Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

Chương 3 KHẢO SÁT KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG2Noäi dung chöông 3Khaùi nieäm oån ñònh Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soáÑieàu kieän caànTieâu chuaån RouthTieâu chuaån Hurwitz Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)Khaùi nieäm veà QÑNSPhöông phaùp veõ QÑNSXeùt oån ñònh duøng QÑNSTieâu chuaån oån ñònh taàn soáKhaùi nieäm veà ñaëc tính taàn soáÑaëc tính taàn soá cuûa caùc khaâu cô baûnÑaëc tính taàn soá cuûa heä thoáng töï ñoängTieâu chuaån oån ñònh BodeTieâu chuaån oån ñònh Nyquist3KHAÙI NIEÄM OÅN ÑÒNH 4Khaùi nieäm oån ñònhÑònh nghóa oån ñònh BIBOHeä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh BIBO (Bounded Input Bounded Output) neáu ñaùp öùng cuûa heä bò chaën khi tín hieäu vaøo bò chaën. r(t)Heä thoángc(t)5Thí duï minh hoïa khaùi nieäm oån ñònh6Giaûn ñoà cöïc - zeroGiaûn ñoà cöïc – zero laø ñoà thò bieåu dieãn vò trí caù c cöïc vaø caùc zero cuûa heä thoáng trong maët phaúng phöùc.8Phöông trình ñaëc tröng (PTÑT)Phöông trình ñaëc tröng: phöông trình A(s) = 0Ña thöùc ñaëc tröng: ña thöùc A(s)Chuù yù:Heä thoáng hoài tieáp Heä thoáng moâ taû baèng PTTT Phöông trình ñaëc tröngPhöông trình ñaëc tröng1+G(s)H(s)=0det(sI –A)=010Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá11Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soáÑieàu kieän caànÑieàu kieän caàn ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc heä soá cuûa phöông trình ñaëc tröng phaûi khaùc 0 vaø cuøng daáu.Thí duï: Heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng:Khoâng oån ñònhKhoâng oån ñònhChöa keát luaän ñöôïc12Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh Qui taéc thaønh laäp baûng RouthCho heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng: Muoán xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng theo tieâu chuaån Routh, tröôùc tieân ta thaønh laäp baûng Routh theo qui taéc:Baûng Routh coù n+1 haøng.Haøng 1 cuûa baûng Routh goàm caùc heä soá coù chæ soá chẵn.Haøng 2 cuûa baûng Routh goàm caùc heä soá coù chæ soá leû.Phaàn töû ôû haøng i coät j cuûa baûng Routh (i = 3) ñöôïc tính theo coâng thöùc:vôùi13Daïng baûng Routh14Phaùt bieåu tieâu chuaånÑieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc phaàn töû naèm ôû coät 1 cuûa baûng Routh ñeàu döông. Soá laàn ñoåi daáu cuûa caùc phaàn töû ôû coät 1 cuûa baûng Routh baèng soá nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng và bằng sốcực nằm beân phaûi maët phaúng phöùc. 15Thí duï 2Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái: Giaûi: Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng laø:17Thí duï 1Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng laø: Giaûi: Baûng RouthKeát luaän: Heä thoáng oån ñònh do taát caû caùc phaàn töû ôû coät 1 baûng Routh ñeàu döông.16Thí duï 2 (tt)Baûng RouthKeát luaän: Heä thoáng khoâng oån ñònh do taát caû caùc phaàn töû ôû coät 1 baûng Routh ñoåi daáu 2 laàn.18Thí duï 3Tìm ñieàu kieän cuûa K ñeå heä thoáng oån ñònh: Giaûi: Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng laø:19Thí duï 3 (tt)Baûng RouthÑieàu kieän ñeå heä thoáng oån ñònh:20Tröôøng hôïp ñaëc bieät 1Neáu baûng Routh coù heä soá ôû coät 1 cuûa haøng naøo ñoù baèng 0, caùc heä soá coøn laïi cuûa haøng ñoù khaùc 0 thì ta thay heä soá baèng 0 ôû coät 1 bôûi soá e döông nhoû tuøy yù, sau ñoù quaù trình tính toaùn ñöôïc tieáp tuïc. 21Thí duï 4Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng laø: Giaûi:Baûng RouthKeát luaän: Vì caùc heä soá ôû coät 1 baûng Routh ñoåi daáu 2 laàn neân phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng coù hai nghieäm naèm beân phaûi maët phaúng phöùc, do ñoù heä thoáng khoâng oån ñònh .22Tröôøng hôïp ñaëc bieät 2Neáu baûng Routh coù taát caû caùc heä soá cuûa haøng naøo ñoù baèng 0:Thaønh laäp ña thöùc phuï töø caùc heä soá cuûa haøng tröôùc haøng coù taát caû caùc heä soá baèng 0, goïi ña thöùc ñoù laø A0(s).Thay haøng coù taát caû caùc heä soá baèng 0 bôûi moät haøng khaùc coù caùc heä soá chính laø caùc heä soá cuûa ña thöùc dA0(s)/ds, sau ñoù quaù trình tính toaùn tieáp tuïc.Chuù yù: Nghieäm cuûa ña thöùc phuï A0(s) cuõng chính laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng.23Thí duï 5Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng laø: Giaûi: Baûng Routh24Thí duï 5 (tt)Ña thöùc phuï: Nghieäm cuûa ña thöùc phuï (cuõng chính laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng): Keát luaänCaùc heä soá coät 1 baûng Routh khoâng ñoåi daáu neân phöông trình tröng khoâng coù nghieäm naèm beân phaûi maët phaúng phöùc.Phöông trình ñaëc tính coù 2 nghieäm naèm treân truïc aûo.Soánghieäm naèm beân traùi maët phaúng phöùc laø 5 – 2 = 3. Heä thoáng ôû bieân giôùi oån ñònh25Qui taéc thaønh laäp ma traän HurwitzCho heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng: Muoán xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng theo tieâu chuaån Hurwitz, tröôùc tieân ta thaønh laäp ma traän Hurwitz theo qui taéc:Ma traän Hurwitz laø ma traän vuoâng caáp n×n.Ñöôøng cheùo cuûa ma traän Hurwitz laø caùc heä soá töø a1 ñeán an.Haøng leû cuûa ma traän Hurwitz goàm caùc heä soá coù chæ soá leû theo thöù töï taêng daàn neáu ôû beân phaûi ñöôøng cheùo vaø giaûm daàn neáu ôû beân traùi ñöôøng cheùo.Haøng chaún cuûa ma traän Hurwitz goàm caùc heä soá coù chæ soá chaún theo thöù töï taêng daàn neáu ôû beân phaûi ñöôøng cheùo vaø giaûm daàn neáu ôû beân traùi ñöôøng cheùo.26Daïng ma traän Hurwitz Phaùt bieåu tieâu chuaånÑieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc ñònh thöùc con chöùa ñöôøng cheùo cuûa ma traän Hurwitz ñeàu döông27Thí duï 1Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng laø: Giaûi:Ma traän HurwitzCaùc ñònh thöùc:Keát luaän: Heä thoáng oån ñònh do caùc ñònh thöùc ñeàu döông28Caùc heä quaû cuûa tieâu chuaån HurwitzHeä baäc 2 oån ñònh neáu phöông trình ñaëc tröng thoûa maõn ñieàu kieän: Heä baäc 3 oån ñònh neáu phöông trình ñaëc tröng thoûa maõn ñieàu kieän: Heä baäc 4 oån ñònh neáu phöông trình ñaëc tröng thoûa maõn ñieàu kieän: 29Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá30Giaûn ñoà cöïc - zeroGiaûn ñoà cöïc – zero laø ñoà thò bieåu dieãn vò trí caù c cöïc vaø caùc zero cuûa heä thoáng trong maët phaúng phöùc.896Tính hàm truyền từ PTTT Thí dụ (tt) => Ñieàu kieän oån ñònhTính oån ñònh cuûa heä thoáng phuï thuoäc vaøo vò trí caùc cöïc.Heä thoáng coù taát caû caùc cöïc coù phaàn thöïc aâm (coù taát caû caùc cöïc ñeàu naèm beân traùi maët phaúng phöùc): heä thoáng oån ñònh. Heä thoáng coù cöïc coù phaàn thöïc baèng 0 (naèm treân truïc aûo), caùc cöïc coøn laïi coù phaàn thöïc aâm: heä thoáng ôû bieân giôùi oån ñònh. Heä thoáng coù ít nhaát moät cöïc coù phaàn thöïc döông (coù ít nhaát moät cöïc naèm beân phaûi maët phaúng phöùc): heä thoáng khoâng oån ñònh. 9Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)Ñònh nghóaQuyõ ñaïo nghieäm soá laø taäp hôïp taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng khi coù moät thoâng soá naøo ñoù trong heä thay ñoåi töø 0.8Thí duï: QÑNS cuûa heä thoáng coù PTÑT coù daïng nhö hình veõ döôùi ñaây:31Qui taéc veõ QÑNSMuoán aùp duïng caùc qui taéc veõ quyõ ñaïo nghieäm soá, tröôùc tieân ta phaûi bieán ñoåi töông ñöông phöông trình ñaëc tröng veà daïng: Ñaët:Goïi n laø soá cöïc cuûa Go(s) , m laø soá zero cuûa G0(s)            3233Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNSQui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phươngtrình đặc tính = số cực của G0(s) = n.Qui tắc 2:Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ cáccực của G0(s).Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đếnm zero của G0(s), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệmcận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6.Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm sốnếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẻ.34Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt)Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằmtrên trục thực và là nghiệm của phương trình:= 0dK ds(pi và zi là các cựcvà các zero của G0(s) )Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệmsố với trục thực xác định bởi :Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm Acó tọa độ xác định bởi:35Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Qui tắc vẽ QĐNS (tt)Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thểxác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hoặc thays=jω vào phương trình đặc trưng.Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pjđược xác định bởi:Dạng hình học của công thức trên là:36Giải:Phương trình đặc trưng của hệ thống:1 + G(s) = 0Các cực:p1 = 0 p2 = −2 p3 = −3Các zero: không có= 01 + Ks(s + 2)(s + 3)(1)Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞.= 037Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt)Điểm tách nhập: (1)  K = −s(s + 2)(s + 3) = −(s3 + 5s 2 + 6s)Tiệm cận: = −(3s2 + 10s + 6) dK ds dK dsDo đó(loại)38Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt)Giao điểm của QĐNS với trục ảo:Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Hurwitz (1)  s3 + 5s2 + 6s + K = 0Điều kiện ổn định:(2)Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình tađược giao điểm của QĐNS với trục ảo − jω − 5ω + 6 jω + K = 0 39Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt)Giao điểm của QĐNS với trục ảo:Cách 2:(2) (1)  s3 + 5s2 + 6s + K = 0Thay s=jω vào phương trình (2):( jω )3 + 5( jω )2 + 6( jω ) + K = 03 240Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 1 (tt) s(s + 8s + 20)41Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞.Giải:Phương trình đặc trưng của hệ thống:1 + G(s) = 0Các zero: không có(1)2= 01 +KCác cực:p1 = 0p2,3 = −4 ± j 2= 0(hai điểm tách nhập)42Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt)Tiệm cận: Điểm tách nhập: (1)  K = −(s3 + 8s2 + 20s)= −(3s2 + 16s + 20) dK ds dK dsDo đó43Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt)Giao điểm của QĐNS với trục ảo:(2) (1)  s3 + 8s2 + 20s + K = 0Thay s=jω vào phương trình (2): ( jω )3 + 8( jω )2 + 20( jω ) + K = 0− jω3 − 8ω2 + 20 jω + K = 044Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt)Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2:45Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt) 1 +K (s + 1)s(s + 3)(s + 8s + 20)46Giải:(1)Phương trình đặc trưng của hệ thống: 1 + G(s) = 0  2= 0Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞.p3, 4 = −4 ± j 2Các cực: p1 = 0 p2 = −3Các zero: z1 = −1điểm tách nhập)(không có47Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt)Điểm tách nhập:Tiệm cận:s(s + 3)(s2 + 8s + 20 ) (s + 1)(1)  K = −= −3s4 + 26s3 + 77s2 + 88s + 60 (s + 1)2dK ds= 0dK dsDo đó(loại)48Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt)Giao điểm của QĐNS với trục ảo:(2) (1)  s4 + 11s3 + 44s2 + (60 + K )s + K = 0Thay s=jω vào phương trình (2): ω4 − 11 jω3 − 44ω2 + (60 + K ) jω + K = 0 Vậy giao điểm cần tìm là: s = ± j5,89349Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 3 (tt)Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3:θ3 = 180 + β1 − (β2 + β3 + β4 ) = 180 + 146,3 − (153,4 + 116,6 + 90)θ3 = −33.7050Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)Thí dụ 3 (tt) 51Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối như sau: 10(s 2 + 9s + 3)G(s) =KI sGC (s) = KP +Cho KI = 2.7, hãy vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi KP =0→+∞,biết rằng dKP / ds=0 có 3 nghiệm là −3, − 3, 1.5.Khi KP =270, KI = 2.7 hệ thống có ổn định hay không?52Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt)Các zero: z1 = 0Giải:Phương trình đặc trưng của hệ thống:1 + GC (s)G(s) = 0(1)Các cực: p1 = −9p2 = + j 3p3 = − j 3dKP53Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt)Tiệm cận:Điểm tách nhập: = 0 ds(loại)QĐNS có hai điểm tách nhập trùng nhau tại −354Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 2 (tt)Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2:55Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS) Thí dụ 4 (tt)Khi KI =2.7, QĐNS củahệ thống nằm hoàntoàn bên trái mặt phẳngphức khi KP =0→+∞,do đó hệ thống ổn địnhkhi KI =2.7, KP =270.56Tiêu chuẩn ổn định tần số57Tiêu chuẩn ổn định tần số Khái niệm đặc tính tần sốHãy quan sát đáp ứng của hệ thống tuyến tính ở trạng thái xáclập khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin.58Tiêu chuẩn ổn định tần số Khái niệm đặc tính tần sốHệ thống tuyến tính: khi tín hiệu vào là tín hiệu hình sin thì ởtrạng thái xác lập tín hiệu ra cũng là tín hiệu hình sin cùng tần sốvới tín hiệu vào, khác biên độ và pha.Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu raở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin .C ( jω ) R( jω )Đặc tính tần số =Người ta chứng minh được:59Tiêu chuẩn ổn định tần số Đáp ứng biên độ – Đáp ứng phaTổng quát G(jω) là một hàm phức nên có thể biểu diễn dướidạng đại số hoặc dạng cực:Trong đó:Đáp ứng biên độĐáp ứng phaÝ nghĩa vật lý: Đáp ứng biên độ cho biết tỉ lệ về biên độ (hệ số khuếch đại) giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số. Đáp ứng pha cho biết độ lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số.60Tiêu chuẩn ổn định tần số Biểu đồ Bode – Biểu đồ NyquistBiểu đồ Bode: là hình vẽ gồm 2 thành phần:Biểu đồ Bode về biên độ: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữalogarith của đáp ứng biên độ L(ω) theo tần số ωBiểu đồ Bode về pha: là đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữađáp ứng pha ϕ(ω) theo tần số ω .Cả hai đồ thị trên đều được vẽ trong hệ tọa độ vuông góc vớitrục hoành ω được chia theo thang logarith cơ số 10.L(ω ) = 20 lg M (ω )[dB]Biểu đồ Nyquist: (đường cong Nyquist) là đồ thị biểu diễn đặctính tần số G(jω) trong hệ tọa độ cực khi ω thay đổi từ 0→∞.61Tiêu chuẩn ổn định tần sốBiểu đồ BodeBiểu đồ Nyquist62Tiêu chuẩn ổn định tần số Các thông số quan trọng của đặc tính tần sốTần số cắt biên (ωc): là tần số mà tại đó biên độ của đặc tính tầnsố bằng 1 (hay bằng 0 dB).M (ωc ) = 1L(ωc ) = 0Tần số cắt pha (ω−π): là tần số mà tại đó pha của đặc tính tần sốbằng −1800 (hay bằng −π radian).ϕ (ω−π ) = −1800ϕ (ω−π ) = −π radĐộ dự trữ biên (GM – Gain Margin): 1M (ω−π )GM =GM = − L(ω−π )[dB]Độ dự trữ pha ( ΦM – Phase Margin):ΦM = 1800 + ϕ (ωc )63Hàm truyền:G(s) = KĐặc tính tần số: G( jω ) = KL(ω ) = 20 lg K M (ω ) = Kϕ (ω ) = 0Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tỉ lệBiên độ:Pha:64Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tỉ lệHàm truyền:G(s) =65Tiêu chuẩn ổn định tần sốBiên độ: 1ω 1jω= − j 1 sĐặc tính tần số: G( jω ) = 1ωM (ω ) =L(ω ) = −20 lg ωϕ (ω ) = −900Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tích phân lý tưởngPha:66Tiêu chuẩn ổn định tần sốĐặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu tích phân lý tưởng67Hàm truyền:G(s) = sĐặc tính tần số: G( jω ) = jωL(ω ) = 20 lg ω M (ω ) = ωϕ (ω ) = 900 Tiêu chuẩn ổn định tần sốĐặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu vi phân lý tưởngBiên độ:Pha:68 Tiêu chuẩn ổn định tần sốĐặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu vi phân lý tưởng69 Tiêu chuẩn ổn định tần số70 Tiêu chuẩn ổn định tần sốĐặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu quán tính bậc 171Hàm truyền:G(s) = Ts + 1 Tiêu chuẩn ổn định tần sốĐặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu sớm pha bậc 1Biên độ:Pha:Đặc tính tần số: G ( jω ) = Tjω + 1Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ: : ñöôøng thaúng naèm ngang truøng truïc hoaønh  : ñöôøng thaúng coù ñoä doác +20dB/dec72 Tiêu chuẩn ổn định tần sốĐặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu sớm pha bậc 1Hàm truyền:Đặc tính tần số:73Biên độ: Tiêu chuẩn ổn định tần sốĐặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu dao động bậc 2ω 1 / T : đường thẳng có độ dốc −40dB/dec Pha:Vẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ:74 Tiêu chuẩn ổn định tần sốĐặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu dao động bậc 275Hàm truyền:G(s) = e−TsTiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu trì hoãnBiên độ:Pha:Đặc tính tần số: G ( jω ) = e−Tjω M (ω ) = 1ϕ (ω ) = −TωL(ω ) = 076Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của các khâu cơ bản: Khâu trì hoãnM (ω ) = ∏ M i (ω )ϕ (ω ) = ∑ϕi (ω )77Tiêu chuẩn ổn định tần số Đặc tính tần số của hệ thống=> Biểu đồ Bode của hệ thống (gồm nhiều khâu ghép nối tiếp) bằng tổng biểu đồ Bode của các khâu thành phần.Xét hệ thống tự động có hàm truyền G(s) có thể phân tích thànhtích của các hàm truyền cơ bản như sau:Đặc tính tần số:Biên độ:Pha: l i =1 l i =178Bước 1: Xác định tất cả các tần số gãy ωi =1/Ti , và sắp xếp theothứ tự tăng dần ω1 0: hệ thống có khâu vi phân lý tưởng α 1 thì có thể chọn ω0 =1.79Bước 3: Qua điểm A, vẽ đường thẳng có độ dốc: (− 20 dB/dec × α) nếu G(s) có α khâu tích phân lý tưởng (+ 20 dB/dec × α) nếu G(s) có α khâu vi phân lý tưởngĐường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp. Tiêu chuẩn ổn định tần sốVẽ gần đúng biểu đồ Bode biên độ bằng đường tiệm cận (tt)Bước 4: Tại tần số gãy ωi =1/Ti , độ dốc của đường tiệm cận đượccộng thêm một lượng: (−20dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu quán tính bậc 1 (+20dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 1 (−40dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu dao động bậc 2 (+40dB/dec × βi) nếu Gi(s) là βi khâu sớm pha bậc 2Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp.Bước 5: Lặp lại bước 4 cho đến khi vẽ xong đường tiệm cận tạitần số gãy cuối cùng.80Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Bode gần đúngVẽ biểu đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có hàm truyền: Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác định tần số cắt biên củahệ thống.Giải:Các tần số gãy: 10,01= 100 (rad/sec)= 1T2ω2 = 10,1= 10 (rad/sec)= 1T1ω1 =Biểu đồ Bode qua điểm A có tọa độ81Theo hình vẽ, tần số cắt biên của hệ thống là 103 rad/secTiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 1 (tt) 82Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 2: Xác định hàm truyền dựa vào biểu đồ BodeXác định hàm truyền của hệ thống có biểu đồ Bode biên độ gầnđúng như sau:Độ dốc đoạn CD:lg ωg1 = 0 += 0.783Tiêu chuẩn ổn định tần số Thí dụ 2 (tt)K (T1s + 1)(T2 s + 1)2 s(T3s + 1)2Hàm truyền cần tìm có dạng: G(s) =20 lg K = 40  K = 10015= 0.2=T1 = 1ωg1 120=T2 = 1ωg 2 54 − 26 2 − 1.301Các tần số gãy: 40 − 26 20 lg ωg 2 = 1.301= +40 (dB/dec)  ωg1 = 100.7 = 5 (rad/sec)  ωg 2 = 101.301 = 20 (rad/sec)lg ωg 3 = 2ωg 3 = 102 = 100 (rad/sec) 1100= 0.01== 0.05 T3 = 1ωg 384Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định NyquistCho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hởG(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s).Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường congNyquist của hệ hở G(s) bao điểm (−1, j0) l/2 vòng theo chiềudương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 đến +∞,trong đó l là số cực nằm bên phải mặt phẳng phức của hệ hở G(s).85Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 1Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đườngcong Nyquist như hình vẽ. Biết rằng G(s) ổn định. Xét tính ổnđịnh của hệ thống kín.86Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 1 (tt)Giải:Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳngphức, do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đườngcong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0)Trường hợp (1): G(jω) không bao điểm (−1, j0) => hệ kín ổn định. : G(jω) qua điểm (−1, j0) => hệ kín ở biên giới ổnTrường hợp (2)định;Trường hợp (3): G(jω) bao điểm (−1, j0) => hệ kín không ổn định.87Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 2Hãy đánh giá tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết Giải:Biểu đồ Nyquist:88Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 2 (tt)Vì G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theotiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong NyquistG(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0): G(jω) không bao điểm (−1, j0) => hệ kín ổn định.: G(jω) qua điểm (−1, j0) => hệ kín ở biên giới ổn: G(jω) bao điểm (−1, j0) => hệ kín không ổn định.Trường hợp (1)Trường hợp (2)định;Trường hợp (3)89Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hìnhvẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định.Ổn địnhKhông ổn định90Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 (tt)Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hìnhvẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định.Không ổn định91Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 3 (tt)Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hìnhvẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định.Ổn địnhKhông ổn địnhBiên độ: 92Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4Cho hệ thống hở có hàm truyền đạt là: Tìm điều kiện của K và T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn vị) ổn định.Giải:Đặc tính tần số của hệ thống là: Pha:93Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 (tt)Biểu đồ Nyquist:Điều kiện ổn định: đường cong Nyquist không bao điểm (−1,j0).Theo biểu đồ Nyquist, điều này xảy ra khi:M (ω−π ) < 194Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Nyquist: Thí dụ 4 (tt)Ta có:Do đó: 95Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định BodeCho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hởG(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s).Tiêu chuẩn Bode: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hởG(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương:96Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định Bode: Thí dụ Do GM<0 và ΦM<0 nên hệ thống kín không ổn định.Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết rằng hệ hở có biểu đồ Bodenhư hình vẽ. Xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha của hệ thốnghở. Hỏi hệ kín có ổn định không? Theo biểu đồ Bode: 97Tiêu chuẩn ổn định tần số Chú ýTrường hợp hệ thống hồi tiếp âm như hình vẽ, vẫn có thể áp dụngtiêu chuẩn ổn định Nyquist hoặc Bode, trong trường hợp này hàmtruyền hở là G(s)H(s) .