Chuyên đề phương trình, hệ phương trình

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp. Bài 1:Gpt: Giải: Đặt (1). Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0(u-v).(10u-v)=0u=v hoặc 10u=v. Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng. Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15. Giải: Đặt x2 - 5x + 5 = u (1). Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15 (x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0 (x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0 (x2-5x+4).(x2-5x+6)-15=0 (u-1).(u+1)-15=0 u2-16=0 u=4. Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x. Bài 3:Gpt: Giải:PT.. Đặt u = x2 ( u 0) (1). Ta có: ( u 1). . Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x. Bài 4:Gpt:. Giải: Đặt (1). Có: Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x. Bài 5:Gpt: (1). Giải: Từ (1) suy ra: (x0).. Đặt (*) ta có: y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x. Bài 6:Gpt: Giải: Điều kiện x > 4 hoặc x < -1. *Nếu x > 4, (1) trở thành: Đặt (2) ta có: y2 + 3y -18 = 0. Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x. *Nếu x < -1, (1) trở thành: Đặt (3) ta có: y2 - 3y -18 = 0. Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x. Bài 7 Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1). Giải: (1) (x0).Chia cả hai vế cho x2 ta được : 4x2 + 4x -20 + = 0.. Đặt y = .(2) Ta có: y2 + 2y -24 = 0. Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x. Bài 8:Gpt: Giải:PT x -¥ 0 4 8 +¥ x-8 - - - 0 + x-4 - - 0 + + x - 0 + + + Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản. Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4). Giải: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x0. Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được: 2x2 - x + 1 - . Đặt y = (*). Ta có: 2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x. Bài 10: Gpt: (6-x)4 + (8-x)4 = 16. Giải: Đặt 7 - x = y (*). Ta có: (y-1)4 + (y + 1)4 =162y4 +12 y2 +2 = 162.(y-1).(y+1).(y2+7)=0 y =1 hoặc y = -1. Thay các giá trị của y tìm được ở trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm được các giá trị của x. Tìm các nghiệm nguyên (x;y) hoặc (x;y;z) của các phương trình sau: Bài 1: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) Giải: Đặt y2 + 3y = t. Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2 + 3y +2) = t2 + 2t. *Nếu t > 0 thì t2 < x2 = t2 + 2t < (t+1)2 suy ra không tồn tại x thỏa mãn. *Nếu t t2 + 4t + 4 suy ra t2 + 2t > t2 + 4t + 4 = (t+2)2. Suy ra: x2 = t2 + 2t > (t + 2)2 (*). Lại có: t2 +2t < t2 suy ra x2 < t2 (**). Từ (*)&(**) suy ra (t + 2)2 < x2 < t2 suy ra x2 = (t+1)2 suy ra t2 +2t = (t +1)2 (=x2) Suy ra : t2 +2t = t2 +2t +1 (Vô lý). *Nếu t = -1 suy ra x2 = t2 +2t = -1 <0 (Vô lý). *Nếu t = 0 suy ra x = 0y = 0 hoặc -1 hoặc -2 hoặc -3 . Bài 2: Giải: Từ (2) ta có: 2x2 - xy+x-2z =1 kết hợp với (1) ta có: 2x2 - xy+x-2.(2 - x + y)=12x2 -xy +3x-2y-5=0 Từ đó ta tìm được x tìm được y tìm được z. Bài 3: Giải: Thay (1) vào (2) ta được: (y + z -3)2 -y2 -z2 =1yz - 3y - 3z = -4(y-3).(z-3) = 5 = 1.5 = (-1).(-5) = 5.1=(-5).(-1. Từ đó ta tìm được y và z tìm được x. Bài 4: 2xy + x + y = 83. Giải:PT Từ đó ta tìm được y tìm được x. Bài 5: Giải:Điều kiện : x,y,z 0. Nhận xét:Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng dấu (Theo nguyên tắc Đirichlê có 3 số -3 thỏ mà chỉ có hai chuồng-mọi số nguyên khác 0 chỉ mang dấu âm hoặc dấu dương) Ta có thể giả sử x,y cùng dấu với nhau.Suy ra x.y => 0 và Đặt A= Giả sử z <0 khi đó 3 = A = (Vô lý). Vậy z >0.Ta có: A = Bài 6: 2x2 - 2xy = 5x + y - 19. Giải:Từ bài ra ta có: Từ đó ta tìm được x tìm được y. Giải hệ phương trình và các phương trình khác. Bài 1: Giải:Điều kiện :. -Nếu x < 0 thì Vậy ta xét x > 0: Đặt x = a và (a,b > 0). Ta có: Có: (1). Lại có: 2 = a2 + b2 2ab suy ra 1ab (2). Từ (1)&(2) suy ra ab = 1 mà a2 + b2 =2 nên suy ra (a+b)2 = 4 suy ra a + b = 2. Vậy ta có:. Bài 2: Giải: Điều kiện: Từ (4) suy ra x2 4 kết hợp với (1) suy ra x2 = 4 kết hợp với (2) suy ra x = 2. Phương trình đã cho trở thành: . Lúc này việc tìm y không còn khó khăn gì nữa (Lập bảng xét dấu). Bài 3: 2x4 -21x3 + 74x2 -105x +50 =0. Giải: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy x0.Chia cả hai vế của phương trình đã cho cho x2 ta được: Đặt ta có: 2y2 -21.y - 26 = 0.Từ đó ta tìm được ytìm ra x. Bài 4: Giải: Đặt : Hệ đã cho trở thành: Từ đó tìm được a =3,b =1. Đến đây việc tìm ra x không còn khó khăn nữa. Bài 5: Giải: Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có: . Từ đó ta tìm được x.Việc tìm giá trị của y cũng không có gì khó khan nữa. Bài 6: Giải: Phương trình (2) phân tích được như sau: (x - y).(x -3 + 2y) = 0 Xét các trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm được x và y. Bài 7: x3 + (3-m).x2 + (m-9).x + m2 -6m + 5 = 0. Giải: Phương trình đã cho phân tích được như sau: . Đến đây việc giải và biện luận phương trình không còn khó khăn gì nữa. Bài 8: Giải: Bổ đề: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. (Dễ dàng chứng minh được bổ đề trên). Sử dụng bổ đề ta có: xyz = x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz.(x + y + z) = xyz. Suy ra các dấu bất đẳng thức ở trên đều phải trở thành đẳng thức tức là ta phải có: x = y =z kết hợp với giả thiết ban đầu :x + y + z =1 ta được: . Bài 9: Giải: Điều kiện: x,y Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy: -Nếu x > y thì: VT > 0, VP VP. -Nếu y > x thì: VT 0 suy ra: VT < VP. -Nếu x = y khi đó: VT =VP =0. Kết hợp với (1) (Chú ý:x,y) ta được: . Bài 10: (1). Giải: (1) Ta có: Vậy dấu bất đẳng thức ở trên phải trở thành dấu đẳng thức tức là: Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:. Các bài toán hay Bài toán 1: Giải phương trình Bổ đề : Với Giải: Điều kiện : , Ta có mà . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy phương trình có nghiệm x = 6 Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Bài toán 2: Giải phương trình: Vì và nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta được: (1) (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: nên theo đề ta có :. Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả . Vậy phương trình có nghiệm là x = 1. Bài toán 3: Giải phương trình: (1) Điều kiện tồn tại phương trình: (*) Vế phải của (1): . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái của phương trình (1): . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình. Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình. Bài toán 4: Giải phương trình: . (1) Giải: Điều kiện (2). Vế trái của phương trình (1): với mọi x. đẳng thức xảy ra khi x = 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với mọi x thoả mãn (2) thì vế phải của phương trình (1) thoả: . đẳng thức xảy ra khi . Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì cả hai vế của phương trình (1) đều bằng 2. Nên x = 1. Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình. Bài toán 5: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện Do với mọi x nên Đặt ; với . Nên phương trình (1) trở thành : Giải phương trình này được hoặc Với thì phương trình (1) vô nghiệm Với thì . Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện ; . Bài toán 6: Giải phương trình: (1) Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên vì > 0 nên . Thử lại đúng nên nghiệm của phương trình là . Bài toán 7: Giải phương trình: (1) Điều kiện để phương trình có nghĩa là : . Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được: . Giải phương trình này được . Thử lai chỉ có hai nghiệm x = 0; x = 6 thoả mãn đề cho. Bài toán 8: Giải phương trình: (1) Điều kiện x > -2 và . Nhân hai vế của phương trình (1) với ta được: Do x > -2 nên x = -4 (loại). Vậy nghiệm của phương trình x = -1. Cách giải khác: Đặt ; nên .Do đó phương trình (1) trở thành: (*) Từ hệ (*) suy ra khi đó ta cũng có x = -1. Bài toán 9: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện (*). Đặt ; . Nên phương trình (1) trở thành Nếu b = 1 thì so với điều kiên (*) thoả Nếu a = 4 thì so với điều kiên (*) thoả. Vậy phương trình có nghiệm là . Bài toán 10: Giải phương trình: (*) Lập phương hai vế của phương trình (*) ta được: hoặc . Thử lại ta thấy phương trinh có đúng ba nghiệm trên. Bài toán 11: Giải phương trình (1) Điều kiện: . Đặt ; ; nên phương trình (1) trở thành Nếu a = 1 thì Nếu b = 1 thì . Vậy x = 0 là một nghiệm của phương trình. Bài toán 12: Giải phương trình (1) Giải: TXĐ . Đặt ; . Nên phương trình đã cho trở thành: Nên Do đó Nếu thì ; thì Nếu thì ; thì Nếu thì ; thì Vậy phương trình có ba nghiệm là Bài toán 13:Giải phương trình (*) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là và hay . Thử thấy là một nghiệm của phương trình (*) Với thì và .Suy ra Với thì và .Suy ra Vậy x = là nghiệm của phương trình. Bài toán 14: Giải phương trình : . Giải: Đ ặt : Suy ra . Do đó phương trình đã cho sẽ là nên Khai triển và thu gọn được: . Nếu Nếu . Phương trình này có nghiệm Nếu . Phương trình này vô nghiệm Vậy phương trình có ba nghiệm . Bài toán 15: Tính giá trị của biểu thức: trong đó a là nghiệm của phương trình Giải : Phương trình có ac = - 4 nên có hai nghiệm phân biệt với a là nghiệm dương của phương trình nên ta có: (1) . Vì a > 0 nên từ (1) có : . Gọi S Bài toán 16: Giải phương trình: Giải: Đặt . Do đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình: (1).Từ hệ phương trình (1) ta suy ra (2) Từ hệ phương trình (1) suy ra:. Nên .Do đó từ (2) suy ra hay x = y. Thay vào hệ (1) ta được hoặc . Nhưng x = 0 không là nghiệm của phương trình nên phương trình có nghiệm là x = 2001. Bài toán 17: Giải phương trình . Điều kiện của phương trình: Ta có hoặc hoặc hoặc . là một nghiệm của phương trình. Bài toán 18: Giải phương trình Giải : ĐKXĐ: Từ phương trình trên ta có . Với nên chia hai vế của phương trình cho ở mẫu ta được :. Đặt . Khi đó ta có . Quy đồng khử mẫu ta được: Do đó Quy đồng khử mẫu ta được Giải phương trình ta được nghiệm: Vậy phương trình có hai nghiệm là Bài toán 19: Giải hệ phương trình: Giải: Từ (1) suy ra . Tương tự từ (2) và (3) suy ra . Vì hệ số không đổi khi ta hoán vị vòng quanh đối với x; y; z có thể giả thiết x = max(x, y, z) . Nghĩa là . Trừ tường vế của phương trình (3) cho phương trình (1) ta được . Vì nên và . Do đó phương trình (4) . Thay vào phương trình (1) ta được: . Do đó x = y = z = . Bài toán 20: Cho hệ phương trình Nếu có (x; y) thoả (2) . Chứng minh rằng Giải hệ phương trình trên Giải: Từ phương trình (2) có: . Phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm: b) Tương tự phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm: Do và nên . Đẳng thức xảy ra và . Khi và thì thay vào phương trình (2) vô nghiệm. Nên hệ đã cho vô nghiệm. Bài toán 21 : Giải hệ phương trình: (*) Giải: Từ hệ phương trình suy ra y > 0 (*) Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta có: và . Thử lại được 4 nghiệm:. Bài toán 22: Giải hệ phương trình: Giải : Hệ (*) . Đặt . Khi đó hệ trở thành: hoặc . Nếu suy ra Nếu suy ra . Nên x; (-y) là nghiệm của phương trình bậc hai Nếu x = thì ; Nếu x = thì ; Vậy hệ đã cho có nghiệm là: . Bài toán 23: Cho hệ phương trình: . Tính . Giải: Từ (1) suy ra (3) Từ có (4) Từ (3) và (4) . Do đó . Vậy . Bài toán 24: Giải hệ phương trình: Giải: Từ phương trình (2) suy ra . Từ phương trình (1) suy ra . Nên . Giải phương trình bậc hai ẩn y được hai nghiệm : Nếu thì ; Nếu thì Vậy hệ phương trình có nghiệm là: . Bài toán 25: Giải hệ phương trình: (*) Hệ phương trình (*) tương đương Giải phương trình : có ba nghiệm ; Nếu ; Nếu Nếu Vậy hệ phương trình có ba nghiệm Bài toán 26: Giải hệ phương trình . Giải: Từ phương trình (1) suy ra . Giải phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm . Nên hệ phương trình trên tương đương: hoặc . Giải hệ phương trình : . Giải hệ phương trình có nghiệm . Vậy hệ phương trình có nghiệm là:. Bài toán 27: Giải hệ phương trình Điều kiện của hệ:; Khi đó ta có: Do điều kiện; nên phương trình(*) Do > 0 hay x = y Thay x = y vào phương trình ta có: So với điều kiện (loại). V ậy hệ phương trình đã cho có nghiệm Cách giải khác: Điều kiện của hệ; Ta có: Giả sử suy ra nên (vô lý) Giả sử suy ra nên (vô lý) Nên suy ra . Thay x = y vào hệ ta có phương trình: So với điều kiện (loaị). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm . Bài toán 28: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện . Nhân mỗi phương trình với 2 ta có: . Bài toán 29 Giải hệ phương trình sau: Giải: Giả sử bộ ba số là nghiệm của hệ phương trình trên thì và cũng là nghiệm của phương trình này. Giả sử x là số lớn nhất (4) Từ (1) ta có . Tương tự từ phương trình (2) và (3) ta cũng có . (5) Trừ từng vế của (1) và (3) ta được:. (6) Theo (4) và (5) suy ra . Nên từ (6) suy ra Thay (7) vào (1) ta được: . Vậy hệ có nghiệm duy nhất Bài toán 30: Tìm x, y, z biết . Điều kiện: . Đặt. Do a.b.c nên ta có Do đó x = y và z tuỳ ý ; y = z và x tuỳ ý Hoặc cách giải khác: Do đó x = y và z tuỳ ý hoặc y = z và x tuỳ ý. Bài toán 31: Cho x > 0 , y > 0 và . Chứng minh rằng: . Từ . (1) Suy ra x > 1 ; y > 1 và các căn thức tồn tại . Từ (1) suy ra (đpcm). Bài toán 32: Cho tam giác có số đo các đường cao là các số nguyên, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều. Giải: Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a, b, c của tam giác, đường cao của tam giác luôn lớn hơn đường kính đường tròn nội tiếp tam giác đó, nghĩa là . Vì x, y, z là các số nguyên dương nên . Mặt khác ta lại có: nên tam giác ABC đều. Bài toán 33: Cho phương trình . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thoả mãn . Giải: Đặt khi đó phương trình (*) trở thành . Phương trình (*) có nghiệm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ngh ĩa l à: Khi m <-2 thì phương trình (*) có 4 nghiệm ; và . Từ giả thiết suy ra vì Bài toán 34: Chứng minh rằng nếu phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn thì . Giải: Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì đa thức bậc bốn ở vế trái của phương trình phân tích được : (vì và ) . Đồng nhất thức hai vế của phương trình trên ta được : Giải hệ phương trình trên ta được . Cách giải 2: Vì và đều là nghiệm của phương trình (*) nên ta có: . Có ba trường hợp xảy ra Trường hợp 1: Nếu . Đa thức vế trái chia hết cho nên đa thức dư đồng nhất phải bằng 0. Bằng phép chia đa thức cho đa thức ta được: Trường hợp 2: Nếu . Tương tự trường hợp (1) ta cũng có Trường hợp 3: Nếu thì là nghiệm của phương trình . Chia đa thức (*) cho ta được đa thức dư đồng nhất bằng 0 có . Cách giải 3: Vì không là nghiệm của phương trình (*) nên chia hai vế cho ta được:. Đặt nên phương trình trở thành . Đặt . Áp dụng định lý Viet cho phương trình (2) . Thay vào (3) và biến đổi ta được . Phương trình (2) có hai nghiệm . Nếu mới chỉ là một nghiệm của phương trình (2) vậy ta phải xét thêm các trường hợp 1) 2) như cách giải 2: Bài tập về nhà về phương trình và hệ phương trình 1)Giải các phương trình sau: a) KQ: x = 1; x = 36 b) Giải các hệ phương trình sau: a) KQ: b) KQ: c) KQ: d) Bài tập về nhà: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)