Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 6: Giải thuật cho biến đổi Fourier (FFT) - Đinh Đức Anh Vũ

BK TP.HCM 2011 dce Chương 6 Giải thuật cho biến đổi Fourier (FFT) ©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ 2011 dce 2DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Nội dung Tính DFT & IDFT Tính trực tiếp Biến đổi WN Chia-Trị Cơ số 2 Cơ số 4 Tách cơ số Lọc tuyến tính Goertzel Chirp-z 2011 dce 3DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính DFT: xác định chuỗi N giá trị phức {X(k)} khi biết trước chuỗi {x(n)} chiều dài N – Giải thuật tính DFT cũng được áp dụng cho việc tính IDFT • Tính trực tiếp – N2 phép nhân phức – N(N-1) phép cộng phức → Độ phức tạp : O(N2) • Biến đổi WN – 2N2 phép tính lượng giác – 4N2 phép nhân số thực – 4N(N-1) phép cộng số thực – Một số phép toán chỉ số và địa chỉ để nạp x(n) DFT & IDFT 10)()( 1 0 −≤≤=∑ − = NkWnxkX N n kn N 10)(1)( 1 0 −≤≤= ∑ − = − NnWkX N nx N k kn N DFT IDFT       −−= += ∑ ∑ − = − = 1 0 22 1 0 22 )]cos()()sin()([)( )]sin()()cos()([)( N n N kn IN kn RI N n N kn IN kn RR nxnxkX nxnxkX ππ ππ Giải thuật tính DFT tối ưu mỗi phép toán theo những cách khác nhau /2k N k N N k N k N N W W W W + + = − = Doi xung Tuan hoan 2011 dce 4DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Phương pháp chia-trị (1) • Nguyên tắc: phân rã nhỏ việc tính DFT N điểm thành việc tính các DFT kích thước nhỏ hơn → các giải thuật FFT • Phương pháp – Giả sử N=L.M – Lưu trữ x(n) vào mảng 2 chiều L × M (l: chỉ số hàng, m: chỉ số cột) – Cách lưu trữ • Theo dòng n = Ml + m • Theo cột n = l + mL – Tương tự, các giá trị DFT X(k) tính được cũng sẽ được lưu trữ trong ma trận L × M (p: chỉ số hàng, q: chỉ số cột) • Theo dòng k = Mp + q • Theo cột k = p + qL 0 1 2 N-1 x(0) x(1) x(2) x(N-1) l m 0 1 M-1 0 x(0,0) x(0,1) x(0,M-1) 1 x(1,0) x(1,1) x(1,M-1) 2 x(2,0) x(2,1) x(2,M-1) L-1 x(L-1,0) x(L-1,1) x(L-1,M-1) n → 2011 dce 5DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Phương pháp chia-trị (2) ∑∑ − = − = ++= 1 0 1 0 ))((),(),( M m L l lmLqMp NWmlxqpX lq N Mpl N mLq N MLmp N lmLqMp N WWWWW = ++ ))(( Với: x(n) : theo cột X(k) : theo hàng pl L pl MN Mpl N mq M mq LN mqL N Nmp N WWW WWW W == == = / / 1 lp L L l M m mq M lq N WWmlxWqpX ∑ ∑ − = − =             = 1 0 1 0 ),(),( 10)()( 1 0 −≤≤=∑ − = NkWnxkX N n kn N DFT M điểm F(l,q) G(l,q) DFT L điểm X(p,q) 1 2 3 (1): Tính L DFT M điểm Nhân phức : LM2 Cộng phức : LM(M-1) (2): Tính G(l,q) Nhân phức : LM (3): Tính X(p,q) Nhân phức : ML2 Cộng phức : ML(L-1)  Độ phức tạp Nhân phức : N(M+L+1) Cộng phức : N(M+L-2) 2011 dce 6DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Phương pháp chia-trị (3) • Hiệu quả • PP chia-trị rất hiệu quả khi N= r1r2r3rv – Phân rã nhỏ hơn đến (v-1) lần • Giải thuật PP tính trực tiếp • Nhân phức : N2 • Cộng phức : N(N-1) PP chia-trị • Nhân phức : N(M+L+1) • Cộng phức : N(M+L-2) N=1000 → L=2, M=500 106 nhân phức → 503,000 (~ N/2) 1. Lưu trữ t/h theo hàng 2. Tính DFT L điểm của mỗi cột 3. Nhân ma trận kết quả với hệ số pha WNpm 4. Tính DFT M điểm của mỗi hàng 5. Đọc ma trận kết quả theo cột Giải thuật 2 n = Ml + m k = qL + p 1. Lưu trữ t/h theo cột 2. Tính DFT M điểm của mỗi hàng 3. Nhân ma trận kết quả với hệ số pha WNlq 4. Tính DFT L điểm của mỗi cột 5. Đọc ma trận kết quả theo hàng Giải thuật 1 n = l + mL k = Mp + q 2011 dce 7DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Phương pháp chia-trị (4) • Mô hình tính toán DFT 6 điểm thông qua việc tính DFT 3 điểm và DFT 2 điểm • Giải thuật tính FFT cơ số 2 – Nếu N = r1r2r3rv = rv → mô hình tính DFT có cấu trúc đều (chỉ dùng 1 DFT r điểm) – r = 2 → FFT cơ số 2 – Chọn M = N/2 và L = 2 x(5) x(3) X(5) X(4) D FT 2 đ iể m x(0) x(2) x(4) x(1) W6lq X(0) X(1) X(2) X(3) x(1) x(3) x(N-1) x(0) x(1) x(2) x(N-1) x(0) x(2) x(N-2)l=0 l=1 m=0 m=1 m=M-1 f1(2n) f2(2n+1) n= 0,1, , N/2-1 Giải thuật chia theo thời gian 2011 dce 8DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ FFT cơ số 2 (1) ∑∑ ∑∑ ∑ − = + − = − = ++= += −== 1)2/( 0 )12( 1)2/( 0 2 1 0 )12()2( )()( 1,...,1,0)()( N m mk N N m mk N oldn kn N evenn kn N N n kn N WmxWmx WnxWnx NkWnxkX 2/ 2 NN WW = 1,...,1,0)()( )()()( 21 2/ 1)2/( 0 22/ 1)2/( 0 1 −=+= += ∑∑ − = − = NkkFWkF WmfWWmfkX k N km N N m k N km N N m 2/,...,1,0)()( 2/,...,1,0)()( 22 11 2/ 2/ NkkFmf NkkFmf N N DFT DFT = →← = →← k N Nk N WW −= + 2/ F1(k), F2(k) tuần hoàn chu kỳ N/2 F1(k+ N/2) = F1(k) F2(k+ N/2) = F2(k)     −=−=+ −=+= 1,..,1,0)()()( 1,..,1,0)()()( 2212 221 Nk N N Nk N kkFWkFkX kkFWkFkX 2011 dce 9DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ FFT cơ số 2 (2)     −== −== 1,..,1,0)()( 1,..,1,0)()( 222 211 Nk N N kkFWkG kkFkG    −=−=+ −=+= 1,...,1,0)()()( 1,...,1,0)()()( 2212 221 NN N kkGkGkX kkGkGkX DFT2 X(k) G2(k) G1(k) k=0,1,,(N/2-1) X(k+ N/2) DFT 2 điểm DFT 2 điểmDFT 2 điểmDFT 2 điểm 2011 dce 10DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tiếp tục phân f1(n) và f2(n) thành các chuỗi N/4 điểm • Hiệu quả FFT cơ số 2 (3)        −=+= −== −=+= −== 1,...,1,0)12()( 1,...,1,0)2()( 1,...,1,0)12()( 1,...,1,0)2()( 4222 4221 4112 4111 N N N N nnfnv nnfnv nnfnv nnfnv        −=−=+ −=+= −=−=+ −=+= 1,...,1,0)()()( 1,...,1,0)()()( 1,...,1,0)()()( 1,...,1,0)()()( 4222/2142 4222/212 4122/1141 4122/111 Nk N N Nk N Nk N N Nk N kkVWkVkF kkVWkVkF kkVWkVkF kkVWkVkF DFT N/4 điểm vij(n) Vij(k) DFT trực tiếp N=2v điểm FFT cơ số 2 Các DFT 2 điểm Nhân phức: N2 Cộng phức: N2 – N Nhân phức: (N/2)log2N Cộng phức: Nlog2N 2011 dce 11DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ FFT cơ số 2 (4) • Ví dụ: tính DFT 8 điểm x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) Phân theo thờ i gian [0,1,2,3,4,5,6,7] [0,2,4,6] [1,3,5,7] [0,4] [2,6] [1,5] [3,7] 2011 dce 12DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ FFT cơ số 2 (5) • Khối tính toán cơ bản cho DFT 2 điểm (hình con bướm) W N’ a b A = a+WN’b B = a–WN’b –1 Độ phức tạp • 1 nhân phức • 2 cộng phức N= 2v: + Log2N : tầng tính toán + N/2 : khối tính toán cơ bản cho mỗi lớp Bộ nhớ: + Vào : (a,b) – số phức + Ra : (A,B) – số phức + Có thể lưu (A,B) đè lên (a,b)  Chỉ cần N ô nhớ phức (2N ô nhớ thực)  Tính toán tại chỗ 2011 dce 13DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 0 8W 0 8W 0 8W 0 8W -1 -1 -1 -1 0 8W 2 8W 0 8W 2 8W -1 -1 -1 -1 0 8W 1 8W 2 8W 3 8W -1 -1 -1 -1 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) FFT cơ số 2 (6) 2011 dce 14DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Baseline Parallel Architecture 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Parallel FFT  Butterfly structure  Removes redundant calculation Size 16 8192 ∆ Pins 448 229K Fly 32 53K Mult Add Shift 0 0 2011 dce 15DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Parallel-Pipelined Architecture 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Size 16 8192 ∆ Pins 448 229K Fly 32 53K Mult 96 159K Add 288 480K Shift 0 0 A pipelined version  IO Bound  100% Efficient 2011 dce 16DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Địa chỉ Phân chia Địa chỉ Phân chia Địa chỉ 000 000 000 001 010 100 010 100 010 011 110 110 100 001 001 101 011 101 110 101 011 111 111 111 FFT cơ số 2 (7) • Thứ tự chuỗi dữ liệu vào sau khi phân (v-1) lần – Biểu diễn các chỉ số ở dạng nhị phân – Chuỗi sau khi phân chia sẽ là lấy theo thứ tự đảo các bit Bộ nhớ Bộ nhớ Bộ nhớ x(0) x(0) x(0) x(1) x(2) x(4) x(2) x(4) x(2) x(3) x(6) x(6) x(4) x(1) x(1) x(5) x(3) x(5) x(6) x(5) x(3) x(7) x(7) x(7) 2011 dce 17DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ FFT cơ số 2 (8) • Phân chia theo tần số – Phương pháp chia và trị – M = 2, L = N/2 – Chuỗi dữ liệu nhập được sắp xếp theo cột – Phân chia X(k) thành X(2k) và X(2k+1) – Sau đó có thể phân chia tiếp tục mỗi X(k chẵn) và X(k lẻ) a b A = (a+b) WN’ B = (a–b)WN’–1 W N’ X(0) X(3) X(6) X(5) X(2) X(1) X(4) X(7) 1 8W 2 8W 3 8W 0 8W -1 -1 -1 -1 DFT 4 điểm DFT 4 điểm x(0) x(5) x(3) x(6) x(1) x(4) x(2) x(7) 2011 dce 18DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ FFT cơ số 4 (1) x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(N-4) x(N-3) x(N-2) x(N-1) x(0) x(2) x(4) x(N-1) L = 4, M = N/4 N = 4v x(4n) x(4n+1) x(4n+2) x(4n+3) l=0 l=1 l=2 l=3 m=0 m=1 m=(N/4)-1 n = 4m + l k = (N/4)p + q n = 0,1,,N/4-1 l,p = 0,1,2,3 m,q = 0,1,,N/4 – 1 2011 dce 19DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ FFT cơ số 4 (2) [ ]    += +=    −= = = == ∑ ∑ = = )(),( )4(),( )1(,..,1,0 3,2,1,0 ),(),( 3,2,1,0),(),( 4 4 4/ 0 4/ 3 0 4 qpXqpX lmxmlx q l WmlxqlF pWqlFWqpX N N N m mq N l lplq N DFT N/4 điểm                           −− −− −− =             ),3( ),2( ),1( ),0( 11 1111 11 1111 ),3( ),2( ),1( ),0( 3 2 0 qFW qFW qFW qFW jj jj qX qX qX qX q N q N q N N lp L L l M m mq M lq N WWmlxWqpX ∑ ∑ − = − =             = 1 0 1 0 ),(),( 2011 dce 20DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ FFT cơ số 4 (3) Dạng rút gọn 0 NW q NW q NW 2 q NW 3 -j -1 j -1 1 -1 j -1 -j 0 q 2q 3q 2011 dce 21DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ FFT cơ số 4 (4)                           − −             − − =             ),0( ),0( ),0( ),0( 1010 1010 0101 0101 010 0101 010 0101 ),3( ),2( ),1( ),0( 3 2 0 qFW qFW qFW qFW j j qX qX qX qX q N q N q N N Độ phức tạp: 1 khối tính toán cần + 3 nhân phức + 12 cộng phức N=4v + Tầng tính toán : v = log4N + Mỗi tầng có : N/4 khối tính toán Biểu diễn lại nhân ma trận (3N/8)log2N : Nhân phức (giảm 25% vs FFT2) Nlog2N : Cộng phức (bằng FFT2) 3vN/4 = (3N/8)log2N : Nhân phức (giảm 25% vs FFT2) 12vN/4 = (3N/2)log2N : Cộng phức (tăng 50% vs FFT2) 2011 dce 22DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hiện thực các giải thuật FFT • FFT cơ số 2 – Tính toán hình bướm: (N/2)log2N lần – Hệ số quay WNk: được tính một lần và lưu trong bảng – Bộ nhớ: 2N nếu muốn việc tính toán được thực hiện tại chỗ • 4N nếu muốn đơn giản hóa các tác vụ chỉ số và điều khiển; đồng thời cho phép chuỗi nhập và xuất theo đúng thứ tự • IDFT – Khác nhau cơ bản giữa việc tính DFT và IDFT là hệ số 1/N và dấu của hệ số pha WN • Đảo chiều sơ đồ tính DFT, đổi dấu hệ số pha, và chia kết quả cuối cùng cho N → IDFT • DFT với số điểm khác 2v hoặc 4v → đệm thêm các số 0 • Độ phức tạp – Tác vụ số học (nhân phức, cộng phức) – Cấu trúc hiện thực của giải thuật (qui tắc vs bất qui tắc) – Kiến trúc của các bộ DSPs (xử lý song song các tác vụ) 10)(1)( 1 0 −≤≤= ∑ − = − NnWkX N nx N k kn N 2011 dce 23DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Ứng dụng của các giải thuật FFT • Tính DFT của 2 chuỗi thực – x1(n) và x2(n): chuỗi thực độ dài N cần tính DFT – Định nghĩa chuỗi x(n) = x1(n) + jx2(n) 0 ≤ n ≤ N – 1 – X(k) = X1(k) + jX2(k) (tính tuyến tính của DFT) j nxnxnx nxnxnx 2 )()()( 2 )()()( * 2 * 1 − = + = [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ })()( 2 1)( )()( 2 1)( * 2 * 1 nxDFTnxDFTkX nxDFTnxDFTkX −= += [ ] [ ])()()( )()()( * 2 1 2 * 2 1 1 kNXkXkX kNXkXkX −−= −+= )()( ** kNXnx NDFT − →← 2011 dce 24DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Ứng dụng của các giải thuật FFT • Tính DFT của chuỗi thực 2N điểm – g(n): chuỗi thực độ dài 2N cần tính DFT – Tách thành 2 chuỗi x1(n) = g(2n) và x2(n) = g(2n+1) 0 ≤ n ≤ N-1 – Định nghĩa chuỗi x(n) = x1(n) + jx2(n) 0 ≤ n ≤ N-1 – X(k) = X1(k) + jX2(k)(tính tuyến tính của DFT) [ ] [ ])()()( )()()( * 2 1 2 * 2 1 1 kNXkXkX kNXkXkX −−= −+= ∑∑ ∑∑ − = − = − = + − = += ++= 1 0 22 1 0 1 1 0 )12( 2 1 0 2 2 )()( )12()2()( N n nk N k N N n nk N N n kn N N n nk N WnxWWnx WngWngkG 1,,1,0)()()( 1,,1,0)()()( 221 221 −=−=+ −=+= NkkXWkXNkG NkkXWkXkG k N k N   2011 dce 25DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Ứng dụng của các giải thuật FFT • Lọc tuyến tính các chuỗi dữ liệu dài – Overlap-add – Overlap-save • Phương pháp – h(n) – Đáp ứng xung đơn vị của bộ lọc (chiều dài M) • Được đệm thêm L-1 số không sao cho N = L + M – 1 = 2v • H(k): DFT N điểm của h(n), theo thứ tự đảo nếu h(n) được sắp theo thứ tự thuận (Giải thuật FFT suy giảm theo tần số) – xm(n) – khối dữ liệu chiều dài L (đã được phân cắt) • Được đệm thêm M–1 điểm (giá trị tùy theo PP lọc được dùng) • Xm(k): DFT N điểm của xm(n), cũng theo thứ tự đảo (Giải thuật FFT suy giảm theo tần số) – Ym(k) = H(k)Xm(k) • H(k) và Xm(k) cùng có thứ tự đảo → Ym(k) theo thứ tự đảo • ym(n) = IDFTN{Ym(k)} sẽ đúng theo thứ tự thuận nếu dùng giải thuật FFT suy giảm theo thời gian – Không cần thiết đảo vị trí các dữ liệu trong việc tính DFT và IDFT • Tính tương quan (tương tự) + FFTDFT 2011 dce 26DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Phương pháp lọc tuyến tính • FFT không hiệu quả khi tính DFT (IDFT) tại một số điểm (< log2N) → tính trực tiếp • Giải thuật Goertzel – Dựa vào tính chu kỳ của WNk và biểu diễn việc tính toán DFT như lọc tuyến tính Nnk kn Nk k N m mnk Nk N m mNk N N m km N kN N nykX nuWnhvói nhnxWmxnyĐăt WmxWmxWkX = − − = −− − = −− − = − =⇒ = == == ∑ ∑∑ )()( )()( )(*)()()( )()()( 1 0 )( 1 0 )( 1 0 11 1)( −−− = zW zH k N k Một pole trên vòng tròn đơn vị tại tần số ωk=2πk/N 0)1()()1()( =−+−= − kk k Nk ynxnyWny Thay vì tính tổng chập trực tiếp, ta có thể dùng PTSP Việc tính DFT tại một điểm k có thể được thực hiện bằng cách cho t/h đi vào bộ cộng hưởng một pole tại tần số ωk=2πk/N 2011 dce 27DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Giải thuật Goertzel • Kết hợp từng cặp các bộ cộng hưởng có pole liên hợp phức • Hiện thực bằng dạng chuẩn tắc (dạng II) – Với đ/k đầu • vk(n) được lặp lại cho n = 0, 1, , N – Mỗi vòng cần 1 phép nhân thực • yk(n) được tính duy nhất một lần cho n = N • Nếu x(n) là t/h thực, cần N+1 phép nhân thực để tính X(k) và X(N-k) {do tính đối xứng} • Giải thuật Goertzel chỉ thích hợp khi số giá trị DFT cần tính khá nhỏ (≤ log2N) NnnvWnvny Nnnxnvnvnv k k Nkk kkN k k =−−= =+−−−= )1()()( ,...,1,0)()2()1(cos2)( 2π 0)2()1( =−=− kk vv 21 1 )/2cos(21 1)( −− −− +− − = zzNk zWzH k N k π + + )cos(2 2Nkπ Z–1 Z–1 + k nW –1 yk(n)x(n) – vk(n) 2011 dce 28DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Giải thuật BĐ Chirp-z (1) • DFT N điểm ~ X(zk) với zk = ej2πkn/N , k=0,1,,N-1 (các điểm cách đều trên vòng tròn đơn vị) • BĐ Z của x(n) tại các điểm zk • Nếu zk = rej2πkn/N (zk là N điểm cách đều nhau trên vòng tròn bk r) – Việc tính DFT có thể được thực hiện bằng giải thuật FFT cho chuỗi x(n)r-n • Tổng quát, zk nằm trên cung xoắn ốc bắt đầu từ điểm (đi vào hoặc đi ra gốc toạ độ) 1,...,1,0)()( 1 0 −==∑ − = − LkznxzX N n n kk 1,...,1,0])([)( 1 0 /2 −==∑ − = −− NkernxzX N n Nknjn k π 0 00 θjerz = 1,,1,0)( 00 00 −== LkeRerz kjj k  φθ R0 = r0 = 1 Φ0 = θ0 = 0 Vòng tròn đơn vị Im(z) Re(z) r0 R0 = 1, r0 < 1 Φ0 = θ0 = 0 Im(z) Re(z) R0 > 1 Im(z) Re(z) R0 < 1 Im(z) Re(z) θ0 r0 2011 dce 29DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Giải thuật BĐ Chirp-z (2) 1,,1,0)()()( ))(()( )( 1,,1,0 )( )()( 1 0 2/ 0 2/ 0 2 0 2 0 −=−= = = = −== ∑ − = −− Lknkhngky Vernxng Vnh eRV Lk kh kyzX N n nnj n j k   θ φ njnnjnj eeenhR ωφφ ≡==⇒= )2/(2/0 0 2 0)(1 2/0φω n= Tần số của t/h mũ phức h(n), tăng tuyến tính theo thời gian → h(n): chirp signal BĐ chirp-z 2011 dce 30DSP – Giải thuật cho Biến đổi Fourier ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Giải thuật BĐ Chirp-z (3) • Xác định tổng chập vòng của chuỗi g(n) N điểm và chuỗi h(n) M điểm (M > N) – N-1 điểm đầu là các điểm lặp lại – M-(N-1) điểm còn lại chứa kết quả • Giả sử M = L + (N–1) • M điểm của chuỗi h(n) được xác định –(N–1) ≤ n ≤ (L–1) • Định nghĩa chuỗi M điểm h1(n) = h(n–N+1) n = 0,1,,M–1 • H1(k) = DFTM{h1(n)} • G(k) = DFTM{g(n)} (sau khi đã đệm thêm vào g(n) L-1 số 0) • Y1(k) = G(k)H(k) → y1(n) = IDFT{Y1(k)} n = 0,1,,M–1 • N-1 điểm đầu tiên của y1(n) là các điểm lặp → loại bỏ chúng • Các điểm kết quả là giá trị của y1(n) khi N–1 ≤ n ≤ M–1 – y(n) = y1(n+N-1) n = 0,1,,L–1 • X(zk)= y(k)/h(k) k = 0,1,,L–1 1,,1,0)()()( 1 0 −=−=∑ − = Lknkhngky N n 