Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 8: Thiết kế Bộ lọc Số - Đinh Đức Anh Vũ

BK TP.HCM 2011 dce Chương 8 Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ 2011 dce 2DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Nội dung • Bộ lọc lý tưởng • Bộ lọc thực tế – Bộ lọc với đáp ứng xung hữu hạn (FIR) • Bộ lọc tuyến tính pha – Phương pháp cửa sổ – Phương pháp mẫu tần số • Bộ lọc tuyến tính pha tối ưu • Bộ biến đổi Hilbert • So sánh các phương pháp thiết kế – Bộ lọc với đáp ứng xung vô hạn (IIR) • Phương pháp xấp xỉ đạo hàm • Phương pháp bất biến xung 2011 dce 3DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Giới thiệu • Phương pháp thiết kế bộ lọc tần số – Đặc tính bộ lọc được mô tả bởi đáp ứng biên độ và pha – Tùy theo đáp ứng mong muốn, bộ lọc nhân quả FIR hoặc IIR sẽ được chọn • FIR – Được dùng khi có yêu cầu đáp ứng pha tuyến tính trong passband – Nhiều thông số hơn IIR → Độ phức tạp tính toán cao • IIR – Có các thuỳ biên ở dải stopband thấp hơn bộ lọc FIR có cùng số tham số → được dùng nhiều hơn so với FIR (khi độ méo pha trong passband có thể chấp nhận được) – Độ phức tạp tính toán không cao và tiêu tốn ít bộ nhớ – Xác định các hệ số bộ lọc 2011 dce 4DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Tính nhân quả • Xét bộ lọc lý tưởng    ≤< ≤ = πωω ωω ω c cH 0 1 )(     ≠ = = 0 0 )( )sin( n n nh n n c cc c ω ω π ω π ω ω H(ω) 1 ωc-ωc Bộ lọc không nhân quả → không hiện thực được ωc = π/4 2011 dce 5DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Đ/k để bộ lọc nhân quả • Định lý Paley-Wiener – H(ω) chỉ được phép = 0 tại một tập hữu hạn các tần số – |H(ω)| không được là hằng số cho một khoảng tần • Việc chuyển từ passband sang stopband không được thẳng góc – HR(ω) và HI(ω) phụ thuộc nhau → Phổ biên độ và phổ pha không thể chọn độc lập được ∞<∫ − π π ωω dH )(lnh(n) có năng lượng hữu hạn h(n) = 0 ∀n<0 ∫ ∫ − − ∞< ∞< π π π π ωω ωω dH dH 2)( )(ln ( )( ), ( ) ( ) ( ) : jVoi H H e h n nhân qua ωω ω ω ΘΘ = 2011 dce 6DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ )()()( nhnhnh oe += [ ] [ ])()()( )()()( 2 1 2 1 nhnhnh nhnhnh o e −−= −+= 1)()0()()(2)( 0)()0()()(2)( ≥+= ≥−= nnhnunhnh nnhnunhnh o ee δ δ h(n) nhân quả )()()( ωωω IR jHHH += )()()( nhnhnh oe += FF ∫ − −−= π π λω π λλω dHH RI )cot()()( 221BĐ Hilbert rời rạc 1)()( ≥= nnhnh eo h(n) được mô tả bởi he(n) H(ω) được mô tả bởi HR(ω) H(ω) được mô tả bởi HI(ω) và h(0) h(n) thực Đ/k để bộ lọc nhân quả 2011 dce 7DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Đ/k để bộ lọc nhân quả • Ví dụ: xác định đáp ứng tần số của h/t ổn định với đáp ứng xung là hàm thực và chẵn, nếu biết 1 cos21 cos1)( 2 <+− − = a aa aH R ω ωω [ ]ωωω jj ee −+= 21cos azaROC azaz zaz azza zzazH R /1: )1)(( 2/)1( )(1 )(1)( 2 21 1 2 1 << −− +− = ++− +− = − − )()( 2121 nanh n e δ+= )()( nuanh n= ωω jae H −− = 1 1)( 2011 dce 8DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc tần số trong thực tế • LTI • Đặc trưng |H(ω)| ω 1+δ1 1-δ1 δ2 Passband ripple Transition Band StopBand 0 ωp ωs π δ1: Passband ripple δ2: Stopband ripple ωp: Passband edge ripple ωs: Stopand edge ripple ∑∑ == −+−−= M k k N k k knxbknyany 01 )()()( ∑ ∑ = − = − + = N k kj k M k kj k ea eb H 1 0 1 )( ω ω ω 2011 dce 9DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng ∑ − = −= 1 0 )()()( M k knxkhny • Bộ lọc FIR • Bộ lọc FIR tuyến tính pha – H(ω) có pha Ө(ω) là hàm tuyến tính – Đ/k: h(n) = ± h(M–1–n) n = 0, 1, , M-1 ∑ − = −= 1 0 )()( M k k knxbny h(k) = bk ∑ − = −= 1 0 )()( M k kzkhzH )()( 1)1( zHzHz M ±=−−− • Thay z bởi z-1 • Nhân 2 vế với z-(M-1) • h(n) = ± h(M–1–n) z1 z1* 1/z1* 1/z1 11/z2 z2 • Nếu z1 là nghiệm (hoặc zero) của H(z) thì 1/z1 cũng là nghiệm • Để h(n) thực thì z1* cũng là nghiệm và 1/ z1* cũng là nghiệm 2011 dce 10DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng • Hàm h/t • Đáp ứng xung đơn vị đối xứng h(n) = h(M – 1 – n) 3 2( 1) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 2 2 2 2( 1) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 2 2 2 1 ( 1) 1 2 0 1 0 ( ) (0) (1) ... ( 1) ( ) ( ) ( ) M M M n M n M M M n M n M M n n H z h h z h M z z h h n z z M le z h n z z M chan − − − − − − − − − − − − − − − −− = − − − = = + + + −     + ±      =    ±   ∑ ∑ 3 2 2 1 21 2 2 0 1 1 2 2 0 ( ) 2 ( ) cos ( ) ( ) 2 ( ) cos ( ) M M M nM n r M n n h h n M le H h n M chan ω ω ω − − −− = − − − =  + =    ∑ ∑    <+− >− =Θ − − 0)()( 0)()( )( 2 1 2 1 ωπω ωω ω r M r M H H 2 )1( )()( −−= Mj r eHH ωωω Đặc tính pha Tuyến tính Biên độ thực 2011 dce 11DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng h(n) = –h(M–1–n) – Khi M lẻ h[(M–1)/2] = 0 • Đối xứng hay phản đối xứng ? – Tùy Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng 3 2 2 1 2 2 0 1 1 2 2 0 2 ( )sin ( ) ( ) 2 ( )sin ( ) M M M n n r M n n h n M le H h n M chan ω ω ω − − − = − − − =   =    ∑ ∑    <− >− =Θ − − 0)()( 0)()( )( 2 1 2 3 2 1 2 ωω ωω ω π π r M r M H H ][ 22 )1( )()( πωωω −− − = Mj r eHH Đặc tính pha Tuyến tính h(n) = –h(M–1–n) M lẻ Hr(0) = 0 Hr(π) = 0 Không thích hợp cho các bộ lọc thông thấp và thông cao Biên độ thực 2011 dce 12DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Giả sử – Hd(ω): hàm đáp ứng tần số mong muốn – hd(n): hàm đáp ứng xung đơn vị mong muốn • hd(n) có chiều dài vô hạn • Để chiều dài hd(n) hữu hạn, cắt hd(n) tại điểm n = M-1 – Nhân hd(n) với hàm cửa sổ w(n) – Cửa sổ hình chữ nhật • Đáp ứng xung mẫu của bộ lọc – Với Hd(ω) cho trước, thì W(ω) có tác dụng làm trơn Hd(ω) – Một W(ω) tốt khi • Có thuỳ chính phải rộng, cao hơn nhiều so với thuỳ phụ • w(n) không nên giảm xuống 0 tại hai bên cạnh Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP cửa sổ ∑ ∞ = −= 0 )()( n nj dd enhH ωω    −= = otherwise Mn nw 0 1,...,1,01 )(    −= = = otherwise Mnnh nwnhnh d d 0 1,..,1,0)( )()()( ωω ω π π π deHnh nj dd ∫ − = )()( 21 ∫ − −= π π π ωω dvvWvHH d )()()( 21 2011 dce 13DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP cửa sổ Nhận xét: - Thuỳ chính hẹp hơn khi M tăng - Các thuỳ phụ tương đối lớn so với thuỳ chính và không thay đổi khi M tăng - Chiều cao thuỳ phụ tăng khi M tăng )2/sin( )2/sin( 1 1)( 2/)1( 1 0 ω ω ω ω ω ω ω Me e eeW Mj j MjM n nj −− − −− = − = − − == ∑    <− ≥− =Θ ≤≤−= − − 0)sin()( 0)sin()( )( )sin( )sin( )( 22 1 22 1 2 2 MM MM M W ω ω ω ω ωπ ω ω πωπω Độ rộng của thùy chính: 4π /M [được đo bởi điểm zero đầu tiên của W(ω)] 2011 dce 15DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy mẫu tần số • Hd(ω) được định nghĩa tại M điểm tần số cách đều 2 1 2 2 1 2 ( ) 0,1, , 0,1, , 1 0 | M k M M k k M le k M chan πω α α −= + = = − =   ∑ − = −= 1 0 )()( M n nj dd enhH ωω 1,,1,0)()( 1,,1,0)()( )]([)( 1 0 /)(21 1 0 /)(2 2 −=+= −==+ +≡+ ∑ ∑ − = + − = +− MnekHnh MkenhkH kHkH M k Mnkj dMd M n Mnkj dd Mdd   απ απ π α α αα α=0, 2 công thức này chính là công thức DFT và IDFT )()( * αα −−=+ kMHkH ddChuỗi h(n) thực Chỉ cần định nghĩa Hd(ω) tại (M+1)/2 điểm khi M lẻ hoặc tại M/2 điểm khi M chẵn 2011 dce 16DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy mẫu tần số • Mẫu tần số • Định nghĩa các mẫu tần số thực G(k+m) • Tùy theo giá trị α (0|½) và β (0|1), H(k) và h(n) sẽ có công thức đơn giản – Ví dụ khi α = 0 và β = 0 ( ) [ ]MMkjMrd ekHkH 2/)1)((22/2 )()( −+−+=+ απβππ αα 0 { ( )} 1 { ( )} h n doi xung h n phan doi xung β β =  = ( ))()1()( 2 αα π +−=+ kHkG Mrk [ ]MMkjjk d eekGkH 2/)1)((22/)()( −+−+=+ απβππαα Với ( ) )()( )1()( 1,,1,0)()( 2 / kMGkG HkG MkekGkH M k r k Mkj −−= −= −== π π  2 12 1 1 2 2 1( ) (0) 2 ( )cos ( ) 1 U k M k M M h n G G k n M khi M le voi U khi M chan π = −   = + +     =  − ∑ 2011 dce 17DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương pháp tối ưu • Bài toán xấp xỉ Chebyshev – Tối ưu: sai số xấp xỉ giữa đáp ứng t/s mong muốn và thực tế phân bố đều trên passband và stopband ⇒ tối thiểu hóa các sai số cực đại – Bộ lọc có gợn sóng trong cả passband và stopband 2011 dce 18DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 1: đáp ứng xung đơn vị đối xứng và M lẻ ∑ − = −− −+= 2/)3( 0 2 1 2 1 )(cos)(2)()( M n MM r nnhhH ωω ∑ − = = 2/)1( 0 cos)()( M k r kkaH ωω    =− = = −− − 2 1 2 1 2 1 ,,2,1)(2 0)( )( MM M kkh kh k  α k = (M-1)/2 – n 2011 dce 19DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 2: đáp ứng xung đơn vị đối xứng và M chẵn ∑ − = − −= 12/ 0 2 1 )(cos)(2)( M n M r nnhH ωω ∑ = −= 2/ 1 2 1 )(cos)()( M k r kkbH ωω 22 ,,2,1)(2)( MM kkhkb =−= k = M/2 – n ∑ − = = 12/ 0 2 cos)('cos)( M k r kkbH ωω ω )(2)1(' 2,,2,1)(2)1(')(' )1()0(' 22 2 2 1 MM M bb kkbkbkb bb =− −==−+ =  2011 dce 20DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 3: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng và M lẻ ∑ − = − −= 2/)3( 0 2 1 )(sin)(2)( M n M r nnhH ωω ∑ − = = 2/)1( 1 sin)()( M k r kkcH ωω 2 1 2 1 ,,2,1)(2)( −− =−= MM kkhkc  k = (M-1)/2 – n ∑ − = = 2/)3( 0 cos)('sin)( M k r kkcH ωωω )1()2(')0(' 2)(2)1(')1(' )(2)(' )()(' 2 1 2 5 2 3 2 5 2 1 2 3 ccc kkckckc cc cc M MM MM =+ ≤≤=+−− = = − −− −−  2011 dce 21DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 4: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng và M chẵn ∑ − = − −= 12/ 0 2 1 )(sin)(2)( M n M r nnhH ωω ∑ = −= 2/ 1 2 1 )(sin)()( M k r kkdH ωω 22 ,,2,1)(2)( MM kkhkd =−= k = M/2 – n ∑ − = = 12/ 0 2 cos)('sin)( M k r kkdH ωω ω )1()1(')0(' 12)(2)(')1(' )(2)1(' 2 1 2 22 ddd kkdkdkd dd M MM =− −≤≤=−− =− 2011 dce 22DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Tổng quát )()()( ωωω PQHr = 2 2 1 1 cos 2 ( ) sin 3 sin 4 truong hop truong hop Q truong hop truong hop ω ω ω ω   =    ∑ = = L k kkP 0 cos)()( ωαω ( 1) / 2 1 / 2 1 2 ( 3) / 2 3 / 2 1 4 M truong hop M truong hop L M truong hop M truong hop −  −=  −  −