Các phương pháp tính truyền nhiệt - Bài toán biên phi tuyến

c x 2 +τ∂ ∂ρ F = ∫∫ λ=∂∂λ xxx dttdtxt = 2xt2 1)t(g λ+ So s¸nh hai tÝch ph©n cho thÊy hµm tÝch ph©n lµ: F= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂ 22 )( 2 1 x ttc λτρ Bµi to¸n biÕn ph©n t−¬ng øng víi bµi to¸n (t) lµ t×m hµm t = t(x,τ) sao cho t¹i thêi ®iÓm bÊt kú lµm lµm cùc tiÓu phiÕm hµm I = ∫ = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ τ∂ ∂ρ+∂ ∂λ L 0x 2 2 tc) x t( 2 1 dx 6.4.3.Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n (Finite Element Formulation) §Çu tiªn chia phiÕm hµm I thµnh tæng hai tÝch ph©n: I = Iλ+Ic víi Iλ = dx)x t( 2 1 2 L 0 ∫ ∂∂λ , Ic = dxtc21 2L 0 ∫ τ∂∂ρ 6.4.3.1. Ph©n ho¹ch c¸c phÇn tö h÷u h¹n TiÕp theo chia miÒn tÝch ph©n [0,L] ra E phÇn tö nhê M = E + 1 ®iÓm nót T¹i thêi ®iÓm τ bÊt kú, trong mçi phÇn tö e, ta coi nhiÖt ®é te thay ®æi tuyÕn tÝnh theo x tõ ti = t(xi) ®Õn tj = t(xj), tuy nhiªn ti vµ tj ch−a biÕt. Toµn bé t− t−ëng cña FEM lµ t×m c¸c nhiÖt ®é (t1, t2,...,ti,tj,...,tM) H45. FE formulation x 1 O t (1) x(2) (e) (E) x 2 x i x j x M i t2 ti tj tM te t1 1 2 i j M 87 sao cho phiÕm hµm I nhá nhÊt. PhiÕm hµm I thùc chÊt lµ sai sè cña phÐp xÊp xØ hµm t(x) bëi tËp gi¸ trÞ (t1, t2,...,ti,tj,...,tM) t¹i c¸c phÇn tö h÷u h¹n, so víi hµm t(x) chÝnh x¸c ch−a biÕt tháa m·n ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt 2 2 x ttc ∂ ∂λ−τ∂ ∂ρ = 0 . T¹i thêi ®iÓm bÊt kú, phiÕm hµm I lµ hµm cña M nhiÖt ®é nót I = I(t1, t2, ..., tM) nªn ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó cùc tiÓu I lµ sù triÖt tiªu cña c¸c ®¹o hµm I lÇn l−ît theo mçi nhiÖt ®é nót ti. =∂ ∂ it I it I ∂ ∂ λ + i c t I ∂ ∂ = 0 , ∀i = 1÷ M §Þnh nghÜa ma trËn [t]  ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ M 2 1 t ... t t (1), th× ®iÒu kiÖn cùc tiÓu I lµ: = ][td dI ][td dIλ + ][td dIc = 0, trong ®ã ®Þnh nghÜa ][td dI  ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ M 2 1 t I ... t I t I BiÓu diÔn I nh− tæng c¸c Ie t¹i mçi phÇn tö e; I = ∑ = E 1e eI = ∑∑ == λ + E 1e e c E 1e e II víi dx) x t( 2 1I 2 x x e j i ∫ ∂∂λ=λ vµ dxtc21I 2 x x e c j i ∫ τ∂∂ρ= Chó ý: C¸c chØ sè e hiÓu lµ "cña phÇn tö e", kh«ng ph¶i sè mò. §Þnh nghÜa ma trËn (2x1) nhiÖt ®é nót cña ph©n tö e: [t]e  ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ j i t t (2) 88 vµ ma trËn (Mx2) ®Þnh vÞ phÇn tö e lµ: De  ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 00 .. 10 01 .. 00 (3) ta cã: ]t[d dIλ = ∑ = λ E 1e e ]t[d dI = ∑ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ E e j e i e t I t I 1 0 0 λ λ = ∑ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ E 1e . 00 .. 10 01 .. 00 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ λ λ j e i e t I t I = ∑ = λ E 1e e e e ]t[d dI D T−¬ng tù cã: ][td dIc = ∑ = E e e e ce td dI D 1 ][ Nh− vËy, ®Ó cùc tiÓu I, ph¶i x¸c ®Þnh [t] sao cho: ]t[d dIλ = ∑ = λE 1e e e e ]t[d dI D + ∑ = E 1e e e ce ]t[d dI D = 0 6.4.3.2. M« tÈ hµm te: Gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm bÊt kú, nhiÖt ®é trong phÇn tö e thay ®æi nh− mét hµm tuyÕn tÝnh cña ti, tj vµ x (tøc lµ ®o¹n th¼ng qua xiti, xjtj), cho bëi: te = e2 e 1 ϕ+ϕ x= [1x] e 2 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ϕ ϕ  pT[ϕ]e , ë ®©y gäi ρT [1 x] (4), c¸c hÖ sè e2 e 1 ,ϕϕ x¸c ®Þnh theo: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ϕ+ϕ= ϕ+ϕ= j e 2 e 1j i e 2 e 1i xt xt hay d¹ng ma trËn lµ: [t] e = e 2 1 j i x1 x1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ϕ ϕ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡  Pe[ϕ]e Víi Pe  ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ j i x1 x1 (5). Tõ ®ã suy ra: [ϕ]e = Pe-1[t]e = Re[t]e víi Re Pe-1 = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −− 11 1 ij ij xx xx (6) lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña Pe 6.4.3.3. TÝnh ]t[d dIλ = eE e e e 1 dID d[t] λ = ∑ : 1 . i j . M 89 Ta cã: ∫ ∂∂λ=λ ji x x 2 e e dx) x t( 2 1I = 2 )][( 2 ∫ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂ ∂j i x x eeT e tRp x λ dx = [ ] dxtRpj i x x eeT x e 2 )][ 2 ∫λ víi Txp  [ ] [ ]10x1x =∂∂ (7) - Ta sÏ ¸p dông quy t¾c ®¹o hµm cña hµm v« h−íng (tøc ma trËn (1x1) nh− lµ tÝch hai vect¬ )2x1( A )1x2( e]t[ ) theo ma trËn [t]e : ee e td d td tAd ][][ )][( = ([a1a2] )t t e j i ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +∂ ∂ +∂ ∂ )tata( tj )tata( t j2i1 j2i1 i = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 a a = AT Chó ý: Ký hiÖu AT hiÓu lµ chuyÓn vÞ cña ma trËn A, vµ quy t¾c chuyÓn vÞ tÝch (AB)T = BTAT (kh«ng giao ho¸n): - TÝnh e e ]t[d dIλ = 2 x x eeT xe e j i )]t[Rp( ]t[d d 2 ∫ λ dx= TeT x x x eeT x e RptRpj i )()][(2 2 ∫λ dx = )pR()]t[Rp( x ex x eeT x e Tj i ∫λ dx= ∫ j i Tx x eeT xx ee tRppR )][)((λ dx, v× Re, [t]e, px kh«ng phô thuéc vµo x nªn: ký hiÖu xij = (xj - xi) ta cã: ∫= j i Tx x eeT xx ee e e tRppRdx td dI ][. ][ λλ = .1 0 1 11 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − − i j ij ij e x x x xλ .[01] eij ij ]t[ 11 xx x 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − = e ij e ]t[ 11 11 x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −λ = ee ]t[K Víi Ke  ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −λ 11 11 xij e (8) (®èi xøng) lµ ma trËn dÉn nhiÖt cña phÇn tö e. - Chó ý r»ng [t]e = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ j i t t = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0..10.0 0..01.0 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ M j i t t t t1 = ]t[D Te ta cã: e eE 1e e ]t[d dID ]t[d dI λ = λ ∑= = ][ 1 tDKD Tee E e e∑ = = K[t] 90 Víi K lµ ma trËn vu«ng (MxM) ®èi xøng, gäi lµ ma trËn dÉn nhiÖt: K  Tee E 1e e DKD∑ = E e 1 0 0 . . 1 0 0 1 . . . . 0 0 = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2221 1211 KK KK ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0..10.0 0..01.0 =∑ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ E 1e 2221 1211 KK KK ji i j NÕu λe = const, ∀e xij = xj - xi = ∆x = const → K = E e 1x = λ ∆ ∑ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 11 11 ji 6.4.3.4. TÝnh e e c E e ec td dID td dI ][][ 1 ∑ = = ta cã: ∫ τ∂∂= ji x x 2e e c dx )t( 2 1I = dx}]t[Rp{d d 2 )pc( j i x x 2eeT e ∫τ → e e c e dI ( C) d d[t] 2 d ρ= τ xj T e e T e T xi 2(p R [t] )(p R ) dx∫ = τρd )C( e T xj e T e e xi R pp R [t] dx∫ = =(ρC)e T xj e T e e xi d R pp dxR [t] d ⎧⎪⎨τ ⎪⎩ ∫ , ë ®©y: xj T xi pp dx∫ = [ ] xj xi 1 1.x dx x ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = xj 2 xi 1 x dx x x ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = 2 2 j i j i 2 2 3 3 j i j i 1(x x ) (x x ) 2 1 1(x x ) (x x ) 2 3 ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ = = xij j i 2 2 j i j j i i 11 (x x ) 2 1 1(x x ) (x x x x ) 2 3 ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦ . V× chØ [t]e phô thuéc thêi gian τ i j 91 nªn ta cã: e c e dI d[t] = (ρC)e j T i x e e T e x d[t]R pp dxR dτ∫ = =(ρC)e j ij i x 11 x x 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦ xij j i 2 2 j i j j i i 11 (x x ) 2 (x x ) (x x x x ) 2 3 ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ x j i ij x x1 x 1 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦ t⎡ ⎤⎣ ⎦ & e = e ij( C) x 2 1 1 26 ρ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ t⎡ ⎤⎣ ⎦ & e = Ce t⎡ ⎤⎣ ⎦& e víi C =  e 2 1( C) xij ,(10) 1 26 ⎡ ⎤ρ ⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ ma trËn nhiÖt dung phÇn tö e (®èi xøng). t⎡ ⎤⎣ ⎦& e = { }Te ed[t] d D [t]d d=τ τ = [ ]Te dD tdτ = TeD t⎡ ⎤⎣ ⎦& → VËy: cdI d[t] = T E e e e e 1 D C D = ∑ t⎡ ⎤⎣ ⎦& = C t⎡ ⎤⎣ ⎦& víi ®Þnh nghÜa: C Tee E 1e e DKD∑ = =∑ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ E 1ª 00 .. .. 10 01 .. 00 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2221 1211 CC CC ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0..10.0 0..01.0 =∑ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ E 1e 2221 1211 CC CC ji j i ,(11) NÕu ρC)e = Const, ∀e x ij = ∆x = Const → C = 1 6 ρC∆x E e 1 i j 2 1 1 2= ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ j i (lµ ma trËn ®èi xøng) 6.4.3.5. LËp hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n: Tãm l¹i, ®Ó cùc tiÓu I, th× [t] cÇn ph¶i x¸c ®Þnh theo: dI d[t] λ + cdI d[t] = K[t] + C[ t& ] = 0 hay C[ t& ] = -K[t] HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng nµy ®−îc thiÕt lËp nhê m¸y tÝnh b»ng c¸ch ®−a vµo c¸c sè liÖu. VÝ dô khi E = 4 cã b¶ng sau (xem b¶ng 92 1). MT sÏ lÇn l−ît x¸c ®Þnh c¸c ma trËn K vµ C theo c«ng thøc (8), (9), (10), (11), ®−îc kÕt qu¶ nh− sau: K= x λ ∆ 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 ⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + − +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ = x λ ∆ 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ t−¬ng tù cã C = 2 1 1 4 1 C x 1 4 1 6 1 4 1 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ρ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Ma trËn K vµ C ®Òu ®èi xøng qua ®−êng chÐo chÝnh, do ®ã kh«ng cÇn ghi c¸c thµnh phÇn d−íi ®−êng chÐo. NÕu nh©n ph−¬ng tr×nh C[ t& ]=-K[t] víi sè 26L xλ∆ ta nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng ma trËn chuÈn ho¸ víi θ = o 1 o t t t t − − , F = 2CL λτ ρ , X = x L nh− sau: 2 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 3 2 4 5 d 6 dF ( X) θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ = ∆⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 θ− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ θ− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ − ⎥ θ⎢ ⎥⎢ ⎥− θ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− θ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,víi 2 6 ( X)∆ = 2 6 (1/ 4) = 96 B¶ng 1. C¸c sè liÖu Täa ®é nót Th«ng sè phÇn tö i xi e i j λ ρ C 1 0 1 1 2 λ ρ C 2 1 L 4 2 2 3 λ ρ C 3 1 L 2 3 3 4 λ ρ C 4 3 L 4 4 4 5 λ ρ C 5 L 93 6.4.4. Ph¸t biÓu sai ph©n Dïng phÐp sai ph©n thêi gian ®Ó chuyÓn thµnh hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè: 6.4.4.1. Dïng phÐp xÊp xØ Euler: Thay C[ t& ]= -K[t] vµo c«ng thøc Euler: [t]k+1 = [t]k + [ t& ]k ∆τ cã: C[t]k+1 = C[t]k + C t⎡ ⎤⎣ ⎦& k∆τ = C[t]k - K[t]k ∆τ hay C[t]k+1 = (C - ∆τK) [t]k Kh¸c víi FDM, xÊp xØ Euler víi FEM lu«n cho 1 hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè d¹ng Èn (®©y lµ chç bÊt tiÖn cña FEM). VÝ dô, khi E = 4, hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè theo xÊp xØ Euler lµ: (khi chuÈn ho¸ nh− trªn vµ ®Æt p = 2 F ( X) ∆ ∆ ): 2 1 4 1 1 4 1 2 1 4 1 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k 1+ θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ = (2 6p) (1 6p) (4 12p)(1 6p) (1 6p)(4 12p)(1 6p) (1 2p) (1 6p)(4 12p)(1 6p) (1 6p)(2 6p) − +⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥+ + − +⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ Theo §KB t(0,τ) = to → θ1 (0, F) = 0→ HÖ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng nh− trong khung trªn, bá Èn sè θ1. HÖ nµy gi¶i theo ®iÒu kiÖn ®Çu θ(X,0) = 1. §iÒu kiÖn chän ∆τ ®Ó æn ®Þnh nghiÖm lµ (2 - 6p) > 0 → p < 1 3 → ∆F < 1 3 21 1 4 48 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ , tøc lµ 48 1 x a 2 <∆ τ∆ hay a48 x 2∆<τ∆ So víi FDM, FEM cã 2 nh−îc ®iÓm: HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè lu«n ë d¹ng Èn, giíi h¹n chän ∆τ nhá h¬n. Chó ý: NÕu cho §KB lo¹i 1 t¹i x = 0 lµ θ1 = θ(0, F) = θo ≠ 0, th× cÇn söa ®æi ma trËn sao cho c¸c ma trËn vu«ng kh«ng mÊt tÝnh ®èi xøng. Ch¼ng h¹n, cã thÓ chØnh theo s¬ ®å sau: 1 (1+6p) 94 11 12 21 a a a ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 k 1 . . . + θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = 11 12 21 b b b ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 k . . . θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ + 21 o 0 b . . . ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ - 21 o 0 a . . . ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ VÝ dô, hÖ ph−¬ng tr×nh trong khung nãi trªn cã thÓ viÕt (khi θ1= 0) 1 0 4 1 4 1 (DX) 4 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k 1+ θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ = 1 0 (4 12p)(1 6p) (4 12p)(1 6p) (4 12p)(1 6p) (DX) (2 6p) ⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 2 3 4 5 k 0⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ 6.4.4.2. NÕu dïng phÐp xÊp xØ Crank-Nicolson, theo c«ng thøc: [t]k+1 = [t]k + 2 ∆τ ( t⎡ ⎤⎣ ⎦& k + t⎡ ⎤⎣ ⎦& k+1) → Thay vµo ph¸t biÓu biÕn ph©n C t⎡ ⎤⎣ ⎦& = -K[t] ta cã: C[t]k+1 = C[t]k + 2 ∆τ (C t⎡ ⎤⎣ ⎦& k + C t⎡ ⎤⎣ ⎦& k+1) = C[t]k + 2 ∆τ (-K[t]k - K[t]k+1) hay (C + 2 ∆τK)[t]k+1 = (C - 2 ∆τK)[t]k Sau khi chuÈn ho¸, thay θ1 = 0, hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè cã d¹ng: 1 0 (4 6p)(1 3p) (4 6p)(1 3p) (4 6p)(1 3p) (sym) 2 3p ⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥+ −⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k 1+ θ⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ = 1 0 (4 6p)(1 3p) (4 6p)(1 3p) (4 6p)(1 3p) (sym) (2 3p) ⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ 2 3 4 5 k 0⎡ ⎤⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎢ ⎥θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ⎣ ⎦ HÖ nµy cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p khö Gauss, b¾t ®Çu tõ ®iÒu kiÖn ®Çu θ (X, 0) = i o i o t t t t − − = 1 Khi sè phÇn tö M↑, nghiÖm cµng chÝnh x¸c Víi §KB lo¹i W2 (≠ 0) vµ W3, bµi to¸n cã thªm c¸c tÝch ph©n trªn biªn, gi¶i t−¬ng tù nh− vÝ dô sau. 01 0 01 0 θ0 95 H46. Bµi to¸n t(x, τ) W2/W3 O t (1) x(2) (3) (4) x1 x3 x4 Lx2 α ρ λct = tτ xx tf q x1 x2 x3 x4 x5 L 6.5. Bµi to¸n biªn T§N W2 + W3 6.5.1. Ph¸t biÓu vµ m« h×nh: T×m t(x,τ) cho bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (t) nh− sau: [ ] xx x x f i Ct t qt (0, ) (t) t (L, ) t(L, ) t t(x,0) t τρ = λ⎧⎪⎪ τ =⎪ −λ⎨ α⎪ τ = τ −⎪ −λ⎪ =⎩ 6.5.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n: So s¸nh ph−¬ng tr×nh Euler-lagrange ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ tx F xt F víi c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) ta cã: - Víi c¸c nót trong, ph−¬ng tr×nh ρCtτ = λtxx t−¬ng øng víi F = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ+τ∂ ∂ρ 22 x ttC 2 1 - T¹i x = 0, nót 1 cã biªn W2 víi q = x t1 ∂ ∂λ− , suy ra q t F =∂ ∂ ∫ ==→ 2w 1qtqdtFq - T¹i x = L, nót M cã biªn W3 víi M f M(t t ) ( t )x ∂α − = −λ∂ , suy ra: 3 2 M f M f M f M w F (t t ) F (t t )dt (t 2t t ) t 2α ∂ α= α − → = α − = −∂ ∫ . Do ®ã ViÖc gi¶i bµi to¸n (t) t−¬ng øng víi viÖc t×m hµm t(x, τ) lµm cùc tiÓu phiÕm hµm sau: I = 2 2L x 0 1 t tC dx 2 x= ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞λ + ρ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂τ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ + )tt2t(2 1 Mf 2 M −α + qt1 96 §Æt I = Iλ + Ic + Iα + Iq, trong ®ã: Iλ , Ic gièng nh− bµi to¸n (6.4) Iα = 2M f M(t 2t t )2 α − vµ Iq = qt1 víi t1 = t(0,τ) vµ tM = t(L,τ). 6.5.3. Ph¸t biÓu FEM: - Chia ®o¹n (0 ÷ L) ra E ph©n tö nh− h×nh 45, ph©n tÝch nh− bµi (2.1): - §iÒu kiÖn cùc tiÓu I lµ [ ] dI d t = 0 hay: [ ] [ ] [ ] [ ] qc dIdI dI dI d t d t d t d t λ α+ + + = 0, trong ®ã [ ] dI d t λ = K[t], [ ]c dI d t = C t⎡ ⎤⎣ ⎦& , cÇn tÝnh: - TÝnh [ ] dI d t α , víi Iα 2M f M(t 2t t ) 2 α= − lµ hµm phô thuéc nhiÖt ®é nót tM cña phÇn tö E ≡ 4 trªn biªn to¶ nhiÖt. §Þnh nghÜa ma trËn hµng (1xM) cã d¹ng dT∆ [00.......01M] (M ph©n tö) V× TM = [00..01] 1 2 M t t . . t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = dT[t], nªn ta cã: [ ] dI d t α = [ ] d d t [ ] [ ]T 2 Tf(d t ) t (d t )2 α⎡ ⎤− α⎢ ⎥⎣ ⎦ = 2 α 2(dT[t])d - αtfd, v× dT[t] = v« h−íng → ho¸n vÞ dT[t] vµ d ta cã: [ ] dI d t α = 2 α 2ddT[t] - αtfd → tøc lµ: 97 [ ] dI d t α = α ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 1 0 . 0 0 [00..01][t] - α ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ft 0 . 0 0 ∆ αH [t] - α[tf] Víi Hα ∆ M0 00 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ α vµ [tf] = Mf t . 0 0 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ - TÝnh [ ] qdI d t , víi Iq = I [t(x = 0, τ)] = qt1 (1 phÇn tö) Gäi bT∆ [10...0] th× cã t1 = [10...0] 1 2 M t t . . t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = bT [t] → [ ] qdI d t = [ ] d d t (q(bT[t])) = qb = q 0 . 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∆ [q] - §K cùc tiÓu I lµ chän [t] tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 sau: [ ] dI d t = K[t] + C t⎡ ⎤⎣ ⎦& + αH[t] - α[tf] + [q] = 0 hay C t⎡ ⎤⎣ ⎦& = - (K + αH)[t] + α[tf] - [q] 6.5.4. Ph¸t biÓu sai ph©n (theo Euler): Theo [t]k+1 = [t]k + ∆τ t⎡ ⎤⎣ ⎦& k cã: C[t]k+1 = C[t]k + ∆τ.C t⎡ ⎤⎣ ⎦& k → C[t]k+1 = C[t]k - ∆τ(K + αH)[t]k + ∆τα[tf] - [q]∆τ → 98 6p C[t]k+1 = [C - ∆τ(K + αH)[t]k + α∆τ[tf] - ∆τ[q] Khi ρ, C, λ kh«ng ®æi, thay C = 1 6 ρC∆x∑ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡E 21 12 ∆ 1 6 ρC∆xC' vµ K = Error!∑ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −E 11 11 ∆ x λ ∆ K ' vµo ph−¬ng tr×nh trªn, ta thu ®−îc: 1 6 ρC∆xC'[t]k+1= 1 C xC' K ' H6 x ∆τλ⎡ ⎤ρ ∆ − − ∆τα⎢ ⎥∆⎣ ⎦ [t]k+α∆τ[tf]-∆τ[q]→ C'[t]k+1 = 2 6 6C' K ' H C xC x ⎡ ⎤∆τλ ∆τα− −⎢ ⎥ρ ∆ρ ∆⎢ ⎥⎣ ⎦ [t]k + 6 C x α∆τ ρ ∆ [tf] - 6 C x ∆τ ρ ∆ [q] → Thay ρC = a λ cã: C'[t]k+1 = 2 2 6a 6a xC' K ' H x x ⎡ ⎤∆τ ∆τ α∆⎢ ⎥− − λ⎢ ⎥∆ ∆⎣ ⎦ [t]k + 2 6a x ∆τ ∆ . xα∆ λ [tf] - 2 6a x ∆τ ∆ . x∆ λ [q]. §Æt p ∆ 2 a x ∆τ ∆ , B ∆ xα∆λ , ta thu ®−îc ph−¬ng tr×nh ®¹i sè lµ: C'[t]k+1 = [C' - 6pK' - 6pBH][t]k + 6pB[tf] - 6p x∆ λ [q] → Cô thÓ, hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè d¹ng ma trËn cña bµi to¸n (6.5.1) lµ: 2 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k 1 t t t t t + ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = (2 6p)(1 6p) (4 12p)(1 6p) (4 12p)(1 6p) (4 12p)(1 6p) (Sym) (2 6p 6pB) − +⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 1 2 3 4 5 k t t t t t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ + f x q 0 0 0 Bt −∆⎡ ⎤⎢ ⎥λ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ §iÒu kiÖn æn ®Þnh nghiÖm lµ: p < 1 3(1 B)+ hay ∆τ < 2x 3a(1 B) ∆ + 99 6.6. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu t(x, y,τ ) víi biªn c« lËp 6.6.1. Ph¸t biÓu m« h×nh: T×m t(x, y, τ) cho bëi hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n sau: ow 1 1 o tC div( gradt) gradt t 0(t) t(M w , ) t (x, y, ) t(x, y,0) t (x, y) ∂⎧ρ = λ⎪ ∂τ⎪⎪λ =⎨⎪ ∈ τ = τ⎪ =⎪⎩ uur ∀(x, y) ∈ miÒn D cã biªn d¹ng tuú ý, víi W0 ®−îc c¸ch nhiÖt, W1 cã nhiÖt ®é thay ®æi theo luËt cho tr−íc, 1w t = t1 (x, y, τ), vµ nhiÖt ®é ban ®Çu ph©n bè theo luËt t|τ = 0 = to (x, y) 6.6.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n: ChuyÓn bµi to¸n (t) thµnh bµi to¸n biÕn ph©n t−¬ng øng: * T×m hµm tÝch ph©n F b»ng c¸ch so s¸nh 2 ph−¬ng tr×nh vi ph©n: x y F F F 0 t x t y t ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Ph−¬ng tr×nh Euler-Lagrange) t t tC 0 x x y y ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ − λ − λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂τ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN) - TÝch ph©n c¸c ®¹o hµm cña F theo t, tx, ty: F tC t ∂ ∂= ρ∂ ∂τ → F = 2 x y t 1C dt C t g(t ) h(t ) 2 ∂ ∂ρ = ρ + +∂τ ∂τ∫ x F t t x ∂ ∂= λ∂ ∂ → F = 2 x y t 1 tdt f (t) h(t ) x 2 x ∂ ∂⎛ ⎞λ = + λ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ H47. BT t(x, y, τ) W0,W1 x t (x,y, )1 t(x,y,o)=t (x,y)0 D W0 gradtW =00 τ ρCt =div( gradt)τ λ W1 y t1(x,y,τ) x 100 y F t t y ∂ ∂= λ∂ ∂ → F = 2 y x t 1 tdt f (t) g(t ) y 2 y ⎛ ⎞∂ ∂λ = + + λ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ - §ång nhÊt c¸c biÓu thøc cña F, nhËn ®−îc: F = 2221 t t tC 2 x y ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥ρ + λ + λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂τ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ * Bµi to¸n (t) theo quan ®iÓm biÕn ph©n, lµ t×m hµm t(x, y, τ) sao cho t¹i mçi thêi ®iÓm bÊt kú τ = const, lµm cùc tiÓu phiÕm hµm I[t] = x y D F(t, t , t )dxdy∫∫ = 2 2 2x y D 1 C t (t t ) dxdy 2 ∂⎡ ⎤ρ + λ +⎢ ⎥∂τ⎣ ⎦∫∫ , tøc lµ lµm cho biÕn ph©n δI[t] = 0 6.6.3. Ph¸t biÓu theo phÇn tö h÷u h¹n: EM formulation lµ c¸ch m« t¶ ®iÒu kiÖn δI[t] = 0 cho tËp c¸c nhiÖt ®é nót [t] cña c¸c phÇn tö h÷u h¹n e ∈ D. 6.6.3.1. Chia miÒn tÝch ph©n D ra E phÇn tö nhá h÷u h¹n, d¹ng ∆, bëi M nót. §¸nh sè phÇn tö tõ 1 ÷ E, lËp b¶ng ®Þa chØ nót (x, y)i,j,k t−¬ng øng phÇn tö ei,j,k vµ c¸c th«ng sè ρ, C, λ cña nã. (Xem h×nh 48) 6.6.3.2. X¸c ®Þnh hµm ph©n bè nhiÖt ®é te trong mçi phÇn tö e, b»ng c¸ch gi¶ thiÕt r»ng ë 1 thêi ®iÓm bÊt kú, hµm te lµ hµm tuyÕn tÝnh cña x, y vµ ti, tj, tk, tøc lµ: H48. C¸c phÇn tö e trªn miÒn D x o y W1 W0 q=0 W0 xi xj xk j i ky y k i D c 101 [ ] [ ] e 1 ee e e e T 1 2 3 2 3 e e e i 1 2 i 3 i e e e j 1 2 j 3 j e e e k 1 2 k 3 k t x y 1xy p t x y t x y t x y ⎧ ϕ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥= ϕ + ϕ + ϕ = ϕ ϕ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥ϕ⎣ ⎦⎪⎨ = ϕ + ϕ + ϕ⎪⎪ = ϕ + ϕ + ϕ⎪⎪ = ϕ + ϕ + ϕ⎩ hÖ nµy cã d¹ng ma trËn nh− sau:[t]e ∆ i j k t t t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = i i j j k k 1 x y 1 x y 1 x y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ e 1 2 q ⎡ ⎤ϕ⎢ ⎥ϕ⎢ ⎥⎢ ⎥ϕ⎣ ⎦ Xe [ϕ]e Suy ra [ϕ]e = 1eX − [t]e ∆ Re [t]e Víi Re ∆ 1eX − lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña Xe, b»ng: Re = j k k j k i i k i j j i jk ik ij jk ik ij (x y x y )(x y x y )(x y x y ) y y y x x x ⎡ ⎤− − −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ x ij jk ik ij 1 x y x y− víi ký hiÖu xij = xj - xi, yjk = yk - yj, v.v... VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong phÇn tö e lµ hµm tuyÕn tÝnh d¹ng: te = pTRe [t]e - ý nghÜa h×nh häc: te m« t¶ 1 "viªn ngãi" ph¼ng lîp d−íi "m¸i nhµ" cong m« t¶ bëi hµm t(x, y, τ = const) chÝnh x¸c cña hÖ ph−¬ng tr×nh (t), cã ®Ønh ®i qua c¸c "cét" nhiÖt ®é ti, tj, tk, dùng trªn c¸c ®Ønh cña"viªn g¹ch hoa" e dïng ®Ó l¸t "nÒn nhµ" D. Khe hë gi÷a c¸c c¹nh vµ mÆt viªn ngãi tíi m¸i cong m« t¶ biÕn ph©n δte trong ph¹m vi phÇn tö e, ®ã lµ sai sè cña phÐp xÊp xØ trong e. BiÕn ph©n δI lµ phÇn n¨ng l−îng tù do d− ra so víi ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt chÝnh x¸c, cã sè vµ H49. §Ó t×m hµm te trong phÇn tö e. o x y t t(x,y, =c )tτ ti tj tk tδ yi yj yk xi xj xk i j ke D ∆ 102 d− b»ng 0 (NhËn xÐt riªng cña t¸c gi¶). Do ®ã, khi max(e) cµng nhá, E cµng lín, th× nghiÖm t cµng chÝnh x¸c. 6.6.3.3. XÊp xØ tÝch ph©n: BiÓu diÔn phiÕm hµm I nh− tæng c¸c tÝch ph©n trªn mçi phÇn tö e khi e = 1 ÷ E I = E e e 1 I = ∑ = E e e 1 Iλ = ∑ + E ec e 1 I = ∑ víi eIλ = 2 2e e e 1 t t dxdy 2 x y ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫∫ , ecI = 2e D 1 tC dxdy 2 ∂ρ ∂τ∫∫ V× eIλ , ecI lµ hµm cña ti, tj, tk nªn I lµ hµm cña M nhiÖt ®é nót: I = I (t1, t2, ....., tM) vµ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu I lµ: [ ] dI d t = 0 hay [ ] eE e 1 dI d t λ = ∑ + [ ] eE c e 1 dI d t= ∑ = 0 víi [t] = 1 2 M t t . t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ §Þnh nghÜa (Mx3) ma trËn chuyÓn De ∆ 0 0 0 . . . 1 0 0 01 0 0 01 . . . 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ th× ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña I lµ: [ ] eE e e e 1 dID d t λ = ∑ + [ ] eE e c e e 1 dID d t= ∑ = 0 i j k M 103 6.6.3.4. TÝnh [ ] e e dI d t λ : Theo ®Þnh nghÜa eIλ vµ d¹ng te cã: eIλ= 2 2e e e 1 t t dxdy 2 x y ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫∫ = [ ] [ ] e e eT e 2 T e 2 x y e (p R t ) (p R t ) dxdy 2 λ ⎡ ⎤+⎣ ⎦∫∫ → [ ] e e dI d t λ = [ ] [ ]e e eT e T e T T e T e Tx x y y e 2(p R t )(p R ) 2(p R t )(p R ) dxdy 2 λ ⎡ ⎤+⎣ ⎦∫∫ = [ ]T ee e T T ex x y y e R (p p p p )R t dxdyλ +∫∫ = [ ]T ee e T T ex x y y e R (p p p p )dxdyR tλ +∫∫ , ë ®©y cã T x xp p + T y yp p = 0 1 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [0 1 0] + 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [0 0 1] = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ kh«ng phô thuéc x, y nªn cã: e 0 0 0 0 1 0 dxdy 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫ = Se 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ víi Se = e 1 det X 2 lµ diÖn tÝch tam gi¸c e, Se = ij jk jk ij 1 x y x y 2 − → §Æt Ke∆ Te e eR Sλ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Re = = e e ij jk jk ij S x y x y λ − 2 2 jk jk ik jk ik jk ij jk ij jk 2 2 ik ik ij ik ij ik 2 2 ij ij (x y ) (x x y y )(x y y y ) (x y ) (x x y y ) (Sym) (x y ) ⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦ th× cã: 104 [ ] e e dI d t λ = Ke[t]e. V× [t]e = TeD [t]e nªn: [ ] dI d t λ = TE e e e e 1 D K D = ∑ [t]= K[t] víi ®Þnh nghÜa: K∆ T E e e e e 1 D K D = ∑ =∑ 0 0 0 . . . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . . . 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 K K K K K K K K K ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 0.100.0 0.010.0 0.001.0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = ∑ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ E 1e 333231 232221 131211 KKK KKK KKK kji M k j i lµ ma trËn dÉn nhiÖt, lµ ma trËn (M x M) ®èi xøng 6.6.3.5.TÝnh [ ]c dI d t : Cã ecI = 2e D 1 tC dxdy 2 ∂ρ ∂τ∫∫ = [ ] e eT e 2 e ( C) d (p R t ) dxdy 2 d ρ τ ∫∫ → [ ] e c e dI d t = [ ]e eT e T e T e ( C) d 2(p R t )(p R ) dxdy 2 d ρ τ ∫∫ = [ ]ee T T ee e d( C) (R p)(p R t )dxdy d ρ τ ∫∫ = [ ] T ee e T e e d( C) R pp dxdyR t d ⎡ ⎤ρ ⎢ ⎥τ ⎣ ⎦∫∫ ë ®©y tÝch ph©n Ve = T e pp dxdy∫∫ ®−îc tÝnh theo to¹ ®é träng t©m tam gi¸c e lµ G i j k G i j k 1x (x x x ) 3 1y (y y y ) 3 ⎧ = + +⎪⎪⎨⎪ = + +⎪⎩ nh− sau: 105 Ve ∆ T e pp dxdy∫∫ = [ ] e 1 x 1 x y dxdy y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫ = 2 e 2 1 x y x x xy dxdy y xy y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫ = = Se G G 3 3 2 2 2 n G G n G n G G n 1 n 1 3 2 n G G n 1 1 x y 1 1(x x ) x (x x )(y y ) y 12 12 1 (y y ) y 12 = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ V× Re vµ Ve kh«ng phô thuéc thêi gian τ, nªn: [ ] e c e dI d t = [ ]T ee e e e d( C) R V R t d ρ τ ∆ C e[ ]et& , víi ®Þnh nghÜa Ce ∆ Te e e e( C) R V Rρ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 333231 232221 131211 KKK KKK KKK kji (cô thÓ tù tÝnh) V× [ ]et& = TeD [ ]et& nªn cã: [ ]c dI d t = [ ] eE e c e e 1 dID d t= ∑ = [ ]E ee e e 1 D C t = ∑ & = [ ]TE e e e e 1 D C D t = ∑ & = C[ ]t& , víi C ∆ T E e e e e 1 D C D = ∑ = = E e 1= ∑ 0 0 0 . . . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . . . 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 C C C C C C C C C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 0.100.0 0.010.0 0.001.0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ =∑ = E 1e ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 333231 232221 131211 CCC CCC CCC mkji gäi lµ ma trËn nhiÖt dung, lµ (M x M) ma trËn ®èi xøng. (®èi xøng) i j k M 106 Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n cho kÕt qu¶ lµ: [ ] dI d t = K[t] + C[ ]t& = 0 hay C d dτ [t] = -K[t] §ã lµ hÖ M ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 cña c¸c nhiÖt ®é nót. 6.6.4. Ph¸t biÓu sai ph©n: * NÕu sai ph©n theo ph−¬ng ph¸p Euler, [t]k+1 = [t]k + ∆τ[t]k , sÏ ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè M Èn cã d¹ng: C [t]k+1 = C[t]k - ∆τK[t]k = (C - ∆τK)[t]k HÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng Èn C [t]k+1 = (C - ∆τK)[t]k ®−îc gi¶i tõ ®iÒu kiÖn ®Çu t (x, y, 0) = to (x, y), b»ng c¸ch thay [t]k=0 = [to(i∆x, j∆y)] vµo C[t]1 = (C - ∆τK)[t]o råi tÝnh [t]1, sau ®ã thay [t]1 vµo tÝnh [t]2, .v.v. 6.6.5. VÝ dô ¸p dông cô thÓ: Ta sÏ gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu víi biªn W20, W1 cho bëi hÖ ph−¬ng tr×nh sau ®©y: (t) 1 o tC div( gradt) gradt(0, y, ) 0 t(x,0, ) t (x, ) grad t(L, y, ) 0 3Lgrad(x, , ) 0 2 t(x, y,0) t (x, y) 0 x L D 0 y 1,5L ⎧⎪ ∂⎪ρ = λ∂τ⎪⎪λ τ =⎪ τ = τ⎪⎪λ τ =⎨⎪⎪λ τ =⎪⎪ =⎪ ≤ ≤⎧⎪ ⎨⎪ ≤ ≤⎩⎩ uur 1 2 3 4 7 10 5 8 11 6 9 12 0 0 x 0 L L L 2 L 2 L 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 H50. Ph©n ho¹ch m¹ng phÇn tö vµ nót cho BT(6.6.5) 1) Ph©n chia D ra 12 phÇn tö bëi 12 nót nh− trªn. (Chó ý: phÇn tö d¹ng  chÝnh x¸c h¬n , v× I cùc tiÓu h¬n). §¸nh sè phÇn tö vµ nót, theo ph−¬ng cã sè nót Ýt tr−íc. 2) LËp b¶ng th«ng tin vÒ täa ®é nót vµ c¸c th«ng sè cña phÇn tö (thø tù i j k trong mçi phÇn tö chän sao cho i < j < k ®Ó ma trËn ®èi 107 xøng). B¶ng nµy cã d¹ng nh− b¶ng 2 NÕu λ, ρ, C cho ë d¹ng ϕ = f(x, y) th× lÊy ϕe = f i j k i j k1 1(x x x ), (y y y )3 3 ⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 3) TÝnh Ke vµ K theo c¸c c«ng thøc ë môc (6.6.3.4) TÝnh Ce vµ C theo c¸c c«ng thøc ë môc (6.6.3.5) TÝnh hiÖu c¸c ma trËn A = (C - ∆τK): Lóc nµy cÇn chän ∆τ ®Ó nghiÖm æn ®Þnh, theo quy t¾c sao cho mäi sè h¹ng trªn ®−êng chÐo chÝnh cña ma trËn hÖ A ®Òu d−¬ng: min aii > 0, ∀aii ∈ ®−êng chÐo chÝnh cña A = C - ∆τK. 4) LËp hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè, vÝ dô, d¹ng Euler: C[t]k+1 = (C - ∆τK) [t]k 5) Gi¶i hÖ pt trªn m¸y tÝnh theo ®iÒu kiÖn ban ®Çu t(x,y,0) = to(x,y) 6.7. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh t (x,y,τ) tæng qu¸t 6.7.1. Ph¸t biÓu m« h×nh: T×m trong D hµm t (x,y,τ) tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh sau: To¹ ®é nót Th«ng tin phÇn tö i xi yi e i j k λ ρ C 1 0 0 1 1 2 4 λ1 ρ1 C1 2 L/2 0 2 2 4 5 λ2 ρ2 C2 3 L 0 3 2 3 5 λ3 ρ3 C3 4 0 L/2 4 3 5 6 λ4 ρ4 C4 5 L/2 L/2 5 4 5 7 λ5 ρ5 C5 6 L L/2 6 5 7 8 λ6 ρ6 C6 7 0 L 7 5 6 8 λ7 ρ7 C7 8 L/2 L 8 6 8 9 λ8 ρ8 C8 9 L L 9 7 8 10 λ9 ρ9 C9 10 0 3L/2 10 8 10 11 λ10 ρ10 C10 11 L/2 3L/2 11 8 9 11 λ11 ρ11 C11 12 L 3L/2 12 9 11 12 λ12 ρ12 C12 (V cã qv) (Wo) B¶ng 2: Nodal Coordinates & E.inf 108 (t) [ ] 2 v o 1 1 w 3 8 o tC div( gradt) q (x, y, ) gradtW 0 t(M W , ) t (x, y, ) gradt t q(x, y, ) gradtW (x, y, ) t(M W , ) tf (x, y, ) t(x, y, 0) t (x, y) ∂⎧ρ = λ + τ⎪ ∂τ⎪ =⎪⎪ ∈ τ = τ⎨⎪λ = − τ⎪λ = −α τ ∈ τ − τ⎪⎪ τ = =⎩ uur 6.7.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n: So s¸nh ph−¬ng tr×nh Euler - Lagrange ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ yx t F yt F xt F víi c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) ta cã: -Víi nót trong cã nguån nhiÖt qv, tõ ph−¬ng tr×nh VPDN ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ∂ ∂=−τ∂ ∂ρ y t yx t x qtC v , suy ra: ,)t(h)t(gtqtC 2 1dtqtCFqtC t F yxv 2 vv ++−τ∂ ∂ρ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −τ∂ ∂ρ=→−τ∂ ∂ρ=∂ ∂ ∫ )t(h x t 2 1)t(fdttF x t t F y 2 xx x +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ+=λ=→∂ ∂λ=∂ ∂ ∫ 2 xyy y y t 2 1)t(g)t(fdttF y t t F ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ+=λ=→∂ ∂λ=∂ ∂ ∫ . Do ®ã Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt cho nót trong cã qv sÏ t−¬ng øng víi hµm tÝch ph©n F = tq y t x ttC 2 1 v 222 − ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ+τ∂ ∂ρ Víi nót trªn biªn W2, ph−¬ng tr×nh q = -λgradt t−¬ng øng víi Fq = qt. Víi nót trªn biªn W3, ph−¬ng tr×nh α(t - tf)= -λgradt t−¬ng øng víi Fα= )tt2t(2 1 f 2 −α . Bµi to¸n (t) t−¬ng øng víi bµi to¸n biÕn ph©n sau: tW3 W3 tf 109 T×m trong D hµm sè t (x,y,τ) ®Ó t¹i τ = const bÊt kú lµm triÖt tiªu biÕn ph©n δI cña phiÕm hµm I sau ®©y: I = ∫∫ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂λ D 22 y t z t 2 1 dxdy 2 D 1 tC dxdy 2 ∂+ ρ ∂τ∫∫ vD q tdxdy−∫∫ __ 2 w qtdS∫ 3 2 f w 1 (t 2t t)ds 2 + α −∫ (t−¬ng øng,®Æt I = Iλ + IC - Ig - Iq + Iα ) 6.7.3. Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n: Chia D ra E phÇn tö, trong ®ã cã Eo phÇn tö ∈ Wo, E1 phÇn tö ∈ W1, Eq phÇn tö ∈ W2, Eα phÇn tö ∈ W3, bëi M nót. Thay t (x,y,τ) = TËp (c¸c hµm nhiÖt ®é nót ti (τ)) = [t]. §iÒu kiÖn cùc tiÓu δI = 0 sÏ lµ: [ ] dI d t = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] g qc dI dIdI dI dI d t d t d t d t d t λ α+ − − + = 0 6.7.4. TÝnh [ ] dI d t λ = K[t], [ ]c dI d t = C[ ]t& = C d dτ [t] gièng nh− bµi (6.6) ®· lµm 6.7.5. TÝnh [ ] gdI d t nh− sau: Sö dông c¸c phÐp tÝnh nh− ë môc (6.6), ta cã: τ y o x t =(x,y, ) W1 W1 S q=0 W0 D qv (e) q=q(x,y, )τeq W3 e q = (x,x, )(t - tf)W3τα α tf= tf(x,y, )τ a W2 H51. PhÇn tö h÷u h¹n trªn miÒn D cña bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh 2 chiÒu t (x,y,τ) tæng qu¸t 110 Ig = v D q (x, y, )t(x, y, )dxdyτ τ∫∫ =& E e g e 1 I = ∑ = E e 1= ∑ ev e q t dxdy∫∫ Dïng ®Þnh nghÜa ma trËn [t], [t]e, De nh− trong (6.6) cã: [ ] gdI d t = [ ] eE ge ee 1 dI D d t= ∑ , trong ®ã te = pTRe[t]e nªn: [ ] e g e dI d t = [ ]e d d t ∫∫ e eET v dxdy]t[Rpq = T e T v e q (p R ) dxdy∫∫ = Te v e q R pdxdy∫∫ = Tev e 1 q R x dxdy y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫ = T e e e v G e G S q R x S y S ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = Te e v G G 1 q R S x y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , víi Se = (diÖn tÝch phÇn tö e) = e 1 det X 2 vµ (xG, yG) lµ to¹ ®é träng t©m G cña phÇn tö e, gièng nh− (6.6). Thùc hiÖn phÐp nh©n c¸c ma trËn, ta cã: [ ] e gdI d t = Te e v G G 1 q R S x y ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = ev 1 1 q S 1 3 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∆ qe. Do ®ã: [ ] gdI d t = E e e e 1 D q = ∑ = 1E 2 e 1 3 0 0 0 . . . q1 0 0 0 1 0 q 0 0 1 q . . . 0 0 0 = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ = 1E 2 e 1 3 0 . q q q . 0 = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∆ qv 6.7.6. TÝnh [ ] dI d t α cho c¸c phÇn tö eα cã c¹nh ∈ W3: - Gi¶ thiÕt ph©n bè nhiÖt ®é est trong phÇn tö eα , chøa 1 c¹nh gi÷a i j k 111 x o α α α e 2 ®Ønh i, j cã dßng nhiÖt ®èi l−u qα ®i qua, lµ hµm tuyÕn tÝnh cña to¹ ®é cong s däc biªn vµ ti, tj, tøc lµ: { [ ]⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ϕ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∆→⎪⎭ ⎪⎬⎫ϕ+ϕ= ϕ+ϕ= ϕ=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ϕ ϕ=ϕ+ϕ= e j i j ie s j e 2 e 1 e j i e 2 e 1 e i eT 2 1e 21 e 1 e S ][ s1 s1 t t t st st ][s]s1[st Suy ra: [ϕ]e = [ ] 1 i e s j 1 s t 1 s −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = ij 1 s es e s ij ]t[S]t[ 11 ss ∆⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − Do ®ã ph©n bè nhiÖt ®é trong eα lµ est = s TSe[ts] e - §Þnh nghÜa ∆esD 0 0 . . 1 0 0 1 . . 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ta cã [ ] dI d t α = [ ] eE e s ee 1 s dID d t α α = ∑ víi j 2 i s e e e s f s s 1I (t 2t t )ds 2α = α −∫ H52. PhÇn tö ®èi l−u eα → [ ] e e dI d ts α = [ ]e 1 d 2 d ts [ ] [ ]j i s e eT e 2 T e s (s S ts ) 2tf (s S ts ) ds⎡ ⎤α −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = [ ]j i se eT e T e T T e T s 2(s S ts )(s S ) 2tf (s S ) ds 2 α ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = [ ]j jT T i i s s ee e T e e e s s S ss ds.S ts tfS sdsα −α∫ ∫ , i j M y w3 si qα tf sj i j k s 112 víi j i s T s ss ds∫ = [ ]j i s s 1 1 s ds s ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = s ij ij2 s 2 2i i i j j 11 (s s)1 s 2ds s 1s s (s s s s ) 3 ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ vµ j i s s sds∫ = j i s s 1 ds s ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = ij i j 1 s 1 (s s ) 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦ . Do ®ã cã: [ ] e e dI d ts α = [ ] [ ] e ij e ee e e ij s s s 2 1 1 ts tfs H ts h 1 2 16 α ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− α −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ V× [ts]e = Te sD [t] nªn cã: [ ] dI d t α = [ ]E ee e es s s e 1 D (H t h ) α = −∑ = [ ]TE e e es s s e 1 D H D t α = ∑ - E e es s e 1 D h α = ∑ = Hs[t] - hs, víi: hs ∆ TE e e e s s e 1 D H D α = ∑ = ∑α = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡E 1e 2221 1211 HH HH lµ ma trËn hÖ sè táa nhiÖt α, M x M, ®èi xøng (§X) Hs ∆ E e e s e 1 D h α = ∑ = E 1 e 1 2 0 . h h . 0 α = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ M j i lµ ma trËn nhiÖt ®é m«i tr−êng tf, (1 x M). Chó ý: NÕu phÇn tö eα cã 2 c¹nh ∈ W3, th× tÝnh 2 lÇn. Eα lµ tæng c¸c c¹nh (cña c¸c phÇn tö eα ) ∈ W3. 6.7.7. TÝnh [ ] qdI d t cho c¸c phÇn tö eq cã c¹nh ∈ W2: Theo gi¶ thiÕt est = s TSe[t]e (t−¬ng tù nh− cho phÇn tö eα), trong phÇn §X j ∆ i j M ∆ 113 tö eq phiÕm hµm e qI cã d¹ng j i s e e q s s I qt ds= ∫ = [ ]j i s ee T e s q s S ts ds∫ . Do ®ã cã: [ ] e q e dI d ts = j i s e T e T s q (s S ) ds∫ = jT i s e e s q S sds∫ = jT i s e e s 1 q S ds s ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ = e ij e s q s 1 q 12 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ → [ ] qdI d t = [ ] q eE qe s ee 1 dI D d ts= ∑ = q E e e s s e 1 D q = ∑ = q E 1 2e 1 0 . q q . 0 = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∆ qs Chó ý: Eq b»ng tæng c¸c phÇn tö cã c¹nh ∈ W2. NÕu phÇn tö e cã 2 c¹nh thuéc 2 biªn kh¸c nhau, th× tÝnh 2 lÇn. 6.7.8. Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n: Theo FEM, ma trËn c¸c nhiÖt ®é nót [t] cÇn ®−îc x¸c ®Þnh theo hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 sau: [ ] dI d t = K[t] + C[ ]t& + Hs[t] - hs - qs - qv = 0 hay C[ ]t& = - (K + Hs)[t] + (hs + qs + qv ) 6.7.9. Ph¸t biÓu sai ph©n ®Ó ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè: HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n C[ ]t& = - (K + Hs)[t] + (hs + qs + qv ) sÏ cã d¹ng hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè theo c¸c phÐp xÊp xØ [ ]t& nh− sau: * PhÐp xÊp xØ Euler dÉn tíi hÖ: C[t]k+1 = C[t]k + ∆τC[ ]t& k = C[t]k - ∆τ(K + Hs)[t]k + ∆τ(hs + qs+ qv) → C[t]k+1 = {C - ∆τ(K + Hs)}[t]k + ∆τ(hs + qs + qv ) i j M H53. Ptö eq cã c¹nh W2 k eq j s W2 sj qe si i x y o 114 * PhÐp xÊp xØ Crank - Nicolson cho phÐp thu ®−îc hÖ: C[t]k+1 = C[t]k + 2 ∆τ (C[ ]t& k + C[ ]t& k+1) = = C[t]k+ 2 ∆τ {-(K + Hs)[t]k+(hs+qs+qv)k-(K+Hs)[t]k+1+(hs + qs + qv)k+1} → {C+ 2 ∆τ (K + Hs)}[t]k+1= {C- 2 ∆τ (K+Hs)}[t]k+∆τ(hs + qs + qv)k+1} * PhÐp xÊp xØ thuÇn Èn sÏ cho hÖ: C[t]k+1 = C[t]k + ∆τC[ ]t& k+1 = C[t]k + ∆τ{- (K + Hs)[t]k+1 + (hs + qs + qv)} → {C + ∆τ(K + Hs)}[t]k+1 = C[t]k + ∆τ(hs + qs + qv) - NÕu c¸c th«ng sè λ, ρ, C, qv, q, α, tf phô thuéc to¹ ®é vµ thêi gian ë d¹ng hµm ϕ (x,y,z,τ) th× lÊy trÞ trung b×nh trong mçi phÇn tö e nh− lµ eϕ = i j k1 ( )3 ϕ + ϕ + ϕ hoÆc lÊy theo eϕ = ϕ (xG,yG,zG,τk) víi G ≡ (xG,yG,zG) lµ träng t©m cña phÇn tö e. - FEM rÊt tiÖn lîi cho bµi to¸n V bÊt quy t¾c, v× kh«ng cÇn xÐt tíi sù kh¸c biÖt vÒ h×nh häc cña biªn. 6.8. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n cã λ = λ(t) Khi hÖ sè dÉn nhiÖt λ phô thuéc nhiÖt ®é λ = λ (t), ta ph¶i ®iÒu chØnh l¹i biÓu thøc cña [ ] dI d t λ . - Cã thÓ gi¶ thiÕt, r»ng trong phÇn tö e ®ñ bÐ, λ(t) lµ hµm tuyÕn tÝnh víi nhiÖt ®é te cña phÇn tö e, tøc λe = e e eo 1tλ + λ . Khi ®ã, trÞ trung b×nh cña λ trong phÇn tö (e) lµ = e e eo 1e e 1 ( t )dxdy S λ +λ∫∫ = e e1 o e e t dxdy S λλ + ∫∫ 115 = λo + e e e e1 i j k o 11. (t t t ) t3λ + + λ + λ - Thay nh− trªn vµ te = pTRe[t]e vµo eIλ ta cã: eIλ= 2 2e e e e 1 t t dxdy 2 x y ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫ = [ ] [ ]e ee T e 2 T e 2x y e 1 (p R t ) (p R t ) dxdy 2 ⎡ ⎤λ +⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ . V× = e e eo 1 tλ + λ phô thuéc [t]e nªn ta cã: [ ] e e dI d t λ = [ ] [ ]e ee T e T e T T e T e Tx x y y e (p R t )(p R ) (p R t )(p R ) dxdy⎡ ⎤λ +⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ + [ ] [ ] [ ] e e eT e 2 T e 2 x ye e d1 (p R t ) (p R t ) dxdy 2 d t λ ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ - Sè h¹ng ®Çu ®−îc kh¶o s¸t nh− môc (6.7), b»ng [t]e, víi e e 2 ij jk jk ij S (x y x y ) λ − 2 2 jk jk ik jk ik jk ij jk ij jk 2 2 jk jk ij ik ij ik 2 2 ij ij (x y ) (x x y y )(x y y y ) (x y ) (x x y y ) (DX) (x y ) ⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦ - Sau ®©y xÐt sè h¹ng thø 2: §Çu tiªn cã [ ] e e d d t λ = [ ] e e e 1 1 o i j ke 1 d (t t t ) 1 3 3d t 1 ⎡ ⎤⎧ ⎫λ λ⎪ ⎪ ⎢ ⎥λ + + + =⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦ V× [ ]eT exp R t lµ ma trËn a h¹ng (1 x 1), tho¶ m·n [a]T = [a] nªn: ( [ ]eT exp R t )2 = ( [ ]eT exp R t )T ( [ ]eT exp R t ) = [ ]ee T x(R t ) p ( [ ]eT exp R t ) = [ ] [ ]T Te ee T ex xt R p p R t T−¬ng tù, cã ( [ ]eT eyp R t )2 = [ ] [ ]T Te ee T ey yt R p p R t Do vËy tÝch ph©n trong sè h¹ng thø 2 cã d¹ng: (§X) ∆ 116 [ ] [ ]e eT e 2 T e 2x y e (p R t ) (p R t ) dxdy⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ = = [ ] T Te et R [ ]eT T ex x y y e (p p p p )dxdyR t+∫∫ = [ ] [ ] 0 0 0 010 0 01 T Te ee e et R S R t ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∆ [ ] Tet [ ]eee1 K tλ , víi Ke = Te e e e 0 0 0 R S 01 0 R 0 01 ⎡ ⎤⎢ ⎥λ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ ma trËn 3 x 3, ®èi xøng, cã d¹ng nh− ë môc (6.6) - Céng c¸c biÓu thøc trªn, ta ®−îc: [ ] e e dI d t λ = [ ] [ ] [ ]Te e ee e e1 e 1 1 1K t 1 t K t 6 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥+ λ ⎢ ⎥ λ⎢ ⎥⎣ ⎦ - Sau cïng, thay [ ] [ ]Te et D t= vµo [ ] dI d t λ = [ ] eE e ee 1 dID d t λ = ∑ cã: [ ] dI d t λ = [ ]TE e e e e 1 D K D t = ∑ + [ ] [ ]T TeE ee e e1ee 1 1 1 D 1 t K D t 6 1= ⎡ ⎤ λ⎢ ⎥⎢ ⎥ λ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ = [t] + Kt[t], ë ®©y ®Æt: ∆ TE e e e e 1 D K D = ∑ =∑ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ E 1ª 333231 232221 131211 KKK KKK KKK ,lµ ma trËn ®èi xøng MxM Kt = [ ] T TeE ee e e1ee 1 1 1 D 1 t K D 6 1= ⎡ ⎤ λ⎢ ⎥⎢ ⎥ λ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ lµ ma trËn M x M, kh«ng §X - VÝ dô, bµi to¸n biªn c« lËp (6.6) víi λ = λ(t) cã ph¸t biÓu FEM lµ: i j k M 117 [ ] dI d t = [t] + Kt[t] + C[ ]t& = 0 hay C[ ]t& = - ( + Kt)[t] NÕu dïng xÊp xØ Euler ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè sau: C[t]k+1 = {C - ∆τ( + Kt)}[t] Lóc nµy vµ Kt ®iÒu phô thuéc [t], nªn ph¶i gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p lÆp, vÝ dô theo s¬ ®å k[t]k+1 = -Ktk[t]k víi ph−¬ng tr×nh 0 = [t] + Kt[t] øng víi bµi to¸n æn ®Þnh. NÕu λ kh«ng phô thuéc t, e1λ = 0, ∀e → Kt = 0, lóc nµy gièng nh− ma trËn K trong (6.6) 6.9. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n biªn phi tuyÕn: XÐt l¹i bµi to¸n (6.4.1) trong ®ã thay ®iÒu kiÖn biªn t¹i x = 0 lµ + λTx(0, τ) = εσo[T4(0, τ) - T 4f ], lµ §KB phi tuyÕn tÝnh, trong ®ã ε lµ ®é ®en bøc x¹ cña mÆt x = 0, σo = 5,67.10-8 w/m2 K4. Khi ®ã, theo quan ®iÓm biÕn ph©n, bµi to¸n (6.4.1) t−¬ng øng viÖc t×m hµm T (x, τ) trong x = [0 ÷ L] lµm cùc tiÓu phiÕm hµm I = Iλ + Ic + Ir víi Iλ , Ic nh− trong (6.4) vµ Ir = 5r E e e 4 e o f e 1 1 T T T 5= ⎛ ⎞ε σ −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ víi T e lµ nhiÖt ®é tuyÖt ®èi, oK, trªn biªn, Er lµ tæng sè phÇn tö cã biªn bøc x¹. Tr−êng hîp trªn, víi bµi to¸n (6.4.1) söa ®æi, cã Er = 1 vµ Te = T1 nªn Ir = 5 4 1 f 1 1 T T T 5 ⎛ ⎞εσ −⎜ ⎟⎝ ⎠ §Þnh nghÜa ma trËn [d] = M 1 0 . . 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , ta cã [ ]r dI d T = [ ] [ ]r1 dId d T . V× T1 = [d] T[T] nªn: 118 [ ]r dI d T = [ ] [ ]1 dd d T 5 4 1 f 1 1 T T T 5 ⎛ ⎞εσ −⎜ ⎟⎝ ⎠ = [ ] ( )4 41 fd T Tεσ − = [ ] 31 1d ( T )Tεσ - [ ] 4fd Tεσ = [ ] [ ] [ ]T31d ( T ) d Tεσ - [ ] 4fd Tεσ ∆ R[T] - r, ë ®©y ®Þnh nghÜa ma trËn R vµ r nh− sau: R∆ [ ] [ ]T31d ( T ) dεσ = 1 0 . 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]31( T ) 1 0 . . 0εσ = 1 M 3 1 0 ` ` ` 0 T ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡εσ lµ ma trËn vu«ng chØ cã 1 phÇn tö kh¸c 0, vµ r ∆ 14 f M T 0 . . 0 ⎡ ⎤εσ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ ma trËn (Mx1). Do ®ã ph¸t biÓu biÕn ph©n lµ: [ ] dI d T = K[T] + C[T]& + R[T] - r = 0 hay C[T]& = -(K + R)[T] + r. PhÐp xÊp xØ Euler dÉn tíi hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè sau: C[T]k+1 = C[T]k + ∆τ[r - (K + R)[T]]k hay C[T]k+1 = {C - ∆τ(K + R)}[T]k + ∆τ.r R lµ ma trËn phô thuéc T1 nªn hÖ nµy gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p lÆp. 6.10. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n gi¶i bµi to¸n 3 chiÒu t (x,y,z,τ) kh«ng æn ®Þnh 119 6.10.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n: T×m trong V hµm t (x,y,z,τ) tho¶ m·n hÖ ph−−¬ng tr×nh (t) nh− sau: (t) [ ] Wo 1 1 o tC div( gradt) gradt t 0 t (x, y,z) W , t (x, y,z, ) t(x, y,z,0) t (x, y,z) ∂⎧ρ = λ⎪ ∂τ⎪⎪−λ =⎨⎪ ∈ τ = τ⎪ =⎪⎩ uur víi ϕ, C, λ lµ c¸c th«ng sè vËt lý cña vËt V. 6.10.2. Ph¸t biÓu biÕn ph©n: - T×m hµm tÝch ph©n: So s¸nh ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN vµ ph−¬ng tr×nh Euler - Lagrange: x y z F F F F 0 t x t y t z t ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (ph−¬ng tr×nh E - L) t t t tC 0 x x y y z z ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ − λ − λ − λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂τ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN) TÝch ph©n c¸c ®¹o hµm cña F theo t, tx, ty, tz: F tC t ∂ ∂= ρ∂ ∂τ → F = tC dt∂ρ ∂τ∫ = 2 x y z 1 tC f (t ) g(t ) h(t ) 2 ∂ρ + + +∂τ x F t t x ∂ ∂= λ∂ ∂ → F = x xt dtλ∫ = 2 y z 1 te(t) g(t ) h(t ) 2 x ∂⎛ ⎞+ λ + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ y F t t y ∂ ∂= λ∂ ∂ → F = y yt dtλ∫ = 2 x z 1 te(t) f (t ) h(t ) 2 y ⎛ ⎞∂+ + λ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ z F t t z ∂ ∂= λ∂ ∂ → F = z zt dtλ∫ = 2 x y 1 te(t) f (t ) g(t ) 2 z ∂⎛ ⎞+ + + λ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ W W0 ρ 1 c = dw( gradt)∂∂ t 0 τ λ t/ =0=t (x,y,z)τ ρcVλ y 0 x z H54. Bµi to¸n t(x,y,z,τ) 120 §ång nhÊt c¸c biÓu thøc, ta thu ®−îc hµm F(t, tx, ty, tz) ë d¹ng: F = 22 221 t t t tC 2 x y z ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ρ + λ + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂τ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ - Ph¸t biÓu biÕn ph©n: Bµi to¸n (t) t−¬ng øng víi bµi to¸n biÕn ph©n sau: T×m trong V hµm t(x, y, z, τ) sao cho t¹i τ = const bÊt kú lµm cùc tiÓu phiÕm hµm cã d¹ng: 121 I = 2 V 1 tC dxdydz 2 ∂ρ ∂τ∫∫∫ + 22 2 V 1 t t t dxdydz 2 x y z ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥λ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫∫∫ (T−¬ng øng, ta sÏ ®Æt I = Ic + Iλ) 6 7 3 8 2 4 1 5 m i f e z y x 0 e v H55. Chia V ra c¸c phÇn tö h÷u h¹n d¹ng tø diÖn. 6.10.3. Ph¸t biÓu FEM: 1. Chia miÒn tÝch ph©n V ra E phÇn tö d¹ng tø diÖn, c¸c ®Ønh t−¬ng øng nót i, j, l, m, bëi hÖ thèng M nót. VÝ dô, khèi hép gi÷a 8 nót (12345678) ®−îc chia ra 5 tø diÖn sau: (2136), (4138), (7368), (1368), (5168). §¸nh sè nót, sè phÇn tö, ghi to¹ ®é nót vµ th«ng sè (i, j, l, m), ϕ, c, λ cña c¸c phÇn tö ®Ó lËp sè liÖu vµo. 2. X¸c ®Þnh hµm ph©n bè nhiÖt ®é te trong phÇn tö e d¹ng tø diÖn (i j l m) nh− 1 hµm tuyÕn tÝnh cña x, y, z vµ ti, tj, te, tm, cho bëi: → [ ] [ ]1e eeX t−ϕ = = Re[t]e víi 1 1 i i i j j je e l l l m m m 1 x y z 1 x y z R X 1 x y z 1 x y z − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn täa té nót Xe cña phÇn tö e. VËy ta cã te = pTRe[t]e, trong ®ã pT = [1 x y z] lµ ma trËn (1x4) 3. §Þnh nghÜa ma trËn chuyÓn De cã d¹ng ∆ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ +ϕ+ϕ= +ϕ+ϕ= ϕ+ϕ+ϕ= ee i e 2 e i e 2 ee xt xt xt 1 1 122 e 0 0 0 0 . . . . 10 0 0 01 0 0 D 0 010 0 0 01 . . . . 0 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ ma trËn M hµng 4 cét (Mx4) Khi ®ã, ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña phiÕm hµm I sÏ lµ: δI = 0 → [ ] dI d t = [ ] [ ] [ ] [ ] e e e eE E E Ee ec c e ee 1 e 1 e 1 dI dI dI dID D 0 d t d t d t d t λ λ = = = + = + =∑ ∑ ∑ ∑ 4. TÝnh [ ] edI d t λ : Ta cã eIλ = 2 2 2e e e e 1 t t t dxdydz 2 x y z ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥λ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫∫ [ ] e e dI d t λ = [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )e 2 2 2e e eT e T e T ex y z e P R t P R t P R t dxdydz 2 ⎡ ⎤λ + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫ = [ ]( )( ) [ ]( )( ) [ ]( )( )e T T Te e eT e T e e T e T e T ex x y y z z e 2 P R t P R 2 P R t P R 2 P R t P R dxdydz 2 ⎡ ⎤λ + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫ = ( ) [ ]T ee e T T T ex x y y z z e R P P P P P P R t dVλ + +∫∫∫ = ( ) [ ]T ee e T T T ex x y y z z e R P P P P P P dxdydz.R tλ + +∫∫∫ , víi ( )T T Tx x y y z zP P P P P P+ + = [ ] [ ] [ ] 0 0 0 1 0 0 0100 0010 0001 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 0 0 0 0 010 0 0 01 0 0 0 01 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ i j l m M ∆ 123 → e 0 0 0 0 010 0 dxdydz 0 010 0 0 01 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫∫ = e 0 0 0 0 01 0 0 V 0 01 0 0 0 01 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ , víi Ve = i i i j j j l l l m m m 1 x y z 1 x y z1 det 6 1 x y z 1 x y z lµ thÓ tÝch khèi tø diÖn cña phÇn tö e. §Æt: Te e e eK R Vλ e 0 0 0 0 010 0 R 0 010 0 0 01 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44 K K K K K K K K K (DX) K ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ → [ ] e e dI d t λ = Ke[t]e V× [ ] [ ]Te et D t= nªn cã: [ ] dI d t λ = [ ] [ ]TE e e e e 1 D K D t K t = =∑ víi ®Þnh nghÜa: TE e e e e 1 K D K D = ∑ = ( ) E Mx4 0000 1000 0100 0010 0001 0000 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∑⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 4x4 K K K K K K K K K K K K K K K K ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )4xM 010000 001000 000100 000010 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = K= 11 12 13 14 E 22 23 24 33 34e 1 44 K K K K K K K K K K = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ O O lµ ma trËn dÉn nhiÖt, (MxM), §X i j l m M ∆ ∆ §X 124 5. TÝnh [ ]c dI d t = [ ] eE e c e dID d t ∑ ta cã: 2e e c e 1 tI C dxdydz 2 ∂= ρ ∂τ∫∫∫ = ( ) [ ]( )e 2eT e e C d P R t dxdydz 2 d ρ τ ∫∫∫ → [ ] e c e dI d t = ( ) [ ]( )( )e TeT e T e e C d 2 P R t P R dxdydz 2 d ρ τ ∫∫∫ = = ( ) [ ]T ee e T e e dC R pp dxdydzR t d ⎡ ⎤ρ ⎢ ⎥τ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫ , ë ®©y ta ®Æt We T e pp dxdydz∫∫∫ = [ ] e 1 x 1 x y z dxdydz y z ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫∫ = 2 2 e 2 1 x y z x x xy xz dxdydz y xy y yz z xz yz z ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫∫∫ =Ve ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) G G G 4 4 42 2 2 2 i G G i G i G G i G i G G i 1 i 1 i 1 4 42 2 2 i G G i G i G G 4 2 2 i G G 1 x y z 1 1 1x x x x x y y y x x z z z 20 20 20 1 1y y y y y z z z 20 20 1 z z z 20 = = = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥− + − − + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤− + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ trong ®ã (xG = 4 i i 1 1 x 4 = ∑ , yG = 4 i i 1 1 y 4 = ∑ , zG = 4 i i 1 1 z 4 = ∑ ) lµ täa ®é träng t©m G cña phÇn tö e. V× Re, We kh«ng phô thuéc τ nªn cã [ ] e c e dI d t = ( ) [ ] [ ]T eee e e e edC R W R t C t d ρ τ & víi ®Þnh nghÜa (§X) ∆ ∆ xG yG zG 125 ( ) Tee e e eC C R W Rρ = 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 C C C C C C C C C C C C C C C C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ lµ MT (4x4) §X. Do [ ] [ ]Te et D t=& & nªn cã: [ ]c dI d t = [ ] eE e c ee 1 dID d t= ∑ = [ ] [ ]TE e e e e 1 D C D t C t = =∑ & & víi TE e e e e 1 C D C D = ∑ = E 0 0 0 0 10 0 0 010 0 0 010 0 0 01 0 0 0 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∑⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44 C C C C C C C C C (DX) C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 010 0 0 0 0 010 0 0 0 0 010 0 0 0 0 01 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = C = 11 12 13 14 E 22 23 24 33 34e 1 44 C C C C C C C C C C = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ O O lµ ma trËn nhiÖt dung (MxM) §X 6. Ph¸t biÓu phÇn tö h÷u h¹n cho biÕt, [t] cÇn x¸c ®Þnh theo ®iÒu kiÖn [ ] [ ] [ ] dI K t C t C d t = + =& hay [ ] [ ]dC t K t d = −τ . §ã lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 gåm M ph−¬ng tr×nh. 6.10.4. Ph¸t biÓu sai ph©n, vÝ dô theo Crank-Nicolson, ta ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè M Èn nh− sau: [ ] [ ] [ ] [ ]( )k 1 k k k 11C t C t C t C t2+ += + ∆τ +& & = [ ] [ ] [ ]( )k k k 11C t K t K t2 ++ ∆τ − − hay i j l m M (§X) ∆ 0 ∆ 126 [ ] [ ]k 1 kC K t C K t2 2+ ∆τ ∆τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , lµ hÖ M ph−¬ng tr×nh ®¹i sè d¹ng Èn. Toµn bé viÖc lËp ph−¬ng tr×nh vµ tÝnh to¸n cã thÓ ch−¬ng tr×nh ho¸ vµ do m¸y tÝnh thùc hiÖn. C¸c ®iÒu kiÖn biªn W2 vµ W3 xÐt t−−¬ng tù bµi (6.7), (6.8), (6.9) ®· nªu trªn. 127 Ch−¬ng 7: C¸c bµi to¸n biªn di ®éng 7.1. M« t¶ bµi to¸n biªn di ®éng 7.1.1. Kh¸i niÖm biªn di ®éng Khi hÖ vËt kh¶o s¸t cã sù thay ®æi khèi l−îng, g©y ra bëi sù trao ®æi chÊt, chuyÓn pha hay biÕn d¹ng, th× to¹ ®é cña biªn thay ®æi theo thêi gian. VÝ dô: NÕu ta liªn tôc cÊp nhiÖt vµo vËt r¾n ®ang xÐt, th× sÏ x¶y ra sù nãng ch¶y cña vËt nµy, vµ biªn giíi vËt r¾n sÏ di chuyÓn vÒ phÝa t©m cña nã. Ng−îc l¹i, nÕu ta liªn tôc thu nhiÖt tõ 1 hÖ chÊt láng hoÆc 1 vËt Èm nµo ®ã, th× sÏ x¶y ra sù ®«ng ®Æc hoÆc ho¸ r¾n cña hÖ nµy, vµ biªn giíi pha láng sÏ di chuyÓn vÒ phÝa t©m chÊt láng, tøc rêi xa t©m líp chÊt r¾n t¹o thµnh. 7.1.2. C©n b»ng nhiÖt trªn biªn chuyÓn pha: Kh¶o s¸t hÖ 2 pha gåm pha r¾n cã nhiÖt ®é T1(x, τ), λ1, ϕ1, C1 tiÕp xóc t¹i biªn x = ξ víi pha láng cña nã cã nhiÖt ®é T2(x, τ), λ2, ϕ2, C2. Gäi nhiÖt ®é chuyÓn pha lµ Ts. T¹i vïng chuyÓn pha, d−íi ¸p suÊt kh«ng ®æi, lu«n cã Ts = const. NÕu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s 1 2 s 1 T x, T T x, , x T , T T , ,x τ > > τ ∀ ≠ ξ⎧⎪⎨ ξ τ = = ξ τ = ξ⎪⎩ th× trªn biªn x = ξ x¶y ra sù chuyÓn pha, vµ biªn (lo¹i 5) nµy sÏ dÞch chuyÓn víi tèc ®é d d ξ τ nµo ®ã, sÏ ®−îc x¸c ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho 1 ph©n tè vËt chÊt trªn biªn. XÐt 1 ph©n tè dV = Sdx = S d d ξ τ dτ, cã nhiÖt chuyÓn pha lµ l [J/kg], trªn biªn x = ξ. Gäi dßng nhiÖt vµo ph©n tè lµ q2, ra khái ph©n tè lµ q1 th× l−îng nhiÖt ph¸t sinh trong ph©n tè lµ qe = q1 - q2 . Khi ®ã: , vµ 128 < 0 → dV to¶ nhiÖt → dV ®«ng ®Æc q1 - q2 = qe = 0 → kh«ng cã sù chuyÓn pha > 0 → dV nhËn nhiÖt → dV ho¸ láng ρ T l s 0 t x d d dτ τξ T (x )2 1τ T (x )1 1τ ρ 1 C λ2 2 lλ 11 q 1 q2 2 ξ Ts ρ 2cl 0 t x λ 2 2 l λ1 1ρ1 T (x )1 1τ q 2q 1 T (x )2 1τ d d dτ τ ξ ξ H56. §Ó c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ biªn nãng ch¶y H57. §Ó c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ biªn ®«ng ®Æc Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ W5 sÏ lµ: * Víi dV ∈ W5 nãng ch¶y: q2 = qe + q1 hay - λ2 ( )2dT ,dx ξ τ = lρ1 dd ξ τ - λ1 ( )1dT , dx ξ τ → λ1T1x(ξ, τ) - λ2T2x(ξ, τ) = lρ1 dd ξ τ * Víi dV ∈ W5 ®«ng ®Æc: q2 + qe = q1 hay λ2 ( )2dT ,dx ξ τ + lρ2 dd ξ τ = λ1 ( )1dT , dx ξ τ → λ1T1x(ξ, τ) - λ2T2x(ξ, τ) = lρ2 dd ξ τ Do ®ã nãi chung, ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 5 (hay biªn di ®éng do chuyÓn pha) sÏ cã d¹ng: