Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - Nâng cao

Q gt  0 y = 0; y  0;  = 0   0 M gt = 0; M gt  0; Q gt = 0 Q gt  0 y  0; y = 0; y = 0;   0   0   0 M gt  0; M gt = 0; M gt = 0; Q gt  0 Q gt  0 Q gt  0 y  0; y = 0; y = 0; y  0;   0   0   0   0 M gt  0; M gt = 0; M gt = 0; M gt  0; Q gt  0 Q gt  0 Q gt  0 Q gt  0 6.4.3. Xác định tải trọng giả tạo gtq , lực cắt giả tạo gtQ và momen giả tạo gtM 6.4.3.1. Xác định tải trọng giả tạo gtq . Ta có: EJ x gt x M q   , nghĩa là gtq và xM luôn luôn ngược dấu nhau, do đó: Sức bền vật liệu 1 nâng cao 14 - Nếu xM > 0 thì gtq < 0: chiều gtq hướng xuống phía dưới. - Nếu xM 0: chiều gtq hướng lên phía trên. 6.4.3.2. Xác định lực cắt giả tạo gtQ và momen giả tạo gtM Ta có: gt gtQ q    (6.8) và .gt gt CM q z    . (6.9) Do đó ta cần xác định diện tích gtq   và hoành độ trọng tâm diện tích Cz của hình giới hạn bởi đường cong. Bảng 6.2 cho ta các số liệu của một số hình thường gặp. Bảng 6.2. Diện tích và vị trí trọng tâm của một số hình thường gặp q gt Hình Diện tích Vị trí trọng tâm  Cz Đường bậc nhất Lh 2 2L 3 Đường bậc hai lõm Lh 3 3L 4 Đường bậc hai lồi 2Lh 3 5L 8 Đường bậc n Lh n +1  n +1 L n + 2 zC L h C C h L zC zC L h C zC L h C Sức bền vật liệu 1 nâng cao 15 Đường bậc hai đối xứng 2Lh 3 L 2 6.4.4. Trình tự tìm góc xoay và độ võng 1) Vẽ biểu đồ xM : căn cứ vào sơ đồ dầm và tải trọng tác dụng. 2) Chọn dầm giả tạo tương ứng: theo Bảng 6.1. 3) Đặt tải trọng giả tạo gtq lên dầm giả tạo: EJ x gt x M q   4) Tính  :  = gtQ gtq    5) Tính y: y = gtM = .gt Cq z   Ví dụ 6.3: Cho một dầm console chịu tải trọng phân bố đều q như hình vẽ (H. 6.6a). Tính độ võng và góc xoay tại đầu tự do của dầm. Biết dầm có độ cứng EJ x là hằng số. Giải: - Vẽ biểu đồ momen uốn (H. 6.6b): xM là đường cong bậc hai lõm ( xM < 0 vì làm căng thớ trên). - Chọn dầm giả tạo: như hình 6.6c. - Đặt tải trọng giả tạo gtq lên dầm giả tạo: EJ x gt x M q   > 0 (vì xM < 0) có chiều hướng lên trên (H. 6.6c). - Tính góc xoay  và độ võng y: Góc xoay  và độ võng y tại đầu tự do của dầm cũng là lực cắt giả tạo gtQ và momen uốn giả tạo gtM tại B của dầm giả tạo. Ta có: C h zC L Sức bền vật liệu 1 nâng cao 16 B = B gtQ 2 31 0 3 2 6 gt AB x x qL qL q x xL EJ EJ        y = gtM = 3 43 . 0 6 4 8 gt CAB x x qL qL q z x L EJ EJ       Mặt cắt sau biến dạng chuyển vị hướng phía dưới và xoay theo chiều kim đồng hồ. Hình 6.6 6.5. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH CỦA THANH CHỊU UỐN Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà ta không thể xác định được các phản lực và nội lực bằng các phương trình cân bằng tĩnh học, vì số ẩn số cần tìm luôn lớn hơn số phương trình cân bằng tĩnh học thiết lập được. Để giải bài toán siêu tĩnh, ta cần thiết lập thêm một số phương trình cần thiết dựa vào điều kiện biến dạng. Ta có thể dùng phương pháp đồ toán để tính độ võng và góc xoay cho các phương trình biến dạng. Ví dụ 6.4: Vẽ biểu đồ nội lực yQ và xM của dầm siêu tĩnh chịu lực q = const như hình vẽ (H.6.7a). Biết dầm có độ cứng EJ x là hằng số. c) L A q B qL 2 2 Mx qL 2 2EJx a) b) Sức bền vật liệu 1 nâng cao 17 Giải: - Xác định các phản lực ở ngàm A và gối đỡ B Ta có bốn ẩn số (phản lực liên kết) cần tìm nhưng chỉ có ba phương trình cân bằng tĩnh học. Vì vậy ta cần phải thiết lập thêm một phương trình theo điều kiện biến dạng. Giả sử bỏ gối đỡ tại B và thay bằng một phản lực BV (H. 6.7b). Ta được một dầm tĩnh định chịu tác dụng bởi lực phân bố đều q và lực tập trung BV (chưa biết). Hình 6.7 Điều kiện biến dạng là độ võng của đầu tự do B phải bằng không: By = 0. B q A L A q B VB qL2 2EJx VB.L E.Jx 5 8 + _ a) b) c) d) qL qL2 8 1 9 128 qL2 qL 8 3 Qy Mx Sức bền vật liệu 1 nâng cao 18 Do đó để thiết lập biểu thức By = 0 ta áp dụng phương pháp đồ toán: y B = BgtM = 2 .1 3 1 2 . 0 3 2 4 2 EJ 3 B gt CAB x x V LqL q x x xLx L x xLx L EJ       hay: y B = 34 . 0 8 3EJ B x x V LqL EJ   Suy ra: 3 8 BV qL - Vẽ biểu đồ nội lực yQ và xM Tính được BV ta dễ dàng vẽ biểu đồ nội của dầm tĩnh định ở hình 6.7b và cũng là biểu đồ nội lực của dầm siêu tĩnh đã cho (H. 6.7d). C. CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Thế nào là đường đàn hồi, độ võng, góc xoay khi uốn? Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi? 2. Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tích phân không định hạn. 3. Thế nào là dầm giả tạo, tải trọng giả tạo? Cách chọn dầm giả tạo và xác định tải trọng giả tạo? 4. Trình tự xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp đồ toán. D. TRẮC NGHIỆM 1. Đường đàn hồi là: a) đường cong của trục dầm sau khi bị uốn. b) đường đồ thị biểu diễn độ võng của dầm khi bị uốn. c) đường đồ thị biểu diễn góc xoay của dầm khi bị uốn. 2. Góc xoay  là dương khi: a) quay từ trục đến tiếp tuyến với đường đàn hồi tại điểm khảo sát theo chiều kim đồng hồ. b) mặt cắt sau khi biến dạng quay theo chiều kim đồng hồ. c) cả hai câu đều đúng. 3. Độ võng y là dương khi: a) hướng theo chiều âm của trục y (hướng lên trên). b) hướng theo chiều dương của trục y (hướng xuống dưới). c) tùy ý chọn. Sức bền vật liệu 1 nâng cao 19 4. Khi tính chuyển vị bằng phương pháp tích phân không định hạn ta chia dầm thành nhiều đoạn sao cho: a) trên mỗi đoạn có độ cứng EJ x là 1 hàm số liên tục. b) trên mỗi đoạn có biểu thức momen uốn xM là 1 hàm số liên tục. c) cả hai điều kiện trên. 5. Tải trọng giả tạo  gtq : a) dương (> 0) có chiều hướng lên trên. b) luôn ngược chiều với momen uốn xM . c) cả hai câu trên đều đúng. Sức bền vật liệu 1 nâng cao 20 Chương 7. THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP A. MỤC TIÊU - Nắm vững các kiến thức cơ bản khi khảo sát thanh chịu lực phức tạp: uốn xiên, uốn và kéo - nén, kéo - nén lệch tâm, kéo và xoắn và chịu lực tổng quát. - Xác định được các nội lực, ứng suất, đường trung hòa, biểu đồ ứng suất, điều kiện bền trong từng trường hợp chịu lực. B. NỘI DUNG 7.1. KHÁI NIỆM Trong các trường hợp đã xét khi thanh chịu lực kéo - nén đúng tâm, chịu xoắn thuần tuý, chịu uốn thuần tuý phẳng trên mặt cắt ngang chỉ có một thành phần nội lực được gọi là thanh chịu lực đơn giản. Thực tế là trên mặt cắt ngang của thanh xuất hiện nhiều thành phần nội lực được gọi là thanh chịu lực phức tạp. Để giải bài toán này, ta áp dụng “nguyên lý cộng tác dụng” để thiết lập công thức về ứng suất và biến dạng; nghĩa là: ứng suất và biến dạng do nhiều yếu tố tác động đồng thời gây ra trên một thanh bằng tổng ứng suất và biến dạng do từng yếu tố một gây ra trên thanh đó. Điều kiện để sử dụng nguyên lý này là dựa trên các giả thiết về vật liệu: - Vật liệu làm việc trong miền đàn hồi và tuân theo định luật Hooke. - Chuyển vị và biến dạng là bé. Ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền trong bài toán chịu lực phức tạp là rất nhỏ nên có thể bỏ qua. Nếu cần tính đến thì áp dụng theo “nguyên lý cộng tác dụng”. 7.2. THANH CHỊU UỐN XIÊN 7.2.1. Khái niệm Một thanh gọi là chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang có hai thành phần nội lực là momen uốn xM và yM nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang (H. 7.1a). Sức bền vật liệu 1 nâng cao 21 a) b) Hình 7.1 Biểu diễn các momen uốn yx MM , bằng các vectơ momen yx MM , . Gọi uM là vectơ tổng của các vectơ yx MM , . Ta có: 22 yxu MMM  Momen uốn M u nằm trong mặt phẳng (V), chứa trục z nhưng không trùng với với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào. Mặt phẳng (V) gọi là mặt phẳng tải trọng. Giao tuyến của mặt phẳng (V) với mặt cắt ngang gọi là đường tải trọng. Trong uốn xiên đường tải trọng đi qua gốc toạ độ và vuông góc với phương của vectơ tổng uM , nhưng không trùng với một trục quán tính chính trung tâm nào (H. 7.1b). * Nhận xét: Đối với thanh có mặt cắt tròn, mọi đường kính đều là trục đối xứng, nên bất kỳ mặt phẳng chứa trục thanh nào cũng là mặt phẳng đối xứng và đều là trục quán tính chính trung tâm. Do đó thanh mặt cắt tròn chỉ có uốn phẳng mà không có uốn xiên. 7.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Gọi  là góc của đường tải trọng hợp với trục x, ta có:   cos. .sin. uy ux MM MM   Hệ số góc của đường tải trọng: Đường tải trọng V z My Mu Mx x y Mu Mx z y x My O O Sức bền vật liệu 1 nâng cao 22 y x M M tan (7.1) Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có toạ độ (x, y) sẽ là tổng ứng suất do từng xM , yM gây ra, do đó: x M y J M y x x z . J . y  (7.2) * Chú ý: 1) Theo (7.1) ta có  > 0 khi quay từ phần dương trục x đến đường tải trọng ngược chiều kim đồng hồ. 2) Trong biểu thức (7.2), các giá trị xM , yM , x và y là các số đại số, được xác định như sau: - xM / yM >0 khi làm căng (kéo) phần dương của trục y/x và xM / yM < 0 khi nén phần dương của trục y/x. - (x, y) lấy theo hệ trục tọa độ đã xác định. 3) Trong thực hành, người ta dùng công thức kỹ thuật sau để tính toán: x M y J M y x x z . J . y  (7.3) Dấu “+ / -“ tuỳ theo momen uốn xM và yM gây ra ứng suất kéo/nén ở điểm đang xét. Ví dụ 7.1: Tại tiết diện hình chữ nhật b x h chịu uốn xiên như hình vẽ (H. 7.2) với xM = 8kNm, yM = 6kNm, h = 2b = 40cm. Tính ứng suất pháp tại các góc của mặt cắt ngang. Giải: * Cách 1: Tính theo công thức (7.2) Ta có công thức tính ứng suất tại một điểm: x M y J M y x x z . J . y  Với: xM = 8kNm = 800kNcm, yM = - 6kNm = - 600kNcm. Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hai trục: Sức bền vật liệu 1 nâng cao 23 3 3 420 40 320.000 12 12 3 x bh x J cm   3 3 440 20 80.000 12 12 3 y hb x J cm   Mx My Hình 7.2 Ứng suất tại các góc của mặt cắt ngang là: - Tại A ( 10 ; 20 )A Ax cm y cm   :   2 800 600 . 20 .10 0,15 0,225 0,375 / 320000 / 3 80000 / 3 A kN cm          - Tại B ( 10 ; 20 )B Bx cm y cm    :     2 800 600 . 20 . 10 0,15 0,225 0,075 / 320000 / 3 80000 / 3 B kN cm          . - Tại C ( 10 ; 20 )C Cx cm y cm   :   2 800 600 .20 . 10 0,15 0,225 0,375 / 320000 / 3 80000 / 3 C kN cm        . - Tại D ( 10 ; 20 )A Ax cm y cm  : 2800 600.20 .10 0,15 0,225 0,075 / 320000 / 3 80000 / 3 D kN cm        . Vậy: 20,375 / ;A kN cm   20,075 / ;B kN cm  20,375 / ;C kN cm  20,075 / .D kN cm   * Cách 2: Tính theo công thức (7.3) Áp dụng công thức kỹ thuật: x M y J M y x x z . J . y  x O Mx My C B A D y z z y D A B C O x z y D A B C O x + + + + _ _ _ _ Sức bền vật liệu 1 nâng cao 24 Ta xét dấu của ứng suất do momen yx MM , gây ra như hình 7.2. Ta có: 800 ; 600 ; 10 ; 20 .x yM Ncm M Ncm x cm y cm    Do đó ứng suất tại các điểm như sau: 2800 600.20 .10 0,375 / 320.000 / 3 80.000 / 3 A kN cm      2800 600.20 .10 0,075 / 320.000 / 3 80.000 / 3 B kN cm     2800 600.20 .10 0,375 / 320.000 / 3 80.000 / 3 C kN cm    2800 600.20 .10 0,075 / 320.000 / 3 80.000 / 3 D kN cm     7.2.3. Đƣờng trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp 7.2.3.1. Đường trung hoà Công thức ứng suất ở (7.2) là phương trình của mặt phẳng trong hệ trục Oxyz. Nó biểu diễn giá trị của ứng suất pháp trên mặt cắt ngang. Mặt phẳng này gọi là mặt ứng suất. Hình 7.3 Giao tuyến của mặt ứng suất với mặt cắt ngang là tập hợp những điểm có z = 0. Đó là đường trung hoà của mặt cắt ngang trong uốn xiên (H. 7.3). Phương trình đường trung hoà là: 0. J . y  x M y J M y x x Hay: x J J M M y y x x y .. (7.4) Đường tải trọng  x y O Đường trung hòa  Sức bền vật liệu 1 nâng cao 25 Gọi  là góc hợp bởi đường trung hòa với trục x. Đặt: y x x y J J M M .tan  (7.5) Do đó: xy .tan (7.6) Đường trung hòa là đường thẳng qua gốc tọa độ O(0,0) với tan là hệ số góc. Ta có: y x y x y x x y J J M M J J M M  ..tan.tan  < 0 (7.7) * Nhận xét: 1) Ta nhận thấy 0 khi đi từ phần dương trục x đến đường trung hoà ngược chiều kim đồng hồ và 0  khi đi từ phần dương trục x đến đường trung hoà cùng chiều kim đồng hồ. 2) Đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm mặt cắt ngang và không vuông góc với đường tải trọng. Vì theo biểu thức (7.6) đường trung hòa có dạng y = ax và theo (7.7) thường 1tan.tanJ x  yJ 3) Đường tải trọng và đường trung hoà không bao giờ nằm cùng trong một góc phần tư của hệ trục toạ độ (H. 7.3). Vì từ biểu thức (7.7) thì góc  và  luôn luôn trái dấu nhau. 4) Đối với các mặt cắt ngang của thanh là hình tròn hoặc đa giác đều thì không xảy ra hiện tượng uốn xiên. Vì khi đó ta có đường tải trọng sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm, còn đường trung hoà sẽ trùng với với trục quán tính chính trung tâm thứ hai vuông góc với đường tải trọng. Từ biểu thức (7.7) đối với hình này Jx = Jy nên: 1tan.tan  , đó là bài toán uốn phẳng. 7.2.3.2. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Ta nhận thấy: - Các điểm nằm trên đường đường trung hoà thì có cùng trị số ứng suất pháp bằng 0. Sức bền vật liệu 1 nâng cao 26 - Các điểm nằm trên cùng một đường đường song song với đường trung hoà thì có cùng trị số ứng suất pháp. - Các điểm càng xa trục trung hoà thì có trị số ứng suất càng lớn. - Những điểm xa trục trung hòa nhất là những điểm chịu ứng suất lớn nhất. Điểm xa nhất thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất là max . Điểm xa nhất thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất là min . Ta có cách vẽ biểu đồ ứng suất như sau: + Kéo dài đường trung hoà và vẽ một đường vuông góc với đường trung hòa kéo dài làm đường chuẩn. Lấy trục tung là đường trung hoà chỉ trị số ứng suất, trục hoành là đường chuẩn. + Tính minmax , rồi biểu diễn bằng hai đoạn thẳng về hai phía đường chuẩn. + Nối hai đầu của đoạn thẳng đã vẽ, ta có biểu đồ của ứng suất pháp trên mặt cắt ngang (H. 7.4) Hình 7.4 7.2.4. Ứng suất cực trị và điều kiện bền 7.2.4.1. Ứng suất cực trị: Những điểm xa đường trung hoà nhất sẽ có ứng suất pháp cực trị. Giá trị của các ứng suất cực trị là: x z y  O + _ - + min max z Sức bền vật liệu 1 nâng cao 27          nyn x x kyk x x x M y J M x M y J M max y maxmin max y maxmax . J . . J .   (7.8) Trong đó: ),( maxmax kk yx là toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đường trung hoà nhất. ),( maxmax nn yx là toạ độ của điểm chịu nén cách xa đường trung hoà nhất. * Nhận xét: 1) Trường hợp mặt cắt ngang là hình chữ nhật hay những hình nội tiếp trong hình chữ nhật (cả hai trục quán tính chính trung tâm đều là trục đối xứng) có dạng như hình 7.5, ta có:          y min y max WW WW y x x y x x MM MM   (7.9) Hình 7.5 2) Trường hợp mặt cắt ngang là hình tròn, ta có yx WW  và trị số momen uốn là: 22 yxu MMM  và bài toán trở thành uốn phẳng. Do đó: umin max W uM (7.10) Với: 3 3 yxu 1,0 32 WWW D D   7.2.4.2. Điều kiện bền Sức bền vật liệu 1 nâng cao 28 Từ biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ta thấy điểm nguy hiểm là các điểm xa đường trung hoà nhất về phía kéo hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn. Vậy điều kiện bền là: - Đối với vật liệu dẻo:   max   (7.11) Với: max  là ứng suất pháp cực trị có trị tuyệt đối lớn nhất. - Đối với vật liệu dòn:         nmin kmax σσ σσ (7.12) 7.2.4.3. Ba bài toán cơ bản Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền. - Chọn kích thước mặt cắt ngang. - Tìm tải trọng cho phép. Trong các bài toán trên, bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang phức tạp hơn vì trong biểu thức (7.8) có nhiều đại lượng chưa biết liên quan kích thước như: nnkkyx yxyxJJ maxmaxmaxmax ,,,,, . Để giải bài toán trên, ta dùng phương pháp thử dần, tức là ta chọn kích thước của mặt cắt ngang rồi sau đó kiểm tra bền. Nếu không thỏa mãn thì phải chọn lại cho đến khi đạt. * Chú ý: 1) Khi chọn kích thước mặt cắt đối với vật liệu dẻo, mặt cắt có các trục đối xứng (như hình chữ nhật, chữ I, chữ C, ) ta có điều kiện bền:   y y x x W M W M Vì chỉ có một phương trình nên biểu thức được viết lại như sau:            y y x x x M W W M W . 1 Sức bền vật liệu 1 nâng cao 29   .xx y y x W M M W W     (7.13) Ta thử dần bằng cách chọn trị số y x W W để tính xW từ đó ta có kích thước của mặt cắt ngang sơ bộ. Kiểm tra lại điều kiện với kích thước sơ bộ đã chọn. 2) Các số liệu y x W W thường dùng: - Mặt cắt chữ nhật: b h W W y x  . - Mặt cắt chữ I: 108  y x W W . - Mặt cắt chữ C: 75  y x W W . Ví dụ 7.2: Cho dầm có mặt cắt ngang chữ nhật bxh = 5x12cm chịu lực như hình vẽ (H.7.6a). Biết : P = 2.400N ; q = 4.000N/m ; l = 2m ; 030 ;    216.000 /N cm  a) Kiểm tra điều kiện bền của dầm. b) Xác định vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất. Giải: a) Kiểm tra điều kiện bền của dầm. a) b) Hình 7.6 q x P  y y x P Px  Py Sức bền vật liệu 1 nâng cao 30 Ta có điều kiện bền đối với vật liệu dẻo với mặt cắt là hình chữ nhật:  max W W yx x y MM     Mặt cắt nguy hiểm tại ngàm có: 2 4000 4 cos 2400 2 0,866 2 2 x ql x M Pl x x     = - 12.160Nm = - 1.216.000Ncm sin 2400.2.0,5 2400yM Pl Nm      = - 240.000Ncm 2 2 3 2 2 3 5 12 W 120 . 6 6 12 5 W 50 . 6 6 x y bh x cm hb x cm       Ta có:  2 2max x y 1.216.000 240.000 14.933 / 16.000 / W W 120 50 yx MM N cm N cm        Vậy dầm đủ bền. b) Xác định vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất Tại mặt cắt ngàm, phương trình của đường trung hoà là: x J J M M y y x x y .. Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hai trục: 3 3 45 12 720 12 12 x bh x J cm   3 3 412 5 125 12 12 y hb x J cm   Do đó: max 0 max 720 240.000 tan . . 1,1368 48 40' 125 1.216.000 yx y x MJ J M              . Phương trình đường trung hòa: y = - 1,1368x, có 048 40'   và biểu đồ ứng suất pháp có 2max 14.933 /N cm  và 2 min 14.933 /N cm   được thể hiện trong hình 7.7 . Sức bền vật liệu 1 nâng cao 31 Hình 7.7 Ví dụ 7.3: Cho dầm chữ I chịu lực như hình vẽ (H. 7.8). Biết : P = 3.000N; l = 2m;   20 /000.16;30 cmN  . Xác định: a) Số hiệu mặt cắt dầm chữ I. b) Vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp. Giải: Momen uốn lớn nhất tại ngàm: NmxxPlM x 600.519866,02003000cosmax   NmxxPlM y 000.3005,02003000sinmax   . Hình 7.8 a) Số hiệu mặt cắt dầm chữ I. Chọn: 8 y x W W . Từ điều kiện bền, ta có :   35,182 16000 3000008519600 . cm x M W W M W y y x x x       . L x y P z  y P  x + _ x y  6max 6min Sức bền vật liệu 1 nâng cao 32 Tra bảng, ta chọn I No.20 có: 33 1,23;184 cmWcmW yx  Kiểm tra lại điều kiện bền với I No.20 đã chọn:    2 y max x max max /808.15 1,23 000.300 184 000.519 WW cmN MM yx Vậy chọn dầm chữ I No. 20. b) Vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp. Tra bảng với dầm chữ I số hiệu 20 có : .115;1840 44 cmJcmJ yx  Hệ số góc của đường trung hoà là : 5083248,9 000.519 000.300 . 115 1840 .tan 0 max max     x y y x M M J J . Đường trung hòa có 50830 và biểu đồ ứng suất pháp có 2 2 max min15.808 / ; 15.808 /N cm N cm    được thể hiện trong hình 7.9. Hình 7.9 7.2.5. Độ võng của dầm chịu uốn xiên Độ võng tổng hợp của mặt cắt nào đó bằng tổng hình học độ võng do các thành phần momen uốn tác dụng trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm của dầm, ta có : 22 yx fff  (7.14) Trong đó: yx ff , là độ võng theo phương x và y do yM và xM gây nên. Phương của độ võng tổng hợp f so với trục tại một mặt cắt là: x y f f tan (7.15) x y  min max + _ Sức bền vật liệu 1 nâng cao 33 * Chú ý: Đối với đầu tự do của dầm console thì: 33 .. , 3 3 yx x y y x P LP L f f EJ EJ   Ví dụ 7.4: Cho một dầm chịu lực như hình vẽ (H.7.10), mặt cắt ngang là hình chữ nhật bxh = 12x18cm, chiều dài L = 1m, chịu tác dụng tại đầu tự do một lực P = 2000N, nghiêng một góc 030 so với trục y. a) Xác định ứng suất tại các điểm góc của mặt cắt ngang tại ngàm. b) Tính độ võng toàn phần ở đầu tự do của dầm. Biết dầm làm bằng vật liệu có E = 24 /102 cmkNx . Giải: a) Xác định ứng suất tại các điểm góc. Ta có công thức tính ứng suất tại 1 điểm: x M y J M y x x z . J . y  . Phân lực P thành hai thành phần theo hai trục: NxPP NxPP y x 1732866,02000cos. .10005,02000sin.     Hình 7.10 Momen uốn tại ngàm: M x = - P y .l = - 1732x100 = - 173.200 Ncm (căng nhánh y < 0). M y = P x .l = 1000x100 = 100.000 Ncm (căng nhánh x > 0). Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hai trục: 4 33 5832 12 1812 12 cm xbh J x  x y z P  o L Sức bền vật liệu 1 nâng cao 34 4 33 2592 12 1218 12 cm xhb J y  Hình 7.11 Ứng suất tại các điểm như sau: - Tại A )9;6( cmycmx AA  :   2/8,4985,2313,2676. 2592 100000 9. 5832 173200 cmNA    - Tại B )9;6( cmycmx BB  :     2/8,355,2313,2676. 2592 100000 9. 5832 173200 cmNB    . - Tại C )9;6( cmycmx CC  :   2 173200 100000 .9 . 6 267,3 231,5 498,8 / 5832 2592 C N cm          . - Tại D )9;6( cmycmx AA  : 2173200 100000.9 .6 267,3 231,5 35,8 / 5832 2592 D N cm         . Vậy: 2498,8 / ;A N cm  235,8 / ;B N cm  2498,8 / ;C N cm   235,8 /D N cm   . * Chú ý: Nếu áp dụng công thức kỹ thuật: x M y J M y x x z . J . y  Ta xét dấu của ứng suất do momen yx MM , gây ra như hình 7.12b,c. Ta có: .9;6;000.100;200.173 cmycmxNcmMNcmM yx  Do đó ứng suất tại các điểm như sau: 2/8,4986. 2592 100000 9. 5832 173200 cmNA  + _ 173.200 100.000 Mx My Ncm Ncm Sức bền vật liệu 1 nâng cao 35 2/8,356. 2592 100000 9. 5832 173200 cmNB  2/8,4986. 2592 100000 9. 5832 173200 cmNC  2/8,356. 2592 100000 9. 5832 173200 cmND  Vậy: 2498,8 / ;A N cm  235,8 / ;B N cm  2498,8 / ;C N cm   235,8 /D N cm   . a) b) c) Hình 7.12 b) Tính độ võng toàn phần ở đầu tự do của dầm Độ võng toàn phần: 22 yx fff  Độ võng theo phương x: 3 3 3 4 y . sin . 2 0,5 100 0,006 3 3 J 3 2 10 2592 x x y P L P L x x f cm EJ E x x x      Độ võng theo phương y: 3 3 3 4 x . cos . 2 0,866 100 0,005 3 3 J 3 2 10 5832 y y x P l P l x x f cm EJ E x x x      . 2 2(0,006) (0,005) 0,008 0,08f cm mm    Vậy: 1,04f cm 7.3. THANH CHỊU UỐN VÀ KÉO - NÉN 7.3.1. Khái niệm Một thanh gọi là chịu uốn và kéo - nén đồng thời khi trên mặt cắt ngang có các thành phần nội lực là: lực dọc zN , momen uốn xM và yM (H. 7.13). x O Mx My C B A D y z z y D A B C O x z y D A B C O x + + + + _ _ _ _ Sức bền vật liệu 1 nâng cao 36 Hình 7.13 7.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta có ứng suất pháp tại một điểm có tọa độ (x,y) trên mặt cắt ngang được xác định theo công thức: x J M y J M F N y y x xz z ..  (7.16) Trong đó: F – diện tích mặt cắt ngang. yx J,J – momen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. * Chú ý: 1) Trong biểu thức (7.16) qui ước dấu như sau: - Dấu của zN theo qui ước của kéo - nén đúng tâm. - Dấu yx MM , theo qui uớc của uốn xiên. 2) Trong kỹ thuật ta có công thức: x J M y J M F N y y x xz z ..  (7.17) Trong đó: - Các giá trị đều lấy trị tuyệt đối. - Dấu "+" trước lực kéo và ứng suất kéo; dấu "-" trước các lực nén và ứng suất nén tại điểm khảo sát. 7.3.3. Đƣờng trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp 7.3.3.1. Đường trung hoà: MX z y x A(x,y) MY NZ Sức bền vật liệu 1 nâng cao 37 Đường trung hoà có 0z , từ (7.16) ta có phương trình đường trung hoà là: 0.x J M .y J M F N y y x xz  Hay: x xz y x x y M J F N x J J M M y ...  (7.18) Đặt: x xz y x x y M J F N b J J M M a .,.  Phương trình đường trung hoà có dạng y = ax + b, đó là một đường thẳng không đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang như trong uốn xiên. 7.3.3.2. Biểu đồ ứng suất pháp Tương tự như trong uốn xiên do mặt cắt ứng suất là phẳng nên: - Ứng suất pháp tại những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục trung hòa thì có cùng trị số. - Trị số ứng suất pháp tại một điểm tỉ lẹ với khoảng cách từ điểm đó đến trục trung hòa. Ta vẽ biểu đồ ứng suất tương tự như trong uốn xiên. Những điểm xa trục trung hòa nhất là những điểm chịu ứng suất lớn nhất, trong đó: + Điểm xa nhất thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất là max . + Điểm xa nhất thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất là min . Biểu diễn giá trị max , min bằng các tung độ về hai phía đường chuẩn rồi nối chúng lại, ta được biểu đồ ứng suất như trong hình 7.14. Hình 7.14 Đường trung hòa Đường chuẩn Z  max min x y z O NZ/F + Sức bền vật liệu 1 nâng cao 38 * Chú ý: 1) Đối với mặt cắt là hình chữ nhật thì max , min ở vị trí các điểm góc xa nhất của mặt cắt về hai phía đường trung hòa. 2) Tại trọng tâm của mặt cắt có trị số ứng suất pháp bằng z N F . Ví dụ 7.5: Cho mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu lực như hình vẽ (H. 7.15a). Biết: bxh = 12x20cm, xM = 150kNcm, yM = 200kNcm, zN = 50kN. a) Tính ứng suất tại các điểm góc trên mặt cắt ngang. b) Xác định đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp. Giải: a) Tính ứng suất tại các điểm góc trên mặt cắt ngang. Ta có: x J M y J M F N y y x xz z ..  Theo hình vẽ: N z = 50kN, xM = 150kNcm, yM = - 200kNcm y Nz Mx My a) b) c) d) Hình 7.15 Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hai trục: 4 33 8000 12 2012 12 cm xbh J x  ; 3 3 420 12 2880 12 12 y hb x J cm   ; F = b.h = 12x20 = 240 cm 2 . Ứng suất tại các điểm như sau: - Tại A )10;6( cmycmx AA  : O Mx My z y x + + + + + + + + _ _ _ _ B A D C D C B A D C B A D C B A x y x y x y Nz Sức bền vật liệu 1 nâng cao 39   2 50 150 200 . 10 .6 0,208 0,188 0,417 0,397 / 12 20 8000 2880 A kN cm x            - Tại B )10;6( cmycmx BB  :     2 50 150 200 . 10 . 6 0,208 0,188 0,417 12 20 8000 2880 0,437 / B x kN cm            - Tại C )10;6( cmycmx CC  :   2 50 150 200 .10 . 6 0,208 0,188 0,417 0,813 / 12 20 8000 2880 C kN cm x           - Tại D )10;6( cmycmx AA  : 250 150 200.10 .6 0,208 0,188 0,417 0,021 / 12 20 8000 2880 D kN cm x           * Chú ý: Nếu áp dụng công thức kỹ thuật: x J M y J M F N y y x xz z ..  Lập bảng xét dấu cho , ,z x yN M M ta được: .10;6;200;150;50 cmycmxkNcmMkNcmMkNN yxz  Do đó ứng suất tại các điểm như sau: 250 150 200.10 .6 0,397 / 12 20 8000 2880 A kN cm x       250 150 200.10 .6 0,437 / 12 20 8000 2880 B kN cm x      250 150 200.10 .6 0,813 / 12 20 8000 2880 C kN cm x      250 150 200.10 .6 0,021 / 12 20 8000 2880 D kN cm x       b) Xác định đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp. Phương trình đường trung hòa: . . . 200 8000 50 8000 . . 3,7 11,1 150 2880 240 150 y x xz x y x M J JN y x M J F M x x          Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất như hình 7.16. Sức bền vật liệu 1 nâng cao 40 Hình 7.16 7.3.4. Ứng suất cực trị và điều kiện bền 7.3.4.1. Ứng suất cực trị Từ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang, ta thấy điểm nguy hiểm là hai điểm xa đường trung hòa nhất về hai miền kéo và nén, ta có: x J M y J M F N y y x xz ..max  (7.19) x J M y J M F N y y x xz ..min  (7.20) x, y là toạ độ của điểm chịu kéo - nén cách xa đường trung hoà nhất * Chú ý: Nếu mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (như hình chữ nhật) ta có: y y x xz MM F N WW max  (7.21) y y x xz MM F N WW min  (7.22) 7.3.4.2. Điều kiện bền Thanh chịu uốn và kéo - nén đồng thời chỉ gây ra ứng suất pháp trên mặt cắt ngang, phân tố ở trạng thái ứng suất đơn. Do đó điều kiện bền: - Đối với vật liệu dẻo: -10 +6 -6 +10 y x _ + A B C D 6max 6min Sức bền vật liệu 1 nâng cao 41   max   (7.23) - Đối với vật liệu dòn:         n k   min max (7.24) Trong đó: max  : ứng suất pháp cực trị có trị tuyệt đối lớn nhất. max : ứng suất kéo lớn nhất. min : ứng suất nén lớn nhất. Ví dụ 7.6: Một cột có mặt cắt hình chữ nhật bxh = 10x15cm như hình vẽ (H. 7.17a). Biết P 1 = 96kN, P 2 = 5kN, q = 3kN/m, H = 2m. Hãy: a) Vẽ biểu đồ nội lực. b) Tính ., minmax  c) Xác định đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp tại chân cột. Giải: a) Vẽ biểu đồ nội lực. Biểu đồ nội lực do từng nguyên nhân gây nên như Hình 7.17b. a) b) Hình 7.17 P1 P2 H b h Nz z x y q y x z Mx My 2 2 qH P2.H P1 _ Sức bền vật liệu 1 nâng cao 42 b) Tính ., minmax  Tại ngàm có giá trị nội lực là lớn nhất: 1 2 2 2 96 . 3 2 6 600 . 2 2 . 5 2 10 1000 . z x y N P kN qH x M kNm kNcm M P H x kNm kNcm                     Đối với mặt cắt hình chữ nhật, ta có công thức: y y x xz MM F N WW min max  Với: F = 10x15 = 150 2cm . 3 22 3 22 250 6 1015 6 .375 6 1510 6 cm xhb W cm xbh W y x   Do đó: max min 96 600 1000 0,64 1,6 4 150 375 250          Nên: 2 2max min4,96 / ; 6,24 /kN cm kN cm    c) Đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp. Hình 7.18 Momen quán tính đối với các trục: z My MX x y -7,5 +7,5 x +5 -5  O  max +  min _ y  z Sức bền vật liệu 1 nâng cao 43 3 3 4 3 3 4 10 15 2812,5 . 12 12 15 10 1250 12 12 x y bh x J cm hb x J cm       Phương trình đường trung hòa: 100 2812,5 96 2812,5 . . . . . 600 1250 150 600 0,375 3 y x xz x y x M J JN y x x M J F M x              Hệ số góc đường trung hòa: tan  = - 0,375 020 33'   . Ta có đường trung hòa và biểu đồ ứng suất có: 2 max 1,76 / ;kN cm  2 min 3,04 /kN cm   như hình 7.18. Ví dụ 7.7: Kiểm tra độ bền của một cột bê tông có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu lực P = 8kN đặt lệch tâm so với trục cột một đoạn e = 30cm như hình vẽ (H. 7.19). Biết    2 20,07 / , 0,7 / k n kN cm kN cm   , bxh = 20x30cm, trọng lượng bản thân cột Q = 1kN. Giải:. Hình 7.19 Kiểm tra bền tại mặt cắt chân cột. Lực tác dụng gồm: - Trọng lượng Q của bản thân cột, đặt tại tâm mặt cắt. P Q b e x h y Sức bền vật liệu 1 nâng cao 44 - Lực P đặt song song trục cột và cách tâm e = 30cm Đây là bài toán thanh chịu uốn và nén. Ta có điều kiện bền đối với vật liệu dòn:         n k   min max Áp dụng công thức kỹ thuật ta có: max W W yz x x y MN M F      min W W yz x x y MN M F      Ta có: zN = P + Q = 8 + 1 = 9kN; xM = 0 yM = P.e = 8x30 = 240kNcm. 2 320 30 3000 6 y x W cm  ; F = 20x30 = 600 2cm Do đó:  2 2max 9 240 0,065 / 0,07 / W 600 3000 yz k y MN kN cm kN cm F           2 min 0,095 / W yz y MN kN cm F       Và:  2 2min 0,095 / 0,7 /nkN cm kN cm    . Vậy cột đảm bảo bền. 7.4. THANH CHỊU KÉO - NÉN LỆCH TÂM 7.4.1. Khái niệm Thanh chịu kéo - nén lệch tâm khi ngoại lực (hay nội lực) có phương song song với trục thanh, nhưng điểm đặt ở ngoài trọng tâm mặt cắt ngang (H. 7.15). Gọi K  ,K Kx y là điểm đặt lực P. Khoảng cách OK = e gọi là độ lệch tâm. Áp dụng định lý dời lực song song ta dời lực P về trọng tâm O của mặt cắt ngang, ta được: - Lực dọc: zN P  (lấy "+" khi lực kéo và ngược lại lấy "-") - Momen uốn: .uM P e được phân làm 2 thành phần: Sức bền vật liệu 1 nâng cao 45 . ; .x K y KM P y M P x  Vậy: Bài toán kéo – nén lệch tâm là một trường hợp đặc biệt của uốn và kéo - nén đồng thời. Hình 7.20 7.4.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Ta có công thức ứng suất: x J M y J M F N y y x xz z ..  Ứng suất tại A (x,y), với ;zN P . , .x K y KM P y M P x  , ta được: . . . .K KA x y P P y P x y x F J J     Hay: 1 . . . .A k k x y P F F y y x x F J J           Đặt: F J i F J i y y x x  , Nên: 2 2 . . 1 K KA x y y y x xP F i i           (7.25) Trong đó xi và yi là bán kính quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục quán tính chính trung tâm x và y. * Chú ý: 1) Dấu trong (7.25) được xác định: - P > 0 khi P là lực kéo và P < 0 khi P là lực nén. -  Kk yx , và  yx, phụ thuộc vào hệ trục tọa độ đã chọn. x MX y P MY NZ z xK K O yK Sức bền vật liệu 1 nâng cao 46 2) Công thức tính cực trị và điều kiện bền của bài toán kéo – nén lệch tâm có thể sử dụng như bài toán kéo - nén và uốn. 7.4.3. Đƣờng trung hòa 7.4.3.1. Phương trình đường trung hòa Phương trình đường trung hòa:          22 .. 1 y K x Kz z i xx i yy F N  = 0 Hay: 0 .. 1 22  x K y K i yy i xx (7.26) Đặt: K x K y y i b x i a 22 ;  (7.27) Ta được phương trình đường trung hòa dưới dạng: 1 b y a x Trong đó a và b là giao điểm của đường trung hòa với trục x và y. 7.4.3.2. Tính chất của đường trung hòa 1) Đường trung hòa không đi qua trọng tâm mặt cắt, nó cắt trục x tại a và trục y tại b. 2) Đường trung hòa không bao giờ qua phần tư có chứa điểm đặt lực K vì a và b luôn trái dấu với KK yx , . 3) Điểm đặt lực K tiến gần tâm O của mặt cắt thì đường trung hòa rời xa tâm O vì khi KK yx , giảm thì a, b tăng và ngược lại. 4) Khi K nằm trên trục Ox (yK = 0) thì đường trung hòa song song với trục Oy và có phương trình là x = a. Khi K nằm trên trục Oy (xK = 0) thì đường trung hòa song song với trục Ox và có phương trình là y = b. 5) Khi đường trung hòa nằm ngoài mặt cắt thì trên mặt cắt chỉ chịu một loại ứng suất: kéo hoặc nén. 7.4.4. Lõi của mặt cắt ngang 7.4.4.1. Khái niệm Sức bền vật liệu 1 nâng cao 47 Trong các công trình xây dựng ta dùng các vật liệu dòn như gạch, đá, bê tông, Đối với vật liệu dòn, khả năng chịu nén tốt nhưng chịu kéo kém. Vì vậy khi thiết kế những bộ phận công trình nén lệch tâm, ta phải xác định vị trí đặt lực sao cho trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất nén (toàn bộ mặt cắt ngang chịu nén), nghĩa là đường trung hòa không cắt qua mặt cắt ngang. Như vậy điểm đặt lực K phải nằm trong một miền bao quanh trọng tâm của mặt cắt ngang. Miền này gọi là lõi của mặt cắt ngang (lõi tiết diện). Từ tính chất trung hoà có thể nằm ngoài mặt cắt ngang, ta luôn tìm được một miền có chứa trọng tâm, sao cho lực đặt trong miền đó thì mặt cắt ngang chỉ chịu lực cắt hoặc chỉ chịu nén. Vậy: Lõi của mặt cắt ngang là một miền bao kín quanh trọng tâm mặt cắt ngang. Khi lực lệch tâm đặt trong miền đó thì đường trung hòa nằm ngoài mặt cắt ngang và khi lực lệch tâm đặt trên chu vi miền đó thì đường trung hòa tiếp xúc với chu vi mặt cắt ngang. 7.4.4.2. Xác định lõi mặt cắt Lõi của mặt cắt được xác định như sau: - Tìm trọng tâm mặt cắt ngang và xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang. - Xác định các điểm đặt lực K: + Vẽ các đường trung hòa tiếp xúc với chu vi mặt cắt ngang. + Mỗi đường trung hòa ta với phương trình đường trung hòa: 1 b y a x Với vị trí của đường trung hòa ta xác định được tọa độ (a,b). + Với mỗi đường trung hòa này ta xác định tọa độ một điểm đặt lực K  KK yx , theo công thức: b i y a i x xK y K 22 ;  - Xác định lõi: Nối các điểm đặt lực K ta được chu vi của lõi. Sức bền vật liệu 1 nâng cao 48 * Chú ý: Đường trung hòa chỉ được tiếp xúc chu vi mà không được cắt mặt cắt ngang, vì vậy mặt cắt ngang là đa giác lồi hay lõm thì lõi cũng là đa giác lồi (H. 7.21). Hình 7.21 7.4.4.3. Lõi của một số mặt cắt ngang thường gặp a) Lõi của hình chữ nhật - Ta có hệ trục QTCTT Oxy như hình vẽ. - Xác định các điểm K: + Khi đường trung hòa trùng cạnh AB, ta có: a =  , b = - 2 h . Tọa độ điểm K tương ứng: 2 2 2 /12 0; / 2 6 y x K K i i h h x y a b h        + Khi đường trung hòa trùng cạnh BC, ta có: a = 2 b , b =  . Tọa độ điểm K tương ứng: 0; 6 2 12 2 2 2  b i y b b b a i x xK y K + Do tính đối xứng ta được các tọa độ tương ứng:       6 ;0 h và       0; 6 b . - Xác định lõi: Nối các điểm K, ta được lõi tiết diện là một hình thoi (H. 7.21) b) Lõi của hình tròn Khi đường trung hòa là một tiếp tuyến với đường tròn, ta có: a =  , b = 2 D . y E D x C B A F Sức bền vật liệu 1 nâng cao 49 Tọa độ điểm K tương ứng: 8 2 16;0 2 22 D D D b i y a i x xK y K  Do tính đối xứng của tiết diện, ta được lõi tiết diện là một đường tròn đồng tâm có đường kính bằng 8 D (H. 7.23) Hình 7.22 Hình 7.23 Ví dụ 7.8: Cho một mối ghép bu lông như hình vẽ (H. 7.24a). Biết thân bu lông đường kính d = 20mm, lực tác dụng lên đầu bu lông P = 6kN có độ lệch tâm e = 15mm. a) Xác định đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp. b) Tính các ứng suất pháp cực trị và kiểm tra điều kiện bền của thanh. Biết vật liệu có   214 /kN cm  . Giải: a) Xác định đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp. Đây là bài toán kéo lệch tâm. Lực lệch tâm N = P có độ lệch tâm là e = 15mm = 1,5cm so với tâm thanh (H. 7.24b). Gọi K  ,K Kx y là điểm đặt lực N, ta có: 1,5 ; 0K Kx cm y  . Vì lực nằm trên trục x, nên đường trung hòa sẽ song song với trục y và phương trình của đường trung hòa: x = a. Với: 2 y K i a x   Bình phương bán kính quán tính của mặt cắt ngang đối với trục y: y b/2 b/2 h /2 x h /2 b/6 b/6 h /6 h /6 x y Sức bền vật liệu 1 nâng cao 50 4 2 2 2 2 2 264 0,25 16 16 4 y y d J d i cm dF        . 2 0,25 0,17 1,5 y K i a cm x       . Vậy: x = - 0,17 Hình 7.24 b) Tính các ứng suất pháp cực trị và kiểm tra điều kiện bền của thanh. Bên trái trục trung hòa chịu kéo, nên điểm có ứng suất kéo lớn nhất là điểm A  1; 0A Ax y  và bên phải trục trung hòa chịu nén, nên điểm có ứng suất nén lớn nhất là điểm B  1; 0B Bx y  (H. 7.25). Do đó ứng suất cực đại tại A là:       ax 22 2 2 2 1,5 1. . . 6 1 1 1 0,252 4 13,37 / z K A K B K A m A y x y N x x y y N x x F i i F i kN cm                                 Do đó ứng suất cực tiểu tại B là:       min 22 2 2 2 1,5 1. . . 6 1 1 1 0,252 4 9,55 / z K B K B K B B y x y N x x y y N x x F i i F i kN cm                                  Ta có điều kiện bền:   2 ax 13,37 14 / m kN cm    . a) b) e e z N = P K B A y x P Sức bền vật liệu 1 nâng cao 51 Vậy: Bảo đảm điều kiện bền. Hình 7.25 7.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN 7.5.1. Khái niệm Một thanh gọi là uốn và xoắn khi trên mặt cắt ngang có ba thành phần nội lực là: momen uốn xM , yM và momen xoắn zM . 7.5.2. Thanh tròn chịu uốn và xoắn 7.5.2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang Hình 7.26 Đối với mặt cắt hình tròn thì mọi trục đi qua tâm O đều là trục quán tính chính trung tâm nên đó là uốn phẳng. Hợp hai momen xM và yM ta được uM : 2 2 u x yM M M  Mặt phẳng chứa uM là mặt phẳng quán tính chính trung tâm, đó là mặt phẳng tải trọng (V). Giao giữa mặt phẳng tải trọng (V) và mặt cắt ngang là đường tải trọng. Đường tải trọng Đường trung hòa A x v y V MU z MZ B u Sức bền vật liệu 1 nâng cao 52 Do đó trên mặt cắt ngang của thanh tròn có hai thành phần ứng suất: - Ứng suất pháp  : do momen uốn uM gây nên uốn phẳng. - Ứng suất tiếp  : do momen xoắn zM gây nên phân bố như xoắn thuần tuý (bỏ qua lực cắt Q y ). 7.5.2.2. Ứng suất cực trị và điều kiện bền a) Ứng suất cực trị Thanh chịu uốn thuần túy đồng thời chịu xoắn. Đường trung hòa vuông góc với đường tải trọng, nên điểm nguy hiểm trên mặt cắt nguy hiểm là giao điểm của đường tải trọng với chu vi mặt cắt ngang, đó là những điểm xa đường trung hòa nhất (H. 7.26). Tại đó ứng suất pháp: u 22 u minmax WW yxu MMM    (7.28) Và ứng suất tiếp: o zM W max  (7.29) Với: yxu WWW  và 2o uW W . c) Điều kiện bền Vì phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng nên điều kiện bền có dạng:  td  (7.30) Để tính ứng suất tương đương ta dựa vào các thuyết bền: - Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: 22 3 4 zyzt   Với: uW2W o 2 2 2 3 3 u uW W x y z t t M M M M      - Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng: 2 2 2 2 2 4 4 u u 0,75 3 W W x y z t t z zy M M M M          * Tổng quát: Điều kiện bền được viết gọn dưới dạng: Sức bền vật liệu 1 nâng cao 53    uW td td M (7.31) Trong đó: - Đối với thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: 222 3 zyxt MMMM  (7.32) - Đối với thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng: 222 4 75,0 zyxt MMMM  (7.33) - Đối với mặt cắt ngang tròn: 3u 1,0W D Ví dụ 7.9: Một trục truyền bằng thép đường kính d = 60mm chịu lực như hình vẽ (H. 7.27). Động cơ điện có công suất và số vòng quay của động cơ là N = 20kW, n = 500vg/ph tác dụng tại đầu B của trục. Puly có trọng lượng và đường kính là G = 2kN, D = 500mm, puly truyền lực kéo nằm ngang có lực kéo trên các nhánh của dây đai song song nhau và 21 2TT  . Kiểm tra bền trục theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng. Biết   2/12 cmkN , L = 2m. Hình 7.27 Giải: - Xác định ngoại lực tác dụng lên trục: Momen xoắn trên trục: cmkNNm n N xM .2,38382 500 20 .10.55,9.1055,9 33  Lực căng đai được xác định theo điều kiện cân bằng của momen xoắn: 2 . 2 . 2 . 221 D T D T D TM  T1 T2 A B D G d 2 L 2 L Sức bền vật liệu 1 nâng cao 54  kN x D M T 53,1 50 2,3822 2  Do đó: kNTT 06,32 21  Lực tác dụng tổng của lực căng tác dụng lên trục: kNTTT 59,453,106,321  Sơ đồ chịu lực của trục biểu diễn như trên hình 7.28a. - Vẽ biểu đồ nội lực: Các biểu đồ nội lực như Hình 7.28b,c,d. .100 4 200.2 2 . 2 max kNcm LP M x  kNcm xLT M y 5,229 4 20059,4 2 . 2 max  a) b) c) d) Hình 7.28 - Kiểm tra bền: Ứng suất tương đương theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng: G T Mx x y z z y x z 229,5 100 38,2 z My Mx Mz kNcm kNcm kNcm Sức bền vật liệu 1 nâng cao 55 3 222 u 22 4 1,0 75,0 W 3 D MMMM zyxtd zt    Mặt cắt nguy hiểm tại C có : kNcmMkNcmMkNcmM zyx 2,38;5,229;100       22 3 222 4 /12/69,11 0,1.6 2,3875,05,229100 cmkNcmkNt     . Vậy trục thỏa mãn điều kiện bền. Ví dụ 7.10: Trục hộp giảm tốc có gắn một bánh răng trụ răng thẳng chịu tác dụng bởi lực tiếp tuyến 1000tP N và lực hướng tâm 400rP N . Xác định đường kính d của trục theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất. Biết: đường kính trung bình của bánh răng 50cd mm , vật liệu làm trục có   24500 /N cm  , a = 50mm, b = 20mm. Giải: - Xác định ngoại lực tác dụng lên trục: . 1000 5 2500 2 2 t tb z P D x M Ncm   . 400 2 800x rM P b x Ncm   . . 1000 2 2000y tM P b x Ncm   - Vẽ biểu đồ nội lực: Các biểu đồ nội lực như hình 7.29b,c,d - Xác định đường kính trục d: Ta thấy mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt tại B. Ta có công thức kiểm tra bền theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:   2 2 2 3 uW x y z t M M M       2 2 2 4 3 3 3 800 2000 2500 1089 10 3300 4500 4500 4500 0,1 0,1 0,1 x d d d         3 3300 1,95 19,5 0,1 4500 d cm mm x     . Vậy: 19,5d mm Sức bền vật liệu 1 nâng cao 56 Hình 7.29 7.6. THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT 7.6.1. Khái niệm Một thanh gọi là chịu lực tổng quát khi trên mặt cắt ngang của nó có đầy đủ sáu thành phần nội lực: zyxzyx NQQMMM ,,,,, . Vì ảnh hưởng của lực cắt yx QQ , đến độ bền là bé nên bỏ qua. 7.6.2. Thanh tròn chịu lực tổng quát 7.6.2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang Theo nguyên lý cộng tác dụng: - Ứng suất pháp: do các thành phần nội lực là lực dọc zN , momen uốn yx MM , . - Ứng suất tiếp: do các thành phần nội lực là momen xoắn zM . Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, nên: Mx My Mz N.cm N.cm N.cm 800 2000 2500 b a b d c M C A B D Pr Pt A B x Pt y z My Mz Mx Pr M C D Sức bền vật liệu 1 nâng cao 57 u uz W M F N max (7.34) u uz W M F N min (7.35) o zM W max  (7.36) 7.6.2.2. Điều kiện bền Kiểm tra bền thanh theo một trong các thuyết bền sau: - Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (thứ ba):    223 4 zyzt - Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng (thứ tư):    224 3 zyzt C. CÂU HỎI ÔN TẬP 1. Thế nào là thanh chịu lực đơn giản, thanh chịu lực phức tạp? Cho ví dụ cụ thể. 2. Thế nào là uốn xiên? Nội lực trên mặt cắt uốn xiên? Công thức tính ứng suất? Vị trí của đường trung hoà? Biểu đồ ứng suất pháp? Điều kiện bền? 3. Thế nào là thanh chịu uốn và kéo - nén? Công thức tính ứng suất? Vị trí của đường trung hoà? Biểu đồ ứng suất pháp? Điều kiện bền? 4. Thế nào kéo - nén lệch tâm? Công thức tính ứng suất? Vị trí của đường trung hoà? Điều kiện bền? Thế nào lõi của mặt cắt ngang và cách xác định lõi của mặt cắt ngang? 5. Thế nào là thanh chịu uốn và xoắn? Ứng suất trên mặt cắt ngang tròn? Điều kiện bền? 6. Thế nào thanh chịu lực tổng quát? Cách tính ứng suất và điều kiện bền? D. TRẮC NGHIỆM 1. Nội lực của thanh chịu uốn xiên gồm có: a) momen uốn xM và yM . b) momen uốn xM , yM và lực dọc zN . c) momen uốn xM , yM và momen xoắn zM . 2. Nội lực của thanh chịu lực tổng quát gồm có: Sức bền vật liệu 1 nâng cao 58 a) sáu thành phần. b) bốn thành phần nếu bỏ qua lực cắt c) cả hai câu trên đều đúng 3. Trong các mặt cắt chịu lực nào sau đây chỉ có ứng suất pháp: a) uốn và kéo – nắn, kéo – nén lệch tâm, uốn và xoắn. b) uốn xiên, uốn và kéo – nén, kéo – nén lệch tâm. c) uốn xiên, uốn và kéo – nén, uốn và xoắn. 4. Nội lực của thanh chịu uốn và kéo – nén gồm có: a) momen uốn xM và yM . b) momen uốn xM , yM và lực dọc zN . c) momen uốn xM , yM và momen xoắn zM . 5. Đường trung hòa trong mặt cắt chịu uốn xiên: a) đi qua trọng tâm mặt cắt. b) không vuông góc với đường tải trọng. c) cả hai câu trên đều đúng 6. Trong công thức tính ứng suất pháp, giá trị momen uốn qui ước là dương khi: a) xM kéo phần dương của trục y và yM kéo phần dương của trục x. b) xM kéo phần âm của trục y và yM kéo phần âm của trục x. c) cả hai câu trên đều sai. 7. Nội lực của thanh chịu kéo – nén lệch tâm gồm có: a) momen uốn xM và yM . b) momen uốn xM , yM và lực dọc zN . c) momen uốn xM , yM và momen xoắn zM . 8. Đường trung hòa trong mặt cắt chịu uốn và kéo – nén: a) đi qua trọng tâm mặt cắt. b) không đi qua trọng tâm mặt cắt. c) cả hai câu trên đều đúng 9. Trong biểu đồ ứng suất pháp: a) tại vị trí trục trung hòa có giá trị bằng “0”. b) những điểm xa trục trung hòa nhất có ứng suất lớn nhất. Sức bền vật liệu 1 nâng cao 59 c) cả hai câu trên đều đúng. 10. Nội lực của thanh chịu uốn và xoắn gồm có: a) momen uốn xM và yM . b) momen uốn xM , yM và lực dọc zN . c) momen uốn xM , yM và momen xoắn zM . 11. Đường trung hòa trong mặt cắt chịu kéo – nén lệch tâm: a) không bao giờ qua phần tư có chứa điểm đặt lực. b) không đi qua trọng tâm mặt cắt. c) cả hai câu trên đều đúng 12. Qui ước dấu ,  dương khi: a) quay phần dương trục x đến đường tải trọng hay đường trung hòa cùng chiều kim đồng hồ. b) quay phần dương trục x đến đường tải trọng hay đường trung hòa ngược chiều kim đồng hồ. c) cả hai câu trên đều sai. 13. Nội lực của thanh chịu lực phức tạp gồm có: a) hai thành phần. b) nhiều thành phần c) cả hai câu trên đều đúng 14. Lõi của mặt cắt là một miền bao quanh trọng tâm mặt cắt sao cho: a) khi lực lệch tâm đặt trong miền đó thì đường trung hoàn toàn nằm ngoài mặt cắt. b) khi lực lệch tâm đặt trong miền đó thì đường trung hoàn toàn nằm trong mặt cắt. c) cả hai câu trên đều sai. 15. Phát biểu nào sau đây là đúng trong uốn xiên: a) Đường tải trọng và đường trung hòa bao giờ cũng nằm cùng một góc phần tư của hệ trục tọa độ. b) Đường tải trọng và đường trung hòa bao giờ cũng vuông góc với nhau. c) Đối với mặt cắt tròn không có uốn xiên. Sức bền vật liệu 1 nâng cao 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO  1 Nguyễn Đức Cán, Giáo trình Sức bền vật liệu, NXB Tp. HCM, 2007.  2 Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng; Sức bền vật liệu tập 1; NXB Giáo dục, 1997.  3 Đỗ Tấn Dân; Sức bền vật liệu tập 1; Trường ĐH Cần Thơ, 2000.  4 Đặng Việt Cương, Nguyễn Nhật Thăng, Nhữ Phương Mai; Sức bền vật liệu tập 1; NXB KH và KT, 2003. [5] Thái Thế Hùng; Sức bền vật liệu; NXB KH & KT, Hà Nội, 2006. +7,5