Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 7: Phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc

1 Môn họcLÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG2 Chương 7 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾHỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC3Nội dung chương 7Đánh giátính ổn địnhChất lượng của hệ rời rạcThiết kế hệ thống điều khiển rời rạc4Đánh giá tính ổn định5 Điều kiện ổn định của hệ rời rạcHệ thống ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếutín hiệu vào bị chặn thì tín hiệu ra bị chặn.Miền ổn định của hệ liêntục là nữa trái mặt phẳng sMiền ổn định của hệ rời rạc làvùng nằm trong vòng tròn đơn vị6 Phương trình đặc trưng của hệ rời rạcHệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi sơ đồ khối: Phương trình đặc trưng: 1 + GC ( z )GH ( z ) = 0Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi PTTT: Phương trình đặc trưng:det( zI − Ad ) = 07 Phương pháp đánh giá tính ổn định của hệ rời rạcTiêu chuẩn ổn định đại số Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng Tiêu chuẩn JuryPhương pháp quỹ đạo nghiệm số8Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộngMiền ổn định: trong vòngtròn đơn vị của mặt phẳng ZMiền ổn định: nữa tráimặt phẳng WPTĐT của hệ rời rạc:Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng: đổi biến z → w, sau đó ápdụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz cho PTĐT theo biến w.9Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộngĐánh giá tính ổn định của hệ thống:Biết rằng:Giải:Phương trình đặc trưng của hệ thống: 1 + GH ( z ) = 010Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng11Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng Phương trình đặc trưng:Đổi biến:=>=>=>=>12Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộngBảng RouthKết luận: Hệ thống ổn định do tất cả các hệ số ở cột 1 củabảng Routh đều dương 13Tiêu chuẩn JuryXét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT:Tiêu chuẩn Jury: Điều kiện cần và đủ để hệ thống rời rạc ổn địnhlà tất cả các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương.Bảng Jury: gồm có (2n+1) hàng.Hàng 1 là các hệ số của PTĐT theo thứ tự chỉ số tăng dần.Hàng chẳn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viếttheo thứ tự ngược lại.Hàng lẽ thứ i = 2k+1 (k≥1) gồm có (n−k+1) phần tử, phần tửở hàng i cột j xác định bởi công thức:14Thí dụ xét ổn định dùng tiêu chuẩn JuryDo các hệ số ở hàng lẻ cột 1 bảng Jury đều dương nên hệ thốngổn định.Xét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT là: Bảng Jury15Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phươngtrình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệthay đổi từ 0 → ∞.Xét hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:Các qui tắc vẽ QĐNS hệ liên tục có thể áp dụng để vẽ QĐNScủa hệ rời rạc, chỉ khác qui tắc 8.Đặt:Gọi n và m là số cực và số zero của G0(z)16Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNSQui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phươngtrình đặc tính = số cực của G0(z) = n.Qui tắc 2:Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ cáccực của G0(z).Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đếnm zero của G0(z), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệmcận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6.Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm sốnếu tổng số cực và zero của G0(z) bên phải nó là một số lẻ.17Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt)Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằmtrên trục thực và là nghiệm của phương trình:(pi và zi là các cựcvà các zero của G0(z) )Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệmsố với trục thực xác định bởi :Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm Acó tọa độ xác định bởi:18Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt)Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thểxác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz mở rộnghoặc thay z=a+jb (a2+b2 =1) vào phương trình đặc trưng.Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pjđược xác định bởiDạng hình học của công thức trên là:θj = 1800 + (∑góc từ các zero đến cực p j ) − (∑góc từ các cực còn lại đến cực p j )19Giải:Phương trình đặc trưng của hệ thống:1 + G( z ) = 0 Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạcCho hệ thống rời rạc có sơ đồ khối:Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0→ +∞. Tính KghPhương trình đặc trưng:Cực:20Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạcZero:21Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc Điểm tách nhập:(PTĐT)Do đóTiệm cận:=>22Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc Giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị:(PTĐT)(*)Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng: Theo hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz, điều kiện ổn định là:=>Đổi biến ,(*) trở thành:23 Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạcThay giá trị Kgh = 21.83 vào phương trình (*), ta được:Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị là: Cách 2: Thay z = a + jb vào phương trình (*) :=>=>24Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạcKết hợp với điều kiện a2 + b2 =1, ta được hệ phương trình:Giải hệ phương trình trên, ta được 4 giao điểm là:khikhiz = 1z = −1K = 0K = 1071z = 0.5742 ± j0.8187 khiK = 21.83K gh = 21.83=>25Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc26Chất lượng của hệ rời rạc27Đáp ứng của hệ rời rạcĐáp ứng của hệ rời rạc có thể tính bằng một trong hai cách sau:Cách 1: nếu hệ rời rạc mô tả bởi hàm truyền thì trước tiên tatính C(z), sau đó dùng phép biến đổi Z ngược để tìm c(k).Cách 2: nếu hệ rời rạc mô tả bởi PTTT thì trước tiên ta tínhnghiệm x(k) của PTTT, sau đó suy ra c(k).Cặp cực quyết định của hệ rời rạc là cặp cực nằm gần vòng trònđơn vị nhất.28Chất lượng quá độCách 1: Đánh giá chất lượng quá độ dựa vào đáp ứng thời gian c(k) của hệ rời rạc.Độ vọt lố:trong đó cmax và cxl là giá trị cực đại và giá trị xác lập của c(k)Thời gian quá độ:trong đó kqđ thỏa mãn điều kiện: 29Chất lượng quá độCách 2: Đánh giá chất lượng quá độ dựa vào cặp cực quyết định.Cặp cực quyết định:Độ vọt lố:Thời gian quá độ:(tiêu chuẩn 5%)=>30Sai số xác lậpBiểu thức sai số:Sai số xác lập:31Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 11. Tính hàm truyền kín của hệ thống điều khiển trên.2. Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị.3. Đánh giá chất lượng của hệ thống: độ vọt lố, thời gian quá độ,sai số xác lập.Giải:1. Hàm truyền kín của hệ thống:32Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1=>33Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1=>34Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 12. Đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị:=>=>=>35 Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1Tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị:Điều kiện đầu:Thay vào biểu thức đệ qui tính c(k): c(k ) = {0; 0.0420; 0.1418; 0.2662; 0.3909; 0.5003;... 0.5860; 0.6459; 0.6817;0.6975; 0.6985; 0.6898;... 0.6760; 0.6606; 0.6461; 0.6341; 0.6251; 0.6191;...}36Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 137Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 13. Chất lượng của hệ thống:Giá trị xác lập của đáp ứng Giá trị cực đại của đáp ứng:Độ vọt lố:=>38Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1Thời gian quá độ theo tiêu chuẩn 5%:Trước tiên ta cần xác định kqđ thỏa:Theo kết quả tính đáp ứng ở câu 2 ta thấy: k qđ = 14Sai số xacù lập=>39Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1Chú ý: Ta có thể tính POT và tqđ dựa vào cặp cực phứcCặp cực phức của hệ thống kín là nghiệm của phương trình=>=>40Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2Với1. Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên.2. Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị(điều kiện đầu bằng 0) dựa vào phương trình trạng thái vừa tìmđược.3. Tính độ vọt lố, thời gian quá độ, sai số xác lập.411. Thành lập phương trình trạng thái: Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2Giải:PTTT của hệ liên tục hở theo phương pháp tọa độ pha:=>42 Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2Ma trận quá độ:=>44 Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2PTTT rời rạc mô tả hệ kínvớiVậy phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm là:43Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2PTTT của hệ rời rạc hở:45Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 22. Đáp ứng của hệ thống:x1 (k ) = 10−3 × {0; 4.2; 13.5; 24.2; 34.2; 42.6; 49.1; 54.0; 57.4; 59.7;... 61.2; 62.0; 62.5; 62.7; 62.8; 62.8; 62.7; 62.7; 62.6; 62.6 ...}x2 (k ) = 10−3 × {0; 77.9; 106.1; 106.6; 93.5; 75.4; 57.2; 41.2; 28.3; 18.5; ... 11.4; 6.5; 3.4; 1.4; 0.3; -0.3; -0.5; -0.5; -0.5; -0.4 ...}Với điều kiện đầu x1(−1)=x2(− 1)=0, tín hiệu vào là hàm nấc đơnvị, suy ra nghiệm của PTTT là:Từ PTTT ta suy ra:Đáp ứng của hệ thống: c(k ) = 10 x1 (k ) + 2 x2 (k )c(k ) = {0; 0.198; 0.348; 0.455; 0.529; 0.577; 0.606; 0.622; 0.631; 0.634;...0.635; 0.634; 0.632; 0.630; 0.629; 0.627; 0.627; 0.626; 0.625; 0.625...}46Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 247Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 23. Chất lượng của hệ thống:Độ vọt lố:c(k ) = {0; 0.198; 0.348; 0.455; 0.529; 0.577; 0.606; 0.622; 0.631; 0.634;... số xác lậpk ≥ 60.594 ≤ c(k ) ≤ 0.656,Thời gian quá độ theo chuẩn 5%:(1 − 0.05)cxl ≤ c(k ) ≤ (1 + 0.05)cxl , k ≥ kqđTheo đáp ứng của hệ thống:=> kqđ = 6tqđ = kqđT = 0.6 sec=>48Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc49 Các sơ đồ điều khiển thường dùngĐiều khiển nối tiếp Điều khiển hồi tiếp trạng thái50Hàm truyền của các khâu cơ bản rời rạc Khâu vi phânKhâu vi phân liên tục:Khâu vi phân rời rạc:=> Hàm truyền khâu vi phân rời rạc:=>51Hàm truyền của các khâu cơ bản rời rạcKhâu tích phân tKhâu tích phân liên tục: u (t ) = ∫ e(τ )dτ 0 kTKhâu tích phân rời rạc: u(kT ) = ∫ e(τ )dτ = 0( k −1)T kT ∫ e(τ )dτ + ∫ e(τ )dτ 0 ( k −1)T => Hàm truyền khâu tích phân rời rạc:=>=>=>52 Hàm truyền của bộ điều khiển rời rạcBộ điều khiển PIDhoặcBộ điều khiển sớm pha, trể phazC pC trể pha53 Phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển rời rạcCách 1: Thiết kế gián tiếp hệ thống điều khiển liên tục, sau đórời rạc hóa ta được hệ thống điều khiển rời rạc. Chất lượng củahệ rời rạc xấp xỉ chất lượng hệ liên tục nếu chu kỳ lấy mẫu T đủnhỏ.Cách 2: Thiết kế trực tiếp hệ thống điều khiển rời rạc.Phương pháp thiết kế: QĐNS, phương pháp phân bố cực, phươngpháp giải tích, 54Trình tự thiết kế khâu sớm pha rời rạc dùng QĐNS*Bước 1: Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu thiết kế về chấtlượng của hệ thống trong quá trình quá độ: Bước 2: Xác định góc pha cần bù để cặp cực quyết định z*1, 2 nằmtrên QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh bằng công thức: trong đó pi và zi là các cực và zero của G(z) trước khi hiệu chỉnh. φ * = −180 0 + ∑ góc từ các cực của G ( z ) đến cực z1* − ∑ góc từ các zero của G ( z ) đến cực z1*Khaâu hieäu chænh caàn thieát keá55Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS (tt)Bước 3: Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnhCó hai cách vẽ thường dùng:PP đường phân giác (để cực và zero của khâu H/C gần nhau)PP triệt tiêu nghiệm (để hạ bậc của hệ thống)Vẽ 2 nữa đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết định z1* saocho 2 nữa đường thẳng này tạo với nhau một góc bằng φ* . Giaođiểm của hai nữa đường thẳng này với trục thực là vị trí cực vàzero của khâu hiệu chỉnh.Bước 4: Tính hệ số khuếch đại KC bằng cách áp dụng công thức:56Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNSTK bộ điều khiển sớm pha GC(z) sao cho hệ thống sau khi hiệuchỉnh có cặp cực quyết định với ξ = 0.707 , ω n = 10 (rad/sec)57Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNSPhương trình đặc trưng: Giải:=>58Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNSCặp cực phức mong muốn:z1*, 2 = re ± jϕtrong đó:=>φ = 8459Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNS φ * = −180 + ( β1 + β 2 ) − β 3 β1 = 152.90β 2 = 125.90Góc pha cần bù:β3 = 14.60 * 0=>60Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNSChọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp triệttiêu nghiệm:=>=>61Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNSTính KC:=>=>=>Kết luận: Hàm truyền của bộ điều khiển cần thiết kế là:62Thí dụ thiết kế bộ điều khiển sớm pha rời rạc dùng QĐNSQuỹ đạo nghiệm số của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnhK PKV63Trình tự thiết kế khâu trể pha rời rạc dùng QĐNSK P *β =KV *β =K aK a*hoặchoặc β =Bước 1: Đặt . Xác định β từ yêu cầu về sai số xác lập. Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1: zC ≈ −1Bước 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh: pC = −1 + β (1 + zC )Bước 4: Tính KC thỏa mãn điều kiện biên độ:GC ( z )GH ( z ) z = z* = 164Thí dụ thiết kế bộ điều khiển trể pha rời rạc dùng QĐNSTK bộ điều khiển trể pha GC(z) sao cho hệ thống sau khi hiệuchỉnh có hệ số vận tốc KV* = 10065Thí dụ thiết kế bộ điều khiển trể pha rời rạc dùng QĐNSPhương trình đặc trưng trước khi hiệu chỉnh:Giải:=>66Thí dụ thiết kế bộ điều khiển trể pha rời rạc dùng QĐNS=> PTĐT trước khi hiệu chỉnhz1, 2 = 0.699 ± j 0.547=> Cực của hệ thống trước khi hiệu chỉnhKV67Thí dụ thiết kế bộ điều khiển trể pha rời rạc dùng QĐNSBước 1: Xác định βKV* = 100Hệ số vận tốc mong muốn: 9.9100=KV *β =Do đó:Hệ số vận tốc trước khi hiệu chỉnh:=>KV = 9.9=>β = 0,099=>68Thí dụ thiết kế bộ điều khiển trể pha rời rạc dùng QĐNSBước 2: Chọn zero của khâu trể pha rất gần +1Bước 3: Tính cực của khâu trể pha=> z − 0,99s − 0,999GC ( z) = KCChọn:− zC = 0.99=>zC ≈ −0 . 99=>pC = −0.999pC = −1 + β (1 + zC ) = −1 + 0.099(1 − 0.99)Bước 4: Xác định hệ số khuếch đại=>=>69Thí dụ thiết kế bộ điều khiển trể pha rời rạc dùng QĐNSQĐNS trước và sau khi hiệu chỉnh70Thí dụ thiết kế bộ điều khiển PID dùng PP giải tíchThiết kế khâu hiệu chỉnh GC(z) sao cho hệ thống kín có cặp cựcphức với ξ=0.707, ωn=2 rad/sec và sai số xác lập đối với tínhiệu vào là hàm nấc đơn vị bằng 0.=>71Thí dụ thiết kế bộ điều khiển PID dùng PP giải tíchKhâu hiệu chỉnh cần thiết kế là khâu PI (vì yêu cầu sai số xáclập bằng 0)Phương trình đặc trưng của hệ thống sau khi hiệu chỉnh là: 1 + GC ( z )GH ( z ) = 0trong đó: 72Thí dụ thiết kế bộ điều khiển PID dùng PP giải tíchDo đó phương trình đặc trưng của hệ thống là:(do T=2)73Thí dụ thiết kế bộ điều khiển PID dùng PP giải tíchz1*, 2 = re ± jϕ=> Cặp cực phức mong muốn:trong đó:=>Phương trình đặc trưng mong muốn:( z + 0.056 + j 0.018)( z + 0.056 − j 0.018) = 0z 2 + 0.112 z + 0.0035 = 0=>74Thí dụ thiết kế bộ điều khiển PID dùng PP giải tíchCân bằng các hệ số phương trình đặc trưng của hệ thống vàphương trình đặc trưng mong muốn, ta được:Kết luận:=>∏ ( z − pi ) = 075PP phân bố cực thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp trạng tháiBước 3: Cân bằng các hệ số của hai phương trình đặc trưng (1) và(2) sẽ tìm được vector hồi tiếp trạng thái K. det[ zI − Ad + Bd K ] = 0Bước 2: Viết phương trình đặc trưng mong muốn n i =1 pi , (i = 1, n) là các cực mong muốn(1)(2) Bước 1: Viết phương trình đặc trưng của hệ thống kín76PP phân bố cực. Thí dụ 1Hãy xác định vector hồi tiếp trạng thái K sao cho hệ thống kín cócặp nghiệm phức với ξ=0.707, ωn=10 rad/secCho hệ thống điều khiển77PP phân bố cực. Thí dụ 1Phương trình đặc trưng của hệ thống kín78PP phân bố cực. Thí dụ 1z1*, 2 = re ± jϕ Cặp cực phức mong muốn:trong đó:=>=>Phương trình đặc trưng mong muốn:( z − 0.375 − j 0.320)( z − 0.375 + j 0.320) = 0=> z 2 − 0.75z + 0.243 = 079PP phân bố cực. Thí dụ 1Cân bằng các hệ số phương trình đặc trưng của hệ thống vàphương trình đặc trưng mong muốn, ta được:=>Kết luận:K = [3.12 1.047]80PP phân bố cực. Thí dụ 2Cho hệ thống điều khiển:1. Viết phương trình trạng thái mô tả hệ hở2. Hãy xác định vector hồi tiếp trạng thái K = [k1 k2] sao cho hệthống kín có cặp nghiệm phức với ξ=0.5, ωn=8 rad/sec.3. Tính đáp ứng của hệ thống với giá trị K vừa tìm được khi tínhiệu vào là hàm nấc đơn vị. Tính độ vọt lố, thời gian quá độ.81PP phân bố cực. Thí dụ 2Giải:1. Viết phương trình trạng thái mô tả hệ hở:B1: PTTT mô tả hệ liên tục:=>82PP phân bố cực. Thí dụ 2 => B2: Ma trận quá độ: 83PP phân bố cực. Thí dụ 2B3: PTTT moâ taû heä rôøi raïc hôû:84PP phân bố cực. Thí dụ 22. Tính độ lợi hồi tiếp trạng thái K:Phương trình đặc trưng của hệ kín:85PP phân bố cực. Thí dụ 2Cặp cực quyết định mong muốn:=>( z − 0.516 − j0.428)( z − 0.516 + j0.428) = 0Phương trình đặc trưng mong muốn:=> => z 2 − 1.03z + 0.448 = 086PP phân bố cực. Thí dụ 2Cân bằng các hệ số PTTT của hệ kín và PTTT mong muốn:=>Vậy87PP phân bố cực. Thí dụ 23. Tính đáp ứng và chất lượng của hệ thống :Phương trình trạng thái mô tả hệ kín: