Địa lý - Chương 1: Bản chất vật lý của đất

σ/ CHƯƠNG 4: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT §1. Khái niệm chung * Có nhiều nguyên nhân gây ra ứng suất trong đất: do l bả hâ đấ d h đổi ớtrọng ượng n t n t, o sự t ay mực nư c ngầm trong đất; do tải trọng công trình ấ ấ ấ* Các loại ứng su t trong đ t: ứng su t do trọng lượng bản thân, ứng suất do tải trọng ngoài, ứng suất thủy ấ ấđộng do dòng th m trong đ t * Ứng suất trong đất liên quan chặt chẽ với biến dạng của đất và khả năng tiếp nhận tải trọng từ công trình. a. Ứng suất do trọng lượng bản thân đất Ứ ất d t l bả thâ đất â hải- ng su o rọng ượng n n g y ra p được coi là trạng thái ban đầu của đất (điểm khác biệt ới ật liệ khá )so v v u c . - Ứng suất do trọng lượng bản thân đất gây ra là ổn định. * Ứng suất do sự thay đổi mực nước ngầm (MNN): khi MNN thay đổi, trọng lượng bản thân đất thay đổi → ứng suất do sự thay đổi MNN là trường hợp đặc biệt của ứng suất do trọng lượng bản thân. b. Ứng suất do tải trọng ngoài Tải trọng CT thường truyền lên nền đất thông qua- móng (độ cứng móng thường lớn hơn độ cứng của đất). Q l ậ hâ bố ải h h ộ hiề à độ+ uy u t p n t trọng p ụ t u c n u v o cứng của móng. ể ề ế ề ấ- Tải trọng CT cũng có th truy n trực ti p lên n n đ t: tải trọng đất đắp nền đường lên nền đất tự nhiên. - Đất được coi là không chịu kéo → chỉ quan tâm chủ yếu đến tải trọng nén lên đất. + Ứng suất do tải trọng nén gây ra chủ yếu là ứng suất nén. + Quy ước: ứng suất nén mang dấu (+). c. Các giả thiết * Mặt đất i là ột ặt hẳ ằco m m p ng n m ngang. * Nền đất là một bán không gian biến dạng tuyến tính. - Nếu mô tả nền đất trong hệ tọa độ Decac: trục 0z là trục thẳng đứng vuông góc với mặt đất, chiều dương hướng xuống dưới → nền đất chỉ tồn tại z ≥ 0 → bán không gian. - Do tải trọng CT thường không lớn nên đất vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi→ quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính. Vì vậy, tính toán sự phân bố ứng suất trong đất vẫn áp dụng các công thức lý thuyết đàn hồi (LTĐH). Nền đất bán không gian 0 xx y σz z R τzxτzy τxz M y r σx τyz τyx σ τxy z y b. Các giả thiết (tiếp) * Chỉ nghiên cứu trạng thái đầu và cuối. - Xét phân tố đất trong hệ tọa độ Decac 0xyz. TTƯS của hâ ố đ đặ bởi á ứ ấ háp n t ược c trưng c c ng su t p p σx, σy, σz và ứng suất tiếp τxy, τyz, τzx. ầ ấ ể- Các thành ph n ứng su t tại đi m M trước và sau khi có tải trọng CT: + Trạng thái ban đầu: σo(M) = {σox, σoy, σoz}. Coi đất là bán vô hạn → mọi mặt phẳng thẳng đứng đều là mặt phẳng đối xứng→ các thành phần ứng suất tiếp = 0. + Trạng thái cuối: σ1(M) = σ (M) + Δσ(M)o Δσ(M) = {Δσx, Δσy, Δσz, Δτxy, Δτyz, Δτzx}, (Δσz ≡ Δσgl) b. Các giả thiết (tiếp) * Đất là một vật thể nhiều pha giữa hạt đất có lỗ rỗng, , do vậy tải trọng tác dụng lên các hạt đất thông qua điểm tiếp xúc giữa chúng và truyền đi từ hạt này sang hạt khác → Ứng suất tại một điểm là ứng suất trung bình giả định tại điểm đó. * Việc tính toán xác định các thành phần ứng suất trong đất hủ ế tậ t à thà h hầ ứ ất é thc y u p rung v o n p n ng su n n eo phương đứng (trục z) là σz và Δσz. §2. Ứng suất do trọng lượng bản thân đất * Ứng suất do trọng lượng bản thân được coi là trạng thái b đầ ủ đất (M) { }an u c a : σo = σox, σoy, σoz . * Việc xác định ứng suất của đất trước khi có tải trọng ầ ếbên ngoài tác dụng là c n thi t. Giả định trước khi có tải trọng ngoài tác dụng, đất ở trạng thái cân bằng tĩnh học. 1. Trường hợp nền đất khô đồng nhất * Khảo sát nền đất khô có trọng lượng riêng γz trong điều kiện mặt đất nằm ngang, ổn định. )(dxdydzγ)(dxdyzσ ⎤⎡ ∂σ z )(d d )(dydzdx x x x ⎥⎦⎢⎣ ∂+σy zxσ )(d dd ⎤⎡ ∂σ x yz z z z ⎥⎦⎢⎣ ∂+σ Phân tích ứng suất do trọng lượng bản thân 1. Trường hợp nền đất khô đồng nhất (tiếp) - Điều kiện cân bằng theo phương đứng của phân tố tách ra tại M ở độ sâu z: ⎤⎡ )()()( dxdydz z dxdydzdxdy zzzz ⎥⎦⎢⎣ ∂ ∂+=+ σσγσ )(zσ∂ ∫z d)()(zz γ=∂ ==⇒ zoz zz0 γσσ zzozoz .)(' γσσσ ===- TH γ(z) = const = γ: D ứ ất hỉ t ề á điể tiế ú iữ á (1) - o ng su c ruy n qua c c m p x c g a c c hạt đất → ứng suất xác định theo CT (1) chỉ là giá trị t bì h ủ ứ ất iữ á h t đất ( hí h là ứrung n c a ng su g a c c ạ c n ng suất hữu hiệu σ’z. 2. Trường hợp nền nhiều lớp * Nề đất ồ hiề lớ ó hiề dà hữ h tn g m n u p c c u y u ạn, rong phạm vi mỗi lớp γ = const. Gọi lớp thứ i có chiều dày hi, t l iê trọng ượng r ng γi = cons . ⎞⎛−+ 11211 nzhhh ⎟⎠⎜⎝ ∑−+=+++= − ==++ ∑∫∫∫ 11 2 0 1 .... n i in i ii hh n h oz hzhdzdzdz γγγγγσ −... 111 n - Với z là độ sâu cần tính ứng suất thuộc vào lớp thứ n: ∑≤≤ −∑ n in j hzh1 == ij 11 - Biểu đồ phân bố ứng suất σ theo độ sâu bao gồm cácoz đoạn thẳng có độ dốc thay đổi tại các độ sâu phân lớp. Biểu đồ σoz của nền đồng nhất và nền nhiều lớp σz σz ∑−1n hγ1, h1 γ1.h1z1 γ.z1 =1i iγi, hi γ1 h1+ + γi hi ∑−− 1n ihzσozz γn, hn . ... . =1iz σoz 3. Trường hợp có nước ngầm * TH t đất ó MNN từ độ â H Kể từ độ â Hrong c s u n. s u n tồn tại áp lực thủy tĩnh u = γo.hw, hw là chiều cao cột nước áp h = z – H (nói khác đi dưới độ sâu H đấtw n. n chịu lực đẩy Arsimet). - Ứng suất hữu hiệu tại độ sâu z: σ’ = σ – uoz oz z. (σ’z = σz – uz). Với ≤ H : ’ (ha ’ )- z n σ oz = σoz y σ z = σz ⎞⎛− 11 kk ⎟⎠⎜⎝ ∑−+== − =∑ 11 .)'(' i iki iizoz hzh γγσσ = + k: lớp cuối cùng nằm trên MNN. 3. Trường hợp có nước ngầm - Với z > Hn: σ’oz = σoz – uz. uz = γo.hw = γo.(z – Hn) ⎟⎞⎜⎛ ∑++ − −∑∑ 11 )()(' nnk hhh ⎠⎝ −−−= +=−+= −= 111 .. kj jobhnkj jobhji iioz zγγγγγσ ⎟⎞⎜⎛ ∑−++= − −∑∑ 11' nnk hzhh γγγσ ⎠⎝ +=−+= −= 111 .. kj jđnnkj jđnji iioz + Với γj-đn = γj-bh - γo. + n: lớp đất chứa độ sâu z cần tính ứng suất. 4. Ứng suất do sự thay đổi mực nước ngầm * S th đổi MNN t l iê ủ đất thự ay → rọng ượng r ng c a ay đổi, áp lực nước lỗ rỗng u thay đổi→ ứng suất hữu hiệu th đổiay . * Nếu hạMNN→ u giảm→ σ’z tăng→ nền 5. Ứng suất nén theo phương ngang * Ứng suất nén hữu hiệu theo phương ngang: σ’ox = σ’oy = ξσ’oz ố ố- ξ (≡ Ko): hệ s áp lực ngang (hệ s áp lực tĩnh). oμξ μ : hệ số biến dạng ngang (hệ số oμ−= 1 o nở ngang), μo = f(loại đất). * Ứng suất tổng: σox (= σoy) = σ’ox + u §3. Ứng suất do tải trọng ngoài Ứ ấ ấ* ng su t do tải trọng ngoài là lượng gia tăng ứng su t Δσ(M) = {Δσx, Δσy, Δσz, Δτxy, Δτyz, Δτzx} A. Các bài toán không gian * Bài toán cơ bản: Lực tập trung - Thực tế, ta không gặp trường hợp lực tập trung tác dụng lên nền đất Tải trọng thường thông qua đáy móng mà. truyền lên nền đất trên một diện tích nhất định. - BT xác định ứng suất trong đất dưới tác dụng của lực tập trung vẫn có ý nghĩa cơ bản về lý thuyết và là cơ sở để giải các BT ứng suất khi tải trọng phân bố trên diện khác nhau. - Có 3 BT lực tập trung: lực tập trung thẳng đứng trên mặt đất, lực tập trung nằm ngang, lực tập trung đặt trong đất. 1. Tải trọng tập trung thẳng đứng P tác dụng trên mặt đất (BT Boussinesq) a. Nội dung bài toán * Xá đị h ứ ất à 222 zyxR ++=c n ng su v chuyển vị của 1 điểm bất kỳ t đất d ới tá P rong ư c dụng của 1 lực tập trung thẳ đứ P đ đặt 0 xx ng ng ược trên mặt đất nếu giả thiết ề là ột bá R y n n m n không gian đàn hồi, đồ hất đẳ h ớ y M( )r z ng n , ng ư ng có các đặc trưng biến d E à x, y, z ạng v μ. - Chọn 0 ≡ điểm đặt P. z b. Kết quả BT Boussinesq 33 zP* Ứ ất th h 52 )( Rzz πσσ ==Δ ng su eo p ương đứng Δσz tại M: (2) ⎤⎡ )()( 2 * Chuyển vị theo phương đứng w tại M: ⎥⎦⎢⎣ −++= RR z E Pw 12 2 1 3 μ π μ 222 zyxR ++=- R: khoảng cách từ điểm đặt lựcế ểđ n đi m đang xét M(x, y, z). - Đặt R2 = r2 + z2, z: khoảng cách từ Pk=Δσđiểm đang xét đến trục thẳng đứng đi qua điểm đặt lực. 2zPz ⎞⎛ r + kP: hệ số ứng suất (tra bảng IV.1) ⎟⎠⎜⎝= zfkP Kết quả khác của BT Boussinesq * Ứ ất há t i điể M ( ) 33 zP ng su p p ạ m x, y, z : 52 Rz πσ = ⎬⎫⎨⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−−−−+= )( )2( )(3 21 2 3 3 2 3 22 5 2 RR zRy RR zRzR R xyP y μσ ⎭⎩ ++ zzπ ⎬⎫⎨⎧ ⎥⎤⎢⎡ +−−−−+= )2(213 3 2 3 222 zRxzRzRxzP μσ ⎭⎩ ⎦⎣ ++ )()(32 5 zRRzRRRx π Kết quả khác của BT Boussinesq * Ứ ất tiế t i điể M ( )ng su p ạ m x, y, z : 23 yzPτ −=23 xzP 52 Ryz π52 Rxz πτ −= ⎤⎡ ⎥⎦⎢⎣ + +−−= 235 )( )2( 3 21 2 3 zRR zRxy R xyzP xy μ πτ ⎤⎡ 2 * Chuyển vị w theo 0z, u theo 0x, v theo 0y: ⎥⎦⎢⎣ −++= RR z E Pw 1)1(2 2 )1( 3 μπ μ ⎥⎤⎢⎡ −−+= )1(2)1( xxzPu μμ ⎥⎤⎢⎡ −−+= )1(2)1( yyzPv μμ⎦⎣ + )(2 3 zRRREπ ⎦⎣ + )(2 3 zRRREπ 2. Trường hợp nhiều tải trọng tập trung * TH hiề tải t tậ t tá d á dn u rọng p rung c ụng: p ụng nguyên lý cộng tác dụng để tính ứng suất Δσz tại M. ấ ễ ẳ* Hệ trục 0xyz chọn b t kỳ mi n là mặt ph ng x0y trùng với mặt đất. 33n zP∑ P P P - Điểm đặt của tải trọng thứ i là 0i(xi, yi, zi). 5 1 2 )( iii i z R M = =Δ πσ 1 01 i n 0i 0n z⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= z rfk iPi+ Với n i n PkPkM ∑∑Δ 1)( M r1 ri i i P i Pz zz ii == == 1 22 1 σ rn 3. Tải trọng phân bố trên một diện tích nào đó * T ê ặt đất tải t hâ bố liê t ờ độr n m rọng p n n ục cư ng p(ξ, η) trên phạm vi F bao kín. dP (ξ )dF xx p(ξ, η) = p , ηξ0 x z η0 y x y0 z M(x, y, z) dη dξF z y dF = dξdη Ứng suất do tải trọng phân bố trên diện tích F * Lấ 1 diệ tí h hị tải ô ù hỏ dF dξd à iy n c c u v c ng n = η v co tải trọng tác dụng trên đó bằng 1 lực tập trung tương đ dP (ξ )dF (ξ ) dξd Á d CT (2) tương = p , η = p , η η. p ụng a có ứng suất do lực tập trung dP gây ra tại M: ηξηξσ ddp R z R zdPMd z ),(2 3 2 )(3)( 5 3 5 3 ==Δ ππ . 222 )()( zyxR ++= ηξ+ R: khoảng cách từ điểm đangế ể −−xét M đ n đi m đặt lực dP: * Ứng suất Δσ tại M do toàn bộ tải trọng trên diện F: ( ) dFpzMz ),(3)( 5 3 ηξσ ∫∫=Δ (3) z zyxF )()(2 222 ηξπ +−+− Ứng suất do tải trọng phân bố trên diện tích F * Nế hà d ới dấ tí h hâ khô khả tí h tải tu m ư u c p n ng c , rọng phân bố p(ξ, η) được thay thế bằng các tải trọng tập t t đ P t ê á ù đủ bé à ứ ấtrung ương ương i r n c c v ng v ng su tại M được xác định như trường hợp nhiều tải trọng tập t đồ thời tá drung ng c ụng. * Nếu hàm dưới dấu tích phân khả tích, người ta thường ố ềphân thành các BT cơ bản sau: tải trọng phân b đ u hay phân bố bậc nhất trên diện phân bố tải trọng chữ nhật hoặc hình tròn. a. Tải trọng phân bố đều cường độ p trên diện tích chữ nhật lxb (l ≥ b) * Ứng suất do tải trọng phân bố đều cường độ p(ξ, η) trên diện chữ nhật lxb. dPp(ξ, η)=p=const x z 0 l xdξ0 dηb y Ứng suất do tải trọng phân bố đều trên diện chữ nhật lxb zl b+ +2/ 2/ 33 ( ) ηξηξπσ ddzyxpM l bz ∫ ∫− − +−+−=Δ 2/ 2/ 5222 )()(2)( (4) Δσz(M) = f(l, b, x, y, z)*p ( ) độ ủ điể đ é M+ x, y, z : tọa c a m ang x t . * Để thuận tiện ta chỉ tính ứng suất tại các điểm đặc biệt ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= b z b lfko , - M nằm trên trục thẳng đứng đi qua tâm diện chịu tải: “Điểm tâm” (x = 0, y = 0): Δσz(M) = f(l, b, z)*p = ko.p (ko: bảng IV.2) ằ ẳ- M n m trên trục th ng đứng đi qua góc diện chịu tải: “Điểm góc”(x=± l/2, y=± b/2): ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= b z b lfkc ,Δσz(M) = f(l, b, z)*p = kc.p (kc: bảng IV.3) * Phương pháp điểm góc Những điểm không phải là điểm tâm hoặc điểm góc- diện chịu tải ta sẽ đưa về điểm góc và áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính ứng suất. A E D A E D 1 2 H I1 2M B M C B G C 3 4 A ED MH I B GC b. Tải trọng phân bố tam giác trên diện tích chữ nhật bxl (b ≥ l) * Tải trọng thay đổi bậc nhất theo 1 phương trên diện phân p(x) p = pmax bố tải trọng và không thay đổi theo phương vuông góc x z 0 AB . - Tải trọng nhỏ nhất pmin = 0 ở 1 h à tải t lớ hất b cạn v rọng n n pmax = p ở cạnh đối diện. Tại vị trí bất kỳ: x0l ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 2 )( bx b pxp y ⎟⎞⎜⎛ zl - Tại các điểm nằm trên trục đứng qua góc diện chịu tải:Δσ (A) = k p ⎠⎝= bbfkk BA ,, z A.Δσz(B) = kB.p §3. Ứng suất do tải trọng ngoài ẳB. Các bài toán ph ng 1. Tải trọng phân bố đều trên đường thẳng dài vô hạn (BT Flamant) dP = pdy* Mọi mp vuông góc với đường phân bố tải trọng ề ố p đ u là mp đ i xứng. - Chọn x0z đi qua điểm M xdP và vuông góc với đường phân bố tải trọng → các dy thành phần ứng suất trong đất do tải trọng này gây ra M(x, z)y phụ thuộc duy nhất vào vị trí điểmM. z Kết quả BT Flamant * Tích phân CT Boussinesq trên đường phân bố tải trọng ta được ứng suất Δσz tại M: 33 23)( zpdyzPM ==Δ ∫+∞σ ( ) 2225222 )(2 zxzyxz +++∞− ππ (5)* Tương tự: 22)( zxpM =Δσ 222 )( zxx +π 222 2 )( 2)( x xzpMxz +=Δ πτ z 2. Tải trọng hình băng * Tải t hì h bă Tải t thẳ đứ tá drọng n ng: rọng ng ng c ụng trên mặt đất có dạng phân bố một chiều trên bề rộng b th 1 l ật á đị h hiề ô ó ké dài ôeo quy u x c n , c u vu ng g c o v hạn. ố ề- Tải trọng hình băng phân b đ u: p = const; - Tải trọng hình băng phân bố tam giác: pmin = 0, pmax = p; Tải trọng hình băng phân bố hình thang:- pmin ≠ 0, pmax = p; a. Tải trọng hình băng phân bố đều * Ứng suất tại M(x, z): bΔσz = kz.pΔσx = kx.p p = const dP = p.dxΔτxz = kτ.p 0 x kz, kx, kτ: hệ số ứng suất tra bảng IV.6a, IV.6b, dx ⎟⎞⎜⎛ zx IV.6c z M(x, z) ⎠⎝= bbfkkk zx ,,, τ b. Tải trọng hình băng phân bố tam giác và hình thang ố ấ* Tải trọng hình băng phân b tam giác, ứng su t tại M(x, z): Δσ = k p b p z z. Δσx = kx.p kz, kx, kτ: hệ số ứng suất x 0 Δτxz = kτ.p ⎟⎞⎜⎛ zxfkkk tra bảng IV.7a, IV.7b, IV.7c M(x z) ⎠⎝= bbzx ,,, τ z , ố ấ* Tải trọng hình băng phân b hình thang: ứng su t tại M sẽ bằng tổng ứng suất do tải trọng hình băng phân bố ề ấ ốđ u và ứng su t do tải trọng hình băng phân b tam giác. c. Ứng suất chính dưới tải trọng hình băng phân bố đều * Biểu diễn BT trong hệ btọa độ cực: điểm cực M, tia chuẩn thẳng đứng Mz z xp → vùng phân bố tải trọng trong khoảng β1 β2β [β1, β2]. - Ứng suất thành phần M dβ được tích phân từ CT (5) trong khoảng [β1, β2]. x = ztgβ * Ứng suất thành phần dưới tải trọng hình băng phân bố đều ββσ β rdrpM ∫=Δ 2 3)cos(2)( π β rz 1 4 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−=Δ )2sin2(sin 2 1)()( 1212 ββββπσ pMz ⎤⎡ 1p ⎥⎦⎢⎣ −−−=Δ )2sin2(sin2)()( 1212 ββββπσ Mx )2cos2(cos2)( 12 ββτ −=Δ pMxz π * Ứng suất chính dưới tải trọng hình băng phân bố đều 22 3,1 4)(2 1)( 2 1 xzzxzx τσσσσσ +−±−= )2sin2(3,1 ββπσ ±= p b p x2β = (β2 - β1): góc từ M ế ββ đ n 2 mép tải trọng (góc nhìn tải trọng) σ1 σ3 §4. Ứng suất trong nền đất dưới móng công trình Á ấ ề ế1. p lực công trình lên đ t n n: Tải trọng ti p xúc dưới đáy móng ptx - Tải trọng CT thường truyền lên nền đất thông qua móng (độ cứng móng thường lớn hơn độ cứng của đất). + Quy luật phân bố tải trọng = f(độ cứng của móng, tính chất tải trọng). + Khi tính toán ứng suất trong đất do tải trọng công ì h i ó ệ đối ứ hâ bố ảitr n : co m ng tuy t c ng, sự p n t trọng công trình lên đất là tuyến tính. ề ấ- Tải trọng CT truy n lên đ t ở độ sâu đặt móng hm: áp lực CT lên nền đất hay tải trọng tiếp xúc dưới đáy móng ptx. a. Tải trọng trọng tiếp xúc của móng hình chữ nhật (móng đơn) * Tải đúng tâm: tải tiếp xúc hâ bố đề Po PPp t == p n u hmP blFx . ptx* Thường tải cho ở mức mặt hFPQPP ++ b đất (chân cột) Po: moo ..γ== o hP + lmtx Fp .γ= )/( 3k : trọng lượng riêng trung bình của vật liệu móng và đất trên đáy móng 20 mN=γ a. Tải trọng trọng tiếp xúc của móng hình chữ nhật * Tải lệch đúng tâm: tải tiếp ú hâ bố bậ hất Cá iá Po Mx c p n c n . c g trị đặc trưng: h o P M m o tb hbl P bl P F Pp .γ+=== m pmax pmin p M .. tb W pp tb ±=minmax, b 6 . 2lbW = l b. Tải trọng trọng tiếp xúc hình băng (móng băng) * Tải trọng cho trên 1 m dài ó P 180kN/ Po m ng o = m, Mo= 20kN.m/m hm * Tải đúng tâm: tải tiếp xúc phân bố đều ptx o hPP 1mmtx bb p .γ+== dài b b. Tải trọng trọng tiếp xúc hình băng (móng băng) * Tải lệch tâm: tải tiếp xúc hâ bố bậ hất Cá iá t ị Po Mop n c n . c g r đặc trưng: hmM P m o tb hb P b Pp .γ+== pmaxptbpmin M W pp tb ±=minmax, 6 2bW = b 2. Tải trọng gây lún pgl ế ề ề ấ ể- Tải trọng ti p xúc truy n lên n n đ t ở độ sâu hm k từ mặt đất. Trước khi chịu tải trọng này, đất ở độ sâu hm ấđã chịu nén do trọng lượng bản thân các lớp đ t bên trên gây ra. Khi thi công móng thì lớp đất này được đào đi. - Tải trọng thực sự tác dụng lên nền ở độ sâu hm chỉ là phần sư còn lại sau khi đã khôi phục lại trạng thái nguyên thủy. Tải trọng này được gọi là tải trọng gây lún pgl: pgl = ptx - γtb.hm γtb: trọng lượng riêng trung bình của đất trên đáy móng. 3. Ứng suất gây lún và ứng suất dưới móng CT Ứ ấ ấ* ng su t gây lún Δσgl: là ứng su t do tải trọng gây lún gây ra, Δσgl = k.pgl. * Ứng suất dưới móng CT σ1 = ứng suất do trọng lượng bản thân σo + ứng suất gây lún Δσgl. - Quy ước: z = 0 ở mức đáy móng. σ = γ h + f(γ z)o tb. m , CHƯƠNG 5: ĐỘ LÚN CỦA NỀN ĐẤT §1. Khái niệm chung * Tải trọng CT tác dụng→ nền bị biến dạng. Biế d é th h đứ dẫ đế h ể ị- n ạng n n eo p ương ng n n c uy n v đứng là quan trọng và được quan tâm hơn cả. ể ấ ể- Chuy n vị đứng của mặt đ t→ chuy n vị đứng của CT ≡ lún. Ý nghĩa của việc dự báo độ lún Do độ rỗng của đất khá lớn→ độ lún của nền đáng kể- . - Nền bị lún → ảnh hưởng đến CT: điều kiện sử dụng iả ú (khô ử d bì h h ờ đ d độ lúg m s t ng s ụng n t ư ng ược o n vượt quá giới hạn trong khi CT vẫn ổn định); ảnh h ở đế kết ấ CT (độ lú dù h lớ h óư ng n c u n c ưa n n ưng c sự chênh lệch giữa các bộ phận làm cho kết cấu CT bị hư hỏ )ng . → Việc dự báo độ lún cuối cùng, độ lún tại một thời ể ấ ểđi m nào đó r t quan trọng và không th bỏ qua. * Các mô hình dự báo lún: - Mô hình nền biến dạng tuyến tính theo LTĐH; Mô hình nén lún 1 chiều- . §2. Dự báo độ lún cuối cùng theo mô hình LTĐH 1 Nội d ng phương pháp. u a. Lún do tải trọng tập ẳ 222 zyxR ++= trung th ng đứng P ở mức mặt đất gây ra 0 P - Dù đất không phải là vật liệu đàn hồi nhưng xx y do tải trọng CT không lớn quan hệ tải trọng và Rzđộ lún là tuyến tính. Mặt khác, chỉ quan tâm đến ế y M(x, y, z)r BD lún không xét đ n z khả năng phục hồi của đất → có thể áp dụng kết quả ề ằLTĐH vào dự báo độ lún của n n b ng cách thay đặc trưng BD của đất Eo, μo vào kết quả LTĐH. Kết quả BT Boussinesq * Chuyển vị theo phương đứng w tại M(x y z) bất kỳ ⎤⎡ −+ zP )1(2)1( 2 μμ , , trong nền đất: ⎥⎦⎢⎣ += RRE zyxw oo 2 ),,( 3π (1) 222 zyxR ++=- R: khoảng cách từ điểm đặt lựcđến điểm đang xét M(x y z), , . - Chuyển vị đứng của 1 điểm trên mặt đất w(x, y, z) ể PyxSyxw o )1()()0( 2μ−=≡ chính là độ lún S(x, y) của đi m đó. Thay z = 0 vào (1): (2) rEo .. ,,, π r: khoảng cách trên mặt đất từ 222- diểm cần tính lún đến điểm đặt lực. yxr += b. Lún do tải trọng phân bố trên mặt đất gây ra * Lấy 1 diện tích chịu tải vô cùng nhỏ dF = dξdη và coi tải trọng tác dụng trên đó bằng 1 lực tập trung tương đương dP= p(ξ, η)dF = p(ξ, η)dξdη. Tích phân trên toàn bộ diện tích F ta có độ lún tại M: dFp E yxS o∫∫ −= 22 2 ),(1),( ηξμ (3) yxF o −+− )()(. ηξπ ể ầ+ (x, y): tọa độ của đi m c n tính lún; + (ξ, η): tọa độ bất kỳ trong phạm vi đặt tải trọng có cường độ là p(ξ, η). * TH tải trọng phân bố đều p trên diện chữ nhật lxb Độ lú ủ ề t TH tải t hâ bố đề )(*1)( 2 yxblfpyxS oμ−= (4) - n c a n n rong rọng p n u ,,,., Eo M ở tâm diện chịu tải: (x = 0 y = 0): ⎞⎛ l - , f(l, b, x, y) = f(l, b) = b.ωo (ωo: bảng V.1) 1 2 ⎟⎠⎜⎝= bfoωoo bpEyxS ω μ ...),( −= o - M ở góc diện chịu tải: (x = ± l/2, y = ± b/2): o bS μ1)( 2− f(l, b, x, y) = f(l, b) = b.ωc (ωc = 2ωo: bảng V.1) ⎟⎞⎜⎛= lfω c o p E yx ω..., = ⎠⎝bc c. Lún dưới móng công trình - Móng CT thường có độ cứng tương đối lớn so với nền đất→ coi độ lún tại mọi điểm dưới 1 móng là như nhau ⎞⎛ l nếu tải trọng phân bố đều. Độ lún của móng: 1 2 ⎟⎠⎜⎝= bfconstωconstgl o bp E S ωμ ...−= o + ω : hệ số phụ thuộc hình dạng móng;const + pgl: tải trọng gây lún, pgl = ptx - γtb.hm 2. Xác định đặc trưng biến dạng Eo, μo * Các đặc trưng Eo, μo của đất được xác định bằng TN. - TN xác định E :o + TN hiện trường: TN bàn nén (kết quả tương đối tin cậy); dự báo dựa theo kết quả SPT CPT, + TN trong phòng: TN nén 1 chiều trên mẫu nguyên d ới hệ ố hiệ hỉ h th ô thứ E k Eạng v s u c n eo c ng c: o = . n k = f(hệ số rỗng ban đầu của đất); - Xác định μo: + TN trong phòng: nén 3 trục; + tra bảng 3. Phạm vi áp dụng * Dự báo độ lún cuối cùng của nền bằng cách áp dụng trực tiếp kết quả LTĐH được sử dụng trong trường hợp nền đồng nhất biến dạng tuyến tính. - Nền được coi là đồng nhất khi đất trong phạm vi chịu lún (phạm vi chịu ảnh hưởng của tải trọng) chỉ có 1 loại đất. - Sơ bộ, phạm vi chịu lún của nền Hn = (2 ÷ 3)b, b là bề rộng móng. 4. Mô hình LTĐH áp dụng cho nền nhiều lớp Lú ủ ề ột lớ ó hiề dà hữ ha. n c a n n m p c c u y u ạn * TH nền đất có chiều dày hữu hạn h bên dưới móng hữ hật l bc n x . lxb p h Tầng đất không nén được a. Lún của nền một lớp có chiều dày hữu hạn (tiếp) * Độ lú ủ ó ó ề th LTĐH th CTn c a g c m ng m m eo eo Steinbrenner: 1 2 p o Ibp E S ...μ−= o 21 FFI oμ−+= ⎟⎞⎜⎛ hlfFF21 1 op μ− ⎠⎝= bb ,, 21 2 ⎞⎛ hl * CT Egorov với hệ số biến dạng ngang μo = 0,3: kbp E S o ...1 μ−= ⎟⎠⎜⎝= bbfk ,o b. Mở rộng áp dụng cho nền nhiều lớp ố ế 1 2μ * CT của Egorov với hệ s bi n dạng ngang μo = 0,3 : ).(.. 1−−−= ii o o i kkbpE S ⎟⎞⎜⎛= −Hlfk i 1⎟⎞⎜⎛= Hlfk i ⎠⎝− bbi 1 ,⎠⎝ bbi , ∑= n iSS 1 * Độ lún của nền S: =i b. Mở rộng áp dụng cho nền nhiều lớp * Độ lú ủ lớ thứ i th CT St i bn c a p eo e n renner: 1 2− μ ).(.. 1,, −−= ipip oi oi i IIbpE S oi FFI 21 μ−+= ⎟⎞⎜⎛ HlfFF ii oi iip 21, 1 μ− ⎠⎝= bbii ,, 21 Hi: tổng chiều dày của i lớp đất kể từ đáy móng (gồm cả lớp thứ i; ∑= n iSS* Độ lún của nền S: =i 1 §3. Dự báo độ lún cuối cùng theo mô hình nén lún một chiều (phương pháp cộng lún từng lớp) 1. Mô hình tính lún một chiều a. TN nén một chiều không nở ngang * B đầ ẫ ó hiề h hệ ố ỗan u: m u c c u cao o, s r ng eo. * Gia tăng tải trọng Δσ: mẫu lún 1 đoạn S, hệ số rỗng e1. Với giả thiết Vh = const. Độ lún của mẫu xác định theo: ovoo o hmh e ah e eeS ... 11 1 σσ Δ=Δ+=+ −= oo b. BT nén một chiều thực tế * BT é 1 hiề ề ó pn n c u: n n c chiều dày hữu hạn h ằ t ê tầ đá ứn m r n ng c ng chịu tải trọng phân bố đề khắ bề ặt h u p m - Trước khi tác dụng p: nền chịu tác dụng của trọng lượng bản thân. + Ứng suất nén theo phương đứng σo(z) = γ.z = f(z)→ hệ số rỗng ban đầu eo(z) = f(σ) = f(σo(z)) = f(z). + Đơn giản: coi hệ số rỗng ban đầu như nhau và bằng hệ ⎞⎛⎞⎛ hhh số rỗng của đất ở độ sâu giữa lớp chịu ứng suất nén ⎟⎠⎜⎝ ===↔=⎟⎠⎜⎝ = 222 fez ooo γσσγσ b. BT nén một chiều thực tế Sau khi tác dụng p và đã ổn định: ứng suất nén thẳng- đứng tăng thêm 1 lượng Δσ(z) = p (do nền có chiều dày hữu hạn chịu tải phủ kín khắp bềmặt) và trở thành: σ1(z) = σo(z) + Δσ(z) = γ.z + p = f(z) ố ỗ→ hệ s r ng e1(z) = f(σ) = f(σ1(z)) = f(z). + Đơn giản: cũng coi hệ số rỗng sau khi chịu tải là như ⎞⎛⎞⎛ hhh nhau và bằng hệ số rỗng của đất ở độ sâu giữa lớp chịu ứng suất nén: ⎟⎠⎜⎝ +===↔+=⎟⎠⎜⎝ = pfepz o 222 11 γσσγσ hhhaheeS o 1 ΔΔ− * Độ lún của nền pmm ee vvoo ..... 11 ==+=+= σσ 2. Tính lún của nền do tải trọng phân bố đều trên mặt đất gây ra a. Tính lún dựa theo đường cong nén e = f(σ) * T ớ khi tá d tải ề hị tá d ủ trư c c ụng : n n c u c ụng c a rọng lượng bản thân. Ứng suất nén σo(z) = f(z, γ(z)) → hệ số ỗ b đầ ( ) f( ( ))r ng an u eo z = σo z . * Sau khi tác dụng tải: ứng suất nén thẳng đứng trong ấ ố ỗđ t: σ1(z) = σo(z) + Δσ(z)→ hệ s r ng e1(z) = f(σ1(z)). * Để áp dụng kết quả BT 1 chiều, chia nền thành nhiều lớp phân tố mỏng sao cho trong phạm vi mỗi lớp phân tố sự thay đổi Δσ đủ bé để coi là phân bố đều và có đường cong nén là duy nhất. - Chiều dày lớp phân tố hi ≤ b/4 (b: bề rộng diện chịu tải) trong ít nhất 1 lần bề rộng móng kể từ đáy móng. a. Tính lún dựa theo đường cong nén e = f(σ) * Gọi số lớp phân tố là n chiều dày mỗi lớp là h độ lún, i, mỗi lớp phân tố Si xác định theo iiviii oi i oi ioi i hmhe ah e eeS ... 11 1 σσ Δ=Δ+=+ −= * Độ lún của nền ∑= n iSS =i 1 lầ l t là hệ ố ỗ ủ đất ở iữ lớ hâ tốeoi, e1i: n ượ s r ng c a g a p p n thứ i trước khi có tải trọng CT và sau khi có tải trọng CT à á đị h t ê đ ờ é t ứ; eoi v e1i x c n r n ư ng cong n n ương ng với σ’oi và σ’1i = σ’oi + Δσi; ầ ấ ốσ’oi, σ’1i: l n lượt là ứng su t nén ở giữa lớp phân t thứ i trước khi có tải trọng và sau khi có tải trọng; a. Tính lún dựa theo đường cong nén e = f(σ) (tiếp) Δσ : ứng suất ở giữa lớp phân tố thứ i do tải trọng gây rai Δσi = ki.p; ố ấ ốki: hệ s ứng su t ở giữa lớp phân t thứ i: ki = f(α =l/b; zi/b) zi: độ sâu kể từ đáy móng đến giữa lớp phân tố thứ i; ố ố ấn: s lớp phân t dự báo lún l y sao cho: ∑= n in hH Hn: chiều dày vùng chịu nén của nền là chiều dày kể từ đáy móng =i 1 )(.5)( zzo σσ Δ≥đến độ sâu thỏa mãn điều kiện: Tra hệ số rỗng theo đường cong nén e = f(σ) e oie 1ie σ i σ 1i σo 3. Lún dưới móng công trình * Lún của móng CT thực chất là lún của nền đất dưới đáy móng. Khi tính lún của móng, ứng suất gây lún xuất hiện từ đáy móng trở đi → trục z thường được chọn từ đáy móng. Q ớ 0 ở ứ đá óuy ư c: z = m c y m ng - Ứng suất trước khi có CT: σo(z) = γtb.hm + f(z, γ(z)) → eo(z) = f(σo(z)) (tra theo đường cong nén); - Ứng suất sau khi có CT: σ1(z) = σo(z) + Δσgl(z) → e1(z) = f(σ1(z)) (tra theo đường cong nén); Δσ l(z) = k.p lg g γtb: trọng lượng riêng trung bình của đất từ đáy móng trở lên; hm: độ sâu đặt móng. a. Tính lún dựa theo đường cong nén e = f(σ) (tiếp) Δσi: ứng suất ở giữa lớp phân tố thứ i do tải trọng gây ra Δσi = ki.p; ki: hệ số ứng suất ở giữa lớp phân tố thứ i: ki = f(α =l/b; zi/b) z : độ sâu kể từ đáy móng đến giữa lớp phân tố thứ i;i n: số lớp phân tố dự báo lún lấy ∑= n hHsao cho: Hn: chiều dày vùng chịu nén của =i in 1 )(.5)( zz glo σσ Δ≥ nền là chiều dày kể từ đáy móng đến độ sâu thỏa mãn điều kiện: Biểu đồ ứng suất dưới đáy móng σzh1 γ1 (e,σ)1 0 σoi Δσgl-izi h γ i σ1i 2 2 (e,σ)2 Δσgl ( ) σ ze,σ 3 o Biểu đồ ứng suất dưới đáy móng h1 γ1 σz (e,σ)1 h γ zi σoi Δσgl-i i2 2 (e,σ)2 σ1i σ1 ( ) ze,σ 3 σo §4. Dự báo độ lún cuối cùng theo mô hình lớp tương đương * Mô hình lớp tương đương của Tsưtovich thực chất là sự kết hợp giữa mô hình nén lún một chiều và mô hình LTĐH. b b p p pσz σz σz hs 2hs z z z BT1 BT2 §4. Dự báo độ lún cuối cùng theo mô hình lớp tương đương (tiếp) * Đặc điểm của phương pháp: thay việc tính lún của nền ấ ộ ộ ềđ t dưới tác dụng của m t tải trọng cục b trong đi u kiện có biến dạng nở ngang bằng việc tính lún của nền ó ới á ủ ộ ải ù ờ ộđ dư t c dụng c a m t t trọng c ng cư ng đ p phân bố đều khắp bề mặt, làm cho nền đất lún theo điều iệ ủ ài á ộ iềk n c a b to n m t ch u . * Để kết quả tính lún BT2 phù hợp BT1 thì chiều dày lớp đất chịu lún dưới tải trọng phân bố đều khắp bề mặt không lấy bất kỳ mà phải có một giá trị nhất định. Lớp ấ ề ếđ t có chi u dày như th gọi là lớp tương đương có hs (htđ). * Các bước tính hs: ề- Dự báo lún BT1: tải trọng cục bộ cường độ p với chi u rộng diện chịu tải b (lún trong điều kiện có nở ngang) ωμ1 2 bS o− theo mô hình LTĐH: ..1 pEo = - Dự báo lún BT2: tải trọng cường độ p khắp bề mặt với lớp đất chịu nén có chiều dày h (lún trong điều kiệns không nở ngang) theo mô hình nén một chiều ⎤⎡ so svv E hphpmhmS . 1 21..)..( 2 2 ⎥⎦⎢⎣ −==Δ= μσ oo− μ * Các bước tính hs (tiếp) )1( 2μ− bAbh o o s ).(.21 ωωμ =−=- Cho S1 = S2→ hs: )()1( 2 o fA μμ =−= 21 ooμ− ω = f(μo; l/b; độ cứng của móng; điểm tính lún M) → Aω = f(μ ; l/b; độ cứng của móng; điểm tính lún M):o tra bảng. * Độ lú th ô hì h lớ t đ S hn eo m n p ương ương = mv.p. s * Các bước tính lún theo mô hình lớp tương đương - Xác định chiều sâu hs của lớp tương đương hs = (Aω)b. - Xác định hệ số nén thể tích m :v + Xác định ứng suất σo do trọng lượng bản thân đất gây ra ở giữa chiều sâu vùng chịu nén H (H = 2h khi biểun n s đồ phân bố ứng suất Δσgl theo chiều sâu có dạng gần một đường thẳng) σ = γ ho . s + Xác định ứng suất σ1 = γ.hs + p/2 + Từ σo, σ1 tra từ đường cong nén được eo, e1→ tính mv. - Từmv và hs tính độ lún S = mv.p.hs §5. Dự báo độ lún theo thời gian 1 D bá độ lú h hời i ủ ề đấ d ới CT. ự o n t eo t g an c a n n t ư * Độ lún tại một thời điểm bất kỳ t được dự báo bằng cách áp dụng gần đúng mô hình cố kết một chiều mở rộng coi biểu đồ phân bố ứng suất gây lún theo độ sâu có dạng tam giác: b b σzσzp p 2hs zz 1. Dự báo độ lún theo thời gian của nền đất dưới CT * Chiề dài đ ờ th át ớ à tố độ ố kết ủ ều ư ng o nư c v c c c a n n phụ thuộc vào điều kiện địa chất cụ thể mà áp dụng một t á đồrong c c sơ sau: - Sơ đồ a: Đỉnh của biểu đồ ứng suất nằm ở mặt không ấ ố ấ ềthoát nước, tính th m càng xu ng sâu càng bé: l y chi u dài đường thoát nước (chiều dài đường thấm) h = 2hs. ố ế ấ ồ ố ố ếĐộ c k t U(t) l y theo sơ đ mở rộng 2 với hệ s c k t tương đương Cvm = Cvi.hi/2hs. - Sơ đồ b: Đỉnh của biểu đồ ứng suất gây lún nằm ở lớp cát có tính thấm cao, nước sẽ thoát 2 chiều: chiều dài đường thoát nước h = h .s 1. Dự báo độ lún theo thời gian của nền đất dưới CT Sơ đồ a b b Sơ đồ b σz σz hs h = 2hs hs z z 1. Dự báo độ lún theo thời gian của nền đất dưới CT S đồ Lớ đất ó tí h thấ thấ ằ iữ 2 lớ ó- ơ c: p c n m p n m g a p c tính thấm cao, cố kết chỉ xảy ra ở lớp nằm giữa và được i h th át ớ 2 hiề hiề dài đ ờ th át ớco n ư o nư c c u: c u ư ng o nư c bằng 1/2 chiều dày lớp ở giữa: h = ho/2. ồ ể ồ ấ ằ- Sơ đ d: Đỉnh của bi u đ ứng su t gây lún n m trong tầng cứng không nén được thì lún chỉ xảy ra ở phần còn ầ ồ ấlại. Trường hợp t ng cứng đ ng thời không th m nước, cố kết xảy ra với chiều thoát nước lên trên, chiều dài ằ ề ấ ố ếđường thoát nước b ng chi u dày lớp đ t c k t; ngược lại: chiều dài đường thoát nước bằng 1/2 chiều dày lớp ấđ t. 1. Dự báo độ lún theo thời gian của nền đất dưới CT Sơ đồ c Sơ đồ d b b 2hsho 2hs zz CHƯƠNG 6: SỨC CHỊU TẢI CỦA NỀN §1. Khái niệm chung * Để CT làm việc bình thường phải đảm bảo cho chúng không làm việc ở trạng thái giới hạn (TTGH). CT đạt tới TTGH sẽ mất khả năng chịu tải (mất ổn định); hoặc có biến dạng khá lớn ảnh hưởng tới việc sử dụng CT một cách bình thường và an toàn có vết nứt vượt quá quy, định. * Vì CT đặ ê ề đấ ê khi đị h TTGH ủt tr n n n t n n quy n c a nền phải xuất phát từ yêu cầu không để xảy ra TTGH ủ CTc a . §1. Khái niệm chung (tiếp) TTGH ề ờ độ à ổ đị h bị i h khi ả- v cư ng v n n v p ạm x y ra một trong các hiện tượng sau: ố ấ ồ ấ ồ+ Một kh i đ t bị trượt tr i lên mặt đ t, đ ng thời móng bị đổ nghiêng→ nền mất ổn định; + Tuy nền đất chưa mất ổn định nhưng biến dạng quá lớn hoặc biến dạng không đều cũng làm cho CT không thể sử dụng bình thường hoặc có vết nứt quá lớn. → cần phải tính toán dự báo xác định được tải trọng giới hạn để không xảy ra các hiện tượng trên. * Sức chịu tải giới hạn của nền là khả năng tiếp nhận tải trọng từ CT của nền mà không gây ra hiện tượng mất ổn định chung cho nền và CT bên trên. §1. Khái niệm chung (tiếp) * Để tì hiể là iệ ủ ề đất d ới tá d ủm u sự m v c c a n n ư c ụng c a tải trọng và đánh giá khả năng tiếp nhận tải trọng của ề ời t dù TN bà é hiệ t ờ d ới tán n: ngư a ng n n n n rư ng ư c dụng tải trọng tăng dần cho đến khi nền bị phá hoại. ấ ấTùy vào tính ch t của đ t, độ cứng bàn nén và độ sâu thí nghiệmmà bàn nén có các hình thức phá hoại như sau: - Độ lún của bàn nén tăng liên tục với tốc độ không giảm; - Bàn nén bị lún nhiều (độ lún của bàn nén quá lớn); Hệ thống thí nghiệm bị mất ổn định: đất dưới đáy bàn- nén bị đẩy trồi vềmột phía theo một mặt trượt nào đó. Kết quả TN bàn nén hiện trường pgh p(kPa)p1 t 1 2 3 S S Quan hệ S = f(p) Q hệ S f(t) ới á iá t ị uan = v c c g r p khác nhau * Các giai đoạn làm việc của đất nền (theo Gherxevanov) Khi tải trọng dưới đáy móng nhỏ (p ≤ p ): quan hệ- 1 giữa độ lún và tải trọng là tuyến tính (k = const) (đồ thị S = f(p) là đường thẳng) → gọi là giai đoạn nén chặt (giai đoạn biến dạng tuyến tính) tải t iới h t ế tí h (tải t kết thú i ip1: rọng g ạn uy n n rọng c g a đoạn biến dạng tuyến tính của nền). - Khi tải trọng p1 < p < pgh: quan hệ giữa độ lún và tải trọng là phi tuyến (đồ thị S = f(p) là đường cong): dưới ấ ếmép móng xu t hiện vùng bi n dạng dẻo, p càng tăng thì vùng biến dạng dẻo càng lan rộng. Ở giai đoạn này đất ế ồti p tục bị nén chặt, đ ng thời xảy ra hiện tượng trượt cục bộ ở vùng biến dạng dẻo, gây ra biến dạng cắt theo ề ế ẳ ề ấchi u ngang→ tăng bi n dạng th ng đứng của n n đ t * Các giai đoạn làm việc của đất nền (tiếp) Khi tải trọng p bắt đầ ượt q á p thì đột nhiên độ- u v u gh lún tăng nhanh: các khu vực biến dạng dẻo lan rộng và ối liề ới h t ê ột kh ộ lớ t đón n v n au ạo n n m u vực r ng n rong đất đã bị phá hoại, đất bị trượt theo một mặt trượt và t ồi ài ề đất bị ất ổ đị h ( ất khả ă hịr ra ngo , n n m n n m n ng c u tải). Giai đoạn này xảy ra nhanh chóng, tải trọng không tă h độ lú ẫ tă → i là i i đ t ợt t ồing n ưng n v n ng gọ g a oạn rư r . * Tải trọng xuất hiện sự phá hoại nói trên coi là tải ề ổtrọng giới hạn v n định gọi là + Cường độ tải trọng giới hạn của nền; + Tải trọng giới hạn tác dụng lên nền; + Sức chịu tải giới hạn của nền p (p ) (gọi tắt là sứcgh u chịu tải của nền). Nê é hặm n n c t Vùng BD dẻo Mặt trượt * Tải trọng cho phép tác dụng lên nền [p] pTải t h hé tá d lê Fs p gh=][- rọng c o p p c ụng nnền ứng [p] với mức độ an toàn Fs - Kích thước đáy móng chọn sao cho: ế ế ptb ≤ [p] pmax≤ 1,2[p] ptb, pmax: tải trọng ti p xúc trung bình và tải trọng ti p xúc lớn nhất ở đáy móng. * Các phương pháp xác định sức chịu tải của nền - Phương pháp CBGH: ứng dụng rộng rãi cho môi trường rời nền đồng nhất, mặt đất nằm ngang; - Phương pháp giả định mặt trượt: đánh giá mức độ ổn định thông qua dạng một mặt trượt nào đó giả định trước. §2. Xác định SCT giới hạn pgh theo phương pháp CBGH I. Điều kiện CBGH của một điểm ề ấ ấ ổ ấN n đ t bị m t n định là do cường độ của đ t đã bị phá hoại (mất khả năng chống cắt). * Khảo sát TTƯS tại M trong bài toán phẳng sau: x p - TTƯS tại M = f(p γ M) , , . M( ) σ τ x, z αz I. Điều kiện CBGH của một điểm (tiếp) - Theo thuyết bền Mohr – Coulom: Điều kiện bền được thiết lập trên cơ sở so sánh ứng suất cắt và sức chống cắt trên cùng một mặt phẳng nào đó: + Trạng thái cân bằng bền khi: τ < s; + Trạng thái CBGH khi: τ = s = σ.tgϕ + c (1) σ, τ: ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên một mặt phẳng nào đó qua M; ϕ, c: đặc trưng chống cắt của đất. - Có vô số mặt phẳng qua M → giá trị các cặp ứng suất (σ, τ) khác nhau → Điều kiện CBGH có thể xuất hiện ở mặt phẳng này nhưng không xuất hiện ở mặt phẳng khác → điểm M đạt trạng thái CBGH khi chỉ cần có một mặt phẳng nào đó qua M thỏa mãn điều kiện (1). * Tương quan đồ thị biểu diễn TT CBGH của 1 điểm τ ể ổĐi m M: ở TT n định c σ ϕ ểϕσ tgc = Đi m M: ở TT CBGH - Điểm M ở trạng thái ổn định khi đồ thị τ = f(σ) nằm thấ hơ đồ thị f( )p n s = σ ; - ĐiểmM ở trạng thái CBGH khi 2 đồ thị τ = f(σ) và s = ếf(σ) ti p xúc với nhau. * Điều kiện CBGH của đất dưới các dạng khác nhau Đất ờia. r - Giả sử điểm M ở TT CBGH: vòng tròn Mohr ứng suất tiế ú ới đ ờ ứ hố ắt C l bp x c v ư ng s c c ng c ou om . τ A ϕ B(σα, τα) θ σC0 σ3 σ1H Dα a. Đất rời (tiếp) Mỗi điể t ê ò t ò M h biể diễ ứ ất t ê- m r n v ng r n o r u n ng su r n một mặt phẳng nào đó qua M. ế ẳ+ N u mặt ph ng α qua M không phải là mặt trượt thì điểm đó nằm thấp hơn đường sức chống cắt (điểm B). + Nếu mặt phẳng α qua M là mặt trượt thì điểm đó là điểm tiếp xúc giữa vòng tròn Mohr ứng suất với đường sức chống cắt (điểm A). θ: góc nghiêng giữa ứng suất toàn phần so với phương pháp tuyến của mặt phẳng đang xét qua điểm M (góc lệch ứng suất). θτα tgHBBOtgH ===ˆ σαOH a. Đất rời (tiếp) → các điểm trên vòng tròn Mohr ứng suất ứng với các mặt phẳng không phải là mặt trượt có góc lệch θ < ϕ. Khi B ≡ A thì mặt phẳng α trở thành mặt trượt→ góc- lệch ứng suất đạt giá trị cực đại θmax. 31 maxsin σσθ −== OC AC 31 σσ + → điểmM sẽ ở TT CBGH khi θ = ϕmax . - Điều kiện CBGH Mohr – Rankine tại một điểm có dạng 31 max )sin(sin σσθϕ −== 31 σσ + a. Đất rời (tiếp) Trường hợp tổng quát điều kiện CBGH còn biểu diễn, dưới dạng khác trong đó các ứng suất chính σ1, σ3, được thay bằng các ứng suất thành phần σ σ τ :x, z, xz 22 4)(1)(13,1 22 xzzxzx τσσσσσ +−±−= ề ể 22 4)( Vậy, đi u kiện CBGH tại một đi m có dạng 2max 22 )( )sin(sin xzzx σσ τσσθϕ + +−== zx b. Đất dính Giả sử điểmM ở TT CBGH- . τ A ϕ θ B(σα, τα) 0’ σC ϕσ tg c c = σ3 σ10 AC σσθ cCO 2'sin 31 max −== ϕσσ tg31 ++ b. Đất dính (tiếp) - Điều kiện CBGH Mohr – Rankine tại một điểm có dạng σσ − σσ θϕ c2)sin(sin 31max ++ == ϕtg31 hoặc: 22 max 22 2 4)()sin(sin τσσθϕ c xzzx +−== 2)( ϕσσ tgzx ++ * Lưu ý: ứng suất tại một điểm trong đất là tổng hợp ứng suất do trọng lượng bản thân đất và ứng suất do tải trọng ngoài: σ = σo + Δσ II. Hệ phương trình VP CBGH của nền Khảo sát TT CBGH tại phân tố tách ra lân cận điểm M(x,z) trong nền đất dưới bài toán phẳng: b xzz τσ ∂+∂ p zxz γ=∂∂ z xzx γτσ =∂ ∂+∂ ∂ zx II. Hệ phương trình VP CBGH của nền (tiếp) Viết PT CB th 2 h t ó liê hệ i hâ- eo p ương x, z a c n v p n τσ ∂∂τσ ∂∂ z xzx zx γ=∂+∂z xzz xz γ=∂+∂ - γx, γz: lực thể tích có trong phân tố. 0 (t ừ t ờ h t ề ó dò thấ+ γx = r rư ng ợp rong n n c ng m, γx chính là áp lực dòng thấm theo phương ngang); ấ+ γz chính là trọng lượng riêng của đ t - Nếu TTƯS tại M thỏa mãn điều kiện CBGH thì các thành phần ứng suất tại đó cũng thỏa mãn điều kiện CBGHMohr – Rankine. → Ta có hệ PT VPCBGH Koetter (1903) II. Hệ phương trình VP CBGH của nền (tiếp) Hệ PT VP CBGH K tt (1903)oe er τσ ∂∂ z xzz xz γ=∂+∂ z xzx γτσ =∂ ∂+∂ ∂ zx 22 22 4)( τσσ +− 2 max )2( sinsin σσ θϕ c xzzx ++ == ϕtgzx - Giải hệ theo p chính là tải trọng giới hạn của nền pgh. III. Lời giải của Prandtl cho trường hợp γ = 0 * Giả sử tải trọng tác dụng ở độ sâu h là tải trọng giớim hạn của nền pgh: b pgh hm b pgh q = γ.hmq IIIIII α1α2α2α1 A A’ DD’ I IIII ro r CC’ B III. Lời giải của Prandtl cho trường hợp γ = 0 * Giả thiết: - Trọng lượng riêng dưới đáy móng γ = 0; - Tất cả các điểm thuộc khối ABCDA thỏa mãn điều kiện CBGH. Mặt trượt ABCD là mặt trượt cuối cùng; - Khối lăng thể trượt ABCD chia làm 3 vùng: + Vùng CB chủ động (khu vực I); + Vùng CB bị động (khu vực III); ể ế+ Vùng chuy n ti p (khu vực II); III. Lời giải của Prandtl cho trường hợp γ = 0 * Sứ hị tải iới h á đị h thc c u g ạn x c n eo ϕ ϕπ cc tg+⎟⎟⎞⎜⎜⎛ + sin1 ϕϕϕ tgetgqpgh −−⎠⎝= . sin1 ϕ, c: đặc trưng chống cắt của đất; q: phụ tải 2 bên phạm vi đặt tải trọng giới hạn (tải trọng thay thế cho đất từ độ sâu đặt tải trở lên), q = γ.hm ⎫⎧ ⎭⎬⎩⎨ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+++= 1 sin1 sin11 sin1 sin1 .. ϕπϕπ ϕ ϕ ϕϕ ϕ tgtg gh etg ceqp −− hay: p = N q + N cgh q. c. Nq, Nc: hệ số sức chịu tải = f(ϕ). IV. Lời giải của Terzaghi * Terzaghi thay góc giới hạn chủ động α2 bằng góc ϕ b pgh q = γ.hmq AD’ A’ D I IIIIII II ro α1ϕα1 ϕ II rC’ B C * Giả thiết: đất trong phạm vi CBGH là cố thể, điều kiện CBGH xảy ra trên biên. IV. Lời giải của Terzaghi (tiếp) * Sứ hị tải iới h á đị h th ô thứ NNbN1 ++ c c u g ạn x c n eo c ng c cqp cqgh ....2 = γγ q: tải trọng tương đương của đất trên đáy móng (phụ tải): q = γtb.hm; γtb: trọng lượng riêng trung bình của đất từ đáy móng trở lên; γ: trọng lượng riêng của đất dưới đáy móng; N N N hệ ố ứ hị ải f( )γ, q, c: s s c c u t = ϕ ; ϕ, c: góc ma sát trong và lực dính đơn vị của đất dưới đáy móng; IV. Lời giải của Terzaghi (tiếp) * Bài t á khô i NNbN1 ++ o n ng g an cqp cqgh ......2 321 ααγα γ= Móng tròn: α1 = 1,2; α2 = 1; α3 = 1,3; Móng vuông: α1 = 0,8; α2 = 1; α3 = 1,3; Móng chữ nhật: α α α : hệ số hiệu chỉnh hình dạng móng = f(α) b2020 b2020 1, 2, 3 . l ,1,11 −=−= αα l ,1,13 +=+= αα 12 =α §3. Đánh giá ổn định của nền theo mặt trượt có hình dạng giả định * Hình dạng mặt trượt đa dạng phụ thuộc vào cấu trúc đị tầa ng. - Nếu cấu trúc địa tầng có các lớp đất khác hẳn nhau về ố ắ ẳ ố ếđặc trưng ch ng c t, mặt trượt là các mặt ph ng n i ti p nhau hoặc các mặt phẳng nối tiếp mặt cong. - Nếu đặc trưng chống cắt các lớp đất khác nhau không đáng kể thì mặt trượt có dạng mặt cong. §4. Ổn định mái đất (mái dốc – taluy) ấ ầ ề ấ* Mái đ t là ph n n n đ t có mặt giới hạn là mặt nghiêng. Vai Mặt đỉnh mái H Mái đất Chân mái Mặt trượt β H: chiều cao mái đất; β: góc mái. §4. Ổn định mái đất (mái dốc) ấ* Mái đ t (taluy) được hình thành từ tự nhiên hoặc nhân tạo. * Việc đánh giá ổn định của mái đất rất quan trọng và được nghiên cứu tương đối nhiều. Phương pháp đánh giá được dùng rộng rãi là phương pháp mặt trượt trụ tròn tương tự như trong đánh giá ổn định CT ở §3. Trong một số trường hợp đặc biệt có thể dung một vài phương pháp đánh giá đơn giản như sau. I. Ổn định mái đất rời * Giữa các hạt đất rời không có lực dính kết → ổn định mái đất rời được quyết định bởi sự ổn định của các hạt đất trên mặt mái - Khảo sát ổn định của một phân tố đất rời nằm trên HN dxdymặt mái QT στ β Hệ ố t à ủ hâ tố- s an o n c a p n ϕϕβϕσ tgtgQtgsFs ==== .cos. ββττ tgQ sin. I. Ổn định mái đất rời (tiếp) ố* Nhận xét: Hệ s an toàn Fs = f(ϕ, β), không phụ thuộc chiều cao mái H. - CBGH (ứng với Fs = 1) xảy ra khi β = ϕ. Góc mái trong trường hợp này gọi là “góc nghỉ” của cát. ế ấ ấ ệ* N u có dòng th m dọc theo mái (xu t hi n sau mưa)→ cần xét đến ảnh hưởng của áp lực dòng thấm. B- Độ dốc của đường mặt nước biểu thị gradient thủy lực của dòng thấm tại điểm đang xét (KA: có Kđộ dốc lớn nhất). i = sinβ A I. Ổn định mái đất rời (tiếp) L đẩ ủ á l dò thấ- ực y c a p ực ng m: T* = γđn.dF.sinβ + i.γo.dF = dF.sinβ(γđn + γo) - Ứng suất tại điểm đang xét xác định theo τ = T*/dx = dy.sinβ(γđ + γ )n o - Hệ số an toàn Fs có dạng β ϕ β ϕγ β ϕγ t tgk t tg t tgFs đnđn ==+= γγγ ggg bhođn k: hệ số ảnh hưởng của dòng thấm, do k < 1 → sự xuất hiện của dòng thấm làm giảm hệ số an toàn của mái đất rời. II. Ổn định mái đất dính thuần túy II 1 Ổn định với giả thiết mặt trượt phẳng. . * Giả thiết: mặt trượt phẳng có góc nghiêng ω so với phương nằm ngang - Hệ số an toàn được thiết ế Clập trên cơ sở giả thi t sự phân bố đều sức kháng cắt B huy động được trên toàn bộ mặt trượt BC. H cu M trượt - Tổng lực chống trượt: ω . phẳng mm s HsBCS ωsin. == A II.1. Ổn định với giả thiết mặt trượt phẳng (tiếp) Tổ l hố t t- ng ực c ng rượ : 1 2 ⎞⎛ H sin.).sin( sinsin2 sin. ωγωβωβω −⎟⎟⎠⎜ ⎜ ⎝ ==QT 1 . 2 ⎟⎞⎜⎛ H .).sin( sin2 γωββ −⎟⎠⎜⎝=T - Cho S = T xác định được độ bền cắt huy động được sm: )(sin).sin( ωωωβγ fHs =−= sin2 βm CHƯƠNG 7: ÁP LỰC ĐẤT LÊN TƯƠNG CHẮN §1. Khái niệm chung I. Khái niệm về tường chắn Phân theo độ cứng → quan trọng→3 loại: a. Tường cứng, hoặc trọng lực: ổ ếNó giữ được trạng thái n định chủ y u nhờ vào trọng lượng bản thân, Vật liệu: gạch, đá, bê tông, bê tông cốt thép... b. Tường cọc ván, tường mềm: Dễ bị biến dạng trong quá trình sử dụng, nó giữ được trạng thái ổn định nhờ cắm sâu vào nền đất, có khi có cả neo. Vật liệu: Cọc ván bằng gỗ, bê tông, kim loại đóng xít nhau tạo thành. c Tường mỏng tường bán trọng lực:. , Nó giữ được trạng thái ổn định nhờ: trọng lượng bản thân + trọng lượng đất trên bản đáy. Vậ l ệ Bê ô ố hét i u: t ng c t t p. §2. Xác định áp lực đất lên tường chắn theo phương pháp CBGH (phương pháp Rankine) * Khảo sát TH tường chắn thẳng đứng dùng chắn giữ khối đất rời nằm ngang σzz Đất rời σ x §2. Xác định áp lực đất lên tường chắn theo phương pháp CBGH (tiếp) * Áp lực đất lên tường chắn ở độ sâu bất kỳ có thể biểu diễn qua ứng suất nén theo phương đứng σz: σ = Kσ (1)x z K: hệ số áp lực đất, K = f(chuyển vị tương đối giữa đất và tường Δ loại đất trạng thái của đất ma sát giữa đất, , , và tường). Ứ ất é th h đứng su n n eo p ương ng: σz = σ1 = γ.z §2. Xác định áp lực đất lên tường chắn theo phương pháp CBGH (phương pháp Rankine) Đồ thị (τ - σ) biểu diễn TTƯS tại điểmM s τf Đường MbĐường Mc Đường Mt σ3b σσ3 σ3t σ1C0 c I. Xác định áp lực đất chủ động * Thực tế ta thường gặp áp lực đất chủ động Do đó việc. , nghiên cứu áp lực đất chủ động được quan tâm nhiều. 1 Xác định áp lực đất chủ động cho đất rời. * Khi tường dịch chuyển ra ngoài khối đất, đất sau tường bị giãn ra ứng suất chính giảm dần trong khi, σ3σ1 không đổi. Đường TTƯS chuyển về phía trái đến vị trí giới hạn M ứng với sự CBGH chủ động Ứng suấtc . chính σ3 chính là cường độ áp lực đất chủ động lên tường chắn: σx = σ3 = tg2(45° - ϕ/2).σ1 (2) σ = σ1 = γ zz . Thay vào (2) ta có: px ≡ σx = Kc.σz = Kc.γ.z p : cường độ áp lực đất lên tường tại độ sâu zx . Kc: hệ số áp lực chủ động của đất, Kc = tg2(45° - ϕ/2). 1. Xác định áp lực đất chủ động cho đất rời (tiếp) ể ồ* Bi u đ cường độ áp lực lên tường: px 2H/3 H H/3 Ec z pmax = Kc.γ.H * Áp lực đất chủ động E tác dụng trên 1m dài tường:c 211 HKHpE γ== max ..2.2 cc 2. Xác định áp lực đất chủ động cho đất dính * Cường độ áp lực đất chủ động: KczKKcKp 2..2. −=−= γσ ccczcx * Biể đồ ờ độ á l lê t ờu cư ng p ực n ư ng: px po Hc E 2(H-Hc)/3H c (H-Hc)/3 pH z II. Xác định áp lực đất bị động 1 Xác định áp lực đất bị động cho đất rời. * Khi tường dịch chuyển vào trong khối đất, đất sau ấ ầtường bị nén chặt lại, ứng su t chính σ3 tăng d n trong khi σ1 không đổi. Đường TTƯS chuyển về phía phải đến Ứ ấvị trí giới hạn Mb ứng với sự CBGH bị động. ng su t chính σ3 chính là cường độ áp lực đất bị động lên tường ắch n: σx = σ3 = tg2(45° + ϕ/2).σ1 (3) σz = σ1 = γ.z Thay vào (2) ta có: p ≡ σ = K σ = K γ zx x b. z b. . px: cường độ áp lực đất lên tường tại độ sâu z. ố ấ 2Kb: hệ s áp lực bị động của đ t, Kb = tg (45° + ϕ/2). 1. Xác định áp lực đất bị động cho đất rời (tiếp) ể ồ* Bi u đ cường độ áp lực lên tường: px 2H/3 H H/3 Eb z pmax = Kb.γ.H * Áp lực đất bị động Eb tác dụng trên 1m dài tường: 211 HKHpE bb γ== max ..2.2 2. Xác định áp lực đất bị động cho đất dính * Cường độ áp lực đất bị động: bbbb KczKKcKp 2..2. +=+= γσ zx * Biểu đồ cường độ áp lực lên tường: pxpo Eb H pH z §3. Xác định áp lực đất lên tường chắn theo phương pháp giả định mặt trượt Coulomb I. Xác định áp lực đất chủ động * Khảo sát tường chắn như hình vẽ * Giả thiết C - Đất sau lưng tường ở Atrạng thái CBGH; - Mặt trượt nguy hiểm α ϕ Q hình thành trong đất là mặt phẳng BC ứng với δ R áp lực đất lớn nhất. - Lăng thể trượt ABC ω Ec là một khối cứng B I. Xác định áp lực đất chủ động (tiếp) ể ổ ấI.1. Bi u thức t ng quát xác định áp lực đ t chủ động E - Lăng thể trượt ABC cân bằng giới hạn dưới R R c α1 tác dụng của các lực Q (trọng lượng bản thân α2 đất), Ec và R. E và R nghiêng với α2 - c phương pháp tuyến của mặt trượt các góc lần Q Ec α1 Q c BC lượt là δ (ma sát ngoài) và ϕ (ma sát trong) . Đất rời Đất dính. α1 = 90° - δ - α α2 = ω - ϕ I.1. Biểu thức tổng quát xác định áp lực đất chủ động (tiếp) * Từ đa giác lực ta xác định áp lực đất lên tường chắn ểtheo bi u thức lượng của tam giác )sin(sin ϕωα )( )sin()(180sin[ 121 2 ωαϕωαα fQQEc =+− −=+−°= Q: trọng lượng khối trượt (diện tích tam giác cong*); ằDo α1 = 90° - δ - α = const, b ng cách giả định mặt trượt với các góc ω khác nhau ta tìm Ec sao cho thỏa mãn giả ế ểthi t thứ 2 của Coulomb đ có Ecmax. * Với đất dính, ta phải đưa thêm vào đa giác lực thành phần lực dính giữa đất với tường và đất với đất. I.3. TH đất sau tường có bề mặt phẳng * T TH à t ó thể á đị h đ t lrong n y, a c x c n ược rọng ượng khối trượt Q. C D A β α ϕQ α δH Ec ω δ B I.3. TH đất sau tường có bề mặt phẳng (tiếp) * T l khối t t Q á đị h thrọng ượng rượ x c n eo )90i (11 β+°ACABCDABQ )90sin()90sin(1 ωαβα +°+° s n... 2 .. 2 αγγ −== )sin(.cos .. 2 2 βωαγ − −−= HQ * Thay Q vào biểu thức tổng quát xác định Ec, ta có: )sin( )sin( )sin(cos )90sin().90sin(. 2 1 2 2 αϕω ϕω βωα ωαβαγ + −−+°−+°= HEc )(*1 2 ωϕδβαFHE . 1−− ,,,,. 2 γc = I.3. TH đất sau tường có bề mặt phẳng (tiếp) * Giải PT )( ωϕδβαdF 0,,,, =ωd 1 2.. 2 HKE cc γ=ta tìm được góc ω* để có Ecmax: Kc = F(ω*) chính là hệ số áp lực đất chủ động 2 2 )sin()sin( )(cos ⎤⎡ + −= βϕδϕ αϕ cK 2 )cos().cos( .1)cos(.cos ⎥⎦⎢⎣ −+ −++ αβδαδαα - TH đặc biệt: lưng tường thẳng đứng α = 0, mặt đất sau tường nằm ngang β = 0 tường nhẵn δ = 0 (bỏ qua ma, sát giữa đất và tường thì Kc = tg2(45° - ϕ/2). I.4. Biểu đồ cường độ áp lực đất C ờ độ á l đất ( ) t i độ â- ư ng p ực px z ạ s u z: px(z) = Kc.σz = Kc.γ.z ẳ- Do lưng tường nghiêng với phương th ng đứng α, áp lực đất nghiêng so với phương pháp tuyến của lưng tườ ó δ ườ độ á lự đất thự tế t i độ âng g c , c ng p c c ạ s u z: p’x(z) = px(z).cosα = Kc.γ.z.cosα ế ố ấ- Thực t tính toán, coi sự phân b áp lực đ t dọc theo tường chắn bằng biểu đồ giá trị cường độ theo độ sâu (biểu đồ cường độ áp lực đất quy ước) Giá trị của E. c chính là diện tích của biểu đồ phân bố px: 11 2 max ..2 . 2 HKHpE cc γ== ể ằ ể ồ- Đi m đặt Ec n m trên đường trọng tâm bi u đ , nghiêng so với phương pháp tuyến lưng tường góc δ. I.4. Biểu đồ cường độ áp lực đất (tiếp) β E E EH α c c c δ δ δ z a) b) ) Biể đồ ờ độ á l đất th tếa u cư ng p ực ực . b) Biểu đồ cường độ áp lực đất quy ước. II. Xác định áp lực đất bị động * Khảo sát tường chắn như hình vẽ * Giả thiết C - Đất sau lưng tường ở trạng thái CBGH; A - Mặt trượt nguy hiểm hình thành trong đất α R Q là mặt phẳng BC ứng với áp lực đất nhỏ Eb δ ϕ nhất. Lă thể t t ABC ω B- ng rượ là một khối cứng II. Xác định áp lực đất bị động (tiếp) ể ổ ấII.1. Bi u thức t ng quát xác định áp lực đ t bị động - Lăng thể trượt ABC cân bằng giới hạn dưới tác dụng của các lực Q (trọng lượng bản thân EbR α1 đất), Eb và R. E và R nghiêng với Qα2 - b phương pháp tuyến của mặt trượt các góc lần α1 = 90° + δ - α α2 = ω + ϕ lượt là δ (ma sát ngoài) và ϕ (ma sát trong). II.1. Biểu thức tổng quát xác định áp lực đất bị động (tiếp) * Từ đa giác lực ta xác định áp lực đất lên tường chắn ểtheo bi u thức lượng của tam giác )sin(sin ϕωα + )( )sin()(180sin[ 121 2 ωαϕωαα fQQEb =++=+−°= Q: trọng lượng khối trượt (diện tích tam giác cong*); ằDo α1 = 90° + δ - α = const, b ng cách giả định mặt trượt với các góc ω khác nhau ta tìm Eb sao cho thỏa mãn giả ế ểthi t thứ 2 của Coulomb đ có Ebmin.