Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 8: Hệ thống điều khiển phi tuyến

Môn họcLÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNGGiảng viên: Huỳnh Gia ThịnhBộ môn Điều Khiển Tự ĐộngKhoa ĐiệnTrường Đại học Công Nghiệp TP.HCMEmail: huynh_gia_thinh@yahoo.com2 Chương 8HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN3 Nội dung chương 8Khái niệm Đặc điểm của hệ phi tuyến Các khâu phi tuyến đơn giản Mô tả toán học hệ phi tuyến Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyếnPhương pháp tuyến tính hóaPhương pháp hàm mô tảPhương pháp Lyapunov4Khái niệm5Hệ phi tuyến là hệ thống trong đó quan hệ vào – ra không thể môtả bằng phương trình vi phân/sai phân tuyến tính.Phần lớn các đối tượng trong tự nhiên mang tính phi tuyến. Hệ thống thủy khí (TD: bồn chứa chất lỏng,), Hệ thống nhiệt động học (TD: lò nhiệt,), Hệ thống cơ khí (TD: cánh tay máy,.), Hệ thống điện – từ (TD: động cơ, mạch khuếch đại,) Hệ thống vật lý có cấu trúc hỗn hợp,Tùy theo dạng tín hiệu trong hệ thống mà hệ phi tuyến có thể chia làm hai loại: Hệ phi tuyến liên tục Hệ phi tuyến rời rạc. Nội dung môn học chỉ đề cập đến hệ phi tuyến liên tục.Khái niệm về hệ phi tuyến6Hệ phi tuyến không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.Tính ổn định của hệ phi tuyến không chỉ phụ thuộc vào cấu trúc,thông số của hệ thống mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào.Nếu tín hiệu vào hệ phi tuyến là tín hiệu hình sin thì tín hiệu rangoài thành phần tần số cơ bản (bằng tần số tín hiệu vào) còn cócác thành phần hài bậc cao (là bội số của tần số tín hiệu vào).Hệ phi tuyến có thể xảy ra hiện tượng dao động tự kích.Tính chất của hệ phi tuyến7Các khâu phi tuyến cơ bảnKhâu relay 3 vị tríKhâu relay 2 vị trí8Các khâu phi tuyến cơ bảnKhâu khuếch đại có miền chếtKhâu khuếch đại bão hòa9Các khâu phi tuyến cơ bảnKhâu relay 3 vị trí có trể Khâu relay 2 vị trí có trể10Các khâu phi tuyến cơ bản Khâu khuếch đại bão hòa có trể 11Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phương trình vi phânQuan hệ vào – ra của hệ phi tuyến liên tục có thể biểu diễn dướidạng phương trình vi phân phi tuyến bậc n:trong đó: u(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra, g(.) là hàm phi tuyến12Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 1a: tiết diện van xảA: tiết diện ngang của bồng: gia tốc trọng trườngk: hệ số tỉ lệ với công suất bơmCD: hệ số xảPhương trình cân bằng:trong đó:(hệ phi tuyến bậc 1)13Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 2 J: moment quán tính của cánh tay máy M: khối lượng của cánh tay máym: khối lượng vật nặngl: chiều dài cánh tay máylC : khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quayB: hệ số ma sát nhớtg: gia tốc trọng trườngu(t): moment tác động lên trục quay của cánh tay máyθ(t): góc quay (vị trí) của cánh tay máyTheo định luật Newton (hệ phi tuyến bậc 2)14Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 3δ: góc bánh láiψ: hướng chuyển động của tàuk: hệ sốτi: hệ sốPhương trình vi phân mô tả đặc tính động học hệ thống lái tàu(hệ phi tuyến bậc 3)15Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phương trình trạng tháiHệ phi tuyến liên tục có thể mô tả bằng phương trình trạng thái:trong đó: u(t) là tín hiệu vào,y(t) là tín hiệu ra,x(t) là vector trạng thái, x(t) = [x1(t), x2(t),,xn(t)]Tf(.), h(.) là các hàm phi tuyến16Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái – Thí dụ 1Đặt biến trạng thái: x1 (t ) = y(t )PTTT:trong đó:PTVP:Đặt biến trạng thái: 17PTTT:Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái – Thí dụ 2 PTVP:trong đó:18Không có phương pháp nào có thể áp dụng hiệu quả cho mọi hệphi tuyến.Môn học đề cập đến một số phương pháp thường dùng sau đây:Phương pháp tuyến tính hóaPhương pháp hàm mô tảPhương pháp LyapunovCác phương pháp khảo sát hệ phi tuyến19Phương pháp tuyến tính hóa20Điểm dừng của hệ phi tuyếnNếu ( x , u ) là điểm dừng của hệ phi tuyến thì:Điểm trạng thái x được gọi là điểm dừng của hệ phi tuyến nếunhư hệ đang ở trạng thái x và với tác động điều khiển u cố định,không đổi cho trước thì hệ sẽ nằm nguyên tại trạng thái đó.Điểm dừng còn được gọi là điểm làm việc tĩnh của hệ phi tuyếnXeùt heä phi tuyeán moâ taû bôûi PTTT phi tuyeán:21Điểm dừng của hệ phi tuyến – Thí dụXác định điểm dừng của hệ thống khi u(t ) = u = 1Giải:Điểm dừng là nghiệm của phương trình:=>hoặcCho heä phi tuyeán moâ taû bôûi PTTT:22Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnhtrong đó:=>Xét hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT phi tuyến:(*)Khai triển Taylor f(x,u) và h(x,u) xung quanh điểm làm việc tĩnh( x , u ) ta có thể mô tả hệ thống bằng PTTT tuyến tính:23Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnhCác ma trận trạng thái của hệ tuyến tính quanh điểm làm việctĩnh được tính như sau:24 PTTT:trong đó:Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 1 Thông số hệ bồn chứa :a = 1cm2 , A = 100cm2k = 150cm3 / sec.V , CD = 0.8g = 981cm / sec225Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 1 (tt)Tuyến tính hóa hệ bồn chứa quanh điểm y = 20cm:Xác định điểm làm việc tĩnh:26Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 1 (tt)Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh:Vậy PTTT mô tả hệ bồn chứa quanh điểm làm việc y=20cm là:27PTTT:Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 Thông số cánh tay máy :l = 0.5m, lC = 0.2m, m = 0.1kg M = 0.5kg , J = 0.02kg.m2 B = 0.005, g = 9.81m / sec2trong đó:28Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)Tuyến tính hóa hệ tay máy quanh điểm làm việc y = π/6 (rad):Xác định điểm làm việc tĩnh:Do đó điểm làm việc tĩnh cần xác định là:29Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh:30Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh:31Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh:Vậy phương trình trạng thái cần tìm là:32Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnhĐưa hệ phi tuyến về miền xung quanh điểm làm việc tĩnh (đơngiản nhất có thể dùng bộ điều khiển ON-OFF)Xung quanh điểm làm việc, dùng bộ điều khiển kinh điển thiết kếdựa vào mô hình tuyến tính (phổ biến nhất là bộ điều khiển PID).33Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh Thuật toán chọn bộ điều khiển:34Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh Thuật toán điều khiển ON-OFF: 35Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh Thuật toán điều khiển PID:36 Phương pháp hàm mô tả(Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa)37Phương pháp hàm mô tảPhương pháp hàm mô tả mở rộng gần đúng hàm truyền đạt của hệtuyến tính sang hệ phi tuyến.Phương pháp hàm mô tả là phương pháp khảo sát trong miền tầnsố có thể áp dụng cho các hệ phi tuyến bậc cao (n>2) do dễ thựchiện và tương đối giống tiêu chuẩn Nyquist.Chỉ áp dụng được để khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyếngồm có khâu phi tuyến nối tiếp với khâu tuyến tính theo sơ đồkhối như sau:+ ∑[ Ak sin(kωt ) + Bk cos(kωt )]38Đáp ứng của hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sinTín hiệu ra khâu phi tuyến không phải là tín hiệu hình sin. Phântích Fourier ta thấy u(t) chứa thành phần tần số cơ bản ω và cácthành phần hài bậc cao 2ω, 3ω... ∞k =1A0 2u(t ) =e(t ) = M sin(ωt )Để khảo khả năng tồn tại dao động tuần hoàn không tắt trong hệ,ở đầu vào khâu phi tuyến ta cho tác động sóng điều hòa:39Đáp ứng của hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sinCác hệ số Fourier xác định theo các công thức sau:Giả thiết G(s) là bộ lọc thông thấp, các thành phần hài bậc cao ởngõ ra của khâu tuyến tính không đáng kể so với thành phần tầnsố cơ bản, khi đó tín hiệu ra của khâu tuyến tính gần đúng bằng:y(t ) ≈ Y1 sin(ωt + ϕ1 )40Điều kiện có dao động ổn định trong hệ phi tuyếnĐiều kiện để trong hệ có dao động ổn định với tần số ω là:M sin(ωt ) = e(t ) = − y(t ) ≈ −Y1 sin(ωt + ϕ1 )Suy ra:Phương trình cân bằng biên độPhương trình cân bằng pha41Khái niệm hàm mô tảXét khâu phi tuyến :tín hiệu ra u(t) xấp xỉ thành phần tần số cơ bản (do ta bỏ qua các thành phần hài bậc cao) u(t ) ≈ u1 (t ) = A1 sin(ωt ) + B1 cos(ωt )Do khi tín hiệu vào của khâu phi tuyến là tín hiệu hình sin:e(t ) = M sin(ωt )nên ta có thể coi khâu phi tuyến như là một khâu khuếch đại có hệ số khuếch đại là: Tổng quát N(M) là một hàm phức nên ta gọi là hệ số khuếch đạiphức của khâu phi tuyến. Vì quan hệ vào ra của khâu phi tuyến cóthể mô tả gần đúng bằng hệ số khuếch đại phức N(M) nên N(M)còn được gọi là hàm mô tả của khâu phi tuyến.42Định nghĩa hàm mô tảHàm mô tả (hay còn gọi là hệ số khuếch đại phức) là tỉ số giữathành phần sóng hài cơ bản của tín hiệu ra của khâu phi tuyến vàtín hiệu vào hình sin.Trong các công thức trên u(t) là tín hiệu ra của khâu phi tuyến khitín hiệu vào là Msin(ωt). Nếu u(t) là hàm lẻ thì:43Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 2 vị trí44Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 2 vị trí (tt)Do u(t) là hàm lẻ nên:Do đó hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí là:45Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 3 vị trí46Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 3 vị tríDo u(t) là hàm lẻ nên B1 = 0Theo đồ thị ta có:=>Do đó hàm mô tả của khâu relay 3 vị trí là:47Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu khuếch đại bão hòa48Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu khuếch đại bão hòa (tt)Do u(t) là hàm lẻ nên B1 = 0Do đó hàm mô tả của khâu khuếch đại bão hòa là:49Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu khuếch đại có vùng chết50Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu khuếch đại có vùng chết (tt)Do u(t) là hàm lẻ nên B1 = 0Do đó hàm mô tả của khâu khuếch đại có vùng chết là:51Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 2 vị trí có trể52Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản Khâu relay 2 vị trí có trể (tt)Do đó hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí có trể là:53Khảo sát chế độ dao động đều hòa trong hệ phi tuyếnXét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:Phương trình đặc trưng của hệ thống là:(*)Phương trình trên được gọi là phương trình cân bằng điều hòa.Phương trình này sẽ được dùng để xác định biên độ và tần số củadao động điều hòa trong hệ phi tuyến.Nếu (M*, ω*) là nghiệm của phương trình (*) thì trong hệ phituyến có dao động với tần số ω* , biên độ M*.54Khảo sát chế độ dao động đều hòa trong hệ phi tuyến (tt)Về mặt hình học, nghiệm (M*, ω*) là nghiệm của phương trình(*) chính là giao điểm của đường cong Nyquist G(jω) của khâutuyến tính và đường đặc tính −1/N(M) của khâu phi tuyến.Dao động trong hệ phituyến là ổn định nếu đitheo chiều tăng của đặctính − 1/N(M) của khâuphi tuyến, chuyển từvùng không ổn định sangvùng ổn định của khâutuyến tính G(jω) .55Trình tự khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyếnB1: Xác định hàm mô tả của khâu phi tuyến (nếu khâu phi tuyến không phải là các khâu cơ bản).B2: Điều kiện tồn tại dao động trong hệ: đường cong Nyquist G(jω) và đường đặc tính −1/N(M) phải cắt nhau.B3: Biên độ, tần số dao động (nếu có) là nghiệm của phương trình:• Biên độ dao động là nghiệm của phương trình: • Tần số dao động chính là tần số cắt pha ω−π của khâu tuyếntính G(jω). 56Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 1Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:Hàm truyền của khâu tuyến tính là Khâu phi tuyến là khâu relay 2 vị trí có Vm=6. Hãy xác định biên độ và tần sốdao động tự kích trong hệ (nếu có).57Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 1 Lời giảiHàm mô tả của khâu relay 2 vị trí là:Do đường cong NyquistG(jω) và đường đặc tính−1/N(M) luôn luôn cắt nhau(xem hình vẽ) nên trong hệphi tuyến luôn luôn có daođộng.58Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 1Tần số dao động là tần số cắt pha của G(jω) : Biên độ dao động là nghiệm của phương trình:Kết luận: Trong hệ phi tuyến có dao động y(t ) = 13. 90 sin(1.58t )59Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:Hàm truyền của khâu tuyến tính làKhâu phi tuyến là khâu relay 3 vị trí. 1. Hãy tìm điều kiện để trong hệ phi tuyến có dao động.2. Hãy xác định biên độ và tần số dao động khi Vm=6, D=0.1.60Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2 Lời giảiHàm mô tả của khâu relay 3 vị trí là:Điều kiện để trong hệthống có dao động là đườngcong Nyquist G(jω) vàđường đặc tính −1/N(M)phải cắt nhau. Điều nàyxảy ra khi: 61Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2Tần số cắt pha của G(jω) (xem cách tính ở thí dụ 1)Để dao động xảy ra ta phải có điều kiện:(*)Theo bất đẳng thức Cauchy62Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2Do đó điều kiện (*) được thỏa mãn khi:Vậy điều kiện để trong hệ có dao động tự kích là:Biên độ dao động là nghiệm của phương trình:Khi Vm=6, D=0.1, giải phương trình trên ta được: M = 13 .90Vậy dao động trong hệ là:63Phương pháp Lyapunov64Phương pháp Lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá tính ổnđịnh của hệ phi tuyến.Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kỳ.Có thể dùng phương pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điều khiểnphi tuyến.Hiện nay phương pháp Lyapunov là phương pháp được sử dụngrộng rãi nhất để phân tích và thiết kế hệ phi tuyến.Phương pháp Lyapunov Giới thiệu65Điểm cân bằng của hệ phi tuyếnMột điểm trạng thái xe được gọi là điểm cân bằng nếu như hệđang ở trạng thái xe và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệsẽ nằm nguyên tại đó.Dễ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình:Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng hoặc không có điểmcân bằng nào. Điều này hoàn toàn khác so với hệ tuyến tính , hệtuyến tính luôn luôn có 1 điểm cân bằng là xe = 0.Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phương trình trạng thái sau:66Điểm cân bằng của hệ phi tuyến – Thí dụPTTT mô tả hệ con lắc là:trong đó:Xét hệ con lắc mô tả bởi PTVP: Xác định các điểm cân bằng (nếu có)Thaønh laäp PTTT. Ñaët: 67Điểm cân bằng của hệ phi tuyến – Thí dụĐiểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình:Kết luận: Hệ con lắc cóvô số điểm cân bằng:68Ổn định tại điểm cân bằngĐịnh nghĩa: Một hệ thống được gọi là ổn định tại điểm cân bằngxe nếu như có một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi xe và đưađến điểm được x0 thuộc lân cận nào đó của xe thì sau đó hệ có khảnăng tự quay được về điểm cân bằng xe ban đầu.Chú ý: tính ổn định của hệ phi tuyến chỉ có nghĩa khi đi cùng vớiđiểm cân bằng. Có thể hệ ổn định tại điểm cân bằng này nhưngkhông ổn định tại điểm cân bằng khác.Điểm cân bằng ổn địnhĐiểm cân bằng không ổn địnhThí dụ:69Ổn định LyapunovCho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT:Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0.(1)Hệ thống được gọi là ổn địnhLyapunov tại điểm cân bằngxe = 0 nếu với ε > 0 bất kỳbao giờ cũng tồn tại δ phụthuộc ε sao cho nghiệm x(t)của phương trình (1) với điềukiện đầu x(0) thỏa mãn:70Ổn định tiệm cận LyapunovCho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT:Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0.(1)Hệ thống được gọi là ổn địnhtiệm cận Lyapunov tại điểmcân bằng xe = 0 nếu với ε > 0bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δphụ thuộc ε sao cho nghiệmx(t) của phương trình (1) vớiđiều kiện đầu x(0) thỏa mãn:71So sánh ổn định Lyapunov và ổn định tiệm cận LyapunovỔn định LyapunovỔn định tiệm cận Lyapunov72Phương pháp tuyến tính hóa LyapunovCho hệ phi tuyến phương trình trạng thái: (1)Định lý:Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ổn định thì hệ phi tuyến (1) ổnđịnh tiệm cận tại điểm cân bằng xe.Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) không ổn định thì hệ phi tuyến(1) không ổn định tại điểm cân bằng xe.Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ở biên giới ổn định thì khôngkết luận được gì về tính ổn định của hệ phi tuyến tại điểm cânbằng xe.Giả sử xung quanh điểm cân bằng xe , hệ thống (1) có thể tuyếntính hóa về dạng: (2)73Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng: trong đó:Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov – Thí dụ Xét hệ con lắc mô tả bởi PTTT:(a)(b)Kết luận: Hệ thống ổn định (theo hệ quả tiêu chuẩn Hurwitz)=> PTĐT74Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov – Thí dụ (tt)Mô hình tuyến tính quanh điểm cân bằng=>Mô hình tuyến tính quanh điểm cân bằng xe = [π 0]75Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov – Thí dụ (tt)T=>=> PTĐTKết luận: Hệ thống không ổn định (PTĐT không thỏa điều kiện cần)76Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý ổn địnhNếu tồn tại hàm V(x) sao cho:i)ii)V (0) = 0iii)Thì hệ thống (1) ổn định Lyapunov tại điểm 0.Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0.Định lý ổn định Lyapunov: Cho hệ phi tuyến không kích thích môtả bởi phương trình trạng thái:(1)Chú ý: Hàm V(x) thường được chọn là hàm toàn phương theo biến trạng thái.77Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý không ổn địnhNếu tồn tại hàm V(x) sao cho:i)ii)iii)Thì hệ thống (1) không ổn định tại điểm 0.Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0.Định lý không ổn định: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tảbởi phương trình trạng thái: (1)