Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 4: Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số - Đinh Đức Anh Vũ

BK TP.HCM 2011 dce Chương 4 Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ 2011 dce 2DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Nội dung • Phân tích tần số của t/h LTTG • Phân tích tần số của t/h RRTG • Các tính chất của BĐ Fourier cho các t/h RRTG • Đặc trưng miền tần số của hệ LTI • Bộ lựa chọn tần số 2011 dce 3DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Tại sao miền tần số ? F Công cụ phân tích tần số - Chuỗi Fourier – tín hiệu tuần hoàn - Biến đổi Fourier – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn (J.B.J. Fourier: 1768 - 1830) F Tín hiệu t/h hình SIN: F0 t/h hình SIN: F1 Tần số t/h hình SIN: F2 F Tín hiệu X F-1 Tín hiệu X F-1 Công cụ tổng hợp tần số - Chuỗi Fourier ngược – tín hiệu tuần hoàn - Biến đổi Fourier ngược – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn 2011 dce 4DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Đáp ứng của hệ LTI với t/h sin Biên độ: Co/giãn lượng α Pha: Lệch lượng θ Tần số: Không đổi ω0 T/h hình Sin njAe 0ω T/h hình Sin )( 0 θωα +njeA 2011 dce 5DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Phân tích h/t ở miền tần số FTín hiệu t/h hình SIN: F0 t/h hình SIN: F1 t/h hình SIN: F2 Tần số Phổ Phổ (spectrum): Nội dung tần số của tín hiệu Phân tích phổ: Xác định phổ của t/h dựa vào công cụ toán học Ước lượng phổ: Xác định phổ của t/h dựa trên phép đo t/h F-1 x(t) x1(t): F0 x0(t): 0 x-1(t):-F0 Tần số Phổ Tổng hợp tần số: Xác định t/h ban đầu từ các phổ tần số 2011 dce 6DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Chuỗi Fourier – x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản Tp = 1/F0 (F0: tần số) – Đặt • xk(t) tuần hoàn với chu kỳ Tk=Tp/k (kF0: tần số) • Đóng góp cho x(t) một lượng ck (Tần số kF0 có đóng góp một lượng ck) – Hệ số chuỗi Fourier T/h LTTG và tuần hoàn (1) ∑ +∞ −∞= = k tkFj kectx 0 2)( π ∫ −= pT tkFj p k dtetxT c 02)(1 π Phương trình tổng hợp Phương trình phân tích tkFj kk ectx 0 2)( π= ∑ +∞ −∞= = k k txtx )()( kj kk ecc θ= Đóng góp về biên độ Đóng góp về pha 2011 dce 7DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Đ/k Dirichlet: bảo đảm chuỗi Fourier hội tụ về x(t) ∀t – x(t) có số hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ – x(t) có số hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ – x(t) khả tích phân tuyệt đối trong một chu kỳ, tức • Đ/k Dirichlet chỉ là đ/k đủ – T/h biểu diễn bằng chuỗi Fourier chưa chắc thỏa đ/k Dirichlet • Nếu x(t) là t/h thực – ck và c-k liên hợp phức ( ) – Biểu diễn rút gọn của chuỗi F – Do cos(2πkF0t + θk) = cos2πkF0t cosθk – sin2πkF0t sinθk ⇒ Cách biểu diễn khác của chuỗi F Với a0 = c0 ak = │ck│cosθk bk = │ck│sinθk ∞<∫ pT dttx )( ∑ ∞ = ++= 1 00 )2cos(2)( k kk tkFcctx θπ kj kk ecc θ= ∑ ∞ = −+= 1 000 )2sin2cos(2)( k kk tkFbtkFaatx ππ T/h LTTG và tuần hoàn (2) 2011 dce 8DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Ví dụ 1: Phân tích tín hiệu sau ra các thành phần tần số x(t) = 3Cos(100πt – π/3) T/h LTTG và tuần hoàn (3) )100( 2 3)100( 2 3 )100( 2 3)100( 2 3 33 33)( tjjtjj tjtj eeee eetx ππ ππ ππ ππ −− −−− += +=     = = ⇒ − − j j ec ec 3 3 2 3 1 2 3 1 π π Đồng nhất với PT tổng hợp F Tín hiệu miền thời gian Phổ tần số 50Hz đóng góp c1 -50Hz đóng góp c-1 2011 dce 9DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h LTTG và tuần hoàn (4) F Tín hiệu Tần số 50Hz (c1) - 50Hz (c-1) Phổ pha Phổ biên độ k -1 0 1 |Ck| 3/2 k -1 1 |θk| π/3 -π/3 0 2011 dce 10DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h LTTG và tuần hoàn (5) • Ví dụ 2: Cho biết t/h x(t) tuần hoàn, tần số cơ bản: 100Hz, gồm các tần số và hệ số đóng góp của chúng như sau 100 Hz, đóng góp: 2 -100 Hz, đóng góp: 2 200 Hz, đóng góp: 5 -200Hz, đóng góp: 5 Xác định công thức của x(t) )400cos(10)200cos(4 5522)( 2002200210021002 tt eeeetx tjtjtjtj ππ ππππ += +++= −−Theo PT tổng hợp: F-1 x(t) 100Hz : 2 -100Hz : 2 -200Hz : 5 200Hz : 5 2011 dce 11DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h LTTG và tuần hoàn (6) • Công suất trung bình – Do đó • Phổ mật độ công suất – Công suất trung bình tổng cộng bằng tổng các công suất trung bình của các t/h hài tần – Giản đồ công suất theo tần số – Phổ vạch: các vạch cách đều đoạn F0 – Hàm chẵn (do c-k = c*k đ/v t/h thực) ∫∫ == pp TpTp x dttxtxT dttx T P )()(1|)(|1 *2 [ ]∑ ∫ ∫ ∑ ∞+ −∞= − +∞ −∞= −         =       = k T tFj p k T k tFj k p x p p dtetx T c dtectx T P 0 0 2* 2* )(1 )(1 π π ∑ +∞ −∞= −= k tkFj kectx 0 2** )( π ∑∫ +∞ −∞= == k k Tp x cdttxT P p 22 ||)(1 Công thức quan hệ Parseval 2011 dce 12DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h LTTG và tuần hoàn (7) • Ví dụ 1: tính công suất trung bình của x(t) = 3Cos(100πt – π/3) – Theo VD trên, và – Theo Parseval, Px = │c–1│2 + │c1│2 = 4.5 • Ví dụ 2: cho x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ Tp. Phân tích x(t) ra các thành phần tần số jj ecec 33 231231 ππ == − −    > ≤ = 2/||,0 2/||, )( τ τ t tA tx Miền thời gian x(t) t -Tp Tp-τ/2 τ/20 A Miền tần số pp T Tp T AAdt T dttx T c p p ττ τ ∫∫ −− === 2/ 2/ 2/ 2/ 0 1)(1 τπ τπτ π π τπτπ τ τ πτ τ π 0 0 0 2/ 2/0 22/ 2/ 2 sin 2 2 1 00 0 0 kF kF T A j ee kFT A kFj e T AdtAe T c p kFjkFj p tkFj p tkFj p k = − =       − == − − − − −∫ 2011 dce 13DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h LTTG và tuần hoàn (8) Minh họa ck ở miền tần số τπ τπτ 0 0sin kF kF T Ac p k = 2011 dce 14DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h LTTG và tuần hoàn (9) Tổng hợp x(t) từ các thành phần hình Sin Thông số: Tp = 50s τ = 0.2Tp A = 1 Tổng hợp từ 21 thành phần 2011 dce 15DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h LTTG và tuần hoàn (10) Tổng hợp từ 101 thành phần Tổng hợp từ 2001 thành phần 2011 dce 16DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h LTTG và không tuần hoàn (1) • T/h tuần hoàn xp(t) – Có được do lặp lại t/h x(t) – Tuần hoàn chu kỳ cơ bản Tp – Có phổ vạch: khoảng cách vạch F0=1/Tp • T/h không tuần hoàn x(t) – Có thể coi như xp(t) khi Tp → ∞ – Khoảng cách vạch F0 = 1/Tp → 0 ⇒ Phổ của tín hiệu không tuần hoàn là phổ liên tục 2011 dce 17DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Biến đổi Fourier – x(t): LTTG, không tuần hoàn • Hệ số Fourier – Đ/k Dirichlet • x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn hữu hạn • x(t) có hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu • x(t) khả tích phân tuyệt đối, nghĩa là ∫ +∞ ∞− −= dtetxFX Ftj π2)()( ∫ +∞ ∞− = dFeFXtx Ftj π2)()( Phương trình phân tích (biến đổi Fourier thuận) Phương trình tổng hợp (biến đổi Fourier ngược) )()(1 000 kFXFkFXT c p k == ∞<∫ +∞ ∞− dttx )( T/h LTTG và không tuần hoàn (2) 2011 dce 18DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h LTTG và không tuần hoàn (3)    > ≤ = 2/||,0 2/||, )( τ τ t tA tx τπ τπτ π F FA dtAeFX Ftj sin )( 2 = = ∫ +∞ ∞− − x(t) t-τ/2 τ/20 A Miền thời gian Miền tần số F • Ví dụ: cho x(t) không tuần hoàn. Phân tích x(t) ra các thành phần tần số 2011 dce 19DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h LTTG và không tuần hoàn (4) F x(t) Tần số Phổ Thông số: A = 1 τ = 10s Phân tích x(t) thành các thành phần tần số 2011 dce 20DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Năng lượng Do đó – Bảo toàn năng lượng trong miền thời gian và miền tần số – Phổ mật độ năng lượng Sxx(F) = |X(F)|2 • Không chứa phổ pha → không được dùng để khôi phục lại x(t) – Nếu x(t) là t/h thực ∫ ∫∫ ∞+ ∞− − +∞ ∞− +∞ ∞− = == dFeFXtx dttxtxdttxE Ftj x π2** *2 )()( )()(|)(| ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− − +∞ ∞− +∞ ∞− −       =       = dtetxdFFX dtdFeFXtxE Ftj Ftj x π π 2* 2* )()( )()( ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− == dFFXdttxEx 22 )()( Công thức quan hệ Parseval )()( )()( )()( FSFS FXFX FXFX xxxx −=    −∠=−∠ =− T/h LTTG và không tuần hoàn (5) 2011 dce 21DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ F/F-1 F/F-1 T/h LTTG và không tuần hoàn (6) 2011 dce 22DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • x(n) là t/h tuần hoàn chu kỳ N x(n+N) = x(n) ∀n • Chuỗi Fourier cho t/h RRTG có tối đa N thành phần tần số (do tầm tần số [0, 2π] hoặc [-π, π]) • Chuỗi Fourier rời rạc (DTFS) • Hệ số Fourier – Mô tả x(n) trong miền tần số (ck biểu diễn biên độ và pha của thành phần tần số sk(n) = ej2πkn/N) – ck+N = ck⇒ Phổ của t/h tuần hoàn x(n) với chu kỳ N là một chuỗi tuần hoàn cũng với chu kỳ N ∑ − = = 1 0 2)( N k nj k N k ecnx π ∑ − = −= 1 0 2)(1 N n nj k N k enx N c π Phương trình tổng hợp Phương trình phân tích T/h RRTG và tuần hoàn (1) 2011 dce 23DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Ví dụ: Xác định và vẽ phổ cho các t/h sau T/h RRTG và tuần hoàn (2) }1201{:1,:)(. )cos(3)(. )2cos(3)(. 3 ↑ = = kychuhoantuannxc nnxb nnxa π π 2/1,2 00 == ftucπω )2cos(3)(. nnxa π= f0 : không hữu tỉ → x(n) không tuần hoàn → Phổ gồm chỉ một tần số đơn: f0Phổ Tần số πω 20 = 3 2011 dce 24DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và tuần hoàn (3) )cos(3)(. 3 nnxb π= x(n) = 3cos(2πn/6) ⇒ f0 = 1/6 ⇒ N = 6 ⇒ x(n) tuần hoàn chu kỳ N=6 Tuy nhiên So trùng với phương trình tổng hợp Các hệ số đóng góp 5..0)(6 1 5 0 2 6 == ∑ = − kenxc n nj k kπ njnj ee nnx 6 1 6 1 22 2 3 2 3 ) 6 12cos(3)( ππ π −+= = 2 3 51 4320 0 == ==== cc cccc 2011 dce 25DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và tuần hoàn (4) Tín hiệu trong miền thời gian: (3 chu kỳ) Tín hiệu trong miền tần số )cos(3)(. 3 nnxb π= 2011 dce 26DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và tuần hoàn (5) )21( 4 1 3..0)( 4 1 2 3 4 3 0 2 kjkj n nj k ee kenxC k ππ π −− = − ++= == ∑ 4 5 4 3 4 2 4 1 4 1 3 2 1 4 1 2 4 2 4 1 4 1 1 4 1 0 )21( )121( )21( 1)121( π π jj jj ejC C ejC C ==−−= =−+= ==+−= =++= −− − }1201{:1,:)(. ↑ kychuhoantuannxc 2011 dce 27DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và tuần hoàn (6) • Công suất trung bình – Do đó – Chuỗi │ck│2: phổ mật độ công suất của t/h tuần hoàn • Năng lượng t/h trong một chu kỳ ∑ ∑∑ − = − − = − = = == 1 0 /2** 1 0 * 1 0 2 )( )()(1)(1 N k Nknj k N n N n x ecnx nxnx N nx N P π ∑∑ − = − = == 1 0 2 1 0 2)(1 N k k N n x cnxN P ∑ ∑ ∑ ∑ − = − = − − = − = −       =       = 1 0 1 0 2 * 1 0 1 0 2 * )(1 )(1 N k N n N knj k N n N k N knj kx enx N c ecnx N P π π Công thức quan hệ Parseval ∑∑ − = − = == 1 0 2 1 0 2)( N k k N n N cNnxE 2011 dce 28DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Nếu x(n) thực [x*(n) = x(n)], ⇒ ck* = c-k – Tức – Ngoài ra, từ cN+k = ck, ta cũng có – Đ/v t/h thực, phổ ck (k=0,1,,N/2 khi N chẵn hoặc k=0,1,,(N-1)/2 khi N lẻ) hoàn toàn có thể đặc tả cho t/h trong miền tần số – Khi đó, chuỗi Fourier có thể được rút gọn    ∠=∠− = − − lexungdoiphaPhocc chanxungdoidobienPhocc kk kk    −∠=∠ = − − kNk kNk cc cc ∑ ∑ = =       −+= ++= L k kk L k kk kn N bkn N aa kn N ccnx 1 0 1 0 2sin2cos )2cos(2)( ππ θπ             = = = = − leN chanN L cb ca ca N N kkk kkk : : sin2 cos2 2 1 2 00 θ θ Với T/h RRTG và tuần hoàn (7) 2011 dce 29DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và tuần hoàn (8) M iền thời gian M iền tần số                      ±±= = − − khack N k N kL e N A NNk N AL c N Lkjk π π π sin sin ,2,,0 )1(  ** *** * * * * * ** *** * * * * * ** *** * A x(n) n0 L N-N 2011 dce 30DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Chỉ xét t/h năng lượng x(n) • Biến đổi Fourier – X(ω): nội dung tần số của t/h – Khác biệt cơ bản giữa BĐ Fourier của t/h năng lượng RRTG và t/h năng lượng LTTG • Tầm tần số – T/h LTTG: -∞ → +∞ – T/h RRTG: 0 → 2π hoặc –π → π [X(ω) tuần hoàn chu kỳ 2π] • Cách tính: dùng tích phân thay vì dùng tổng • Hệ số Fourier T/h RRTG và không tuần hoàn (1) ∑ ∞ −∞= −= n njenxX ωω )()( ∫= π ω ωω π 2 )( 2 1)( deXnx nj Phương trình phân tích Phương trình tổng hợp 2011 dce 31DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Ví dụ: xác định nội dung tần số của tín hiệu sau x(n) = { 0 1 1 1^ 1 1 0 } T/h RRTG và không tuần hoàn (2) )2cos(2cos21)( 1)( 22 ωωω ω ωωωω ++= ++++= −− X eeeeX jjjj Chú ý: X(ω) tuần hoàn Chu kỳ: 2π 2011 dce 32DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và không tuần hoàn (3) F x(n) Tần số 2011 dce 33DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Ví dụ: cho X(ω), tìm t/h trong miền thời gian T/h RRTG và không tuần hoàn (4) ∫ ∫ − − = = c c de deXnx nj nj ω ω ω ω π π ω π ωω π 2 1 )( 2 1)( X(ω) ω -ωc ωc0 1       ≠ = = 0sin 0 )( n n n n nx c cc c ω ω π ω π ω 2011 dce 34DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Sự hội tụ của BĐ Fourier – Trong BĐ Fourier ngược (PT phân tích), chuỗi XN(ω) được giả thiết hội tụ về X(ω) khi N→∞ – Ý nghĩa: giá trị sai số X(ω) – XN(ω) sẽ bằng 0 khi N→∞ – XN(ω) hội tụ nếu x(n) khả tổng tuyệt đối • Đ/k đủ để tồn tại BĐ Fourier RRTG • Tương đương đ/k Dirichlet thứ 3 cho BĐ Fourier của t/h LTTG (đ/k 1 và 2 không có do bản chất của t/h RRTG) – Nếu x(n) khả tổng bình phương tuyệt đối (i.e. x(n) có năng lượng hữu hạn) • Đ/k hội tụ được giảm nhẹ • Năng lượng của sai số X(ω) – XN(ω) sẽ tiến về 0, nhưng không nhất thiết giá trị sai số tiến về 0 – T/h năng lượng có BĐ Fourier T/h RRTG và không tuần hoàn (5) ∑ −= −= N Nn nj N enxX ωω )()( 0)()(lim =− ∞→ ωω NN XX ∞<≤= ∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞= − nn nj nxenxX )()()( ωω 0)()(lim 2 =−∫ − ∞→ π π ωωω dXX NN 2011 dce 35DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Năng lượng – Do đó – X(ω) là số phức • Phổ biên độ • Phổ pha • Phổ mật độ năng lượng T/h RRTG và không tuần hoàn (6) ∫ ∑∑ − − +∞ −∞= +∞ −∞= = == π π ω ωω π deXnx nxnxnxE nj nn x )( 2 1)( )()()( ** *2 ∫∑ − +∞ −∞= == π π ωω π dXnxE n x 22 )( 2 1)( )(|)(|)( ωωω Θ= jeXX )()()()( *2 ωωωω XXXSxx == )(ωX )(ωΘ ∫ ∑ ∑ ∫ − ∞ −∞= − ∞ −∞= − −       =       = π π ω π π ω ωω π ωω π denxX deXnxE n nj n nj x )()( 2 1 )( 2 1)( * * Công thức quan hệ Parseval 2011 dce 36DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và không tuần hoàn (7) • Ví dụ – Cho tín hiệu x(n) = anu(n), –1< a <1 – Yêu cầu: a) Lập công thức biểu diễn tín hiệu trong miền tần số ? b) Lập công thức biểu diễn phổ biên độ, pha và năng lượng? c) Vẽ 3 phổ nói trên, với a = 0.9, a = –0.9? d) Tần số (π/2) có mặt trong sự thành lập tín hiệu x(n) không? Nếu có thì đóng góp biên độ và pha là bao nhiêu? ω ωω ω ω j n nj n njn ae X aeeaX − ∞ = − ∞ = − − = == ∑∑ 1 1)( )()( 00 a) X(ω) = ? 2011 dce 37DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và không tuần hoàn (8) b) |X(ω)|, Θ(ω), Sxx(ω) = ? 2 2 2 cos21 sin)( cos21 )cos1()( cos21 )sin()cos1( )1)(1( )1( 1 1)( aa aX aa aX aa aja aeae ae ae X I R jj j j +− − = +− − = +− −− = −− − = − = −− ω ωω ω ωω ω ωωω ωω ω ω 2 * cos21 1 )1)(1( 1)()()( aaaeae XXS jjxx +− = −− == − ω ωωω ωω )(tan)( )()(|)(| )( )(1 22 ω ωω ωωω R I X X IR XXX −=Θ += 2011 dce 38DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và không tuần hoàn (9) )(tan)( 1 1|)(| 1 1 1 1)( 1 2 22 2 2 a a X jaae X j − − −=Θ + = + = − = π π π π d) ω=π/2 │X(π/2)│≠ 0 Tần số π/2 có mặt trong tín hiệu c) Vẽ phổ 2011 dce 39DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG và không tuần hoàn (10) • Nếu x(n) thực – X*(ω) = X(–ω) – Sxx(–ω) = Sxx(ω) • Ví dụ L=5 A=1    −≤≤ = otherwise LnA nx ,0 10, )( )sin( )sin()( 2 2)1(2 ω ωω ω L LjAeX −−=    ∠=−∠ =− )()( )()( ωω ωω XX XX 2011 dce 43DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Phân loại t/h ở miền tần số T/h không tuần hoàn T/h tuần hoàn LTTG Time-limited: x(t)=0 với |t|>τ Bandlimited: X(F)=0 với |F| > B Time-limited: xp(t)=0 với τ<|t|<Tp/2 Bandlimited: ck=0 với |k|>M RRTG Time-limited: x(n)=0 với |n|>N Bandlimited: |X(ω)|=0 với ω0<|ω|<π Time-limited: x(n)=0 với n0<|n|<N Bandlimited: ck=0 với k0<|k|<N • Phân loại t/h dựa vào phổ mật độ công suất/năng lượng – T/h tần số cao: phổ tập trung ở tần số cao – T/h tần số thấp: phổ tập trung ở tần số 0 – T/h tần số trung bình (t/h bandpass): phổ tập trung trong dải tầm tần số • Băng thông – Tầm tần số mà phổ mật độ công suất (năng lượng) của t/h tập trung F1≤F≤F2 – Trong trường hợp t/h bandpass, nếu băng thông của t/h quá nhỏ (hệ số 10) so với tần số giữa (F1+F2)/2: băng thông hẹp. Ngược lại là băng thông rộng – T/h băng thông giới hạn là t/h có phổ bằng không bên ngoài tầm tần số 2011 dce 44DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • 2 tính chất đặc trưng cho t/h trong miền thời gian (mặt toán học và mặt vật lý) – Biến thời gian: liên tục hay rời rạc – Tính chu kỳ: tuần hoàn hay không tuần hoàn • Biến thời gian – T/h LTTG • Phổ không tuần hoàn, không phụ thuộc t/h miền thời gian tuần hoàn hay không (do hàm mũ ej2πFt liên tục theo thời gian, không tuần hoàn theo F) • Dải tầm tần số F: [0..∞] – T/h RRTG • Phổ tuần hoàn chu kỳ ω = 2π • Dải tầm tần số F: [- π.. π] • Tính chu kỳ – T/h tuần hoàn • Phổ rời rạc (phổ vạch) • Khoảng cách phổ : ΔF=1/Tp (t/h LTTG) hoặc Δf=1/N (t/h RRTG) – T/h năng lượng không tuần hoàn • Phổ liên tục (do hàm mũ ej2πFt hoặc ejωn liên tục, không tuần hoàn theo F hoặc ω) Đối ngẫu Tuần hoàn với chu kỳ α trong một miền thì sẽ rời rạc với khoảng cách 1/α trong miền khác, và ngược lại 2011 dce 45DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • T/h RRTG, không tuần hoàn và có năng lượng hữu hạn • Tương tự cho t/h LTTG, không tuần hoàn và có năng lượng hữu hạn • Qui ước – BĐ Fourier thuận – BĐ Fourier nghịch – Cặp BĐ Fourier • Chú ý: X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π ∑ ∞ −∞= −=≡ n njenxnxFX ωω )()}({)( ∫=≡ − π ω ωω π ω 2 1 )( 2 1)}({)( deXXFnx nj )()( ωXnx F→← T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 46DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính đối xứng – Nếu t/h có một số đặc tính đối xứng trong miền thời gian, việc xem xét các đ/k đối xứng trên BĐ Fourier của nó cho phép đơn giản hóa các phương trình BĐ Fourier thuận và nghịch – Giả sử • x(n) = xR(n) + jxI(n) • X(ω) = XR(ω) + jXI(ω) và e–jω = cosω – jsinω (ejω = cosω + jsinω), ta có [ ] [ ]       −−= += ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= n IRI n IRR nnxnnxX nnxnnxX ωωω ωωω cos)(sin)()( sin)(cos)()( [ ] [ ]        += −= ∫ ∫ π π ωωωωω π ωωωωω π 2 2 cos)(sin)( 2 1)( sin)(cos)( 2 1)( dnXnXnx dnXnXnx IRI IRR BĐ Fourier thuận BĐ Fourier nghịch T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 47DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính đối xứng (tt) – T/h thực • xR(n) = x(n) và xI(n) = 0, do đó • Do • Do [ ] [ ] [ ] 2 1( ) ( ) co s ( )sin 2 ( )co s ( )sin R I R I x n X n X n d X n và X n là hàmchan π ω ω ω ω ω π ω ω ω ω  = −    ∫    −=− =− )()( )()( ωω ωω II RR XX XX )()(* ωω −= XX Đối xứng Hermitian      =∠ += − )( )(tan)( )()()( 1 22 ω ωω ωωω R I IR X XX XXX    −∠=−∠ =− )()( )()( ωω ωω XX XX       −= = ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= n I n R nnxX nnxX ωω ωω sin)()( cos)()( [ ]∫ −= π ωωωωω π 0 sin)(cos)(1)( dnXnXnx IR T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 48DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính đối xứng (tt) – T/h thực và chẵn • xR(n) = x(n) và x(–n) = x(n), nên [x(n)cosωn] chẵn và [x(n)sinωn] lẻ • Do đó – T/h thực và lẻ • xR(n) = x(n) và x(–n) = –x(n), nên [x(n)cosωn] lẻ và [x(n)sinωn] chẵn • Do đó 1 0 ( ) (0) 2 ( )cos ( ) ( ) 0 1( ) ( ) cos R n I R X x x n n hàmchan X x n X nd π ω ω ω ω ω ω π ∞ =  = +   = = ∑ ∫ ∫ ∑ −=     −= = ∞ = π ωωω π ωω ω 0 1 sin)(1)( )(sin)(2)( 0)( ndXnx lehàmnnxX X I n I R T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 49DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính đối xứng (tt) – T/h ảo • xR(n) = 0 và x(n) = jxI(n) và x(–n) = x(n), do đó [ ]∫ ∑ ∑ +=       = = ∞ −∞= ∞ −∞= π ωωωωω π ωω ωω 0 cos)(sin)(1)( )(cos)()( )(sin)()( dnXnXnx chanhàmnnxX lehàmnnxX IRI n II n IR ∫ ∑ =     = = ∞ = π ωωω π ω ωω 0 1 sin)(1)( 0)( )(sin)(2)( ndXnx X lehàmnnxX RI I n IR ∫ ∑ =     += = ∞ = π ωωω π ωω ω 0 1 cos)(1)( )(cos)(2)0()( 0)( ndXnx chanhàmnnxxX X II n III R xI(n) lẻ xI(n) chẵn T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 50DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính đối xứng (tt) – T/h x(n) bất kỳ     −−=+= −+=+= += +++=+= )]()([)()()( )]()([)()()( )()( )]()([)()()()()( * 2 1 * 2 1 nxnxnjxnxnx nxnxnjxnxnx đótrong nxnx nxnxjnxnxnjxnxnx o I o Ro e I e Re oe o I e I o R e RIR [ ] [ ] [ ] [ ])()()()()( )()()()()( ωωωωω oI o R e I e R o I o R e I e R jXXjXXX njxnxnjxnxnx +++= +++= T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 51DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tuyến tính – Ví dụ: tìm BĐ Fourier của x(n) sau. Vẽ t/h và phổ của t/h. )()()()( )()( )()( 22112211 22 11 ωω ω ω XaXanxanxa Xnx Xnx F F F +→←+⇒     →← →← 11 00 0 )( 00 0 )( )()()( 2 1 21 <<−    ≥ < =    < ≥ = += − a n na nx n na nx nxnxnx n n ω ω ωω ω ω j j n nj n nj ae X aaeDo aeenxX − − ∞ = − ∞ −∞= − − =⇒ <= == ∑∑ 1 1)( 1 )()()( 1 0 11 ω ω ω ωωω ω ω j j j k kj n nj n nj ae aeX aaeDo aeaeenxX − =⇒ <= === ∑∑∑ ∞ = − −∞= − ∞ −∞= − 1 )( 1 )()()()( 2 1 1 22 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 52DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2 2 21 cos21 1)( )()()( aa aX XXX +− − = += ω ω ωωω 2011 dce 53DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Dịch theo thời gian – Ví dụ: tìm BĐ Fourier của t/h • Đảo theo thời gian – Ví dụ )2()(3)( 321 −= − nunx n )()()()( ωω ω XeknxXnx kjFF −→←−⇒→← )()()()( ωω −→←−⇒→← XnxXnx FF 1 1 1 11 2 32 ( ) 3.2 . ( ) ( ) 3.( ) . ( ) ( ) 3.2 . ( 3) n n n x n u n x n u n x n u n − + − + − + = − = − = − + ω ω ω ω ω ω ωω ωω ω j j F n j j jF n j Fn e eXXnxnunx e eXeXnunxnx e Xnunx − −− − − − − − − ==→←=−     =⇒ − ==→←−     =−= − =→←= 2 1 2 22 2 2 1 2 1 2 2 2 12 2 112 1 1 1 6)(6)()(6)2( 2 16)( 1 )()()2( 2 1)2()( 1 1)()()()( T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 54DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tổng chập – Chú ý: Có thể dùng BĐ Fourier thuận và BĐ Fourier ngược để tính tích chặp • Tương quan • Định lý Wiener-Khintchine )()()()(*)()( )()( )()( 2121 22 11 ωωω ω ω XXXnxnxnx Xnx Xnx F F F =→←=⇒     →← →← )()()()( )()( )()( 21 22 11 2121 ωωω ω ω −=→←⇒     →← →← XXSmr Xnx Xnx xx F xxF F )()()()()( ωωω −=→←⇒ XXSlrthucnx xx F xx T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 55DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Dịch theo tần số • Định lý điều chế • Định lý Parseval [ ]10 0 02( ) ( ) ( ) co s ( ) ( )F Fx n X x n n X Xω ω ω ω ω ω←→ ⇒ ←→ + + − 0 0( ) ( ) ( ) ( ) j nF Fx n X e x n Xωω ω ω←→ ⇒ ←→ − ∫∑ − ∞ −∞= =⇒     →← →← π π ωωω πω ω dXXnxnx Xnx Xnx n F F )()( 2 1)()( )()( )()( * 21 * 21 22 11 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 56DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Nhân 2 chuỗi (định lý cửa sổ) • Đạo hàm miền tần số • Liên hợp phức ω ωω d dXjnnxXnx FF )()()()( →←⇒→← )()()()( ** ωω −→←⇒→← XnxXnx FF ∫− −=→←=⇒     →← →← π π λλωλ π ω ω ω dXXXnxnxnx Xnx Xnx F F F )()( 2 1)()()()( )()( )()( 213213 22 11 T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier 2011 dce 57DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • H/t nghỉ LTI • Hàm đáp ứng tần số: đáp ứng tần số của t/h mũ phức và t/h sin – Đáp ứng tần số của t/h mũ phức: cho x(n) = Aejωn -∞ < n < ∞ T/h mũ phức T/h sin Hệ LTI trong miền tần số h(n) h(n): hàm đáp ứng xung đơn vị H(ω): hàm đáp ứng tần số H(ω) F Miền thời gian Miền tần số x(n) x(n) y(n) y(n) nj k kjnj k knj k eAH ekhAeAekh knxkhnhnxny ω ωωω ω)( )()( )()()(*)()( )( = == −== ∑∑ ∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= − ∞ −∞= x(n) = Aejωn là một eigenfunction của h/t H(ω) là eigenvalue tương ứng 2011 dce 58DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Biểu diễn H(ω) ở dạng cực • Ta có Trong đó • Do đó, nếu biết │H(ω)│và Θ(ω) trong khoảng 0 ≤ ω ≤ π thì cũng xác định được trong khoảng –π ≤ ω ≤ 0 )()()( ωωω Θ= jeHH [ ])(/)(tan22 1)()( )()( sin)(cos)()()( ωω ω ωω ωω ωωω RI HHj IR IR kkk kj eHH jHH kkhjkkhekhH − += += −== ∑∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ −∞= − lehàmkkhH chanhàmkkhH k I k R ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= −= = ωω ωω sin)()( cos)()( lehàm chanhàmHHH R I H H IR )( )(1 22 tan)( )()()( ω ωω ωωω −=Θ += 2011 dce 59DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Đáp ứng tần số của t/h sin njAenx ω=)(1 njAenx ω−=)(2 njj eeHAny ωωω )(1 )()( Θ= njj njj eeHA eeHAny ωω ωω ω ω −Θ− −−Θ = −= )( )( 2 )( )()( [ ])()(sin)( 2121 nxnxnAnx j −== ω [ ] [ ])(sin)( )()()( 2121 ωωω Θ+= −= nHA nynyny j [ ])()(cos)( 2121 nxnxnAnx +== ω [ ] [ ])(cos)( )()()( 2121 ωωω Θ+= += nHA nynyny 2011 dce 60DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Ví dụ: cho hệ LTI nhân quả, điều kiện đầu bằng 0 T/h nhập x(n) = 3cos(πn/3). Tìm y(n) ωω je H −− = 2 11 3)( 6 3 32 1 3)( 2 13 π π π j j e e H − − = − = )cos(36)( 63 ππ −= nny Z-1 + 1/2 x(n) y(n)3 2011 dce 61DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Đáp ứng cho t/h tuần hoàn – Đáp ứng của t/h tuần hoàn cũng là t/h tuần hoàn chu kỳ N • Đáp ứng cho t/h không tuần hoàn Hệ LTI trong miền tần số ∑ − = = 1 0 2 2)()( N k nj N k k N k eHcny π πH(ω) h(n) H(ω) F x(n) X(ω) Y(ω) y(n) F F y(n) = x(n)*h(n) Y(ω) = X(ω)H(ω) Y(ω0) = X(ω0)H(ω0) = │H(ω0)│ejΘ(ω0)X(ω0)  Thành phần tần số (ω0) khi đi qua hệ thì: - Biên độ: co/giãn │H(ω0)│ - Pha: lệch pha Θ(ω0) ∑ − = = 1 0 2 )( N k nj k N k ecnx π 2011 dce 62DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Quan hệ giữa hàm hệ thống và hàm đáp ứng tần số ∑ ∑ = − = − + = N k k k M k k k za zb zH 1 0 1 )( ∑ ∑ = − = − + = N k kj k M k kj k ea eb H 1 0 1 )( ω ω ω ∑ ∞ −∞= − = == n nj ez enhzHH j ωωω )()()( ∏ ∏ = =− − − = N k k M k k MN pz zz zbzH 1 1 0 )( )( )( ∏ ∏ = =− − − = N k k j M k k j MNj pe ze ebH 1 1)( 0 )( )( )( ω ω ωω Hệ ổn định )()/1( *** ωHzH = )()/1( 1** −= zHzH )()(* ωω −= HH )()()()()()()( 1*2 −=−== zHzHHHHHH ωωωωω 2011 dce 63DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Tính hàm đáp ứng tần số H(ω) – Biểu diễn dưới dạng cực – Do đó, có thể tính được H(ω) nếu biết được zero và pole của hàm hệ thống – Ý nghĩa ?     =− =− Φ Θ )( )( )( )( ωω ωω ω ω k k j kk j j kk j eUpe eVze ∏ ∏ = =− − − = N k k j M k k j MNj pe ze ebH 1 1)( 0 )( )( )( ω ω ωω       Φ−Θ+−+∠=∠ = ∑∑ == N k k M k k N M MNbH UUU VVVbH 11 0 21 21 0 )()()()( )()...()( )()...()()( ωωωω ωωω ωωωω 2011 dce 64DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Tính hàm đáp ứng tần số H(ω) – Cho zero zk và pole pk – Xác định H(ω) tại ω (điểm L) – Việc tính H(ω) tương đương việc tính H(z) tại điểm L trên vòng tròn đơn vị – Sự hiện diện của zero gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó nhỏ – Ngược lại, sự hiện diện của pole gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó lớn x pk C 0 A Bzk L ejω hoặc │z│= 1 Φk(ω) Θk(ω) Im(z) Re(z) Vk Uk Hệ LTI trong miền tần số CL = CA + AL AL = CL – CA CL = CB + BL BL = CL – CB pk = CA zk = CB ejω = CL )( )( )( )( ωω ωω ω ω k k j kk j j kk j eVzeBL eUpeAL Θ Φ =−= =−= 2011 dce 65DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Ví dụ: xác định đáp ứng tần số của h/t được mô tả bằng hàm h/t – Zero tại z = 0 – Pole tại z = 0.8 8.08.01 1)( 1 − = − = − z z z zH 8.0 )( − = ω ω ω j j e eH ω ω ω ω cos6.164.1 1 8.0 )( − = − = j j e e H 8.0cos sintan)( 1 − −= − ω ωωωθ 2011 dce 66DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI trong miền tần số • Hàm tương quan vào-ra và phổ )(*)()( mrmrmr xxhhyy = )(*)()( mrmhmr xxyx = )()()()()()( 1 zSzHzHzSzSzS xxxxhhyy −== )()()( zSzHzS xxyx = )()()( 2 ωωω xxyy SHS = 2)()()()()( ωωωωω XHSHS xxyx == z=ejω Phổ mật độ năng lượng chéo Phổ mật độ năng lượng ∫∫ −− === π π π π ωωω π ωω π dSHdSrE xxyyyyy )()(2 1)( 2 1)0( 2Năng lượng tổng Nếu t/h nhập có phổ phẳng Sxx(ω) = Ex = const khi –π ≤ ω ≤ π xyx EHS )()( ωω = )( 1)( ωω yx x S E H = )(1)( mr E nh yx x =Dùng trong việc xác định h(n) của hệ lạ: tác động vào h/t t/h có phổ phẳng 2011 dce 67DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc Lowpass filter Highpass filter Bandpass filter Bandstop filter All-pass filter Filter • Bộ lọc – Thiết bị dùng để xử lý tùy theo đặc tính của t/h tác động vào h/t – Ví dụ: bộ lọc không khí, bộ lọc dầu, bộ lọc tia cực tím • Hệ LTI – Y(ω) = H(ω)X(ω) – Thay đổi phổ t/h nhập tùy theo đặc trưng của đáp ứng tần số H(ω) – Hệ LTI được xem là bộ lọc tần số: H(ω) đóng vai trò hàm tác động hoặc hàm chỉnh phổ – Có tác dụng • Loại bỏ nhiễu trên t/h • Tinh chỉnh hình dạng phổ của t/h • Phân tích phổ t/h • Phát hiện t/h trong Radar, Sonar, • Phân loại bộ lọc 2011 dce 68DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc ω |H(ω)| –π π–ωc ωc 1 Highpass ω |H(ω)| –π π–ωc ωc 1 Lowpass ω |H(ω)| –π π–ω0 ω0 1 Bandpass ω |H(ω)| –π π–ω0 ω0 1 Bandstop 2011 dce 69DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc lý tưởng – Đặc trưng của H(ω) lý tưởng • Biên độ = hằng số A, trong vùng tần số được qua = 0, trong vùng tần số không được qua • Pha tuyến tính ( = -aω, a: hằng số) – Minh họa • T/h x(n) với các thành phần t/s trong khoảng [ω1, ω2] • Hàm đáp ứng tần số • Phổ t/h tại ngõ xuất • T/h ngõ xuất y(n) = Cx(n-n0) • x(n) khi qua bộ lọc lý tưởng – bị delay: τg(ω) = -dΘ(ω)/dω = n0 (tất cả các thành phần t/s đều bị trễ như nhau) – bị co giãn biên độ – Trong thực tế không hiện thực được tình trạng lý tưởng, mà chỉ là xấp xỉ của nó    << = − otherwise Ce H nj 0 )( 21 0 ωωω ω ω )()()()()( 210 ωωωωωωω ω <<== − XCeXHY nj 2011 dce 70DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Thiết kế bộ lọc bằng sơ đồ zero-pole – Bộ lọc số đơn giản nhưng quan trọng – Nguyên lý: đặt các pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị tương ứng với các tần số cần nhấn mạnh (có góc pha bằng tần số được cho qua bộ lọc) và đặt các zero gần các điểm tương ứng với các tần số không muốn – Ràng buộc • Pole bên trong vòng tròn đơn vị (để hệ ổn định). Zero có thể nằm bất kỳ ở đâu trên mpz • Các zero/pole phức phải theo từng cặp liên hợp (để hệ số của bộ lọc là số thực) • Chọn b0 thích hợp để chuẩn hoá đáp ứng tại tần số được cho qua bộ lọc (để │H(ω0)│ = 1, ω0 là tần số trong bandpass của bộ lọc) ∏ ∏ ∑ ∑ = − = − = − = − − − = + = N k k M k k N k k k M k k k zp zz b za zb zH 1 1 1 1 0 1 0 )1( )1( 1 )( G ≡ b0: độ lợi 2011 dce 71DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc thông thấp (lowpass) – Đặt pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị có tần số thấp (ω = 0) – Đặt zero gần hoặc tại các điểm trên vòng tròn đơn vị có tần số cao (ω = π) • Bộ lọc thông cao (highpass) – Tương tự như bộ lọc thông thấp, bằng cách lấy đối xứng các zero/pole qua trục ảo của mpz – Trong biểu thức hàm h/t, thay z bởi –z 2011 dce 72DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Ví dụ 1: bộ lọc thông thấp (lowpass) một pole – Hàm hệ thống – Độ lợi G được chọn (1–a) để biên độ H(z) bằng đơn vị khi ω = 0 – Việc thêm zero = –1 sẽ làm suy giảm đáp ứng của bộ lọc ở tần số cao – Do đó – │H2(ω)│giảm bằng 0 khi ω = π 11 1 1)( −− − = az azH 1 1 2 1 1 2 1)( − − − +− = az zazH a = 0.9 2011 dce 73DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc thông cao (highpass) – Có thể đạt được từ bộ lọc lowpass bằng cách thay z bởi –z 1 1 1 1 2 1)( − − − +− = az zazHlp 1 1 1 1 2 1)( − − + −− = az zazHhp z = –z a = 0.9 2011 dce 74DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Ví dụ 2: thiết kế bộ lọc lowpass, thoả: – Một điểm pole: p – Một zero tại: 0 – Đáp ứng năng lượng tại tần số đỉnh cho qua (ω=0) bằng 1 – Đáp ứng năng lượng tại tần số ω=π/2 là 0.5 11 1)( −− = − = pz G pz zGzH pe eGH j j − = ω ω ω)( 2 2 2 cos21 1 )1)(1( 1)( pp G pepe GS jjxx +− = −− = − ω ω ωω        = + = = +− = 2 1 1 )( 1 21 )0( 2 2 2 2 2 p GS pp GS xx xx π     −±= −= )32(2 32 G p 32+=p(bỏ qua vì hệ không ổn định) z=ejω 2011 dce 75DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc 2)32(cos)32(21 )32(2)( −+−− − = ω ωxxS 11 )( −− = pz Gzh z–1p x(n) y(n)G + 2011 dce 76DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ • Ví dụ 3: xác định các tham số của bộ lọc trong hình 1 để thoả yêu cầu phổ mật độ năng lượng trong hình 2 2a x(n) y(n)G –a2 + + z–1 + z–1 Hệ LTI và bộ lọc (Hình 1) (Hình 2) 2011 dce 77DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc bandpass – Nguyên tắc: được thực hiện tương tự lowpass và highpass – Có một hoặc nhiều cặp pole liên hợp phức gần vòng tròn đơn vị, trong vùng lân cận dải tần số cho phép – Ví dụ 4: thiết kế bộ lọc bandpass thoả: • Tâm của passband = π/2. Đáp ứng tần số tại tâm đó = 1 • Đáp ứng tần số = 0 tại các tần số: 0, π • Đáp ứng biên độ = tại các tần số: 4π/9 z-1 z-1 z-1 B D E x(n) y(n)A z-1 C + + + + 2 1 22 2 1 ))(( )1)(1()( rz zG jrzjrz zzGzH + − = +− +− =    ±= = ⇒     = = 7.0 15.0 )( 1)( 2 1 9 4 2 r G H H π π 2 2 7.01 115.0)( − − + − = z zzH 12,1 2,1 2 ±= = ± zZero repPole j π 2011 dce 78DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc 2 2 7.01 115.0)( − − + − = z zzH 2011 dce 79DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Biến đổi đơn giản từ bộ lọc lowpass sang bộ lọc highpass – Tạo bộ lọc highpass bằng cách dịch Hlp(ω) một đoạn π (nghĩa là thay thế ω bởi ω – π Hhp(ω) = Hlp(ω – π) – Trong miền thời gian hhp(n) = (ejπ)nhlp(n) = (-1)nhlp(n) ∑∑ == −+−−= M k k N k k knxbknyany 01 )()()( ∑∑ == −−+−−−= M k k k N k k k knxbknyany 01 )()1()()1()( ∑ ∑ = − = − + = N k kj k M k kj k lp ea eb H 1 0 1 )( ω ω ω ∑ ∑ = − = − −+ − = N k kj k k M k kj k k hp ea eb H 1 0 )1(1 )1( )( ω ω ω 2011 dce 80DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Bộ cộng hưởng số – Bộ lọc bandpass 2 pole liên hợp phức gần vòng tròn đơn vị – Vị trí góc của pole xác định tần số cộng hưỏng – Chọn pole liên hợp phức p1,2 = re±jω0 (0 < r < 1) – Có thể chọn thêm tối đa 2 zero • Hoặc zero tại gốc tọa độ • Hoặc zero tại ±1 • Cho phép loại bỏ các đáp ứng của bộ lọc tại ω = 0 hoặc ω = π – Giả sử zero được chọn tại gốc • Do |H(ω)| có đỉnh tại (hoặc gần) ω = ω0, nên )1)(1( )( 11 0 00 −−− −− = zrezre bzH jj ωω 1 )1)(1( )( 0000 0 0 =−− = −−− ωωωωω jjjj ereere bH 0 2 0 2cos21)1( ωrrrb −+−= 2011 dce 81DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Phổ biên độ và phổ pha trong trường hợp ω0 = 1 • SV khảo sát trường hợp zero được chọn tại ±1 và so sánh phổ biên độ và phổ pha với trường hợp zero tại 0 ω0 –ω0 r r p1 = rej p2 = re–j 2011 dce 82DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc khe V (notch) – Chứa một hoặc nhiều khe sâu, có đáp ứng tần số bằng 0 – Đặt một cặp zero liên hợp phức trên vòng tròn đơn vị, tại góc ω0, tức – Hàm h/t – Nhược điểm • Khe có độ rộng khá lớn • Thành phần tần số xung quanh ω0 bị suy hao • P/p khắc phục: ad-hoc (nhiều p/p khác được trình bày ở chương 8) 0 2,1 ωjez ±= )cos21( )1)(1()( 21 00 11 0 00 −− −−− +−= −−= zzb zezebzH jj ω ωω ω0 = π/4 2011 dce 83DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • P/p khắc phục bộ lọc notch – Đặt cặp pole liên hợp phức tại ω0 để cộng hưởng trong vùng lân cận ω0 – Hàm h/t – Nhược điểm: • Ngoài việc giảm băng thông của khe, pole cũng tạo ra các lăn tăn (ripple) trong bandpass của bộ lọc (do việc cộng hưởng) • Khắc phục ripple bằng cách thêm zero và/hoặc pole → thử và sai 0 2,1 ωjrep ±= 221 0 21 0 0 cos21 cos21)( −− −− +− +− = zrzr zzbzH ω ω ω0 = π/4 2011 dce 84DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc răng lược (comb) – Là bộ lọc notch với các khe xuất hiện tuần hoàn – Hàm h/t – Thay z bằng zL (L>0) – Đáp ứng tần số HL(ω) chính là việc lặp bậc L của đáp ứng tần số H(ω) trong khoảng [0, 2π] • Nếu H(ω) có một phổ không tại tần số ω0 nào đó, HL(ω) sẽ có các phổ không răng lược tại ωk = ω0+2πk/L (k=0, 1, 2, , L-1) ∑ = −= M k kzkhzH 0 )()( ∑ = −= M k jkekhH 0 )()( ωω ∑ = −= M k kL L zkhzH 0 )()( )()()( 0 ωω ω LHekhH M k jkL L ==∑ = −z=ejω z=ejω H4(ω) ω ππ/2 3π/2 2π H(ω) 2π ω -2π 2011 dce 85DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ M=10 & L=3M=10 Hệ LTI và bộ lọc • Ví dụ: bộ lọc trung bình ∑ = − + = M k knx M ny 0 )( 1 1)( 1 )1( 0 1 1 1 1 1 1)( − +− = − − − + = + = ∑ z z M z M zH MM k k 2 2 12/ sin )(sin 1 )( ω ω ω ω +− + = MMj M eH Mkez Mkjk ,...,3,2,1 )1/(2 == +π )1/(2 += Mkk πω L ML L z z M zH − +− − − + = 1 1 1 1)( )1( 2 2 12/ sin )(sin 1 )( ω ω ω ω L MLMj L L M eH +− + = z-1 z-1 z-1 z-1z-1z-1 z-1 z-1 z-1 + ++ h(0) x(n) h(1) h(2) h(3) y(n) L=3 & M=3 z=ejω 2011 dce 86DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Bộ lọc Allpass – |H(ω)| = 1 (0 ≤ ω ≤ π) – Loại đơn giản nhất: H(z) = z–k – Loại khác • Nếu z0 là pole của H(z), thì 1/z0 là zero của H(z) realaa za za zH kN k k k N k kN k ,1)( 0 0 0 ≡= ∑ ∑ = − = +− 1)( 0 0 ≡=∑ = − azazA N k k k )( )()( 1 zA zAzzH N − −= 0 a 1 a-1 0 (r–1,–ω0) (r–1,ω0) (r,–ω0) (r,ω0) –ω0 ω0 2011 dce 87DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc 1 1 1 1 )( − − + + = az zazH 221 0 21 0 2 2 cos21 cos2)( −− −− +− ++ = zrzr zzrrzH ω ω θ1(ω) θ2(ω) a = 0.6 r = 0.9 ω0 = π/4 2011 dce 88DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ Hệ LTI và bộ lọc • Bộ dao động sin số – Bộ cộng hưởng 2 pole, trong đó các pole nằm trên vòng tròn đơn vị – Pole và đáp ứng xung đơn vị – Nếu pole nằm trên vòng tròn đơn vị: r = 1 và b0 = Asinω0    = −= ++ = −− 2 2 01 2 2 1 1 0 cos2 1 )( ra ra zaza bzH ω 0 2,1 ωjrep ±= )()1sin( sin )( 0 0 0 nunrbnh n ω ω += )()1sin()( 0 nunAnh ω+= + + z-1 z-1 x(n)=(Asinω0)δ(n) –a2 –a1 y(n)=Asin(n+1)ω0 a1= –2cosω0 a2= 1 y(n) = –a1y(n–1) – a2y(n–2) + b0δ(n)