Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Phần: Các phép biến đổi Fourier - Đặng Quang Hiếu

ET 2060 - Tín hiệu và hệ thống Các phép biến đổi Fourier TS. Đặng Quang Hiếu Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông 2015-2016 Vai trò của biến đổi Fourier I Quan trọng trong toán học, vật lý và các ngành kỹ thuật đặc biệt là xử lý tín hiệu. I Khái niệm chuỗi Fourier do Joseph Fourier giới thiệu vào năm 1807, và sau đó được phát triển bởi nhiều nhà khoa học nổi tiếng khác. Phân loại: I Chuỗi Fourier (FS) I Chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFS) I Biến đổi Fourier (FT) I Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFT) I Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) có thể được thực hiện nhanh (các thuật toán FFT). Tín hiệu trên miền thời gian và miền tần số 1 -1 1 2 3 4 5 t x(t) 1 2 3-1-2-3 f |X (f )| Outline Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian Chuỗi Fourier (FS) Mọi tín hiệu x(t) tuần hoàn với chu kỳ cơ bản T đều có thể được biểu diễn bởi chuỗi Fourier (FS) như sau: x(t) = ∞∑ k=−∞ cke j 2pi T kt trong đó ck = 1 T ∫ T 0 x(t)e−j 2pi T ktdt I cke jk 2pi T t được gọi là thành phần hài bậc k . I {ck} được gọi là các hệ số chuỗi Fourier hay các hệ số phổ của tín hiệu x(t). Ví dụ về FS Hãy tìm khai triển chuỗi Fourier cho các tín hiệu sau với chu kỳ cơ bản T . (a) x(t) = cos(2pi T t) (b) Dãy xung đơn vị tuần hoàn x(t) = ∞∑ k=−∞ δ(t − kT ) (c) Dãy xung vuông tuần hoàn x(t) = { 1, `T − T02 ≤ t ≤ `T + T0 2 , ` ∈ Z 0, t còn lại t x(t) T0 2− T0 2 T 2− T 2 Khai triển chuỗi Fourier của hàm xung vuông tuần hoàn 0.25 4 8 12 16 20-4-8-12-16-20 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b k ck T0 T = 14 8 16-8-16 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b k ck T0 T = 18 Điều kiện tồn tại FS Các điều kiện Dirichlet: 1. x(t) bị chặn 2. x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ 3. x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ Tín hiệu có năng lượng hữu hạn trên một chu kỳ: ∫ T |x(t)|2dt < ∞ Dạng biểu diễn khác của FS x(t) = a0 2 + ∞∑ k=1 ak cos(k 2pi T t) + bk sin(k 2pi T t) Quan hệ giữa ak , bk và ck? Tính chất tuyến tính Nếu x(t), y(t) cùng chu kỳ x1(t) FS ←−→ c (1) k x2(t) FS ←−→ c (2) k thì αx1(t) + βx2(t) FS ←−→ αc (1) k + βc (2) k Tính chất dịch Dịch theo thời gian: x(t − t0) FS ←−→ e−j 2pi T kt0ck Dịch tần số: e j 2pi T k0tx(t) FS ←−→ ck−k0 Ví dụ: Tìm khai triển FS cho tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T x(t) = { 1, `T ≤ t ≤ `T + T0, ` ∈ Z 0, t còn lại Đảo trục thời gian x(−t) FS ←−→ c−k I Nếu x(t) chẵn? I Nếu x(t) lẻ? Tính chất đối xứng x∗(t) FS ←−→ c∗−k I Nếu x(t) thực? I Nếu x(t) ảo? Quan hệ Parseval 1 T ∫ T |x(t)|2dt = ∞∑ k=−∞ |ck | 2 Ý nghĩa: FS bảo toàn công suất của tín hiệu. Outline Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian Dãy tuần hoàn và chuỗi Fourier Dãy x˜ [n] (hoặc x˜ [n]N) tuần hoàn với chu kỳ N: x˜ [n] = x˜ [n + rN], ∀n, r ∈ Z Khai triển chuỗi Fourier cho dãy x˜ [n]: x˜ [n] = ∑ k cke j 2pi N kn Đặc điểm của các thành phần tần số e j 2pi N kn, ∀k ∈ Z? e j 2pi N kn = e j 2pi N (k+rN)n, ∀r ∈ Z x˜ [n] = N−1∑ k=0 c˜ke j 2pi N kn, c˜k = ∑ r ck+rN Tính c˜k? (i) Nhân cả hai vế với e−j 2pi N mn, tính tổng với n = 0, (N − 1) N−1∑ n=0 x˜ [n]e−j 2pi N mn = N−1∑ n=0 N−1∑ k=0 c˜ke j 2pi N (k−m)n (ii) Đổi thứ tự lấy tổng ở vế phải N−1∑ n=0 x˜ [n]e−j 2pi N mn = N−1∑ k=0 c˜k N−1∑ n=0 e j 2pi N (k−m)n (iii) Tính trực giao: N−1∑ n=0 e j 2pi N (k−m)n = { N, khi k −m = rN 0, khi k −m 6= rN =⇒ N−1∑ n=0 x˜ [n]e−j 2pi N mn = N · c˜m Khái niệm chuỗi Fourier rời rạc (DTFS) c˜k = 1 N N−1∑ n=0 x˜ [n]e−j 2pi N kn c˜k tuần hoàn với chu kỳ N. x˜ [n] DTFS ←−−−→ c˜k x˜ [n] = N−1∑ k=0 c˜ke j 2pi N kn I Biên độ: |c˜k | I Pha: arg{c˜k}. Ví dụ về DTFS (1) Tìm khai triển Fourier của dãy x˜ [n] = ∞∑ r=−∞ δ(n − rN) = { 1, n = rN, ∀r ∈ Z 0, n 6= rN (2) Cho x˜ [n] là dãy tuần hoàn với chu kỳ N x˜ [n] = { 1, `N ≤ n ≤ `N +M − 1, ∀n ∈ Z,M < N 0, n còn lại Hãy tìm c˜k , |c˜k |, arg{c˜k}. (3) Dãy x˜ [n] tuần hoàn với chu kỳ N cũng có thể coi là một dãy tuần hoàn có chu kỳ 2N. Nếu c˜(N)k := DTFS{x˜ [n]N} và c˜ (2N) k := DTFS{x˜ [n]2N}. Hãy tính c˜ (2N) k theo c˜ (N) k . DTFS của dãy xung chữ nhật tuần hoàn N = 100,M = 10 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 k |X[ k]| −100 −80−60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 −3 −2 −1 0 1 2 3 k a rg {X [k] } Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc (1) Tuyến tính (cùng chu kỳ N): a1x˜ (1)[n] + a2x˜ (2)[n] DTFS ←−−−→ a1c˜ (1) k + a2c˜ (2) k (2) Dịch thời gian x˜ [n − n0] DTFS ←−−−→ e−j 2pi N kn0 c˜k (3) Dịch tần số e j 2pi N k0nx˜ [n] DTFS ←−−−→ c˜k−k0 Tính chất đối ngẫu Nếu x˜ [n] DTFS ←−−−→ c˜k thì X˜ [n] DTFS ←−−−→ 1 N c˜−k Ví dụ: Cho X˜ [k] = ∞∑ r=−∞ δ(k − rN) Hãy tìm c˜k? Các tính chất đối xứng (a) x˜∗[n] DTFS←−−−→ c˜∗−k (b) x˜ [−n] DTFS←−−−→ c˜∗k (c) Re[x˜ [n]] DTFS←−−−→ 12 [c˜k + c˜ ∗ k ] (d) 12 [x˜ [n] + x˜ ∗[−n]] DTFS ←−−−→ Re[c˜k ] (e) Khi x˜ [n] ∈ R I c˜k = c˜ ∗ −k I Re[c˜k ] = Re[c˜−k ] I Im[c˜k ] = −Im[c˜−k ] I |c˜k | = |c˜−k | I arg{c˜k} = − arg{c˜−k} Bài tập Cho tín hiệu liên tục (tuần hoàn) xc(t) có khai triển Fourier như sau: xc(t) = 9∑ k=−9 ake j2pikt/10−3 trong đó các hệ số ak = 0, ∀|k | > 9. Tín hiệu này được lấy mẫu với chu kỳ T = 1610 −3 [s] để tạo thành dãy x [n] = xc(nT ). (a) Dãy x [n] có tuần hoàn không, nếu có thì chu kỳ bao nhiêu? (b) Hãy tính c˜k theo các hệ số ak . Outline Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian Biến đổi Fourier (FT) cho tín hiệu không tuần hoàn t Ω FT FT −1 x(t) FT ←−→ X (jΩ) trong đó: X (jΩ) = FT{x(t)} = ∫ ∞ −∞ x(t)e−jΩtdt x(t) = FT−1{X (jΩ)} = 1 2pi ∫ ∞ −∞ X (jΩ)e jΩtdΩ X (jΩ) được gọi là phổ của tín hiệu x(t): I |X (jΩ)| - phổ biên độ Iarg{ X (jΩ)} - phổ pha Điều kiện tồn tại FT (i) ∫∞ −∞ |x(t)|dt < ∞ (ii) x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong bất cứ khoảng thời gian hữu hạn nào. (iii) x(r) có hữu hạn các điểm gián đoạn trong bất cứ khoảng thời gian hữu hạn nào và mỗi điểm gián đoạn đó phải có giá trị hữu hạn. Ví dụ: Hãy tìm FT của các tín hiệu sau (a) Hàm lũy thừa: x(t) = eatu(t) (b) Xung đơn vị: x(t) = δ(t) (c) Xung vuông: x(t) = { 1, |t| < T0/2 0, |t| > T0/2 (d) x(t) = cos(Ω0t) Phổ của tín hiệu hàm mũ thực x(t) = eatu(t) −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 f [Hz] |X( f)| a = −2 a = −0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t [s] x(t ) a = −2 a = −0.5 Phổ của xung vuông T0 = 1 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f [Hz] |X( f)| −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 f [Hz] a rg {X (f) } FT cho tín hiệu tuần hoàn Xét tín hiệu ở miền tần số X (jΩ) = 2piδ(Ω −Ω0), ta có: x(t) = 1 2pi ∫ ∞ −∞ 2piδ(Ω − Ω0)e jΩtdΩ = e jΩ0t =⇒ Nếu biết FS của x(t) (tuần hoàn), tìm FT? Ví dụ: Tìm FT của các tín hiệu sau (a) x(t) = cos(Ω0t) (b) x(t) = ∑∞ k=−∞ δ(t − kT ) (c) Xung vuông tuần hoàn x(t) = { 1, `T ≤ t ≤ `T + T0, ` ∈ Z 0, t còn lại Các tính chất của biến đổi Fourier (1) Tuyến tính a1x1(t) + a2x2(t) FT ←−→ a1X1(jΩ) + a2X2(jΩ) (2) Dịch thời gian x(t − t0) FT ←−→ e−jΩt0X (jΩ) (3) Dịch tần số e jΩ0tx(t) FT ←−→ X (j(Ω− Ω0)) Tính chất đối xứng x∗(t) FT ←−→ X ∗(−jΩ) I Phổ của các tín hiệu trên thực tế? I Nếu x(t) thực và x(t) = xe(t) + xo(t), hãy tìm FT của xe(t) và của xo(t)? Vi phân và tích phân Vi phân: d dt x(t) FT ←−→ jΩX (jΩ) Tích phân: ∫ t −∞ x(τ)dτ FT ←−→ 1 jΩ X (jΩ) + piX (0)δ(Ω) Ví dụ: Tìm FT của dãy nhảy đơn vị u(t). Co dãn trên miền thời gian và tần số x(at) FT ←−→ 1 |a| X ( jΩ a ) với a ∈ R, const. Đối ngẫu Nếu x(t) FT ←−→ X (jΩ) thì X (jt) FT ←−→ 2pix(−Ω) Quan hệ Parseval ∫ ∞ −∞ |x(t)|2dt = 1 2pi ∫ ∞ −∞ |X (jΩ)|2dΩ Chập trên miền thời gian x1(t) ∗ x2(t) FT ←−→ X1(jΩ)X2(jΩ) I Chứng minh? I Tự đọc thêm về FT của tích, tương quan chéo giữa hai tín hiệu. Đáp ứng tần số của hệ thống LTI x(t) y(t) h(t) I Đáp ứng tần số: H(jΩ) := FT{h(t)} = ∫ ∞ −∞ h(t)e−jΩtdt I Đáp ứng biên độ: |H(jΩ)| I Đáp ứng pha: arg{H(jΩ)} I Đồ thị Bode: 20 log10 |H(jΩ)| I Khi hệ thống LTI không ổn định, có tồn tại H(jΩ) không? Khái niệm bộ lọc Ω |X (jΩ)| 1 Ωc−Ωc Ω |H(jΩ)| Ωc−Ωc Ω |Y (jΩ)| Phân loại bộ lọc lý tưởng I Mọi hệ thống LTI đều có thể được coi là bộ lọc. I Các bộ lọc chọn lọc tần số lý tưởng: Thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải. 1 Ωc−Ωc Ω |Hlp(jΩ)| 1 Ωc1 Ωc2−Ωc1−Ωc2 Ω |Hbp(jΩ)| 1 Ωc−Ωc Ω |Hhp(jΩ)| 1 Ωc1 Ωc2−Ωc1−Ωc2 Ω |Hbs(jΩ)| Đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng Ví dụ: Hãy tìm đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng sau H(jΩ) = { 1, |Ω| ≤ Ωc 0, |Ω| > Ωc t hlp(t) Khái niệm độ rộng băng thông (bandwidth) Xét hệ thống LTI với đáp ứng tần số H(jΩ) (i) Độ rộng băng thông tuyệt đối: I B = Ωc (hệ thống thông thấp lý tưởng) I B = ΩH − ΩL (hệ thống thông dải lý tưởng). (ii) Độ rộng băng thông 3-dB: |H(jΩ)|2 giảm một nửa so với giá trị lớn nhất. (iii) Tương tự đối với tín hiệu. Ω |H(jΩ)| Outline Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian FT cho tín hiệu rời rạc ko tuần hoàn theo thời gian n ω FT FT −1 Biến đổi thuận: x [n] FT −−→ X (e jω) = FT{x [n]} = ∞∑ n=−∞ x [n]e−jωn X (e jω) - phổ của tín hiệu x [n]. I Tuần hoàn với chu kỳ 2pi I Phổ biên độ: |X (e jω)|, và phổ pha: arg{X (e jω)}. Ví dụ Tìm X (e jω), |X (e jω)| và arg{X (e jω)} của các dãy sau: (a) x [n] = δ[n] (b) x [n] = δ[n − 2] (c) x [n] = δ[n − 2]− δ[n] (d) x [n] = rectN [n] (e) x [n] = (0.5)nu[n] (f) x [n] = u[n] Nhận xét? Phổ biên độ và phổ pha của dãy rect10[n] −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 10 ω |X( jω) | −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −4 −2 0 2 4 ω a rg {X (jω )} Biến đổi Fourier ngược X (e jω) FT −1 −−−−→ x [n] = FT−1{X (e jω)} = 1 2pi ∫ pi −pi X (e jω)e jωndω Ví dụ: Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng tần số như trong hình vẽ 1 pi−pi ωc−ωc ω H(e jω) (a) Hãy tìm đáp ứng xung hlp[n] của bộ lọc này. (b) Xét các trường hợp bộ lọc thông cao, thông dải, chắn dải lý tưởng? Sự tồn tại của biến đổi Fourier FT tồn tại khi dãy sau hội tụ: ∞∑ n=−∞ x [n]e−jωn Điều kiện hội tụ trên miền n: ∞∑ n=−∞ |x [n]| < ∞ Xét trên quan điểm hệ thống? Hệ thống LTI tồn tại đáp ứng tần số khi hệ thống đó ổn định Khi x [n] tuần hoàn? e jω0n FT ←−→ 2pi ∞∑ `=−∞ δ(ω − ω0 − 2pi`) Nếu x˜ [n]N có khai triển Fourier (DTFS): x˜ [n] = N−1∑ k=0 c˜ke j 2pi N kn thì có biến đổi Fourier (FT) như sau: X (e jω) = 2pi ∞∑ k=−∞ c˜kδ(ω − k 2pi N ) Các tính chất của FT I Tuyến tính: FT{a1x1[n] + a2x2[n]} = a1X1(e jω) + a2X2(e jω) I Trễ thời gian: FT{x [n − n0]} = e−jωn0X (e jω) I Trễ tần số: FT{e jω0nx [n]} = X (e j(ω−ω0)) I Đảo trục thời gian: FT{x [−n]} = X (e−jω) I Đạo hàm trên miền tần số: FT{nx [n]} = j dX (e jω) dω I Chập FT{x1[n] ∗ x2[n]} = X1(e jω)X2(e jω) I Nhân FT{x1[n]x2[n]} = 12pi ∫ pi −pi X1(e jθ)X2(e j(ω−θ))dθ Các tính chất đối xứng của FT (a) FT{x∗[n]} = X ∗(e−jω) (b) FT{x∗[−n]} = X ∗(e jω) (c) FT{Re[x [n]]} = 12 [X (e jω) + X ∗(e−jω)] (d) Khi x [n] ∈ R I X (e jω) = X ∗(e−jω) I Re[X (e jω)] = Re[X (e−jω)] I Im[X (e jω)] = −Im[X (e−jω)] I |X (e jω)| = |X (e−jω)| I arg{X (e jω)} = − arg{X (e−jω)} (e) Khi x [n] ∈ R và x [n] chẵn? (f) Khi x [n] ∈ R và x [n] lẻ? Các tính chất khác I Quan hệ Parseval: ∞∑ n=−∞ |x [n]|2 = 1 2pi ∫ pi −pi |X (e jω)|2dω I Tương quan: FT{rx1x2[n]} = SX1X2(e jω) = X1(e jω)X2(e −jω) I Định lý Wiener - Khintchine: Nếu x [n] ∈ R thì FT{rxx [n]} = SXX (e jω) = |X (e jω)|2 trong đó SXX (e jω) gọi là phổ mật độ năng lượng (energy density spectrum) của tín hiệu x [n]. I Điều chế (modulation): FT{x [n] cos(ω 0n)} =? Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Xét hệ thống LTI được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: N−1∑ k=0 aky [n − k] = M−1∑ r=0 arx [n − r ] Biến đổi Fourier cả hai vế và áp dụng tính chất dịch N−1∑ k=0 ake −jkωY (e jω) = M−1∑ r=0 bre −jrωX (e jω) Ta có đáp ứng tần số của hệ thống: H(e jω) = Y (e jω) X (e jω) = ∑M−1 r=0 bre −jrω∑N−1 k=0 ake −jkω Bài tập Matlab 1. Viết chương trình Matlab để tính biến đổi Fourier cho một dãy có chiều dài hữu hạn. 2. Vẽ phổ biên độ và phổ pha của các dãy đã cho trong ví dụ. 3. Dùng hàm freqz và freqs trong Matlab để vẽ đáp ứng tần số của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân / vi phân tuyến tính hệ số hằng.