Bài giảng Sức bền vật liệu - Tập 1 - Nguyễn Quốc Bảo

1 k k nk n n y y y y      * Vậy: Mặt cắt ngang hợp lý có hình dạng sao cho đưӡng trung hoà chia chiều cao cӫa mặt cắt theo tỉ số ӣ (5.14). Ví dụ như mặt cắt hình chữ T, chữ L, (H. 5.8) Hình 5.8 O x y x O - + y maxn maxk Sức bền vật liệu 1 92 - Đối với vật liệu dẻo:    nk   do đó tỉ số ӣ (5.14) bằng 1, nên nk yy maxmax  * Vậy: Mặt cắt ngang hợp lý có hình dạng sao cho đưӡng trung hoà chia đều chiều cao cӫa mặt cắt. Ví dụ như mặt cắt hình chữ I, chữ C, (H. 5.9). - Qua biểu đồ phân bố ӭng suất ta nhận thấy: Ӣ những điểm gần trục trung hoà trị số ӭng suất pháp nhỏ và càng xa trục trung hoà có ӭng suất càng lớn; vì vậy để tiết kiệm vật liệu, mặt cắt ngang nên có hình dạng sao cho phần lớn vật liệu phân bố xa trục trung hoà. Hình 5.9 - Đối với mặt cắt ngang là hình tròn để tĕng khả nĕng chống uốn ta giảm y max (H. 5.10) vì )( 2yfJ x  và khi giảm y một ít thì J x giảm nhanh nên W x tĕng, do đó tĕng khả nĕng chống uốn. Hình 5.10 5.2.5.ăTínhătoánăđiӅuăkiӋnăbӅn 5.2.5.1. Điều kiện bền O x y x O - + y max k max n  x y Y Sức bền vật liệu 1 93 a) Đối với vật liệu dẻo Vì:        nk , nên:    x x z W M maxmaxmax (5.15) b) Đối với vật liệu dòn Vì    nk   , nên có hai điều kiện bền:         n n k k   minmax maxmax (5.16) 5.2.5.2. Ba bài toán cơ bản Từ điều kiện bền ta cũng có ba dạng bài toán cơ bản: 1) Kiểm tra bền Kiểm tra theo (5.15) hoặc (5.16). Trưӡng hợp max lớn hơn không nhiều so với   thì cần kiểm tra sai số ӭng suất tương đối: Nếu:   max% .100%      < 5% thì dầm vẫn bền. 2) Chọn kích thước mặt cắt ngang Từ (5.15) và (5.16), ta suy ra:   x Mmax Wx  (5.17) Từ đó xác định hoặc chọn kích thước mặt cắt. 3) Chọn tải trọng cho phỨp: Từ (5.15) và (5.16), ta suy ra:  .WxxM (5.18) Từ đó suy ra [P]. Ví dụ 5.1: Dầm có mặt cắt chữ T và chịu mômen uốn M o = 55kNm như hình vẽ (H. 5.11). a) Xác định momen quán tính chính trung tâm cӫa mặt cắt. b) Kiểm tra điều kiện bền cӫa dầm. Vật liệu có:  k = 1kN/cm2,  n = 2kN/cm2. Sức bền vật liệu 1 94 Giải: Hình 5.11 a) Xác định yx JJ , . - Chọn hệ trục ban đầu như hình vẽ. - Chia hình làm hai phần. - Xác định tọa độ trọng tâm và diện tích từng phần cmxk , cmyk , 2 , cmFk I 0 5 300 II 0 25 300 - Trọng tâm mặt cắt: 0Cx . 1500 7500 15 600C y cm  - Momen quán tính chính trung tâm cӫa mặt cắt: 42 3 2 3 85000300.)1525( 12 3010300.)155( 12 1030 cm xxJ x  4 33 25000 12 3010 12 1030 cm xxJ y  Vây: 485000cmJ x  ; 425000cmJ y  b) Kiểm tra điều kiện bền cӫa dầm. Dầm chịu lực như hình vẽ. Ta có điều kiện bền: 10cm 10 cm 30 cm 30cm z y x Mx Sức bền vật liệu 1 95         nn x xn kk x xk W M W M   max max Trong đó : kNcmkNmMM ox 550055  kymax = 15 cm. nymax = 25 cm. Do đó: W kx = 3 max 5667 15 000.85 cm y J k x  W kn = 3 max 3400 25 000.85 cm y J n x  Ta có được: 2 max /97,05667 5500 cmkN W M k x xk  2 max /62,13400 5500 cmkN W M n x xn  Kết luận: Dầm đӫ bền. Ví dụ 5.2: Cho một dầm chịu lực như hình vẽ (H. 5.12). Dầm làm bằng hai thép chữ I ghép song song và M 0 = 60 kNm,   = 16 kN/cm2. Hãy chọn số hiệu thép chữ I để thỏa mãn điều kiện bền. Giải: Muốn chọn số hiệu thép chữ I ta phải tìm momen chống uốn W x . Ta thấy dầm chịu uốn thuần túy phẳng, trên mặt cắt ngang cӫa dầm có một mômen uốn xM = 60kNm = 6000kN.cm. Hình 5.12 Mo Mo x a) Mo b) + MX Sức bền vật liệu 1 96 Từ điều kiện bền ta suy ra:    337516 6000 cm MW xx   . Tra bảng thép hình, đối với thép I No.20 có W x = 184cm3 do đó: 2 I No. 20 có 2.W x = 2 x 184cm 3 = 368cm 3 . Kiểm tra lại điều kiện bền ta có:   22max /16/3,16368 6000 cmkNcmkN W M x x   . Sai số: 100 16 163,16 x  = 2% < 5% nên dầm vẫn đӫ bền * Kết luận: Chọn hai thanh I số 20. Ví dụ 5.3: Một dầm bằng gang có kích thước và hình dáng mặt cắt ngang như hình vẽ (H. 5.13). a) Xác định trị số mômen uốn cho phép (chiều như hình vẽ). Biết gang có  k = 15MN/m2 . b) Với trị số mômen uốn cho phép đó thì ӭng suất nén lớn nhất trong dầm là bao nhiêu? Biết J x = 25470cm4. Giải: Hình 5.13 Ta có: J x = 25470 cm 4 = 2547 x10 7 m 4 . 108max ky mm = 108 x 10 3 m nymax 192 mm = 192 x 10 3 m a) Xác định  xM : y x z MX 10 8 19 2 Sức bền vật liệu 1 97 Từ điều kiện:  kk x x y J M max.    mNxmMNx x x x y JM k x kx .1054,3.1054,310108 102547015. 423 8 max     b) Ӭng suất nén lớn nhất trong dầm: Tương tự ta có: 23 7 2 maxmaxmin /2610192.102547 1054,3 . mMNx x xy J M n x xn     * Kết quả:   mNM x .10.54,3 4 ; 2min /26 mMN 5.3.ăDҪMăCHӎUăUӔNăNGANGăPHҶNG 5.3.1.ăĐӏnhănghƿaă Một dầm gọi là uốn ngang phẳng khi trên mặt cắt ngang cӫa dầm có hai thành phần nội lực là momen uốn và lực cắt: 0;0;0  xyz MQN (5.19) Hình 5.14 Ví dụ như dầm chịu tải trọng như hình 5.14. 5.3.2.ăӬngăsuҩtătrênămһtăcҳtăngang Khi uốn ngang phẳng trên mặt cắt ngang cӫa dầm không những có ӭng suất pháp do momen uốn mà còn có ӭng suất tiếp do lực cắt gây ra. 5.3.2.1. Ͱng suất pháp Ӭng suất pháp trên mặt cắt ngang vẫn được tính theo công thӭc (5.6): y J M x x z . 5.3.2.2. Ͱng suất tiếp P - - MX QY Sức bền vật liệu 1 98 Trong tính toán ngưӡi ta thưӡng bỏ qua ảnh hưӣng cӫa ӭng suất tiếp do lực cắt. Khi cần kể đến ta sử dụng công thӭc Juravski: c c x x y zy b S J Q . (5.20) Trong đó: - zy là ӭng suất tiếp có phương cӫa lực cắt Q y . - J x là momen quán tính cӫa mặt cắt ngang đối với trục trung hoà x. - b c là chiều rộng cӫa mặt cắt tại điểm tính ӭng suất tiếp. -  cF c x dFyS . * là momen tĩnh cӫa phần diện tích bị cắt đối với trục trung hoà x; ta cũng có thể tính: cCcx FyS .F với FCy là khoảng cách từ trọng tâm C cӫa diện tích cắt cF đến trục trung hoà x. * Chú ý: Ͱng suất tiếp zy cùng chiều với lực cắt yQ . 5.3.2.3. Phân bố ͱng suất tiếp trên một số mặt cắt đơn giản a) Hình chữ nhật Hình chữ nhật có kích thước b.h (H. 5.15a). Ta có: x C C xy zy Jb SQ . . Trong đó: cCcx FyS .F F 1 1( ) ( ). 2 2 2 2 .( ) 2 C c h h y y y y h F b y = + - = + = - 2 2 3 ( ). 2 4 12 C x x b hS y bhJ          2 241 2 3 h y bh Qy zy (5.21) Biểu đồ phân bố ӭng suất tiếp trên mặt cắt ngang biến thiên theo qui luật parabol (bậc hai) dọc theo chiêù cao h cӫa mặt cắt ngang (H. 5.17b). Sức bền vật liệu 1 99 - Tại hai mép trên và dưới cӫa mặt cắt     2 hy có: xy = 0. - Tại các điểm trên trục trung hoà (y = 0) ӭng suất tiếp đạt gía trị lớn nhất : F Q bh Q yy . 2 3 . 2 3 max  (5.22) b) Hình tròn Hình tròn có bán kính R (H. 5.16a). Hình 5.15 Hình 5.16 Ta cũng tính được :  224 . . . 3 4 yR R Qy zy   (5.23) Biểu đồ phân bố ӭng suất tiếp trên mặt cắt ngang như hình 5.18b. Tại các điểm trên trục trung hoà ӭng suất tiếp đạt gía trị lớn nhất : 2max . . 3 4 . 3 4 R Q F Q yy   (5.24) c) Hình chữ I Chữ I như hình 5.17. - Ӭng suất tiếp trên phần thân: Với: dbc  22 . 2dySydySS xx c x  .  d ydS J Q x x y zy      2 . 2 . (5.25) Ta thấy biểu đồ zy có dạng đưӡng cong bậc hai. x O P y O y x F C y max max zy Sức bền vật liệu 1 100 Tại vị trí trục trung hòa (y = 0) : d S J Q x x y . max max  . (5.26) Hình 5.17 - Tại vị trí điểm K tiếp giáp giữa phần thân và đế (y = th  2 ), ta có : + Ӭng suất pháp:     th J M x zK z 2 . (5.27) + Ӭng suất tiếp: d t hdS J Q x x yK zy          2 22 . (5.28) 5.3.3.ăTínhătoánăđiӅuăkiӋnăbӅn 5.3.3.1. Điều kiện bền Dựa vào biểu đồ phân bố ӭng suất pháp và ӭng suất tiếp dọc theo chiều cao mặt cắt, ta thấy có ba loại trạng thái ӭng suất (H. 5.18): a) Trạng thái ͱng suất đơn Tại mép A và B (điểm xa trung hoà nhất), xét tại mặt cắt có maxxM và áp dụng thuyết bền ӭng suất pháp cực đại. Điều kiện bền là các biểu thӭc (5.15) và (5.16) b) Trạng thái trượt thuần tuý Tại điểm 0 (trên trục trung hoà), xét tại mặt cắt có maxyQ .   max Để tính   ta dựa vào các thuyết bền. h b y t d O K x Sức bền vật liệu 1 101 - Đối với vật liệu dẻo: + Thuyết bền ӭng suất tiếp lớn nhất:     2   (5.29) + Thuyết bền thế nĕng biến đổi hình dạng:     3   (5.30) - Đối với vật liệu dòn: Dùng thuyết bền Mohr.       1 (5.31) Với :   n k    c) Trạng thái ͱng suất phẳng (đặc biệt) Tại điểm C (ӣ giữa O và A,B) có cả ӭng suất tiếp và ӭng suất pháp, ta xét tại mặt cắt có xM và yQ cùng lớn, chỉ cần thiết kiểm tra tại những nơi nguy hiểm như chỗ tiếp giáp giữa thân và đế cӫa mặt cắt chữ I, chữ C, ... Để kiểm tra bền ta phải xét độ bền cӫa trạng thái ӭng suất tương đương, điều kiện là :   maxtd (5.32) Để tính ӭng suất tương đương ta dựa vào các thuyết bền: - Thuyết bền ӭng suất tiếp lớn nhất: 22 3 4 zyzt   (5.33) - Thuyết bền thế nĕng biến đổi hình dạng: 22 4 3 zyzt   (5.34) * Chú ý: Thực tế trị số cͯa ͱng suất tiếp cͯa dầm chịu uốn thường rất bỨ so với trị số ͱng suất pháp nên nó thường được bỏ qua. Do đó điều kiện bền cơ bản là các biểu thͱc (5.15) và (5.16). Sức bền vật liệu 1 102 Hình 5.18 5.3.3.2. Ba bài toán cơ bản Ta cũng có ba bài toán cơ bản: a) Bài toán kiểm tra bền. Kiểm tra điều kiện bền như ӣ mục 5.3.3.1. b) Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang. Ta tiến hành như sau: - Dựa vào điều kiện bền cӫa phân tố ӣ trạng thái ӭng suất đơn để chọn kích thước sơ bộ cӫa mặt cắt ngang. - Sau đó, kiểm tra bền đối với các phân tố ӣ trạng thái ӭng suất trượt thuần túy và trạng thái ӭng suất phẳng. Nếu không đạt thì ta thay đổi kích thước mặt cắt ngang. c) Bài toán xác định tải trọng cho phỨp. Ta có hai cách để giải quyết: - Cách 1: Ta tiến hành như sau: + Xác định tải trọng sơ bộ: Dựa vào điều kiện bền cӫa phân tố ӣ trạng thái ӭng suất đơn ta xác định sơ bộ tải trọng cho phép. + Kiểm tra bền đối với các phân tố ӣ trạng thái ӭng suất trượt thuần túy và trạng thái ӭng suất phẳng: kiểm tra bền với tải trọng sơ bộ. Nếu thỏa mãn ta lấy tải trọng sơ bộ là tải trọng cho phép. - Cách 2: Ta tiến hành như sau: O B A A O B min max zy   Sức bền vật liệu 1 103 + Từ điều kiện bền cӫa các phân tố ӣ ba trạng thái ӭng suất ta xác định được các tải trọng cho phép cӫa các trạng thái: [P] 1 , [P] 2 , [P] 3 . + Chọn [P] = min ([P] 1 , [P] 2 , [P] 3 ). Ví dụ 5.5: Trục bánh xe lửa chịu lực như hình vẽ (H. 5.19a). Biết: P = 63kN; a = 22,8cm. Vật liệu có giới hạn chảy: 2/26 cmkNch  . Lấy hệ số an toàn n = 6,3. Xác định đưӡng kính cӫa trục ӣ giữa 2 bánh xe. Giải: Do tính chất đối xӭng nên: kNPPPNN BA 632  Ta có biểu đồ lực cắt và momen uốn như hình vẽ. Đoạn nằm giữa 2 bánh chịu uốn thuần tuý phẳng. Hình 5.19 Giá trị momen uốn : M x = P.a = 63x22,8 = 1436,4kNcm P P P P P P 63 kN 1436,4 kNcm - + QY a) b) c) d) - 63 kN MX a a Sức bền vật liệu 1 104 Ta có điều kiện:   xx MW  Trong đó: - Momen chống uốn cӫa mặt cắt ngang tròn là: 3 xW 0,1D= . - Trị số ӭng suất cho phép:   n ch  .  n MD ch x 31,0  33 261,0 3,64,1436 .1,0 . x xnMD ch x   = 15,2cm Vậy: D = 152mm Ví dụ 5.6: Cho dầm chữ I số hiệu 24 chịu tải trọng như hình vẽ (H. 5.20). Biết 1P = 30kN, 2P = 100kN, a = 1m, b = 1,5m,   = 16 2/cmkN . Kiểm tra điều kiện bền cӫa dầm. Giải: Do tính chất đối xӭng nên: kNNN BA 802 3010030  . Tra bảng thép hình I số hiệu 24 có: h = 240mm, b = 115mm, d = 5,6mm, t = 9,5mm, 43460cmJ x  , 3289cmWx  , 2163cmSx  . Ta có biểu đồ lực cắt và momen uốn như hình vẽ. Dầm chịu uốn ngang phẳng, kiểm tra bền ta phải kiểm tra ba loại phân tố trạng thái ӭng suất: - Phân tố ӣ trạng thái ӭng suất đơn: tại mặt cắt có 45max zM kN.m = 4500kN.cm   22maxmax /16/57,15289 4500 cmkNcmkN W M x z   . - Phân tố ӣ trạng thái ӭng suất trượt thuần túy: tại mặt cắt có maxyQ = 50kN. c c x x y b S J Q . max max  Mà: 2163cmSS xcx  . Sức bền vật liệu 1 105 dbc  = 5,6mm = 0,56cm. 43460cmJ x  Do đó:     22max /82 16 2 /21,4 56,0 163 . 3460 50 cmkNcmkN   . Hình 5.20 - Phân tố ӣ trạng thái ӭng suất phẳng: tại mặt cắt có maxzM = 4500kN.cm và maxyQ = 50kN. Ta kiểm tra tại điểm K (H. 5.21) theo ӭng suất tương đương: 22 4 zyztd   Trong đó: 2max /37,1495,0 2 24 . 3460 4500 2 . cmkNth J M x zK z        . 291,12595,05,11 2 95,024 .. 2 cmxxtbthS cx  .  2/25,3 56,0 91,125 . 3460 50 cmkNKzy  + _ + _ _ P1 P1 P2 a b a A B NA 30 50 30 NB Qy 30 45 50 b Mx kN kNm 30 Sức bền vật liệu 1 106 Hình 5.21 Do đó:       2222 /16/77,1525,3437,14 cmkNcmkNxKtd   . Vậy dầm thỏa mãn điều kiện bền. Ví dụ 5.7: Cho dầm tròn chịu tải trọng như hình vẽ (H. 5.22). Biết: P = 5kN, a = 40cm, b = 60cm,   = 16 2/cmkN . Bỏ qua trọng lượng bản thân dầm. a) Vẽ biểu đồ nội lực b) Chọn đưӡng kính cӫa dầm. Giải: a) Vẽ biểu đồ nội lực - Xác định phản lực tại A và B: Hệ lực tác dụng lên dầm gồm: tải trọng P và các phản lực đặt hai gối đỡ A và B. Từ phương trình cân bằng tĩnh học ta có:     0. 0.     bPbaNm baNaPm AB BA  kNx ba bPNA 36040 605.  . kNx ba aPNB 26040 405.  . - Chia đoạn và xác định trị số các nội lực: Ta chia dầm làm hai đoạn: AC và CB. Muốn xác định trị số cӫa các nội lực trên từng đoạn ta dùng phương pháp mặt cắt (H. 5.21b). h b y t d O K x Sức bền vật liệu 1 107 + Đoạn AC: Thực hiện mặt cắt 1-1 (0  z  40), khảo sát sự cân bằng cӫa bên trái, ta phải đặt vào mặt cắt những nội lực: yQ và M x . cmkNzzNMzNMm kNNQNQY AxAx AyAy ..3.0. 30     + Đoạn CB: Mặt cắt 2-2 (0  z 60), khảo sát sự cân bằng cӫa phần bên phải, ta có: cmkNzzNMm kNNQY Bx By .2.0 20     - Vẽ biểu đồ nội lực: Ta có biểu đồ nội lực như hình vẽ (H. 5.22c). M x đạt giá trị lớn nhất cmkNM x .120max  tại vị trí yQ đổi dấu. b) Xác định đưӡng kính cӫa dầm: Qua biểu đồ, ta nhận thấy dầm AB chịu uốn ngang phẳng, do đó ta xác định đưӡng kính cӫa dầm theo điều kiện bền cӫa ӭng suất pháp và kiểm tra lại điều kiện bền theo ӭng suất tiếp. - Ta có điều kiện bền theo ӭng suất pháp:        3 3 x x 1,0 1,0W W   x xxx MD MDMM    cm x D 2,4 161,0 120 3  . - Kiểm tra lại độ bền cӫa dầm theo điều kiện ӭng suất tiếp lớn nhất:    F . 3 4 max yQ Trong đó: kNNQ Ay 3max  ;   222 84,13 4 2,414,3 4 cm xDF       2/8 2 16 2 cmkN     22max /8/3,084,13 3 3 4 cmkNcmkNx   : Dầm đӫ bền Sức bền vật liệu 1 108 Vậy: đưӡng kính cӫa dầm D = 4,2 cm = 42 mm. Hình 5.22 Ví dụ 5.8: Cho dầm chữ I số hiệu 20 chịu tải trọng như hình vẽ (H. 5.23). Biết a = 1m,   = 16 2/cmkN . Bỏ qua trọng lượng bản thân dầm. a) Vẽ biểu đồ nội lực theo P. b) Xác định tải trọng cho phép  P theo điều kiện ӭng suất pháp cực đại. Giải: a) Vẽ biểu đồ nội lực: Xác định phản lực liên kết tại A và B:  Bm = N A .4a – P.3a – 2P.a = 0  PNA 75 . PPPNB .4 7 4 53  . Ta có biểu đồ nội lực như hình vẽ (H. 5.23b,c). A B C NA z Mx Qy Mx Qy NB z 3 2 120 P b a NB + _ + Qy Mx kN kNcm a) b) c) d) e) Sức bền vật liệu 1 109 Hình 5.23 b) Xác định tải trọng cho phép  P : Tra bảng thép I số hiệu 20 có: 3184 cmWx  , 41840cmJ x  , h = 200mm = 20cm, t = 8,4mm = 0,84cm, b = 100mm = 10cm, d = 5,2mm = 0,52cm. - Điều kiện bền theo ӭng suất pháp cực đại:   x x W M max Với: aPM x ..4 7 max  .    xW aP 4 ..7    1007 184164. . 7 4 x xx a WP   = 16,82kN Vậy:  P = 16,82kN. - Kiểm tra trạng thái ӭng suất trượt thuần túy: Kiểm tra tại mặt cắt D có 82,16 4 7 xQy  = 29,435kN. 2P A B P + _ + NA NB Qy Mx a 2a a P 4 5 4 P P 4 7 aP. 4 5 aP. 4 7 C D a) b) c) Sức bền vật liệu 1 110 Ta có: c c x x yD zy b S J Q . Trong đó: 3104cmSS x c x  . dbc  = 0,52 cm. Do đó:     22max /82 16 2 /2,3 52,0 104 . 1840 435,29 cmkNcmkN   . - Phân tố ӣ trạng thái ӭng suất phẳng: Kiểm tra tại mặt cắt có 10082,16 4 7 .. 4 7 max xxaPM z  = 2943,5kN.cm và maxyQ = 29,435kN. Ta kiểm tra tại điểm K (H. 5.21) theo ӭng suất tương đương: 2max /64,1484,0 2 20 . 1840 5,2943 2 . cmkNth J M x zK z        247,8084,010 2 84,020 .. 2 cmxxtbthS cx  . 2/48,2 52,0 47,80 . 1840 475,29 cmkNKzy  Do đó:       2222 /16/47,1548,2465,14 cmkNcmkNxKtd   . Kết luận: Dầm thỏa mãn điều kiện bền. 5.4. DҪMăCHӔNGăUӔNăĐӄU 5.4.1.ăĐӏnhănghƿa Dầm chống uốn đều là dầm có kích thước mặt cắt ngang thay đổi sao cho mọi mặt cắt ngang nào ta cũng có   max Do đó dầm chống uốn đều có hình dáng hợp lý, nên tiết kiệm vật liệu. Dầm chống uốn đều được sử dụng trong loại lò xo dùng làm nhíp ӣ trục bánh xe ô tô, các trục bậc. 5.4.2.ăVíădө Dầm có mặt cắt tròn chịu lực như hình vẽ (H. 5.24). Xác định đưӡng kính hợp lý cӫa dầm. Biết dầm có ӭng suất cho phép   . 22 4 zyztd   Sức bền vật liệu 1 111 Giải: Hình 5.24 Momen uốn và lực cắt trên mặt cắt ngang tại mặt cắt có hoành độ z là: ; 2 2x y P PM z Q  Ta có: 33max 2,0 . 1,02 . d zP dx zP W M x x  Để có đưӡng kính hợp lý thì:    3max 2,0 . d zP   3 2,0 .  zPd  Như vậy hình dáng hợp lý cӫa dầm có dạng đưӡng cong (nét đӭt) như hình vẽ (H 5.25). Nhưng vì khó gia công nên ngưӡi ta chế tạo dầm dạng trục bậc có đưӡng kính gần với đưӡng cong cӫa dầm chống uốn đều. Hình 5.25 5.5.ăCHUYӆNăVӎăCӪAăDҪMăCHӎUăUӔN 5.5.1.ăĐѭӡngăđƠnăhӗi,ăđӝăvõng,ăgóc xoayăkhiăuӕn 2 L 4 PL 2 P z P Mx 2 P 2 L Sức bền vật liệu 1 112 Khi dầm bị uốn, trục cӫa dầm bị uốn cong (H. 5.26). Đưӡng cong cӫa dầm sau khi bị uốn gọi là đường đàn hồi. Bán kính cong cӫa dầm tại một vị trí được xác định: x x M1 ρ EJ= (5.37) Hình 5.26 Chuyển vị cӫa tiết diện được đặc trưng bӣi chuyển vị thẳng cӫa trọng tâm và chuyển vị xoay cӫa mặt phẳng tiết diện. Thành phần chuyển vị theo phương vuông góc trục thanh gọi là độ võng: y = y(z). Chuyển vị xoay cӫa tiết diện gọi là góc xoay:  zy dz dy 'tan  Vì chuyển vị là bé ( y << l) nên  zy dz dy 'tan   . Vậy: Đạo hàm cͯa đường đàn hồi là góc xoay cͯa mặt cắt khi dầm bị biến dạng. * Chú ý: 1) Trong kỹ thuật, người ta khống chế độ võng lớn nhất cͯa dầm maxy (điều kiện cͱng) theo công thͱc: 100 1 1000 1max    l y    ly . 100 1 1000 1 max     (5.38) 2) Qui ước dấu cͯa chuyển vị: - y > 0 : nếu hướng xuống dưới. y a) b) Ñöôøng ñaøn hoài y z dz dz dy Z P  dyy    Sức bền vật liệu 1 113 -  > 0 : nếu quay trục z đến tiếp tuyến với đường đàn hồi tại điểm khảo sát theo chiều kim đồng hồ. 5.5.2.ăPhѭѫngătrìnhăviăphơnăcӫaăđѭӡngăđƠnăhӗi Theo hình học vi phân, ta có:  232'1 "1 y y   (5.39) So sánh (5.37) và (5.39): ( ) 3 2 2 " 1 ' x x My EJy = ± + Khảo sát dầm bị uốn cong như hình vẽ (H. 5.27) ta thấy y” và M x luôn luôn ngược dấu nên: ( ) 3 2 2 " 1 ' x x My EJy = - + Hình 5.27 Vì dầm có chuyển vị bé nên: 2'y << 1, ta có phương trình vi phân gần đúng cͯa đuờng đàn hồi: x x EJ My '' (5.40) 5.5.3.ăXácăđӏnhăchuyӇnăvӏăvƠăgócăxoayăcӫaădҫmăbҵngăphѭѫng pháp tích phơnăkhôngăxácăđӏnh Bằng phương pháp tích phân không xác định, ta lấy tích phân liên tiếp biểu thӭc (5.40), ta được: y O z Mx Mx 0XM 0'' y 0'' y 0XM Sức bền vật liệu 1 114 1.' CdzEJ M y x x   (5.41) 21. CzCdzdzEJ M y x x       (5.42) Trong đó: C và D là các hằng số tích phân được xác định theo các điều kiện biên (điều kiện về chuyển vị và góc xoay tại các đầu dầm). * Chú ý: 1) Đối với các dầm đơn giản ta thường gặp các điều kiện biên sau: - Đầu ngàm cͯa dầm console (H. 5.28a): Chuyển vị và góc xoay đều bằng không. 0 AAy  - Tại các đầu khớp, gối đỡ cͯa dầm đơn giản (H. 5.28b):chuyển vị bằng không. 0 BA yy . - Tại nơi tiếp giáp giữa 2 đoạn dầm có phương trình đàn hồi khác nhau (H. 5.28b):chuyển vị và góc xoay cͯa bên trái và bên phải bằng nhau. ph C tr C ph C tr C yy    Hình 5.28 2) Để xác định chuyển vị thẳng (độ võng) ta còn có các phương pháp khác như: - Phương pháp tải trọng giả tạo (phương pháp đồ toán) - Phương pháp thông số ban đầu. Ví dụ 5.7: Cho dầm console như hình vẽ (H. 5.29). Biết: P, l, EJ = const. a) Viết phương trình độ võng và góc xoay cӫa dầm. b) Tính độ võng và góc xoay ӣ đầu tự do A cӫa dầm. A A B 0By 0Ay C 0 AAy  a) b) Sức bền vật liệu 1 115 Giải: a) Viết phương trình độ võng và góc xoay cӫa dầm. Hình 5.29 Momen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là: M x + P (l – z) = 0  M x = - P (l – z) Phương trình vi phân cӫa đưӡng đàn hồi: ( )" x x x M P y l z EJ EJ = - = - Phương trình góc xoay:   Cz EJ P z EJ Pl zy xx  2. 2 .'  Phương trình cӫa đưӡng đàn hồi: 2 3 2 6x x Pl P y z z Cx D EJ EJ = - + + . Điều kiện biên: tại O (z = 0): y’ = y = 0  C = D = 0. Vậy:   2. 2 .' z EJ P z EJ Pl zy xx       3 . J2 2 x zlz E Py b) Tính độ võng và góc xoay ӣ đầu tự do A cӫa dầm. Độ võng và góc xoay lớn nhất tại z = l: x A A EJ Pl E Plyy 2 J3 2 max x 3 max    P z l zl  MX P Sức bền vật liệu 1 116 Vây: 3 2 max max x ; 3 J 2A A x Pl Ply y E EJ      C.ăCỂUăHӒIăỌNăTҰP 1) Thế nào là mặt phẳng tải trọng, đường tải trọng? 2) Thế nào là uốn thuần tuý thẳng, uốn ngang phẳng? 3) Thiết lập công thͱc tính ͱng suất pháp trên mặt cắt ngang cho thanh chịu uốn thuần tuý phẳng? Qui ước dấu cͯa ͱng suất? 4) Hình dáng hợp lý cͯa mặt cắt ngang khi uốn thuần tuý phẳng là gì? 5) Điều kiện bền cͯa thanh khi uốn thuần tuý phẳng đối với vật liệu dẻo, dòn? 6) Điều kiện bền cͯa thanh khi uốn ngang phẳng đối với vật liệu dẻo, dòn? 7) Thế nào dầm chống uốn đều? 8) Đường đàn hồi, độ võng, góc xoay khi uốn? Phương trình vi phân cͯa đường đàn hồi? 9) Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tích phân không định hạn. Sức bền vật liệu 1 117 Chѭѫngă6. THANHăTHҶNGăCHӎUăXOҲNăTHUҪNăTỎY A.ăMӨCăTIểU - Cung cấp các kiến thͱc về nội lực, biểu đồ nội lực, ͱng suất, biến dạng, các điều kiện bền và cͱng cͯa thanh chịu xoắn thuần tuý. - Giải quyết được các bài toán liên quan đến thanh chịu xoắn thuần tuý như: các định nội lực, vẽ được biểu đồ nội lực, đánh giá được giá trị cͯa nội lực trên các mặt cắt cͯa thanh, xác định được ͱng suất và biến dạng, bài toán về điều kiện bền và cͱng. B.ăNӜIăDUNG 6.1.ăKHÁIăNIӊM 6.1.1.ăĐӏnhănghƿa Một thanh được gọi là chịu xoắn thuần túy khi trên mặt cắt ngang cӫa thanh chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn zM .       0N 0Q 0M z y z (6.1) Thanh chịu xoắn được gọi là trục. Ví dụ, các chi tiết chịu xoắn như: trục động cơ, trục hộp số, lò xo, ... y Hình 6.1 Hình 6.2 * Chú ý: 1) Ngoại lực là cho thanh chịu xoắn có thể là những momen tập trung M hoặc những momen phân bố m(z). Những momen này được gọi là momen xoắn ngoại lực. 0ZM MZ x z a) b) 0ZM Sức bền vật liệu 1 118 2) Dấu cͯa mômen xoắn nội lực được qui ước như sau (H. 6.2): - Dấu “+” (M z > 0): Khi ta nhìn vào mặt cắt ta thấy mômen xoắn nội lực quay cùng chiều kim đồng hồ. - Dấu “-“ (M z < 0): Khi ta nhìn vào mặt cắt ta thấy mômen xoắn nội lực quay ngược chiều kim đồng hồ. 6.1.2.ăBiӇuăđӗănӝiălӵc Biểu đồ nội lực là biểu đồ momen xoắn nội lực, ӣ đó biểu diễn trị số M z cӫa các mặt cắt dọc theo trục thanh. Biểu đồ nội lực cӫa M z được vẽ như các thành phần nội lực khác, nghĩa là dùng phương pháp mặt cắt và xét sự cân bằng cӫa một phần nào đó rồi viết phuơng trình cân bằng và cuối cùng tìm giá trị nội lực. Ví dụ 6.1: Cho trục chịu lực như hình vẽ (H. 6.3a). Biết: M1 = 750N.m; M2 = 500N.m; l = 0,5m. a) Xác định momen m để trục cân bằng. b) Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực cӫa trục Giải: a) Xác định momen m để trục cân bằng. Momen phân bố m được xác định khi toàn bộ thanh được cân bằng:  mNmMMm /500 5,0 500750 5,0 21  . b) Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực cӫa trục: Cĕn cӭ vào tải trọng tác dụng ta chia thanh làm bốn đoạn: - Đoạn AB: Dùng mặt cắt 1-1 cách đầu trục một đoạn z trên đoạn AB )5,00(  z và xét sự cân bằng phần bên trái cӫa thanh:   01zz Mmzm  Mz1 = m.z = 500.z (Nm). - Đoạn BC: Dùng mặt cắt 2-2 trên đoạn BC và xét sự cân bằng phần bên trái cӫa thanh: 20,5 0z zm m M     Mz2 = 0,5m = 0,5 x 500 = 250 (Nm).   05,0 21 MMmM Sức bền vật liệu 1 119 - Đoạn CD: Dùng mặt cắt 3-3 trên đoạn CD và xét sự cân bằng phần bên trái cӫa thanh: 1 30,5 0z zm m M M      Mz3 = 0,5m - M 1 = - 500 (Nm). - Đoạn DE: Dùng mặt cắt 4-4 trên đoạn DE và xét sự cân bằng phần bên trái cӫa thanh: 1 2 40,5 0z zm m M M M       Mz4 = 0. Ta có biểu đồ nội lực như hình 6.3f. Hình 6.3 Qua biểu đồ ta nhận thấy: Tiết diện trên thanh không đổi nên mặt cắt trên đoạn thanh CD là mặt cắt nguy hiểm nhất vì có momen xoắn lớn nhất: NmM z 500max  . * Nhận xỨt: 500 Nm M1 A m M2 E B C D m MZ a) b) m m m MZ M1 MZ M1 M2 MZ c) d) e) 250 Nm f) + - MZ l l l l Sức bền vật liệu 1 120 1) Tại mặt cắt có momen xoắn ngoại lực tập trung thì biểu đồ zM có bước nhảy tương ͱng, trị số cͯa bước nhảy bằng trị số mômen cͯa ngoại lực và ngược chiều với vectỏ momen này. Nói cách khác: trên đoạn thanh không có momen ngoại lực (tập trung hoặc phân bố) thì trị số nội lực là không đổi. Còn đối với đoạn thanh có momen ngoại lực phân bố thì nội lực thay đổi liên tục. 2) Từ nhận xỨt trên ta có phương pháp vẽ thực hành biểu đồ nội lực qui ước như sau: - Vẽ biểu đồ từ trái sang phải. - Xác định chiều cͯa biểu đồ là chiều cͯa ngoại lực được nhìn từ phải sang trái. 6.1.3. Quan hӋăgiӳaămomenăxoҳnăngoҥiălӵcăvӟiăcôngăsuҩt Ta có: Công A do momen M thực hiện khi trục quay một góc  trong thӡi gian t là: .MA  Công suất:  .. M t M t AN   M =  N (6.2) Trong đó: M – mômen xoắn ngoại lực (Nm). N – công suất (W)  - vận tốc góc: 30 n (rad/s) n – tốc độ (v/ph). * Chú ý: 1) Trong kỹ thuật với N tính bằng kW, người ta còn tính bằng công thͱc: M = 9,55. 310 . n N , (Nm) (6.3) 2) Công suất có thể được tính bằng mã lực: 1HP = 0,736kW Ví dụ 6.2: Trên trục truyền như hình vẽ (H. 6.4a), có P là puly chӫ động truyền cho trục công suất là N = 90kW. Puly P 1 nhận được một công suất là N 1 = Sức bền vật liệu 1 121 40kW và puly P 2 nhận được một công suất là N 2 = 50kW; các puly này truyền công suất đến các nguồn tiêu thụ. Vẽ biểu đồ momen xoắn. Biết trục truyền quay đều với vận tốc n = 120vg/ph. Giải: Hình 6.4 Ta có momen tác dụng lên trục: )(.10.55,9 3 Nm n NM  . Tại puly chӫ động: 3 909,55.10 . 7.162,5 120 M Nm  . Tại puly 1: 31 409,55.10 . 3.183,3120M Nm  . Tại puly 2: 32 909,55.10 . 3.979,250M Nm  . Trục quay đều nên xem trục cân bằng dưới tác dụng cӫa các momen 21,, MMM (M = M 1 + M 2 ). Biểu đồ momen xoắn được biểu diễn như hình vẽ (H. 6.4c) 6.2.ăӬNGăSUҨTăTRểNăMҺTăCҲTăNGANGăCӪAăTHANHăTRọN 6.2.1.ăThíănghiӋmăvƠăquanăsát Quan sát một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý: - Trước khi thanh chịu xoắn (H. 6.5a): Ta kẻ những đưӡng song song với trục thanh (đưӡng sinh) biểu thị cho các thớ dọc và những đưӡng tròn vuông góc 3979,2Nm c) P2 P1 P n M1 M M2 b) a) - + 3183,3Nm MZ Sức bền vật liệu 1 122 với trục thanh biểu thị cho các mặt cắt ngang. Hệ các đưӡng thẳng và đưӡng tròn tạo thành các lưới hình chữ nhật. - Sau khi thanh chịu xoắn (H. 6.5b), ta thấy: + Các đưӡng vuông góc với trục thanh vẫn giữ nguyên là đưӡng tròn và vuông góc với trục thanh, khoảng cách giữa chúng vẫn không thay đổi, nghĩa là chiều dài thanh vẫn giữ nguyên. + Các đưӡng song song với trục thanh trӣ thành các đưӡng xoắn ốc. + Mạng lưới ô vuông trӣ thành gần như mạng lưới hình bình hành. Hình 6.5 6.2.2.ăCácăgiҧăthuyӃt Từ quan sát trên, ta đưa ra các giả thuyết để tính toán: 1) Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng: Trước và sau biến dạng các mặt cắt ngang vẫn phẳng, vuông góc với trục thanh. 2) Giả thuyết về trục thanh: Trước và sau biến dạng trục thanh luôn luôn thẳng và chiều dài không thay đổi. 3) Giả thuyết về bán kính: Trước và sau biến dạng các bán kính vẫn thẳng và độ dài không thay đổi. 4) Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau hoặc đẩy nhau. * Kết luận: Trên mặt cắt ngang cͯa thanh chịu xoắn chỉ có thành phần ͱng suất tiếp mà không có thành phần ͱng suất pháp (vì thanh không có biến dạng dọc mà chỉ có biến dạng góc) 6.2.3.ăThiӃt lұpăcôngăthӭc 6.2.3.1. Về biến dạng Ta tưӣng tượng tách một phân tố cӫa thanh chịu xoắn giới hạn bӣi hai mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 cách nhau một đoạn dz vô cùng bé, hai mặt trụ đồng tâm có z y x x y z M z dz a) b) Sức bền vật liệu 1 123 bán kính  và (  d ), hai mặt phẳng chӭa trục thanh và hợp với nhau một góc d (H. 6.6a). Sau khi biến dạng, mặt cắt 2-2 sẽ xoay đi tương đối một góc d so với mặt 1-1. Ta có  là góc trượt tỉ đối cӫa phân tố cách trục một bán kính  . Theo định luật Hooke khi trượt: Mà: dz d dz AA tg   .'   (vì  bé) 6.2.3.2. Về ͱng suất Theo định luật Hooke khi trượt:   .G (6.4) Thế giá trị  vào (6.4), ta có: dz dG   .. (6.5) Trong đó:   dz d là một hằng số đối với một mặt cắt ngang gọi là góc xoắn tỉ đối. 6.2.3.3. Quan hệ giữa ͱng suất tiếp và momen xoắn nội lực Xét trên mặt cắt ngang có momen xoắn nội lực là zM (H. 6.6b). Ӭng suất tiếp  tác dụng trên phân tố diện tích dF quanh điểm khảo sát gây ra một momen xoắn đối với trục z là: dFdM z ..  Hình 6.6 Tổng momen đối với trục z cӫa các ӭng suất tiếp trên tiết diện F chính là momen xoắn zM .  F z dFM ..  (6.6) z dz MZ R z d   A A 1 a) b)  d dz  d  Sức bền vật liệu 1 124 Thế (6.5) vào (6.6), ta có: dz dJGdF dz dGdF dz dGM o FF z  ....... 22   (6.7) Với:  F o dFJ . 2 : gọi là mômen quán tính độc cực cӫa mặt cắt ngang. Từ (6.7)  o z JG M dz d .  (6.8) Thế (6.8) vào (6.5), ta được:   . o z J M (6.9) * Nhận xỨt: 1) Từ biểu thͱc (6.9) ta nhận thấy giá trị  là hàm phân bố bậc nhất đối với  . - Tại trục thanh (  = 0) không bị xoắn ( 0 ). - Tại các điểm trên chu vi )( R ͱng suất tiếp có giá trị lớn nhất ( max   ) o z o z W MR J M  .max (6.10) Với: R JW oo  : mômen chống xoắn cͯa mặt cắt ngang, có thͱ nguyên là [chiều dài] 3 , đặc trưng cho khả nĕng chịu xoắn cͯa mặt cắt. 2) Phương cͯa ͱng suất tiếp tại một điểm nào đó trên mặt cắt ngang vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. 6.2.4.ăBiӇuăthӭcătínhămomenăquánătínhăđӝcăcӵcăvƠămomenăchӕngăxoҳnăđӕiă vӟiămһtăcҳtătròn a) Mặt cắt là hình vành khĕn Có đưӡng kính ngoài là D và đưӡng kính trong là d và D d , do đó: )1(1,0)1( 32 444 4   DDJo (6.11) )1(2,0)1( 16 434 3   DDWo (6.12) b) Mặt cắt là đường tròn Sức bền vật liệu 1 125 Có đưӡng kính D, d = 0, 0 D d , do đó: 4 4 1,0 32 DDJo  (6.13) 3 3 2,0 16 DDWo  (6.14) 6.2.5.ăHìnhădҥngămһtăcҳtăngangăhӧpălỦ Đối với thanh tròn chịu xoắn, phần vật liệu nằm gần tâm mặt cắt làm việc nhẹ hơn phần vật liệu nằm gần chu vi mặt cắt (vì có  bé). Vậy muốn tiết kiệm vật liệu ta có thể khoét bỏ phần vật liệu ӣ tâm. Nhưng để oW vẫn như cũ ta phải tĕng đưӡng kính ngoài D và đưӡng kính trong d một cách thích hợp (chọn  thích hợp). * Vậy: Mặt cắt ngang hợp lý cͯa thanh chịu xoắn là hình vành khĕn. Để đánh giá mӭc độ hợp lý ta dùng một hệ số để so sánh là: 3 o m WK F  (6.15) Trong đó: oW : momen chống xoắn F : diện tích mặt cắt ngang. Khi mK càng lớn thì mặt cắt ngang càng hợp lý. * Chú ý: Trường hợp có cùng tiết diện (F = const) thì ta so sánh momen chống xoắn oW . oW càng lớn thì mặt cắt ngang chịu xoắn càng tốt. Ví dụ 6.3: Một trục truyền chịu mômen xoắn M z = 300Nm có đưӡng kính 4cm. a) Tính ӭng suất tiếp tại điểm cách tâm trục một đoạn là 1cm. b) Tính ӭng suất tiếp lớn nhất cӫa trục. Giải: a) Ta có: o z W M = . o z J M Trong đó: M z = 300Nm = 3 x 104N.cm. J o = 0,1 d 4 = 0,1 x 44 = 25,6cm3. Sức bền vật liệu 1 126   = )/(11706,25 10.3 24 cmN b) Ta có: o z W Mmax Trong đó: W o = 0,2 d3 = 0,2 x 43 = 12,8cm3.  8,12 10.3 4 max  = 2340N/cm 2 . Kết quả: a)  )/(1170 2cmN ; b) max = 2340 (N/cm 2 ). 6.3.ăBIӂNăDҤNGăCӪAăTHANHăTRọNăCHӎUăXOҲN 6.3.1. Góc xoҳnătӍăđӕiă Góc xoắn tỉ đối là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài. Từ (6.7), ta có: o z G.J M dz dθ   (rad/m) (6.16) 6.3.2.ăGócăxoҳnătѭѫngăđӕiă Góc xoắn tương đối là góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt. Ta có góc xoắn tương đối d là góc xoay giữa hai mặt cắt cách nhau một đoạn dz. Theo (6.7), ta có: dz JG Md o z . .   .dz G.J ML 0 o z (6.17) Trong đó: oJG. là độ cͱng cͯa thanh chịu xoắn. * Chú ý: 1) Khi thanh có o z JG M . = const trên suốt chiều dài thanh, ta có: o z JG lM . . (6.18) 2) Khi ko z GJ M     = const trong từng đoạn thanh l k , khi đó ta có: Sức bền vật liệu 1 127         n k k ko z l JG M 1 . .  (rad) (6.19) 3) Khi tính góc xoắn cần phải chú ý đến dấu cӫa momen xoắn và kích thước mặt cắt ngang trong đoạn cần tính. Ví dụ 6.4: Một trục rỗng có đưӡng kính ngoài 10cm, đưӡng kính lỗ 5cm chịu tác dụng cӫa tải trọng như hình vẽ (H. 6.7a), với 1M = 20kNm, 2M = 10kNm, 3M = 40kNm, l = 20cm, G = 8.10 4MN/m2. Hãy: a) Vẽ biểu đồ momen xoắn nội lực b) Tính ӭng suất lớn nhất cӫa trục. c) Góc xoắn tương đối giữa hai đầu trục. Giải: a) Biểu đồ momen xoắn c) Hình 6.7 Ta áp dụng phương pháp cộng tác dụng để vẽ biểu đồ. Ta phân tích ngoại lực thành ba trưӡng hợp tác dụng riêng lẻ. Mỗi trưӡng hợp gây nên một momen M2 M3 Mz L L L kNm a) b) _ _ + + _ D C B A M3 M2 M1 20 M2 M1 10 40 M3 10 30 20 M1 Sức bền vật liệu 1 128 xoắn nội lực 1 2 3( , , )M M M như trên hình 6.7 (Chú ý: Dấu cͯa biểu đồ momen nội lực là ngược dấu cͯa momen tạo nên nó). Biểu đồ zM cӫa thanh là tổng đại số cӫa ba biểu đồ trên: 1 2 3zM M M M   Ta có biểu đồ như hình 6.7c. b) Ӭng suất tiếp lớn nhất Muốn xác định ӭng suất lớn nhất ta cần xác định momen nội lực lớn nhất. Theo biểu đồ nội lực như hình vẽ ta có: 3ax 30 . 3.10 .mM kN m kN cm  . Ta có: 3 max max max 3 4 34 3 2 300 3.10 0,2 (1 ) 0,2.10 0,93750,050,2.10 1 0,1 16 / o M M W D x kN cm               c) Góc xoắn giữa hai đầu trục: Góc xoắn giữa hai đầu trục AD là: CDBCABAD   = )...( . 1 332211 lMlMlMJG zzzo  Mà: 4 4 40,050,1.(0,1) 1 937,5 0,1o J cm           Do đó: 31 ( 2000.20 3000.20 1000.20)8.10 .937,5AD     = 00,01 0,57rad   Vậy góc xoắn giữa hai đầu trục là: 00,57AD   Kết quả: 00,57AD   . 6.4.ăTệNHăTOÁNăTHANHăTRọNăCHӎUăXOҲN 6.4.1.ăĐiӅuăkiӋnăbӅnăvƠăđiӅuăkiӋnăcӭng 6.4.1.1. Điều kiện bền Nếu mặt cắt ngang cӫa trục không đổi thì điều kiện là:  maxmax max z o M W      (6.20) Sức bền vật liệu 1 129 * Chú ý: 1) Nếu đường kính cͯa thanh thay đổi thì điều kiện bền sẽ là:  max max z o k M W       (6.21) 2) Quan hệ giữa   và   tuỳ theo các thuyết bền ta có như sau: - Theo thuyết bền ͱng suất tiếp lớn nhất (thuyết bền thͱ ba):     2   (6.22) - Theo thuyết bền thế nĕng biến đổi hình dáng (thuyết bền thͱ tư):     3   (6.23) 6.4.1.2. Điều kiện cͱng Khi biến dạng, ta có điều kiện:    o z JG M . max maxmax (rad/m) (6.24) Thưӡng:   (0,15 2)   độ/m. * Chú ý: Nếu  tính bằng đơn vị là độ/m thì: 1 rad = 180 độ. Do đó :  max 180. . z o M G J    (độ/m) (6.25) 6.4.2.ăBaăbƠiătoánăcѫăbҧn Từ điều kiện bền và điều kiện cӭng trên ta có ba dạng bài toán cơ bản: 6.4.2.1. Kiểm tra bền và cͱng Thoả mãn các điều kiện theo (6.20) và (6.21). 6.4.2.2. Chọn kích thước mặt cắt ngang - Theo điều kiện bền:   1D MW zo   (6.26) - Theo điều kiện cӭng:   2. DG MJ zo   (6.27) Từ các điều kiện trên ta chọn đưӡng kính có trị số lớn hơn: D = max  21, DD . 6.4.2.3. Tìm tải trọng cho phỨp Sức bền vật liệu 1 130 - Theo điều kiện bền:   1. zoz MWM   (6.28) - Theo điều kiện cӭng:   2. zoz MJGM   (6.29) Từ các điều kiện trên ta chọn tải trọng có trị số bé hơn:  21,min zzz MMM  . Ví dụ 6.5: Một thanh tròn chịu tác dụng bӣi mômen xoắn M z = 2kN.m. Mặt cắt có đưӡng kính là 6,5cm. Kiểm tra độ bền và độ cӭng cӫa thanh. Biết:   = 40MN/m2; G = 8.104MN/m2 và   = 0,0175rad/m. Giải: - Kiểm tra điều kiện bền:    o z W M max Mà: zM = 2 (kN.m) = 2 x 10-3MN.m. W o = 0,2 d 3 = 0,2 (65 x 10-3)3 = 5,5 x 10-5m3   3 2 2max 52 10 36,3 / 40 / .5,5 10 x MN m MN m x        * Kết luận: Đảm bảo điều kiện bền. - Kiểm tra điều kiện cӭng:     JG Mz . max Mà: J  = 0,1 d 4 = 0,1 (65 x 10-3)4 = 18 x 10-7 m4 .   3max 4 72 10 1 0,013 / 0,0175 / .8 10 18 10 4 18 x rad m rad m x x x x         * Kết luận: Đảm bảo điều kiện cӭng. Ví dụ 6.6: Một trục bằng thép có công suất N = 30kW quay với vận tốc n = 300vg/ph. Tính đưӡng kính trục theo điều kiện bền và cӭng. Biết:   = 80MN/m2; G = 8.104MN/m2 và   = 0,65độ/m. Giải: Ta có: M z = 955300 30 .10.55,9.10.55,9 33  n N Nm = 955 x 10-6MN.m. - Theo điều kiện bền:   o z W M    MzW   0,2 D3   Mz Sức bền vật liệu 1 131    23 10.9,3.2,0  z MD m = 39mm - Theo điều kiện cӭng:   180 . . o z JG M   .. 180.  G MJ zo  0,1 D4  .. 180.  G M z    6 244 4 .180 955.10 .180 5,7.10 . . .0,1 8.10 .3,14.0,65.0,1 zMD m G      = 57mm Vậy để thỏa mãn cả hai điều kiện thì D = 57mm. 6.5.ăBĨIăTOÁNăXOҲNăSIểUăTƾNH Cách giải bài toán xoắn siêu tĩnh tương tự như cách giải bài toán kéo - nén siêu tĩnh. Để giải bài toán này ta lập thêm phương trình biến dạng (góc xoắn). Ví dụ 6.7: Một trục tròn bị ngàm ӣ hai đầu chịu tác dụng cӫa ngẫu lực M như hình vẽ có: a = 40cm, b = 60cm (H. 6.8a). a) Vẽ biểu đồ momen xoắn cӫa trục theo M. b) Từ điều kiện bền, tính tải trọng cho phép [M]. Biết: d = 3cm,   25 /kN cm  , G = 8x10 3 2/kN cm . Giải: a) Vẽ biểu đồ momen xoắn cӫa trục theo M Dưới tác dụng cӫa M tại hai đầu ngàm phát sinh các phản ngẫu lực AM và BM . Ta có phương trình cân bằng tĩnh học: 0A BM M M    A BM M M  (a) Để giải Bài toán siêu tĩnh ta phải dựa vào điều kiện biến dạng cӫa thanh để lập phương trình chuyển vị. Giả sử bỏ ngàm A và thay thế bằng phản ngẫu lực AM , ta được thanh tĩnh định (H. 6.8b). Điều kiện thay thế là góc xoắn 0AB , do đó: . ( ). 0 . . A A AB AC CB o o M a M M b G J G J          Sức bền vật liệu 1 132  .40 ( ).60 0 . . A A o o M M M G J G J     40 60 0A AM M M    100 60 0AM M   (b) Giải hệ phương trình (a) và (b), ta được: 0,6AM M (c) Thay (c) vào (a), ta được: 0,4.BM M - Đoạn AC: 1 10 0,6z A z AM M M M M       . - Đoạn CB: 2 20 0,4z A z AM M M M M M M        . Ta có biểu đồ như hình vẽ (H. 6.8c). b) Từ điều kiện bền, tính tải trọng cho phép [M] Điều kiện bền:  maxmax z o M W       3 ax . 0,6 5 0,2 3z omM W M x x      45 .M kN cm * Chú ý: Để có phương trình (b) ta cũng có thể viết phương trình biến dạng như sau:   . 0A o o M a b M b GJ GJ    Hình 6.8 6.6.ăTHANHăTHҶNGăMҺTăCҲTăCHӲăNHҰTăCHӎUăXOҲN Lý thuyết đàn hồi cho ta các kết quả: MB M MM M A a b B a) b) c) M + - MZ Sức bền vật liệu 1 133 - Giả thiết mặt cắt phẳng không đúng đối với thanh có mặt cắt không tròn (chữ nhật, vuông, tròn, ). - Trên mặt cắt ngang chỉ có ӭng suất tiếp. - Các giá trị oo WJ , được thay bằng tt WJ , là các đặc trưng hình học qui ước, ta có: 2bhWt  (6.32) Và 3bhJt  (6.33) Do đó, ta có: - Ӭng suất tiếp cực đại: 2max bh M z   (6.34) - Ӭng suất lớn thӭ hai: max1   (6.35) Trong đó:  ,, là các hệ số cho trong Bảng 6.1. Bảng 6.1. Giá trị các hệ số  , và  h/b 1 1,5 1.75 2 2,5 3  0,203 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267  0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263  1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 h/b 4 5 6 10   0,282 0,299 0,307 0,313 0,333  0,281 0,299 0,307 0,313 0,333  0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 Phân bố ӭng suất được biểu diễn như hình 6.9. Hình 6.9 max 1 Sức bền vật liệu 1 134 - Góc xoắn tỉ đối: 3bhG M z   (6.36) 6.7.ăTệNHăLọăXOăXOҲNăHỊNHăTRӨăBѬӞCăNGҲN 6.7.1.ăKháiăniӋm Lò xo là chi tiết máy được dùng phổ biến trong các thiết bị cӫa ngành cơ khí, với mục đích giảm chấn do tải trọng động gây ra như trong hệ thống giảm chấn ô tô, xe máy, đế các động cơ điện, Lò xo hình trụ là một sợi dây thép mặt cắt vuông, chữ nhật hoặc tròn quấn quanh lõi hình trụ, do đó nó chỉ chịu lực theo phương cӫa hình trụ này. 6.7.2. Tính lò xo 6.7.2.1. Điều kiện bền Ta tính lò xo trụ có: - D là đưӡng kính trung bình cӫa lò xo. - d là đưӡng kính cӫa dây lò xo. - h là bước cӫa lò xo. - n là số vòng dây làm việc cӫa lò xo. -  là góc nghiêng cӫa dây lò xo. Ӣ đây ta tính với lò xo có bước ngắn (H. 6.10). Hình 6.10 Để tính nội lực ta tưӣng tượng cắt lò xo bằng một mặt cắt và xét cân bằng cӫa phần trên chẳng hạn, ta được: 2 .0 2 . .0 DPMDPMm PQPQY zz yy     P h d P P RPM . D Qy R Sức bền vật liệu 1 135 Như vậy trên mặt cắt ngang có ӭng suất tiếp do yQ và xM gây ra : MQ   Bỏ qua độ nghiêng cӫa dây lò xo, xem mặt cắt là tròn, các thành phần ӭng suất được biểu diễn như Hình 6.11. Hình 6.11 Ӭng suất tiếp cực đại là trên mặt cắt là:      D d d PD d PD d P d DP d P W M F Q o zy MQ 2 1884 16 2 . 4 332 32max   Trong thực tế d bé hơn rất nhiều so với D nên: 1 2  D d và ta có công thӭc tính ӭng suất cực đại gần đúng là: 3max 8 d PD   (6.37) Thực chất ӭng suất tiếp do lực cắt không phân bố đều, mặt cắt dây không tròn và sợi dây không là thanh thẳng nên ӭng suất do momen xoắn được tính không chính xác, do đó trong tính toán thực hành ta có công thӭc thực nghiệm như sau: 3max 8 . d PDK   (6.38) trong đó: K là hệ số điều chỉnh được tính bằng công thӭc: 1 25,0    d D d D K (6.39) A 0 yQ P RPM Z . max A Sức bền vật liệu 1 136 Điều kiện bền cӫa lò xo:   max 6.7.2.2. Biến dạng cͯa lò xo Gọi  là độ co, dãn cӫa lực P gây nên. Công cӫa ngoại lực P tạo biến dạng là: PA . 2 1 Thế nĕng biến dạng đàn hồi tích lũy trong lò xo (bỏ qua thế nĕng do lực cắt yQ ): 2 4 2 2 3 4 4 . .1 1 1 84 . . . 2 2 2 32 z o P D DnM l P D nU dGJ GdG     Trong đó: l là chiều dài lò xo, nếu n là số vòng làm việc cӫa lò xo thì: Dnl  Áp dụng nguyên lý bảo toàn nĕng lượng, cho: A = U, ta được : C P Gd nPD  4 38 (6.40) Với: nD GdC 3 4 8  trong đó: C – độ cӭng cӫa lò xo. n – số vòng chịu lực cӫa lò xo. d – đưӡng kính sợi lò xo. D – đưӡng kính trung bình cӫa trụ lò xo. G – modun đàn hồi trượt cӫa vật liệu làm lò xo Ví dụ 6.8: Lò xo chịu lực kéo P = 3200N, dây lò xo có đưӡng kính d = 2cm, đưӡng kính trung bình cӫa trụ lò xo D = 20cm, số vòng làm việc cӫa lò xo 18 vòng,   21028 /108,/105,2 mNxGmNx  ; a) Kiểm tra bền lò xo. b) Tính độ dãn cӫa lò xo. Giải: a) Kiểm tra bền lò xo. Sức bền vật liệu 1 137 Ta có công thӭc: 3max 8. d PDK   Mà: 14,1 1 2 20 25,0 2 20 1 25,0        d D d D K Do đó:  4 2max 38 3200 201,14. 2,32 10 /3,14 2 x x x N cm x     = 4 22,5 10 /x N cm Vậy lò xo bảo đảm điều kiện bền. b) Tính độ dãn cӫa lò xo. Ta có: 46 3 4 3 2108 1820320088 xx xxx Gd nPD  = 28,8cm Vậy:   28,8cm C.ăCỂUăHӒIăỌNăTҰP 1) Thế nào gọi là thanh chịu xoắn thuần túy? 2) Trình bày sự liên hệ giữa mômen xoắn, công suất và số vòng quay. 3) Thiết lập công thͱc tính ͱng suất tiếp trên mặt cắt ngang cͯa thanh tròn chịu xoắn thuần túy. 4) Biểu đồ phân bố ͱng suất tiếp trên mặt cắt ngang cͯa thanh tròn chịu xoắn thuần túy. 5) Hình dạng hợp lý cͯa thanh tròn chịu xoắn là gì? Để đánh giá mͱc độ hợp lý ta dùng hệ số gì? 6) Thế nào là góc xoắn tương đối, góc xoắn tỉ đối? Thiết lập công thͱc tính góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt ngang. 7) Kiểm tra theo điều kiện bền và điều kiện cͱng đối với thanh tròn chịu xoắn thuần túy. 8) Cách giải bài toán xoắn siêu tĩnh. 9) Tính thanh thẳng mặt cắt chữ nhật chịu xoắn. 10) Tính lò xo trụ bước ngắn. Sức bền vật liệu 1 138 PHӨăLӨCă01. CÁCăĐѪNăVӎăĐOăLѬӠNGăTHỌNGăDӨNG Đҥiălѭӧngăđo Đѫnăvӏăđo KíăhiӋu Quiăđổi Khối lượng Kilogam kg Thời gian Giây s Chiều dài met m cm 1 m = 10 2 cm mm 1 m = 10 3 mm Lực Newton N 1 N = 0,102 kG kiloNewton kN 1 kN = 10 3 N daN 1 daN = 10 N  1,02 kG MegaNewton MN 1 MN = 10 6 N Kilogam lực kG 1 kG = 9,81 N = 0,981 daN Tấn lực T 1 T = 10 3 kG Ͱng suất, Áp lực 2N/m 1 2N/m  1,02.10 25 kG/cm 2MN/m 222 kG/cm 10,2kN/cm 0,1 MN/m 1  2daN/cm 22 kG/cm 1,02bar 1daN/cm 1  Pascal Pa 1 Pa = 1 N/m 2 2kG/cm 1 2kG/cm  0,0981 2MN/m Công, Nĕng lượng Joule J 1 J  0,102 kGm kGm 1 kGm  9,81 J Công suất Watt W 1 W  102 kGm/s = 1,36 HP KiloWatt kW 1 kW = 10 3 W Mã lực HP 1 HP  0,736 kW  75 kGm/s Sức bền vật liệu 1 139 PHӨăLӨCă02. BҧngătraăHӋăsӕămôđunăđƠnăhӗiădӑc E VұtăliӋu E (MN/m2) Thép lò xo 22.104 Thép C 20.104 Thép Niken 19.104 Gang xám 11,5.104 Đồng 12.104 Đồng thau (10 – 12).104 Nhôm và đura (7 – 8).104 Bê tông (1,5 – 2,3).104 Gỗ (0,8 – 1,2).104 Cao su 8 PHӨăLӨCă03. BҧngătraăhӋăsӕăbiӃnădҥngăngang (hệ số Poisson)  . VұtăliӋu  Thép 0,25 – 0,33 Gang 0,23 – 0,27 Đồng 0,31 – 0,34 Thuỷ tinh 0,25 Đất sỨt 0,20 – 0,40 Nhôm 0,32 – 0,36 Đá hộc 0,14 – 0,16 Bê tông 0,08 – 0,18 Cao su 0,47 Sức bền vật liệu 1 140 PHӨăLӨCă04 BҧngătraăӬngăsuҩtăchoăphépăkhiăkéoă  k vƠăӭngăsuҩtăchoăphépăkhiănénă  n VұtăliӋu  k MN/m2  n MN/m2 ThỨp xây dựng (1,4 – 1,6).102 ThỨp chế tạo máy (1,4 – 1,6).102 Gang xám (0,28 – 0,8).102 (1,2 – 1,5).102 Đồng (0,3 – 1,2).102 Nhôm (0,3 – 0,8).102 Đura (0,8 – 1,5).102 Sức bền vật liệu 1 141 PHӨăLӨCă05. THUҰTăNGӲăKỸăTHUҰTăANHă- VIӊT (TECHNICAL TERMS) A - Axis = trục. - Axis of inertia = trục quán tính. B - Bar = thanh. - Beam = dầm. - Bending = uốn - Bending moment = mômen uốn. - Block = khối - Body = vật thể. - Box = Case = vỏ. C - Compression = sự nén. - Concentrated load = tải trọng tập trung. - Cross section = tiết diện (mặt cắt ngang) D - Deformation = sự biến dạng. - Diagram = biểu đồ. - Distributed load = tải trọng phân bố - Dynamic loading = tải trọng động E - Elongation = độ dãn dài - External force = ngoại lực F - Factor of safety = hệ số an toàn. I - Internal force = nội lực L - Load = tải trọng. M Sức bền vật liệu 1 142 - Modulus of elasticity = môđun đàn hồi. - MohrẲsăcircleăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăă= vòng tròn Mohr. - Moment of inertia = momen quán tính. N - Normal stress = ӭng suất pháp. P - Planar-stressed state = trạng thái ӭng suất phẳng. - Plate = tấm. - PoissonẲsăratio = hệ số Poisson. - Polar moment of inertia = mômen quán tính độc cực - Principal stress = ӭng suất chính. O - Oblique bending = uốn xiên. R - Rigid body = vật rắn S - Static loading = tải trọng tĩnh. - Static moment = momen tĩnh. - Strength = độ bền - Strength of material = sӭc bền vật liệu. - Strength theory = lý thuyết bền. - Stress = ӭng suất. - Stressed state = trạng thái ӭng suất. T - Tangential stress = ӭng suất tiếp. - Tension = sự kéo. - Torsion = xoắn. Y - YoungẲsămodulusă (= modulus of Elongation) = mođun đàn hồi dọc Sức bền vật liệu 1 143 TÀI LIӊU THAM KHẢO  1 Đỗ Sanh, Nguyễn Vĕn Vượng; Cơ học ͱng dụng, NXB KH & KT, Hà Nội, 1995.  2 Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng; Sͱc bền vật liệu tập 1; NXB Giáo dục, 1997.  4 Đặng Việt Cương, Nguyễn Nhật Thĕng, Nhữ Phương Mai; Sͱc bền vật liệu tập 1; NXB KH và KT, 2003.  3 Đỗ Tấn Dân; Sͱc bền vật liệu tập 1; Trưӡng ĐH Cần Thơ, 2000.  5 Lê Thanh Phong; Sͱc bền vật liệu; Trưӡng ĐH SP Kỹ thuật Tp. HCM, 2005.  6 Thái Thế Hùng; Sͱc bền vật liệu; NXB KH & KT, Hà Nội, 2006.  7 Thái Hoàng Phong; Sͱc bền vật liệu Phần 1; Trưӡng ĐH Bách Khoa ĐN, 2007.