Bài giảng Xây dựng bản vẽ kỹ thuật

à giao điểm của P1 và P2 (x = P1∩P2) + Gọi y là giao điểm của P2 và P3 (y = P2∩P3) + Gọi z là giao điểm của P1 và P3 (z = P1∩P3) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng P1, P2 và P3 ta nhận được các hình chiếu A1, A2 và A3 - Cố định mặt phẳng P1, quay mặt phẳng P2 quanh trục x, quay mặt phẳng P3 quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 2.2.a cho đến khi P2 trùng với P1,P3 trùng với P1. Kết quả, trên mặt phẳng P2  P3  P1 ta thu được 3 hình chiếu A1, A2, A3. Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.3.b). Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 15 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông a) b) Hình 1.3. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu b. Định nghĩa Ngoài 1 số định nghĩa và tính chất trong hệ thống mặt phẳng 2 hình chiếu ta bổ sung thêm các định nghĩa và tính chất sau: - Mặt phẳng P3: mặt phẳng hình chiếu cạnh - Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu - A3: hình chiếu cạnh của điểm A - Gọi )AA(AzAz )AA(AyAy )AA(AxAx 31 32 21    - Trên đồ thức: + A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng. + A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục x gọi là đường dóng nằm ngang.  Độ xa cạnh của một điểm - Ta có: 𝐴𝑧𝐴1 = 𝐴𝑦𝐴2 = 𝑂𝐴𝑥 = 𝐴3𝐴 gọi là độ xa cạnh của điểm A - Quy ước: + Độ xa cạnh dương: khi điểm A nằm phía bên trái P3 + Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm phía bên phải P3. + Độ xa cạnh bằng 0: nếu A thuộc mặt phẳng P3 - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên phải trục z + Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái trục z + Độ xa cạnh bằng 0: nếu A thuộc trục z Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 16 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông c. Tính chất của đồ thức - Các yếu tố thuộc P1 và P2 vẫn giữ nguyên - Nếu gọi Az là giao điểm của trục z với mặt phẳng (A, A1, A3) thì trên đồ thức A1AZ A3 thẳng hàng. - Đường thẳng A1A3 vuông góc với trục z gọi là đường dóng nằm ngang Nhận xét: Ta có thể tìm được hình chiếu thứ 3 của một điểm khi biết hai hình chiếu của điểm đó. - Nếu A2 ở dưới trục x thì A3 ở bên phải trục z. - Nếu A2 ở phía trên trục x thì A3 ở bên trái trục z. - Nếu A2 thuộc trục x thì A3 thuộc trục z. d. Cách tìm hình chiếu thứ 3 khi biết hai hình chiếu của điểm Tìm hình chiếu cạnh: Có 2 cách - Cách thứ nhất: áp dụng tính chất đồ thức: - Cách thứ hai: Kẻ đường phân giác Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 17 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 1.3. Đồ thức của đƣờng thẳng 1.3.1. Trong hệ thống 2 mặt phẳng hình chiếu - Đường thẳng được xác đinh bởi hai điểm vì vậy biểu diễn đường thẳng ta chỉ cần biểu diễn hai điểm thuộc đường thẳng đó. - Làm tương tự đối với từng điểm A, B ta được đồ thức của đoạn thẳng AB (cũng như đường thẳng đi qua hai điểm AB). - A1B1 là hình chiếu đứng của AB; A2B2 là hình chiếu bằng của AB. a) b) Hình 1.4. Đồ thức của một đường thẳng trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu  Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng - Trùng nhau: ta quy về bài toán xác định đồ thức của 2 điểm. - Hai đường thẳng cắt nhau khi hình chiế đứng của chúng cắt nhau, hình chiếu bằng của chúng cắt nhau và giao điểm cùng nằm trên một đường dóng.          xMM Mba Mba Mba 21 222 111 Hình 1.5. Đồ thức của hai đường thẳng cắt nhau - Hai đường thẳng song song với nhau khi hình chiếu đứng song song với nhau, hình chiếu bằng song song với nhau.     22 11 // // // ba ba ba Hình 1.6. Đồ thức của hai đường thẳng song song với nhau Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 18 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Hai đường thẳng chéo nhau 1.3.2. Trong hệ thống 3 mặt phẳng hình chiếu 1.4. Đồ thức của mặt phẳng Trong không gian, mặt phẳng được xác định bởi: - Ba điểm không thẳng hàng. - Một đường thẳng d và 1 điểm không thuộc đường thẳng d. - Hai đường thẳng cắt nhau. - Hai đường thẳng song song. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 19 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Vì vậy, đồ thức của mặt phẳng cũng được xác định bởi đồ thức của các yếu tố xác định mặt phẳng. 1.4.1. Trong hệ thống 2 mặt phẳng hình chiếu Lƣu ý: Có thể chuyển mặt phẳng từ cách xác định này sang cách xác định kia 1 cách dễ dàng. Ví dụ: Mặt phẳng được xác định bởi 3 điểm không thẳng hàng A, B, C => Có thể được chuyển thành: + Hai đường thẳng cắt nhau. + Hai đường thẳng song song. 1.4.2. Trong hệ thống 3 mặt phẳng hình chiếu Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 20 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Chƣơng 2: Đƣờng, mặt phẳng có vị trí đặc biệt 2.1. Các đƣờng thẳng đặc biệt 2.1.1. Đƣờng thẳng chiếu bằng - Là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng, do vậy nó cũng song với mặt phẳng hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh. - Hình chiếu bằng là một điểm, hình chiếu đứng là một đường thẳng vuông góc với trục x. Hình 2.1. Đồ thức của đường thẳng chiếu bằng 2.1.2. Đƣờng thẳng chiếu đứng - Là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng, do vậy nó cũng song với mặt phẳng hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 21 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Hình chiếu đứng là một điểm, hình chiếu bằng là một đường thẳng vuông góc với trục x. Hình 2.2. Đồ thức của đường thẳng chiếu đứng 2.1.3. Đƣờng thẳng chiếu cạnh - Là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh, do vậy nó cũng song với mặt phẳng hình chiếu bằng và hình chiếu đứng. - Hình chiếu đứng, hình chiếu bằng là một đường thẳng song song với trục x. Hình chiếu cạnh là một điểm. Hình 2.3. Đồ thức của đường thẳng chiếu cạnh 2.1.4. Đƣờng bằng - Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 22 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Tính chất: Hình chiếu đứng song song với trục x. Hình 2.4. Đồ thức của đường bằng 2.1.5. Đƣờng mặt - Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng. - Tính chất: Hình chiếu bằng song song song với trục x. Hình 2.5. Đồ thức của đường mặt Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 23 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 2.1.6. Đƣờng cạnh - Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh. - Tính chất: Hình chiếu đứng song song với trục oz và hình chiếu bằng song song với trục oy. Hình 2.6. Đồ thức của đường cạnh 2.2. Các mặt phẳng đặc biệt  TH1: Mặt phẳng có vị trí vuông góc với ít nhất 1 mặt phẳng hình chiếu Mặt phẳng vuông góc với 1 mặt phẳng hình chiếu gọi là mặt phẳng chiếu. 2.1.1. Mặt phẳng chiếu bằng - Là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng (P2). -Tính chất: Hình chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 24 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Hình 2.7. Đồ thức của mặt phẳng chiếu bằng 2.1.2. Mặt phẳng chiếu đứng - Là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng -Tính chất: Hình chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng Hình 2.8. Đồ thức của mặt phẳng chiếu đứng 2.1.3. Mặt phẳng chiếu cạnh - Là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 25 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông -Tính chất: Hình chiếu cạnh suy biến thành một đường thẳng. Hình 2.9. Đồ thức của mặt phẳng chiếu cạnh  TH2: Mặt phẳng có vị trí song song với ít nhất 1 mặt phẳng hình chiếu 2.1.4. Mặt phẳng bằng - Là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng - Tính chất: Hình chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng song song với trục x A1B1C1 là đường thẳng //ox A2B2C2=ABC Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 26 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 2.1.5. Mặt phẳng mặt - Là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng. -Tính chất: Hình chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng song song với trục x A1B1C1=ABC A2B2C2 là đường thẳng // ox 2.1.6. Mặt phẳng cạnh - Là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh. - Tính chất: Hình chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng song song với trục oz. Hình chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng song song với trục oy. A1B1C1 // oz A2B2C2 // oy A3B3C3=ABC Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 27 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Chƣơng 3: Quan hệ giữa điểm, đƣờng thẳng mặt phẳng 3.1. Điểm thuộc đƣờng thẳng Một điểm thuộc một đường thẳng khi và chỉ khi hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng, hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng. Ví dụ 1: C ∈ AB => C1∈ A1B1, C2∈ A2B2 Ví dụ 2: - A ∈ m khi A1m1; A2 m2; A1A2x. - B∉ m Ví dụ 3: Cho điểm I thuộc đường thẳng a. Biết I1, tìm I2 Giải: 1- Từ I1 vẽ đường đóng x 2- Đường dóng trên cắt a2 là điểm I2 cần tìm. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 28 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 3.2. Điểm, đƣờng thẳng thuộc mặt phẳng 3.2.1. Điểm thuộc mặt phẳng - Cho mặt phẳng α - Đường thẳng d α - Điểm M d thì Mα Điều kiện để 1 điểm thuộc 1 mặt phẳng là: Điểm phải thuộc một đường thẳng của mặt phẳng. Ví dụ: D∈(ABC); E,F ∉(ABC). Hình 3.1. Đồ thức của điểm thuộc và không thuộc mặt phẳng 3.2.2. Đƣờng thẳng thuộc mặt phẳng - Cho mặt phẳng α - Điểm M α và N α - Qua M và N vẽ đường thẳng d thì dα Điều kiện 1: để 1 đường thẳng thuộc 1 mặt phẳng là: Đường thẳng đó phải có 2 điểm thuộc mặt phẳng. Ví dụ: DE ∈(ABC) Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 29 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Hình 3.2. Đồ thức của đường thẳng thuộc mặt phẳng 3.2.3. Các bài toán cơ bản Bài toán 1: Cho hình chiếu đứng l1 của đường thẳng l thuộc mặt phẳng  xác định bởi 2 đường thẳng cắt nhau a & b. Tìm hình chiếu bằng l2 của l. Giải - Giả thiết l1 cắt a1, b1 tại 11 & 21 Đường thẳng l có hai điểm 1 và 2 thuộc mặt phẳng  nên theo điều kiện điểm thuộc mặt phẳng, l sẽ thuộc .  Vậy ta tìm 12, 22 sẽ có l2 Bài toán 2: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, điểm K thuộc mặt phẳng α đó. Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình chiếu bằng K2 . Giải: - Gắn điểm K vào một đường thẳng l ∈(α) - Khi đó l1 qua K1. Tìm l2? - K2 ∈ l2 (Điểm thuộc đường thẳng) Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 30 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 3.3. Giao của đƣờng thẳng và mặt phẳng 3.3.1. Giao của một đƣờng thẳng bất kỳ và một mặt phẳng chiếu Trường hợp này một hình chiếu của giao điểm xem như đã biết, nó chính là giao giữa hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu và hình chiếu cùng tên của đường thẳng. Để tìm hình chiếu còn lại, áp dụng bài toán điểm thuộc đường thẳng. Bài toán: Cho một đường thẳng d, mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chiếu đứng. Xác định giao điểm của d và (ABC) • Phân tích: - Nếu dựng một mặt phẳng qua d cắt mặt phẳng (ABC) thì giao của d với (ABC) sẽ thuộc giao tuyến này. - Vì mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chiếu đứng nên hình chiếu đứng là một đường thẳng, mọi đường thẳng thuộc (ABC) cũng thuộc đường thẳng này, vậy giao tuyến cũng trùng với đường thẳng này. • Cách tìm - Dựng giao tuyến m, m1 ≡A1B1C1 giao tuyến này cắt d1 tại I1. - Từ I1 dóng tìm I2; I1I2 là giao điểm của d và (ABC). Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 31 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 3.3.2. Giao của một đƣờng thẳng bất kỳ và một mặt phẳng bất kỳ Bài toán: Cho mặt phẳng (ABC) và đường thẳng d xác định giao điểm của d và (ABC). • Phân tích: - Nếu mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chiếu như bài toán phần 2.3.1 có thể dễ dàng xác định được. Ta tìm cách đưa bài toán này về dạng bài toán trên. - Nếu ta dựng một mặt phẳng qua d cắt (ABC) thì giao điểm phải nằm trên giao tuyến. • Cách tìm - Qua d dựng mặt phẳng chiếu đứng, mặt phẳng này cắt (ABC) theo một giao tuyến là DE có hình chiếu đứng là D1E1. - Xác định D2E2. D2, E2 cắt d2 tại I2. Dóng lên d1 ta được I1. I (I1I2) là giao điểm của d với (ABC). 3.3.3. Giao của một đƣờng thẳng chiếu và một mặt phẳng Trường hợp này một hình chiếu của giao điểm xem như đã biết, nó trùng với hình chiếu suy biến của đường thẳng chiếu. Để tìm hình chiếu còn lại, áp dụng bài toán điểm thuộc mặt phẳng. Bài toán: Vẽ giao điểm I của đường thẳng chiếu bằng d và mặt phẳng (a,b) Vì d ⊥ P1 nên biết 𝐼1 ≡ 𝑑1. Áp dụng bài toán điểm thuộc mặt phẳng (a,b) vẽ được I2. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 32 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 3.4. Giao tuyến của hai mặt phẳng 3.4.1. Tìm giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng chiếu Bài toán: Cho mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng chiếu đứng (mn) xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trên. • Phân tích: - Giả sử (ABC) cắt (mn) theo một giao tuyến thì hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với hình chiếu đứng của (mn). -Vì m1n1 là giao tuyến nên thuộc mặt phẳng (ABC) và có thể cắt AC, BC. Hình 3.3. Giao tuyến của mặt phẳng chiếu với mặt phẳng bất kỳ • Cách tìm: - Qua m1n1 vẽ đường giao tuyến của (mn) với (ABC) giao tuyến này trùng với m1n1 và cắt cạnh A1C1 tại E1 cắt B1C1 tại D1. Dóng xuống hình chiếu bằng ta được E2, B2. -Vẽ đường thẳng đi qua E2B2 đó là hình chiếu bằng của giao tuyến. Giao tuyến này cắt m2n2 tại 2, K2. Dóng lên ta có hình chiếu đứng của I2K2 là I1K1 ∈ m1n1. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 33 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 3.4.2. Giao tuyến của hai mặt phẳng bất kỳ Muốn xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ta chỉ cần biết hai điểm chung của chúng. Ta có thể có 1 điểm chung bằng cách tìm giao điểm của đường thẳng bất kỳ của mặt phẳng này với mặt phẳng kia. Do đó, việc tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng có thể đưa về việc giải liên tiếp 2 lần bài toán xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. Dưới đây ta trình bày một phương pháp khác để tìm điểm chung của hai mặt phẳng. Cho 2 mặt phẳng 𝛼 và 𝛽. Để có một điểm chung của hai mặt phẳng 𝛼 và 𝛽 ta cắt 𝛼 và 𝛽 bằng 1 mặt phẳng 𝜑 Khi đó: - 𝜑 cắt 𝛼 theo giao tuyến m. - 𝜑 cắt 𝛽 theo giao tuyến n. Hai đường thẳng m và n cùng thuộc mặt phẳng 𝜑 nên phải cắt nhau tại một điểm I. Dĩ nhiên I là một điểm chung của 2 mặt phẳng 𝛼 và 𝛽. Để có điểm chung thứ 2 ta cũng làm tương tự. Ta dùng 1 mặt phẳng thứ 2 là 𝜑′ cắt 𝛼 và 𝛽. Khi đó: - 𝜑′ cắt 𝛼 theo giao tuyến m’ - 𝜑′ cắt 𝛽 theo giao tuyến n’ Hai đường thẳng m’ và n’ cắt nhau tại điểm chung thứ hai K.  IK là giao tuyến cần tìm Những mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng bất kỳ. Tuy nhiên, phải chọn những mặt phẳng ấy thế nào để có thể vẽ giao tuyến của chúng với mặt phẳng 𝛼 và 𝛽 được Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 34 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông dễ dàng. Thông thường ta dùng các mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu mà việc vẽ giao tuyến của chúng với một mặt phẳng thường ta đã biết. Lưu ý: Mặt phẳng phụ trợ phải chọn sao cho việc xác định giao tuyến phụ được dễ dàng  thường chọn là mặt phẳng chiếu. Bài toán: Cho hai mặt phẳng (mn) và (pq) xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này. • Phân tích - Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta cần tìm được hai điểm thuộc giao tuyến. Thông thường ta có thể dùng mặt phẳng phụ để tìm. - Ta có thể sử dụng một số đường, mặt đặc biệt để xác định. • Cách tìm: Hình 3.4. Giao tuyến của hai mặt phẳng - Dựng mặt phẳng chiếu đứng P cắt hai mặt phẳng (ab) và (mn), ta xác định được hình chiếu đứng của giao tuyến. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 35 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Chƣơng 4: Các phƣơng pháp biến đổi Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán. Trong hình học họa hình thường dùng hai phép biến đổi sau: • Các phép thay mặt phẳng hình chiếu: là các phép biến đổi ta giữ nguyên các đối tượng hình học, chỉ thay đổi vị trí của các mặt phẳng hình chiếu (tất nhiên giữ nguyên các thuộc tính khác của hệ thống). • Các phép dời hình (kể cả những phép dời đặc biệt như quay, gập): Ngược lại giữ nguyên hệ thống mặt phẳng hình chiếu, chỉ thay đổi vị trí các hình. 4.1. Phƣơng pháp thay mặt phẳng hình chiếu Phép thay đổi mặt phẳng hình chiếu là một phép biến đổi mà trong đó hệ thống mặt phẳng hình chiếu thay đổi còn vật thể được biểu diễn thì đứng yên. Phương pháp chung: Thay một mặt phẳng hình chiếu là trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu đã cho, ta giữ nguyên một mặt phẳng và thay mặt phẳng kia bằng một mặt phẳng khác, vẫn vuông góc với mặt phẳng hình chiêu còn lại, hướng chiếu lúc này thay đổi và vuông góc với mặt phẳng hình chiếu mới. Vẫn quay mặt phẳng hình chiếu quanh trục x vể trùng với mặt phẳng hình chiếu kia trong hệ. 4.1.2. Thay mặt phẳng hình chiếu đứng a. Phƣơng pháp Giả sử ta có hệ thống mặt phẳng hình chiếu P1, P2. Thay mặt phẳng hình chiếu đứng P1 là lấy một mặt phẳng 𝑃1 ′ vuông góc với P2 làm mặt phẳng chiếu đứng mới và hướng vuông góc với 𝑃1 ′ làm hướng chiếu đứng mới. Điều kiện: 𝑃1 ′ ⊥ 𝑃2 Bài toán: Cho điểm A trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu. Thay mặt phẳng hình chiếu đứng P1 bằng mặt phẳng hình chiếu P1'. Xác định đồ thức của A trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu mới.  Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu: - Giả sử điểm A trong hệ thống (P1 , P2) có hình chiếu là (A1 , A2). - Chiếu vuông góc điểm A lên P’1 ta có hình chiếu A’1. - Gọi x’ ≡ P’1∩P2 là trục hình chiếu mới. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 36 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Hình 4.1. Thay mặt phẳng P1 thành mặt phẳng P’1 - Cố định P2 xoay P’1 quanh trục x’cho đến khi P’1≡P2. (Chiều quay xác định như dưới hình ). - Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống (P’1, P2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A. Khi thay mặt phẳng hình chiếu đứng, vị trí tương đối của một điểm A bất kỳ đối với mặt phẳng hình chiếu bằng không thay đổi, do đó: - Hình chiếu bằng A2 của điểm A không thay đổi. - Khoảng cách từ hình chiếu mới đến trục chiếu mới bằng khoảng cách từ hình chiếu cũ đến trục chiếu cũ. (Độ cao của điểm A) Tức là: A1Ax = A1' Ax' Dựa trên những nhận xét đó, ta thấy việc thay hình chiếu đứng được tiến hành trực tiếp như sau: Giả sử trong hệ thống cũ điểm A có các hình chiếu A1 và A2. + Vẽ trục hình chiếu x’, dĩ nhiên mỗi vị trí xác định của P1’ sẽ có một vị trí của trục x’ tương ứng. Việc ta chọn nó như thế nào là tùy theo yêu cầu của từng bài toán cụ thể. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 37 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông + Vẽ hình chiếu đứng mới A1’ của A, ở đây A1’A2 phải vuông góc với trục x’ và A1’Ax’ = A1Ax  Biểu diễn dạng đồ thức - Chọn trục chiếu mới là một đường thẳng bất kỳ nằm trong vùng của hình chiếu bằng (trục x’). - Vẽ hình chiếu đứng mới A1' của A. + Vẽ đường thẳng qua hình chiếu bằng A2 của A vuông góc với trục chiếu mới. + Hình chiếu mới A1' nằm trên đường thẳng này và cách trục chiếu mới x' một đoạn bằng A1Ax. Hình 4.2. Đồ thức của điểm A trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới b. Bài toán ứng dụng Ví dụ 1: Cho đường thẳng AB thay mặt phẳng hình chiếu đứng sao cho đường thẳng AB trở thành đường mặt. Phân tích: Để AB trở thành đường mặt thì hình chiếu bằng phải song song với trục x' Như vậy trục chiếu mới x' phải song song với hình chiếu bằng A2B2. Cách dựng: - Dựng trục x' song song với A2B2. - Xác định điểm B1': B1'Bx' = B1Bx - Xác định điểm A1': A1'Ax' = A1Ax Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 38 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Ví dụ 2: Xác định độ dài của đoạn AB. Phân tích: Ta thấy nếu một đoạn thẳng nằm song song với mặt phẳng thì hình chiếu thẳng góc của nó có độ dài bằng chính nó. Vậy muốn xác định độ dài của AB ta thay mặt phẳng hình chiếu đứng để cho AB trở thành đường mặt là được. Cách xác định: - Vẽ trục x' sao cho AB là đường mặt - Dựng x' song song với A2B2. - Dựng A1'B1' - Đo đoạn A1'B1' chính là độ dài của AB. (hình như ở ví dụ 1) Ví dụ 3:Thay mặt phẳng hình chiếu đứng để đường bằng AB trở thành đường thẳng chiếu đứng trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới. LG Để đường thẳng AB trở thành đường thẳng chiếu đứng ta phải chọn trục x’ vuông góc với A2B2, khi đó hình chiếu đứng mới của AB trùng thành một điểm A1’ ≡ B1’, cách x’ một đoạn bằng độ cao của đường bằng trong hệ thống cũ. Ví dụ 4: Cho mặt phẳng ABC thay mặt phẳng hình chiếu đứng sao cho ABC là mặt phẳng chiếu đứng. Phân tích: Nếu mặt phẳng ABC là mặt phẳng chiếu đứng thì trong hệ thống mới hình chiếu đứng của nó phải là một đường thẳng. Mặt khác nếu thay mặt phẳng hình chiếu đứng mới thì mặt phẳng hình chiếu này (P1') vừa vuông góc với P2 vừa vuông góc với mặt phẳng (ABC) do đó P1' sẽ vuông góc với đường bằng của (ABC). Như vậy trục x’ sẽ vuông góc với hình chiếu bằng của (ABC). Cách dựng: Ta có cách vẽ như sau: - Dựng đường bằng của (ABC) - Vẽ trục x’ vuông góc với hình chiếu bằng của đường bằng này. - Dựng các điểm A1’, B1’, C1; ta được hình chiếu đứng mới của (ABC) Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 39 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 4.1.2. Thay mặt phẳng hình chiếu bằng a. Phƣơng pháp Giả sử ta có hệ thống mặt phẳng hình chiếu P1, P2. Thay mặt phẳng hình chiếu bằng P2 tức là lấy một mặt phẳng 𝑃2 ′ vuông góc với P1 làm mặt phẳng chiếu bằng mới và hướng vuông góc với 𝑃2 ′ làm hướng chiếu bằng mới. Điều kiện: 𝑃2 ′ ⊥ 𝑃1 Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu P2 thành P’2 biết trước trục x’ là giao của P’2 với P1. Làm tương tự như đối với mặt phẳng hình chiếu đứng, sau đó xoay P’2 về trùng với P1 Hình 4.3. Thay mặt phẳng P2 thành mặt phẳng P’2 Đối với 1 điểm A bất kỳ, khi thực hiện thay mặt phẳng hình chiếu bằng vị trí tương đối của điểm A đối với P1 không có gì thay đối, do đó: - Hình chiếu đứng A1 của điểm A không thay đổi. - Độ xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu mới bằng độ xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu cũ. Tức là: A2Ax = A2' Ax' = AA1 Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 40 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Dựa trên những nhận xét đó, ta thấy việc thay hình chiếu bằng được tiến hành trực tiếp như sau: Giả sử trong hệ thống cũ điểm A có các hình chiếu A1 và A2. + Vẽ trục hình chiếu x’, dĩ nhiên mỗi vị trí xác định của P2’ sẽ có một vị trí của trục x’ tương ứng. Việc ta chọn nó như thế nào là tùy theo yêu cầu của từng bài toán cụ thể. + Vẽ hình chiếu bằng mới A2’ của A, ở đây A1A2’ phải vuông góc với trục x’ và A2’Ax’ = A2Ax.  Biểu diễn dạng đồ thức - Giả sử trong hệ thống hình chiếu cũ, điểm A có các hình chiếu A1, A2 - Chọn trục chiếu mới là một đường thẳng bất kỳ nằm trong vùng của hình chiếu bằng (tùy theo yêu cầu bài toán cụ thể). - Vẽ hình chiếu bằng mới A2' của A. Ở đây, 𝐴1𝐴2 ′ ⊥ 𝑥′ và 𝐴2 ′ 𝐴𝑥 ′ = 𝐴2𝐴𝑥 + Vẽ đường thẳng qua hình chiếu bằng A2 của A vuông góc với trục chiếu mới. + Hình chiếu mới A1' nằm trên đường thẳng này và cách trục chiếu mới x' một đoạn bằng A1Ax. Hình 4.4. Đồ thức của điểm A trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới  Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (P1, P’2) + A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’xA’2 =AxA2 b. Bài toán ứng dụng Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1, A2B2). Thay mặt phẳng hình chiếu bằng, đưa đoạn thẳng AB về đường bằng trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 41 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Phân tích: Như ta đã biết điều kiện ắt có và đủ để AB là đường bằng thì A1B1 phải song song với trục x. Cách dựng: - Ta chọn trục x’ song song với A1B1. - Hình chiếu bằng mới của AB là A2’B2’ ( A2’Ax’ = A2Ax, B2’Bx’ = B2Bx ). Vì trong hệ thống mặt phẳng mới AB là đường bằng nên ta có độ dài của đoạn thẳng AB chính bằng A2’B2’. Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức. Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức - (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng. - Thay mặt phẳng P2 thành P’2 sao cho P’2 // (ABC) Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1. Tìm A’2B’2C’2? - Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật của ΔABC. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 42 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 4.1.3. Thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu a) Thay mặt phẳng P1 thành mặt phẳng P’1 rồi thay P2 thành P’2 Điều kiện: 12 21 '' ' PP PP   Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu P1 thành P’1 rồi P2 thành P’2, biết trước trục x’ là giao của P2 với P’1, trục x” là giao của P’1 với P’2 . Giải: - Tìm A’1: A’1A2  x’ ; 𝐴𝑥′ 𝐴1 ′ = 𝐴𝑥 𝐴1 - Tìm A’2: A’2A’1  x” ; 𝐴2 ′ 𝐴2 ′′ = 𝐴2𝐴𝑥′ Hình 4.5. Thay mặt phẳng P1 thành P’1 , rồi thay P2 thành P’2 Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2). Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống mới. Giải: - Thay P1 thành P’1 để trong hệ thống (P’1,P2), AB là đường mặt. + Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2. + Tìm A’1B’1? (Độ cao điểm A âm) - Thay P2 thành P’2 để trong hệ thống (P’1,P’2), AB là đường thẳng chiếu bằng. + Muốn vậy, chọn trục x” ⊥ A’1B’1. + Tìm A’2B’2? (A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu bằng) Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 43 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Chú ý: Không được nhầm độ xa AxA2 với A’xA2 b) Thay mặt phẳng P2 thành mặt phẳng P’2 rồi thay P1 thành P’1 Điều kiện: 21 12 '' ' PP PP   Thực hiện phép thay tương tự như mục a) Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu P2 thành P’2 rồi P1 thành P’1, biết trước trục x’ là giao của P’2 với P1, trục x’’ là giao của P’1 với P’2. Giải: Tìm A’2: A1A’2  x’ ; 𝐴𝑥′ 𝐴2 ′ = 𝐴𝑥 𝐴 2 Tìm A’1: A’1A’2  x” ; A’’xA’1=A’xA1 Hình 4.6. Thay mặt phẳng P2 thành P’2 , rồi thay P1 thành P’1 Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 44 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Ví dụ: Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức. Giải: - Thay P2 thành P’2 sao cho trong hệ thống (P1, P’2) thì (ABC) là mặt phẳng chiếu bằng. Muốn vậy, vẽ đường mặt Af. Chọn trục x’A1f1.  Tìm A’2B’2C’2? - Thay P1 thành P’1 sao cho trong hệ thống (P’1, P’2) thì (ABC) là mặt phẳng mặt. Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2.  Tìm A’1B’1C’1? - Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn thật của tam giác ABC. 4.2. Phƣơng pháp dời hình Dời một hình là ta di chuyển hình đến vị trí mới mà vẫn giữ nguyên vị trí các mặt phẳng hình chiếu. Trong quá trình dời hình Ø = Ø'. Nên người ta nói rằng: “ phép dời bảo tồn khoảng cách giữa các yếu tố của hình” Định nghĩa: Phép dời hình là phép dời hình đến một vị trí mới sao cho khoảng cách của hai điểm bất kỳ A và B bằng khoảng cách của hai điểm tương ứng A’, B’. Nguyên tắc: Giữ nguyên hệ thống các mặt phẳng hình chiếu (x, P1, P2) và di chuyển vật thể đến vị trí mới theo quy tắc các điểm của vật thể chuyển động trên quỹ đạo là đường thẳng song song với 1 trong 2 mặt phẳng hình chiếu. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 45 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Từ tính bất biến của khoảng cách của hai điểm bất kỳ, ta có thể suy ra các tính chất sau đây của phép dời hình: + Một hình chiếu giữ nguyên hình dạng và kích thước. + Hình chiếu kia di chuyển trên đường thẳng song song với trục x. Hình 4.7. Dời đường thẳng AB đến vị trí A’B’ 4.2.1. Phƣơng pháp dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Định nghĩa: Phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu bằng (P2) là phép dời hình mà các đường thẳng nối các cặp điểm tương ứng đều song song với mặt phẳng hình chiếu bằng. Tính chất 1: Hình chiếu đứng của những đường thẳng nối các cặp điểm tương ứng AA’, BB’, đều song song với trục x: A1A1 ’ // B1B1 ’// // x Thực vậy, trong phép dời song song với mặt phẳng hình chiếu bằng những đường thẳng AA’, BB’, là những đường bằng. Tính chất 2: Hình chiếu bằng của hai hình tương ứng trong phép dời hình là bằng nhau (Hình 4.8 ). Tức là: A2B2=A'2B'2 Hình 4.8. Đồ thức dời AB thành A’B’ song song với P2 Do đó phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 được thực hiện trên đồ thức như sau: Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 46 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông + Vẽ hình chiếu bằng Φ2’ = Φ2 ( Vị trí Φ2’ được xác định theo yêu cầu của từng trường hợp). + Vẽ Φ1’. Mỗi điểm A1’ của Φ1’ được xác định bằng giao điểm của hai đường gióng. Đường gióng qua A1 và song song với trục x và đường thẳng qua A2’ và vuông góc với trục x. Ví dụ 1: Cho đường thẳng AB, bằng phương pháp dời hình đưa AB trở thành đường mặt. Ví dụ 2: Xác định độ dài của đoạn thẳng AB. Để xác định độ dài của đoạn thẳng AB ta dời AB đến A’B’ song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 (A’B’ là đường mặt ). Vậy ta dời A2B2 đến A2’B2’ song song với trục x (A2B2 = A2’B2’ ). Theo A1B1 và A2’B2’, xác định A1’B1’. Độ dài của A1’B1’ chính là độ dài của AB (Hình minh họa ở VD1). Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (ABC), bằng phương pháp dời hình đưa mặt phẳng (ABC) trở thành mặt phẳng chiếu đứng. ( Đưa mp (ABC) thành mp bằng). 4.2.2. Phƣơng pháp dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu đứng Định nghĩa: Phép dời hình song song mặt phẳng hình chiếu đứng là phép dời hình mà các đường thẳng nối các điểm tương ứng đều song song với mặt phẳng hình chiếu đứng. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 47 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Tính chất 1: Hình chiếu bằng của những đường thẳng nối các cặp điểm tương ứng AA’, BB’, đều song song với trục x: A2A2 ’ // B2B2 ’// // x Thực vậy, trong phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu đứng những đoạn thẳng AA’, BB’ ... đều là những đường mặt. Tính chất 2: Hình chiếu đứng của hai hình tương ứng trong phép dời hình là bằng nhau. Tức là: A1B1 = A1’B1’ Hình 4.9. Đồ thức dời AB thành A’B’ song song với P1 Do đó phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 được thực hiện trên đồ thức như sau: + Vẽ hình chiếu đứng Φ1’ = Φ1 ( Vị trí Φ1’ được xác định theo yêu cầu của từng trường hợp). + Vẽ Φ2’. Mỗi điểm A2’ của Φ2’ được xác định bằng giao điểm của hai đường gióng. Đường gióng qua A2 và song song với trục x và đường thẳng qua A1’ và vuông góc với trục x. Ví dụ 1: Đưa AB thành đường thẳng chiếu đứng Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chiếu đứng. Bằng phép dời hình song song với măt phẳng hình chiếu đứng có thểđưa mặt phẳng ABC về mặt mặt phẳng bằng. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 48 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Do mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chiếu đứng => A1B1C1 nằm trên một đường thẳng Vì vậy phép dời hình song song với măt phẳng hình chiếu đứng có thể đưa mặt phẳng ABC về mặt mặt phẳng bằng. Khi đó hình dạng thật của ABC chính là A2’B2’C2’. Muốn vậy dời A1B1C1 về song song với trục x. 4.2.3. Thực hiện liên tiếp các phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu Cũng như trong phép thay mặt phẳng hình chiếu, với những bài toán phức tạp ta không thể chỉ dùng một phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu mà phải dùng liên tiếp hai hoặc nhiều hơn nữa các phép dời ấy. Ví dụ: Xác định hình dạng thật của tam giác ABC Giải: Để xác định được dạng thật của tam giác ABC ta đưa chúng về mặt phẳng bằng. Vì vây, để làm được việc này trước tiên ta phải đưa ABC về mặt phẳng chiếu đứng, muốn vậy ta phải dời A2B2C2 đến A2’B2’C2’ sao cho ở vị trí này đường bằng AE là đường thẳng chiếu đứng. ( A2’E2’ vuông góc với trục x ) sau đó tương tự như ví dụ trên ta đưa ABC về mặt phẳng bằng. Khi đó hình dạng thật của ABC chính là A2”B2”C2”. ( H 6.11 ). Lưu ý tương tự như trên ta có thể giải bài toán bằng việc đưa mặt phẳng ABC về mặt phẳng mặt. 4.3. Phƣơng pháp xoay (quay) hình quanh một đƣờng đồng mức Sinh viên tự nghiên cứu phương pháp này Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 49 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Chƣơng 5: Hình chiếu của các khối hình học cơ bản Trong các bài toán ứng dụng đồ họa ta luôn phải phân tích một vật thể thành các khối hình học cơ bản để có thể áp dụng các lý thuyết về hình học không gian, hình học họa hình giải quyết các yêu cầu đặt ra. Một vật thể bất kỳ đều có thể phân tích gần đúng thành các khối hình học cơ bản, do vậy nghiên cứu cách biểu diễn đồ thức của các khối hình học cơ bản giúp ta mô tả một vật thể chính xác. 5.1. Khối đa diện 5.1.1. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là khối hình học được giới hạn bằng các đa giác phẳng. Các đa giác phẳng gọi là các mặt của khối đa diện. Các đỉnh và các cạnh của đa giác gọi là các đỉnh và các cạnh của khối đa diện (Hình 5.1). Trong các bài toán thường gặp đa diện có thể là những hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp, hoặc một vài đa diện bất kì như trên. Hình 5.1. Khối đa diện 5.1.2. Đồ thức của khối đa diện Muốn vẽ hình chiếu của khối đa diện phải vẽ hình chiếu của các đỉnh, các cạnh và các mặt của khối đa diện. Khi chiếu lên một mặt phẳng hình chiếu nào đó, nếu cạnh không bị các mặt của vật thể che khuất thì cạnh đó được vẽ bằng nét liền đậm, ngược lại, nếu cạnh bị che khuất, thì cạnh đó được vẽ bằng nét đứt. Hình 5.2. Đồ thức của khối đa diện Hình chóp, hình lăng trụ là các khối đa diện đặc biệt. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 50 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 5.1.3. Đồ thức của hình lăng trụ a. Đồ thức của hình hộp chữ nhật Để đơn giản, đặt các mặt của hình hộp song song với các mặt phẳng hình chiếu. Các hình chiếu của các mặt của hình hộp là các hình chữ nhật (Hình 5.3). Hình 5.3. Đồ thức của hình hộp chữ nhật Muốn xác định điểm K nằm trên mặt của hình hộp, ta vẽ qua K một đường thẳng thuộc mặt hình hộp. b. Đồ thức của hình lăng trụ đều Cách vẽ hình chiếu và cách xác định điểm nằm trên mặt của hình lăng trụ tương tự như trên. Hình 5.4 là hình chiếu của một lăng trụ tam giác. Hình 5.4. Đồ thức của hình lăng trụ 5.1.4. Đồ thức của hình chóp đều, hình chóp cụt đều a. Hình chiếu của hình chóp đều Xét hình chóp đều SABCDEF. Để đơn giản, nên đặt mặt đáy ABCDEF của hình chóp đều song song với mặt phẳng hình chiếu P2 và đường chéo AD song song với mặt phẳng hình chiếu P1, sẽ được các hình chiếu như hình 5.5. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 51 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Hình chiếu bằng là hình lục giác đều, Hình chiếu bằng của đỉnh S trùng với tâm của hình lục giác đều. Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh là hai hình tam giác cân, đó là hình chiếu của các mặt bên. Chiều cao của tam giác cân bằng chiều cao của hình chóp. Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt của hình chóp, hãy kẻ qua đỉnh S và điểm K nằm trên đường thẳng SK nằm trên mặt bên của hình chóp. Cách vẽ như hình 5.5. Hình 5.5. Đồ thức của hình chóp b. Hình chiếu của hình chóp cụt đều Cách vẽ hình chiếu và cách xác định điểm nằm trên mặt bên của hình chóp cụt tương tự như trường hợp hình chóp. Hình 5.6 là hình chiếu của một hình chóp cụt có đáy là hình vuông. Hình 5.6. Đồ thức của hình chóp cụt 5.1.5. Biểu diễn điểm thuộc đa diện + Để vẽ điểm thuộc cạnh đa diện ta áp dụng bài toán vẽ điểm thuộc đường thẳng. Như điểm H. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 52 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông + Để vẽ điểm thuộc mặt đa diện ta áp dụng bài toán xác định điểm thuộc mặt phẳng. Như điểm I. Chú ý: - Vẽ điểm thuộc mặt bên của một hình chóp thì điểm đó thường được gắn vào đường thẳng đi qua điểm đó và đỉnh chóp. Điểm I. - Vẽ điểm thuộc mặt bên của một hình lăng trụthì ta thường áp dụng gắn điểm đó vào đường thẳng song song với cạnh bên của lăng trụ. - Trên hình chiếu đang xét của đa diện một điểm thuộc mặt thấy của đa diện thì điểm đó thấy, một điểm thuộc mặt khuất thì điểm đó khuất. 5.2. Khối trụ 5.2.1. Khái niệm Hình trụ tròn xoay thường gọi là hình trụ, đó là khối hình học được giới hạn bởi một mặt trụ tròn xoay và hai mặt cắt song song với nhau và vuông góc với trục quay. Hình trụ cũng được xem như khối hình học được tạo thành bởi một hình chữ nhật quay quanh một cạnh của nó (Hình 5.7). Hình 5.7. Khối trụ 5.2.2. Đồ thức của khối trụ Hình chiếu của hình trụ trên mặt phẳng vuông góc với trục quay là hình tròn có đường kính bằng đường kính đáy của khối trụ. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 53 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Hình chiếu của khối trụ trên mặt phẳng song song với trục quay là các hình chữ nhật bằng nhau (Hình 5.8). Hình 5.8. Đồ thức của hình trụ 5.2.3. Điểm thuộc mặt trụ Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt của hình trụ, biết hình chiếu đứng K1 , hãy kẻ qua K1 đường dóng K1 K2 với K2  A2B2C2D2. Cách vẽ như hình 5.8 5.3. Khối nón 5.3.1. Khái niệm Hình nón tròn xoay thường gọi là hình nón, đó là khối hình học được giới hạn bởi một phần mặt nón tròn xoay kể từ đỉnh tới mặt cắt vuông góc với trục quay. Hình 5.9. Khối nón Hình nón cũng được xem như khối tròn được tạo thành bởi một hình tam giác vuông quay quanh một cạnh góc vuông của nó. 5.3.2. Đồ thức của khối nón Hình chiếu của khối nón trên mặt phẳng vuông góc với trục quay là hình tròn có đường kính bằng đường kính đáy của khối nón. Hình chiếu của khối nón trên mặt phẳng song song với trục quay là các tam giác cân bằng nhau (Hình 5.10). Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 54 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Hình 5.10. Đồ thức của hình nón Hình 5.11. Đồ thức của hình nón cụt 5.3.3. Điểm thuộc mặt nón Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt của hình nón, biết hình chiếu đứng K1 , hãy kẻ qua K1 đường sinh S1 K1, từ đó xác định S2 K2. Cách vẽ như hình 5.10. 5.4. Khối cầu 5.4.1. Khái niệm Hình cầu là hình được tạo ra bằng cách quay nửa hình tròn xung quanh đường kính của nó. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 55 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 5.4.1. Đồ thức của khối cầu Hình chiếu của khối cầu trên các mặt phẳng hình chiếu là các hình tròn có đường kính bằng đường kính của khối cầu. Các hình tròn này là đường bao hình chiếu của hình cầu, đồng thời là hình chiếu của đường tròn lớn song song với mặt phẳng hình chiếu (Hình 5.12). Hình 5.12. Đồ thức của hình cầu 5.4.3. Điểm thuộc mặt cầu Một điểm thuộc mặt cầu khi điểm đó thuộc một đường tròn của mặt cầu. Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt cầu, ta dựng qua điểm đó đường tròn nằm trên mặt cầu, và mặt phẳng chứa đường tròn đó song song với mặt phẳng hình chiếu. Cách vẽ như hình 5.12. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 56 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Chƣơng 6: Giao điểm, giao tuyến của các vật thể 6.1. Giao điểm của đƣờng thẳng với khối hình học 6.1.1. Giao điểm của đƣờng thẳng với đa diện Giao của đường thẳng với đa diện, thực chất là tập hợp các giao điểm của đường thẳng với các mặt phẳng tạo thành đa diện, mà giao của đường thẳng với mặt phẳng ta đa biết cách giải ở chương 3. Muốn tìm giao của một đường thẳng với một đa diện, người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. Nội dung của phương pháp đó như sau: + Qua đường thẳng đã cho dựng mặt phẳng chiếu gọi là mặt phẳng phụ trợ. + Tìm giao của mặt phẳng phụ trợvới đa diện đã cho. Giao này gọi là giao phụ. + Tìm tập hợp các giao điểm của đường thẳng đã cho với giao phụ. Tập hợp các điểm đó là giao phải tìm. Ví dụ: Xác định giao của đường thẳng d với khối chóp SABC. Giải: - Dựng mặt phẳng phụ trợlà mặt phẳng chiếu đứng R chứa đường thẳng d. - Sau đó tìm các giao tuyến phụ giữa mặt phẳng phụ trợR với các mặt phẳng hình chóp SAB là GE, SBC là HE. - Sau đó tìm các giao điểm của các giao tuyến phụ với đường thẳng d là I,J đó chính là giao điểm của đường thẳng d với khối chóp SABC. Cách vẽ được thể hiện trên đồ thức Hình 6.1. Giao điểm của đường thẳng với đa diện Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 57 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 6.1.2. Giao của đƣờng thẳng với mặt trụ Như ta đã biết một đường thẳng cắt mặt trụ tại hai điểm, đểtìm hình chiếu của hai giao điểm này ta tìm được ngày hình chiếu bằng của chúng chính là giao của đường thẳng hình chiếu bằng và đường tròn hình chiếu bằng của mặt trụ, để tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt trụta tìm được ngay hai hình chiếu bằng của giao điểm là A2, B2.Thình chiếu bằng này ta tìm được hình chiếu đứng A1, B1.A, B chính là giao điểm của đường thẳng d với mặt trụ. Hình 6.2. Giao của đường thẳng với mặt trụ 6.1.3. Giao của đƣờng thẳng với mặt nón Trường hợp đường thẳng là đường thẳng chiếu thì ta dễ dàng tìm được một hình chiếu của giao điểm việc tìm hình chiếu còn ta đã biết cách tìm. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 58 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Trường hợp đường thẳng là đường thẳng thương ta phải sử dụng mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa đường thẳng đó và đi qua đỉnh của nón. Hình 6.3. Giao của đường thẳng với mặt nón Trên (Hình 6.3) chọn mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đỉnh S. Sau đó ta tìm giao tuyến NT của mặt phẳng phụ trợ với mặt phẳng đáy. ⇒ S2I2 và S2J2 chính là giao tuyến phụ với nón từ đây ta dễ dàng tìm được A2, B2 ⇒ A1, B1. 6.2. Giao tuyến của mặt phẳng với khối hình học 6.2.1. Giao tuyến của mặt phẳng với đa diện Giao của mặt phẳng với đa diện là một đa giác. Đỉnh của đa giác này là giao điểm của một cạnh đa diện với mặt phẳng cắt, cạnh của đa giác là giao tuyến của một mặt đa diện với mặt phẳng cắt. Ví dụ: Tìm giao của mặt phẳng chiếu đứng R với khối đa diện SABC. Giải: Ta thấy mặt phẳng R giao với đa diện SABC tại 4 mặt phẳng đó là 3 mặt bên SAC, SBC, SAB và mặt đáy ABC. Do đó giao tuyến là đa giác có bốn cạnh, các cạnh đó là giao của các mặt phẳng trên với mặt phẳng R. Các đỉnh của đa giác là giao của các cạnh SC, SB, AB, và AC với mặt phẳng R. Nếu ta gọi các đỉnh của đa giác lần lượt là I, N, H, K . Khi đó bài toán trở nên tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng chiếu đã biết ở trên. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 59 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Hình 6.4. Giao tuyến của mặt phẳng với đa diện 6.2.2. Giao tuyến của mặt phẳng cắt lăng trụ Hình 6.5. Giao tuyến của mặt phẳng với lăng trụ Trong hình 6.5a mặt phẳng Q vuông góc với P1 cắt hình lăng trụ lục giác đều tạo thành giao tuyến là một đa giác. Vì Q  P1 nên hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với hình chiếu đứng của mặt phẳng Q, đó là đoạn thẳng A1D1. Các mặt bên của lăng trụ vuông góc với P2 , nên hình chiếu bằng của giao tuyến trùng với hình chiếu bằng của các mặt bên, chính là lục giác A2B2C2D2E2F2 . Để vẽ hình chiếu cạnh của giao tuyến, ta vẽ hình chiếu cạnh của từng điểm của giao tuyến (Hình 6.5b). 6.2.3. Giao tuyến của mặt phẳng với mặt trụ Tùy theo vị trí của mặt phẳng đối với trục của hình trụ, ta có các giao tuyến khác nhau (Hình 6.6). - Nếu mặt phẳng vuông góc với trục hình trụ thì giao tuyến là một đường tròn (Hình 6.6a). Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 60 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Nếu mặt phẳng nghiêng với trục hình trụ thì giao tuyến là một đường elip (Hình 6.6b). - Nếu mặt phẳng song song với trục hình trụ thì giao tuyến là một hình chữ nhật (Hình 6.6c). Hình 6.6. Giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt trụ Ví dụ 1: Đầu trục vát phẳng (hình 6.3). Phần vát phẳng là do giao tuyến của mặt phẳng Q song song với trục của hình trụ và mặt phẳng R vuông góc với trục của hình trụ tạo thành. Khi vẽ giao tuyến ta vẽ hình chiếu bằng trước và bằng cách xác định điểm nằm trên mặt trụ ta vẽ hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của giao tuyến. Hình 6.7. Đồ thức đầu trục vát phẳng Ví dụ 2: Đầu trục xẻ rãnh (hình 6.8). Phần xẻ rãnh là do giao tuyến của hai mặt phẳng A1 , A2 song song với trục của hình trụ và mặt phẳng B vuông góc với trục của hình trụ tạo thành. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 61 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Khi vẽ giao tuyến ta vẽ hình chiếu bằng trước và bằng cách xác định điểm nằm trên mặt trụ ta vẽ hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của giao tuyến. Hình 6.8. Đồ thức đầu trục rẽ nhánh 6.2.4. Giao tuyến của mặt phẳng với khối nón Tùy theo vị trí của mặt phẳng đối với trục của hình nón tròn xoay, ta có các giao tuyến khác nhau (Hình 6.9). - Nếu mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón thì giao tuyến là một tam giác cân, cạnh của tam giác cân là đường sinh hình nón (Hình 6.9b). - Nếu mặt phẳng song song với một đường sinh hình nón thì giao tuyến là một parabol (Hình 6.9c). - Nếu mặt phẳng song song với trục hình nón hoặc hai đường sinh hình nón thì giao tuyến là một hyperbol (Hình 6.9d). - Nếu mặt phẳng nghiêng với trục hình nón và cắt tất cả các đường sinh của hình nón thì giao tuyến là một đường elip (Hình 6.9e). Hình 6.9. Các dạng mặt phẳng cắt khối nón 6.2.5. Giao tuyến của mặt phẳng với khối cầu Giao tuyến của mặt phẳng với khối cầu là một hình tròn. - Nếu mặt phẳng cắt song song với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của đường tròn giao tuyến trên mặt phẳng hình chiếu đó cũng là một đường tròn (Hình 6.10). Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 62 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông Hình 6.10. Giao tuyến của mặt phẳng với khối cầu - Nếu mặt phẳng nghiêng với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của giao tuyến trên mặt phẳng hình chiếu là một đường elip (Hình 6.11). Hình 6.11. Ví dụ 3: Đầu đinh vít chỏm cầu xẻ rãnh (hình 6.12). Phần xẻ rãnh là do giao tuyến của hai mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh và một mặt phẳng song song với mặt phẳng hình ciếu bằng tạo thành. Khi vẽ giao tuyến ta vẽ hình chiếu đứng trước và bằng cách xác định điểm nằm trên mặt cầu ta vẽ hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của giao tuyến. Hình 6.12. Bài giảng Hình họa vẽ kỹ thuật - Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện 63 Bộ môn Truyền thông Đa phương tiện – Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông 6.3. Giao tuyến của hai đa diện Thông thường giao tuyến của hai đa diện là một hoặc hai đường gẫy khúc kín mà mỗi đỉnh là giao điểm của một cạnh của đa diện này với một mặt của đa diện kia và mỗi cạnh là giao tuyến của một mặt của đa diện này với một mặt của đa diện kia. - Giao tuyến của hai khối lăng trụ Hình 6.9. Giao của hai khối lăng trụ - Giao tuyến của hai khối trụ Hình 6.10. Giao của hai khối trụ