Cơ sở hóa học tinh thể

Cơ sở hóa học tinh thể NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006. Tr 22 – 40. Từ khoá: Hình thái tinh thể, hình dạng tinh thể, nhóm điểm đối xứng. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 2 HÌNH THÁI TINH THỂ..........................................................................2 2.1 Yếu tố đối xứng và sự liên giữa chúng. ............................................................2 2.1.1 Yếu tố đối xứng ......................................................................................2 2.1.2 2.1.2. Sự liên quan giữa các yếu tố đối xứng ...........................................6 2.2 Nhóm điểm đối xứng và hình đơn của chúng....................................................8 2.2.1 Suy đoán nhóm điểm đối xứng ................................................................8 2.2.2 Hạng, hệ tinh thể ...................................................................................12 2.2.3 Kí hiệu nhóm điểm................................................................................12 2.2.4 Khái lược về hình thái tinh thể ..............................................................15 Chương 2. Hình thái tinh thể Trịnh Hân Ngụy Tuyết Nhung 2 Chương 2 HÌNH THÁI TINH THỂ Như đã nói, tinh thể là vật rắn dị hướng, đồng nhất. Các hạt tạo nên tinh thể sắp đặt thẳng đều trong không gian. Bắt nguồn từ bản chất đó, một trong những thuộc tính của tinh thể là khả năng tự tạo hình đều đặn riêng tuỳ đối xứng bên trong của mỗi pha rắn. Trên đa diện tinh thể, các đỉnh, cạnh và mặt hay nói chung các phần bằng nhau của nó có thể lặp lại nhau hoặc trùng nhau nhờ những thao tác đối xứng. Nhờ vậy, trong tinh thể nào đó vốn dĩ dị hướng đối với một tính chất, tính chất ấy có thể bộc lộ giống nhau theo những phương khác nhau (nếu chúng là các phương cân đối [13]). 2.1 Yếu tố đối xứng và sự liên giữa chúng. Hai thao tác đối xứng là phép phản chiếu qua mặt gương hay qua điểm và phép quay quanh trục; chúng cụ thể hoá bằng yếu tố đối xứng các loại. 2.1.1 Yếu tố đối xứng Tính đối xứng bộc lộ rõ trên bề mặt tinh thể; sự lặp lại được xác lập nhờ các thao tác chính sau: - Phép phản chiếu: các phần bằng nhau của tinh thể có thể lặp lại nhau, sau khi phản chiếu trong mặt phẳng (mặt gương) tưởng tượng đi qua trọng tâm của đa diện. - Phép quay: các phần bằng nhau của đa diện trùng lại nhau, sau khi quay quanh đường thẳng tưởng tượng đi qua trọng tâm của đa diện. Tương ứng với hai thao tác ấy là hai yếu tố đối xứng đặc trưng cho hình thái tinh thể là mặt đối xứng hay mặt gương và trục đối xứng hay trục xoay. Ngoài hai yếu tố đối xứng này còn có tâm đối xứng hay tâm nghịch đảo. Đây là phép phản chiếu qua điểm trọng tâm. Đa diện có tâm nghịch đảo thì từng đôi mặt đối của nó phải bằng nhau và song song ngược nhau (hình 2.1). Trong trường hợp này, các đôi mặt đối này phải lặp lại nhau sau khi phản chiếu qua một điểm tưởng tượng nằm trùng với trọng tâm của đa diện. Mặt đối xứng hay mặt gương: Hãy bổ đôi tinh thể muối ăn dạng khối lập phương, nó sẽ vỡ ra thành hai nửa bằng nhau. Đa diện lập phương bất kì luôn có ba mặt gương trực giao, song song với các mặt vuông của đa diện (hình 2.2,a). Ngoài ra, mặt phẳng chia đôi khối đa diện có thể đi qua đôi đường chéo song song của đôi mặt đối (hình 2.2,b). Khối lập phương có 6 mặt gương loại này và cả thảy nó có 9 mặt gương. Tinh thể các chất có một, hai, ba, bốn, Hình 2.1. Đa diện chứa yếu tố đối xứng duy nhất: tâm đối xứng 3 năm, bảy, chín mặt gương. Ví dụ, tinh thể thạch cao CaSO4.4H2O chỉ có một mặt gương (hình 2.3 và 2.4). Hình 2.2 Khối lập phương với ba mặt gương dọc các cạnh (a) và sáu mặt gương dọc các đường chéo (b) Trục đối xứng: Trong tinh thể thạch cao có yếu tố đối xứng thứ hai là trục đối xứng. Đây là đường thẳng đi qua trọng tâm của hình và vuông góc với mặt gương (hình 2.4). Nếu quay tinh thể 360o quanh trục đối xứng này thì đa diện tinh thể sẽ trùng với chính nó hai lần. Mỗi lần ứng với góc quay180o. Đó là trục xoay (đối xứng) bậc hai hay trục hai. Trong tinh thể khối lập phương của muối ăn, trục bậc hai nối trung điểm từng đôi cạnh đối; do đó nó có 6 trục hai. Ngoài ra, khối lập phương còn có ba trục bậc bốn đi qua trung điểm của từng đôi mặt đối và bốn trục ba nối các đỉnh xuyên tâm đối (hình 2.5). Trục bậc bốn có góc quay cơ sở 90o, trục bậc ba 120o. Vậy, bậc n của trục 360 n °= α với α là góc quay cơ sở, tức là góc quay nhỏ nhất cho phép hình trùng với nó một lần khi xoay quanh trục. Khi α = 180o, n = 2, ta có trục xoay bậc hai; khi α = 120o, n = 3, trục xoay bậc ba; khi α = 90o, n = 4, trục xoay bậc bốn; khi α = 60o, n = 6, trục xoay bậc sáu. Hình 2.3 Tinh thể thạch cao với mặt gương và trục bậc hai vuông góc Trục bậc hai song song mặt hình (a) và vuông góc mặt hình (b) 4 Hình 2.4 Các yếu tố đối xứng của tinh thể thạch cao thể hiện trên biểu đồ hình chiếu nổi (chưa kể tâm nghịch đảo tại giao điểm, xem sau) Hình 2.5 Các trục bậc hai, ba và bốn của khối lập phương Trục đối xứng phức (trục phức).Trên đây đã xét các trục đối xứng đơn (trục đơn). Ngoài phép xoay (180o,120o, 90o, 60o), trục phức chứa phép nghịch đảo gọi là trục nghịch đảo, chứa phép phản chiếu qua mặt gương vuông góc gọi là trục gương. Hình 2.6,a giới thiệu trục nghịch đảo bậc một. Điểm xoay một vòng quanh trục thì trở về điểm xuất phát. Sau phép nghịch đảo điểm a tới vị trí điểm a1. Đó là tác dụng của trục nghịch đảo bậc một. Nếu không nghịch đảo qua tâm, mà phản chiếu qua mặt gương vuông góc với trục thì điểm a sẽ tới trùng với '1a . Đó là tác dụng của trục gương bậc một. Hình 2.6 Trục nghịch đảo và trục gương bậc một (a) và bậc hai (b) Sơ đồ cho thấy, trục nghịch đảo bậc một tương đương tâm đối xứng, còn trục gương bậc một tương đương mặt đối xứng gương. Các bước chuyển hình học của trục nghịch đảo bậc hai thể hiện trên hình 2.6.b. Trên sơ đồ, điểm a xoay 180o quanh trục thì tới a’, rồi nghịch đảo qua tâm của tinh thể thì tới a1. Đó là tác dụng của trục nghịch đảo bậc hai. Bây giờ cho a’ phản chiếu qua mặt gương vuông góc thì nó sẽ về vị trí '1a . Như vậy, nhờ tác dụng của trục gương bậc hai, điểm a tới trùng với ' 1a . Trục nghịch đảo bậc hai tương đương trục gương bậc một hay mặt gương (hình b: từ điểm a sang a1), còn trục gương bậc hai tương đương trục nghịch đảo bậc một hay tâm đối xứng (hình a: từ điểm a sang a1). 5 Những thao tác thực hiện bằng trục nghịch đảo bậc ba thể hiện trên hình 2.7,a. Mỗi điểm a1, a2 hay a3 thuộc phần trên của tinh thể có thể lần lượt trùng với mỗi điểm a4, a5 hay a6 của phần dưới bằng phép quay 120o quanh trục và phản chiếu qua tâm. Điểm a1 xoay 120o quanh trục tới vị trí a2 rồi nghịch đảo qua tâm để tới trùng với a4; điểm a2 xoay quanh trục để tới a3, rồi phản chiếu qua tâm sẽ trùng với a5; cũng như thế, a3 sang a1 rồi tới a6. Đây là tác dụng của trục nghịch đảo bậc ba. Hình 2.7 Trục nghịch đảo bậc ba (a) và bậc sáu (b) Nếu các điểm phần trên tinh thể sau khi xoay quanh trục, không nghịch đảo qua tâm mà phản chiếu qua mặt gương vuông góc, thì chúng sẽ lần lượt tới trùng với các điểm phần dưới (xem hình 2.7,b). Đây là tác dụng của trục gương bậc ba. Trong trường hợp này, mỗi điểm ở phần trên nằm ngay bên trên điểm phần dưới. Bây giờ, nếu cho mỗi điểm phần trên xoay 60° quanh trục (a1 tới '1a , a2 tới ' 1a v.v..) và lần lượt nghịch đảo qua tâm tinh thể thì chúng sẽ tới các điểm phần dưới. Đây là trường hợp của trục nghịch đảo bậc sáu. Quay lại sơ đồ hình 2.7,a, có thể đưa các điểm phần trên tới trùng các điểm phần dưới bằng phép xoay 60o và phép phản chiếu tiếp theo qua mặt gương vuông góc: thao tác của trục gương bậc sáu. Như vậy, trục nghịch đảo bậc ba tương đương trục gương bậc sáu và trục nghịch đảo bậc sáu tương đương trục gương bậc ba. Mặt khác, trục nghịch đảo bậc ba là sự kết hợp của trục xoay bậc ba và tâm đối xứng; còn trục nghịch đảo bậc sáu (trục gương bậc ba) là sự kết hợp của trục xoay bậc ba và mặt gương vuông góc. Hình 2.8 giới thiệu thao tác của trục nghịch đảo bậc bốn. Để dẫn các điểm a1 và a2 phía trên tinh thể đến các vị trí a3 và a4 ở phía dưới, hãy cho chúng xoay 90° quanh trục rồi phản chiếu qua tâm điểm. Sơ đồ các điểm cho thấy có thể thay phép nghịch đảo qua tâm bằng phép phản chiếu qua mặt gương vuông góc, mà kết quả không khác. 6 Hình 2.8 Trục nghịch đảo bậc bốn (a) thể hiện trên tinh thể (b) và trên biểu đồ hình chiếu nổi (c) Như vậy, trục nghịch đảo bậc bốn và trục gương bậc bốn là những yếu tố đối xứng tương đồng. Nhận xét: - Các trục bậc chẵn chứa góc quay cơ sở của trục hai, riêng trục bậc sáu còn chứa cả góc quay cơ sở của trục bậc ba. - Trục nghịch đảo bậc bốn chứa góc quay cơ sở của trục bậc hai. - Tinh thể không chứa trục bậc năm và trục bậc cao hơn sáu [13]. Tuy vậy, trong thực tế chỉ một dạng trục phức được sử dụng: trục nghịch đảo. Hơn nữa trong đối xứng hình thái chúng hầu hết được thay bằng các yếu tố đối xứng đơn: trục nghịch đảo bậc một thay bằng tâm đối xứng, trục nghịch đảo bậc hai thay bằng mặt gương, trục nghịch đảo bậc ba thay bằng trục xoay bậc ba cộng tâm đối xứng và cuối cùng trục nghịch đảo bậc sáu thay bằng trục xoay bậc ba cộng mặt gương vuông góc. Duy trục nghịch đảo bậc bốn hay trục gương bậc bốn là không thể thay thế bằng bất kì yếu tố đối xứng nào. Vì vậy, tinh thể học hình thái có bảy yếu tố đối xứng thông dụng: 1) Tâm đối xứng, hay tâm nghịch đảo, hay trục (đối xứng) nghịch đảo bậc một, kí hiệu 1 , hay C. 2) Trục xoay (đối xứng) bậc hai hay trục hai, kí hiệu 2, hay L2. 3) Trục xoay (đối xứng) bậc ba hay trục ba, kí hiệu 3, hay L3. 4) Trục xoay (đối xứng) bậc bốn hay trục bốn, kí hiệu 4, hay L4. 5) Trục (đối xứng) nghịch đảo bậc bốn, kí hiệu 4 , hay Li4. 6) Trục xoay (đối xứng) bậc sáu hay trục sáu, kí hiệu 6, hay L6. 7) Mặt đối xứng hay mặt gương, kí hiệu m, hay P. 2.1.2 Sự liên quan giữa các yếu tố đối xứng Mỗi đa diện tinh thể chỉ có một tổ hợp yếu tố đối xứng để biểu thị tính đối xứng của nó. Nhiều tinh thể, tuy khác nhau về hình dạng, nhưng lại có chung những yếu tố đối xứng. Chẳng hạn, khối lập phương là đa diện tinh thể của muối ăn/halit NaCl và khối bát diện đều là đa diện tinh thể của khoáng vật magnetit Fe3O4; các đa diện này có chung một tổ hợp yếu tố đối xứng, một nhóm điểm: chúng thuộc một lớp tinh thể. Số lượng đa diện tinh thể thì hàng 7 vạn và tăng lên không ngừng theo thời gian. Chúng tập hợp lại trong 32 lớp tinh thể với mỗi lớp một nhóm điểm đặc trưng cho đối xứng mọi cá thể của lớp. Như đã kể trên, trong tinh thể học hình thái có 7 yếu tố đối xứng. Thoạt nhìn, theo cách tổ hợp thông thường, từ 7 yếu tố có thể suy ra số nhóm điểm nhiều hơn 32. Thực ra, tinh thể học có những quy tắc nghiêm ngặt áp dụng cho sự tổ hợp này. 9 Quy tắc một Hai trục bậc hai giao nhau dưới góc 180° : n làm xuất hiện trục bậc n vuông góc với chúng. Nếu các trục hai cùng tên, trục n mới sinh sẽ là trục xoay; nếu chúng khác tên thì trục bậc n mới sinh sẽ là trục nghịch đảo. Nhờ sự tương tác của trục bậc n, các trục hai vuông góc với nó sẽ tăng số lượng tổng bằng n, nếu trục bậc n là trục nghịch đảo thì vuông góc sẽ là các trục bậc hai khác tên xen kẽ nhau. Quy tắc này cụ thể hoá bằng các trường hợp sau. Ví dụ một, vuông góc với hai trục xoay bậc hai dưới góc 45o là trục xoay bậc bốn, ngoài ra các trục xoay bậc hai vuông góc sẽ đạt số tổng là 4. Trong ví dụ hai, giao nhau dưới góc 45° là trục xoay bậc hai và trục bậc hai nghịch đảo (hình 2.9,a). Trục bậc n mới sinh là trục nghịch đảo bậc bốn. Dưới tác dụng của trục bậc hai trong nó, số lượng trục xoay bậc hai vuông góc với nó sẽ là 2, chúng vuông góc với nhau. Xen giữa chúng là 2 trục bậc hai nghịch đảo; trên hình, chúng thay bằng 2 mặt gương thẳng góc (yếu tố đối xứng tương đương). Chúng vuông góc nhau và nhận trục bậc bốn nghịch đảo làm giao tuyến. Trên hình 2.9,b là sơ đồ của ví dụ thứ ba, các trục hai khác tên cắt nhau dưới góc 30°. Trục đối xứng sinh ra là trục nghịch đảo bậc sáu; nó biểu thị bằng trục xoay bậc ba cộng mặt gương vuông góc. 9 Quy tắc hai Mặt đối xứng phân bố trong đa diện tinh thể theo những cách sau : - Vuông góc với trục đối xứng; - Đi qua trục đối xứng, cắt nhau dưới góc bằng một nửa góc quay cơ sở của trục xoay, hay bằng góc quay cơ sở của trục nghịch đảo và nhận trục làm giao tuyến; - Phân đôi góc giữa 2 trục cùng tên (xem hình 2.9). 9 Quy tắc ba Trục cùng tên có thể cắt nhau dưới những góc hoàn toàn xác định: - Trục bậc hai cắt nhau dưới góc 60°, 90°, 120° và 180°; - Trục bậc ba cắt nhau dưới góc 70°31′44″ và 180°; - Trục bậc bốn cắt nhau dưới góc 90° và 180°; - Trục bậc sáu cắt nhau dưới góc 180°. Hình 2.9 Các trục hai khác tên (trục xoay và trục nghịch đảo) cắt nhau sinh trục bậc n nghịch đảo vuông góc a) dưới 45o cho trục bốn và b) dưới 30o cho trục sáu 8 Ví dụ, trong đa diện lập phương, các trục bậc bốn đều cắt nhau dưới góc vuông, còn các trục bậc ba thì dưới góc 70°31′44″ (xem hình 2.5) các trục cùng tên này cũng cắt nhau dưới góc 180°. Dưới ánh sáng của quy tắc này, có thể đưa ra khái niệm trục phân cực; trục nối hai phần khác nhau của tinh thể. Các trục còn lại nối hai đầu giống nhau của tinh thể; nói cách khác, chúng là hai trục cắt nhau dưới góc 180°, do tác động của ít nhất một trong ba yếu tố đối xứng mà chúng chứa: tâm đối xứng, mặt gương/trục bậc hai vuông góc. 9 Quy tắc bốn Nếu tinh thể có phương đơn (là phương không chịu tác dụng của yếu tố đối xứng), mọi yếu tố đối xứng có thể trùng với nó và không thể cắt nó dưới góc bất kì. Riêng trục bậc hai có thể cắt nó dưới góc vuông [13]. Các trục nghịch đảo bậc bốn (a) hay bậc sáu (b) trên hình 2.9 đều trùng với phương đơn; sơ đồ trên hình không cho thấy yếu tố đối xứng nào cắt chúng, trừ các trục bậc hai. 2.2 Nhóm điểm đối xứng và hình đơn của chúng Đa diện tinh thể dù phong phú, chúng đều quy về 47 hình đơn. Tuỳ tính đối xứng của chúng, số hình đơn này được suy đoán bằng các thao tác đối xứng của 32 nhóm điểm. 2.2.1 Suy đoán nhóm điểm đối xứng Như trên đã nói, về mặt hình thái tinh thể chia ra làm 32 lớp; đặc trưng cho đối xứng của mỗi lớp là dạng đối xứng, còn gọi nhóm điểm đối xứng hay nhóm điểm (tất cả các yếu tố đối xứng của nhóm điểm đều nhận trọng tâm của tinh thể làm giao điểm, điểm bất biến). Dưới đây, sẽ suy đoán 32 nhóm điểm bằng việc sử dụng 5 dạng đối xứng đơn giản nhất (hình 2.10). Tương ứng với chúng là 5 hình đơn (tập hợp các mặt liên quan với nhau nhờ các yếu tố đối xứng của nhóm điểm). Tham khảo các chương tương ứng [13,14] để biết thêm các cách suy đoán nhóm điểm và hình đơn. a) Tinh thể dạng này không có yếu tố đối xứng (chỉ có trục bậc một). Hết thảy các mặt trên đa diện tinh thể đều khác nhau, nên không trùng lặp nhau. Mỗi mặt cho một hình đơn. Đó là hình đơn một mặt (hình 2.10,a). 9 b) Tinh thể chứa tâm đối xứng. Mỗi mặt trên đa diện đều có một mặt đối bằng nó, song song ngược chiều với nó. Hai mặt đối này tạo hình đơn gọi là đôi mặt (hình 2.10,b). c) Đối xứng của tinh thể thể hiện bằng trục bậc hai (phân cực). Mỗi mặt đều có thể trùng với mặt khác bằng phép xoay 180° quanh trục. Hai mặt ở vị trí tổng quát này kéo dài sẽ cắt nhau như hai mái nhà (hình 2.10,c) tạo nên hình đơn hai mặt (trục). d) Từng cặp mặt dạng mái nhà đối xứng nhau qua mặt gương duy nhất, cho hình đơn hai mặt (hình 2.10,d). Hình đơn hai mặt này sinh ra do tác động của mặt gương, khác với hai mặt (trục) do trục hai sinh ra. Nhiều tác giả phân biệt hai hình đơn: hai mặt và hai mặt trục, nên số hình đơn sẽ là 48 thay cho 47. e) Đối xứng của đa diện biểu thị bằng tổ hợp 2 yếu tố đối xứng trực giao: trục xoay bậc hai và mặt gương. Nhờ những thao tác đối xứng này, mặt ở vị trí tổng quát này (hình 2.10,e) sẽ sinh ra hình đơn lăng trụ (trực thoi). Dưới tác dụng của mỗi trục đối xứng bậc cao, 5 dạng đối xứng đơn giản kèm hình đơn này sẽ cho 5 dạng đối xứng/hình đơn cao hơn. Hình 2.11 giới thiệu 5 dạng đối xứng/hình đơn khác nhau, hình thành nhờ tác dụng của trục bậc ba đối với 5 dạng đối xứng/hình đơn chính đã kể trên. Chẳng hạn, hình đơn một mặt xoay quanh trục bậc ba phân cực cho hình đơn tháp ba phương (hình 2.11,a). Sau ba lần quay quanh trục bậc ba này, hình đơn đôi mặt tạo hình đơn mặt thoi với các yếu tố đối xứng là trục bậc ba, ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến, ba trục bậc hai vuông góc với nó (mỗi trục hai còn vuông góc với một mặt gương) và tâm nghịch đảo (hình 2.11,b). Bằng cách tương tự, hình đơn hai mặt (trục) cho hình đơn mặt thang ba phương với trục đối xứng bậc ba và ba trục xoay bậc hai phân cực vuông góc (hình 2.11,c). Hình 2.11 Năm dạng đối xứng suy ra từ sự kết hợp giữa trục ba với mỗi dạng đối xứng đơn giản Hình đơn hai mặt cho hình đơn tháp ba phương kép với trục bậc ba phân cực và ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến (hình 2.11,d). Hình lăng trụ trực thoi cho hình đơn mặt tam giác lệch ba phương với trục bậc ba, ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến, ba trục bậc hai và tâm đối xứng (hình 2.11,e). 10 Lần lượt thay trục đối xứng bậc ba bằng các trục đối xứng cao hơn và xử lí như trên sẽ nhận được tất cả các tổ hợp đặc trưng của 32 nhóm điểm (mỗi nhóm lấy tên của hình đơn tổng quát của nó, xem thêm bảng 2.1) như liệt kê dưới đây [13,14]. Không có yếu tố đối xứng: 1) Nhóm điểm một mặt Chỉ có trục đối xứng: 2) Nhóm điểm hai mặt (trục) với trục xoay bậc hai. 3) Nhóm điểm tháp ba phương với trục bậc ba. 4) Nhóm điểm tháp bốn phương với trục bậc bốn. 5) Nhóm điểm tháp sáu phương với trục bậc sáu. 6) Nhóm điểm bốn mặt ba (ngũ giác) với 4 trục bậc ba định hướng như 4 đường chéo của khối lập phương và 3 trục xoay bậc hai trực giao chạy dọc các cạnh của nó. 7) Nhóm điểm bốn mặt trực thoi với 3 trục xoay bậc hai vuông góc. 8) Nhóm điểm mặt thang ba phương với trục xoay bậc ba và 3 trục xoay bậc hai vuông góc. 9) Nhóm điểm mặt thang bốn phương với trục xoay bậc bốn và 4 trục xoay bậc hai vuông góc. 10) Nhóm điểm mặt thang sáu phương với trục xoay bậc sáu và 6 trục xoay bậc hai vuông góc. 11) Nhóm điểm tám mặt ba (ngũ giác) với bốn trục bậc ba định hướng dọc 4 đường chéo của khối lập phương, ba trục xoay bậc bốn dọc các cạnh và 6 trục xoay bậc hai nối trung điểm các cạnh đối của nó. Chỉ có trục nghịch đảo: 12) Nhóm điểm đôi mặt với trục nghịch đảo bậc một (tâm đối xứng). 13) Nhóm điểm hai mặt với trục nghịch đảo bậc hai (mặt gương). 14) Nhóm điểm mặt thoi với trục bậc ba nghịch đảo (trục xoay bậc ba cộng tâm nghịch đảo). 15) Nhóm điểm bốn mặt bốn phương với trục nghịch đảo bậc bốn. Có trục và mặt gương vuông góc (trường hợp trục chính mang bậc chẵn sẽ có thêm tâm đối xứng): 16) Nhóm điểm lăng trụ (trực thoi) với trục xoay bậc hai, mặt gương vuông góc và tâm đối xứng. 17) Nhóm điểm tháp đôi ba phương với trục xoay bậc ba và mặt gương vuông góc. Tổ hợp này tương ứng trục nghịch đảo bậc sáu. 18) Nhóm điểm tháp đôi bốn phương với trục xoay bậc bốn, mặt gương vuông góc. 19) Nhóm điểm tháp đôi sáu phương với trục xoay bậc sáu, mặt gương vuông góc. 11 20) Nhóm điểm mười hai mặt kép với 3 trục bậc hai song song với các cạnh của khối lập phương, 3 mặt gương vuông góc với chúng, và 4 trục bậc ba dọc 4 chéo của khối lập phương. Có trục và các mặt gương đi qua (song song): 21) Nhóm điểm tháp trực thoi với trục xoay đối xứng bậc hai và hai mặt đối xứng gương trực giao nhận nó làm giao tuyến. 22) Nhóm điểm tháp ba phương kép với trục xoay đối xứng bậc ba và ba mặt gương giao nhau dưới góc 120°. 23) Nhóm điểm tháp bốn phương kép với trục xoay đối xứng bậc bốn và bốn mặt đối xứng gương giao nhau dưới góc 45°. 24) Nhóm điểm tháp sáu phương kép với trục xoay đối xứng bậc sáu và sáu mặt gương giao nhau dưới góc 30°. 25) Nhóm điểm bốn mặt sáu (tam giác) với bốn trục đối xứng bậc ba định hướng dọc 4 đường chéo của khối lập phương, ba trục bậc bốn nghịch đảo chạy dọc các cạnh của nó và sáu mặt gương chạy dọc các trục bậc ba. Có trục nghịch đảo và mặt gương đi qua (song song): 26) Nhóm điểm mặt tam giác lệch bốn phương với trục bậc bốn nghịch đảo, hai mặt gương nhận nó làm giao tuyến và hai trục xoay bậc hai vuông góc với trục nghịch đảo, phân đôi góc giữa các mặt gương. 27) Nhóm điểm mặt tam giác lệch ba phương với trục bậc ba nghịch đảo, ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến và ba trục bậc hai vuông góc. Có trục và các mặt gương: 28) Nhóm điểm tháp đôi trực thoi với ba trục bậc hai trực giao, ba mặt gương vuông góc với chúng và tâm đối xứng. 29) Nhóm điểm tháp đôi ba phương kép với trục bậc ba, ba trục hai vuông góc với nó và bốn mặt gương (1 mặt vuông góc với trục ba và đi qua các trục bậc hai, còn lại mỗi mặt chứa một trục bậc ba và một trục bậc hai). 30) Nhóm điểm tháp đôi sáu phương kép với trục xoay bậc sáu, sáu trục xoay bậc hai, bảy mặt gương (1 mặt vuông góc với trục bậc sáu + 6 mặt đi qua tất cả các trục) và tâm đối xứng. 31) Nhóm điểm tháp đôi bốn phương kép với trục xoay bậc bốn, bốn trục xoay bậc hai vuông góc với nó, năm mặt gương (1 mặt vuông góc với trục bậc bốn + 4 mặt đi qua tất cả các trục) và tâm đối xứng. 32) Nhóm điểm tám mặt sáu (tam giác) với bốn trục bậc ba nghịch đảo định hướng như 4 chéo của khối lập phương, ba trục xoay bậc bốn chạy dọc các cạnh của nó, sáu trục xoay bậc hai phân đôi góc giữa các trục bậc bốn, chín mặt gương vuông góc với các trục bậc chẵn và tâm đối xứng. Trên đây là tất cả các tổ hợp có thể có của các yếu tố đối xứng. Thời gian đầu từ khi được chứng minh, không phải hết thảy 32 dạng đối xứng đều có ví dụ thực tế như hiện tại. Cho tới nay, trong số hàng vạn chất bao gồm các tinh thể tự nhiên (khoáng vật) và nhân tạo chưa có trường hợp nào nằm ngoài 32 lớp tinh thể. 12 2.2.2 Hạng, hệ tinh thể Căn cứ trên đặc điểm các tổ hợp yếu tố đối xứng có thể chia 32 dạng đối xứng thành ba hạng: - Hạng thấp; tinh thể hạng này không chứa trục bậc ba, bậc bốn, bậc sáu. - Hạng trung; tinh thể chứa trục chính thẳng đứng; trục bậc ba, trục bậc bốn và trục bậc sáu. - Hạng cao; tinh thể chứa 3 trục trực giao: bậc bốn (xoay hay nghịch đảo) hoặc bậc hai và luôn chứa bốn trục bậc ba. Hạng thấp có 8 lớp, hạng trung 19 lớp, hạng cao 5 lớp. Các lớp tinh thể còn phân chia thành các hệ sau: a) Hệ ba nghiêng không có mặt và trục đối xứng, có thể có tâm đối xứng. b) Hệ một nghiêng chỉ chứa một trục hai và (hay) một mặt gương. c) Hệ trực thoi chỉ chứa trục hai và mặt gương; có thể có đến ba trục hai hay ba mặt gương trong hệ. d) Hệ bốn phương nhận trục bậc bậc bốn (trục xoay hoặc trục nghịch đảo) làm trục chính. e) Hệ sáu phương với hai phụ hệ đều nhận các trục đối xứng (trục xoay hay trục nghịch đảo) làm trục chính: trục bậc ba của phụ hệ ba phương và trục bậc sáu của phụ hệ sáu phương. f) Hệ lập phương thuộc hạng cao với 4 trục bậc ba. 2.2.3 Kí hiệu nhóm điểm Như đã nói trên, mỗi lớp đặc trưng bằng một tổ hợp nhất định yếu tố đối xứng (một nhóm điểm). Mỗi nhóm điểm biểu thị bằng một công thức tinh thể học tương ứng. Ví dụ lớp tám mặt sáu có công thức: 3L44L36L29PC (xem nhóm điểm 32), lớp tháp đôi trực thoi: 3L23PC (nhóm điểm 28), hay L2L’2L’’2PP’P’’C, với các trục hai (và các mặt gương) không tương đương. Lớp tháp đôi sáu phương kép L66L27PC, ở đây các trục bậc hai (cũng như các mặt gương) gồm hai loại. Để tiện lợi hơn, thay vào công thức kiểu Bravais này, một số cách kí hiệu khác đã ra đời. Kí hiệu Schoenflies Những nhóm chỉ chứa trục thì kí hiệu của chúng đều có chữ C, bậc của trục biểu diễn bằng chỉ số dưới. Chẳng hạn, C1 C2 C3 C4 C6 là những nhóm với một trục duy nhất cho mỗi lớp. Những nhóm chứa thêm mặt gương (nằm ngang) vuông góc có thêm kí hiệu dưới h ngay sau chỉ số chỉ bậc của trục. Do đó, kí hiệu C2h C3h C4h và C6h đặc trưng lần lượt cho các nhóm lăng trụ (trực thoi), tháp đôi ba phương, tháp đôi bốn phương và tháp đôi sáu phương. Trục chứa thêm mặt gương (thẳng đứng) thì sẽ có kí hiệu dưới v đặt ngay sau chỉ số, chỉ số này cũng cho thấy số mặt gương thẳng đứng tương ứng: C2v C3v C4v và C6v. Lớp hai mặt (số 13) có kí hiệu CS với trục hai nghịch đảo thay bằng mặt gương tương đương. 13 Những nhóm với trục chính và trục bậc hai thẳng góc, mà số lượng của chúng cũng chỉ bậc của trục chính, thì biểu thị bằng chữ D. Đó là các lớp bốn mặt trực thoi D2, mặt thang ba phương D3, mặt thang bốn phương D4 và mặt thang sáu phương D6. Các kí hiệu này chứa thêm kí hiệu dưới h, như D2h D3h D4h và D6h dùng biểu thị lần lượt các nhóm điểm sau: tháp đôi trực thoi, tháp đôi ba phương kép, tháp đôi bốn phương kép và tháp đôi sáu phương kép. Các nhóm mặt tam giác lệch bốn phương và mặt tam giác lệch ba phương kí hiệu bằng D2d (hay Vd) và D3d. Chữ d cho thấy mặt gương nằm chéo, ở vị trí phân đôi góc của các trục bậc hai. Những lớp chứa trục gương duy nhất, bậc bốn và bậc sáu, có kí hiệu S4 và S6. Như đã biết, trục gương bậc sáu tương đương trục nghịch đảo bậc ba, nên S6 có thể viết thành C3i. Cũng vì vậy, lớp đôi mặt kí hiệu Ci. Các lớp của hệ lập phương thường bắt đầu bằng T và O (tetrahedral: thuộc tứ diện và octahedral: thuộc bát diện); T là nhóm điểm bốn mặt ba (ngũ giác), O tám mặt ba (ngũ giác), điền thêm kí hiệu dưới h và d tuỳ trường hợp: Th mười hai mặt kép, Oh tám mặt sáu (tam giác), Td bốn mặt sáu (tam giác). Bảng 2.1 Hệ thống tinh thể theo hệ và lớp Kí hiệu lớp* Hệ/phụ hệ Lớp tinh thể 1) 2) 3) Ba nghiêng Một mặt Đôi mặt L1 C C1 Ci = S2 1 1Một nghiêng Hai mặt trục Hai mặt Lăng trụ (trực thoi) L2 P L2PC C2 CS C2h 2 m 2/m Trực thoi Bốn mặt trực thoi Tháp trực thoi Tháp đôi trực thoi 3L2 L22P 3L23PC D2 C2v D2h 222 mm2 Mmm Bốn phương Tháp bốn phương Tháp đôi bốn phương Mặt thang bốn phương Tháp bốn phương kép Tháp đôi bốn phương kép Bốn mặt bốn phương Mặt tam giác lệch bốn phương L4 L4PC L44L2 L44P L44L25PC Li4 Li42L22P C4 C4h D4 C4v D4h S4 D2d 4 4/m 422 4mm 4/mmm 4 4 2m Ba phương Tháp ba phương Mặt thoi Mặt thang ba phương Tháp ba phương kép Mặt tam giác lệch ba phương L3 L3C L33L2 L33P L33L23PC C3 C3i D3 C3v D3d 3 3 32 3m Sáu phương Tháp sáu phương Tháp đôi sáu phương Mặt thang sáu phương Tháp sáu phương kép Tháp đôi sáu phương kép Tháp đôi ba phương Tháp đôi ba phương kép L6 L6PC L66L2 P66P L66L27PC L3P L33L24P C6 C6h D6 C6v D6h C3h D3h 6 6/m 622 6mm 6/mmm 6 6 14 Lập phương Bốn mặt ba (ngũ giác) Mười hai mặt kép Tám mặt ba (ngũ giác) Bốn mặt sáu (tam giác) Tám mặt sáu (tam giác) 4L33L2 3L33L23PC 3L44L36L2 3Li44L36P 3L44L36L29PC T Th O Td Oh 23 m3 432 4 3m m3m Chú thích: * kí hiệu theo 1) Bravais, 2) Schoenflies, 3) Hermann-Mauguin Kí hiệu Hermann-Mauguin Trục đối xứng kí hiệu bằng số chỉ bậc của nó, mặt gương bằng chữ m. Trục xoay bậc hai, ba, bốn và sáu kí hiệu lần lượt 2, 3, 4 và 6. Vạch ngang đặt phía trên chữ số là trục nghịch đảo; 4 là trục nghịch đảo bậc bốn (xem 2.1.1). Các nhóm điểm khác kí hiệu bằng những kết hợp khác nhau của các chữ số và chữ m. Mặt gương vuông góc với trục đối xứng thì giữa nó và trục có gạch ngang hay chéo dạng phân số. Ví dụ : 2/m là nhóm với trục bậc hai vuông góc với mặt gương (tâm nghịch đảo là kết quả đương nhiên). Nếu 2 kí tự này viết liền nhau thì đó là vì chúng song song nhau (mặt chứa trục). 222 là nhóm điểm có 3 trục xoay bậc hai trực giao; 2 2 2 m m m là nhóm tháp đôi trực thoi. Kí hiệu này rút gọn thành mmm: 3 mặt gương trực giao sinh ra trên giao tuyến 3 trục xoay đối xứng bậc hai, tâm đối xứng nằm trên giao điểm. Những yếu tố đối xứng sinh ra là kết quả đương nhiên thì không chỉ ra trên phép kí hiệu. Như vậy, nhóm tám mặt sáu (tam giác) biểu hiện bằng kí hiệu 4 23 m m , hay viết tắt thành m3m. Trục chính sẽ đứng đầu trong kí hiệu nhóm điểm tinh thể các hệ hạng trung. Mặt gương thẳng góc nếu có, sẽ làm với nó một vị trí, dưới dạng phân số. Vị trí thứ hai dành cho yếu tố đối xứng dọc trục toạ độ OX (OU) và OY. Vị trí thứ ba (thường bỏ trống trong phụ hệ ba phương) là các yếu tố đối xứng dọc hướng phân giác của các góc giữa các trục tọa độ ngang. Ví dụ: nhóm điểm 4/mmm. Hệ trục toạ độ tinh thể học Tinh thể hệ 3 nghiêng có hệ trục toạ độ tổng quát nhất. Các đoạn a, b, c trên 3 trục OX, OY, OZ không bằng nhau, tức là các trục không tương đương. Các góc α giữa OY và OZ, β giữa OX và OZ, γ giữa OX và OY cũng khác nhau. Mỗi tinh thể 3 nghiêng có những giá trị xác định của các góc và cạnh ấy. Trong tinh thể 1 nghiêng có 2 giá trị góc bằng góc vuông, đó là góc giữa OY và OX, giữa OY và OZ; góc β giữa OX và OZ là góc nghiêng, quy ước lấy giá trị lớn hơn góc vuông. Các giá trị a, b, c khác nhau. Trong hệ, trục bậc 2 và tia pháp của mặt gương được chọn để đặt trục OY. Còn 2 trục kia, cũng như cả 3 trục của tinh thể 3 nghiêng, đều đặt theo các cạnh thường gặp nhất (theo trục của đới phát triển nhất), ưu tiên OZ hơn. Tinh thể trực thoi có hệ trục toạ độ trực giao, chạy dọc các trục bậc hai hay/và pháp tuyến của mặt gương và không tương đương, giống 2 hệ trên: a, b, c khác nhau. Tinh thể 4 phương cũng có hệ trục vuông góc và a và b bằng nhau. Trục thứ 3 là c thẳng đứng luôn trùng với trục đối xứng bậc 4 (trục xoay hay trục nghịch đảo). Các trục ngang đặt dọc trục bậc 2, hoặc dọc tia pháp mặt gương, hoặc dọc theo các đới phát triển nhất. Đặc số của hệ 4 phương là tỉ số a : c. Tinh thể hệ sáu phương có góc γ giữa OX và OY bằng 120° và hai góc vuông, a = b. Trục OZ đứng trùng với trục bậc ba và trục bậc sáu. Riêng phụ hệ ba phương có mạng mặt 15 thoi với a = b = c và góc giữa các trục tinh thể học bằng α (khi góc này 90° mạng chuyển sang hệ lập phương). Thực ra, mạng này chỉ là trường hợp đặc biệt của hệ sáu phương [14]. Tinh thể hệ lập phương có các trục toạ độ vuông góc và tương đương do tác động của 4 trục bậc 3. Chúng song song với 3 trục bậc 4 (trục xoay hoặc trục nghịch đảo) hoặc 3 trục xoay bậc 2. Như vậy thông số a là đặc số duy nhất của tinh thể hệ này. Đối xứng toàn mặt, phân nửa mặt, phân tư mặt. Mỗi hệ tinh thể đều có một lớp đối xứng cao nhất và với hình đơn nhiều mặt nhất; đó là số mặt của hình đơn tổng quát của nhóm điểm và là đặc số của đối xứng cao nhất ấy. Đó là lớp đối xứng toàn mặt: ƒ Hệ ba nghiêng có lớp đôi mặt. ƒ Hệ một nghiêng có lớp lăng trụ (trực thoi). ƒ Hệ trực thoi có lớp tháp đôi trực thoi. ƒ Hệ bốn phương có lớp tháp đôi bốn phương kép. ƒ Phụ hệ ba phương có lớp mặt tam giác lệch ba phương. ƒ Phụ hệ sáu phương có lớp tháp đôi sáu phương kép. ƒ Hệ lập phương có lớp tám mặt sáu (tam giác). Từ lớp đối xứng toàn mặt có thể suy ra những lớp còn lại của hệ bằng cách hạ cấp độ đối xứng để có hình đơn tổng quát (hđtq) tương ứng: phân nửa mặt và hình đơn phân tư mặt. Sơ đồ triển khai có thể diễn đạt đối với hệ lập phương làm ví dụ như sau. Bảng 2.2 Các cấp độ đối xứng của hệ lập phương Dạng đối xứng Cấp độ đối xứng Đại lượng đối xứng* Oh Dạng đối xứng toàn mặt 48 Td O Th Dạng đối xứng phân nửa mặt 24 T Dạng đối xứng phân tư mặt 12 * Đại lượng đối xứng của dạng đối xứng tính bằng số mặt của hình đơn tổng quát của nó. 2.2.4 Khái lược về hình thái tinh thể Đa diện tinh thể biểu hiện dưới dạng hình ghép của các hình đơn. Hình đơn của tinh thể hoàn thiện có các mặt với mọi tính chất giống nhau. Hình đơn là tập hợp các mặt liên quan với nhau bằng các yếu tố của một nhóm điểm. Nó được suy ra từ các thao tác đối xứng của một nhóm điểm; hãy đặt một mặt cho trước tại vị trí nào đó so với các yếu tố đối xứng, dưới tác dụng của các thao tác này mặt cho trước sẽ cho một tập hợp các mặt, đây là một hình đơn hoàn chỉnh. Vậy, hình đơn gắn liền với đa diện tinh thể thông qua nhóm điểm của nó. Về mặt lí thuyết, mỗi nhóm điểm có thể có một số hữu hạn các hình đơn. Trong số đó có các hình đơn đặc biệt và một hình đơn tổng quát duy nhất với số mặt lớn nhất. Mặt của hình đơn đặc biệt thì hoặc vuông góc với yếu tố đối xứng hoặc song song với chúng, hoặc cắt xiên các yếu tố đối xứng tương đương dưới cùng một góc (các yếu tố đối xứng cùng tên của nhóm điểm có thể không tương đương nếu chúng không trùng nhau nhờ các yếu tố đối xứng khác trong 16 nhóm điểm). Hình đơn gọi là tổng quát nếu mặt của nó nằm tại vị trí bất kì so với các yếu tố đối xứng của đa diện tinh thể. Nó đóng vai trò tinh thể học rất quan trọng; tên của nó được lấy để đặt cho nhóm điểm (tham khảo bảng 2.1), còn số mặt lớn nhất của nó là đại lượng đối xứng của nhóm điểm, định lượng cho mức độ đối xứng của tinh thể (bảng 2.2). Tất cả có 47 hình đơn [13,14] và chúng phân bổ trên các hệ như trên bảng 2.3. Ngoài hình đơn hai mặt, nhiều tác giả còn kể thêm hai mặt trục, nâng số hình đơn lên 48; tên của chúng cũng là tên của các nhóm điểm m (P) và 2 (L2). Bảng 2.3 Sự phân bổ hình đơn tại các hạng, hệ Hạng tinh thể Hệ Số hình đơn Thấp 7 (hoặc 8) Trung Bốn phương Sáu phương 9 16 Cao Lập phương 15 Một số hình đơn của hạng thấp cũng có mặt ở hạng trung. Hình đơn đặc biệt của một lớp có thể là tổng quát của lớp khác; chẳng hạn, lăng trụ trực thoi là hình đơn đặc biệt thuộc hệ trực thoi, lại là hình đơn tổng quát của lớp toàn mặt thuộc hệ một nghiêng. Nhiều hình đơn của phụ hệ ba phương cũng có mặt trong phụ hệ sáu phương. Đó là các lăng trụ như lăng trụ ba phương, lăng trụ ba phương kép và các tháp đôi như tháp đôi ba phương, tháp đôi ba phương kép. Một loạt hình đơn của phụ hệ sáu phương như tháp, tháp đôi và các lăng trụ cũng có mặt trên tinh thể các lớp ba phương. Bảng thống kê cho thấy mối tương quan phụ thuộc giữa số hình đơn và đối xứng của hệ. Cụ thể, đối xứng của hệ càng cao thì số hình đơn của nó càng lớn. Mọi hình đơn đều có thể suy ra từ 5 hình đơn chính (hình 2.10) bằng cách đặt chúng vào tác dụng của các trục đối xứng với bậc khác nhau (hình 2.11). Hãy quan sát trên hình 2.12, các hình đơn thay đổi lần lượt trên các hệ trục khác nhau từ trái sang phải; từ hình đơn đối xứng thấp nhất sang hình đơn đối xứng cao nhất. Hàng giữa là hình chiếu của chúng trên mặt nằm ngang. Trong hệ ba nghiêng, trục toạ độ không tương đương và cắt nhau thành những góc bất kì. Hình đơn tổng quát với đối xứng cao nhất là hình đôi mặt với kí hiệu {hkl}. Sang hệ một nghiêng với α = γ = 90°, từ một mặt ở vị trí tổng quát xuất hiện một hình đơn khác hẳn và đối xứng cao hơn: 2/m. Đó là hình lăng trụ trực thoi {hkl}. Trong hệ trực thoi, cả góc β cũng vuông, nhưng 3 thông số trên 3 trục toạ độ vẫn khác nhau, thì mặt cho trước tại vị trí tổng quát sẽ cho hình đơn phát triển cao hơn nữa với đối xứng mmm. Đó là hình đơn tổng quát tháp đôi trực thoi {hkl}. Trong hệ 4 phương với các thông số ở trục ngang bằng nhau (a = b); trục thẳng đứng là trục bậc bốn thay cho trục bậc hai của hệ trực thoi. Hai hình đơn sẽ xuất hiện với các mặt đều cắt cả 3 trục và với đối xứng 4/mmm: ∗ Hình đơn đặc biệt tháp đôi bốn phương {hhl}. ∗ Hình đơn tổng quát tháp đôi bốn phương kép {hkl}với mặt cắt ngang tứ giác kép đều đặn (đường đứt, hàng giữa, hình 2.12). 17 Hình 2.12 Hình đơn đôi mặt và tháp đôi phát triển trong tinh thể thuộc các hệ với ba trục toạ độ Trong hệ lập phương 4 trục bậc ba đã làm xuất hiện hình tám mặt sáu {hkl}, tổng quát với 48 mặt, mặt cắt ngang của nó (đường đứt) giống hình trên. Cùng lớp đối xứng còn có hình đơn đặc biệt {111} tám mặt, với đối xứng cao hơn tháp đôi bốn phương. Ngoài ra, có thể còn 2 hình trung gian gồm 24 mặt {hhl}: tám mặt ba tứ giác với h < l và tám mặt ba tam giác với h > l (xem thêm ở cuối mục). Hình 2.12 (hàng dưới) giới thiệu loạt hình đơn sinh ra từ mặt cho trước, chỉ cắt một trong ba trục toạ độ. Tinh thể hạng thấp có ba hình đôi mặt {100}, {010} và {001}. Hình đơn {100} của hệ bốn phương là lăng trụ, trong hệ lập phương là hình lập phương (sáu mặt). Những hình đơn hệ lập phương và những tháp đôi vừa kể đều là những hình đơn kín và có thể một mình làm nên đa diện tinh thể. Hình đôi mặt, lăng trụ trực thoi là những hình đơn mở, chỉ bắt gặp chúng trong hình ghép. Bây giờ, thay vào các mặt ở vị trí tổng quát là các mặt chỉ cắt 2 trục tinh thể học và song song với trục thứ ba, thực hiện cách như trên cũng có thể thu được hàng loạt hình đơn từ đối xứng thấp, ít mặt đến hình đơn đối xứng cao với số mặt nhiều hơn (hình 2.13). 18 Chẳng hạn, mặt song song với trục c trong lớp toàn mặt hệ ba nghiêng cũng sẽ cho hình đơn đôi mặt, nhưng với kí hiệu { hk0 } và {hk0}. Hình đơn {hk0} là lăng trụ trực thoi, tổng quát trong hệ một nghiêng và đặc biệt trong hệ trực thoi. Cùng có bốn mặt, nhưng lăng trụ bốn phương có kí hiệu {110}, còn kí hiệu {hk0} trong hệ bốn phương lại là hình đơn lăng trụ bốn phương kép với tám mặt và mặt cắt ngang giống như của tháp đôi bốn phương kép (hình 2.12). Trong hệ lập phương, kí hiệu {110} là của hình đặc biệt mười hai mặt thoi; giống như mọi hình đơn hệ lập phương, nó cũng là hình đơn kín. Các hình lăng trụ trên hình 2.13 đều là hình đơn mở: chúng đều phải kết hợp với hình đơn khác trong đa diện, ví dụ với hình đôi mặt đáy {001}, song song với hai trục ngang. Bằng cách luận giải tương tự, có thể dẫn ra hàng loạt hình đơn song song với trục a. Hệ ba nghiêng, lớp toàn mặt có các hình đôi mặt {0kl} và { 0kl }. Hình đơn {0kl} là lăng trụ trực thoi của các hệ một nghiêng (toàn mặt) và hệ trực thoi, là tháp đôi bốn phương trong đối xứng phân nửa mặt và toàn mặt hệ bốn phương. Hệ lập phương với ba trục toạ độ tương đương có mười hai mặt ngũ giác, sáu mặt bốn tam giác (phân nửa mặt và toàn mặt) ứng với trường hợp này. Mười hai mặt thoi là hình đơn đặc biệt với k = l. Mặt song song với trục b với kí hiệu {h0l} hay {101} cho loạt hình đơn tương tự, trừ hệ một nghiêng sẽ là đôi mặt thay cho lăng trụ. Hình 2.14 dẫn ra một loạt hình đơn phân nửa mặt và cắt cả ba trục tọa độ. Đó là hình một mặt trong hệ ba nghiêng, hai mặt trong hệ một nghiêng, bốn mặt trực thoi trong hệ trực thoi, bốn mặt bốn phương trong hệ bốn phương và bốn mặt (tứ diện đều) của hệ lập phương. Hình đơn của hệ lập phương và sự liên quan giữa chúng (hình 2.15) Trên đây, trong khi suy đoán hình đơn hạng thấp và hạng trung, đã thấy xuất hiện những hình cơ sở của hệ lập phương (xem các hình 2.12 và 2.14): hình lập phương vuông góc với trục tọa độ, hình bát diện với trục ba lưỡng cực, tứ diện {111} và {11 1 } với trục ba đơn cực. Dựa vào đối xứng riêng của mặt các hình này, ta cho xuất hiện cạnh “nóc nhà” hoặc đỉnh “mũi tháp” tại trung điểm của chúng [14]. Hình 2.14. Một số hình đơn phân nửa mặt phát triển từ hình 2.12 (hàng 19 a) Hình đơn hk0 dẫn xuất từ hình lập phương/sáu mặt: Hình mười hai mặt ngũ giác có thể gọi là “sáu mặt hai ngũ giác” nếu cho xuất hiện cạnh trên mặt hình sáu mặt. Hình sáu mặt bốn (tam giác) nếu cho xuất hiện đỉnh trên mặt hình lập phương. Hình mười hai mặt thoi {110} suy từ hình lập phương qua hình trung gian sáu mặt bốn tam giác. b) Hình đơn {hhl} với h > l. Trong các nhóm điểm m3m, 432, m3 mặt tam giác đều của bát diện thay bằng “tháp ba mái”: hình đơn nhận được là tám mặt ba tam giác. Trong trường hợp tứ diện (43m và 23) sẽ là bốn mặt ba tứ giác. Khi độ dốc các mặt này tăng tới hạn, tức là h→0 thì (hhl) → (011), các hình dẫn xuất này cũng thành mười hai mặt thoi. c) Hình đơn {hhl} với h<l – dẫn xuất của hình tám mặt và bốn mặt. Hình tám mặt cho tám mặt ba tứ giác, hình bốn mặt cho bốn mặt ba tam giác. d) Hình đơn tổng quát * Nhóm điểm m3m: khi mặt (111) chuyển vào vị trí tổng quát thì mặt tam giác đều của hình tám mặt biến thành 6 tam giác thường. Hình đơn nhận được là tám mặt sáu (tam giác). * Nhóm điểm 43m: mặt (111) của tứ diện đều chuyển vào vị trí tổng quát sẽ nhân lên 6 lần: bốn mặt sáu (tam giác). * Nhóm điểm m3: Hình đơn tổng quát của nhóm có thể suy từ hình lập phương; mặt của mười hai mặt ngũ giác vốn dẫn xuất từ đó sẽ nhân đôi bằng 3 mặt gương của nhóm điểm. Hình đơn là mười hai mặt kép hay hình hai mươi bốn mặt. * Nhóm điểm 432 và 23: Các hình đơn của chúng suy từ bát diện hay tứ diện để có tám mặt ba ngũ giác và bốn mặt ba ngũ giác. Với tư cách là dẫn xuất của hình lập phương, chúng có thể gọi là “sáu mặt bốn ngũ giác” và “sáu mặt hai ngũ giác”. Hình 2.15 Lập phương, tám mặt và những hình dẫn xuất