.3) [K] gọi là ma trận cứng (Stiffness Matrix). - Lực cản- kết quả tương tự như lực đàn hồi ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ DN D D f f f # 2 1 = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ NNNN N N ccc ccc ccc " """" " " 21 22221 11211 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ Nv v v  #   2 1 (3.4) với cij là lực tại nút i do jv = 1 gây ra, gọi là hệ số ảnh hưởng cản. hay: [fD ]= [C][ v ] (3.5) trong đó: [C] là ma trận cản (Damping Matrix) - Lực quán tính ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ IN I I f f f # 2 1 = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ NNNN N N mmm mmm mmm " """" " " 21 22221 11211 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ Nv v v  #   2 1 (3.6) với mij : lực tại nút i do jv = 1 gây ra, là hệ số ảnh hưởng khối lượng, hay: [fI ]= [M][v ] (3.7) trong đó: [M] là ma trận khối lượng (Mass Matrix) Hệ N phương trình vi phân chuyển động: [M][v ] + [C][v] + [K][v] = [p(t)] (3.8) Phương trình trên là phương trình mang tính chất tổng quát của bài toán động lực học. Tùy thuộc vào [p(t)] mà ta có các trường hợp phân tích động lực học của hệä: Phân tích dao động tự do, Phân tích phản ứng của hệ với tải trọng động như tải gió, động đất, sóng biển... 3.1.3. Ảnh hưởng của lực dọc (nén) Lực dọc làm tăng thêm chuyển vị nút, nên sẽ có vai trò như lực nút tác dụng theo chiều của chuyển vị nút, ký hiệu bởi ma trận [fG]. Khi này phương trình cân bằng nút (3.1) trở thành: [fI] + [fD] + [fS] - [fG] = [p(t)] (3.9) Lực nút [fG] tương đương với vai trò của lực dọc, được biểu diễn bởi các hệ số cứng hình học (Geometric - Stiffness Coefficients) như sau: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ GN G G f f f # 2 1 = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ GNNGNGN NGGG NGGG kkk kkk kkk " """" " " 21 22221 11211 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ Nv v v # 2 1 (3.10) với kGij là lực tại nút i do vj = 1 gây ra, có ảnh hưởng của lực dọc hay: [fG] = [KG][v] (3.11) trong đó: [KG] là ma trận cứng hình học (Geometric - Stiffness Matrix) Phương trình (3.9) trở thành: [M][v ] + [C][v] + [K][ v] – [KG][v] = [p(t)] (3.12) hay: [M][v ] + [C][v] + [K ][ v] = [p(t)] (3.13) với: [K ] = [K] – [KG] là ma trận độ cứng tổng hợp (Combined Stiffness Matrix) Như vậy, lực dọc làm giảm độ cứng của kết cấu (làm cho kết cấu mềm đi). 3.2 XÁC ĐỊNH CÁC MA TRẬN TÍNH CHẤT 3.2.1 Tính chất đàn hồi 3.2.1.1 Độ mềm của kết cấu Gọi: fij là chuyển vị tại i do pj = 1 gây ra. Tập hợp các fij (i = 1,N) tạo nên đường đàn hồi do pj = 1 gây ra (hình vẽ). Chiều dương của chuyển vị và lực theo chiều dương của trục tọa độ. Chuyển vị tại điểm i do các lực pj (j = 1,N) theo nguyên lý cộng tác dụng: vi = fi1p1 + fi2p2 + .... + fiN pN i = 1, N Dạng ma trận: f 1j 2j f ijf jj f Nj f 1 2 3 j Ν j p ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ Nv v v # 2 1 = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ NNNN N N fff fff fff " """" " " 21 22221 11211 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ Np p p # 2 1 (3.15) hay: [v] = [f][p] (3.16) trong đó: [f] : Ma trận độ mềm của kết cấu (Flexibility Matrix) [p]: Ma trận tải trọng nút, có cùng chiều dương với chuyển vị nút. Lực đàn hồi cân bằng lực nút [p] = [fS], (3.16) trở thành: [v] = [f][fS] (3.17) p 1 p2 p 3 S1 f S2f S3 f 1 v v 2 v 3 1 i j Ν 1 i Ν j j v=1 1p=k 1j p=ki ij p=k N Nj p=k j jj k 1j k ij k jj k Nj j v=1 3.2.1.2 Độ cứng của kết cấu Hệ số cứng kij (được minh họa trên hình vẽ) là các lực nút do chuyển vị vj = 1 gây ra (các chuyển vị khác vi = 0, với i ≠ j). kij chính là phản lực tại nút nếu đặt thêm các liên kết. Thường ma trận độ cứng [K] được suy ra từ ma trận độ mềm [f] hoặc dùng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). 3.2.1.3 Các khái niệm cơ sở - Thế năng biến dạng: (bằng công ngoại lực) ]][[ 2 1]][[ 2 1 2 1 1 pvvpvpU TTi N i i ==∑= = (3.18) Theo (3.16) vào (3.18) ta được: ]][][[ 2 1 pfpU T= (3.19) Hoặc thế (3.3) vào (3.18), với chú ý rằng [p] = [fS]: ]][][[ 2 1 vKvU T= (3.20) Vì U > 0 nên suy ra: [vT][K][v] > 0 và [pT][f][p] > 0 (3.21) [K] và [f] thỏa (3.21) với mọi [v], [p] ≠ 0 nên là các ma trận xác định dương (Positive Definite), không suy biến và nghịch đảo được. Thiết lập quan hệ [K], [f], (3.3): [fs] = [K].[v] hay [K-1][fs] = [v] Mặt khác (3.17): [v] = [f].[fs] suy ra: [f] = [K-1] hoặc [K] = [f-1] (3.22) Thường xác định ma trận cứng thông qua ma trận mềm theo (3.22). - Định lý Betti: “Công khả dĩ của lực ở trạng thái (a) trên chuyển vị ở trạng thái (b) bằng công khả dĩ của lực ở trạng thái (b) trên chuyển vị ở trạng thái (a)” [paT] [vb] = [pbT] [va] (3.23) hay [paT][f][pb] = {[pbT][f][pa]}T = [paT] [fT] [pb] suy ra: [f] = [fT] Ma trận đối xứng (3.24) Một cách tương tự, ma trận cứng đối xứng: K = KT (3.25) a1 p v a 1 a2 p a2v a3 p va3 b 1 p b1 v b2 p b2 v b3 p b3 v 1 2 3 Trạng thái (a) Trạng thái (b) 3.2.1.4 Thiết lập ma trận độ cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Hệ được quan niệm gồm nhiều phần tử nối với nhau tại một số hữu hạn nút. Tính chất của hệ được tìm bằng cách chồng chất các phần tử một cách thích hợp. Xét phần tử dầm thẳng có 2 nút như hình vẽ: Có hai bậc tự do mỗi nút: bao gồm chuyển vị thẳng và góc xoay. Hàm dạng ψi(x) chỉ chuyển vị vi = 1 gây ra, còn các chuyển vị nút khác đều bằng 0. Hàm ψi(x) phải thỏa mãn điều kiện biên, nhưng thường chọn hàm chuyển vị trong dầm có độ cứng EI = const do chuyển vị nút vi = 1 gây ra. Đó là các hàm đa thức Hermit bậc ba như sau: ψ1(x) = 1 - 3 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ L x + 2 3 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ L x (a) ψ3(x) = x(1- L x )2 (b) ψ2(x) = 3 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ L x - 2 3 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ L x (c) ψ4(x) = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −1 2 L x L x (d) (3.26) EI(x) L xa b v(x) 1v v3 2v4v 1 av =v =11 θ =v =1a 3 ψ (x) 1 3 ψ (x) Dùng bốn hàm nội suy này, chuyển vị của dầm xác định theo các chuyển vị nút: v(x) = ψ1(x) v1+ ψ2(x) v2 + ψ4(x) v3 + ψ4(x) v4 (3.27) trong đó: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 4 3 2 1 v v v v = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ b a b a v v θ θ (3.27’) Hệ số cứng của phần tử là các phản lực nút do chuyển vị nút gây ra. Để đơn giản ta xét phần tử dầm như hình vẽ. Hệ số k13, tức là phản lực pa trên hình vẽ được xác định như sau: Dùng nguyên lí công khả dĩ: WE = paδva = k13δv1 Momen do θa = 1 gây ra là: M(x) = EI(x) ''3ψ (x) Công khả dĩ của nội lực: WI= δv1 dxxxxEIL )()()( ''3 0 '' 1 ψψ∫ θ =v3 =1 1 3 ψ (x) δ v = δ v1 a k13 = pa =p a δ v(x)= ψ (x) δ v1 1 (chuyển vị khả dĩ) Cho WI =WE suy ra: k13 = dxxxxEI L )()()( ''3 0 '' 1 ψψ∫ (3.28) Tổng quát hóa: kij = dxxxxEI j L i )()()( '' 0 '' ψψ∫ : Độ cứng suy rộng (3.29) vì kij = kji nên ma trận độ cứng đối xứng. Với dầm có độ cứng đều EI = const, ta có: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 4 3 2 1 S S S S f f f f = 3 2 L EI ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − −−− − 22 22 233 233 3366 3366 LLLL LLLL LL LL ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 4 3 2 1 v v v v (3.30) Nếu dầm có độ cứng EI(x) thay đổi thì (3.30) là gần đúng. Độ chính xác sẽ cao hơn, nếu chia dầm ra các phần tử nhỏ hơn. Hệ số độ cứng kij của kết cấu bằng tổng các hệ số cứng tương ứng của các phần tử nối vào nút. Chẳng hạn, nếu các phần tử m, n, p cùng nối vào nút i thì hệ số cứng của kết cấu tại nút i là: kii = )(miik + )(niik + )( piik (3.31) trong đó )(miik , )(niik , )( piik là hệ số cứng của phần tử đã biến đổi sang hệ tọa độ chung(từ tọa địa phương). Thí dụ: Xét hệ như hình vẽ, gồm 3 phần tử nối tại 2 nút. Bỏ qua biến dạng dọc trục, hệ có 3 bậc tự do: v1, v2 và v3 Các hệ số độ cứng của hệ được xác định bằng cách lần lượt cho các chuyển vị cưỡng bức đơn vị vi = 1 và cộng lực nút ứng với các phần tử. Ma trận độ cứng kết cấu: )26(2 311 xL EIk = )3(2 321 LL EIk = )3(2 331 LL EIk = )6(2)2(2 )2( 42)2(2 23 2 3 2 32233 LL EILx L EIxL L EIkk =+== )2(2)2( )2( 42 2 3 2 332 LL EIL L EIxk == 2L L EI EI 4EI v1 v2 v3 EI EI 4EI k11 k21 k31 v1=1 EI EI 4EI k12 k22 k32 v2=1 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 3 2 1 22 22 3 3 2 1 623 263 3312 2 v v v LLL LLL LL L EI f f f S S S Chú ý: Bài toán động lực học của hệ phân bố thường đòi hỏi nhiều bậc tự do hơn so với bài toán tĩnh, do ảnh hưởng của lực quán tính. Tuy nhiên, khi đã chọn các bậc tự do cho bài toán động rồi thì việc xây dựng ma trận cứng giống như trường hợp bài toán tĩnh. 3.2.2 Tính chất khối lượng 3.2.2.1 Ma trận khối lượng thu gọn (Lumped Mass Matrix) Ta xem khối lượng phân bố của các phần tử được thu gọn về các nút theo nguyên tắc tĩnh học, ta có hệ gồm các khối lượng tập trung. Ma trận khối lượng thu gọn là ma trận đường chéo: 1m m2 m3 1 2 3 [M] = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ Nm m m 00 0 0 00 2 1 " %# # " (3.32) trong đó: mij = 0 với i ≠ j, vì gia tốc tại khối lượng nào chỉ gây ra lực quán tính tại khối lượng đó. 3.2.2.2 Ma trận khối lượng tương thích (Consistent - Mass Matrix) Xét phần tử dầm có hai bậc tự do mỗi nút. Dùng các hàm nội suy ψi(x) như ma trận cứng. Giả sử dầm chịu tác dụng của gia tốc góc bằng đơn vị tại nút a, 3v = aθ = 1, gia tốc chuyển động ngang của dầm là: L m(x) v(x) v 1 a 3 v v4 b 2 v x δ v = δ v θ =v =1 a 3 a (chuyển vị khả dĩ) δ v(x)= ψ (x) δ v m =p 1 13 a 1 f (x) Ι 1 1 .. .. )()( 33 xvxv ψ = (3.33) Lực quán tính: )()()()()( 33 xvxmxvxmxfI ψ == (3.34) Cho dầm chịu chuyển vị khả dĩ δv(x) = ψ1(x) δv1. Cân bằng công khả dĩ của lực nút và lực quán tính, ta có: paδva = dxxvxfL I )()( 0 δ∫ hay m13 = dxxxxm L )()()( 3 0 1 ψψ∫ KL suy rộng mij = dxxxxm j L i )()()( 0 ψψ∫ (3.35) vì mij = mji, nên ma trận tương thích đối xứng. - Nếu dầm có khối lượng phân bố đều thì ta có: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 4 3 2 1 I I I I f f f f = 420 mL ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− − − − 22 22 432213 341322 221315654 132254156 LLLL LLLL LL LL ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 4 3 2 1 v v v v     (3.36) Ma trận khối lượng của kết cấu cũng được “chồng chất’’ từ ma trận của phần tử, tương tự như ma trận cứng. Thí dụ Thành lập ma trận khối lượng cho kết cấu như hình vẽ theo hai phương pháp. Quá trình tính các hệ số khối lượng được chỉ rõ trên các hình vẽ. Ma trận khối lượng thu gọn: [M] = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 840 210 Lm m11 m21 m31 11 =v =1 m12 m22 m32 12 =v 2L L m m v1 v2 v3 1.5 m v1 v2 v3 1.5 m L 0.5 m L 0.5 m L 0.5 m L 0.5 m L 1.5 m L m11= 4 m L m22 = m33 = 0 m22 = m33 = 0 vì giả thiết rằng khối lượng thu gọn không có quán tính xoay, tức là các gia tốc góc tại nút không gây ra momen quán tính. Ma trận khối lượng tương thích: 768 210 25.1)2156( 42011 LmLxmxLmm =+= LLmLLmmm 11 210 )22( 4203121 === 222 3322 26210 )2(4 420 25.14 420 LLmLLxmLLmmm =+== 22 32 )18(210 )2()3( 420 25.1 LLmLxLxmm −=−= [M] = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 22 22 261811 182611 1111786 210 LLL LLL LL Lm Nhận xét Bài toán động lực học ứng với ma trận khối lượng thu gọn đơn giản hơn vì: - [M] thu gọn dạng đường chéo, trong khi [M] tương thích có nhiều hệ số khác 0 ở ngoài đường chéo. Các hệ số của [M] thu gọn ứng với các chuyển vị xoay cũng bằng 0, càng làm cho bài toán đơn giản hơn. - Dùng [M] thu gọn có thể loại bỏ các chuyển vị xoay, nhưng dùng [M] tương thích thì không thể loại bỏ được. 3.2.3 Tính chất cản Hệ số cản của phần tử được xác định bởi FEM, cho bởi công thức: cij = dxxxxc j L i )()()( 0 ψψ∫ Hệ số cản suy rộng (3.37) trong đó: c(x) - tính chất cản phân bố của phần tử. Ma trận cản kết cấu cũng được chồng chất từ ma trận cản của phần tử, tương tự ma trận độ cứng hoặc ma trận khối lượng. Tuy nhiên, để xác định hàm c(x) trong thực tế thì không làm được. Thường tính cản của kết cấu xác định bởi thực nghiệm bằng tỉ số cản ξ. 3.2.4 Tải trọng Nếu tải trọng tác dụng trên phần tử thì phải thay thế bằng tải trọng nút tương đương, dùng khái niệm lực suy rộng. Có hai phương pháp: 3.2.4.1 Tải trọng nút tương đương tĩnh học Xem như tải trọng đặt trên dầm phụ có mắt truyền lực đặt tại nút. Lực truyền vào nút sẽ thay thế cho tải trọng đặt trên phần tử. Như vậy không truyền mô men tập trung vào nút. 3.2.4.2 Tải trọng nút tương thích p(x,t) q(x,t)F(t) pi(t) pj(t) Lực nút tương đương p a 3 p 1 p 4 b 2 p L δ v(x)= ψ (x) δ v 1 1 δ v = δ v a 1 p(x,t) Tải trọng suy rộng Tải trọng nút được tính theo nguyên lí chuyển vị khả dĩ, dùng các hàm nội suy ψi(x). Thí dụ: p1(t) = dxxtxp L ∫ 0 1 )(),( ψ Tải trọng suy rộng pi(t) = dxxtxp L i∫ 0 )(),( ψ (3.38) Nếu tải trọng có dạng phân ly (trường hợp này thường gặp trong thực tế) p(x,t) = χ(x)ζ(t) thì lực nút suy rộng trở thành: pi(t) = ζ(t) dxxxL i∫ 0 )()( ψχ (3.39) Chú ý rằng, với các hàm nội suy ψi(x) (i = 1,4) ta có 2 lực nút và 2 mô men nút tại 2 đầu dầm. 3.2.5 Độ cứng hình học Độ cứng hình học thể hiện khuynh hướng làm tăng chuyển vị uốn của lực nén N. Hệ số cứng hình học chính là lực nút do N tạo ra. Giả iv j v i j x v N O N N i i Li iv j v i Gif = v -i v j L i iN i N Gjf = L i v - j v i thiết rằng lực nén N do tải trọng tĩnh gây ra là chủ yếu; phần do lực động gây ra có thể bỏ qua được. Vì vậy, coi N không đổi trong quá trình dao động. (Nếu N(t) thay đổi theo thời gian thì [KG] cũng thay đổi theo thời gian. Bài toán trở nên phi tuyến). Xấp xỉ tuyến tính: 1 BTD/nút Giả sử lực dọc trong phần tử i là Ni. Coi phân tử i thẳng thì lực nút fGi và fGj được xác định theo lực nén Ni trên hình vẽ. Viết lại dạng ma trận: ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ j i i i Gj Gi v v l N f f 11 11 (3.40) Ma trận cứng hình học của kết cấu dầm: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− −+− −+− −+ = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − − − − − n i n n n n n N i i i i i i i i Gn Gi G G v v v v L N L N L N l N l N l N l N l N l N l N l N l N l N l N f f f f 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 1 00 0 0 00 (3.41) có dạng 3 vệt chéo. Viết dạng kí hiệu: ]][[][ vKf GG = (3.42) + Độ cứng hình học tương thích: Dùng khái niệm phần tử hữu hạn, ta thu được công thức: ( ) ( ) ( )dxxxxNk jiLoGij '' ψψ∫= (3.43) Nếu phần tử có lực dọc N(x) = N = const, dùng các hàm nội suy trước đây, ta thu được ma trận cứng hình học phần tử: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −− −−− − = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 4 3 2 1 22 22 4 3 2 1 433 433 333636 333636 30 v v v v LLLL LLLL LL LL L N f f f f G G G G (3.44) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −− −−− − = 22 22 433 433 333636 333636 30 ][ LLLL LLLL LL LL L NK eG [ eGK ] là ma trận độ cứng của phần tử (đối xứng). Biểu đồ N(x) PG2 b PG4 PG1 PG3 a Ma trận [KG] của kết cấu suy ra từ [ eGK ] tương tự như [K], [M]. 3.2.6 Lựa chọn cách thiết lập ma trận tính chất Có 2 cách tính gần đúng các ma trận khối lượng, độ cứng hình học, tải trọng: - Phương pháp sơ cấp chỉ xét chuyển vị thẳng. - Phương pháp tương thích xét cả chuyển vị thẳng và chuyển vị xoay. Về nguyên tắc, phương pháp tương thích cho độ chính xác cao hơn, vì xét đầy đủ và hệ thống hơn các phần năng lượng liên quan đến sự làm việc động của kết cấu. Tuy nhiên, trong thực tế thì độ chính xác của phương pháp tương thích không trội bao nhiêu so với phương pháp sơ cấp, nhưng khối lượng tính toán thì lớn hơn nhiều. Điều đó chứng tỏ chuyển vị xoay của nút đóng vai trò kém quan trọng so với chuyển vị thẳng. Phương pháp sơ cấp dễ dàng hơn, vì các ma trận xuất phát dễ tính hơn và số bậc tự do phải xét cũng ít hơn. Nếu phương pháp thu gọn khối lượng được dùng với ma trận cứng thiết lập bằng FEM (tức là kể đến bậc tự do chuyển vị xoay) thì có thể loại trừ các chuyển vị xoay này trong phương trình chuyển động. Khi đó ma trận cứng cũng được rút gọn lại, gọi là Static Condensation (kích thước ma trận cứng thu nhỏ lại). Để minh họa, ta viết lại phương trình (3.2) trong đó đã sắp xếp lại các chuyển vị thành 2 nhóm: vt là thành phần chuyển vị thẳng và vo là thành phần chuyển vị xoay. Phương trình chuyển động được viết lại dạng ma trận chia khối (ma trận con): { } { } { } { } { } { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0][][ ][][ St S Stt t ttt f f f v v KK KK θθθθθ θ (3.45) Trong đó { } { }0=θSf , tức là các moment nút đàn hồi bằng 0, nếu tác động trên hệ chỉ là lực chứ không có moment tập trung đặt ngay tại nút. Trong (3.45) có thể biểu diễn các chuyển vị xoay { }θv theo chuyển vị thẳng { }tv : { } { }tt vKKv ][][ 1 θθθθ −−= (3.46) Phương trình thứ nhất của ma trận con từ (3.45): { } { } { }Sttttt fvKvK =+ θθ ][][ [ ]{ } { }Stttttt fvKKKK =− − ][]][[][ 1 θθθθ hay { } { }Sttt fvK =][ (3.47) trong đó [ ]][]][[][][ 1 ttttt KKKKK θθθθ −−= (3.48) là ma trận độ cứng tương ứng với chuyển vị thẳng (ma trận cứng rút gọn). Như vậy, các chuyển vị xoay trong FEM có thể loại trừ và số bậc tự do thực sự phải giải quyết giảm xuống. Đó là ưu điểm lớn của phương pháp khối lượng thu gọn. Thí dụ: Trong thí dụ trên, ta có: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 3 2 1 s s s f f f = 3 2 L EI ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 22 22 623 263 3312 LLL LLL LL ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 3 2 1 v v v ][ θθK = 3 2 L EI ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 22 22 62 26 LL LL = L EI4 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 31 13 2L L EI EI 4EI v1 v2 v3 1][ −θθK = EI L 32 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 31 13 Biểu diễn chuyển vị xoay theo chuyển vị thẳng (3.46): θv = ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ 3 2 v v = - EI L 32 − ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 31 13 3 2 L EI ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ L L 3 3 1v =- L8 3 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 1 1 1v Ma trận cứng rút gọn theo (3.48): tK = 3 2 L EI [ ] ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − L LLL 8 3 8 3 3312 = 3 2 L EI 4 39 3.3 DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN 3.3.1 Phân tích tần số dao động Từ phương trình (3.8), phân tích dao động tự do nên vectơ tải trọng ngoài p(t) = 0, ta có: { } { } { } { }0)(][)(][)(][ =++ tvKtvCtvM  Bỏ qua thành phần lực cản [C]= [0] { } { } { }0)(][)(][ =+ tvKtvM  (3.49) Do tính chất tuần hoàn nên chọn nghiệm có dạng: { } { } )sin(ˆ)( θω += tvtv (3.50) trong đó: { })(tv -thể hiện dạng dao động; { }vˆ - là biên độ dao động. { } { } )sin(ˆ)( 2 θωω +−= tvtv Thay vào (3.49) trên ta có: { } { } { }0)sin(ˆ][)sin(ˆ][2 =+++− θωθωω tvKtvM hay: { } { }0ˆ]][][[ 2 =− vMK ω (3.51) Vì { } 0ˆ ≠v , nên định thức của ma trận vuông N x N phải triệt tiêu: 0]][][[det 2 =− MK ω (3.52) Đây là phương trình đại số bậc N, do đó có N nghiệm ω21 , ω22 , ..., ω 2N . Lý thuyết ma trận chứng minh: ma trận vuông thực, đối xứng và xác định dương có các trị riêng thực và dương. Vectơ tần số riêng như sau: { } ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = Nω ω ω ω # 2 1 (3.53) Từ ωi ta sẽ tìm được chu kì hay tần số dao động tự nhiên của công trình: T = 2π/ω và f = T 1 Thí dụ (E12-1) Tính tần số riêng của khung sàn cứng: khối lượng và độ cứng như hình vẽ (a). Các hệ số cứng tính trên hình vẽ (b). Các ma trận của khung: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0,20 5,1 00,1 ][M (kip.s2/in) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − = 520 231 011 600][K (kip.s/in) Phương trình đặc trưng (3.52): 1,0 kip.s2/in 1,5 2,0 v1 k in 600 1200 1800 v1 =1 K = 60011 K = - 60021 K =031 K = -60012 K = 180022 K = -120032 K = 0 13 K = -1200 23 K = 300033 v =1 2 V =1 3 (a) (b) v2 v3 0 2520 25,131 011 600 0,20 5,1 00,1 520 231 011 600][][ 22 = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− −− = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − =− B B B MK ωω với 600 2ω=B B3 – 5,5B2 + 7,5B – 2 = 0 Nghiệm là: B1 = 0,351 B2 = 1,61 B3 = 3,54 Do đó: [ω] = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 1,46 1,31 5,14 3 2 1 ω ω ω (rad/s). 3.3.2 Phân tích hình dạng mode của dao động Từ phương trình (3.51), ứng với mỗi tần số ωn ta có một vectơ riêng { }nvˆ . Nhưng vì định thức (3.52) triệt tiêu, nên hạng của ma trận chỉ còn N-1, do đó chỉ có N-1 thành phần của { }vˆ độc lập. Thường chọn thành phần đầu tiên { } 11ˆ =nv , khi đó vectơ chuyển vị trở thành: { } ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = Nn n Nn n n n v v v v v v ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 22 1 ## Đặt: ][][][ 2)( MKE nn ω−= (3.53) Phương trình (3.51) được viết lại: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 ˆ ˆ 1 2 )()( 2 )( 1 )( 2 )( 22 )( 21 )( 1 )( 22 )( 11 ## " #"## " " Nn n n NN n N n N n N nn n N nn v v eee eee eee (3.54) Viết lại (3.54) dạng kí hiệu dùng ma trận con: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ][][ ][ )( 00 )( 01 )( 10 )( 11 nn nn EE Ee { }⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ nv0ˆ 1 = { }⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ 0 0 Tương đương với 2 phương trình: { } 0]ˆ][[ 0]ˆ][[][ 0 )( 10 )( 11 0 )( 00 )( 01 =+ =+ n nn n nn vEe vEE (a) Giải hệ phương trình (a) trên ta được: { } ][][ˆ )(011)(00 nnon EEv −−= (3.55) Dạng dao động (mode shape) thứ n được định nghĩa bởi vectơ (không thứ nguyên) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = Nn n kn Nn n n n v v v ˆ ˆ 1 ˆ 1][ 22 1 ## φ φ φ φ (3.56) với knvˆ là thành phần (chuyển vị) mốc để so sánh. Ma trận dạng dao động (Mode shape matric) là tập hợp của N vectơ dạng dao động: [φ]= [[φ1] [φ2]... [φN]] = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ NNNN N N φφφ φφφ φφφ " #"## " " 21 22221 11211 (3.57) Như vậy khi xác định được [φi] ta sẽ biết được hình dạng dao động của mode thứ i. Thí dụ (E12-2) Xét lại thí dụ trước, tìm các dạng chính của dao động. Lấy chuyển vị trên cùng bằng 1. Hai chuyển vị tầng dưới của mode n tìm theo (3.55): ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ n n 3 2 θ θ = - ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− −− n n B B 252 25,13 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧− 0 1 với Bn =600 2 nω Kết quả như hình vẽ. 3.3.3 Phân tích tần số theo ma trận mềm Nhiều bài toán dùng ma trận mềm [f] tiện hơn ma trận cứng [K]. Khi đó cần xác định tần số riêng theo [f]. Phương trình (3.51) được viết lại và biến đổi như sau: { } { }0ˆ]][][[ 2 =− vMK ω (3.51) Nhân 2 vế [f]: { } { }0ˆ]]][[]][[1[ 2 =− vMfKfω vì 1][][ −= Kf nên ][]][[ IKf = , ta có: { } { }0ˆ]]][[][1[ 2 =− vMfIω (3.58) 1.000 1.000 1.000 -2.570 2.470 -0.601 -0.676 0.644 0.300 Mode 1 Mode 2 Mode 3 ω =14.5 1 ω =31.12 ω =46.13 do { } 0ˆ ≠v , nên phương trình tần số: 0]]][[][1[det 2 =− MfIω (3.59) 3.3.4 Ảnh hưởng của lực học 3.3.4.1 Dao động tự do Phương trình dao động (3.49) kể đến độ cứng hình học có dạng: { } { } { } { }0)(][)(][)(][ =−+ tvKtvKtvM G (3.60) hay { } { } { }0)(][)(][ =+ tvKtvM  Phương trình tần số: 0]][][[det 2 =− MK ω (3.61) Lực dọc làm cho kết cấu bị “mềm” hơn, nên các tần số riêng cũng thấp hơn. Kết cấu thường làm việc bất lợi hơn dưới tác dụng của tải trọng động trong thực tế. Tương ứng, các dạng dao động chính (mode shapes) cũng bị thay đổi do lực dọc. 3.3.4.2 Tải trọng tới hạn (gây mất ổn định) Khi lực dọc đạt giá trị tới hạn N0 thì kết cấu không dao động (ω = 0). Lực quán tính cũng triệt tiêu. Phương trình (3.60) trở thành: { } { } { }0)(][)(][ 0 =− tvKtvK G (3.60’) ][ 0GK - Ma trận cứng hình học, ứng với lực dọc N0(x), với các hệ số xác định bởi: ijGk 0 = ∫L jio dxxxxN0 '' )()()( ψψ (3.62) Gọi tham số tải trọng (load factor) Gλ = )( )(0 xN xN (3.63) với N(x) là lực dọc do tải trọng đang xét gây ra thì ta có: ijGk 0 = ijGG kλ do đó: ][][ 0 GGG KK λ= (3.64) Thế (3.64) vào (3.60’): { } { }0)(]][][[ 0 =− tvKK GGλ (3.65) vì { } { }0)( ≠tv nên phương trình xác định tham số tải trọng Gλ 0][][det 0 =− GG KK λ (3.66) Tải trọng tới hạn thấp nhất ứng với 1Gλ = min là có ý nghĩa thực tế. Dạng mất ổn định tương ứng với vector chuyển vị 1v , được tìm bằng cách thế 1Gλ vào (3.65). Mất ổn định với tải trọng điều hoà Xét tải trọng tác dụng có dạng: tptp o ωsin)( = trong đó: ω là tần số của tải trọng tác dụng. Phương trình cân bằng dao động không cản: tpvkkvvm oG ωsin=−+ Phương trình này có nghiệm: tvtv ωsinˆ)( = tvtv ωω sinˆ)( 2−= Thay các nghiệm này vào trên ta có: oG pvkvkvm =−+− ˆˆˆ2ω Độ cứng động của hệ được định nghĩa bởi: mkk 2ω−≡ Thay vào biểu thức trên và biểu diễn độ cứng hình học là một hàm của hệ số tải trọng Gλ , ta có: oGoG pvkk =− ˆλ Nếu biên độ tác dụng của tải trọng tiến dần đến 0 thì phản ứng (chuyển vị) vẫn có thể khác 0 nếu định thức của ma trận vuông bằng 0. Vì vậy điều kiện mất ổn định đối với kết cấu chịu tải trọng điều hoà là: 0=− GOG kk λ Khi tải trọng thôi tác dụng, phương trình tác dụng có thể viết: 0ˆ2 =−− vkmk GOGλω Ta thấy sự tổ hợp của tải trọng mất ổn định Gλ và tần số dao động 2ω sẽ thỏa mãn phương trình trị riêng. Như vậy khi chịu tải trọng điều hoà ứng với một tần số nào đó thì hệ có thể mất ổn định ngay cả khi biên độ lực bằng 0. 3.3.5 Điều kiện trực giao (Orthogonality) 3.3.5.1 Các điều kiện cơ bản Phương trình dao động (3.51) viết lại cho tần số nω và mω (giả thiết nω ≠ mω ) { } { }nnn vMvK ˆ ][ ˆ ][ 2ω= (3.67) { } { }mmm vMvK ˆ ][ ˆ ][ 2ω= (3.68) Nhân trước { }Tmvˆ cho (3.67): { } { } { } { }nTmnnTm vMvvKv ˆ ][ ˆ ˆ ][ ˆ 2ω= (3.69) Chuyển trí (3.69) cả hai vế, chú ý ][][ ],[][ MMKK TT == vì chúng đối xứng: { } { } { } { }mTnnmTn vMvvKv ˆ][ˆ ˆ][ˆ 2ω= (3.70) Nhân trước { }Tnvˆ cho (3.68): { } { } { } { }mTnmmTn vMvvKv ˆ][ˆ ˆ][ˆ 2ω= (3.71) Từ (3.70), (3.71) suy ra: { } { } 0ˆ ][ˆ )( 22 =− mTnnm vMvωω Vì nω ≠ mω nên ta có điều kiện trực giao đầu tiên: { } { } 0ˆ][ˆ =mTn vMv (3.72) Thế (3.72) vào (3.71) suy ra điều kiện thứ 2: { } { } 0ˆ][ˆ =mTn vKv (3.73) Biểu diễn điều kiện trực giao theo mode, ta có: { } { } { } { } 0][ 0][ = = m T n m T n K M φφ φφ nm nm ≠ ≠ (3.74) Chú ý: Điều kiện trực giao chỉ dùng cho 2 mode có tần số khác nhau: nω ≠ mω 3.3.5.2 Chuẩn hóa theo ma trận khối lượng Vector biên độ { }nvˆ được chuẩn hóa theo ma trận khối lượng thành { }nφˆ thỏa mãn điều kiện: { } { } 1ˆ][ˆ =nTn M φφ (3.75) Gọi { } { } nnTn MvMv =ˆ][ˆ = scalar. Thì vector chuẩn hóa sẽ là: { } { } nnn Mvˆˆ =φ (3.76) Khi đó ma trận vuông { }φˆ gồm N vector { }nφˆ sẽ thỏa mãn: { } { } IMT =φφ ˆ][ˆ (3.71) Các vector { }nφˆ được gọi là các vector trực chuẩn (Orthonormal). 3.4 PHÂN TÍCH PHẢN ỨNG ĐỘNG Phương pháp dùng để phân tích phản ứng động được dùng là phương pháp chồng chất mode. Nội dung chính của phương pháp này là biến hệ dao động có hệ n phương trình vi phân thành dạng hệ động có n phương trình vi phân tách rời. Để dùng phương pháp trên ta phải tìm hiểu tọa độ chuẩn, sau đó thiết lập phương trình chuyển động tách rời của hệ không cản và có cản. 3.4.1 Tọa độ chuẩn (Normal Coordinates) v1 v2 v3 11v 12v 13 v 21v 31v 22v 32v 23 v 33 v v =φ Y v = φ Y v = φ Y v = φ Y 1 1 1 2 3 2 2 3 3 = + + + .... Vectơ chuyển vị [v] của hệ N bậc tự do có thể tạo ra bằng cách tổ hợp tuyến tính của N vectơ cơ sở đã biết nào đó. Tuy nhiên, nếu chọn các vectơ cơ sở là các dạng chính (Mode Shapes) của dao động tự do thì sẽ có nhiều ưu điểm do tính trực giao của chúng. Các dạng chính đóng vai trò tương tự như các hàm lượng giác của chuỗi Fourier, và chuyển vị của hệ có thể xấp xỉ khá tốt với một số số hạng của chuỗi. Xét dầm console như hình vẽ để minh họa. Vectơ chuyển vị ứng với hàm dạng [φn] là ]ˆ[ nv xác định bởi công thức: ]ˆ[ nv = [φn] Yn (t) (3.78) trong đó: Yn(t) là biên độ (tọa độ suy rộng) ứng với hàm dạng [φn] Chuyển vị toàn phần [v] được phân tích thành tổng các dạng chính như sau: [v]=[φ1]Y1 + [φ2]Y2+ ... +[φn]Yn = ∑ = N n nn Y 1 ]][[φ (3.79) Dạng ma trận: [v] = [φ ] [Y(t)] [φ ]: ma trận vuông của các dạng chính. [Y] : véc tơ các tọa độ suy rộng, cũng được gọi là các tọa độ chuẩn. Các thành phần Yn của vectơ [Y] có thể tìm dễ dàng nhờ tính trực giao của các hàm dạng như sau: Nhân 2 vế của (3.79) với [φn]T [M]: [φn]T [M][v] = [φn]T [M] [φ][Y] (3.80) áp dụng tính trực giao [φi]T [M][φj] = 0 với i ≠ j, vế phải (3.80) được triển khai: [φn]T[M][φ][Y]=[φn]T[M][φ1][Y1]+[φn]T[M][φ2][Y2] + ...+ [φn]T [M][φn][Yn] = ]][][[][ nnTn YM φφ (3.81) Thế (3.81) vào (3.80): [φn]T [M][v] = [φn]T [M][φn][Yn] hay Yn = ]][[][ ]][[][ n T n T n M vM φφ φ (3.82) Như vậy, mỗi tọa độ chuẩn Yn, n =1..N, đều được xác định theo (3.82) 3.4.2 Phương trình chuyển động tách rời (uncoupled) của hệ không cản Phương trình chuyển động không cản của hệ nhiều bậc tự do: )]([]][[]][[ tpvKvM =+ (3.83) Thế ]][[][ Yv  φ= từ (3.79) vào (3.83): )]([]][][[]][][[ tpYKYM =+ φφ  (3.84) Nhân trước 2 vế cho [φn]T: )]([][]][][[][]][][[][ tpYKYM Tn T n T n φφφφφ =+ (3.85) Do tính trực giao nên ta có: )]([][]][[][]][[][ tpYKYM Tnnn T nnn T n φφφφφ =+ (3.86) Đặt các kí hiệu mới: )]([][)( ]][[][ ]][[][ tptP KK MM T nn n T nn n T nn φ φφ φφ = = = (3.87) lần lượt gọi là: khối lượng, độ cứng và tải trọng suy rộng cho dạng dao động chính thứ n. Phương trình (3.86) được viết lại: )()()( tPtYKtYM nnnnn =+ (3.88) Đây là phương trình dao động cho hệ một bậc tự do cho dạng chính n. Từ phương trình điều kiện trực giao (3.67): ]ˆ][[]ˆ][[ 2 nnn vMvK ω= Thế nnn Yv ][][ φ= vào và đơn giản đi Yn cho 2 vế: ]][[]][[ 2 nnn MK φωφ = (3.89) Nhân trước [φn]T cho 2 vế của (3.89): ]][[][][][][ 2 n T nnn T n MK φφωφφ = hay: Kn = ωn2 Mn (3.90) Như vậy, việc dùng tọa độ chuẩn đã biến hệ N phương trình vi phân dao động của hệ có N bậc tự do về dạng gồm N phương trình vi phân tách rời nhau. Ứng với mỗi dạng dao động chính thì phản ứng động của hệ được xác định bằng cách chồng chất các phản ứng của các dạng chính (mode). Phương pháp được gọi là phương pháp chồng chất mode (Mode Superposition Method). 3.4.3 Phương trình chuyển động tách rời của hệ có cản + Thiết lập phương trình Phương trình chuyển động của hệ có cản: )]([]][[]][[]][[ tpvKvCvM =++  (3.91) Biến đổi tương tự như trường hợp không cản: )]([][ ]][][[][]][][[][]][][[][ tp YKYCYM T n T n T n T n φ φφφφφφ = ++  (3.92) Giả thuyết ma trận cản [C] cũng có tính chất làm trực giao các dạng chính tương tự như ma trận [M] và [K], tức là: [φn]T[C] [φm] = 0, với m ≠ n (3.93) Phương trình (3.92) trở thành: )(tPYKYCYM nnnnnnn =++  (3.94a) hay )(12 2 tP M YYY n n nnnnnn =++ ωωξ  (3.94b) với: )]([][)( 2]][[][ ]][[][ ]][[][ tptP MCC KK MM T nn nnnn T nn n T nn n T nn φ ωξφφ φφ φφ = == = = (3.95) ( ξn là tỉ số cản của mode thứ n). + Điều kiện trực giao của ma trận cản Để thu được phương trình chuyển động dạng tách rời (3.94a,b) cho các dao động chính, ma trận cản [C] phải thỏa mãn điều kiện trực giao. Rayleigh chứng minh rằng, nếu ma trận cản [C] có dạng: [C] = a0[M] + a1[K] (3.96) với a0, a1 là các hằng số, sẽ thỏa điều kiện trực giao (3.93) Việc xác định các hệ số của ma trận cản [C] rất khó khăn. Trong thực tế, thường người ta chọn giá trị của tỉ số cản ξn (được suy ra từ điều kiện cộng hưởng) tùy vào loại vật liệu và dạng kết cấu (Thí dụ: kết cấu thép thường lấy ξ = 2%, BTCT ξ = 3%). Sau đó tính Cn theo các công thức trên (3.95). 3.4.4 Tóm tắt phương pháp chồng chất dạng Phép biến đổi sang tọa độ chuẩn đã biến hệ N phương trình vi phân liên quan với nhau thành N phương trình tách biệt. Đó chính là ưu điểm cơ bản của phương pháp chồng chất mode. Ngoài ra, do tính hội tụ cao nên thường dùng chỉ cần chồng chất một số mode có tần số thấp. Trình tự phương pháp như sau: Bước 1: Phương trình vi phân chuyển động của hệ với các tọa độ hình học: )]([]][[]][[]][[ tpvKvCvM =++  Bước 2: Phân tích dạng chính và tần số, bỏ qua ảnh hưởng của lực cản đối với dạng chính và tần số, ta có phương trình trị riêng ([K] - ω2[M])[v] = [0] Từ đó xác định được ma trận dạng chính [φ] và vectơ tần số [ω ]. Bước 3: Khối lượng và tải trọng suy rộng )]([][)( ]][[][ tptP MM T nn n T nn φ φφ = = Bước 4: Phương trình chuyển động tách rời (uncoupled) )(12 2 tP M YYY n n nnnnnn =++ ωωξ  Bước 5: Phản ứng của dạng chính với tải trọng Phương trình chuyển động tách rời là phương trình chuyển động của hệ một bậc tự do có cản. Có thể tìm nghiệm bằng tích phân Duhamel: ∫ −= −− t Dn t n Dnn n dtePM tY nn 0 )( )(sin)(1)( ττωτω τωξ ωDn = ωn 21 nξ− - tần số dao động có cản. Phương trình trên áp dụng cho trường hợp điều kiện ban đầu t = 0 thì Yn(0)= nY (0) = 0. Có thể giải phương trình trên bằng phương pháp số. Bước 6: Dao động tự do của dạng chính Nếu điều kiện ban đầu Yn(0) ≠ 0, nY (0) ≠ 0 thì phản ứng của dạng chính phải cộng thêm phần dao động tự do có cản sau: t n nnetY ωξ−=)( ⎢⎣ ⎡ + Dn nnnn YY ω ωξ)0()0( sinωDnt+ Yn(0)cosωDnt ] Các trị số Yn(0) và nY (0) xác định theo vectơ chuyển vị và vận tốc ban đầu [v(0)] và [v(0)]: n T n n n T n n M vMY M vMY )]0(][[][ )0( )]0(][[][ )0( • = = φ φ  (3.97) Bước 7: Chuyển vị trong tọa độ hình học Dùng nguyên lí chồng chất: [v(t)] = [φ][Y(t)] = [φ1][Y1(t)] + [φ2][Y2(t)] + ... + [φn][Yn(t)] Thường dùng một số mode có tần số thấp nhất, với hai lí do: - Chuỗi trên thường hội tụ nhanh, nên chỉ cần ít số hạng là đủ chính xác (dàn khoan: 1, dàn cầu: 3 ÷ 5, cầu dây văng: < 20). - Mode tần số cao kém tin cậy, do sự gần đúng sơ đồ tính của kết cấu. Thí dụ: Dầm đơn giản được thay bằng khối lượng tập trung. Mode càng cao thì càng sai lệch nhiều và kém tin cậy hơn. Hệ thật Sơ đồ gần đúng Mode 1 Mode 2 Mode 3 Bước 8: Lực đàn hồi Lực đàn hồi để duy trì sự biến dạng của kết cấu, được xác định theo công thức: [fS(t)] = [K][v(t)] = [K][φ][Y(t)] = [K][φ1][Y1(t)] + [K][φ2][Y2(t)] +...+ [K][φn][Yn(t)] = 21ω [M][φ1][Y1(t)] + 22ω [M][φ2][Y2(t)] +...+ 2nω [M][φn][Yn(t)] Dạng ma trận: [fs(t)] = [M][φ] [ 2nω Yn(t)] (3.98) trong đó: [ 2nω Yn(t)] = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ )( )( )( 2 2 2 2 1 2 1 tY tY tY nnω ω ω # (3.99) Bước 9: Nội lực và ứng suất Trong mỗi dao động chính (mode), nội lực và ứng suất trong một phần tử tỉ lệ với tọa độ chuẩn Yn(t). Chẳng hạn, ứng suất của phần tử khi dao động với mode n có dạng: σn = αnYn(t) , với αn là hệ số tỉ lệ (3.100) Dùng nguyên lí chồng chất cho các mode: σ = α1Y1(t) + α2Y2(t) +... + αnYn(t) (3.101) Các tọa độ chuẩn Yn(t) đóng vai trò như chuyển vị cưỡng bức, tương ứng với các sơ đồ biến dạng [φn]. Công thức cho nội lực cũng có dạng tương tự như công thức (3.101) nhưng αn là hệ số tỉ lệ tương ứng cho nội lực đang xét. Thí dụ minh họa Xét kết cấu đã thí dụ ở mục 3.3. (E12-1 Trang 178, [1]). Cần xác định phản ứng của kết cấu do tải trọng xung hình sin như sau: ,cos)500( 3 2 1 )( )( )( 12 3 2 1 tKips tp tp tp t π ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ với t1 = 0.025 và - t1/2 < t < t1/2 Giải Ma trận khối lượng và độ cứng được cho bởi: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0,20 5,1 00,1 ][M (kip.s2/in) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − = 520 231 011 600][K (kip.s/in) Kết quả của tần số vòng và dạng chuẩn: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − − ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = 47.2 57.2 1 , 676.0 601.0 1 , 3.0 644.0 1 , 1.46 1.31 5.14 321 φφφω Vì tải trọng xung rất ngắn nên coi phản ứng của mỗi dạng chính là dao động tự do có hệ số dao động Dn xác định theo Fig. 6-6 trang 29: t K PDtY n n nn 1 0 sin)( ω= (a) ]]][[ n T nn mM φφ= (b) 2 nnn MK ω= (c) )500( 2 2 1 ][0 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = TnnP φ (d) Dùng công thức (b) ta thu được khối lượng suy rộng như sau: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 10.23 455.2 80.1 3 2 1 M M M Dùng (c) thu được vector độ cứng suy rộng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 49100 2372 379 1.4610.23 1.31455.2 5.1480.1 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 11 3 2 1 x x x M M M K K K ω ω ω Vector tải trọng suy rộng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 400 777 1444 1000 1000 500 ][ 3 2 1 T P P P φ Tỉ số chu kỳ / chiều dài xung: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 147.0 099.0 046.0 2 02.0 3 2 1 3 3 2 2 1 1 ω ω ω π T t T t T t Đồ thị Fig. 6.6 hệ số động: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 57.0 39.0 18.0 3 2 1 D D D Thế các đại lượng thu được vào (a): ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ t t t tY tY tY 1.46sin005.0 1.31sin128.0 5.14sin686.0 )( )( )( 3 2 1 Chuyển vị tại một điểm nào đó được xác định theo nguyên lý cộng tác dụng. Giả sử tính chuyển vị tại tầng 2: tt t t tYtv n n n 1.46sin013.01.31sin077.05.14sin442.0 1.46sin)005.0)(57.2( 1.31sin)128.0()601.0( 5.14sin686.0644.0)()( 3 1 22 −+= − +−×− +×=∑= = φ và lực đàn hồi tác dụng tại tầng 2: ttt tYmtf nnn n S 1.46sin411.31sin1125.14sin139 )()( 2 23 1 22 −+ =∑= = φω Chú ý các hệ số trong biểu thức lực đàn hồi tắt dần chậm hơn so với chuyển vị.