Đại số 10 - Mệnh đề và tập hợp - Phan Nhật Nam

DANAMATH www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang ĐẠI SỐ 10 GV:Phan Nhật Nam MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com I.Cơ sở lý thuyết : 1. Mệnh đề •Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. •Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. Các ví dụ minh họa: a. “ 2 là một số hữu tỷ ” là một mệnh đề sai. b. “ 2 1 0n + > “ là một mệnh đề đúng. c. “π là số vô tỷ “ là mệnh đề đúng d. “ hôm nay trời đệp quá “ Không phải là mệnh đề. e. “ Môn toán thật là dễ “ không phải là mệnh đề. 2. Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P. • Mệnh đề "Không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P kí hiệu là P •Nếu P đúng thì P sai và ngược lại nếu P sai thì P đúng. Các ví dụ minh họa: a. P = “ 2 là một số hữu tỷ ” và P = “ 2 Không phải là một số hữu tỷ ” Ta có P là mệnh đề phủ định của P (và ngược lại P là mệnh đề phủ định của P ) Khi đó P là mệnh đề sai và P là mệnh đề đúng. b. “ 2 1 0n + > “ có mệnh đề phủ định là “ 2 1 0n + ≤ “ c. Mênh đề “Một năm có tối đa 53 ngay chủ nhật” có mệnh đề phủ định là “Một năm có tối thiểu 54 ngay chủ nhật” 3.Mệnh đề kéo theo Cho hai mệnh đề P và Q. • Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q. •Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. MỆNH ĐỀ CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q. Khi đó: + P là giả thiết, Q là kết luận; + P là điều kiện đủ để có Q; + Q là điều kiện cần để có P. Nếu P ⇒ Q là một mệnh đề đúng thì nó được xem như là một định lý, Khi đó nếu mệnh đề Q ⇒ P cũng đúng thì Q ⇒ P là định lý đảo của nó của định lý P ⇒ Q Ví dụ: “Nếu ABC∆ là tam giác vuông tại A thì 2 2 2AB AC BC+ = ” là định lý Pitago ”Nếu ABC∆ có 2 2 2AB AC BC+ = thì ABC∆ vuông tại A”là định lý PItago đảo Các ví dụ minh họa: a. “ Nếu hôm nay trời không mưa thì tôi đi học” Hoặc có thể phát biểu : “Trời không mưa là điều kiện đủ để tôi đi học” Cũng có thể phát biểu : “Tôi đi học là điều kiện cần để trời không mưa” b. “Nếu x chia hết cho 4 thì x là số chẵn” Hoặc có thể phát biểu :“ x chia hết cho 4 là điều kiện đủ đê x là số chẵn” Cũng có thể phát biểu :“ x là số chẵn là điều kiện cần để x chia hết cho 4” c. “Nếu tam giác có 2 đường phân giác trong bằng nhau thìnó là tam giác cân” Hoặc có thể phát biểu : “Tam giác có hai đường phân giác trong bằng nhau làđiều kiện đủ để tam giác đó là một tam giác cân” Cũng có thể phát biểu : “ Tam giác cân là để nó có hai đường phân giác trong bằng nhau” d. “Nếu 1 = 3 thì 1 > 2 “ Hoặc “Điều kiện đủ để 1 > 2 là 1 = 3” Hoặc “Điều kiện cần để 1 = 3 là 1 > 2” e. ”Nếu n là số tự nhiên lẻ thì 2 1n − chia hết cho 8” Hoặc “Điều kiện đủ để 2 1n − chia hết cho 8 là n là số tự nhiên lẻ” Hoặc “Điều kiện cần để n là số tự nhiên lẻ là 2 1n − chia hết cho 8” f. “Nếu 2 0ax bx c+ + = có 2 0 4 0 a b ac ≠  − > thì phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt” “Điều kiện đủ để 2 0ax bx c+ + = có 2 nghiệm phân biệt là 2 0 4 0 a b ac ≠  − > ” ”Điều kiện cần để 2 0ax bx c+ + = có 2 0 4 0 a b ac ≠  − > là PT đó có 2 nghiêm phân biêt” MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com 4. Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q. Các ví dụ minh họa: a. “Nếu 5x > thì 2 25x ≥ ” có mệnh đề đảo là “Nếu 2 25x ≥ thì 5x > ” b. “Nếu 2 0ax bx c+ + = có 2 0 4 0 a b ac ≠  − > thì phương trình đó có hai nghiệm phân biệt” Có mệnh đề đảo là: “Nếu 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm phân biệt thì 2 0 4 0 a b ac ≠  − > ” c. “Nếuhai tam giác bằng nhauthì diện tích của chúng bằng nhau “ Có mệnh đề đảo là : “Nếuhai tam giác có diện tích bằng nhauthìhai tam giác đó bằng nhau “ 5. Mệnh đề tương đương Cho hai mệnh đề P và Q. • Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là mệnh đề tương đương kí hiệu : P ⇔ Q. •Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả 2 mệnh để P ⇒Q và Q ⇒ P đều đúng. (tức là P và Q cùng đúng hoặc cùng sai) Chú ý: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q. Các ví dụ minh họa: a. “ 1 3 1 2= ⇔ > “ là một mệnh đề tương đương đúng Cách phát biểu khác: “ 1 3= khi và chỉ khi1 2> “ hoặc: “1 3= nếu và chỉ nếu1 2> ” b. “hai tam giác bằng nhau nếu và chỉ nếudiện tích của chúng bằng nhau” là mộ mệnh đề tương đương sai : Vì có những cặp tam giác có diện tích bằng nhau nhưng hai tam giác đó lại không bằng nhau. Như ở hình bên ta thấy: ABC DBCS S= nhưng hai tam giác ABC∆ và DBC∆ không bằng nhau. Nếu phát biểu lại mệnh đề trên bằng hai mệnh đề kéo theo ta sẽ thấy rỏ hơn: “Nếuhai tam giác bằng nhauthì diện tích của chúng bằng nhau “ (đúng) “Nếuhai tam giác có diện tích bằng nhauthìchúng bằng nhau “ (sai) c. “Tam giác có 2 đường phân giác trong bằng nhau khi và chỉ khi tam giác đó là tam giác cân”là một mệnh đề tương đương đúng Hoặc “Tam giác có 2 đường phân giác trong bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác đó là tam giác cân” A B C D MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com Hoặc “Tam giác có 2 đường phân giác trong bằng nhau là điều kiện cần và đủ để tam giác đó là tam giác cân” 6. Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề. (tức là mệnh đề chứa biến bản thân nó chưa phải là mệnh đề) Các ví dụ minh họa: a. 2( ) : " 1P x x + là số chẵn " là mệnh đề chứa biến 2(1) : "1 1P + là số chẵn " là mênh đề (và nó là mệnh đề đùng) 2(2) : " 2 1P + là số chẵn " là mênh đề (và nó là mệnh đề sai) b. 2( ) : " "P x x x≥ là một mệnh để chứa biến 2(2) : "2 2"P ≥ là một mệnh đề đúng 2(1) : "1 1"P ≥ là một mệnh đề đúng 21 1 1: " " 2 2 2 P     ≥        là một mệnh đề sai c. 3( ) : " 2 0"P x x x− = là mệnh đề chứa biến 3(1) : "1 2.1 0"P − = là một mệnh đề sai 3 ( ) : " 2 2. 2 0"P x − = là một mệnh đề đúng. 7. Lượng hóa mệnh đề chứa biến: sử dụng các kí hiệu ∀ và ∃ để biến mệnh đề chứa biến thành mênh đề Trong đó: ∀ : với mọi và ∃ : tồn tại (có) • "∀x∈ X, P(x)" : với mọi x ∈ X thì P(x) • "∃x∈ X, P(x)" : tồn tại x ∈ X sao cho P(x) {hoặc có giá trị x ∈ X sao cho P(x)} • Mệnh đề phủ định của mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" là "∃x ∈ X, P(x)". • Mệnh đề phủ định của mệnh đề "∃x ∈ X, P(x)" là "∀x ∈ X, P(x)". Chú ý : + Để chứng minh mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" sai ta chỉ cần chỉ ra một giá trị 0x X∈ để 0( )P x là mệnh đề sai + Để chứng minh mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" đúng ta cần chúng minh mệnh đề chứa biến P(x) đúng với bất kỳ giá trị nào của tập X (thông thường ta dùng phương pháp chứng minh phản chứng) + Để chứng minh mệnh đề "∃x ∈ X, P(x)" đúng ta chỉ cần chỉ ra một giá trị 0x X∈ để 0( )P x là mệnh đề đúng + Để chứng minh mệnh đề "∃x ∈ X, P(x)" sai ta cần chúng minh mệnh đề chứa biến P(x) Sai với bất kỳ giá trị nào của tập X MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com Các ví dụ minh họa: a. P : “ 2,x R x x∀ ∈ > “ . P là một mệnh đề sai (dễ thấy 1 2 x = thì 2x x> sai) P có mệnh đề phủ định là 2: " , "P x R x x∃ ∈ ≤ .khi đó P là mệnh đề đúng b. 2 2:" , , 2 "P x y R x y xy∀ ∈ + ≥ . P là một mệnh đề đúng (vì ( )2 0x y− ≥ luôn đúng) P có mệnh đề phủ định là 2 2:" , , 2 "P x y R x y xy∃ ∈ + < . Khi đó P là mệnh đề sai c. 2: " , 1 7"P n N n n∃ ∈ + +  . P là một mệnh đề đúng (vì n = 2 thì 22 2 1 7 7+ + =  ) P có mệnh đề phủ định là 2: " , 1P n N n n∃ ∈ + + không chia hết cho 7". P là mệnh đề sai d. :" *, (1 2 3 ... )P n N n∀ ∈ + + + + không chia hết cho 11" P có mệnh đề phủ định là :" *, (1 2 3 ... ) 11"P n N n∀ ∈ + + + +  Dễ thấy P là mệnh đề sai vì khi xét n = 11 ta có: (1 11)111 2 3 ... 1 2 3 ... 11 66 11 2 n ++ + + + = + + + + = =  8. Phép chứng minh phản chứng Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B. Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng. Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng. Các ví dụ minh họa: a. Chứng minh định lý : “ Nếu n là số tự nhiên thì 3n n− chia hết cho 3” Giải: Giả sử n là số tự nhiên khi đó ta có thể biểu diển n như sau: 3n k= ( n chia hết cho 3) hoặc 3 1n k= ± ( n chia 3 dư 1 , thiếu 1) trong đó k N∈ TH1: Xét 3n k= khi đó ta có: ( )33 33 3 3(9 ) 3n n k k k k− = − = −  đúng vì 39k N k k N∈ ⇒ + ∈ TH2: Xét 3 1n k= ± khi đó ta có: ( ) ( )33 3 2 3 23 1 3 1 27 27 9 1 (3 1) 3(9 9 3 ) 3n n k k k k k k k k k− = ± − ± = ± + ± − ± = ± +  đúng Từ đó ta có: “ Nếu n là số tự nhiên thì 3n n− chia hết cho 3” là mệnh đề đúng. MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com b. Chứng minh mệnh đề : “ 5 là số vô tỷ” Giải: Trước tiên ta chứng minh bổ đề: với ,m n Z∀ ∈ ta đều có 2 2 55 5 m m n n  = ⇒     Xét mệnh đề 2 25 5m n m= ⇒  . Ta chứng minh nó bằng phản chứng: Giả sử m không chia hết cho 5 khi đó 5 1m k= ± hoặc 5 2m k= ± (với k Z∈ ) Với ( )2 2 25 1 5 5 2 1 5 ,m k m k k n n Z= ± ⇒ = ± + ≠ ∀ ∈ (mâu thuẩn) Với ( )2 2 25 2 5 5 4 4 5 ,m k m k k n n Z= ± ⇒ = ± + ≠ ∀ ∈ (mâu thuẩn) Do đó ta có mệnh đề “ 2 25 5m n m= ⇒  ” đúng Khi đó ta có 5 5m m k⇒ = (với k Z∈ ) ( )22 2 2 2 25 5 5 5m n k n n k= ⇒ = ⇒ = chứng minh tương tự như trên ta có 5n Giả sử 5 không phải là số vô tỷ ⇒ 5 là số hữu tỷ , : 5 mm n Z n +⇒ ∃ ∈ = là phân số tối giãn. Ta lại có: 2 2 55 5 5 mm mm n nn n  = ⇔ = ⇒ ⇒    không phải là số tối giản (mẫu thuẩn) Vậy 5 là số vô tỷ c. Cho ba số a, b, c thỏa mãn : 0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức trên là sai. 4 (1 ) 1 0a b− − > , 4 (1 ) 1 0b c− − > , 4 (1 ) 1 0c a− − > Giải: Giả sử 3 bất đẳng thức đã cho đều đúng ,tức là ta có các BĐT đúng sau: (1)4 (1 ) 1a b− > , (2)4 (1 ) 1b c− > , (3)4 (1 ) 1c a− > Từ (1), (2) , (3) ta có: ( )( )( )2 2 24 (1 )4 (1 )4 (1 ) 1 4 4 4 4 4 4 1a b b c c a b b c c a a− − − > ⇔ − − − > 2 2 21 (1 4 4 ) 1 (1 4 4 ) 1 (1 4 4 ) 1b b c c a a     ⇔ − − + − − + − − + >      2 2 21 (1 2 ) 1 (1 2 ) 1 (1 2 ) 1b c a     ⇔ − − − − − − >      (mâu thuẩn vì 21 1x− ≤ , x R∀ ∈ ) Vậy Có ít nhất một trong các BĐT trên sai. MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com d. 2" , 1P n N n= ∃ ∈ + chia hết cho 4" chứng minh rằng P là mệnh đề sai Giải: Xét mệnh đề phủ định của mệnh đề P là 2" , 1P n N n= ∀ ∈ + không chia hết cho 4" Với mọi số tự nhiên n ta đều có thể viết nó theo một trong các dạng sau: 4n k= , 4 2n k= + và 4 1n k= ± (với k là số tự nhiên ) Xét 4n k= khi đó ( )2 2 21 (4 ) 1 4 4 1n k k+ = + = + không chia hết cho 4 Xét 4 2n k= + khi đó 2 2 21 (4 2) 1 4(2 1) 1n k k+ = + + = + + không chia hết cho 4 Xét 4 1n k= ± khi đó 2 2 21 (4 1) 1 4(4 2 ) 2n k k k+ = ± + = ± + không chia hết cho 4 Do đó P là một mệnh đề đúng Vậy 2" , 1P n N n= ∃ ∈ + chia hết cho 4" là một mệnh đề sai e. Chứng minh rằng có ít nhất một trong 2 phương trình sau có nghiệm: 2 (1)2 2 1 0x ax b− − − = và 2 (2)2 2 1 0x bx a− − − = Giải: Giả sử cả hai phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm ,khi đó ta có: ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 ' 2 1 0 2 1 2 1 0 ' 2 1 0 a b a b b a b a ∆ = + + < ⇒ + + + + + < ∆ = + + < ( ) ( )2 22 22 1 2 1 0 1 1 0a a b b a b⇔ + + + + + < ⇔ + + + < (mâu thuẩn) Vậy có ít nhất môt trong hai phương trình trên phải có nghiệm II.Các dạng toán: Dạng 1:Xác định mệnh đề và xét tính đúng sai của mệnh đề đó. Căn cứ vào định nghĩa mệnh đề và tính đúng sai của chúng. Lưu ý rằng: • Nếu P đúng thì P sai (và ngược lại P đúng thì P sai) •P Q⇒ chỉ sai khi P đúng , Q sai (tức là chỉ sai khi “đúng ⇒ sai”) •P Q⇔ đúng khi và chỉ khi P và Q cùng đúng hoặc cùng sai •" , ( )"x X P x∀ ∈ đúng khi chỉ ra được tất cả các 0x X∈ đều làm cho 0( )P x đúng •" , ( )"x X P x∃ ∈ đúng khi chỉ ra được một giá trị 0x X∈ làm cho 0( )P x đúng MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com Các ví dụ: Ví dụ 1: Xét xem các ví dụ sau có phải là mệnh đề hay không ? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mênh đề đúng hay là mệnh đề sai ? a. “ 2 là số hữu tỉ” b. “Iran là nước ở châu Âu phải không ?” c. “Phương trình 2 5 6 0x x+ + = vô nghiệm” d. “Chứng minh bằng phản chứng thật khó !” e. “ 4x + là một số âm” f. “Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4” g. “Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn” h. “ n là số chẵn nếu và chỉ nếu 2n chia hết cho 4” i. “ 3,n N n n∃ ∈ − không phải là bội số của 3” j. 2" , 1 0"x R x x∀ ∈ − + > k. “ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 2 và cho 4 thì số đó chia hết cho 8” l. “Nếu 20132 1− là số nguyên tố thì 16 là số chình phương “ Ví dụ 2: Tìm mệnh đề trong các câu sau và cho biết chúng đúng hay sai? a. “5 là số chẵn” b. “Nếu 2 2 2AB AC BC+ = thì tam giác ABC vuông” c. “2 có phải là số nguyên tố không ? “ d. “Hôm nay trời không mưa, chúng ta đi xem phim nhé” e. “Nếu phương trình bậc hai có 0∆ ≥ thì nó có nghiệm” f. “cấm hút thuốc nơi công cộng” g. " , ( 1)"x N x x∃ ∈ + Dạng 2:Xác định mệnh đề đảo , mệnh đề phủ định: • Mệnh đề phủ định của P là “không phải P” • Mệnh đề phủ định của “ , ( )x X P x∀ ∈ ” là “ , ( )x X P x∃ ∈ “ • Mệnh đề phủ định của “ , ( )x X P x∃ ∈ ” là “ , ( )x X P x∀ ∈ “ • Mệnh đề “ P Q⇒ ” có mệnh đề đảo là “Q P⇒ ” Các ví dụ: Ví dụ 1: Phát biểu mệnh đề P Q⇒ bằng ba cách , phát biểu mệnh đề đảo của nó và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó a. P: “ABCD là hình chữ nhật” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ” b. P: “ 3 > 5” và Q: ” 7 > 10” c. P: “ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q: “góc  045ABC = ” MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com Ví dụ 2:Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau đây và phát biểu mệnh đề đảo của chúng a. P: “Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau” b. Q: “Tam giác cân có một góc 600 là tam giác đều” c. R: “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10” Ví dụ 3: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng. a. 1:" , 1"P x R x x ∀ ∈ < + b. 2 4:" , 2" 2 xP x R x x − ∀ ∈ = + − c. :" , 3 3 0"P x R x x∀ ∈ − + > d. 2:" , ( 1) 0"P x R x∀ ∈ − ≤ e. P: “Có tam giác không có góc nào lớn hơn 600” f. P: ”có vô số số nguyên tố” g. P:”Các số nguyên tố đều là số chẵn” h. P:” Giải thưởng lớn nhất của môn toán là giải nobel” Dạng 3:Phương pháp chứng minh phản chứng: Cơ sở phương pháp : Giải sử yêu cầu đề toán là sai. Từ giả sử đó bằng các kiến thức và suy luận toán học ta dẫn đến muân thuẩn với giả thuyết hoặc mâu thuẩn với thực tế Loại 1: Cần chứng minh Q là mệnh đề đúng. • Giả sử Q(x) sai • Từ Q(x) sai ta sử dụng kiến thức và suy luận toán học để dẩn đến mâu thuẩn với chân lý. • Khi đó kết luận được Q(x) là mệnh đề đúng. Loại 2: Cần chứng minh mệnh đề P(x) ⇒ Q(x) đúng. • Giả sử P(x) đung mà có Q(x) sai (tức là giả sử mệnh đề P(x) ⇒ Q(x) sai) • Từ Q(x) sai ta sử dụng kiến thức và suy luận toán học để dẩn đến mâu thuẩn với P(x) đung hoặc mâu thuẩn với chân lý. • Khi đó kết luận được P(x) ⇒ Q(x) là mệnh đề đúng. MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu 2n là số chẵn thì n là số chẵn. Giải: Giả sử 2n là số chẵn mà n không phải là số chẵn. Ta có n không phải là số chẳn nên k N∃ ∈ sao cho 2 1n k= + Khi đó ( ) ( )22 22 1 2 2 2 1n k k k= + = + + ⇒ 2n không phải là số chẵn (mâu thuẩn) Vậy “nếu 2n là số chẵn thì n là số chẵn” là mệnh đề đúng. Ví dụ 2: Chứng minh rằng 2 là số vô tỉ Giải: Giả sử 2 không phải là số vô tỉ 2 Q⇒ ∈ , : 2 mm n Z n +⇒ ∃ ∈ = là phân số tối giãn. Khi đó 2 22 2m m n n = ⇔ = (1) Lại có 22n là số chẵn nên 2m là số chẵn m⇒ là số chẵn (theo ví dụ 1) Khi đó k Z +∃ ∈ sao cho 2m k= Thay 2m k= vào (1) ta có 2 2 2 2(2 ) 2 2k n n k n= ⇔ = ⇒ là số chẵn Do đó ta có: 2 2 m n      (mâu thuẩn) Vậy 2 là số vô tỉ Ví dụ 3: Chúng minh rằng “Nếu 2 1a − là số nguyên tố thì a là số nguyên tố” Giải: Giả sử 2 1a − là số nguyên tố mà a không phải là số nguyên tố. a không phải là số nguyên tố nên , 1, 1 m n N m n ∃ ∈  ≠ ≠ sao cho .a m n= Khi đó : . 1 22 1 2 1 (2 ) 1 (2 1) (2 ) (2 ) ... 1a m n m n n m m n m n− − − = − = − = − + + +  2 1a⇒ − là hợp số ⇒ 2 1a − không phải là số nguyên tố (mâu thuẩn) MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com Ví dụ 4: Cho định lý “ Nếu các số nguyên m, n đều chia hết cho 3 thì 2 2m n+ cũng chia hết cho 3”. Phát biểu định lý đảo của định lý trên và chứng minh định lý đảo đó Giải: Định lý trên có định lý đảo là: “Nếu m, n là các số nguyên và 2 2m n+ chia hết cho 3 thì m, n cùng chia hết cho 3” Chứng minh định lý đảo: Giả sử ,m n Z∈ và 2 2m n+ chia hết cho 3 mà m, n không đồng thời chia hết cho 3 TH1: có đúng một số chia hết cho 3 . Khi đó với ,k h Z∈ , 2 2 2 2 2 23 (3 ) (3 1) 3(3 3 2 ) 1 3 1 m k m n k h k h h n h = ⇒ + = + ± = + ± + = ± 2 2m n⇒ + không chia hết cho 3 (mâu thuẩn) TH2:Cả hai số không chia hết cho 3 Khi đó với ,k h Z∈ , 2 2 2 2 2 23 1 (3 1) (3 1) 3(3 3 2 2 ) 2 3 1 m k m n k h k h k h n h = ± ⇒ + = ± + ± = + ± ± + = ± 2 2m n⇒ + không chia hết cho 3 (mâu thuẩn) Do đó ta có:“Nếu ,m n Z∈ và 2 2m n+ chia hết cho 3 thì m, n cùng chia hết cho 3” Dạng 3:Phát biểu định lý đảo dưới điều kiện cần , điều kiện đủ: Phương pháp chung: • Một định lý thường có dạng “ , ( ) ( )x X P x Q x∀ ∈ ⇒ ” (1) với P(x) là giả thuyết và Q(x) là kết luận • Chứng minh (1) bằng phản chứng hoặc chứng minh trực tiếp như sau: Lấy x X∈ sao cho P(x) đúng, chứng minh Q(x) đúng. • Định lý (1) nếu phát biểu lài bằng thuật ngữ ‘điều kiện cần’ , ‘điều kiện đủ’ P(x) là điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) là điều kiện cần để có P(x) • Mệnh đề đảo của (1) là “ , ( ) ( )x X Q x P x∀ ∈ ⇒ ” (2). Nếu (2) là một mệnh đề đúng thì (2) được gọi là định lý đảo của định lý (1). MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Viết mệnh đề đảo của các mệnh đề sau bằng thuật ngử “điều kiện cần “ hoặc “điều kiện đủ” . Cho biết mệnh đề đảo đó đúng hay sai ?vì sao? a. Nếu a, b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. b. Nếu tam giác có hai góc bằng 600 thì tam giác đó đều c. Nếu n là số nguyên lẻ thì 3n + 1 là số nguyên chẵn. d. Phương trình 2 0ax bx c+ + = có a, c trái dấu thì nó có 2 nghiệm phân biệt e. Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng nhau. f. Tứ giác nội tiếp khi chúng có hai góc bù nhau. g. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AI là trung tuyến. Xét các mệnh đề sau: P: ”Tam giác ABC vuông tại A” Q: “AI bằng một nữa BC” a. Viết lại mệnh đề P Q⇒ bằng 3 cách, Chứng minh đây là mệnh đề đúng. b. Viết lại mệnh đề P Q⇔ bằng 3 cách, Chứng minh đây là mệnh đề đúng. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Baøi 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến: a) Số 11 là số chẵn. b) Bạn có chăm học không ? c) Huế là một thành phố của Việt Nam. d) 2x + 3 là một số nguyên dương. e) − <2 5 0 . f) 4 + x = 3. g) Hãy trả lời câu hỏi này!. h) Paris là thủ đô nước Ý. i) Phương trình x x2 1 0− + = có nghiệm. k) 13 là một số nguyên tố. Baøi 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? a) Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. b) Nếu a b≥ thì a b2 2≥ . c) Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6. d) Số π lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4. e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. f) 81 là một số chính phương. g) 5 > 3 hoặc 5 < 3. h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5. MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com Baøi 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau. c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 060 . d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại. e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng. f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông. Baøi 4. Cho một mệnh đề chứa biến P(x): “ 2x x= ”. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau: (0)P , ( 1)P − , (1)P , " , ( )"x R P x∃ ∈ , " , ( )"x R P x∀ ∈ Baøi 5. Cho một mệnh đề chứa biến P(x): “ 3 2 0x x− = ”. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau: (0)P , (2)P , ( 2)P − , " , ( )"x R P x∃ ∈ , " , ( )"x R P x∀ ∈ Baøi 6. Cho mệnh đề chứa biến P(x): “ 4 4 3 0x x− + ≤ ” a. Tìm giá trị 0x R∈ để P( 0x ) là mệnh đề đúng b. Dùng ký hiều ∀ hoặc ∃ để lượng hóa P(x) thành một mệnh đề đúng. Baøi 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời: a) x R x2, 0∀ ∈ > . b) x R x x2,∃ ∈ > c) x Q 2,4x 1 0∃ ∈ − = . d) n N n n2,∀ ∈ > . e) f) g) x R x x2, 3 9∀ ∈ > ⇒ > . h) x R x x2, 5 5∀ ∈ < ⇒ < i) x R x x2,5 3 1∃ ∈ − ≤ x R x x2, 1 0∀ ∈ − = > x R x x 2, 9 3∀ ∈ > ⇒ > MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com k) x N x x2, 2 5∃ ∈ + + là hợp số. l) n N n2, 1∀ ∈ + không chia hết cho 3. m) n N n n*, ( 1)∀ ∈ + là số lẻ. n) n N n n n*, ( 1)( 2)∀ ∈ + + chia hết cho 6. Baøi 8. Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để được mệnh đề đúng: a) 4.... 5π π . b) ab khi a b0 0.... 0= = = . c) ab khi a b0 0.... 0≠ ≠ ≠ d) ab khi a b a b0 0.... 0.... 0.... 0> > > < < e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 . cho 3. f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 . bằng 5. Baøi 9. Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x∈ R. Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng: a) P x x 2( ) :" 5x 4 0"− + = b) P x x 2( ) :" 5x 6 0"− + = c)P x x x 2( ) :" 3 0"− > d) P x x x( ) :" "≥ e) P x x( ) :"2 3 7"+ ≤ f) P x x x 2( ) :" 1 0"+ + > Baøi 10. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3. b) Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5. c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. d) Số tự nhiên n có ước số bằng 1 và bằng n. Bài 11. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) x R x2: 0∀ ∈ > . b) x R x x2:∃ ∈ > . c) x Q x2: 4 1 0∃ ∈ − = . d) x R x x2: 7 0∀ ∈ − + > . e) x R x x2: 2 0∀ ∈ − − < . f) x R x2: 3∃ ∈ = . g) n N n2, 1∀ ∈ + không chia hết cho 3. h) n N n n2, 2 5∀ ∈ + + là số nguyên tố. i) n N n n2,∀ ∈ + chia hết cho 2. k) n N n2, 1∀ ∈ − là số lẻ. MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com Bài 12. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. b) Nếu a b 0+ > thì một trong hai số a và b phải dương. c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. d) Nếu a b= thì a b2 2= . e) Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c Bài 13. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau. b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông. e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau. Bài 14. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ": a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3. e) Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n2 là số lẻ. MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com Bài 15. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng: a) Nếu a b 2+ < thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 060 . c) Nếu x 1≠ − và y 1≠ − thì x y xy 1+ + ≠ − . d) Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn. e) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn. f) Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. g) Nếu x y2 2 0+ = thì x = 0 và y = 0 h) Cho hai số tự nhiên a và b , nếu 2 2a b+ chia hết cho 8 thì a và b không thể đồng thời là số lẻ i) Nếu nhốt 26 con thỏ vào trong 6 chuồng thì có ít nhất một chuồng có nhiều hơn 4 con thỏ TẬP HỢP MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 www.toanhocdanang.com Cơ sở lý thuyết : 1. Tập hợp •Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. •Cách xác định tập hợp: + Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { }. + Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp. •Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅. 2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau • ( )A B x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ + A A A,⊂ ∀ + A A,∅⊂ ∀ + A B B C A C,⊂ ⊂ ⇒ ⊂ • ( )A B A B vaø B A= ⇔ ⊂ ⊂ 3. Một số tập con của tập hợp số thực •N N Z Q R* ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ •Khoảng: { }a b x R a x b( ; ) = ∈ < < ; { }a x R a x( ; )+∞ = ∈ < ; { }b x R x b( ; )−∞ = ∈ < •Đoạn: { }a b x R a x b[ ; ] = ∈ ≤ ≤ •Nửa khoảng: { }a b x R a x b[ ; ) = ∈ ≤ < ; { }a b x R a x b( ; ] = ∈ < ≤ ; { }a x R a x[ ; )+∞ = ∈ ≤ ; { }b x R x b( ; ]−∞ = ∈ ≤ 4. Các phép toán tập hợp •Giao của hai tập hợp: { }∩ = ⇔ = ∈ ∈A B C C x x A vaø x B •Hợp của hai tập hợp: { }∪ = ⇔ = ∈ ∈A B C C x x A hoaëc x B •Hiệu của hai tập hợp: { }= ⇔ = ∈ ∉\A B C C x x A vaø x B • Phần bù: Cho B A⊂ thì AC B A B\= . Các dạng toán thường gặp: Dạng 1: Xác định tập hợp và phép toán trên tập hợp Phương pháp chung : • Liệt kê các phần tử của tập hợp (giải phương trình nếu cần) • Sử dụng định nghĩa của các phép toán để xác định phần tử của tập hợp Các ví dụ minh họa : MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 www.toanhocdanang.com Ví dụ 1: Biểu diển tập hợp sau về dạng liệt kê: a. A = { * 3| 5 125n N n∈ < < } b. B = { x | x là số nguyên tố và 28 1x + là số nguyên tố} c. C = { 6 2 4 3| 1x x x x x x+ + = + + } d. D = { 3 2| 7 3 3 1 0x Z x x x∈ − + − = } e. E = { 2 | 0 1 2( 1) x xx R x x − ∈ ≥ − − + } Ví dụ 2:Biểu diển các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặt trưng a. A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29} b. B = {- 4; -3; -2 ; -1; 0; 1; 2; 3; 4} c. C = {-5; 0; 5; 10; 15} d. D = {1; 3; 7; 15; 31; 63; 127} Ví dụ 3: Cho các tập hợp: { } { } { }21;2;3;4;5;6 , | 3 2 , | 2 3 0A B x Z x C x R x x= = ∈ − ≤ ≤ = ∈ − = a. Biểu diển B, C dưới dạng liệt kê. b. Xác định các tập hợp: A B∩ , B C∩ , A C∩ c. Xác định các tập hợp: A B∪ , B C∪ , A C∪ d. Xác định các tập hợp: \A B , \B C , \A C Ví dụ 4:Trong các tập hợp sau, tập nào là con của tập nào? A: tập hợp các tứ giác B: tập hợp các hình thang C: tập hợp các hình thoi D: tập hợp các hình chữ nhật E: tập các hình vuông. Ví dụ 5:Cho các tập hợp : A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} , B ={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, C = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Hãy xác định các tập hợp sau: a. ( )A B C∩ ∩ b. ( )A B C∪ ∪ c. ( )A B C∩ ∪ d. ( )A B C∪ ∩ e. \ ( )A B C∩ MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com Ví dụ 6:Cho tập E = {1; 2; 3; 4}. Tìm X và Y là hai tập con của E sao cho Mọi tập con A của E ta đều có: A Y A X∪ = ∩ Ví dụ 7: Cho hai tập hợp A, B, C khác rổng .chứng minh rằng: a. ( \ ) ( )A B B A A∪ ∩ = b. ( \ ) ( \ ) ( ) \ ( )A B B A A B A B∪ = ∪ ∩ c. ( ) \ ( \ )A B C A B C∩ = ∩ d. ( \ ) \ \ ( )A B C A B C= ∪ e. \ ( \ ) ( \ ) ( )A B C A B A C= ∪ ∩ Dạng 2: Xác định tập hợp và các phép toán trên tập hợp các số thực Phương pháp chung: • Biểu diển các tập hợp trên trục số, lưu ý vị trí các phần tử trên trục số(phần tử nào nhỏ hơn đứng trước) • Dùng định nghĩa các phép toán để xác định các phần tử trong tập hợp Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau và biểu diển chúng trên trục số a. [ ) ( ]3 , 1 0 , 4A = − ∪ ( )2 , 15 (3 , )B = − ∪ +∞ b. ( ) [ )0 , 2 1 , 1C = ∪ − ( ), 1 ( 1 , )D = −∞ ∪ − +∞ c. [ ) ( ]12 , 3 1 , 4E = − ∩ − ( ) ( )4 , 7 7, 4F = ∩ − − d. ( ) [ )2 , 3 3, 5G = ∩ ( , 1) ( 1 , )H = −∞ ∩ − +∞ Ví dụ 2: Cho các tập hợp [ ]2 , 4A = − , ( )2 ,B = +∞ , ( ), 1C = −∞ − Xác định các tập hợp sau và biểu diển chúng lên trục số: a. ( )\A C B∩ b. ( ) ( )\ \C A B A∪ Ví dụ 3: Tìm m sao cho ( ) ( )7 , 4 , 3m m− ⊂ − Ví dụ 4: Tùy theo m , hãy biện luận kết quả của tạp A Với ( ] ( ), 5 ,A m= −∞ ∩ +∞ Dạng 2:Sử dụng sơ đồ Ven để giải bài toán định lương trong tổ hợp Phương pháp chung: MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 www.toanhocdanang.com • Vẽ các vòng tròn đại diện các tập hợp (mỗi vòng tròn là một tập hợp), lưu ý hai vòng tròn có phần chung nếu giao của hai tập hợp tương ứng khác rỗng. • Dùng các biến để chỉ số phần tử của từng phần không giao nhau. • Từ giả thiết của bài toán, lập hệ phương trình giải, tìm các biến đó Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trường, Lớp 10A có 17 bạn được công nhận học giỏi Văn, 25 bạn giỏi Toán.Tìm số học sinh giỏi cả Văn và Toán, biết lớp 10A có 45 học sinh và có 13 học sinh không đạt học sinh giỏi. Ví dụ 2: Trong 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp học lực giỏi, 20 bạn được xếp hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa đạt học sinh giỏi vừa đạt hành kiểm tốt, Hỏi: a. Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng , biết muốn được khen thưởng thì học sinh đó phải đạt học sinh giỏi hoặc đạt hành kiểm tốt. b. Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xét học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt. Ví dụ 2:Một lớp có 25 HS khá các môn tự nhiên, 24 HS khá các môn xã hội , 10 HS khá cả hai và 3 HS không khá môn nào.Hỏi a. Lớp có bao nhiêu HS chỉ khá các môn tự nhiên nhưng không khá các môn xã hội b. Lớp có bao nhiêu HS chỉ khá các môn xã hội nhưng không khá các môn tự nhiên. c. Lớp có bao nhiêu HS hoặc khá các môn xã hội hoặc khá các môn tự nhiên. d. Lớp học đó có bao nhiêu HS. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Baøi 1. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó: MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 22 www.toanhocdanang.com A = { }x R x x x x2 2(2 5 3)( 4 3) 0∈ − + − + = B = { }x R x x x x2 3( 10 21)( ) 0∈ − + − = C = { }x R x x x x2 2(6 7 1)( 5 6) 0∈ − + − + = D = { }x Z x x22 5 3 0∈ − + = E = { }x N x x vaø x x3 4 2 5 3 4 1∈ + < + − < − F = { }x Z x 2 1∈ + ≤ G = { }x N x 5∈ < H = { }x R x x2 3 0∈ + + = ( ) { }{ }2; | 1;0;1I x x x= ∈ − ( ){ }2 2; | 2, ,J x y x y x y Z= + ≤ ∈ Baøi 2. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó: A = { }0; 1; 2; 3; 4 B = { }0; 4; 8; 12; 16 C = { }3 ; 9; 27; 81− − D = { }9; 36; 81; 144 E = { }2,3,5,7,11 F = { }3,6,9,12,15 G = Tập tất cả các điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. H = Tập tất cả các điểm thuộc đường tròn tâm I cho trước và có bán kính bằng 5. Baøi 3. Trong các tập hợp sau đây, tập nào là tập rỗng: { }= ∈ <1A x Z x { }= ∈ − + =2 1 0B x R x x { }= ∈ − + =2 4 2 0C x Q x x { }= ∈ − =2 2 0D x Q x { }= ∈ + + =2 7 12 0E x N x x { }= ∈ − + =2 4 2 0F x R x x Baøi 4. Tìm tập hợp X sao cho { } { }, , , ,a b X a b c d⊂ ⊂ Baøi 5. Tìm tập hợp X sao cho X A⊂ và X B⊂ trong đó A = {a, b, c, d, e}và B = {a, c, e, f} Baøi 6. Chứng minh rằng: Với A = { |x Z x∈ bội số của 18} , B = { |x Z x∈ bội số của 6} thì A B⊂ Baøi 7. Tìm tất cả các tập con, các tập con gồm hai phần tử của các tập hợp sau: A = { }1, 2 B = { }1, 2, 3 C = { }a b c d, , , D = { }x R x x22 5 2 0∈ − + = E = { }x Q x x2 4 2 0∈ − + = Baøi 8. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào? a) A = { }1, 2, 3 , B = { }x N x 4∈ < , C = (0; )+∞ , D = { }x R x x22 7 3 0∈ − + = . MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 23 www.toanhocdanang.com b) A = Tập các ước số tự nhiên của 6 ; B = Tập các ước số tự nhiên của 12. c) A = Tập các hình bình hành; B = Tập các hình chữ nhật; C = Tập các hình thoi; D = Tập các hình vuông. d) A = Tập các tam giác cân; B = Tập các tam giác đều; C = Tập các tam giác vuông; D = Tập các tam giác vuông cân. Baøi 9. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với: a) A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12} b) A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4} c) A = { }x R x x22 3 1 0∈ − + = , B = { }x R x2 1 1∈ − = . d) A = Tập các ước số của 12, B = Tập các ước số của 18. e) A = { }x R x x x x2( 1)( 2)( 8 15) 0∈ + − − + = , B = Tập các số nguyên tố có một chữ số. f) A = { }x Z x2 4∈ < , B = { }x Z x x x x2 2(5 3 )( 2 3) 0∈ − − − = . g) A = { }x N x x2 2( 9)( 5x 6) 0∈ − − − = , B = { }x N x laø soá nguyeân toá x, 5∈ ≤ . Baøi 10. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho: a) {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}. b) {1, 2} ∪ X = {1, 2, 3, 4}. c) X ⊂ {1, 2, 3, 4}, X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} Baøi 11. Cho tập hợp { }| 8E x N x= ∈ ≤ , A = {1, 3, 5, 7} , B = {1, 2, 3, 6} a. Tìm AEC , BEC và A BE EC C∩ b. Chứng minh rằng: A B A BE EC C∪ ∩⊂ Baøi 12. Cho các tập hợp { }| 6A x N x= ∈  , { }| 15B x N x= ∈  , { }| 30C x N x= ∈  Chứng minh rằng :C A B= ∩ Baøi 13. Cho tập hợp A. Hãy cho biết mối quan hệ của tập B và A nếu A B B∩ = A B B∪ = A B A∩ = A B A∪ = \A B φ= \A B A= Baøi 14. Cho A, B là hai tập hợp khác rỗng phân biệt. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng. MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 24 www.toanhocdanang.com ( )" \ "A B A⊂ " ( )"A B A⊂ ∪ ( ) ( )" "A B A B∩ ⊂ ∪ ( )" \ "A B A⊂ Baøi 15. Chứng minh rằng: a. ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ∩ với P(X) là tập hợp tất cả các tập con của tập X. b. Với A ={ |x Z x∈ là bội số chung của 3 và 4}, B ={ |x Z x∈ là bội số chung của 12} thì ta có A = B Baøi 16. Tìm tập hợp X sao cho A X B∪ = với A = {a, b} , B = {a, b, c, d} Baøi 17. Chứng minh rằng : a. Nếu A B A B∪ = ∩ thì A = B b. Nếu A B⊂ và A C⊂ thì ( )A B C⊂ ∩ Baøi 18. Tìm các tập hợp A, B sao cho: a) A∩B = {0;1;2;3;4}, A\B = {–3; –2}, B\A = {6; 9; 10}. b) A∩B = {1;2;3}, A\B = {4; 5}, B\A = {6; 9}. Baøi 19. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với: a) A = [–4; 4], B = [1; 7] b) A = [–4; –2], B = (3; 7] c) A = [–4; –2], B = (3; 7) d) A = (–∞; –2], B = [3; +∞) e) A = [3; +∞), B = (0; 4) f) A = (1; 4), B = (2; 6) Baøi 20. Tìm A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C với: a) A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2) b) A = (–∞; –2], B = [3; +∞), C = (0; 4) c) A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1] d) A = (−∞; 2], B = [2; +∞), C = (0; 3) e) A = (−5; 1], B = [3;+∞), C = (−∞; −2) Baøi 21. Chứng minh rằng: a) Nếu A ⊂ B thì A ∩ B = A. b) Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì (A ∪ B) ⊂ C. c) Nếu A ∪ B = A ∩ B thì A = B d) Nếu A ⊂ B và A ⊂ C thì A ⊂ (B ∩ C). Baøi 22. Cho { }4 2/ 5 2 5 0A x R x x x= ∈ + + + > và { }4 2/ 2 0B x R x x x= ∈ + + + > . Chưng minh rằng A = B. MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 25 www.toanhocdanang.com Baøi 23. Cho a < 0, ( ), 9A a= −∞ và 4 ,B a  = +∞    . Tìm a để A B φ∩ ≠ . Baøi 24. Cho [ ], 2A a a= + và [ ], 1B b b= + Tìm a, b để A B φ∩ ≠ Baøi 25. Cho [ )1, 1A m m= − + và ( ]2 , 6B = − Tìm m để A B φ∩ ≠ Baøi 26. Mỗi HS của lớp 10A đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 25 bạn chơi bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh? Baøi 27. Một lớp học có 40HS, đăng ký chơi ít nhất một trong 2 môn thể thao: bóng đá và cầu long. Có 30 HS đăng ký môn bóng đá, 5 HS đăng ký môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em dăng ký cả hai môn thể thao này: 1. Số gần đúng SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 26 www.toanhocdanang.com Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng. 2. Sai số tuyệt đối Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì a a a∆ = − đgl sai số tuyệt đối của số gần đúng a. 3. Độ chính xác của một số gần đúng Nếu a a a d∆ = − ≤ thì a d a a d− ≤ ≤ + . Ta nói a là ssố gần đúng của a với độ chính xác d, và qui ước viết gọn là a a d= ± . 4. Sai số tương đối Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí hiệu aa a ∆ δ = . • aδ càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn. • Ta thường viết aδ dưới dạng phần trăm. 5. Qui tròn số gần đúng •Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0. • Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn. Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai sô tuyệt đối của số qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn. Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn. 6. Chữ số chắc Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số đgl chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó. Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1.Cho các số gần đúng a =4,7658 và b = 3,456 với Δa =5.10-4, và Δb=10-3; còn u =a.b. Hãy tìm sai số tương đối của a và b; tính u và ước lượng sai số Δu và δu. Bài 2.Cho a=12345; và δa =0,1%, b=34,56 với δb=0,8%. Xác định sai số tuyệt đối và các chữ số đáng tin. Bài 3. Tính diện tích hình chữ nhật có d= 40,0 và r = 24,0 và ước lượng sai số tuyệt đối và tương đối của S nếu các chữ số biểu diễn d và r đều đáng tin. Bài 4.Cho hình hộp chữ nhật có các cạnh d, r, h tương ứng xấp xỉ bằng 10m, 5m và 3,5m. a. Tính thể tích V và ước lượng sai số nếu Δd =Δr =Δh = 0,005m. b. Cần tính các cạnh với sai số như thế nào để sai số ΔV ≤0,1. Bài 5. Hình trụ tròn xoay có bán kính R = 10cm chiều cao h=20cm; a. Tính V nếu ΔR= Δh=0,5cm; π=3,1416 với Δπ=0,5. 10-4. MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 27 www.toanhocdanang.com b. Với π như trên, cần tính R và h như thế nào để ΔV ≤1. Bài 6. Cho u= a - b với a = 55,23 và b = 55,20; Δa = Δb = 0,005. a. Tính u, Δu và δu. b. Giải thích vì sao người ta thường tránh trừ 2 số gần bằng nhau. Bài 7. Cho u = a/b +c với a=125, b=0,5, c=5; Δa=Δb=0,1 ; Δc= 1. a. tính u và δu. b. Giải thích vì sao người ta tránh chia cho số bé ở các bước trung gian. Bài 8. Tìm chữ số đáng tin và làm tròn, chỉ giữ lại 2 số không đáng tin: a. a=57,4365 ; δa=0,5% b. a=1,40805; δa=0,6% Bài 9. Tính u= a2 b + c nếu a=4,0; b=5,5; c= 25,48; Δa=Δb=0,001; Δc=0,01 và thu gọn u chỉ giữ lại một chữ số không chắc. Bài 10.Cho y = f(x) đa thức bậc n. Chứng minh rằng khi tính gần đúng giá trị của y tại x (|x|>1) sai số Δy là rất lớn mặc dù Δx là nhỏ.