Chuyển vị lượng tử với trạng thái nén hai mode kết hợp cặp

CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI NÉN HAI MODE KẾT HỢP CẶP TRẦN QUANG ĐẠT - TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Bằng việc sử dụng mô hình chuyển vị lượng tử biến liên tục theo [1] và [2], quá trình chuyển vị lượng tử với trạng thái nén hai mode kết hợp cặp được khảo sát. Chúng tôi làm rõ biểu thức độ trung thực trung bình, là yếu tố xác định mức độ thành công của quá trình chuyển vị. Chúng tôi chỉ ra khoảng chuyển vị cho phép của trạng thái nguồn theo tham số nén và biên độ kết hợp. Cuối cùng là một số kết luận về quá trình chuyển vị lượng tử với trạng thái này. 1 GIỚI THIỆU Chuyển vị lượng tử hay viễn tải lượng tử (quantum teleportation) trong thông tin lượng tử là cách thức chuyển giao thông tin mới dựa trên các tính chất lượng tử của hạt vi mô. Mô hình về chuyển vị lượng tử được đưa ra đầu tiên bởi Bennett [3]. Nhiệm vụ của quá trình chuyển vị là bên gửi sẽ chuyển cho bên nhận một trạng thái lượng tử. Muốn thực hiện được điều đó, bên gửi và bên nhận phải cùng nhau chia xẻ một trạng thái rối lượng tử hai mode và một kênh thông tin cổ điển hai bit. Quá trình chuyển vị lượng tử diễn ra khi một trạng thái gốc được đưa vào hệ thống bên gửi và cùng một trạng thái như vậy được tạo ra ở bên nhận. Gần đây, mô hình chuyển vị lượng tử đã được đưa ra dưới nhiều hình thức khác nhau, như hình thức luận hàm Wigner [4], trạng thái biên độ trực giao [5, 6], trạng thái Fock [7] và trạng thái kết hợp [2]. Trong bài báo này, đầu tiên chúng tôi tổng hợp lại mô hình chuyển vị lượng tử dưới hình thức các trạng thái kết hợp. Trên cơ sở các mô hình này, chúng tôi sử dụng trạng thái nén hai mode kết hợp cặp để làm nguồn rối. Trạng thái nén hai mode kết hợp cặp của hai mode a và b được định nghĩa [8] |(r, φ), ξ, q⟩ab = Sˆ(r, φ)|ξ, q⟩ab, (1) trong đó Sˆ(r, φ) là toán tử nén hai mode có dạng { } Sˆ(r, φ) = exp r[ˆaˆb exp(−2iφ) − aˆ†ˆb† exp(2iφ)] (2) Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 03(19)/2011: tr. 12-18 CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI NÉN HAI MODE KẾT HỢP CẶP 13 và |ξ, q⟩ab là trạng thái kết hợp cặp. Trong không gian Fock, trạng thái này có dạng ∑∞ |(r, φ), ξ, q⟩ab = dm|m + q, m⟩ab, (3) m=0 r là tham số nén, ξ = |ξ|eiΦ và với √ ∞ |ξ|q ∑ ξn tanhn+m(r) d = √ [n!(n + q)!m!(m + q)!]1/2 m I (2|ξ|) 1+q 0 n=0 n!(n + q)! cosh (r) min(m,n) ∑ (−1)m−k sinh−2k × exp[i(m − n)φ], (4) k!(m − k)!(n − k)!(q + k)! k=0 I0(2|ξ|) là hàm Bessel cơ bản. Kết quả quá trình chuyển vị lượng tử với trạng thái nén hai mode kết hợp cặp sẽ được làm rõ trong mục 3. 2 MÔ HÌNH CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI CÁC NGUỒN RỐI HAI MODE Chuyển vị lượng tử trong thông tin lượng tử diễn ra khi một trạng thái lượng tử được đưa vào hệ thống gửi (Alice) và chuyển giao cho hệ thống nhận (Bob) thông qua việc khai thác tính chất rối lượng tử giữa Alice và Bob. Giả sử Alice và Bob chia sẻ trạng thái rối hai mode a và b có dạng |ψ⟩ab = |Φ⟩a|Ψ⟩b, (5) Alice nhận mode a, Bob nhận mode b, trạng thái gốc (mode c) được đưa vào Alice |ψ⟩in = |Ω⟩c, (6) ở đây |Φ⟩a, |Ψ⟩b và |Ω⟩c sẽ được khai triển dưới các trạng thái kết hợp |β⟩. Trước khi gửi thông tin cho Bob, Alice thực hiện phép tổ hợp trên ba mode |ψ⟩abc = |ψ⟩ab|ψ⟩in = |Φ⟩a|Ψ⟩b|Ω⟩c. (7) Tiếp theo, Alice thực hiện phép đo mức độ rối giữa hai trạng thái |ψ⟩ab và |ψ⟩in trên hai mode a và c trong một trạng thái biên độ trực giao Bell [2]. Kết quả đo chứa trong hai biến X và P . Chúng tôi viết lại tính chất của trạng thái Bell như sau ∗ |B(X, P )⟩12 = Dˆ1(A) ⊗ Dˆ2(−A )|B(0, 0)⟩12 = Dˆ(2A) ⊗ |B(0, 0)⟩12, (8) ⟨ và 2 ψ|B(0, 0)⟩12 =τ ˆ|ψ⟩1, do đó ⟨ ⟨ ⟨ † † ∗ 12 B(X, P )|ψ⟩2 = 1 ψ|τˆ Dˆ (2A) = 1 ψ |Dˆ(−2A), (9) ˆ † − ∗ ở đây D(α) = exp(αaˆ α aˆ) là toán tử dịch√ chuyển và τˆ là toán tử liên hợp phức được định nghĩa là τˆ|ψ⟩ = |ψ∗⟩, A = (X + iP )/ 2. Chúng tôi tạm thời chưa xét tới các hệ số 14 TRẦN QUANG ĐẠT - TRƯƠNG MINH ĐỨC chuẩn hóa, chúng sẽ được xét trong quá trình tính toán. Việc⟨ thực hiện phép đo trên hai mode a và c là việc lấy tích trong các trạng thái tương ứng ca B(X, P )| ⊗ |ψ⟩abc. Sau khi đo, trạng thái ba mode bị hủy, sử dụng (7) và (9), trạng thái tại Bob có dạng ⟨ ⟨ ∗ |ψ⟩b = ca B(X, P )|Φ⟩a|Ψ⟩b|Ω⟩c = c Φ |Dˆ(−2A)|Ω⟩c|Ψ⟩b. (10) Đây là một trong những phiên bản của trạng thái gốc. Chúng tôi viết lại (10) như sau |ψ⟩b = Tˆ(A)|Ψ⟩b, (11) ⟨ ∗ với Tˆ(A) = c Φ |Dˆ(−2A)|Ω⟩c là toán tử chuyển vị, tính chất của toán tử chuyển vị đã được xác định trong [1]. Phân bố xác suất kết quả đo mức độ rối của Alice là 2 2 P (A) = ||ψ⟩b| = |Tˆ(A)|Ψ⟩b| . (12) Cuối cùng, sau khi có kết quả đo X và P trong A từ Alice, Bob tái tạo lại trạng thái gốc 1 1 |ψ⟩out = √ Dˆ(β)|ψ⟩b = √ Dˆ(β)Tˆ(A)|Ψ⟩b, (13) P (A) P (A) ở đây β = 2gA, g là một hệ số Bob dùng để hoàn thiện độ trung thực trong chuyển vị. Với sự chuyển vị một trạng thái đơn mode, độ trung thực được định nghĩa là sự chồng chập của trạng thái vào và trạng thái ra ⟨ 1 ⟨ F (A) = | ψ|ψ⟩ |2 = | ψ|Dˆ(β)Tˆ(A)|Ψ⟩ |2. (14) in out P (A) in b F (A) phản ánh mức độ thành công của quá trình chuyển vị. Quá trình hoàn hảo đạt được nếu F (A) = 1. Ngoài ra, người ta còn đưa vào biểu thức độ trung thực trung bình Fav ∫ ∫ ⟨ 2 2 2 Fav = d AP (A)F (A) = d A|in ψ|Dˆ(β)Tˆ(A)|Ψ⟩b| . (15) Nếu Fav > 0.5 thì quá trình chuyển vị lượng tử thành công. 3 CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI NÉN HAI MODE KẾT HỢP CẶP 3.1 Khảo sát tính chất đan rối Sử dụng điều kiện đan rối Hillery - Zubairy [9], trạng thái hai mode đan rối khi ⟨ ⟩ ⟨ ⟩⟨ ⟩ | aˆˆb |2 > aˆ†aˆ ˆb†ˆb . (16) Ta có thể viết lại điều kiện trên như sau ⟨ ⟩⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩⟨ ⟩ ⟨ ⟩ † ˆ†ˆ ˆ 2 ˆ 2 R = aˆ aˆ b b − | aˆb | = Nˆa Nˆb − | aˆb | < 0. (17) CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI NÉN HAI MODE KẾT HỢP CẶP 15 Tính toán cho trạng thái nén hai mode kết hợp cặp ta nhận được [ ] 2 2 R(ξ, r) = (Nb + q) cosh (r) + (Nb + 1) sinh (r) − 2r sinh(r) cosh(r) [ ] 2 2 × Nb cosh (r) + (Nb + q + 1) sinh (r) − 2r sinh(r) cosh(r) 2 4 2 4 2 2 2 − |ξ| cosh (r) − |ξ| sinh (r) − (2Nb + q + 1) cosh (r) sinh (r) ( ) + cosh2(r) sinh2(r) ξ∗2ei2φ + ξ2e−i2φ ( ) ( ) ∗ iφ −iφ + 2Nb + q + 1 cosh(r) sinh(r) ξ e + ξe , (18) ở đây ∞ 1 ∑ n|ξ|2n N = . b ξqI (2|ξ|) n!(n + q)! o n=0 Xét ξ thực, φ = 0, q = 0 ta nhận được [ ] 2 2 2 R(|ξ|, r) = Nb cosh (r) + (Nb + 1) sinh (r) − 2r sinh(r) cosh(r) [ ] [ ] 2 4 4 2 2 2 2 − ξ cosh (r) + sinh (r) − (2Nb + 1) − 2ξ cosh (r) sinh (r) ( ) + 2ξ 2Nb + 1 cosh(r) sinh(r), (19) trong đó Nb có dạng ∞ 1 ∑ n|ξ|2n N = . b I (2|ξ|) (n!)2 o n=0 Hình 1 và Hình 2 thể hiện sự phụ thuộc của R(|ξ|, r) vào |ξ| và tham số nén r theo biểu thức (19). Dựa vào đồ thị chúng tôi có nhận xét rằng trạng thái nén hai mode kết hợp cặp không phải là trạng thái rối hoàn toàn theo điều kiện đan rối Hillery - Zubary. 2 RHÈΞÈ,rL 0 1.0 -2 0.0 0.5 r 0.5 ÈΞÈ 1.0 0.0 1.5 Hình 1: Sự phụ thuộc của R(|ξ|, r) theo |ξ| và r trong không gian ba chiều. Khi r = 0, trạng thái trở về dạng kết hợp cặp và biểu hiện tính rối hoàn toàn. Với r nhỏ, trạng thái biểu hiện tính rối khá rõ ràng, ví dụ với r = 0.05, trạng thái biểu hiện tính rối 16 TRẦN QUANG ĐẠT - TRƯƠNG MINH ĐỨC 1.0 0.5 ÈL 0.0 Ξ HÈ R -0.5 -1.0 -1.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ÈΞÈ Hình 2: Sự phụ thuộc của R(|ξ|, r) theo |ξ| và r trong không gian hai chiều. Đường cong liền nét được vẽ với r = 0, đường chấm chấm được vẽ với r = 0.05, đường gạch gạch tương ứng r = 0.1 và đường gạch chấm được vẽ với r = 0.5. khi |ξ| < 2.4. Khi r lớn, nếu |ξ| nhận giá trị cùng cỡ r thì trạng thái biểu hiện tính rối. Khi r tăng lên, trạng thái nén hai mode kết hợp cặp biểu hiện tính rối mạnh khi giá trị |ξ| tương đương. 3.2 Chuyển vị lượng tử với trạng thái nén hai mode kết hợp cặp Trạng thái nén hai mode kết hợp cặp của hai mode a và b với trường hợp q = 0 có dạng ∑∞ |(r, φ), ξ, 0⟩ab = dm|m⟩a|m⟩b, (20) m=0 với dm được xác định theo (4). Mode a được gửi tới Alice, mode b được gửi tới Bob. Trạng thái được chuyển vị là trạng thái kết hợp của mode 1 |α⟩1. Đầu tiên, Alice sẽ thực hiện phép đo Bell trên mode 1 và mode a. Để thực hiện phép đo, Alice tổ hợp một trạng thái 3 mode có dạng ∑∞ |Ψ⟩1ab = dm|α⟩1|m⟩a|m⟩b. (21) m=0 Sau khi đo, trạng thái tại Bob có dạng |Φ⟩b = 1a⟨B(A)|Ψ⟩1ab. (22) Sử dụng (10) và (21) ta viết được (22) như sau ∗ ∗ ∞ 2eAα −A αe−|α−2A|2/2 ∑ d (α − 2A)m |Φ⟩ = √ m √ |m⟩ . (23) b π b m=0 m! Sau khi thực hiện phép đo, Alice gửi kết quả A cho Bob bằng một kênh thông tin cổ điển hai bit. Sau khi nhận được kết quả này, Bob thực hiện phép chuyển đổi để có trạng thái ra ∗ ∗ ∞ 2eAα −A αe−|α−2A|2/2 ∑ d (α − 2A)m |ψ⟩ = √ m √ Dˆ(g2A)|m⟩. (24) out π m=0 m! CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI NÉN HAI MODE KẾT HỢP CẶP 17 Dˆ(g2A) là toán tử dịch chuyển. Quá trình chuyển vị lượng tử đến đây là kết thúc. Lưu ý rằng trạng thái ra này chưa được chuẩn hóa vì còn phụ thuộc vào giá trị đo A của Alice. Độ trung thực trung bình trong của quá trình chuyển vị được xác định theo ∫ 2 2 Fav = |in⟨ψ|ψ⟩out| d A. Kết quả sau khi được chúng tôi tính toán với ξ thực, dương và g = 1 như sau ∑∞ ∑∞ ∑∞ ∑∞ 1 (m + n)! l+i m+n+l+i Fav = |ξ| tanh (r) 2 cosh2(r)I (2|ξ|) 2m+n o m=0 n=0 l=0 i=0 min{m,l} min{n,i} ∑ ∑ (−1)m+n+k+j sinh−2k−2j(r) × . (25) (k!j!)2(m − k)!(n − j)!(l − k)!(i − j)! k=0 j=0 Dựa vào biểu thức (25) chúng ta nhận thấy rằng độ trung thực trung bình không phụ thuộc vào trạng thái được chuyển vị. Kết quả khảo sát độ trung thực trung bình được thể hiện trên Hình 3. Hình 3 cho thấy rằng chuyển vị lượng tử với trạng thái nén hai mode kết hợp cặp sẽ thành công khi tham số nén r bé. Độ trung thực trung bình của quá trình chuyển vị rất ổn định khi |ξ| lớn và có xu hướng giảm, nó đạt cực đại vào khoảng 0.76. Mặt khác, khi tham số nén r tăng thì độ trung thực trung bình giảm. 1.0 0.8 0.6 av F 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 ÈΞÈ Hình 3: Sự phụ thuộc của Fav vào |ξ| và r. Trường hợp r = 0.001 ứng với đường cong liền, r = 0.1 ứng với đường gạch chấm, r = 0.5 ứng với đường gạch gạch. 4 KẾT LUẬN Bắt đầu từ việc đưa ra mô hình về quá trình chuyển vị lượng tử trong thông tin lượng tử, chúng tôi đã áp dụng tính toán chuyển vị của trạng thái kết hợp thông qua trạng thái nén hai mode kết hợp cặp. Trước khi thực hiện chuyển vị, chúng tôi đánh giá mức độ đan rối 18 TRẦN QUANG ĐẠT - TRƯƠNG MINH ĐỨC của trạng thái này. Kết quả khảo sát cho thấy trạng thái nén hai mode kết hợp cặp không phải là trạng thái rối hoàn toàn theo tiêu chuẩn Hillery - Zubairy. Qua khảo sát độ trung thực trung bình bằng đồ thị và kết hợp với các kết quả tính toán bằng số cho thấy chuyển vị lượng tử sẽ thành công khi tham số nén r nhỏ, vào khoảng r < 0.7; độ trung thực càng ổn định khi |ξ| lớn. Khi r dần tới 0, đồ thị của độ trung thực trung bình càng tiến gần đến dạng chuyển vị của trạng thái kết hợp cặp. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H. F. Hofmann, T. Ide, T. Kobayashi (2000), Phy. Rev. A 62, 062304. [2] J. Janszky, M. Koniorczyk, A. Gabris (2001), Phy. Rev. A 64, 034302. [3] C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, and W. K. Wootters (1993), Phy. Rev. Lett. 70, 1895. [4] S. L. Braunstein and H. J. Kimble (1998), Phy. Rev. Lett 80, 869. [5] G. J. Milburn and S. L. Braunstein (1999), Phy. Rev. A 60, 937. [6] T. Opatrny, G. Kurizki, and D. G. Welsch (2000), Phy. Rev. A 61, 032302. [7] S. J. van Enk (1999), Phy. Rev. A 60, 5095. [8] C. C. Gerry (1995), Jour of Modern Optics , Vol. 42, No. 3, 585-606. [9] M. Hillery and M. S. Zubairy (2006), Phy. Rev. A 74, 032333. Title: QUANTUM TELEPORTATION WITH TWO MODE SQUEEZED PAIR COHER- ENT STATES Abstract: Using continuous variable quantum teleportation schemes of [1] and [2], tele- portation process with two mode squeezed pair coherent states is investigated. We indicate the average fidelity expression, it is a factor determining the success of teleportation. We show range of teleportation according to squeezing parameter and coherent amplitude. Finally, we provide the conclusion about the quantum teleportation process. TRẦN QUANG ĐẠT Học viên Cao học, Vật lý lý thuyết và Vật lý toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Email: quangdatsp08@gmail.com, ĐT: 01645.704.875 TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế