Bài giảng môn: Chuyên đề ống nhiệt

6 CHƯƠNG 2 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH 2.1. ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT 2.1.1. Thiết lập định luật Fourier về dẫn nhiệt Định luật Fourier là định luật cơ bản của dẫn nhiệt, nó xác lập quan hệ giữa 2 vectơ q và dtagr . Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt lượng Q2δ dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử khí có nhiệt độ T1 > T2, cách dS một đoạn x bằng quảng đường tự do trung bình các phân tử, trong thời gian τd , như hình H2. Vì T1 và T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử n0 và vận tốc trung bình ω của các phân tử trong 2 lớp là như nhau , và bằng: τω= dSdn 6 ind 0 2 Lượng năng lượng qua dS từ T1 đến T2 là τω== dSdn 6 1kT 2 indEEd 01 2 11 2 và τω== dSdn 6 1kT 2 1ndEEd 02 2 22 2 , trong đó K/J10.3806,1 02217,6 8314 N R k 23 A −µ === là hằng số Boltzmann, NA là số phân tử trong 1 kmol chất khí (số Avogadro), I là số bậc tự do cảu phân tử chất khí. Trừ 2 đẳng thức cho nhau, sẽ thu được lượng nhiệt trao đổi qua dS, bằng: τω−=−=δ dSdn 6 1)TT(k 2 ind)EE(Q 021 2 21 2 Vì x2 x TTT 21 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−=− và Hình 2. Để tìm dòng nhiệt q 7 v A 0 A 00 C3 1R 2 i N n 3 1 N R n 6 ikn 6 i ρ=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ µ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ µ== µµ nên có: τ∂ ∂⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ωρ−=δ dSd x TxC 3 1Q v 2 , ddawtj xC 3 1 vωρ=λ thì có x Tq Ss Q x 2 ∂ ∂λ−==τδ δ . Đây là dòng nhiệt theo phương x. Khi dS có vị trí bất kỳ, thì véctơ dòng nhiệt qua dS là dTagr z Tk y Tj x Tiq λ−=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂λ−= 2.1.2. Phát biểu và hệ quả của định luật Fourier Định luật Fourier phát biểu, rằng vectơ dòng nhiệt q tỷ lệ thuận với véc tơ gradien nhiệt độ. Biểu thức dạng vectơ là dtagrq λ−= , dạng vô hướng là )M(tgradtq nλ−=λ−= . Dấu (-) vì 2 vectơ ngược chiều nhau. Nhờ định luật Fourier, khi biết trường nhiệt độ t(x, y, z,τ), có thể tính được công suất nhiệt Q[W] dẫn qua mặt S [m2] theo công thức dS.gradtQ S∫∫ λ−= và tìm được lượng nhiệt Qτ [J] dẫn qua S sau thời gian τ[s] theo công thức τλ−= ∫∫∫ ττ dtdSdgraQ S0 , [J]. 2.1.3. Hệ số dẫn nhiệt Hệ số dẫn nhiệt là hệ số của định luật Fourier: n t q gradt q ∂∂ ==λ , [W/mK] Vì λ tỷ lệ với q nên λ đặc trưng cho cường độ dẫn nhiệt của vật liệu. Với chất khí, theo chứng minh trên, có m Tk Rd3 C2 pd2 kT m kT8C RT p 3 1xC 3 1 3 2 2 v 2vv π=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ππ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=ωρ=λ 8 Hệ số dẫn nhiệt λ của khí lý tưởng không phụ thuộc vào áp suất p, λ tăng khi tăng nhiệt độ hoặc tăng CV, và λ giảm khi tăng hằng số chất khí, µ= µRR , tăng đường kính d hoặc tăng khối lượng m của phân tử chất khí. Với các vật liệu khác λ tăng theo nhiệt độ, được xác định bằng thực nghiệm và cho ở bảng hoặc công thức thực nghiệm trong các tài liệu tham khảo. Ví dụ, trị trung bình của hệ số λ của một số vật liệu thường gặp được nêu tại bảng 2. Vật liệu λ[W/mK] Vật liệu λ[W/mK] Bạc Đồng Vàng Nhôm Thép Cacbon Yhép CrNi 419 390 313 209 45 17 Thuỷ tinh Gạch khô Nhựa PVC Bông thuỷ tinh Polyurethan Không khí 0,74 0,70 0,13 0,055 0,035 0,026 Bảng 2. Hệ số dẫn nhiệt trung bình của các vật liệu thường dùng 2.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT 2.2.1. Nội dung và ý nghĩa của PTVPDN PTVPDN là phương trình cân bằng nhiệt cho 1 vi phân thể tích dV nằm hoàn toàn bên trong vật V dẫn nhiệt. PTVPDN là phương trình cơ bản để tìm trường nhiệt độ t(M, τ) trong V, bằng cách tính phương trình này. 2.2.2. Thiếtt lập PTVPDN Xét cân bằng nhiệt cho vi phân thể tích dV bao quanh điểm M(x,y,z) bất kỳ bên trong vật V, có khối lượng riêng ρ, nhiệt dung riêng Cp, hệ số dẫn nhiệt λ, công suất sinh nhiệt qv , dòng nhiệt qua M là q . Hình 3. Cân bằng nhiệt cho dV 9 Định luật bảo toàn năng lượng cho dV phát biểu rằng: [Độ tăng enthalpy của dV] = [hiệu số nhiệt lượng (vào - ra)dV]+ [lượng nhiệt sinh ra trong dV]. Trong thời gian 1 giây, phương trình này có dạng : dVqdV.qdivtdVC vp +−=τ∂ ∂ρ hay )qdivq( C 1t v p −ρ=τ∂ ∂ Theo định luật Fourier dtagrq λ−= , khi λ = const ta có t z t zy t yx t x )dtagr(divqdiv 2∇λ−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂λ−=λ−= với ),(r, cáöu âäü toaû trong, z),(r, truûâäü toaûTrong (xyz) goïc vuängâäü taûo 2 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ θϕϕ∂θ ∂+θ∂ ∂ θ θ+θ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ ϕ∂ ∂+ϕ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ =∇ 222 2 222 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sinr tt sinr cos r t r t r 2 r t z t r t r t r 1 r t )Trong( z t y t x t t gọi là toán tử Laplace của hàm t(M) PTVPDN là phương trình kết hợp 2 định luật nói trên, có dạng: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∇+λ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∇+λρ λ=τ∂ ∂ tqatq C t 2v2v p , với pC a ρ λ= [m2/s] gọi là hệ số khuếch tán nhiệt, đặc trưng cho mức độ tiêu tán nhiệt trong vật. 2.2.3. Các dạng đặc biệt của PTVPDN Phuơng trình VPDN tổng quát [ ])dtagr(divq c 1T V P λ−−ρ=τ∂ ∂ sẽ có dạng đơn giản hơn, khi cần đáp ứng đủ các điều kiện đặc biệt sau đây: 1) Vật V không có nguồn nhiệt, qv = 0, thì ( )dtagrdivC1t p λρ=τ∂∂ 2) Với λ = const, ∀M(x,y,z) ∈ V, thì tat 2∇=τ∂ ∂ 10 3) Nếu nhiệt độ ổn định trong V, 0t =τ∂ ∂ ∀M∈V, thì 0t2 =∇ 4) Khi trường t(M) là ổn định 1 chiều thì : t(x) trong toạ độ vuông góc tìm theo 0 dx td 2 2 = t(r) trong toạ độ trụ tìm theo 0 dr dt r 1 dr td 2 2 =+ t(r) trong tạo độ cầu tìm theo 0 dr dt r 2 dr td 2 2 =+ 2.3. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ Phương trình vi phân dẫn nhiệt là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn là hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ). Nghiệm tổng quát thu được bằng cách tích phân phương trình này luôn chứa một số hằng số tuỳ ý chọn. Để xác định duy nhất nghiệm riêng của PTVPDN, cần cho trước một số điều kiện, được gọi chung là các điều kiện đơn trị. Điều kiện đơn trị là tập hợp các điều kiện cho trước , đủ để xác định duy nhất nghiệm của một hệ phương trình. 2.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị Theo nội dung, các điều kiện đơn trị được phân ra 4 loại sau 1) Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định hình dạng, kích thước vị trí của hệ vật V. 2) Điều kiện vật lý: Cho biết luật xác định các thông số vật lý tại mọi điểm M ∈V, tức là cho biết (ρ, λ, a, qv, …)= f(M∈V, t). 3) Điều kiện đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm đầu τ = 0 tại mọi điểm M∈V, tức là cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z). 4) Điều kiện biên: cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc luật cân bằng nhiệt tại mọi điểm M trên biên W của vật V tại mọi thời điểm khảo sát. Nếu ký hiệu dòng nhiệt dẫn trong vật V đến M ∈ W là )M(t n tq nλ−=∂ ∂λ−=λ thì mô tả toán học của các điều kiện biên có dạng: 11 xeït. q hoàûc τ∆∈τ∀ ∈∈∀ ⎭⎬ ⎫ τ=λ−= τ= λ VWM ))M(t,,M(q)M(t ),M(tt n w Điều kiện hình học, điều kiện vật lý và điều kiện biên cần phải cho trước trong mọi bài toán. Riêng điều kiện đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định, có chứa biến thời gian τ. 2.3.2. Các loại điều kiện biên. Trên các biên Wi của vật V, tuỳ theo phương thức trao đổi nhiệt với các môi trường mà V tiếp xúc, người ta có thể cho trước 7 loại điều kiện biên khác nhau. Bảng 3 sau đây sẽ tóm tắt ý nghĩa vật lý và toán học, minh hoạ hình học và các trường hợp đặc biệt của 7 loại điều kiện biên quanh vật V bất kỳ. Bảng 3. Các loại điều kiện biên. Loại ĐKB Ý nghĩa vật lý hay thông số cho trước Mô tả toán học hay pt CBN mô tả hình học hay đồ thị (t-x) Trường hợp đặc biệt 1 Cho nhiệt độ tW1 tại ∀M1∈W1∈V tw1 = t(M1, τ) tw1 = tf khi W1 tiếp xúc chất lỏng có α lớn 2 Cho dòng nhiệt q qua ∀M2 ∈W2∈V -λtn(M2) = q(M2, τ) q = const ↔γ=const q=0 ↔W2 là mặt đối xứng hoặc cách nhiệt 12 3 Cho mặt W3 toả nhiệt ra chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số α -λtn(M3)= α(t(M3),tf) α = 0 ↔ W3 là cách nhiệt hoặc đối xứng α = ∞ ↔t(M3) =tf W3 biến thành W1. Khi (λ,α,tf) = const ↔ R cố định 4 Cho W4 tiếp xúc vật V2 đứng yên, có λ2 , t2 =λ− )M(t 4n - λ2t2n(M4) t2 = const↔W4 biến thành W1 (λ1, λ2 )=const↔gó c γ=const 5 Cho W5 hoá rắn từ pha lỏng có thông số (ρ, rc, λf, tf) =λ− )M(t 5n )M(t x r 5fnf 5 c λ−τ∂ ∂ρ W5 di động với tốc độ hoá rắn bằng τ∂ ∂ 5x 6 cho W6 tiếp xúc chân không -λTn(M6)= εδ0T4(M6) Mặt bao chân không có nhiệt độ Tc. – λTn(M6) = εδ0[T2(M6)- Tc2] 13 7 Cho W7 tiếp xúc chất khí có thông số (Tk, ε) -λTn(M7)=α [T(M7)- Tk]+ εδ0[T4(M7) - T4k ] Quy ra trao đổi nhiệt phức hợp -λTn(M7)=αph [t(M7)- Tk] Mô tẳ toán học cho mỗi loại điều kiện biên là phương trình cân bằng các dòng nhiệt ra vào điểm M bất kỳ trên biên. Phương trình mô tả các điều kiện biên loại 2, 3, 4, 5 là các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với t và tn . Phương trình mô tả điều kiện biên loại 6 và 7 là những phương trình phi tuyến, chứa T4 chưa biết. 2.3.3. Mô hình bài toán dẫn nhiệt Ở dạng tổng quát, bài toán dẫn nhiệt có thể được mô tả bởi hệ phương trình vi phân (t) gồm phương trình vi phân dẫn nhiệt và các phương trình mô tả các điều kiện đơn trị như đã nêu tại mục 2.3., có dạng ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈∀−εδ+−α=λ− ∈∀εδ=λ− ∈∀τρ+λ−=λ− ∈∀λ−=λ− ∈∀−α=λ− ∈∀τ=λ− ∈∀τ= ∈∀ ∈∀⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ λ+∇=τ∂ ∂ 77 4 k7 4 0k77n 666 4 06n 55 5 c5nn5n 4442n24n 33f33n 2222n 111 v2 WM],T)M(T[]t)M(t[)M(t WM),M(T)M(t WM, d dx r)M(t)M(t WM),M(t)M(t WM],t)M(t[)M(t WM),,M(q)M(t WM),,M(t VM, q tat W1t VM cuía lyï váût säú thängâënh vaì xaïcMiãön Giải bài toán dẫn nhiệt là tìm hàm phân bố nhiệt độ t(M(x,y,z),τ) thoả mãn mọi phương trình của hệ (t) nói trên. Việc này gồm có 2 bước chính là tích phân phương trình vi phân dẫn nhiệt để tìm nghiệm tổng quát, sau đó xác định các hằng số theo các phương trình mô tả các điều kiện đơn trị. Hình 4. Mô hình tổng quát bài toán dẫn nhiệt t(x,y,z,τ) 14 2.4. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG Dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng là bài toán đơn giản nhất của truyền nhiệt. Tuỳ theo kết cấu vách và điều kiện biên, bài toán dãn nhiệt sẽ được phân ra các loại sau đây. 2.4.1. Vách phẳng 1 lớp có 2 biên loại 3 2.4.1.1. Phát biểu bài toán Cho 1 vách phẳng dày δ rộng vô hạn, làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, 2 mặt bên tiếp xúc với 2 chất lỏng có nhiệt độ khác nhau tf1 > tf2 , với hệ số toả nhiệt vào ra vách là α1, α2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong vách và dòng nhiệt q(x) qua vách. Theo toán học, phát biểu trên tương đương với việc tìm hàm t(x), ∀x∈[0,δ ] như là nghiệm của hệ phương trình (t) sau đây. (t) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −δα=δλ− λ−=−α = )3(]t)(t[)(t )2()0(t)]0(tt[ )1(0 dx td 2f2x x1f1 2 2 2.4.1.2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x). 1) Tìm nghiệm tổng quát bằng cách tích phân phương trình (1), ta có : ∫∫ +== 212 CxCdx)x(t 2) Xác định C1 , C2 theo 2 điều kiện biên (2) và (3) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ α λ+= α λ+δ+α λ −−= ⇒ ⎭⎬ ⎫ −+δα=λ− λ−=−α ]K[,CtC ]m/K[, )tt( C ]tCC[C C]Ct[ 1 2 1f2 21 2f1f 1 2f2121 121f1 Hình 6. Trường t(x) trong vách phẳng có 2W3 15 Phân bố nhiệt độ trong vách là t(x)= tf1 - )x( tt 1 21 2f1f α λ+ α λ+δ+α λ − Bằng cách thay x bằng 0 hoặc δ, ta dễ dàng tìm được nhiệt độ tại 2 mặt vách. Đồ thị t(x) là mmột đoạn thẳng đi qua 2 điểm định hướng R1(-λ/α1, tf1) và R1(δ + λ/α2, tf2) như hình H 2.4.1.3. Tìm dòng nhiệt q(x): theo định luật Fourier có q(x) = -λgradt(x) = -λC1 = const, ∀x hay 21 2f1f 11 ttq α+λ δ+α −= , [W/m2] Nếu gọi 21 11R α+λ δ+α= , [m 2K/W], là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng, thì có R ttq 2f1f −= , tương tự như công thức tính dòng điện đ 21 R VVI −= . 2.4.2. Vách phẳng có biên loại 1. Biên loại 1 là trường hợp đặc biệt của biên loại 3, khi mặt vách tiếp xúc với một chất lỏng thực có hệ số toả nhiệt α rất lớn. Theo phương trình cân bằng nhiệt cho biên loại 3, α(tw-tf) = -λtn ,vì qλ = -λtn là hữu hạn,nên khi α → ∞ thì (tw-tf) → 0, tức là tW = tf. khi đó chỉ cần thay tw = tf và 1/α =0 vào các kết quả nêu trên, ta có thể tìm t(x) và q(x) cho bài toán biên loại 1. Ví dụ: bài toán biên hỗn hợp (W1 + W3) và bài toán 2 biên W1 có lời giải như sau: 1) Khi ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ α+λ δ −= α λ+δ −−= ∞=α 2 2f1W 2 2f1W 1 1 tt q tt W1tt(x) thç 2) Khi ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ λ δ −= δ −−= ∞=α=α 2f1W 2f1W 21 ttq x tt W1tt(x) thç 16 2.4.3. Vách có λ thay đổi theo nhiệt độ Phương trình cân bằng nhiệt trong vách có λ(t) phụ thuộc t sẽ có dạng dx dt)t()x(q λ−= . Khi đó , có thể tìm t(x) theo phương trình tích phân ∫ ∫−=λ dx)x(qdt)t( Khi cho phép tính gần đúng, cố thể dùng các công thức tính t và q nêu trên, trong đó coi λ là một hằng số, bằng trị trung bình tích phân trong khoảng nhiệt độ [t1, t2] của vách, là ∫ λ−=λ 2t 1t12 dt)t( tt 1 Ví dụ, khi λ(t) có dạng bậc 1 và 2 thì ∫ ++=+−=λ 2t 1t 21 12 2 tt badt)bta( tt 1 3 tttt c 2 tt badt)ctbta( tt 1 2221 2 121 2t 1t 2 12 +++++=++−=λ ∫ 2.4.4. Vách phẳng n lớp 2.4.4.1. Phát biểu bài toán Cho vách phẳng n lớp, mỗi lớp i có δi , λi không đổi, hai mặt ngoài tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 và chất lỏng lạnh có tf2, α2 không đổi. Tìm dòng nhiệt q qua vách, nhiệt độ các mặt tiếp xúc ti và phân bố nhiệt độ ti(x) trong mỗi lớp. 2.4.4.2. Xác định q, ti, và ti(x). Khi ổn định, dòng nhiệt q qua các lớp là bất biến, do đó có hệ phương trình: q= α1(tf1 – t0) = )tt()n1i(,/ tt 2fn ii 1ii −α=÷=∀λδ − + Hình 7. Vách phẳng n lớp 17 Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của ấnố q và (n+1) ẩn số ti, ∀i=1÷n. Bằng cách khử các ti sẽ tìm được q, sau đó tính ti và xác định ti(x) như vách 1 lớp với 2 biên loại 1, ta có: [ ] ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ÷=∀δ−−= α+λ δ+α −= ÷−=∀λ δ+=α+= + = + ∑ n1i,/x)tt(t)x(t , 1i1 ttq 0)1n(i,qtt,qtt i1iiii n 1i 2i1 2f1f i i 1ii 2 2fn 2W/m Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng nhiều lớp có dạng các đoạn thẳng gãy khúc, giống như biên loại 4 Khi vách có biên loại 1 hoặc λ phụ thuộc t, có thể thay tw = tf, 1/α = 0 hoặc λ=λ = const vào các công thức trên. 2.5. DẨN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ VÀ VÁCH CẦU 2.5.1. Vách trụ 1 lớp có 2 biên w3 2.5.1.1. Phát biểu bài toán Cho một ống trụ đồng chất dài vô cùng, bán kính r2/r1, hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt r1 tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 , mặt r2 tiếp xúc chất lỏng nguội hơn có tf2, α2 . Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong vách và lượng nhiệt qua vách. Mô tả hình học trong toạ độ trụ có dạng như Hình 8 Phát biểu toán học của bài này là giải hệ phương trình sau: Hình 8. Trường t(r) trong ống trụ có 2W3 18 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −α=λ− λ−=−α =+ )3(]t)r(t[)r(t )2()r(t)]r(tt[ )1(0 dr dt r 1 dr td )t( 2f222r 1r11f1 2 2 2.5.1. Tìm trường nhiệt độ t(r) 1) Tích phân phương trình (1) theo các bước sau: Đổi biến u = dr dt → Phương trình (1) có dạng 0 r u dr du =+ → 0 rdr )ur(d rdr udrrdu ==+ → d(ur)=0→ur=C1→ ∫ +==→== 2111 CrlnCrdrC)r(tdrdtrCu 2) Xác định C1, C2 theo hệ phương trình (2), (3): ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −α λ+= α λ++α λ −−= ⇒ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −+α=λ− λ−=−−α ]K[),rln r (CtC ]K[, rr r ln r )tt(C ]tCrlnC[ r C r C]CrlnCt[ 1 11 11f2 221 2 11 2f1f 1 2f2212 2 1 1 1 2111f1 Phân bố nhiệt độ trong ống trụ là ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α λ+ α λ++α λ −−= 111 221 2 11 2f1f 1f rr rln rr rln r ttt)r(t Đồ thị t(r) có dạng logarit, tiếp tuyến tại r1 qua điểm R1(r1-λ/α1, tf1), tiếp tuyến tại r2 qua điểm R2(r2+λ/α2, tf2). 2.5.1.3. Tính nhiệt qua vách trụ 1. Dòng nhiệt qua 1m2 mặt trụ đẳng nhiệt bán kính r là q(r) = -λtr(r) = -λC1/r , [W/m2] q(r) là hàm giảm khi r tăng, không đặc trưng cho vách trụ. 2) Lượng nhiệt truyền qua 1 m dài ống trụ, ký hiệu q l , định nghĩa là: q l = lượng nhiệt qua mặt trụ bán kính r dài l / chiều dài l , [W/m] r,constC2r2. r Cr2).r(qq 11 ∀=πλ=πλ−=π= l l l Thay C1bởigiá trị trên, sẽ thu được: 19 221 2 11 2f1f r2 1 r rln 2 1 r2 1 ttq απ+πλ+απ −=l , [W/m]. Vì q l = const, ∀r, nên q l đ ược dùng để đặc trưng cho dẫn nhiệt qua vách trụ. Đại lượng ]W/mK[, d 1 d dln 2 1 d 1R 221 2 11 απ +πλ+απ=l được gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của 1m ống trụ. 2.5.2. Vách trụ có biên hỗn hợp Khi α→∞ thì thay tw = tf và 1/α = 0 vào trên để có lời giải cho bài toán vách trụ 2 biên hỗn hợp (W1+ W3) hoăck 2 biên W1 như sau: 1) Khi α1 = ∞ thì ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ απ+πλ −= α λ+ −−= 221 2 2f1w 1 221 2 2f1w 1w r2 1 r rln 2 1 tt q r rln rr rln ttt)r(t l 2) Khi α1 = α1 = ∞ thì ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ πλ −= −−= 1 2 2f1w 1 1 2 2W1w 1w r rln 2 1 ttq r rln r rln ttt)r(t l 2.5.3. Vách trụ n lớp 2.5.3.1. Phát biểu bài toán Cho ống trụ n lớp, mỗi lớp i có ri / ri+1 và λi không đổi, mặt r0 tiếp xúc với chất lỏng nóng có tf1, α1, mặt rn tiếp xức với chất lỏng lạnh có tf2, α2 kh ông đổi Tìm lượng nhiệt q l , nhiệt độ ti tại các Hình 9. Trường t(r) trong ống trụ n lớ 20 mặt và phân bố ti(n) trong mỗi lớp i, n1i ÷=∀ 2.5.3.2. Xác định q l , ti và ti(r) Khi ổn định, phương trình cân bằng nhiệt cho 1m ống trụ là : q l = α1[tf1 – t0]2πr1 = n2fn2 i 1i i 1ii r2)tt()n1i(, r rln 2 1 tt π−α=÷=∀ πλ − + + Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của 1 ẩn q l và (n+1) ẩn ti. Bằng cách khử các ti để tính q l , sau đó tìm ti theo q l và xác định ti(r) như vách có 2W1, sẽ thu được: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ÷=∀−−= ÷=∀πλ−=απ−= απ+πλ+απ −= + + − − = +∑ n1i, r rln r rln ttt)r(t n1i, r rln 2 qtt; r2 qtt r2 1 r rln 2 1 r2 1 ttq i i 1i 1ii ii 1i i i 1ii 11 1f0 2n n 1i i 1i i11 2f1f ll l 2.5.4. Dẫn nhiệt qua vách cầu 2.5.4.1. Phát biểu bài toán Cho vách cầu đồng chất, bán kính r2/r1 có hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt r1 tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 mặt r2 tiếp xúc chất lỏng lạnh có tf2, α2 không đổi. Tìm phân bố nhiệt độ t(r) và lượng nhiệt Q qua vách. Trong toạ độ cầu, trường t(r) được xác định bởi hệ phương trình (t) sau: Hình 10. Phân bố t(r) trong vách cầu 21 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −α=λ− λ−=−α =+ )3()]tr(t[t )2()r(t)]r(tt[ )1(0 dr dt r 2 dr td )t( 2f2r 1r11f1 2 2 22 )(r 2.5.4.2. Tìm phân bố t(r) 1) Tìm nghiệm tổng quát theo các bước: Đổi biến dr dtu = → phương trình (1) có dạng : →=+→=+ 0 r dr2 u du0 r u2 dr du tích phân lần 1 có lnu + 2lnr = ln(ur2) =lnC1 → u= dr dt r C 2 1 = → tích phân lần 2 có : t(x) = 2121 Cr Cdr r C +−=∫ 2) Tìm C1, C2 theo 2 điều kiện biên (2) và (3): ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +α λ−= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α+αλ −= ⇒ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+−α=λ− λ−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+α ]K[ r 1 r CtC ]Km[ r 1 r 1 r 1 r 1 ttC tC r C r C r CC r Ct 1 2 11 11f2 21 2 22 2 11 2f1f 1 2f2 1 1 22 2 1 2 1 1 2 1 1 1f1 Phân bố nhiệt độ trong vách cầu là ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +α+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++α λ+α −−= 1 2 11 21 2 22 2 11 2f1f 1f r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 rr 1 ttt)r(t Đồ thị t(r) là đường hyperbol có tiếp tuyến tại biên qua 2 điểm ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α λ− 1f 1 11 t,rR và ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α λ+ 2f 2 22 t,rR 2.5.4.3. Tính công suất nhiệt Q truyền qua vỏ cầu Q = q(r).π(2r2)=- λ 21r C 4πr2 = -4πλC1 = const, ∀r Thay C1 bởi giá trị nêu trên, ta có: 22 ]W[, r 1 r 1 4 1 r 1 r 1 4 1 ttQ 21 2 22 2 11 2f1f ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −πλ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α+απ −= Khi vách cầu có 2 biên loại W1 thì ]W[, r 1 r 1 4 1 ttQ 21 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −πλ −= W2W1 Khi vách cầu có n lớp với 2 biên W3, sau khi giải hệ phương trình π−α=÷=∀ + πλ−=π−α= + + 4)tt()n1i(, r 1 r 1 4)tt(r4)tt(Q 2fn2 1ii i1ii2 00f1f1 sẽ tìm được: ]w[, r 1 r 1 4 1 r 1 r 1 4 1 ttQ n 1i 1iii 2 22 2 11 2f1f ∑ = + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −πλ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α+απ −= Nhiệt độ các mặt ti và trường ti(r) trong các lớp được xác định như trên. 2.6.DẪN NHIỆT QUA THANH HOẶC CÁNH CÓ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI. Để tăng cường truyền nhiệt, người ta thường gẵn các cánh lên mặt tỏa nhiệt. Nhiệt qua gốc cánh được dẫn qua chiều dài x của cánh, rồi toả ra mặt xung quanh, làm tăng lượng nhiệt truyền qua gốc. Nhiệt độ trong cánh t(x) giảm dần theo chiều dài x, còn tại mỗi tiết diện nhiệt độ được coi là phân bố đều. 2.6.1. Phát biểu bài toán Chô một thanh trụ hoặc cánh dài l, tiết diện f = const có chu vi la U, mặt xung quanh tỏa nhiệt ra chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số tỏa nhiệt α; nhiệt độ trên mỗi tiết diện được coi là phân bố đều, tại gốc là t0 > tf , mặt x = l tỏa nhiệt ra cùng chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số tỏa nhiệt α2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong cánh Hình 11. Bài toán t(x) trong thanh trụ và cánh phẳng có tiết diện không đổi 23 và lượng nhiệt Q0 qua gốc cánh. 2.6.2. Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x) 2.6.2.1. Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x) Vì nhiệt độ bên trong thanh đồng nhất với nhiệt độ biên W3 tức không có điểm trong, nên phương trình 2tat ∇=τ cần được thay bằng phương trình cân bằng nhiệt cho phân tố thay dV = fdx, khi ổn định có dạng: Hiệu các lượng nhiệt dẫn (vào – ra) dV = nhiệt tỏa ra mặt Udx Nếu gọi f(x) t(x) tθ = − thì phương trình trên có dạng: Udxf dx d dx df dx d αθ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ θ+θλ+θλ− Suy ra 0U dx df 2 2 =θα−θλ . Đặt [ ]1m, f Um −λ α= Thì phương trình cân bằng nhiệt để tìm (x)θ là 2 2 2 d m 0 dx θ − θ = (1) Nghiệm tổng quát của (1) là mx mx1 2(x) C .e C .e −θ = + 2.6.2.2 Tìm (x)θ và Q0 cho thanh dài hữu hạn 1)Các hằng số C1, C2 sẽ được tìm theo các điều kiện biên W1 tại x=0 và W3 tại x=l 1 2 0 f 0 ml ml ml ml x 2 1 2 2 1 2 (0) C C t t (l) (l) (m.C .e m.C .e ) (C .e C .e )− − θ = + = + = θ⎧⎨−λθ = α θ → −λ − = α +⎩ Giải hệ phương trình bậc nhất tìm được C1,C2 rồi thay vào nghiệm tổng quát và đưa về dạng hàm hyperbol shx = (ex + ex)/2 và chx = (ex + ex)/2, thx = shx/chx, sẽ thu được [ ] [ ]2 0 2 ch m(l x) sh m(l x) m.(x) ch(ml) .sh(ml) m. α− + −λθ = θ α+ λ Trong tính toán kỹ thuật,khi f<<Ul có thể coi α2 = 0 , khi đó phân bố nhiệt độ trong thanh hữu hạn là 24 [ ]0 ch m(l x)(x) ch(ml) −θ = θ hay t(x) = tf + (t0 – tf) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ λ α ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ λ α− f Ulch f Ux1ch 2) tính nhiệt lượng dẫn qua gốc cánh Nhiệt lượng qua gốc cánh chính là nhiệt lượng tỏa ra cánh, và bằng ( ) W, )ml(th m 1 m )ml(th fmf0Q 2 2 0x0 λ α+ λ α+ θλ=λθ−= Nếu f<<ul và coi α2 = 0 thì Q0 = mλfθ0th(ml) 2.6.3 Tìm t(x) và q0 khi thanh trụ dài vô hạn Khi thanh dài vô hạn thì C1,C2 tìm theo điều kiện ( ) ( ) ⎩⎨ ⎧ θ= =→⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ =−==θ θ=+=θ ∞ ∞→ 02 1 ff1x 021 C 0C 0ttCxlim CC0 Do đó phân bố nhiệt độ là ( ) mx0ex −θ=θ hay t(x) = tf + (t0 –tf).exp(-x. .u .f α λ ) Nhiệt lượng qua gốc cánh là Q0 = -λ.f.θx(0) = m.λ.f.θ0 hay Q0 =θ0. [ ]0 f.u.f . (t t ). .u.f . , Wα λ = − α λ Trong thực tế khi thanh trụ có u.l 100 f ≥ thì có thể coi là thanh dài vô hạn 2.7. DẪN NHIỆT TRONG VẬT CÓ NGUỒN NHIẸT PHÂN BỐ ĐỀU Vật có nguồn nhiệt với công suất qv = const, 3W/m⎡ ⎤⎣ ⎦ , được gọi là vật có nguồn nhiệt phân bố đều. Một thanh kim loại đang dẫn điện, một khối bê tông đang đông kết, một vật đang có phản ứng sinh nhiệt ổn định,.. . là các ví dụ về vật có nguồn nhiệt phân bố đều. 2.7.1.Tấm phẳng có qv = const 25 2.7.1.1.Phát biểu bài toán Cho tấm phẳng dày sδ, rộng vô hạn, có λ và nguồn nhiệt trong qv= const, hai mặt ngoài tiếp xúc cùng một chất lỏng có tf, α không đổi Tìm phân bố nhiệt độ t(x) và tính nhiệt tỏa ra môi trường Mô tả hình học như Hình 12, trường t(x) trong tấm đối xứng qua mặt x=0,tại đo tx(0) = 0. Do đó theo toán học, cần tìm hàm t(x) như nghiệm cảu hệ phương trình (t) như sau: 2.7.1.2.Tìm luật phân bố nhiệt độ và truyền nhiệt qua tấm 1) tích phân phương trình (1)sẽ được t(x) = 2 2v v 1 2 q qdx .x C x C 2. − = − + +λ λ∫∫ Xác định C1,C2 theo (2),(3) ta có ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ δλ+δα+= = → ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+δ+δλ−α=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +δλλ− == 2vv f2 1 21 2v 1 v 1x 2 qqtC 0C tfCC 2 qCq 0C0t Do đó t(x)= ( )22vvf x2qqt −δλ+δα+ có dạng đường parabol đối xứng qua x=0 như hình 12 2)Nhiệt lượng Q2F tỏa ra từ 2 phía của tấm phẳng rộng F, 2m⎡ ⎤⎣ ⎦ là Q2F = 2.f.α[ ] [ ]f vt( ) t 2.F.q . , Wδ − = δ ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −δα=δλ− =λ+ 00t ttt 0q dx td t x fx v 2 2 1 2 3 Hình 12. Tấm phẳng có qv = const 26 Lượng nhiệt v2.F.q .δ=Vqv chính là tổng công suất phát nhiệt của tấm phẳng có thể tích V=2.δ.F, 3m⎡ ⎤⎣ ⎦ 2.7.2.Thanh trụ có qv = const 2.7.2.1.Phát biểu bài toán Cho thanh trụ dài vô cùng bán kính r0 có λ, qv =const, mặt trụ tỏa nhiệt ra chất lỏng có tf và α không đổi. Tìm t(r) trong thanh và ql qua 1 m trụ Do đối xứng qua tâm, tr(0) = 0, nên hệ phương trình cho t(r) có dạng 2.7.2.2. Xác định t(r) và ql 1)Tìm nghiệm của (1) theo các bước Đặt u= dt (1) dr → có dạng rdu u rdu udr d(ur) q dr r rdr rdr ++ = = = − λ 2v v 1 q qd(ur) rdr ur .r C 2 → = − → = − +λ λ∫ ∫ 2v v v1 1 1 2 q q qC dt Cu .r t(r) ( r)dr C ln r .r C r 2. dr r 2. 4. → = − = → = − = − +λ λ λ∫ Tìm C1,C2 theo hai điều kiện biên (2), (3) sẽ được C1 = 0 và C2 = 2 v 0 v 0 f q r q .rt 2 4. + +α λ . Do đó phân bố t có dạng ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −α=λ− =λ++ 00t trtrt 0 q rdr dt dr td t r f0x v 2 2 1 2 3 Hình 13. Thanh trụ có qv = const 27 t(r) = tf + 2 2v 0 v 0 q r q (r r ) 2 4. + −α λ là parabol đối xứng qua r=0 2.Dòng nhiệt qua mặt trụ là q = [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=−α 20vf0 m W, 2 rqt)r(t Lượng nhiệt tỏa ra 1 m trụ là ql = q.2Πr0= Π. 20r qv ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ m W