Bài giảng môn Đồ hoạ kỹ thuật

BÀI GIẢNG ĐỒ HOẠ KỸ THUẬTPhần IHình họaChương 1Mở đầuCơ sở của biểu diễn Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy) được sử dụng trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế. Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều còn hầu hết vật thể đều là các vật thể 3 chiều. Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3 chiều lên mặt phẳng 2 chiều? Hình họaGaspard Monge 1.1- Đối tượng môn học - Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt phẳng - Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng1.2- Các phép chiếu1- Phép chiếu xuyên tâma) Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc Π và một điểm A bất kỳ. - Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt phẳng Π.*Ta có các định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu + Điểm S gọi là tâm chiếu + Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π + Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm AAA’Hình 0.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâmSП - Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó là một đoạn thẳng A’B’. - Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a) - Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường đồng quy. (Hình 0.2.b)AA’Hình 0.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâmSB’BCDC’=D’b) Tính chất phép chiếu SC’A’B’D’F’E’T’a)b)ABEFDCПП2- Phép chiếu song songa) Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s không song song mặt phẳng Π và một điểm A bất kỳ trong không gian. - Qua A kẻ đường thẳng a//s . A’ là giao của đường thẳng a với mặt phẳng Π.* Ta có các định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu + Đường thẳng s gọi là phương chiếu + Điểm A’ gọi là hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π theo phương chiếu s + Đường thẳng a gọi là tia chiếu của điểm AAA’Hình 0.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâmsПaAA’Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu song songsB’BCDC’=D’b) Tính chất phép chiếu - Nếu đường thẳng AB không song song với phương chiếu s thì hình chiếu song song của nó là đường thẳng A’B’ - Nếu CD song song với phương chiếu s thì hình chiếu song song của nó là một điểm C’=D’ - Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’ + Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi: - Nếu MN//QP thì: - Nếu IK// Π thì: a)b)ПMM’MsN’NQP’Q’ПM’PK’I’IK3- Phép chiếu vuông góc - Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. - Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra có thêm các tính chất sau: + Chỉ có một phương chiếu s duy nhất + Giả sử AB tạo với П một góc φ thì: A’B’=AB.cosφ A’B’ ≤ AB - Sau đây là những ứng dụng của phép chiếu vuông góc mà ta gọi là phương pháp hình chiếu thẳng gócAA’Hình 0.5a,b. Phép chiếu vuông gócsПaAA’sПBB’φa)b)Chương 2Biểu diễn, liên thuộc2.1 – Điểm2.1.1 Đồ thức của một điểma) Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu - Trong không gian lấy hai mặt phẳng vuông góc nhau П1 và П2. - Mặt phẳng П1 có vị trí thẳng đứng. - Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang. - Gọi x là giao điểm của П1 và П2 (x = П1∩П2 ) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1và П2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2 - Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2 trùng vớiП1. Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếua)b)AA1A2AxxAA1Π1xAxΠ1Π2A2Π2 * Các định nghĩa và tính chất - Mặt phẳng П1: mặt phẳng hình chiếu đứng - Mặt phẳng П2: mặt phẳng hình chiếu bằng - Đường thẳng x : trục hình chiếu - A1: hình chiếu đứng của điểm A - A2: hình chiếu bằng của điểm A - Gọi Ax là giao của trục x và mặt phẳng (AA1A2) - Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng. Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếua)b)AA1A2AxxAA1Π1xAxΠ1Π2A2Π2* Độ cao của một điểm - Ta có: gọi là độ cao của điểm A - Quy ước: + Độ cao dương : khi điểm A nằm phía trên П2 + Độ cao âm: khi điểm A nằm phía dưới П2. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ cao dương: A1 nằm phía trên trục x + Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục xHình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếua)b)AA1A2AxxAA1Π1xAxΠ1Π2A2Π2* Độ xa của một điểm - Ta có: gọi là độ xa của điểm A - Quy ước: + Độ xa dương : khi điểm A nằm phía trước П1 + Độ xa âm: khi điểm A nằm phía sau П1. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ xa dương: A2 nằm phía dưới trục x + Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x*Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ thức là một cặp hình chiếu A1, A2. Ngược lại cho đồ thức A1 A2 , ta có thể xây dựng lại điểm A duy nhất trong không gian. Như vậy đồ thức của một điểm A có tính phản chuyểnHình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếuxAxA2Π2a)AA1A2AxxΠ1Π2b)A1 b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu - Trong không gian, lấy ba mặt phẳng П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi một. + Gọi x là giao điểm của П1 và П2 (y = П1∩П2) + Gọi y là giao điểm của П2 và П3 (y = П2∩П3) + Gọi z là giao điểm của П1 và П3 (z = П1∩П3) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1, П2 và П3 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2 và A3 - Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3 quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.2.a cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng với П1. Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếub)AA1xAxA2a)A2Π2xAA1AxA3A2AyAzΠ1Π3zyΠ1Π3Π2A3zyyOAzAyAyOb) Các định nghĩa và tính chất Bổ xung thêm các định nghĩa và tính chất sau: - Mặt phẳng П3: mặt phẳng hình chiếu cạnh - Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu - A3: hình chiếu cạnh của điểm A - Gọi - Trên đồ thức: + A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng + A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục x gọi là đường dóng nằm ngang. Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếub)AA1xAxA2a)A2Π2xAA1AxA3A2AyAzΠ1Π3zyΠ1Π3Π2A3zyyOAzAyAyOb) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)* Độ xa cạnh của một điểm - Ta có: gọi là độ xa cạnh của điểm A - Quy ước: + Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm phía bên trái П3 + Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm phía bên phải П3. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: + Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên phải trục x + Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái trục xHình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếub)AA1xAxA2a)A2Π2xAA1AxA3AyAzΠ1Π3zyΠ1Π3Π2A3zyyOAzAyAyOA22.1.2 Một số định nghĩa khác2.1.2.1– Góc phần tư - Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư. + Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I) + Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai. (II) + Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba. (III) + Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư. (IV)Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV Hình 1.4. Góc phần tư I, II, III, IVA2Π1Π2( I )( IV )( III )( II )xA2A1Π2Π1Hình 1.5. Các điểm A,B,C,D thuộc các góc phần tư I, II, III, IVB2B1C1C2D2D12.1.2.2 – Mặt phẳng phân giác - Có hai mặt phẳng phân giác + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. (Pg1) + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV) Hình 1.6. Mặt phẳng phân giác I và IIA2Π1Π2( I )( IV )( III )( II )xA2A1Π2Π1Hình 1.7. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)(Pg1) (Pg2) B1B2C1 =D2D1=C2 xAxBxCxDx2.1.3- Ví dụ: Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thứcBài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức.Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức x(+)AxA2A3z(+)y(+)OAzAyAyA1ΔΔ’y(+)x(+)BxB2B3z(+)y(+)OBzByByB1ΔΔ’x(+)CxC1C3z(+)y(+)OCzCyCyC2ΔΔ’x(+)DxD2D3z(+)y(+)ODzDyDyD1ΔΔ’y(+)x(+)Ex=E2E3z(+)y(+)OEz=EyE1ΔΔ’a)d)c)e)b)y(+)y(+)y(+)ByEy2.2 - Đường thẳng2.2.1 Biểu diễn đường thẳng Vì một đường thẳng đươc xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó. Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l; - l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng l - l2 đi qua A2B2 gọi là hình chiếu bằng của đường thẳng lHình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng A1B1l1l2B2A2BA1B2Π1Π2AxA2B1l1l2lChú ý: Nếu từ hình chiếu l1 và l2 của đường thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất trong không gian thì đồ thức đường thẳng có tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l 2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng1- Đường thẳng không song song với Π3 Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không không song song với Π3 là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng. Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng A1l1l2A2A1Π1Π2AxA2l1l2lx2- Đường thẳng song song với Π3 (đường cạnh) Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu:Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh yxQ2P3zyQ3P1OP2I1I3I2Q1Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. Nếu: Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh - Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90o ). - Trên t lấy: - Vẽ xQ2P1P2I1I2I’1Q1tα- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau - Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau2.2.3- Vết của đường thẳng Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu (Hình 2.12) - Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П1 Þ M1Îl1 , M2Îx - Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2 Þ N1Îx , N2Îl2 Hình 2.12. Vết của đường thẳng N1M2Π1Π2xN2M1l1l2lN1l1l2xM1N2M2 Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l1,l2) được cho như trên đồ thức và xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13) Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng Giải:* Tìm vết M, N của đường thẳng l: M2Îx Þ M2≡ l2∩x Þ M1Îl1 N1Îx Þ N1≡ l1∩x Þ N2Îl2* Xét l đi qua góc phần tư nào?- Xét AÎMN: A có độ cao dương, độ xa âm Þ A thuộc góc phần tư thứ II Þ l đi qua góc phần tư thứ II. - Xét BÎMN: B có độ cao âm, độ xa âm; Þ B thuộc góc phần tư thứ III Þ l đi qua góc phần tư thứ III - Xét CÎMN : C có độ cao dương, độ xa dương; Þ C thuộc góc phần tư thứ I Þ l đi qua góc phần tư thứ I. Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, IIIN1l1l2xM1N2M2B1B2Góc(I)Góc (II)Góc (III)A2A1C2C12.3- Mặt phẳng 2.3.1 Biểu diễn mặt phẳng Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng A1l1l2A2A1A2B1B2C1C2 Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng I1b1b2I2a1a2d1d2c1c2a)d)c)b) Chú ý: Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài toán không phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng2.3.1.1- Hai đường thẳng cắt nhaua) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức: các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng nằm trên một đường dóng thẳng đứng. (Hình 2.14) Hình 2.14. Hai đường thẳng không phải là đường cạnh cắt nhauI1a1a2I2xb1b2b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường thẳng l thỏa mãn: l1∩P1Q1 ≡ I1 l2∩P2Q2 ≡ I2 Xét xem l và PQ có cắt nhau không? (Hình 2.15)Giải: Ta có: IÎl Þ PQ∩l Û IÎPQ Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường cạnh đã xét ở trên Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau (một trong hai đường thẳng là đường cạnh)xQ2P1P2I1I2I’1Q1tαl1l22.3.1.2- Hai đường thẳng song songa) Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nào. b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên đồ thức* Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ thức các hình chiếu đứng của chúng song song và các hình chiếu bằng của chúng cũng song song. (Hình 2.16) Hình 2.16. Hai đường thẳng song song không phải là đường cạnha1a2xb1b22.3.2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)2.3.2.1- Bài toán cơ bản 1Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó. Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2 (Hình 3.11) Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1I1b1b2I2a112l1l21121a222b1b2I2a112l’1l’221a222a) l1 cắt cả hai đường a1 b1- Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22)b1b2I2a112l1l211a2I1I111K2K1b) l1 đi qua I1- Dùng đường thẳng l’(l’1,l’2) KÎ l’→l qua IK c) l1 song song với một trong hai đường a1 b1- VD: l1//b1- Dựa vào điểm 1(11,12) l2 đi qua 12, l2//b2l1l2Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) . Biết l1, tìm l2 (Hình 3.12)Giải: - Lấy M1≡ l1 ∩ mα → M2Î x- Lấy N1≡ l1 ∩ x → M2Î nα- l2 qua M2 và N2 là đường thẳng cần tìm Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1M2l1l2M1N1N2mαnαxChú ý: - Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng - Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng (α) cho bởi vết2.3.2.2- Bài toán cơ bản 2 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I,điểm K thuộc mặt phẳng α đó. Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình chiếu bằng K2 . (Hình 3.13)Giải: - Gắn điểm K vào một đường thẳng lÎ(α) - Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ? (bài toán cơ bản 1) - K2 Î l2 (Điểm thuộc đường thẳng) Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2b1b2I2a112l1l221a222I111K2K1Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα, nα). Điểm K thuộc (α). Biết K1, tìm K2(Hình 3.14) Giải: - Gắn K vào đường thẳng aÎ(α) → a1 qua K1. Tìm K2? - K2 Î a2 Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2αxa1a2M1M2N1N2xK1K2Chú ý: Trong hai bài toán cơ bản trên, nếu cho hình chiếu bằng của đường thẳng và của điểm, tìm hình chiếu đứng của chúng, ta cũng làm tương tự mαnα2.3.3- Vết của mặt phẳng Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu Cho mặt phẳng (α): * Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П1 * Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П2 * Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П3 Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó. Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : mα -Vết bằng : nα -Vết cạch : pαxΠ1Π3yΠ2pmnzxzyOm=m1p=p3n=n2m2=n1=p2p1 Hình 3.2. Vết của mặt phẳngOymαnαpαα - Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại αxÎ x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c) - Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2 và n1,n2 (Hình 3.3a) - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó ký hiệu mα, nα (Hình 3.3b,c) xm1n2xmαnααxxmαnαa)c)b) Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thứcαxm2=n1=x Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng α (a,b) được cho trên đồ thức, a cắt b tại I. (Hình 3.4) Hình 3.4. Ví dụ tìm vết của một mặt phẳngαxmαa2b1a1b2M’1M1M’2M2I1I2N1N2N’1N’2x Giải: - Nhận xét mặt phẳng (α) đi qua a và b do đó vết của mặt phẳng (α) đi qua vết của các đường thẳng a và b. + Tìm vết đứng M(M1,M2) của đường thẳng a + Tìm vết đứng M’(M’1,M’2) của đường thẳng b mα đi qua M1, M’1 + mα ∩ x ≡ αx + Tìm vết bằng N(N1,N2) của a + Vết bằng nα đi qua αx và N2 nαChú ý: Không cần tìm vết bằng N’(N’1 ,N’2 ) của đường thẳng b vì αx , N2 , N’2 thẳng hàng 2.4- Mặt (Mặt cong, đa diện) 2.4.1 Biểu diễn đa diện mặt cong Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó. Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a) - Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b) Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện. B1A1C1S1A2B2C2S2B1A1C1l1A2B2C2l2Hình 5.1. Biểu diễn đa diệna)b) Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó. Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón) - Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh. Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó. O1S1S2O1l1l2O2O2 Hình 6.1 Biểu diễn mặt cong 2.4.2 Điểm thuộc mặtVí dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của hình chóp S.ABC. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2)Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi qua đỉnh S, đó là SE và SE’. * Tìm N1: Gắn điểm N vào đường thẳng SA * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng song song với cạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P2 và P’2 * Tìm Q1, ngược lại: Có thể gắn Q vào đường thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường thẳng song song cạnh đáy hình chóp. Lưu ý có một điểm Q’1 thuộc đáy chóp. B1A1C1A2C2S1B2E ≡E’1N1N2J2J1Q2P2P1M’2M2E’2E2Q1Q’1I2I1M1P’2S2Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M2, N2. P2, Q1 Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của lăng trụ. Biết M1, N1, P1, Q2, Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.3) Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng t song song với cạch bên của lăng trụ. * Tìm N2: Gắn điểm N vào đường thẳng a1 * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b). PÎb Þ P1Îb1 * Tìm Q1, ngược lại: gắn Q vào đường thẳng k (k//a,b) B1A1C1A2B2C2N1N2P2P1P’2M2M’2M1G2G1H1H2Q2Q1Q’1E1≡E’1E’2E2B’2Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu các điểm bằng cách gắn các điểm vào đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụHình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M2, N2. P2, Q1 a1b1k1k’1c1t1k2t’2t2s’2≡ s1b2c2a2≡ s2Điểm thuộc mặt cong Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.2)Giải: - Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M - Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ - Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa điểm P - Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q. Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón O1J1S1O2E1≡E’1N1N2J2K1Q2P2P1M’2M2E’2E2Q1Q’1I2I1M1P’2S2 ≡ Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón. Tìm M2 , N2, P2, Q1K2 Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ. Biết M1, N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3). O1J1T1J2T’2N1P2P1M2M’2M1G2G1H1H2Q2Q1E’2E2T2Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ. Tìm M2 , N2, P1, Q1 Giải: - Tìm M2: qua M1 vẽ đường sinh a1. Chân đường sinh: E1, E’1. Trên hình chiếu bằng có E2, E’2. Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2. M2 Î a2, M’2 Î a’2 - Tìm N2: Gắn N vào đường sinh s. N1 Î s1, N2 Î s2 . - Tìm P1: Ngược lại cách tìm M2 - Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2 O2T2 ^ l2. Từ T1 vẽ đường sinh l1 Þ Q1 Î l1 Chú ý: Nếu hình chiếu của đáy trụ là hình tròn, ta có thể gắn các điểm vào đường tròn song song đáy trụN2P’1E1≡E’1s1s2a1a’2a2k’1k1k2l1l2O2 Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu. Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.4) Giải: - Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song song với П2 - Tìm N2 , P2: Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu: N1 Î (u1) Þ N2 Î (u2) P1 Î (v1) Þ P2 Î (v2) * Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm tương tự. O1O2N1N2E1P2P1(u1)M’2M2E2M1P’2(u2)(v1)(v2)Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu. Tìm M2 , N2, P2 ?2.5- Biểu diễn các đối tượng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)2.5.1- Các đối tượng song song với mặt phẳng hình chiếu2.5.1.1 Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)a) Đường bằng* Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. BA1Π1AxB1B2xA1B1h1hA2h1h2* Tính chất : - Hình chiếu đứng h1//x - Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A2B2=AB - Góc h2,x = h, П1= α Hình 2.2. Đường bằngΠ2A2h2B2b) Đường mặt* Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.Ví dụ: CD// П1 * Tính chất : - Hình chiếu bằng f2//x - Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C1D1=CD - Góc f1,x = f, П2= β Hình 2.3. Đường mặtDC1Π1xD1D2xC1D1f1fC2f1f2βΠ2C2f2βD2βCc) Đường cạnh* Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. * Tính chất : - p1 và p2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x - Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E3F3=EF - Góc p3,z = p, П1= α - Góc p3,y = p, П2= β Hình 2.4. Đường cạnhA2Π2xEF2F1F3E3Π1Π3zyOFαβxF2E3zyF3E1yp1pp2E2E1AxOF1p1p2E2αβp3p3αβHình 2.4. Đường cạnhA2xF3E3Π1Π3zyOFαβxF2E3zyF3E1yAxOF1p1p2E21αβp3p3Π2EF2F1p1pp2E2E1 Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt. Ví dụ: Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất. (Hình 2.4)2.5.1.2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)a) Mặt phẳng bằng * Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П2 *Tính chất : Π1xB1B2xA1A2C2 Hình 3.8. Mặt phẳng bằngBA1AB1Π2A2CB2C1mαmαC1C2Chú ý: (α)//П2 do đó (α) П1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứngα1b) Mặt phẳng mặt* Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П1 *Tính chất : Hình 3.9. Mặt phẳng mặtΠ1xC1C2xA1A2CA1C1Π2A2βB2ABB1C2B1B2nβnβChú ý: (β)//П1 do đó (β) П2 , cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng β2c) Mặt phẳng cạnh* Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П3 *Tính chất : Hình 3.10. Mặt phẳng cạnhxΠ1Π3yA3B3zOp3Π2BC2A1pB2B1AA2CC1C3γmγnγmγnγxA2B3yA3B1OA1C2E2C3C1yz(γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằngChú ý: 2.5.2.- Các đối tượng chiếu 2.5.2.1Các đường thẳng chiếua) Đường thẳng chiếu đứng* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.Ví dụ: BA1Π1Ax≡ B1B2xA1=B1A2* Tính chất : - Hình chiếu đứng của AB là một điểm A1 ≡ B1 - Hình chiếu bằng - A2B2=AB Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứngΠ2A2B2b) Đường thẳng chiếu bằng* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ:DC1Π1Cx≡D2D1xC2D1C1* Tính chất : - Hình chiếu bằng của CD là một điểm C2≡ D2 - Hình chiếu đứng - C1D1=CD Hình 2.6. Đường thẳng chiếu bằngΠ2C2≡D2c) Đường thẳng chiếu cạnh* Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. * Tính chất : - Hình chiếu cạnh của EF là một điểm E3 ≡ F3 - E2F2//E1F1//x - E1F1=E2F2=EF Hình 2.7. Đường thẳng chiếu cạnhΠ2xEF2F1≡F3E3Π1Π3zyOFxF2E3zy≡F3E1E2E1OF1E2*Tính chất : -Vết bằng - - mα , x = (α) , П2 = φ (Hình 3.5)2.5.2.2- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu)a) Mặt phẳng chiếu đứng* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.Ví dụ: Mặt phẳng Hình 3.5. Mặt phẳng chiếu đứngΠ1xC1C2xA1A2φCA1C1mαΠ2φABnαB1B2B1mαnααxα1Chú ý: mα là hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng (α) nên thường thay mα bởi α1 b) Mặt phẳng chiếu bằng* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: Mặt phẳng Hình 3.6. Mặt phẳng chiếu bằng*Tính chất : -Vết đứng - - nβ , x = (β) , П1 = φ (Hình 3.6)Π1xC1C2xA1A2CABh1Π2A2nβφC2B2mβB1B2nβφmββx β2Chú ý: nβ là hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng (β) nên thường thay nβ bởi β2 c) Mặt phẳng chiếu cạnh * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.Ví dụ: Mặt phẳng *Tính chất : xC3Π1Π3zyxA3zC3A1C1OB1αβpγA3OB3αβpγΠ2ACBmγnγmγnγB3yy Hình 3.7. Mặt phẳng chiếu cạnhγ2.5.3- Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc2.5.3.1- Định nghĩa Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng. (Hình 3.38.a)2.5.3.2- Định lý Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng. (Hình 3.38.b)2.5.3.3- Chuyển sang đồ thức - Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường mặt, đường cạnh) - Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó.Hình 3.38. Đường thẳng và mặt phẳng vuông gócαβaalbOla)b)* Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông (Hình 2.20) - Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П. - Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn: Hình 2.20. Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông O’y’Ox’xya)П4- Ví dụ: Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC), I(I1, I2). Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm I lên mặt phẳng (α).(Hình 3.39) Giải: - Vẽ đường bằng Ah (A1h1, A2h2) - Vẽ đường mặt Cf (C1f1, C2f2) - Qua I vẽ l ^ α(ABC): +Vẽ I1l1 ^ C1f1 + Vẽ I2l2 ^ A2h2 - Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(ABC)(Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng) Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt phẳng α(ABC) h1A1B1A2C2B2C111≡ φ1l1I1I2l2g2≡ g1h2D1D2E2E1H1H2212212f1f2Hình 3.39. Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm I lên mặt phẳng (α). Ví dụ 2: Xác định độ lớn thật khoảng cách từ I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα) được cho trên đồ thức. (Hình 3.40) Giải: - Qua I vẽ đường thẳng l ^ α(mα, nα) : +Vẽ I1l1 ^ mα + Vẽ I2l2 ^ nα - Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(mα, nα) - Tìm độ lớn thật của IH Ta có: H1I là độ lớn thật khoảng cách từ I đến α(mα, nα) xN1N2M2M1g2H1H2l2mαnαI1I2ΔyĐLT: IHΔyHình 3.40. Xác định độ lớn thật khoảng cách từ I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα)≡ φ1l1≡ g1Ví dụ 3: Cho mặt phẳng α(mα,nα). Đường thẳng a(a1,a2). Hãy dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α). (Hình 3.41)Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là trong mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Áp dụng: - Trên đường thẳng a lấy điểm I- Vẽ đường thẳng Ib ^ α(mα, nα) - β(a,b) là mặt phẳng qua a và β(a,b) ^ α(mα, nα) xb2mαnαI1I2b1a2a1Hình 3.41. Dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α) Chương 3Thay mặt phẳng hình chiếuCác bài toán về lượngĐặt vấn đề: Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán. Dưới đây là một số phương pháp biến đổi.3.1- Thay mặt phẳng hình chiếu3.1.1- Thay một mặt phẳng hình chiếua) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 Điều kiện: * Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu:- Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu mới.- Giả sử điểm A trong hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu là (A1 , A2).- Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1. Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2. ( Chiều quay xác định như trên hình 4.1). - Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống (П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A. *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2): Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’ + A’1 , A’x , A2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi)A1xAxA2x’A’1A’xΠ1Π2Π2Π’1Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1a)b)xΠ1Π2A1A’1A2Π’1AA’1A’xx’Ax Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2). Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2 Giải: Dựa vào tính chất của đường mặtAB đã cho ở vị trí bất kỳ.Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống mới (П’1, П2) đoạn thẳng AB là đường mặt . Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2.Để thực hiện: +Chọn x’//A2B2 +Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất)Chú ý : Độ cao các điểm A’1, B’1A1xAxA2x’A’1A’xΠ1Π2Π2Π’1B1B2B’1B’xBxφĐLT: ABHình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 Điều kiện: Cách xây dựng như thay П1 thành П’1* Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1. (Hình 4.3)*Tính chất:- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2) + A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’xA’2 =AxA2A1xAxA2Π1Π2x’A’2A’xΠ1Π’2Hình 4.3. Thay mặt phẳng П2 thành П’2 Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức. (Hình 4.4) Giải: Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức - (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng. - Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //(ABC) Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1. Tìm A’2B’2C’2? - Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật của ΔABC.Π1Π2C1C2xA2B2B1A1x’A’2A’xΠ1Π’2B’2B’xC’2C’xHình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABCAxBxCx3.1.2- Thay hai mặt phẳng hình chiếua) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 rồi thay П2 thành П’2 Điều kiện: Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là giao của П’1 với П’2 . (Hình 4.5)Giải: - Tìm A’1: A’1A2 ^ x’ ; A’xA’1=AxA1 - Tìm A’2: A’2A’1 ^ x” ; A’xA”2=AxA’2 A1Hình 4.5. Thay mặt phẳng П1 thành П’1 rồi thay П2 thành П’2Chú ý: Không được nhầm độ xa AxA2 với A’xA2A1xAxA2x’A’1A’xΠ1Π2Π2Π’1x’’A’2A”xΠ’2Π’1Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2). Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống mới.(Hình 4.6)Giải: Thay П1thành П’1 để trong hệ thống (П’1,П2), AB là đường mặt. + Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2. + Tìm A’1B’1? (Độ cao điểm A âm)Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống (П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng. + Muốn vậy, chọn trục x”^A’1B’1. + Tìm A’2B’2? (A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu bằng)A1xAxA2x’A’xΠ1Π2Π2Π’1B1B2B’1B’xBxΠ’1Π’2x’’A”x ≡ B”xA’2 ≡ B’2Hình 4.6. Ví dụ 3Độ cao âmA’1b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 rồi thay П1 thành П’1 Điều kiện: Thực hiện phép thay tương tự như mục a)Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2.(Hình 4.7).Giải:Tìm A’2: A1A’2 ^ x’ ; A’xA’2=AxA2Tìm A’1: A’1A’2 ^ x” ; A’’xA’1=A’xA1 A1xAxA2Π1Π2x’A’2A’xΠ1Π’2x’’A’1A’’xΠ’1Π’2Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1AxHình 4.7. Thay mặt phẳng П2 thành П’2 rồi thay П1 thành П’1 Ví dụ 4: Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giácABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8)Giải:- Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệthống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng chiếu bằng. Muốn vậy, vẽ đường mặt Af. Chọn trục x’^A1f1.Tìm A’2B’2C’2?- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng mặt. Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2.Tìm A’1B’1C’1?- Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn thật của tam giác ABC.Π1Π2C1C2xA2B1A1A’2A’xΠ’2Π’1B’2B’xC’2C’xB2C’1A’1B’1x’’x’BxCxAxB”xA”xC”xΠ’2Π1Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật của tam giác ABCf2f11112Chương 4Giao của các đối tượng 4.1- Mặt phẳng cắt các đối tượng4.1.1 Trường hợp đặc biệta)Mặt phẳng cắt một đối tượng chiếuNguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của giao. Hình chiếu đã biết của giao nằm trên trên hình chiếu suy biến của đối tượng chiếu, hình chiếu còn lại tìm bằng bài toán liên thuộcVí dụ 1: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) . Cho l vuông góc với П1, mặt phẳng α(a,b). Giải: - l ^ П1 Þ K1 ≡ l1 - Tìm K2 đưa về bài toán cơ bản 1 (điểm thuộc mặt phẳng) Þ K2 ≡ l’2 ∩l2l2a2l1xK1 ≡K2b2a1b1l’1l’212221121Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(ABC) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước Giải: - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡ α1 - Để tìm g2 quy về bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳngA1B1A2C2B2C112112122g1 ≡g2α1Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ chiếu bằng được cho như trên hình 6.8. (Trụ chiếu bằng là trụ có trục hay đường sinh vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2).Giải: Giao tuyến (α) với trụ là đường elíp. Vì mặt trụ là mặt trụ chiếu bằng nên biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến. + Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V. + Tìm điểm thấp nhất và cao nhất A, B. + Tìm CD: đường kính liên hợp với AB.A1A2U1U2V1V2B1B2O2C2D2X2Y2X1Y112221121h1h2f2f1D1C1O1Hình 6.8. Tìm giao tuyến của α(mα, nα) với mặt trụ chiếu bằng Hình 6.9.Giao của (α ) với trụ chiếu đứng trong không giand2d1mαnαΠ2nαΠ1O2ABmαUVDOαdxCb- Mặt phẳng chiếu cắt các đối tượngNguyên tắc chung: Đã biết trước một hình chiếu của giao. Hình chiếu biết trước của giao trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu. Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Giải: - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 - (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ β1 β2α1g1g2xHãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(β1) (Hình 3.25) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Giải: - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 - (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ β1 - Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng: + g1≡ α1∩ β1 + g2 ^ xβ1α1g1g2xHình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) , β(β1)S1I1J1A1B1α1A2B2C2D2J2S2Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với mặt nón tròn xoay trong 3 trường hợp:Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường sinh của nón, giao tuyến là elíp (E) - (α) cắt mặt nón theo đường elíp (E) có hình chiếu đứng là đoạn A1B1. - A2B2 là trục dài của elíp trên hình chiếu bằng. - Lấy I1 là trung điểm A1B1 Þ I2 là trung điểm của A2B2 . I2 là tâm đối xứng của elíp trên hình chiếu bằng. - C1 ≡ D1, Tìm C2D2 (bài toán điểm thuộc mặt nón). C2 D2 là trục ngắn của elíp (E). - Để thuận lợi ta tìm thêm các điểm trung gian khác. Chú ý: S2 là tiêu điểm của elíp(E2)(E1)X1X2X’2K1K2C1≡D1≡I24.1.2 Trường hợp tổng quátTrường hợp tổng quát ta chưa biết được hình chiếu nào của giao. Muốn tìm giao ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ.a) Đường thẳng cắt mặt phẳngHãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: + Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l + Tìm giao tuyến g của (φ) và (α) + Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α) glKαφChú ý: Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)Ví dụ 1: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(ABC).Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ Tìm được K ≡ l ∩ (α) * Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt phẳng (ABC) -Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P1l,P2l) và (P1BC, P2BC): P1lÎ l1 ; P1BCÎ B1C1 ; P2l ≡ P2BC Trên hình chiếu đứng P1l cao hơn P1BC Þ trên hình chiếu bằng P2l thấy, P2BC khuất Þ P2lK2 thấy. - Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11l,12l ) Trên hình chiếu bằng: 12 xa hơn 12l Þ trên hình chiếu đứng : 11 thấy, 11l khuất Þ 11lK1 khuất.A1B1A2C2B2C112112122φ1 ≡l1K1K2l2g2≡ g1≡ 11l12lVí dụ 2: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(mα,nα). (Hình 3.37)Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: - Lấy (φ) chứa l (φ1 ≡ l1) - (φ) ∩ (α) ≡ g : g1 ≡ φ1 ≡ l1 - Tìm g2 (Bài toán cơ bản 1) - Lấy K2 ≡ l2 ∩ g2 K1Î l1 Þ K(K1,K2) ≡ l ∩(α)xl1N1N2M2M1g2K1K2l2mαnαHình 3.37. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l(l1,l2), α(mα,nα).Chú ý: Nếu lấy (φ) là mặt phẳng chiếu bằng (φ2 ≡ l2) thì ta cũng làm tương tự. φ1 ≡≡ g1b) Mặt phẳng cắt mặt phẳngDùng phương pháp mặt phẳng phụ. (Hình 3.29) Giả sử cho hai mặt phẳng (α), (β). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó bằng phương pháp mặt phẳng phụ như sau: - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k ≡ (φ)∩(α) l ≡ (φ)∩(β) J ≡ k∩l Ta có J là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng (α) và (β). - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k’ ≡ (φ’)∩(α’) l’ ≡ (φ’)∩(β’) J’ ≡ k’∩l’ Ta có J’ là điểm chung thứ hai của mặt phẳng (α) và (β). Dựng đường thẳng g đi qua J và J’ thì g≡ (α) ∩ (β). Hình 3.29. Phương pháp mặt phẳng phụChú ý: (φ) và (φ’) là các mặt phẳng chiếu. Lấy (φ’) // (φ) thì k’//k, l’//l αglβkJφk’l’φ’J’Giải: Ví dụ 3: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d. Tìm giao của hai mặt phẳng C2D2xC1d1d2c2c1D1A1B1E1F1a1b1a2b2A2B2E2F2J’1(φ1)(φ’1)J1J2J’2Hình 3.30. Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng α(a,b) và β(c,d) bằng phương pháp mặt phẳng phụg1g2k1k2k’1k’2l1l2l’1l’2Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 4: Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) . (Hình 3.28) Đây là trường hợp tổng quát, chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến. Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đóGiải: - Tìm hai điểm chung M, N của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β): + M1≡ mα∩mβ Þ M2Îx + N2≡ nα∩nβ Þ N1Îx - g1 đi qua các điểm M1 và N1 - g2 đi qua các điểm M2 và N2Ta có g(g1,g2) ≡ α(mα,nα) ∩ β(mβ,nβ) xmαN1N2M1M2g1g2nαmβnβHình 3.28. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) b) Mặt phẳng cắt đa diên, mặt cong (Xem sách giáo khoa)4.2 Đường thẳng cắt mặt(mặt cong, đa diện)4.2.1 Trường hợp đặt biệtNguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của giao điểm, tìm hình chiếu còn lại nhờ bài toán điểm thuộc mặt hoặc điểm thuộc đường thẳng.Ví dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bằng l với mặt nón được cho như trên hình 6.10.Giải: - Vì l là đường thẳng chiếu bằng , do đó biết hình chiếu bằng I2 ≡ K2≡ l2 - Tìm I1, K1: Bài toán điểm thuộc mặt nónl1O1S1S2O2T1T’1H2 ≡ G2l2H1G1I1K1≡I2≡K2A1B1C1B2C2A2K1K2I1I2D2D1Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với lăng trụ chiếu đứngVí dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng vẽ. ( Lăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П1)Giải: Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I1, K1 của giao điểm. Tìm I2 K2: Bài toán điểm thuộc đường thẳng : I2 , K2 thuộc l2.Chú ý: Nhất thiết các đoạn I1K1, I2K2 phải khuất.l1l24.2.2 Trường hợp tổng quáta)Đường thẳng cắt đa diệnVí dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp được cho trên đồ thức.Giải: Giả thiết đường thẳng l(l1,l2) bất kỳ, đa diện là hình chóp, ta chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến, do đo phải dùngphương pháp mặt phẳng phụ trợ: (Hình 5.10) - Lấy một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng l - Tìm giao tuyến của (α) với chóp : Δ123 - Gọi I, K là giao điểm của l với cạnh của Δ123 thì I, K là giao điểm của đường thẳng l với hình chóp đã cho.B1A1S131J121B2C1A2C21122J21232S2≡ α1l1l2K1K2I1I2Chú ý: Mặt phẳng (α) được chọn là mặt phẳng chiếu.αlBAS32C1KIb)Đường thẳng cắt mặt cong* Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quátLập mặt phẳng phụ trợ α(S, k)Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy nón tại 2.Trên k lấy điểm K tùy ý, kéo dài SK cắt mặt phẳng đáy nón tại 1.12 cắt đáy nón tại hai điểm F, J . Nối SF, SJ cắt k tại I và I’. I, I’ là giao điểm cần tìm. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy nón quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k1S2KFJII’1S2KFJII’RkkααLập mặt phẳng phụ trợ α đi qua k và song song với trục của trụ.Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy trụ tại 2.Trên k lấy điểm K tùy ý, qua K kẻ đường thẳng song song với trục của trụ, cắt mặt phẳng đáy trụ tại 1.12 cắt đáy nón tại hai điểm F,J . Qua điểm F, J kẻ hai đường thẳng song song với trục của trụ cắt k tại I và I’. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy trụ quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k1O2KFJII’a)b)kOkR* Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quát (Hình 6.15)α12KFJII’α*Đường thẳng cắt mặt cầuVí dụ 2: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S) được cho như trên hình 6.11.Giải: - Trong bài toán này, chưa biết hình chiếu nào của giao điểm, do đó ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. - Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2), φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ là đường tròn (C): (C2) ≡ (φ2). - Tìm (C1). - Ta có: I1, K1 ≡ (C1)∩ f1 I2, K2 Î f2f1K2I1K1f2O1O2I2≡ φ2(C2)(C1)Hình 6.11. Ví dụ 1: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S)(S1)(S2)12114.3 Giao hai đa diệnVí dụ 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng . (Hình 5.11) Giải: - Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, do đó giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín. - Hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của hình lăng trụ: 11, 21, 31, 41, 51. - Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc mặt của hình chóp. - Để nối và xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai triển như hình 5.12BASSDEFDCASS1154321’5’3’1’B1A1S14121B2C1A2C211=1’1221232S21’231 ≡3’13’24251 ≡5’1525’2D1E1F1D2F2E2(-)Ví dụ 2: Tìm giao của hai lăng trụ trong đó có một lăng trụ là lăng trụ chiếu bằng (Hình 5.13) Hình 5.14. Bảng nối và xét thấy khuất giao tuyến trên hình chiếu đứngEFCBACDE56424’313’(-)(-)B1A1B2C1A2C2D1E1F1D2E2F24’12142≡4’212311132≡3’2416251523’161H2G2H1G1224.4- Giao của đa diện với mặt cong Mỗi một mặt đa diện cắt mặt cong bậc 2 theo một đường bậc 2.Vì vậy, giao của đa diện với mặt cong là tổ hợp của các đường bậc 2. Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với hình nón tròn xoay được cho trên hình 6.16. Giải: - Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó đã biết hình chiếu đứng của giao tuyến là các đoạn 1-2-3-4 - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến : bài toán điểm thuộc mặt nón. Bổ xung thêm các điểm 5-6 để vẽ giao tuyến được chính xác. - Nhận xét: + Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung tròn 1-2 + Mặt (BB’C’C) song song với một đường sinh của hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3 + Mặt (AA’C’C) cắt tất cả các đường sinh của hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4. S161A1 ≡A’1B2323’2A2S2C212221121≡312’24142626’2525’251B1 ≡B’1C1 ≡C’1A’2C’2B’24.5- Giao của hai mặt congVí dụ 1: Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay (Hình )Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ. + Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất. - Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm thêm các điểm X, Y...Hình 6.18Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoayS1S21141312132222’2423’212X1Y1X2X’2Y2Y’2Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu (Hình )Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và mặt cầu là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 2,6 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất của trụ. + Điểm 5 là điểm thuộc đường sinh cao nhất của trụ + Điểm 7 là điểm tiếp xúc của trụ với cầu. Hình 6.19Tìm giao của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu613121715132226252722’23’25’26’2Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc nhau tại một điểm thì chúng cắt nhau theo đường cong ghềnh bậc 4, tại điểm tiếp xúc của hai mặt cong đường cong ghềnh bậc 4 đó tự cắt nó.Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai đã cắt nhau theo một đường bâc hai thì chúng sẽ cắt nhau theo một đường bậc hai thứ hai.S1S211312132222’23’212Định lý 2: Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với nhau tại hai điểm thì chúng sẽ cắt nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó.S1S2613121715181322262526’2722’23’25’282