Các tình huống điển hình trong dạy học môn toán

“AB” để chỉ các đối tượng sau: đường thẳng đi qua hai điểm AB, độ dài đoạn thẳng AB, tia với điểm gốc A và chứa điểm B...vì vậy trong sách giáo khoa người ta phải đặt trước kí hiệu này thuật ngữ chỉ loại đối tượng, ví dụ “đoạn thẳng AB”, “đường thẳng AB”, “tia AB”...(Toán 6, tập 2). Những hoạt động củng cố định nghĩa Trong dạy học khái niệm, ta cần giúp học sinh củng cố kiến thức bằng cách cho họ tập luyện những hoạt động như nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ hay một số hoạt dộng khác. - Nhận dạng và thể hiện khái niệm. Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong học tập môn Toán là một số học sinh thuộc cách phát biểu của định nghĩa nhưng lại không nhận biết được một đối tượng cụ thể có thoả mãn định nghĩa ấy hay không, không tự mình tạo ra được những đối tượng thoả mãn định nghĩa. Vì vậy, cần phải cho học sinh tiến hành những hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện” để khắc phục chủ nghĩa hình thức, để củng cố khái niệm. Chẳng hạn, khi học về tam giác cân (Hình học 7, tr.43), có thể cho học sinh làm bài tập: Hãy tìm các tam giác cân trong hai hình bên, trước hết đoán nhận bằng mắt, sau đó đo trực tiếp để kiểm tra lại. Khi học về “hệ số của đơn thức” (Đại số 7, tr.97) có thể cho các bài tập trong đó lưu ý đến trường hợp khi hệ số bằng . Trong việc nhận dạng khái niệm, nên có một số bài tập mà câu trả lời không phải là “có hoặc không” mà là “chưa rõ”, ví dụ như: “Hai góc O1 và O2 có chung đỉnh O và cùng bằng 600. Hai góc đó có đối đỉnh không?”. Sau khi nêu lên định nghĩa của khái niệm, cần yêu cầu học sinh biết thể hiện khái niệm tức là cụ thể hoá khái niệm đó. Chẳng hạn, sau khi định nghĩa góc ngoài của tam giác, ta yêu cầu học sinh vẽ các góc ngoài của một tam giác cho trước...Khi cụ thể hoá khái niệm, chú ý hướng dẫn học sinh nêu lên các thí dụ một cách đa dạng, kể cả một số trường hợp riêng, tránh sự đơn điệu. Ví dụ, khi cụ thể hoá khái niệm “đường cao của hình tam giác”, gợi ý cho học sinh vẽ hình trong các trường hợp chân đường cao ở trên một cạnh, trùng với đỉnh, ở phần kéo dài của một cạnh. - Hoạt động ngôn ngữ. Để giúp học sinh củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần chú ý hướng dẫn và khuyến khích học sinh diễn đạt các định nghĩa theo một cách khác, bằng lời lẽ của bản thân mình. Ví dụ, đối với định nghĩa số nguyên tố, có thể phát biểu “số nguyên tố là số có đúng hai ước” (tức là “có hai và chỉ có hai ước”)... Sự chú ý phương diện ngôn ngữ trong dạy học khái niệm cũng sẽ góp phần tích cực phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh, bao gồm vốn từ ngữ và các kí hiệu toán học, tạo cơ sở phát triển năng lực nhận thức cũng như năng lực vận dụng toán học vào việc học tập các bộ môn khác, vào khoa học và đời sống. - Một số hoạt động củng cố khác. Một số hoạt động cần rèn luyện cho học sinh trong dạy học khái niệm khi có điều kiện là hệ thống hoá, tức là biết nhận ra những mối quan hệ giữa các khái niệm. Sau khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho học sinh vận dụng khái niệm đó vào những bài toán, những hoạt động khác nhau đặc biệt là những bài toán chứng minh trong môn toán. Điều đó có tác dụng củng cố, nắm vững khái niệm, lại vừa góp phần phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn. d) Dạy học phân chia khái niệm và hệ thống hoá khái niệm Dạy học phân chia khái niệm Khi ta định nghĩa một khái niệm (dưới dạng tường minh hoặc không tường minh) thì nội dung của khái niệm (tức là các tính chất đặc trưng) và phạm vi của khái niệm (tức tập hợp các đối tượng thoả mãn định nghĩa) được xác định. Phạm vi của khái niệm sẽ còn được sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia khái niệm (vạch rõ phạm vi của khái niệm). Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của việc nắm vững các khái niệm toán học cũng như các khái niệm thuộc bất kì một môn học nào. Chẳng hạn, học sinh sẽ nắm vững khái niệm số nguyên tố hơn, nếu đồng thời với việc hiểu định nghĩa này, học sinh còn biết rằng số nguyên tố có thể chẵn, có thể lẻ, nhưng chỉ có một số chẵn là số 2, còn các số nguyên tố còn lại đều là lẻ. Tương tự như vậy, nếu học sinh biết rằng khái niệm số tự nhiên được phân chia thành: số 1, số 0, số nguyên tố, hợp số. Nhiều khi, học sinh cần phải nắm vững cách phân chia khái niệm để có thể giải toán hoặc xem xét các vấn đề có liên quan. Ví dụ, đối với bài toán “Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p + 10 và p + 14 không cùng là các số nguyên tố”, thì học sinh cần phải biết phân loại các số nguyên tố lớn hơn 3 thành hai loại 3k + 1, 3k + 2 để chứng minh. Hoặc như, việc giải một số bài toán có liên quan đến số hữu tỉ x, đòi hỏi phải xét ba trường hợp: x = 0, x > 0, x < 0. Ta có thể minh hoạ việc phân chia khái niệm qua hai ví dụ sau: Tam giác có góc tù Tam giác có ba góc nhọn Tam giác vuông Hình thoi Hình chữ nhật Hình bình hành Hình vuông Hình 32 Người ta còn diễn tả việc phân chia khái niệm bằng sơ đồ. Chẳng hạn, sơ đồ các loại tứ giác trong Hình học 8 như sau: Hình 33 Sơ đồ này được hiểu là: tứ giác có các loại đặc biệt là hình thang, ngoài ra còn có tứ giác không là hình thang; hình thang có ba loại đặc biệt là hình thang cân, hình thang vuông và hình bình hành, ngoài ra còn có những hình thang khác không là hình thang cân, không là hình thang vuông mà cũng không phải là hình bình hành... Còn đối với sơ đồ minh hoạ việc phân chia khái niệm hình tam giác trên chẳng hạn, thì lại phải hiểu là: Hình tam giác có ba loại là tam giác có ba góc nhọn, tam giác vuông và tam giác có một góc tù. Do đó, giáo viên phải thận trọng và giải thích kĩ cho học sinh khi vẽ các sơ đồ. Ta thường hay gặp cách phân chia khái niệm theo nhiều tầng mà ở mỗi tầng, tập hợp các đối tượng được chia thành hai lớp theo một tính chất nào đó (gọi là phép chia nhị phân). Ví dụ sau đây là phép chia nhị phân khái niệm số thực. Số thực Số hữu tỉ Số vô tỉ Số nguyên Số phân Số tự nhiên Số nguyên âm Chú ý: Trong sơ đồ trên, thuật ngữ “số phân” để chỉ các số hữu tỉ không phải là số nguyên, còn “số tự nhiên” bao gồm cả số 0. Dạy học hệ thống khái niệm Trong việc dạy học các khái niệm, bao giờ cũng nêu lên mối quan hệ giữa các khái niệm, đặt khái niệm mới vào hệ thống các khái niệm có sẵn, tức là sau mỗi phần, mỗi chương cần phải hệ thống hoá các khái niệm. Khi dạy học số học, đại số, có nhiều cơ hội cho học sinh thấy đươc sự mở rộng khái niệm: mở rộng về số (số tự nhiên - số nguyên - số hữu tỉ - số thực), khái niệm về biểu thức, về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch v.v...Cần lưu ý để học sinh nhận thức được đặc điểm đặc trưng nào của khái niệm mới được mở rộng so với khái niệm cũ. Trong chương I - Tứ giác, đa giác (Hình học 8), học sinh có cơ hội thấy được sự thu hẹp khái niệm: hình tứ giác – hình thang – hình bình hành – hình chữ nhật – hình vuông. Trường hợp này cần hướng dẫn học sinh nắm vững được khi chuyển từ một khái niệm sang một khái niệm hẹp hơn thì khái niệm hẹp hơn này không những có mọi tính chất của khái niệm trước đó mà còn có thêm những tính chất riêng mà khái niệm trước đó nói chung là không có, chẳng hạn hình vuông có mọi tính chất của hình chữ nhật, đồng thời có tính chất riêng như hai đường chéo vuông góc với nhau mà hình chữ nhật nói chung không có. Những tính chất này cần nắm vững để vận dụng có hiệu quả vào giải toán cũng như ứng dụng vào các tình huống khác nhau. Ý nghĩa của hoạt động phân chia khái niệm, hệ thống hoá khái niệm (một trong những dạng quan trọng của hoạt động trí tuệ) vượt xa ra khỏi phạm vi của việc nắm vững các kiến thức toán học, nó cần thiết cho bất kì lĩnh vực hoạt động nào của con người. Vì thế những tri thức và kỹ năng về mặt này cần được chú ý thích đáng trong môn Toán cũng như các môn học khác. 2. Dạy học các định lí toán học a) Vị trí và yêu cầu Việc dạy các định lí toán học nhằm cung cấp cho học sinh một trong những vốn kiến thức cơ bản của bộ môn. Đó cũng là những cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ. Việc dạy học các định lí toán học cần đạt được các yêu cầu sau: - Nắm được nội dung các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng các định lí vào hoạt động giải toán cũng như vào các ứng dụng khác; - Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luận chính xác (với mức độ thích hợp ở trường phổ thông); - Phát triển năng lực chứng minh toán học. b) Các con đường dạy học định lí Việc dạy học các định lí toán học có thể được thực hiện theo hai con đường: con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán. Hai con đường này được minh hoạ bằng sơ đồ sau. Suy luận lôgíc dẫn tới định lí Tạo động cơ Phát hiện định lí Chứng minh định lí Phát biểu định lí Củng cố định lí Việc đi theo con đường nào không phải là tuỳ tiện mà tuỳ theo nội dung định lí và tuỳ vào điều kiện cụ thể về học sinh. Trong dạy học hình học, việc phát hiện định lí có thể được tiến hành thông qua vẽ hình hoặc thông qua hoạt động thực hành dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Chẳng hạn, khi dạy bài “Tính chất ba trung tuyến của tam giác” (Hình học 6), trước hết, có thể cho mỗi học sinh vẽ một tam giác tuỳ ý, sau đó vẽ ba đường trung tuyến rồi nêu nhận xét dưới sự hướng dẫn của thầy giáo. Trước khi dạy bài “Tổng ba góc của tam giác” (Hình học 6), có thể giao cho học sinh công việc thực hành ở nhà là “cắt một tam giác bất kì bằng giấy, đo mỗi góc trong của tam giác rồi cộng các kết quả lại”, sau đó, khi lên lớp giáo viên gợi ý học sinh phát hiện định lí trong bài học. Để minh hoạ cho con đường suy diễn, có thể đưa ra ví dụ khi dạy định lí về bình phương của một hiệu trong bài “Những hằng đẳng thức đáng nhớ” (Đại số 8): từ hằng đẳng thức suy ra c) Dạy chứng minh định lí Trong dạy học định lí, một khâu rất quan trọng là phát triển ở học sinh năng lực chứng minh toán học. Dựa vào những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động, ta cần chú ý giải quyết các vấn đề sau: - Gợi động cơ chứng minh, - Rèn luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh, - Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh, - Phân bậc hoạt động chứng minh. Ta lần lượt đi vào từng khâu này. Gợi động cơ chứng minh. Hình thành động cơ chứng minh có vai trò quan trọng đối với việc học tập những định lí, nó phát huy tính tự giác và tích cực của học sinh trong học tập. Ở những bài toán chứng minh đầu tiên ở trường phổ thông cơ sở, học sinh thường chưa thấy rõ sự cần thiết phải chứng minh một mệnh đề toán học, nhiều học sinh vẫn không hết băn khoăn tại sao lại phải tốn công sức chứng minh nhiều điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ. Để khắc phục tình hình này, cần tận dụng những cơ hội khác nhau để gợi động cơ cho hoạt động chứng minh định lí. Cần cho học sinh thấy rằng những điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ thật ra chỉ là là trên một hình vẽ, hay nếu chịu khó thử thì cũng chỉ là trên một số hữu hạn hình vẽ mà thôi. Vấn đề đặt ra là với một mệnh đề tổng quát, ta không thể thử trực tiếp nó trên vô số trường hợp. Vì vậy cần phải chứng minh nó. Hình 34 Một ví dụ liên quan đến định lí Pitago (Hình học lớp 8) là như sau: Khi làm nhà tre, gỗ, người thợ mộc đục các lỗ A, B, C của vì kèo AC, quá giang BC và trụ chống AB theo cự li tỉ lệ với 3 : 4 : 5 tức là AB : BC : CA = 3 : 4 : 5 (hình vẽ) thì lúc dựng lên bao giờ cũng được tam giác vuông ABC vuông ở B (tức là trụ chống thẳng góc với quá giang). Ta có thể kiểm nghiệm kinh nghiệm này trên một số hữu hạn trường hợp, nhưng để đảm bảo sự đúng đắn của nó cho tất cả (vô số) các trường hợp thì phải chứng minh. Như vậy, từ yêu cầu của thực tế có thể học sinh thấy sự cần thiết phải chứng minh. Đôi khi, việc chọn ví dụ và vẽ hình cũng giúp học sinh thấy sự cần thiết phải chứng minh. Chẳng hạn, với định lí “Mỗi góc ngoài của tam giác lớn hơn góc trong không kề với nó” (Hình học lớp 7), nếu ta vẽ tam giác ABC có ba góc nhọn tức là góc ngoài ở C là góc tù (Hình 35.a) thì học sinh có thể cho rằng chẳng cần phải chứng minh vì góc tù bao giờ cũng lớn hơn góc nhọn A và B. Nhưng nếu vẽ hình có góc ngoài ở C là góc nhọn (Hình 35.b) thì việc góc ngoài C lớn hơn góc A và góc B không phải là điều hiển nhiên nữa. Hình 35 Rèn luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh. Cần chú ý tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát... Điều quan trọng là những thao tác kết luận lôgíc theo những quy tắc thường không được dạy tường minh ở trường phổ thông và chỉ được sử dụng dưới dạng tắt. Ví dụ, ta hãy xem xét cách chứng minh công thức bình phương của một tổng (Đại số 8), trong sách giáo khoa: Các bước chứng minh đầy đủ được trình bày trong bảng sau: Các bước Lập luận 1. (a + b)2 = (a + b)(a + b) 2. = a(a + b) + b(a + b) 3. = aa + ab + ba + bb 4. = aa + ab + ab + bb 5. = aa + 2ab + bb 6. = a2 + 2ab + b2 1. Theo định nghĩa của luỹ thừa. 2. Theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. 3. (Như trên). 4. Theo tính chất giao hoán của phép nhân. 5. Theo định nghĩa của hệ số. 6. Theo định nghĩa của luỹ thừa. Một ví dụ khác, ta hãy xem xét cách chứng minh định lí “Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân” (Hình học lớp 8). Hình 36 Chứng minh trong sách giáo khoa Phân tích chứng minh 1. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC ở E 2. BE = AC 3. BE = BD 4. Tam giác BDE cân 5. 6. 7. 8. 9. 10. ABCD là hình thang cân 1. Theo tiên đề Ơclít và địng lí đã được chứng minh (hình học 7, tr.30). 2. Theo tính chất đã được chứng minh (hình học 7, tr. 47) 3. Theo 2, giả thiết và tính chất của đẳng thức. 4. Theo 3 và định nghĩa tam giác cân (hình học 7, tr. 43). 5. Theo định lí đã được chứng minh (như đã dẫn). 6. Tính chất của cặp góc đồng vị. 7. Theo 5, 6 và tính chất của đẳng thức. 8. Theo giả thiết 7 và định lí đã được chứng minh (chứng minh hình học 7, tr. 20). 9. Theo 8 và định nghĩa hai tam giác bằng nhau. 10. Theo 9 và định nghĩa hình thang cân. Truyền thụ những tri thức phương pháp liên đến đến chứng minh. Trong quá trình dạy học chứng minh, còn cần phải truyền thụ những tri thức liên quan đến chứng minh. Đó trước hết là những tri thức về các quy tắc kết luận lôgíc mà ở trường phổ thông chúng chỉ được truyền thụ theo con đường không tường minh. Chẳng hạn, trong ví dụ vừa nêu ở trên, từ bước 4 chuyển sang bước 5 ta đã dùng quy tắc kết luận (gọi là modus ponens) như sau: - Trong một tam giác cân, hai góc kề cạnh đáy bằng nhau. - Tam giác BDE là tam giác cân với cạnh đáy DE. Vậy hai góc kề cạnh đáy . Sơ đồ quy tắc kết luận này là: Đó là quy tắc thường được dùng nhiều hơn cả ở trường phổ thông. Trong ví dụ trên, ở các bước 3, 4 hay 7, 8, 9, ta cũng ngầm sử dụng quy tắc kết luận này. Đồng thời, cần chú ý truyền thụ những tri thức về những phương pháp suy luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược tiến, lùi), suy xuôi, phản chứng theo con đường thông báo chúng nhân cơ hội tiến hành các phép chứng minh. Đặc biệt, cần luyện tập dần để học sinh nắm được những tri thức sau (đương nhiên không phát biểu tường minh như ở đây): - Phép suy xuôi có sơ đồ sau, trong đó Ai là một định nghĩa, tiên đề hoặc một mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh: - Phép suy ngược có hai trường hợp: suy ngược tiến và suy ngược lùi với các sơ đồ như sau: Các phép suy xuôi và suy ngược lùi là những phép chứng minh trong khi suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán. Ví dụ. Cho bài toán: “Chứng minh rằng: ” (Đại số lớp 8, tr. 13). - Chứng minh bằng phép suy xuôi: Từ hằng đẳng thức (A0) suy ra (A1) (A2) (đpcm) (B) - Chứng minh bằng phép suy ngược lùi: Muốn chứng minh (B) thì phải chứng minh (A2) hay phải chứng minh (A1) tức là phải chứng minh (A0) Đẳng thức này chính là hằng đẳng thức 4 đã học. Trong quá trình dạy học chứng minh định lí, ta cũng cần truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về chiến lược chứng minh (có tính chất tìm đoán) theo con đường tập luyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức này. Chiến lược này kết tinh ở học sinh như một bộ phận kinh nghiệm mà họ tích luỹ được trong quá trình học các chứng minh định lí, cũng như giải các bài toán chứng minh. Đương nhiên, sự kết tinh này không nên diễn ra một cách tự phát mà cần được thực hiện một cách có chủ đích, có ý thức của thầy giáo. Chẳng hạn, thầy giáo luôn luôn lặp đi lặp lại một cách có dựng ý những chỉ dẫn hoặc câu hỏi như: - Giả thiết nói gì ? Giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào ? - Hãy vẽ một hình theo những dữ kiện của bài toán. Những khả năng có thể xảy ra. - Từ giả thiết suy ra được điều gì ? Những định lí nào có giả thiết giống hoặc gần giống với giả thiết này ? - Kết luận nói gì ? Điều đó còn có thể phát biểu như thế nào ? - Những định lí nào có kết luận giống hoặc gần giống với kết luận của bài toán ? v.v... Phân bậc hoạt động chứng minh. Dựa vào những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động, ta cần phân bậc hoạt động chứng minh để điều khiển quá trình học tập của học sinh về phương diện này. Bao quát nhất là phân bậc căn cứ vào hoạt động độc lập của học sinh: - hiểu được chứng minh; - trình bày lại chứng minh; - độc lập tiến hành chứng minh. Cần lưu ý rằng mức độ khó khăn của một hoạt động chứng minh không chỉ phụ thuộc cách phân bậc trên mà còn quan hệ với từng nội dung bài toán. Hiểu chứng minh ở một bài toán khó rất có thể là khó khăn hơn là độc lập chứng minh ở một bài toán dễ. d) Dạy học củng cố định lí Trong dạy học định lí, ta cần giúp học sinh củng cố kiến thức bằng cách cho họ luyện tập những hoạt động sau: Nhận dạng và thể hiện. Những hoạt động quan trọng để củng cố định lí là “nhận dạng” và “thể hiện”. “Nhận dạng” là xem xét một tình huống cho trước có ăn khớp với một nhận định nào đó hay không. “Thể hiện” là tạo ra một tình huống phù hợp với định lí cho trước. Chẳng hạn: - Một số tròn chục có chia hết cho cả 2 và 5 không ? (nhận dạng – Toán lớp 6) - Hãy vẽ một hình bình hành có một cạnh dài gấp đôi cạnh kia (thể hiện – Hình học lớp 8). Hoạt động ngôn ngữ về mặt ngôn ngữ lôgíc, cần chú trọng phân tích cấu trúc lôgíc cũng như phân tích nội dung định lí, khuyến khích học sinh thay đổi hình thức phát biểu định lí nhằm phát triển năng lực diễn đạt độc lập những ý nghĩ của mình. Ví dụ, đối với định lí về dấu hiệu chia hết cho 3: “Những số mà tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3” (Toán lớp 6, tr. 57), học sinh có thể phát biểu theo nhiều cách khác, như: - Nếu một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3 và ngược lại, nếu một chữ số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3; - Một số chia hết cho 3 khi nó có tổng các chữ số chia hết cho 3 và không chia hết cho 3 khi nó có tổng các chữ số không chia hết cho 3. Một ví dụ khác trong sách Hình học lớp 8: - “Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau”, “Hai đường chéo của hình chữ nhật luôn bằng nhau”, “Nếu tứ giác là hình chữ nhật thì hai đường chéo của nó bằng nhau”. - Tính chất ba trung tuyến của tam giác: “Ba trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng trung tuyến đi qua đỉnh ấy”. Các hoạt động củng cố khác. Cùng với các hoạt động trên cần tập luyện cho học sinh những hoạt động củng cố khác như đặc biệt hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá và vận dụng những định lí trong giải toán, đặc biệt là trong chứng minh toán học. Trong việc dạy học các định lí toán học, cũng như dạy học các khái niệm, cần phải làm cho học sinh hiểu và nắm vững được một hệ thống kiến thức. Sau mỗi phần, mỗi chương cần tiến hành hệ thống hoá các định lí, chú ý nêu rõ mối liên hệ giữa chúng. Mối liên hệ giữa các định lí có thể là mối quan hệ chung riêng: một định lí có thể là một trường hợp mở rộng hay đặc biệt của một định lí nào đó đã biết. Chẳng hạn, trong Hình học lớp 7, có định lí: “Tổng số đo ba góc của tam giác bằng 1800” (tr. 36). Từ đó, có các trường hợp riêng là các định lí: - Trong tam giác vuông, tổng số đo hai góc nhọn bằng 900 (tr. 37); - Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 600 (tr. 44). Mối liên hệ giữa các định lí cũng có thể là mối liên hệ suy diễn: định lí này suy ra định lí kia. Ví dụ, trong sách Hình học lớp 8, tr. 78, định lí Pitago đối với tam giác vuông a2 = b2 + c2 được suy ra từ một định lí ngay trước đó: b2 = ab’; c2 = ac’. Sau đây là một ví dụ về một cách hệ thống hoá một số định lí trong chương 1 Hình học lớp 8. Hình thang ABCD Hình thang ABCD + AB // CD (hoặc AD // BC) Hình thang ABCD H.b.hành, H.ch.nhật ABCD + AB // CD và AD // BC + AB = CD và AD = BC + AB // CD và AB = CD H. bình hành ABCD + + H. thoi ABCD AB = BC = CD = DA H. chữ nhật ABCD Tính chất về cạnh Tính chất về góc 3. Dạy học các quy tắc và phương pháp Thực ra, những quy tắc, phương pháp không hoàn toàn độc lập với định nghĩa và định lí. Có những quy tắc, phương pháp dựa vào một định nghĩa hay định lí, thậm chí có khi chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay định lí. Tuy nhiên, việc dạy học loại hình thức này có những nét riêng, vì thế nó được trình bày tách biệt trong mục này. a) Những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật toán Thuật toán được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định. Đây chưa phải là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu giúp ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác. Ở trường phổ thông, học sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như thuật toán cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số, bội chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, thuật toán giải phương trình bậc hai...Người thầy giáo cần có ý thức thông qua việc dạy học các quy tắc trên mà rèn luyện cho học sinh một loại hình tư duy quan trọng: tư duy thuật toán, một yếu tố học vấn phổ thông của con người trong thời đại máy tính. Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì những lí do sau đây: Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hoá trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hoá. Nó giúp học sinh thấy được nền tảng của việc tự động hoá, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần tuý máy móc của quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chức năng của con người cho máy thực hiện. Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải bài toán bằng máy tính điện tử. Thật vậy, thiết kế thuật toán là một khâu rất cơ bản của việc lập trình. Tư duy thuật toán tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốt khâu đó. Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường phổ thông, rõ nhất là môn toán. Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo khi học các phép tính trên những tập hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai,... Thứ tư, tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá...và hình thành phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra... Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày ở trên. Do đó, phương thức tư duy này thể hiện ở những khả năng sau đây: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước. Phân tích một hoạt động thành những thao tác hoạt động thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định. Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động. Khái quát hoá một hoạt động trên những đối tượng riêng thành một hoạt động trên một lớp đối tượng. So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện thuật toán tối ưu. Thành phần đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật toán. Bốn thành phần sau thể hiện khả năng xây dựng thuật toán. Việc phát triển tư duy thuật toán có thể được thực hiện cả khi dạy trực tiếp những nội dung Tin học lẫn khi dạy học những lĩnh vực nội dung khác, kể cả những nội dung truyền thống của giáo dục phổ thông. Mặt thứ nhất là rõ ràng và tường minh khi đã có chủ trương đưa Tin học vào nhà trường phổ thông. Mặt thứ hai - mặt phát triển tư duy thuật toán trong dạy học những nội dung ngoài Tin học - dễ bị lãng quên hoặc bỏ qua. Vì vậy, mục đích chủ yếu hướng vào mặt thứ hai trong môn Toán để tránh điều đáng tiếc đó. Hiện nay, định nghĩa thuật toán, những tính chất và những hình thức biểu diễn thuật toán...đang được nghiên cứu để đưa vào dạy học tường minh trong nhà trường phổ thông. Điều đó sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển tư duy thuật toán, chuẩn bị cho việc học tập về máy tính điện tử và làm việc với công cụ này. Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp khái niệm thuật toán chưa được đưa một cách tường minh vào trong chương trình, ta vẫn có thể phát triển ở học sinh tư duy thuật toán theo phương hướng rèn luyện cho họ những khả năng a) – e) đã liệt kê như những thành tố của phương thức tư duy này. > 0 < 0 = 0 Xác định a, b, c Dấu của Vô nghiệm Nghiệm kép Hai nghiệm Kết thúc Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước, có thể phát biểu một số quy tắc toán học thành những thuật toán dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khối (nếu học sinh đã được học phương tiện này) rồi yêu cầu họ thực hiện các quy tắc ấy, thông qua đó nhấn mạnh các bước và trình tự tiến hành các bước trong mỗi quy tắc. Điều vừa trình bày có thể minh hoạ bằng thuật toán giải phương trình bậc hai dưới đây (Đại số lớp 9, tr. 82). Một ví dụ khác, quy tắc nhân hai số nguyên (Đại số lớp 7, tr. 18) có thể lập theo sơ đồ sau. Có thừa số bằng 0 Có Không Tích bằng 0 Hai thừa số cùng dấu? Có Không Tích là số dương có giá trị tuyệt đối bằng tích các giá trị tuyệt đối Tích là số âm có giá trị tuyệt đối bằng tích các giá trị tuyệt đối Cách làm như trên cũng đồng thời tập cho học sinh biết phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần theo một trình tự xác định. Để rèn luyện cho học sinh hoạt động ngôn ngữ mô tả chính xác một quá trình, cần yêu cầu học sinh phát biểu những quy tắc đã học hoặc đã biết bằng lời lẽ của mình. Giáo viên theo dõi phân tích chính xác của những phát biểu như vậy. Việc dạy cho học sinh các thuật toán, cho các em làm quen với phương pháp có tính chất thuật toán (tức là phương pháp suy nghĩ, phương pháp làm việc trong đó quy định rõ các công việc cần tiến hành theo một trình tự nhất định để hoàn thành công việc) có ý nghĩa rất lớn, giúp các em đi vào lao động công nghiệp một cách thuận lợi, về mặt kiến thức, kĩ năng, cũng như về mặt tư duy và nhân cách (biết suy nghĩ lôgíc theo một trình tự nhất định, có ý thức kỉ luật...). b) Những quy tắc, phương pháp phi thuật toán Cùng với những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật toán, trong môn toán ở trường trung học cơ sở, học sinh còn học những quy tắc, phương pháp phi thuật toán, chẳng hạn như quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình với các bước sau: Chọn ẩn số, biểu thị những đại lượng chưa biết qua ẩn số và những đại lượng đã biết; Lập phương trình biểu diễn mối tương quan giữa những đại lượng; Giải phương trình; Kiểm tra kết quả và trả lời, trong đó có việc xem xét sự thích hợp của nghiệm phương trình đối với tình huống của bài toán. Bên cạnh đó, ta không được lãng quên một số quy tắc, phương pháp có tính chất tìm đoán vốn không phải là đối tượng dạy học tường minh trong môn toán ở nhà trường phổ thông, ví dụ như các quy tắc quy lạ về quen (chẳng hạn, để cộng, trừ các phân thức đại số, quy tắc quy đồng mẫu thức, ta đưa về thực hiện các phép tính với đa thức đã biết...), khái quát hoá, tương tự hoá, phương pháp tìm lời giải toán (xem mục IV-3)...Những quy tắc, phương pháp này có thể được truyền thụ theo các con đường: - Thông báo nhân quá trình hoạt động, - Tập luyện những hoạt động ăn khớp với những quy tắc, phương pháp đó. Ví dụ, khi chứng minh định lí về tổng ba góc của một tam giác (Hình học lớp 7 , tr. 36), nhân việc kẻ thêm đường phụ để chứng minh, có thể thông báo cho học sinh những tri thức phương pháp sau đây: - Để tìm cách chứng minh một định lí, có thể phải kẻ thêm đường phụ; - Việc vẽ thêm một đường phụ là xuất phát từ việc phân tích kĩ giả thiết và kết luận. Những quy tắc, phương pháp tìm đoán chỉ là những gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán đảm bảo chắc chắn dẫn tới thành công. Vì vậy, hướng dẫn học sinh sử dụng chúng, cần rèn luyện ở họ tính mềm dẻo, linh hoạt, biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết. Sẽ không có gì đáng sợ, nếu học sinh không thành công khi áp dụng một quy tắc, phương pháp tìm đoán nào đó. Điều quan trọng là tới mức độ lúc nào đó, họ phải phát hiện ra sự sai lầm, biết thay đổi phương hướng và cuối cùng dẫn tới thành công. 4. Dạy học giải bài tập toán học a) Vị trí, chức năng của bài tập toán học Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán. Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau. Một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra...Tất nhiên, việc dạy giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu. Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học. Trong môn Toán, các bài tập mang các chức năng sau. Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hưng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới. Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác tư trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học. Với chức năng kiểm tra, bài tập nằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh. Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau. Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh hay công khai. Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị. Người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình. Ta hãy minh hoạ điều vừa trình bày bằng một ví dụ. Ở phần Bài tập ôn chương I (Hình học lớp 8, tr. 52) có bài toán số 9 sau: “Trên các cạnh của hình vuông ABCD và ở miền ngoài của hình vuông đó, vẽ bốn hình vuông. Chứng minh các tâm của chúng là đỉnh của một hình vuông khác”. Việc giải bài toán này sẽ củng cố các khái niệm và tính chất của tâm đối xứng, về cạnh và đường chéo của hình vuông. Bây giờ ta thay đổi giả thiết “hình vuông ABCD” bằng “hình chữ nhật ABCD”, hình vẽ có thay đổi, nhưng kết luận của bài toán không thay đổi. Các bước chứng minh của bài toán này về cơ bản không có gì thay đổi. Như vậy đã phát huy được chức năng giáo dục của bài toán ban đầu. Đến đây, với học sinh giỏi, có thể tiếp tục thay đổi giả thiết “hình chữ nhật ABCD” thành “hình bình hành ABCD”. Liệu kết luận của bài toán còn đúng nữa hay không. Học sinh phải kiểm nghiệm trên hình vẽ để dự đoán, rồi tiến hành chứng: phép chứng minh có phức tạp hơn một chút, nhưng kết luận của bài toán không có gì thay đổi. Như thế ta đã khai thác được chức năng phát triển tiềm tàng trong bài toán ban đầu. Bài toán này vẫn có thể khai thác tiếp tục: thay giả thiết “hình bình hành ABCD” bằng “tứ giác lồi ABCD”, khi đó kết luận chỉ còn lại ở một tính chất của tứ giác có bốn đỉnh là bốn tâm đối xứng: hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau. Ví dụ nêu trên làm sáng tỏ thêm rằng các chức năng của mỗi bài toán phụ thuộc vào nội dung cũng như phương pháp khai thác lời giải của nó. Điều đó định hướng việc lựa chọn bài tập của giáo viên, tránh tình trạng ra bài tập cho học sinh một cách tuỳ hứng hoặc chỉ chú trọng đến số lượng thuần tuý. b) Các yêu cầu đối với lời giải Để khái thác tốt các chức năng của bài tập toán học, thầy và trò cần nắm vững các yêu cầu của một lời giải. Lời giải không có sai lầm. Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không có sai lầm về ngôn ngữ diễn đạt. Giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán. Cần giúp học sinh biết kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài, xét tính hợp lí của đáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một phương pháp giải khác nếu có thể, rồi so sánh các kết quả giải được theo những phương pháp khác nhau. Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng hình thức vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học chứ không đơn thuần đối chiếu với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn lầm. Chẳng hạn, khi giải phương trình (Đại số lớp 9, tr. 91) nếu học sinh tìm được hai nghiệm là 1 và thì bằng cách áp dụng hệ thức Viét để nhẩm nghiệm, phải thấy ngay là sai, vì ở phương trình này có các hệ số a + b + c = 0 nên nghiệm là 1và . Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song điều quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó, bởi vì “con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” (G. Pôlya. Giải một bài toán như thế nào. NXBGD, 1975). Nguyên nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là học sinh nắm không vững chắc các định nghĩa, định lí, quy tắc...vận dụng chúng một cách máy móc, không chú ý đến các điều kiện áp dụng. Ví dụ, với bài toán “Giải phương trình 2x3 – 50x = 0” (Đại số lớp 8, tr. 31), thì lời giải sau đây của học sinh là có sai lầm: Ở đây, học sinh đã chia cả hai vế cho x mà không lập luận điều kiện nên bị mất nghiệm x = 0. Những sai lầm về mặt suy luận, thường học sinh khó thấy hơn. Chẳng hạn, có bài toán ở Đại số lớp 8, tr. 31 là: “Chứng minh rằng x2 + 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi giá trị của x và y”, mà có học sinh giải như sau: “Từ x2 + 2xy + y2 + 1 > 0 suy ra (x + y)2 + 1 > 0 hay (x + y)2 > -1. Bất đẳng thức cuối cùng này đúng, do đó bất đẳng thức phải chứng minh là đúng”. Lời giải này sai vì đã coi phép suy ngược tiến là một phép chứng minh. Trong giải toán, học sinh còn có thể mắc sai lầm do hấp tấp, cẩu thả, sơ suất trong tính toán, không ghi chép đúng và xem xét kĩ đầu bài... Lập luận phải có căn cứ chính xác. Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lí luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức...đã học, đặc biệt phải chú ý đảm bảo thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí. Ví dụ, với bài toán “Giải phương trình ” (Đại số lớp 9, tr. 35) có học sinh giải như sau: Học sinh do không nắm vững hằng đẳng thức để từ phương trình đã cho suy ra |2x – 1| = 3, do đó đã để mất một nghiệm x = -1. Lời giải phải đầy đủ. Điều này có nghĩa là không được bỏ sót một trường hợp, một khả năng, một chi tiết nào. Nó cũng có nghĩa là lời giải vừa không thừa, vừa không thiếu. Muốn vậy, cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luôn luôn suy nghĩ và tự trả lời các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì ? Như vậy đã đủ chưa ? Còn trường hợp nào nữa hay không ? Đã đủ trường hợp đặc biệt chưa ? Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xét được đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là những bài toán đòi hỏi phải biện luận. Hình 37 Ví dụ, cho một bài toán sau: “Cho một hình vuông ABCD có cạnh a, tâm O, một góc vuông xOy có tia Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F. Tính diện tích tứ giác OEBF”. (Hình học lớp 8, tr. 55). Có học sinh đã trình bày lời giải như sau: “Giả sử tia Ox cắt AB tại trung điểm E, tia Oy cắt BC tại trung điểm F (hình vẽ). Hình bình hành OEBF có các góc B và O vuông nên nó là hình chữ nhật, ta lại có nên OEBF là một hình vuông có cạnh . Vậy diện tích OEBF là: Rõ ràng lời giải trên không đầy đủ (mặc dù đáp số là đúng) vì mới chỉ xét một trường hợp riêng mà không xét đến trường hợp tổng quát: E là một điểm nào đó trên cạnh AB. Tuy nhiên, lời giải trên cho một trường hợp đặc biệt cũng có tính chất gợi ý cho một giả thuyết: dự đoán diện tích OEBF bằng tức là bằng một phần tư diện tích hình vuông đã cho. Ngoài ba yêu cầu cơ bản nói trên, người giáo viên còn cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng, hợp lí. Tìm được lời giải hay của một bài toán tức là khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (G. Pôlya. Sách đã dẫn). c) Dạy học phương pháp tìm tòi lời giải bài toán Trong môn Toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy, có thể hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Đây là cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị dần cho học sinh một số tri thức phương pháp – phương pháp giải toán phương pháp toán học hoá - nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học. Biết đặt ra cho học sinh đúng mức, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong một chừng mực nào đó, sử dụng khéo léo và linh hoạt bảng gợi ý của G. Pôlya (ở cuối mục này) là thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá trình dạy giải bài tập toán. Đó là những lời khuyên của người có kinh nghiệm giải toán chứ không phải là những bảng chỉ dẫn có tính chất thuật toán. Tiếp thu những kinh nghiệm này, mỗi người có thể thực hiện khác nhau, cả về cách thức lẫn thời gian, để đi đến kết quả, và có thể có người không đi đến kết quả. Điều đó nói lên tính chất khó khăn phức tạp của việc truyền đạt phương pháp và kinh nghiệm giải toán chứ không hề phủ nhận vai trò quan trọng của việc này. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải mọi bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán, “Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” (G. Pôlya – Sách đã dẫn). Phương pháp tìm tòi lời giải của Pôlya thường được tiến hành theo bốn bước: - Tìm hiểu nội dung của bài toán; - Xây dựng chương trình giải; - Thực hiện chương trình giải; - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Tìm hiểu nội dung bài toán. Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài, đồng thời còn phải có hứng thú giải bài toán đó. Vì thế, người giáo viên cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú của học sinh và giúp học sinh hiểu bài toán phải giải. Phải tìm hiểu tổng thể để bước đầu hiểu toàn bộ bài toán, tránh vội vàng đi ngay vào các chi tiết. Tiếp theo, phải phân tích bài toán: cái gì đã cho, cái gì chưa biết ? có mối quan hệ nào giữa cái phải tìm với cái đã cho ?... Ví dụ đối với bài toán: Giải phương trình (17 – 21) – 9 = 17 – (x + 9) một số học sinh tiến hành bỏ các dấu ngoặc và thực hiện các phép tính. Nhưng nếu biết nhìn bài toán một cách tổng thể, nhận ra được đặc điểm của phương trình và có ngay x = 21. Đối với những bài toán Số học có lời văn nhiều, thì trước hết phải phân tích để gạt ra một bên những cái không bản chất, chỉ giữ lại quan hệ toán học trong bài toán để có thể nhận dạng được bài toán. Chẳng hạn, bài toán: “Hai người đi xe đạp cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B theo hai chiều ngược nhau. Vận tốc của người đi từ A là 12km/h. Vận tốc của người đi từ B bằng 125% vận tốc của người đi từ A. Biết rằng quãng đường AB dài 67,5km, hỏi sau mấy giờ thì hai người đi xe đạp gặp nhau ?” có lời văn dài, nhưng về quan hệ toán học thuộc về dạng toán “chuyển động đều ngược chiều nhau”. Từ đó, dựa vào công thức để giải. Đối với bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình. Cần phải đọc kĩ toàn bộ bài toán, từ đó tưởng tượng một cách khái quát và sơ bộ một hình phác thảo có chứa đựng các dữ kiện trong đề bài. Thường sau khi vẽ hình, học sinh sẽ hiểu rõ bài toán hơn. Cần chú ý: - Hình vẽ phải mang tính tổng quat, không nên vẽ hình trong những trường hợp đặc biệt. - Hình vẽ phải rõ ràng, dễ nhìn thấy những quan hệ và những tính chất hình học. - Việc vẽ hình bằng tay và bằng thước, compa dần được giải quyết một cách thoả đáng. Khi học sinh mới bắt đầu học hình học (ở lớp 6, lớp 7) nên yêu cầu học sinh vẽ hình bằng thước và compa, dần dần tập cho các em quen vẽ hình bằng tay cho nhanh, chỉ vẽ bằng thước và compa khi phải làm bài viết hoặc khi cần vẽ tương đối chính xác để dễ đoán nhận tính chất của hình. Luôn yêu cầu học sinh vẽ cẩn thận, thể hiện gần đúng các quan hệ về độ lớn của các góc và các đoạn thẳng cho trong bài toán. Việc chọn kí hiệu cũng cần được lưu ý. “Thời gian dành để chonh kí hiệu sẽ được trả công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm được nhờ tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn.” (G. Pôlya – Sách đã dẫn). Một lí hiệu phải có nội dung, dễ nhớ, tránh hiểu nước đôi và không nên cầu kì, thứ tự và tương quan giữa các kí hiệu phải giúp chúng ta liên tưởng đến thứ tự và tương quan giữa các đối tượng tương ứng. Chẳng hạn, đối với hai tam giác bằng nhau hay đồng dạng, nên viết các đỉnh theo thứ tự tương ứng. Xây dựng chương trình giải. Ở bước này, phải chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, phải huy động kiến thức (định nghĩa, định lí, quy tắc,...) có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ liệu của bài toán, mò mẫm, dự đoán, thử xét một vài khả năng, kể cả trường hợp đặc biệt, xét một bài toán tương tự hoặc bài toán khái quát của bài toán đã cho v.v... Việc phân tích bài toán thành từng bộ phận hay thành từng bài toán đơn giản hơn có thể được minh hoạ bằng ví dụ sau. Cho bài toán: “Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó là cam, 50% là hồng xiêm, còn lại là bưởi. Hỏi có bao nhiêu cây bưởi ?” (Toán lớp 6, tập 2, tr. 102). Ta có thể phân tích bài toán này thành ba bài toán đơn giản hơn: (1) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó là cam. Tính số cây cam. (180 cây). (2) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó 50% là hồng xiêm. Tính số cây hồng xiêm. (225 cây). (3) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó có 180 cây cam, 225 cây hồng xiêm, còn lại là bưởi. Tính số cây bưởi (45 cây). Cũng có thể phân tích thành ba bài toán đơn giản khác như sau: (1a) Vườn trường trồng cây ăn quả, trong đó là cam, 50% là hồng xiêm. Tính số cây cam và cây hồng xiêm . (2a) Vườn trường trồng cây ăn quả, trong đó là cam và hồng xiêm, còn lại là bưởi. Tính số cây bưởi . (3a) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó là cây bưởi. Tính số cây bưởi (45 cây). Việc giải nhiều bài toán dựng hình cũng đòi hỏi phải phân tích ra thành một số bài toán bộ phận. Ta xét ví dụ sau: “Dựng tam giác ABC biết , tỉ số và trung tuyến phát xuất từ đỉnh A có độ dài m cho trước” (Hình học lớp 8, tr. 69). Có thể phân tích bài toán này thành hai: (1) Dựng tam giác AB’C’ biết và . (2) Dựng tam giác ABC đồng dạng với AB’C’, cạnh BC // B’C’ và có trung tuyến phát xuất từ A bằng độ dài m cho trước. Mò mẫm, dự đoán bằng cách thử một số trường hợp co thể xảy ra, xét trường hợp đặc biệt của bài toán, xét bài toán tương tự hay tổng quát hơn... Hình 38 Hãy quay lại với bài toán trong Hình học lớp 8, tr. 55 sau: “Cho một hình vuông ABCD có cạnh a, tâm O. Một góc vuông xOy có tia Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F (h. 38). Tính diện tích tứ giác OEBF”. Ngoài cách xét một trường hợp riêng như nêu ở mục 2.c để dự đoán được diện tích OEBF bằng , ta có thể xét một trường hợp đặc biệt khác khi tia Ox đi qua A, tia Oy đi qua B, tức là tứ giác OEBF thành tam giác AOB có diện tích bằng diện tích hình vuông đã cho. Chính từ hình vẽ của trường hợp đặc biệt này lại gợi ý cho việc tìm lời giải của trường hợp tổng quát khi E thuộc cạnh AB, còn F thuộc cạnh BC: tứ giác OEBF và tam giác AOB có phần chung là EOB, nếu như các phần còn lại là hai tam giác AOE và BOF mà bằng nhau thì diện tích OEBF và AOB bằng nhau và bằng diện tích hình vuông. Việc chứng minh hai tam giác AOE và BOF bằng nhau không gặp nhiều khó khăn: OA = OB, góc có cạnh tương ứng vuông góc với nhau. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Cần phải luyện cho học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là các bài toán có đặt điều kiện hoặc đòi hỏi biện luận. Việc kiểm tra lại kết quả phải được yêu cầu học sinh tiến hành thường xuyên. Chẳng hạn khi giải một phương trình, sau khi tìm được nghiệm, học sinh thay vào phương trình đã cho để kiểm tra lại. Đối với các bài toán giải bằng cách đặt phương trình thì phải thay nghiệm tìm được của phương trình vào bài toán đã cho ban đầu. Ví dụ, cho bài toán: “Trên ba giá sách có tất cả 50 cuốn. Giá thứ nhất chứa hơn giá thứ hai 10 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ ba 26 cuốn thì số sách ở giá thứ hai và thứ ba bằng nhau. Hỏi ban đầu giá thứ nhất chứa bao nhiêu cuốn sách ?”. Ta giải bài toán như sau: gọi x là số sách ban đầu ở giá thứ nhất, khi đó giá thứ hai chứa x – 10 cuốn, ta có phương trình: Nếu thay...kết quả này vào bài toán thì giá thứ nhất chứa 32 cuốn, giá thứ hai chứa 22 cuốn, còn giá thứ ba chứa -4 cuốn (!), do đó x = 32 không thể là đáp số của bài toán. Cần phải nhìn lại xem đã xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán hay chưa, nhất là bài toán có liên quan đến những đối tượng hay quan hệ có nhiều khả năng xảy ra. Bằng cách này sẽ dần dần luyện tập cho học sinh thói quen nhìn nhận vấn đề một cách toàn diện, theo nhiều khía cạnh, tránh phiến diện hời hợt. Ví dụ, với bài toán: “Dựng hình bình hành có ba đỉnh ở ba điểm A, B, C cho trước”, nhiều học sinh chỉ dựng hình ABDC, một số thấy thêm hình bình hành ABCE và ít học sinh thấy được đầy đủ cả ba hình như trên hình 39. Hình 39 Trong quá trình giải bài tập, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mỗi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của các dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ chọn được cách giải hay nhất, đẹp nhất. d) Bản gợi ý của Pôlya. Bản gợi ý của Pôlya rất có ích cho giáo viên trong quá trình dạy học giải bài tập toán. Người giáo viên cần suy nghĩ, vận dụng linh hoạt bảng này để có thể xác định những câu hỏi, những việc làm đúng lúc, đúng chỗ và phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, mang lại hiệu quả và đạt mục đích của việc dạy học giải bài tập. (1) Hiểu rõ bài toán: - Đâu là ẩn ? Đâu là dữ liệu ? Có thể thoả mãn được điều kiện hay không ? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không ? Hay chưa đủ ? Hay thừa ? Hay có mâu thuẫn ? - Vẽ hình. Sử dụng một kí hiệu thích hợp. - Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức không ? (2) Xây dựng một chương trình giải: - Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác ? - Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không ? một định lí có thể dùng được không ? - Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự. - Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó không ? Có thể sử dụng kết quả của nó không ? Hãy sử dụng phương pháp ! Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không ? - Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ? Một cách khác nữa ? Quay về các định nghĩa. - Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có liên quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trường hợp riêng ? Một bài toán tương tự ? Bạn có thể giải một phần bài toán không ? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào ? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một số yếu tố có ích không ? Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn hay các dữ kiện hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không ? - Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa ? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa ? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa ? (3) Thực hiện chương trình giải: Khi thực hiện chương trình, hãy kiểm tra lại từng bước. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa ? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không ? (4) Trở lại cách giải (nghiên cứu cách giải đã tìm ra) - Bạn có thể kiểm tra lại kết quả ? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải toán không ? - Có thể tìm được kết quả một cách khác không ? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả không ? - Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác không ?