Cộng hưởng Electron-Phonon trong dây lượng tử thế Parabol và bán Parabol - Lê Đình

CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON TRONG DÂY LƯỢNG TỬ THẾ PARABOL VÀ BÁN PARABOL LÊ ĐÌNH LÊ CHÍ - TRẦN THỊ THU HẰNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon (EPR) và dò tìm bằng quang học cộng hưởng electron-phonon (ODEPR) trong dây lượng tử được khảo sát đối với hai dạng thế parabol và bán parabol bằng cách sử dụng phương pháp chiếu toán tử độc lập trạng thái. Đối với cả hai dạng thế parabol và bán parabol, ta đều xem xét bài toán với mật độ dòng điện theo phương giam giữ. Sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào tần số trường ngoài và nhiệt độ được khảo sát số và vẽ đồ thị. Kết quả thu được cho thấy hiện tượng EPR và ODEPR phụ thuộc mạnh vào tần số trường ngoài, tần số thế giam giữ và nhiệt độ. 1 GIỚI THIỆU Trong những năm gần đây, sự hấp thụ sóng điện từ do tương tác electron-phonon dưới ảnh hưởng của trường laser trong hệ bán dẫn thấp chiều được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước tập trung nghiên cứu. Đối với hệ hai chiều, đã có nhiều bài báo tập trung vào các hiện tượng như sự hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử tự do trong giếng lượng tử cho trường hợp tán xạ electron-phonon quang [1, 2], tán xạ electron-phonon áp điện [3], trong siêu mạng bán dẫn [4], hoặc trong dây lượng tử [5, 6]. Tuy nhiên, nghiên cứu về sự hấp thụ này, đặc biệt là hiện tượng cộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử thế parabol và thế bán parabol còn chưa được quan tâm nhiều. Bài báo này nghiên cứu công suất hấp thụ (CSHT) sóng điện từ do tương tác electron-phonon quang dọc dưới ảnh hưởng của trường laser trong hai loại dây lượng tử với thế giam giữ dạng parabol và bán parabol, từ đó làm rõ các hiệu ứng dò tìm cộng hưởng electron-phonon bằng quang học trong hai loại dây này. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 03(19)/2011: tr. 5-11 6 LÊ ĐÌNH - LÊ CHÍ - TRẦN THỊ THU HẰNG 2 CÔNG SUẤT HẤP THỤ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ VỚI TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ELECTRON - PHONON QUANG PHÂN CỰC DỌC Xét một hệ điện tử-phonon trong dây lượng tử dưới tác dụng trường ngoài có dạng E⃗(t) = E⃗0 exp[i(ωt− kx)]xˆ phân cực theo hướng trục x, tenxơ độ dẫn được cho bởi [7] σxx(ω) = (i/ω) lim a→0+ TR { ρeq[(~ω¯ − L)−1Jx, Jx] } , (1) trong đó ω¯ ≡ ω − ia (a → 0+); TR là vết nhiều hạt; |Ψ⟩ = (a+ )n(a+ )n ...|Φ0⟩ là trạng thái của hệ gồm n hạt ở trạng thái |α⟩, có n hạt ở trạng thái |β⟩ và a+ là toán tử sinh điện tử ở trạng thái này. |Φ0⟩ là trạng thái chân không; L là toán tử Liouville, ρeq là toán tử mật độ cân bằng. Toán tử mật độ dòng nhiều hạt theo phương x được viết thông qua toán tử dòng của một điện tử jx có dạng Jx = ∑  j ; x a+a , với j x ≡ ⟨α|jx|β⟩. Sử dụng Hamiltonian của hệ gồm các điện tử tương tác với các phonon khối (không bị giam giữ) và áp dụng phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái, ta biến đổi biểu thức tenxơ độ dẫn ở (1) về dạng [7]: σxx(ω) = ( i ω ) lim a→0+ ∑ ; |(jx)|2 f − f~ω¯ − (E − E)− Γxx(ω¯) , (2) trong đó f là hàm phân bố của điện tử ở trạng thái |α⟩ có phổ năng lượng E. Do bị giam giữ nên phổ năng lượng của điện tử bị lượng tử hoá trong mặt phẳng vuông góc với trục của dây (mặt phẳng xOy) và được đặc trưng bởi 2 số lượng tử nx, ny. Phổ năng lượng của điện tử theo phương tự do z có dạng parabol thông thường và được xác định bởi thành phần kz của vectơ sóng. Hàm Γxx(ω¯) được gọi là hàm dạng phổ. Vì Γxx(ω¯) là một hàm phức nên ta sử dụng đồng nhất thức Dirac để tính phần thực của tenxơ độ dẫn: Re[σxx(ω)] = ( 1 ω ) ∑ ; |(jx)|2 (f − f)B(ω) [~ω − (E −E)]2 + [B(ω)]2 , (3) trong đó B(ω) có ý nghĩa là tốc độ hồi phục và được xác định bằng biểu thức sau: (f − f)B(ω) = π ∑ q ∑ { |C (q)|2[(Nq + 1)f(1− f )−Nqf (1− f)]δ(~ω − E + E − ~ωq) + |C (q)|2[Nqf(1− f )− (Nq + 1)f (1− f)]δ(~ω − E + E + ~ωq) } + π ∑ q ∑ { |C (q)|2[(Nq + 1)f (1− f)−Nqf(1− f )]δ(~ω − E + E − ~ωq) + |C (q)|2[Nqf (1− f)− (Nq + 1)f(1− f )]δ(~ω − E + E + ~ωq) } , trong đó Nq là phân bố của phonon; C (q), C (q) là yếu tố ma trận tương tác điện tử-phonon |C (q)|2 = |Cq|2|I , |C (q)|2 = |Cq|2|I , CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON TRONG DÂY LƯỢNG TỬ... 7 với I , I là thừa số dạng có dạng phụ thuộc vào từng loại thế giam giữ. Với các giả thiết ωLO ≈ const và q2z ≫ q2⊥, khi đó thế tán xạ có dạng |Cq|2 ≈ e 2~ωLO 2ϵ0V ( 1 χ∞ − 1 χ0 ) 1 q2z , trong đó V là thể tích của hệ; χ0, χ∞ lần lượt là hằng số điện môi tĩnh và hằng số điện môi cao tần. Tính toán giải tích cho ta biểu thức của công suất hấp thụ đối với từng dạng thế như sau: + Công suất hấp thụ của dây lượng tử bán dẫn với thế parabol: P (ω) = E20 2 Re[σzz(ω)] = E20 2~ω ∑ ; (jk);(jl); (f − f)B(ω) (ω − ω;)2 +B2(ω) , (4) trong đó B (ω) = e2π2m∗3ωLOωxωy 64~3εLz ( 1 χ∞ − 1 χ0 ) × 1 f − f ∑ n x;n y { 1 k+  ( k − k+  )2 [Nqf (1− f+ )− (1 +Nq) f+  (1− f)] + 1 k−  ( k − k−  )2 [(1 +Nq) f (1− f− )−Nqf−  (1− f)] + 1 k−  ( k − k+  )2 [Nqf+  (1− f)− (1 +Nq) f (1− f+ )] + 1 k−  ( k − k+  )2 [(1 +Nq) f−  (1− f)−Nqf (1− f− )]  × nx∑ p=0 n ′ x∑ p′=0 [( nx + n x − 2p+ n ′ x + n ′ x − 2p′ − 1 ) !! × n x!n x!2p( nx − p ) ! (n x − p)!p! n ′ x !n ′ x !2p ′( n ′ x − p′ ) ! ( n ′ x − p′ ) !p′!  × ny∑ p=0 n ′ y∑ p′=0 [( ny + n y − 2p+ n ′ y + n ′ y − 2p′ − 1 ) !! × n y !n y !2p( ny − p ) ! (n y − p)!p! n ′ y !n ′ y !2p ′( n ′ y − p′ ) ! ( n ′ y − p′ ) !p′!  . (5) 8 LÊ ĐÌNH - LÊ CHÍ - TRẦN THỊ THU HẰNG + Công suất hấp thụ của dây lượng tử bán dẫn với thế bán parabol: P (ω) = E20 2ω e2~2L2z 4π2m2e × { ∑ 2nx+1;ny ( 2nx + 1 2 )A4x ∫ +∞ 0 (f − f)B(ω) [~ω − (E − E)]2 + [B(ω)]2dkz + 4 ( 1− A 2 x 2 )2 × ∑ 2nx−1;ny [2nx(2nx + 1)] 2 ∫ +∞ 0 (f − f)B(ω) [~ω − (E − E)]2 + [B(ω)]2dkz } . (6) Biểu thức của B(ω) trong (6) có dạng B(ω) = 1 (f − f) HAxAyLz 32π3 ∑ nx ;ny {[( 1 (kz −M1−)2 + 1 (kz +M1−)2 ) E1 M1− + ( 1 (kzβ −M1+)2 + 1 (kzβ +M1+)2 ) E2 M1+ ] N1xN1y + [( 1 (kzα−M2−)2 + 1 (kzα+M2−)2 ) × E3 M2− + ( 1 (kzα−M2+)2 + 1 (kzα+M2+ )2) E4M2+ ] N2xN2y, } , với M1± = [ k2z + 2m∗ ~2 (~ω ± ~ωq − Enx ny + Enxny) ]1=2 E1 = (1 +Nq)(1− f) ( 1 + exp [ θ( ~2M21− 2m∗ + Enx ny − EF ) ])−1 − Nqf [ 1− (1 + exp [θ(~2M21− 2m∗ + Enx ny − EF ) ])−1] E2 = Nq(1− f) ( 1 + exp [ θ (M21+~2 2m∗ + Enx ny − EF ) ])−1 + (1 +Nq)f { 1− (1 + exp [θ(M21+~2 2m∗ + Enx ny − EF ) ] )−1 } M2± = [ k2z − 2m∗ ~2 (~ω ± ~ωq −Enxny + Enx ny ) ]1=2 E3 = (1 +Nq)f { 1− (1 + exp [θ(M22−~2 2m∗ + Enx ny −EF ) ])−1} + Nq(1− f) ( 1 + exp [ θ( M22−~2 2m∗ + Enx ny − EF ) ])−1 E4 = Nqf { 1− (1 + exp [θ(M22+~2 2m∗ +Enx ny − EF ) ])−1} + (1 +Nq)(1− f) ( 1 + exp [ θ( M22+~2 2m∗ + Enx ny − EF ) ])−1 (7) N1x(y) = π Ax(y) | Cnx(y) |2| Cnx(y) |2 24nx +4 22(nx −nx(y)) (2nx(y) + 1)! CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON TRONG DÂY LƯỢNG TỬ... 9 × Γ ( 2∆nx(y) + (2nx(y) + 1) + 1 )2 Γ ( 2∆nx(y) + (2nx(y) + 1) + 1 ) (2nx(y) + 1)!Γ(2∆nx(y) + 1)Γ( 1 2) × Γ(2∆nx(y) + 1 2 )Γ(2nx(y) + 3 2 ) × 3F2 ( − (2nx(y) + 1), 2∆nx(y) + 1 2 , 1 2 ; 2∆nx(y) + 1, 1 2 − (2nx(y) + 1); 1 ) N2x(y) = π Ax(y) | Cnx(y) |2| Cnx(y) |2 24nx +4 22(nx(y) −nx(y)) (2nx(y) + 1)! × Γ ( 2∆nx(y) + (2nx(y) + 1) + 1 )2 Γ ( 2∆nx(y) + (2nx(y) + 1) + 1 ) (2nx(y) + 1)!Γ(2∆nx(y) + 1)Γ( 1 2) × Γ(2∆nx(y) + 1 2 )Γ(2nx(y) + 3 2 ) × 3F2 (− (2nx(y) + 1), 2∆nx(y) + 12 , 12; 2∆nx(y) + 1, 12 − (2nx(y) + 1); 1), (8) trong đó Γ(x) là hàm gamma, 3F2(a, b, c; d, e;x) là chuỗi siêu bội suy rộng có dạng 3F2(a, b, c; d, e;x) = ∞∑ i=0 (a)i(b)i(c)i (d)i(c)i xi i! , với (a)i là kí hiệu Pochhammer được định nghĩa bởi (a)i = (a+ i− 1)!/(a− 1)!. 3 KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 25 30 35 40 45 0 1.´10-17 2.´10-17 3.´10-17 4.´10-17 5.´10-17 6.´10-17 Nang luong photon HmeVL C on g su a th ap th u Hd vb kL (a) (b) H¼nh 1: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường ngoài trong dây lượng tử thế parabol, nhiệt độ 200 K và ωx = 0, 1ωLO (Đồ thị a), trong dây lượng tử với thế bán parabol vào tần số của trường ngoài với nhiệt độ 97 K và ωx = 0, 4ωLO (Đồ thị b) Các đồ thị ở Hình 1 chỉ sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường ngoài ứng với một giá trị nhất định của tần số thế giam giữ và nhiệt độ trong dây lượng tử thế parabol (Hình 1a) và dây lượng tử thế bán parabol (Hình 1b). Từ các đồ thị ở Hình 1 ta thấy rằng đường cong biểu diễn sự phụ thuộc của CSHT vào năng lượng photon xuất hiện các đỉnh cộng hưởng. Các đỉnh này tương ứng với sự hấp thụ các photon với giá trị tần số 10 LÊ ĐÌNH - LÊ CHÍ - TRẦN THỊ THU HẰNG khác nhau thỏa mãn điều kiện cộng hưởng E −E ± ~ω = ~ωLO. Trong đó đỉnh ứng với giá trị CSHT lớn nhất ở vị trí ~ω = 36, 25meV . Đỉnh này thỏa mãn điều kiện ~ω = ~ωLO, tương ứng với sự dịch chuyển nội vùng. Ngoài ra, vị trí các đỉnh cộng hưởng ứng với hai dạng thế khác nhau là khác nhau. H¼nh 2: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường ngoài với các tần số giam giữ khác nhau (a) trong dây lượng tử thế parabol T = 200 K và ωx = 0.1ωLO (đường nét liền), ωx = 0.2ωLO (đường nét đứt); (b) trong dây lượng tử thế bán parabol T = 98 K và ωx = 0.4ωLO (đường nét liền), ωx = 0.41ωLO (đường nét đứt). Các đồ thị ở Hình 2 chỉ sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số của trường ngoài ứng với các tần số thế giam giữ khác nhau trong dây lượng tử thế parabol (Hình 2a) và dây lượng tử thế bán parabol (Hình 2b). Từ Hình 2 ta nhận thấy rằng, khi tần số giam giữ thay đổi, vị trí của các đỉnh cộng hưởng ứng với sự dịch chuyển nội vùng không đổi, trong lúc đó vị trí các đỉnh khác có sự dịch chuyển tương đối rõ. Điều này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết đang khảo sát, vì điều kiện cộng hưởng ứng với dịch chuyển nội vùng là ω = ωLO không phụ thuộc vào ωx. Các đỉnh cộng hưởng còn lại phụ thuộc vào độ chênh lệch hai mức năng lượng E, E  và E nên sẽ dịch chuyển. Nguyên nhân của hiện tượng này là do trong các đối số của hàm Delta có chứa tần số giam giữ thông qua biểu thức của năng lượng. Như vậy trong dây lượng tử thế parabol và bán parabol, tần số giam giữ là một đại lượng rất quan trọng đặc trưng cho mô hình và quy định các hiệu ứng lượng tử xảy ra. 4 KẾT LUẬN Trong bài báo này chúng tôi đã nghiên cứu độ dẫn điện và công suất hấp thụ theo phương ngang (phương giam giữ theo phương x) và khảo sát hiện tượng cộng hưởng electron- phonon trong dây lượng tử với thế giam giữ parabol và bán parabol theo phương x và y. Kết quả tính số và vẽ đồ thị cho thấy dưới tác dụng của trường ngoài, tương tác của electron-phonon gây ra sự chuyển mức năng lượng của electron, thỏa mãn định luật bảo toàn năng lượng. Điều này được thể hiện ở các đỉnh cộng hưởng ODEPR trên các đường cong mô tả sự sự thuộc của CSHT vào năng lượng của bức xạ điện từ tới. Vì vậy, ta có thể sử dụng sóng điện từ để dò tìm cộng hưởng electron-phonon trong dây lượng tử. Kết CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON TRONG DÂY LƯỢNG TỬ... 11 quả này phù hợp tốt với kết quả của các công trình liên quan đã công bố. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N.Q. Bau, N.V. Nhan, T.C. Phong and Ch. Nany (1997), Comm. Phys. 7, No.3, 43. [2] S. C. Lee, J. W. Kanga, H. S. Ahn, M. Yang, N. L. Kang, S. W. Kim (2005), Physica E 28, 402. [3] N. L. Kang and S. D. Choi (2009), J. Phys. Soc. Japan 78, 24710. [4] Vo Thanh Lam, Luong Quang Tung, Tran Cong Phong (2010), Proc. Natl. Conf. Theor. Phys. 35, 169. [5] S. C. Lee (2008), J. Korean Phys. Soc. textbf52(6), 1832. [6] SeGi Yu, V. B. Pevzner, and K. W.Kim (1998), Phys. Rev. B 58, 35803. [7] N. L. Kang, Y. J. Ji, H. J. Lee and S. D. Choi (2003), J. Korean Phys. Soc. 42, 379. [8] X. F. Wang, X. F. Lei (1994), Phys. Rev. B 49, 4780. [9] Y. He, Z. Yin, M. S. Zhang, T. Lu and Y. Zheng (2000), Mat. Sci. Eng. B 75, 130. [10] N. Mori, H. Monose and C. Hamaguchi (1992), Phys. Rev. B 45, 4536. Title: ELECTRON - PHONONRESONANCE IN QUANTUMWIRESWITH PARABOL AND SEMI-PARABOL CONFINEMENT POTENTIALS Abstract: The electron - phonon resonance (EPR) and optically detected electron-phonon resonance (ODEPR) in quantum wire is considered for two different confinement potentials using the state-independent operator projection technique. For the both parabol and semi- parabol potentials, the current is flowing along the direction in which electrons are confined. The dependence of absorption power on the external field frequency, confined frequency and temperature are numerically calculated and graphically plotted. The obtained results show that the effects of EPR and ODEPR depend strongly on the external field frequency, confined frequency and temperature. TS. LÊ ĐÌNH Phòng Khảo thí và ĐBCLGD, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế LÊ CHÍ Học viên Cao học VLLT & VLT K18, Trường ĐHSP - Đại học Huế TRẦN THỊ THU HẰNG Học viên Cao họcVLLT & VLT K18, Trường ĐHSP - Đại học Huế