Bài giảng Điều khiển tự động - Chương 3 Điều khiển liên tục trong miền thời gian - Bài 1

III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN BM Điều Khiển Tự Động Th.S. Đặng Văn Mỹ 1 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN 3.1 MỘT SỐ CÔNG CỤ TOÁN HỌC Định nghĩa ma trận Ma trận hàng, ma trận cột, ma trận đơn vị, ma trận đường chéo Các phép toán ma trận: cộng, trừ, nhân, chia Ma trận chuyển vị và các tính chất Hạng của ma trận Định thức ma trận Ma trận nghịch đảo Với ma trận bù có các ph tử ĐẠI SỐ MA TRẬN Amxn I3x3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ Cmxn = Amxn ± Bmxn = (aij + bij ) AB = C⇔ cij = aikbkj k=1 p ∑ AT (AB)T = AT BT A(B +C) = AB + AC AI = IA = A A−1 = Aadjdet(A) aij' =(−1)i+ j det(Aji )Aadj my.dangvan@hust.edu.vn 2 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI Những hệ thống điều khiển có nhiều đầu vào - nhiều đầu ra (MIMO) thì phương pháp tổng hợp hệ thống trong không gian trạng thái thường được sử dụng. Phương pháp này cho phép người ta tính được cả các điều kiện khởi tạo để tổng hợp hệ thống khi cần thiết. Quãng đường dịch chuyển Vận tốc khối vật &x(t) = Ax(t)+ Bu(t) y(t) = Cx(t)+ Du(t) ⎧ ⎨ ⎩ B my.dangvan@hust.edu.vn 3 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI Xét hệ gồm có: m tín hiệu vào r tín hiệu ra n biến trạng thái u(t) = {u1(t),...,um (t)} y(t) = {y1(t),..., yr (t)} x(t) = {x1(t),..., xn (t)} Ưu điểm: So với phương trình hàm truyền, hệ phương trình trạng thái có thể sử dụng để mô tả hệ MIMO. Ngoài ra, MHTT còn giúp ta khảo sát được trực tiếp các trạng thái bên trong hệ thống. &x(t) = Ax(t)+ Bu(t) y(t) = Cx(t)+ Du(t) ⎧ ⎨ ⎩ A: Ma trận hệ thống (nxn) B: Ma trận đầu vào (nxm) C: Ma trận đầu ra (rxn) D: Ma trận liên thông (rxm) &x(t) = A(t)x(t)+ B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t)+ D(t)u(t) ⎧ ⎨ ⎩ &x(t) = A(v)(x(t)+ B(v)u(t) y(t) = C(v)x(t)+ D(v)u(t) ⎧ ⎨ ⎩ Hệ tham số phụ thuộc thời gian Hệ tham số rải (phụ thuộc không gian) my.dangvan@hust.edu.vn 4 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI Xét hệ SISO có một tín hiệu vào u(t) và một tín hiệu ra y(t): Mô hình được viết lại thành: Đặt: XÁC ĐỊNH MÔ HÌNH TRẠNG THÁI TỪ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ QUAN HỆ VÀO RA a0y + a1 dy dt + ...+ an−1 dn−1y dt n−1 + dny dt n = b0u + b1 du dt + ...+ bn−1 dn−1u dt n−1 + bn dnu dt n G(s) = Y (s)U(s) = b0 + b1s + ...+ bnsn a0 + a1s + ...+ an−1sn−1 + sn = B(s)A(s) X1 = U(s) A(s) ,X2 = sU(s) A(s) ,...,Xn = sn−1U(s) A(s) sX1 = X2,K, sXn−1 = Xn X1 = U(s) A(s)⇒ A(s)X1 =U(s) = a0X1 + a1X2 +K+ an−1Xn + sXn = a0X1 + a1X2 +K+ an−1Xn + L{ dxn dt }→ (*) ⇒ dx1dt = x2, dx2 dt = x3,K, dxn−1 dt = xn (*)→ dxndt = −a0x1 − a1x2 −K− an−1xn + u dx dt = 0 1 0 K 0 0 0 1 K 0 M M M O 0 0 0 0 K 1 −a0 −a1 −a2 K −an−1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x1 x2 M xn−1 xn ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + 0 0 M 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ u Y (s) = U(s)(b0 + b1s + ...+ bns n ) A(s) = b0X1 + b1X2 + ...+ bn−1Xn + bnsXn ⇔ y = (b0 − a0bn )x1 + (b1 − a1bn )x2 + ...+ (bn−1 − an−1bn )xn + bnu ⇔ y = (b0 − a0bn ),(b1 − a1bn ),...,(bn−1 − an−1bn )( ) x1 M xn ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + bnu A(nxn) B(1xn) C(nx1) D(1x1) my.dangvan@hust.edu.vn 5 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP) XÁC ĐỊNH MÔ HÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN ĐẠT MÔ HÌNH TRẠNG THÁI DẠNG CHUẨN ĐIỀU KHIỂN Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn điều khiển G(s) = Y (s)U(s) = b0 + b1s + ...+ bnsn a0 + a1s + ...+ an−1sn−1 + sn = B(s)A(s) X1 = U(s) A(s) ,X2 = sU(s) A(s) ,...,Xn = sn−1U(s) A(s) Với hệ có PTHT: Đặt: dx dt = 0 1 0 K 0 0 0 1 K 0 M M M O 0 0 0 0 K 1 −a0 −a1 −a2 K −an−1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x1 x2 M xn−1 xn ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + 0 0 M 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ u y = (b0 − a0bn ),(b1 − a1bn ),...,(bn−1 − an−1bn )( ) x1 M xn ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + bnu ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ G(s) = Y (s)U(s) = b0 + b1s + b2s2 a0 + a1s + a2s2 + s3 = B(s)A(s)Ví dụ: Cho hệ có PTHT Đặt X1 = U(s) A(s) ,X2 = sU(s) A(s) , X3 = s2U(s) A(s) my.dangvan@hust.edu.vn 6 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP) XÁC ĐỊNH MÔ HÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN ĐẠT MÔ HÌNH TRẠNG THÁI DẠNG CHUẨN QUAN SÁT G(s) = Y (s)U(s) = b0 + b1s + ...+ bnsn a0 + a1s + ...+ an−1sn−1 + sn x1 = y + bnu &x1 = x2 + bn−1u − an−1x1 &x2 = x3 + bn−2u − an−2x1 M &xn−1 = xn + b1u − a1x1 &xn = b0u − a0x1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ a0Y + a1sY + a2s2Y +K+ an−1sn−1Y + snY = b0U + b1sU + b2s2U +K+ bnsnU→ (*) X1 = Y − bnU X2 = an−1Y − bn−1U + s(Y − bnU ) X3 = (an−2Y + an−1sY )− (bn−2U + bn−1sU )+ s2 (Y − bnU ) = (an−2Y − bn−2U )+ s(an−1Y − bn−1U + s(Y − bnU )) M Xn = (a1Y + a2sY +K+ an−1sn−2Y )− (b1U + b2sU +K+ bn−1sn−2U )+ sn−1(Y − bnU )→ (**) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ → (*)& (**)⇒ b0U − a0Y = s (a1Y + a2sY +K+ an−1sn−2Y )− (b1U + b2sU +K+ bn−1sn−2U )+ sn−1(Y − bnU )( ) = sXn Hệ số an=1 &x = −an−1 1 0 K 0 −an−2 0 1 K 0 M M M O 0 −a1 0 0 K 1 −a0 0 0 K 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x1 x2 M xn−1 xn ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + bn−1 bn−2 M b1 b0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ u y = (1,0,K,0( ) x1 M xn ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + bn .u ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Cho hệ có PTHT my.dangvan@hust.edu.vn 7 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP) XÁC ĐỊNH MÔ HÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN ĐẠT Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn quan sát Mô hình trạng thái dạng chuẩn quan sát G(s) = Y (s)U(s) = b0 + b1s + b2s2 a0 + a1s + a2s2 + s3 = B(s)A(s)Ví dụ: Cho hệ có PTHT my.dangvan@hust.edu.vn 8 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP) XÁC ĐỊNH MÔ HÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN ĐẠT Chuẩn điều khiển Chuẩn quan sát G(s) = Y (s)U(s) = b0 + b1s + ...+ bnsn a0 + a1s + ...+ an−1sn−1 + sn Chuẩn điều khiển Chuẩn quan sát &x = −an−1 1 0 K 0 −an−2 0 1 K 0 M M M O 0 −a1 0 0 K 1 −a0 0 0 K 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x1 x2 M xn−1 xn ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + bn−1 bn−2 M b1 b0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ u y = (1,0,K,0( ) x1 M xn ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + 0.u ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dx dt = 0 1 0 K 0 0 0 1 K 0 M M M O 0 0 0 0 K 1 −a0 −a1 −a2 K −an−1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x1 x2 M xn−1 xn ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + 0 0 M 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ u y = (b0 − a0bn ),(b1 − a1bn ),...,(bn−1 − an−1bn )( ) x1 M xn ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + bnu ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Làm sao để đưa mô hình trạng thái bất kì về dạng chuẩn điều khiển hoặc chuẩn quan sát? my.dangvan@hust.edu.vn 9 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP) SỰ KHÁC BIỆT GIỮA MỘT SỐ KÍ HIỆU TRONG MHTT &x(t) = Ax(t)+ Bu(t) y(t) = Cx(t)+ Du(t) ⎧ ⎨ ⎩ &x(t) = Ax(t)+ Bu(t) y(t) = Cx(t)+ Du(t) ⎧ ⎨ ⎩ &x(t) = Ax(t)+ Bu(t) y(t) = Cx(t)+ Du(t) ⎧ ⎨ ⎩ Hệ tham số hằng - SISO Hệ tham số hằng - MIMO Hệ tham số hằng - MISO &x(t) = A(t)x(t)+ B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t)+ D(t)u(t) ⎧ ⎨ ⎩ Hệ tham số t - MISO my.dangvan@hust.edu.vn 10 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI (TIẾP) XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRUYỀN TỪ MÔ HÌNH TRẠNG THÁI Định lý: Cho hệ SISO tuyến tính với mô hình trạng thái: Khi đó hệ có phương trình hàm truyền: b) Nếu thì với là ma trận bù của ma trận (sI-A) với a)G(s) = C(sI − A)−1B + D G(s) = B(s)A(s) A(s) = a0 + a1s + ...+ an−1sn−1 + ansn = det(sI − A) B(s) = b0 + b1s + ...+ bmsm = C )AadjB + D.det(sI − A) )Aadj &x(t) = Ax(t)+ Bu(t) y(t) = Cx(t)+ Du(t) ⎧ ⎨ ⎩ (sI − A)−1 = )Aadj det(sI − A) my.dangvan@hust.edu.vn 11 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 III. ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.2 QUĨ ĐẠO TRẠNG THÁI Không gian trạng thái là tập hợp tất cả các quĩ đạo trạng thái của hệ thống Đồ thị quĩ đạo trạng thái là đường cong biểu diễn khi cho t chạy từ trong không gian trạng thái x(t) 0→∞ nR Qũi đạo trạng thái là nghiệm của hệ phương trình vi phân: dx(t) dt = Ax(t)+ Bu(t)ứng với một kích thích và trạng thái ban đầu cho trước( )u t 0(0)x x= my.dangvan@hust.edu.vn 12 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 QUĨ ĐẠO TRẠNG THÁI (TIẾP) Tương tự với phương trình vi phân thứ 2 Vậy ảnh Laplace của hệ phương trình vi phân là my.dangvan@hust.edu.vn 13 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 QUĨ ĐẠO TRẠNG THÁI (TIẾP) Lấy ảnh Laplace ngược để tìm nghiệm x(t) Ma trận chuyển trạng thái my.dangvan@hust.edu.vn 14 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 QUĨ ĐẠO TRẠNG THÁI (TIẾP) Ma trận chuyển trạng thái: my.dangvan@hust.edu.vn 15 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014 3.2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC 3.2.1 QUĨ ĐẠO TRẠNG THÁI (TIẾP) Giả sử với tín hiệu vào bước nhảy đơn vị u(t)=1, ta có Giả sử với tín hiệu vào bước nhảy đơn vị u(t)=1, ta có Suy ra nghiệm của hệ phương trình vi phân: my.dangvan@hust.edu.vn 16 Bai 1 - Chuong 3 - DKLT mien t - Mo hinh toan hoc.key - November 12, 2014