Bài giảng Cơ lý thuyết 2 - Nguyễn Quốc Bảo

với trục nằm ngang là  (H. 2.15). Xác định: a) Vận tốc của vật A khi nó đang đứng yên và đi xuống một đoạn bằng h. b) Gia tốc của vật nặng A. Giải: a) Vận tốc của vật A khi nó đi xuống một đoạn bằng h. - Hệ khảo sát gồm: vật A, tang B và bánh xe C (ròng rọc D không trọng lượng). - Phân tích chuyển động: Vật A chuyển động tịnh tiến, tang B và bánh xe C chuyển động song phẳng. - Hệ lực tác dụng lên cơ hệ gồm: trọng lượng PQ, ; các phản lực liên kết N của mặt đường và R tại ổ đỡ; và lực ma sát trượt Fms . Khi vật A đi xuống 1 đoạn h, theo định lý biến thiên động năng: ei TTAA10 kk  k Ban đầu có hệ đứng yên nên: TAoi0, 0 e Do đó: TA1   k (a) E vE R O vo D Fms Q vA K A N Hình 2.15 P 46 * Xác định T1 : Ta có động năng của hệ: TTTT1 he  A  BC . Giả sử vật A chuyển động đi xuống với vận tốc là vA thì nó cũng là vận tốc của điểm E vành tang B. Điểm E thuộc vật BC chuyển động song phẳng có tâm vận tốc tức thời K nên: v v v  KE..  R  r      A (vận tốc góc của BC) AE Rr R Do đó: v KO.. v 0 Rr A 1 P Mà: Tv ..2 . AA2 g 22 12 1QQQR 2 1 2 vA  1   TBC J Oz...(.).. BC  v O     vA  2 2g 2 g R r 2 g R r     ()Q 2 Q 2 R v 2  A 2g R r 2 Q Với: J  . 2 Oz g 2 2 2 2 2 22 P.() vAA Q  QR v P R r   Q()  R 2 Do đó: Tvhe    . A (b) 2g 22g R r 22 g R r  e * Xác định  Ak : e Ta có:  AAAAAAk P  Q R  Fms  N Vì: R, Fms , N có điểm đặt không dịch chuyển; còn Q vuông góc với phương dịch chuyển nên : AAAAQNR  Fms   0. e Do đó:  AkP A P. h (c) Thay các giá trị (b) và (c) vào (a) ta được: 2 22 P R r   Q()  R 2 .vA  Ph (d) 2g R r 2 2.g R r 2 Ph Vậy: vA  P R r 2  Q 22  R  47 b) Gia tốc của vật nặng A Đạo hàm 2 vế (d), ta có: P R r 2  Q() 22  R 2. .wAAA .v P . v 2g R r 2 P R r 2 . g Kết quả : wA  . P R r 2  Q 22  R  C. CÂU HỎI ÔN TP 1. Thế nào là động lượng đối với chất điểm và cơ hệ, xung lượng? 2. Phát biểu định lý động lượng. Khi nào động lượng cơ hệ được bảo toàn. 3. Phát biểu định lý về chuyển động khối tâm. Định luật về bảo toàn chuyển động khối tâm. 4. Thế nào là mômen động lượng chất điểm và cơ hệ? 5. Phát biểu định lý về mômen động lượng đối với 1 điểm và 1 trục. Định luật về bảo toàn momen động lượng. Định lý mômen động lượng đối với vật rắn quay quanh trục cố định. 6. Định nghĩa công của lực? Xác định công của 1 số lực đặc biệt. 7. Định nghĩa về động năng? Xác định động năng của vật rắn trong 1 số chuyển động đặc biệt. 8. Phát biểu các định lý về động năng. 9. Thế nào trường lực, trường lực thế, thế năng, cơ năng? Xác định thế năng trong 1 số trường hợp đặc biệt. 10. Phát biểu định luật bảo toàn cơ năng. 48 Chng 3. NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT A. MC TIÊU - Hiểu được các các khái niệm về lực quán tính và nội dung nguyên lý d’Alembert. - Áp dụng được nguyên lý d’Alembert để thiết lập các phương trình chuyển động và điều kiện cân bằng của cơ hệ để giải bài toán động lực học (phương pháp tĩnh – động) B. NỘI DUNG Để giải bài toán động lực học, trước đây ta dựa trên các định lý tổng quát động lực học rút ra từ các định luật của Newton để thiết lập các phương trình. Tuy nhiên, ta còn có thể giải bằng phương pháp khác gọi là các nguyên lý tĩnh học, mà một trong các nguyên lý đó là: nguyên lý d’Alembert. 3.1.ăLCăQUÁNăTệNH 3.1.1. Lcăquánătínhăcaăchtăđim qt Lực quán tính của chất điểm ( F ) là một đại lượng vectơ có cùng phương, ngược chiều với vectơ gia tốc w của chất điểm và có giá trị bằng tích số giữa khối lượng của chất điểm m với gia tốc w của nó. F qt   m.w (3.1) * Chú ý: qt 1. Dấu trừ “-“ trong biểu thức (3.1) có ý nghĩa là lực quán tính F luôn ngược chiều với gia tốc w . 2. Trong hệ toạ độ Descartes, biểu thức (3.1) được viết: X qt  m.x  qt Y  m.y (3.2)  qt Z  m.z 3. Trong hệ toạ độ tự nhiên Mtnb, ta có: qt qt qt FFFnt qt Với: Fmnn w gọi là lực quán tính pháp hay lực quán tính ly tâm. 49 qt Fmtt w gọi là lực quán tính tiếp. Biểu thức (3.1) được viết: F qt  ms  t  qt s Fn  m (3.3)    qt Fb  0 Fqt qt F t qt F n M wn wt w Hình 3.1 4. Lực quán tính của chất điểm không phải là lực thực sự tác dụng lên chất điểm khảo sát mà chỉ là lực giả định đặt lên các vật thể liên kết với nó. 3.1.2. Thuăgnăhălcăquánătínhăcaăcácăchtăđim Cơ hệ gồm n chất điểm. Mỗi chất điểm có 1 lực quán tính. Chất điểm thứ k có lực qt quán tính là: F k   mk .wk thì tập hợp các lực quán tính tác dụng lên cơ hệ gọi là hệ qt qt qt qt  FFFF (12 , ,...,n ) lực quán tính:  k  Khi thu gọn hệ lực quán tính về tâm thu gọn O ta được 1 lực quán tính Rqt đặt tại qt O và 1 ngẫu lực quán tính có M o với: qt qt Rok F   mk .w k   M.w C (3.4) (vì: M rC m kw k  M w C  m k w k ) Và: Mqt  m Fqt  (3.5) O  O  k  3.1.3. Lcăquánătínhăcaăvtărắnătrongăcácăchuynăđngăthngăgặp 50 3.1.3.1. Vật rắn chỐyển động tịnh tiến Fqt wc Hình 3.2 Khi vật chuyển động tịnh tiến: vvkC và wwkC . Thu gọn hệ lực quán tính về khối tâm C ta được: qt qt Rok F   mk .w k   M.w C qt qt qt MC m CFk   r k  F k   r k   m k .w k     mk. r k  w C   M r C  w C  0 (vì C là tâm thu gọn nên rC  0 ). Vậy: Hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động tịnh tiến thu gọn về khối tâm ta qt được hợp lực R M.wC 3.1.3.2. Vật rắn qỐay qỐanh một trục c định Xét tấm phẳng quay quanh trục z đi qua điểm O của tấm sao cho trục Oz vuông góc với tấm phẳng của tấm (H. 3. 3). Thu gọn hệ lực quán tính về 1 tâm ta được 1 lực qt quán tính đặt tại O xác định bởi R M.wC và 1 ngẫu lực quán tính có mômen bằng mômen chính của các lực quán tính đối với tâm O ở trên trục và được xác định bởi qt qt M o . Vì hệ lực quán tính của vật là đồng phẳng nên ta dùng đại lượng đại số M o thay qt cho đại lượng vectơ M o . Ta có: Mqt m F qt  m F qt  m F qt o o kt  o kn  o kt  2  dk. m k w kt    d k . m k d k .     m k . d k  qt MJOz   Oz (Vì các lực quán tính theo phương pháp tuyến đi qua O nên bằng 0). 51  z w O C qt Ro qt Mo Hình 3.3 Vậy: Hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động quay quanh 1 trục cố định thu qt qt gọn về một hợp lực R M.wC và một ngẫu lực đồng phẳng MJOz Oz . * Chú ý: qt 1. Dấu ( - ) cho ta biết chiều của M o ngược chiều của  . qt 2. Nếu trục quay z đi qua khối tâm C (H. 3.4) thì: R M.wC = 0. Khi đó hệ qt lực quán tính thu về 1 ngẫu lực có: MJCz Cz . . M qt c C Hình 3.4 qt 3. Nếu vật quay đều thì MJCz Cz . = 0 vì  = 0. Khi đó hệ lực quán tính thu về 1 lực. 3.1.3.3. Vật rắn chỐyển động song phẳng Khi vật chuyển động song phẳng ta chọn khối tâm C làm tâm thu gọn (H. 3.5). Thu gọn hệ lực quán tính về khối tâm C ta được 1 lực quán tính đặt tại C được xác qt qt định R M.wC và một ngẫu lực đồng phẳng có MJCC . . 52 qt Mc C Rqt wc Hình 3.5 Vậy: Hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động song phẳng thu gọn về khối tâm qt qt C được một hợp lực R M.wC và một ngẫu lực đồng phẳng MJCC . . qt qt * Chú ý: Dấu ( - ) cho ta biết chiều của R và M C ngược chiều của w C và  . 3.2.ăNGUYểNăLụăD’ALEMBERT 3.2.1.ăNguyênălỦăd’Alembertăđiăviăchtăđim Xét chất điểm M, khối lượng m, chuyển động trong hệ qui chiếu quán tính với gia tốc w , chịu tác dụng của lực F , phản lực liên kết N . Phương trình cơ bản của động lực học chất điểm: mw  Fk  F  N Chuyển vế, ta có: F N   mw0   Với Fmqt  w , do đó ta được: FNF qt  0 * Nguyên lý: Trong chuyển động của chất điểm, tại mỗi thời điểm các lực tác dụng lên chất điểm và lực quán tính của nó lập thành 1 hệ lực cân bằng. (FNF , ,qt ) 0 (3.6) * Chú ý: 1. Nguyên lý chỉ khẳng định sự cân bằng ốề lực chứ không phải sự cân bằng của chất điểm. 2. Trường hợp chất điểm không tự do, lực tác dụng lên chất điểm gồm hợp lực của lực hoạt động và phản lực liên kết. Các lực này gây nên sự biến đổi chuyển động, còn lực quán tính phụ thuộc vào sự biến đổi chuyển động đó. 53 3. Trạng thái cân bằng về lực được thiết lập ở mọi thời điểm. Nên có thể thiết lập các phương trình cân bằng đối với hệ trục động bất kỳ. 3.2.2. Nguyên lỦăd’Alembertăđiăviăcăh 3.2.1.1. Nguyên lý e i qt Nếu hệ có n chất điểm. Ta xét chất điểm thứ k chịu tác dụng của Fk , Fk và F e ( Nk và Fk được coi là ngoại lực Fk ). Áp dụng nguyên lý d’Alembert cho chất điểm thứ k ta có: e i qt (FFFk , k , k ) 0 Với toàn hệ, ta có: (FFFFFFe , i , qt ) e , i , 0 k k k  k  k  kqt  Biểu thức trên có thể viết là: e i qt FFFk  k   k  0 i Vì:  Fk  0 , vì vậy ta được: e qt FFkk0 (3.7) Và: m Fe m F i  m F qt  0 o k   o  k   o  k  Vì: mFi  0  ok  , vì vậy ta được: m Fe m F qt 0 (3.8) o k  o  k  Nguyên lý: Tại mỗi thời điểm, các lực tác dụng lên cơ hệ và các lực quán tính thuộc cơ hệ lập thành 1 hệ cân bằng. 3.2.1.2. Phương trình cân bằng tĩnh động Theo điều kiện cân bằng tổng quát của tĩnh học, đối với tâm thu gọn bất kỳ O, ta có: e i qt RFFFo k   k   k  0 M m Fe  m F i  m F qt  0 o o k   o  k   o  k  F i  0 và mFi  0 Do tính chất của nội lực:  k  ok  , nên ta có hệ phương trình: 54  FFe qt 0 kk  (3.9)  m Fe m F qt 0 o k  o  k  Hệ (3.9) gọi là hệ phương trình cân bằng tĩnh - động dạng vector * Chú ý: Ý nghĩa của nguyên lý d’Alembert là: 1. Chuyển bài toán động lực về bài toán tĩnh học sau khi đặt thêm các lực quán tính. 2. Cho phép xác định các phản lực liên kết xuất hiện khi hệ chuyển động, đó là phản lực động lực. 3.3.ăBĨIăTOÁNăÁPăDNGăNGUYểNăLụăD’ALEMBERT 3.3.1.ăPhmăviăápădng Nguyên lý d’Alembert giúp ta giải 1 bài toán động lực học bằng cách chuyển về bài toán tĩnh học sau khi đặt thêm các lực quán tính. Từ đó lập các phương trình cân bằng tĩnh động. Phương pháp này gọi là phương pháp tĩnh – động lực hình học. Nó áp dụng để tìm: 1. Điều kiện cân bằng tương đối. 2. Các đặc trưng động học v, w, ,  . 3. Các phản lực liên kết trong cơ hệ, phản lực động của các trục. Nguyên lý cho phép xác định các phản lực liên kết xuất hiện khi hệ chuyển động. Nghĩa là phản lực động (phản lực liên kết động). Phản lực liên kết gồm: - Phản lực tĩnh: do các lực hoạt động tĩnh sinh ra. - Phản lực động: do các lực quán tính sinh ra trong quá trình chuyển động. 3.3.2.ăTrìnhătăgii Các bước tiến hành giải bài toán phương pháp tĩnh động là: 1. Chọn vật hay hệ khảo sát và giả thiết các yếu tố động lực: w,  . 2. Xác định và đặt hệ lực tác dụng: gồm 2 loại: - Các ngoại lực tác dụng lên hệ (lực hoạt động và phản lực liên kết). - Các lực quán tính (lực quán tính và momen lực quán tính). 3. Chọn hệ trục toạ độ và thiết lập hệ phương trình cân bằng dưới dạng hình chiếu (theo nguyên lý d’Alembert). 4. Giải hệ phương trình cân bằng ấy. 3.3.3. Cácăvíăd 55 Ví dụ 3.1: Giải đề bài ở ví dụ 1.1 (H. 3.6). Giải: T z w qt F P Hình 3.6 - Xét thang máy như 1 chất điểm chuyển động tịnh tiến đi lên. - Hệ lực tác dụng lên chất điểm: + Trọng lực P và sức căng dây T . qt P + Lực quán tính F : Fqt  m.w  .w . g - Chọn trục z như hình vẽ. Theo nguyên lý d’Alembert, ta có: qt (PTF , , ) 0 Do đó: ZTPF  qt  0 P w  T  P  F qt  P  w  P 1(  ) g g w Trả lời: T  P 1(  ) g * Nhận xét: Sức căng T gồm: T  Tt Td . Sức căng tĩnh Tt  P do lực hoạt động gây w nên và sức căng động T  P. gây ra do lực quán tính. d g Ví dụ 3.2: Tìm áp lực của ô tô lên đỉnh cầu. Biết ô tô có trọng lượng P chuyển động với vận tốc là v, bán kính cong tại đỉnh cầu là  (H. 3.7). Giải: - Khảo sát ô tô như một chất điểm chuyển động tại đỉnh cầu. 56 F qt n R N qt Ft T P Hình 3.7 - Hệ lực tác dụng lên ô tô: + Ngoại lực: Trọng lực P và phản lực của cầu R ( RNT, T là lực kéo của xe). qt qt + Lực quán tính: FFtn, - PNTFF, , ,qt , qt  0 Theo nguyên lý d’Alembert, ta có:  tn Phương trình hình chiếu trên trục pháp tuyến n: qt FNPFnn    0 qt  N = P - Fn . Pv2 Mà: Fmqt .w . nng  Pv2 Vậy: NP g Ví dụ 3.3: Một dây treo vật A có trọng lượng Q quấn trên ròng rọc B có tâm O trọng lượng P và bán kính r. Biết rằng dây không trọng lượng và không dãn, bỏ qua ma sát tại ổ trục (H. 3.8). Ròng rọc có bán kính quán tính là  . Khi vật A chuyển động đi xuống theo phương thẳng đứng, tìm: a) Gia tốc góc của ròng rọc và phản lực tại O. b) Lực căng dây. Giải: a) Gia tốc góc của ròng rọc và phản lực tại O. - Cơ hệ gồm: Vật A chuyển động tịnh tiến đi xuống với gia tốc w và ròng rọc B chuyển động quay quanh tâm cố định O với gia tốc góc  . 57 - Hệ lực tác dụng: + Ngoại lực tác dụng lên hệ: P,Q, X O ,YO (phản lực tại tâm O). qt qt + Lực quán tính: FA ,M O . H l cân b : PQXYFM, , , ,qt , qt  0 ệ ực ằng OOAO  - Xác định hệ trục Oxy, áp dụng nguyên lý d’Alembert, ta có:  XX0 (a)  O  qt YYQPFOA     0 (b)  m F Mqt  F qt . r  Q . r  0 (c)  O k  O A Và:  Q Q F qt w r  A  .  ..  (d)  g g   qt P 2 M O  JO.  . . (e)  g qt y M Ro Yo O x Xo T w P qt qt A F A F Q Q Hình 3.8 (a)  X O = 0. Thế (d) và (e) vào (b) và (c), ta có: 58  Q Y  Q  P  r..   0 (f)  O  g  P Q  . 2 .  .r 2 .  Q.r  0 (g)  g g Q r.. g (g)    P 2  Qr 2 Q 2 .r 2 (f)  Y  Q  P  O P 2  Q.r 2 b) Lực căng dây. Để xác định lực căng dây T ta tách vật A, ta khảo sát vật A với hệ lực tác dụng là: QTF, ,qt  0.  A  Lập phương trình cân bằng theo phương y: qt Q Y  T  FA  Q  0  T  r..   Q  0 g Q Q Qrg Q2r 2  T  Q  r..   Q  r..  T  Q- g g P 2  Qr 2 P 2  Qr 2 Kết quả: Q r.. g Q2r 2 Q 2 .r 2   , T  Q- , X = 0, Y  Q  P  . P 2  Qr 2 P 2  Qr 2 O O P 2  Q.r 2 * Nhận xét: 1. Bài toán trong ví dụ 3.3 cũng có thể giải bằng định lý biến thiên momen động lượng như ví dụ 2.3 hoặc định lý biến thiên động năng. 2. Các phản lực liên kết trong ví dụ 2.3 là các phản lực tĩnh: X O = 0, Y0 = Q + P và T = Q, còn các phản lực liên kết trong ví dụ 3.3 có thêm thành phần phản lực động do lực quán tính gây ra. Do vậy khi xác định phản lực động chỉ cần xác định các lực quán tính tác dụng lên vật mà không cần các lực hoạt động (ví dụ 3.5). Ví dụ 3.4: Bàn D có trọng lượng Q đặt trên nền. Vật A có trọng lượng P được buộc vào đầu của đoạn dây, dây được vắt qua ròng rọc cố định C và đầu kia buộc vào vật B có trọng lượng P’ (H. 3.9). Tìm lực ép của bàn lên nền khi vật A chuyển động đi xuống. 59 Giải: - Xét cơ hệ gồm: Vật A, vật B và bàn D. - Hệ ngoại lực gồm: các lực hoạt động PPQ, ', và phản lực của nền N . qt qt - Hệ lực quán tính: FA F, B . - Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Theo nguyên lý d’Alembert ta có: qt qt (Q, P, P', N, FAB , F )  0 . qt Chiếu lên phương trục y: NQPPF  '0 A  . P Với: Fqt  .w . A g A P N  Q  P  P'.  w g A B qt FB C T F qt A A qt FA D P’ A P B NB Q w P N qt FB T P’ N’ Hình 3.9 + Để xác định wA , ta tách vật A và coi như chất điểm, áp dụng nguyên lý qt d’Alembert: (P, T, FA ) 0. Chiếu lên phương trục y: P P T  Fqt  P  0  T  .w  P  0  T  P - w (a) A g A g A qt + Để xác định T, ta tách tiếp vật B, tương tự: (P',NB F,T, B )  0 . Chiếu lên phương trục x: 60 P' T Fqt  0  T  Fqt  .w (b) B BAg P. g So sánh (b) và (a): w  . A P  P' P 2 Do đó: N  Q  P  P' P  P' P 2 Trả lời: Vậy sức ép của bàn lên nền là: N’ = N  Q  P  P' P  P' Ví dụ 3.5: Người ta gắn ở đầu thanh CD một khối lượng m, thanh CD nối với trục thẳng đứng AB có AB = a, AC = b, CD = c. Bỏ qua tác dụng của trọng lực (H. 3.10). Tìm áp lực động lực tại A và B nếu trục AB quay đều với vận tốc góc 0 . Giải: Ta áp dụng nguyên lý d’Alembert. - Hệ khảo sát: trục AB và thanh CD gắn vào AB. B NB c Fqt C a b ω YA A XA Hình 3.10 - Hệ lực tác dụng lên cơ hệ: + Phản lực liên kết động: XA ,YA ,NB . + Lực quán tính: Fqt. qt Vì trục AB quay đều ( ω0 = const) nên: w    0 do đó: M  0 Hệ lực cân bằng: X ,Y ,N F, qt   0 .  A A B  61 Áp dụng nguyên lý d’Alembert, ta có điều kiện cân bằng:  X X  N  Fqt  0 (a)  AB  Y YA 0 (b)  m F N .a  Fqt .b  0 (c)  A k  B qt qt 2 Và: F  m.wn  m.c.ω0 b bcm (c)  N  .Fqt  .ω2 B a a 0 qtbb qt qt 2b - a  cm 2 (a)  XAB N  F  F  F   1 mc.ωo  .ω 0 . a a a (b)  YA  0 b-a  cm bcm * Kết quả: X.ω22 ; Y  0; N  .ω . Aaa o A B o * Chú ý: Việc xuất hiện phản lực động làm giảm độ bền, giảm độ chính xác, giảm năng suất, gây hư hỏng máy. Vì vậy, cần phải triệt tiêu hoặc giảm phản lực động. Đối với trục quay, để triệt tiêu phản lực động thì trục quay z phải qua trọng tâm và là trục quán tính chính xC y C 0; J yz  J zx  0  hay trục quay là trục quán tính chính trung tâm. C. CÂU HỎI ÔN TP 1. Lực quán tính của chất điểm là gì? Nhận xét về lực quán tính. 2. Nguyên lý d’Alembert đối với chất điểm. 3. Nguyên lý d’Alembert đối với cơ hệ. 4. Trình tự giải bài toán động lực học bằng phương pháp tĩnh động. 5. Phân biệt phản lực, phản lực tĩnh, phản lực động. 62 Chng 4. NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KH DĨ A. MC TIÊU - Hiểu được nguyên lý di chuyển khả dĩ (DCKD) và áp dụng nó để giải các bài toán cân bằng của các cơ hệ bất kỳ. B. NỘI DUNG 4.1.ăCÁCăKHÁIăNIM 4.1.1.ăDiăchuynăkhădƿă(diăchuynăo) - Định nghĩa: Di chuyển khả dĩ (di chuyển ảo) là các di chuyển vô cùng bé (VCB) của các chất điểm mà liên kết cho phép (không làm phá vỡ liên kết). - Ký hiệu di chuyển của chất điểm: Łr s,   và hướng theo chiều của di chuyển. - Ví dụ: + Điểm A nằm trên đường thẳng D có thể di chuyển về hai phía trên đường thẳng (H. 4.1a). Nếu chọn chiều dương (+) thì di chuyển của A là VCB và phù hợp liên kết thì chất điểm có 1 di chuyển khả dĩ độc lập. Ta nói chất điểm A có một DCKD độc lập và có 1 bậc tự do. y B y x x A B x O x a) b) Hình 4.1 + Điểm B nằm trên mặt phẳng Oxy (H. 4.1b) có vô số DCKD Łr , nhưng mọi di chuyển khả dĩ đều phân tích theo 2 phương x và y vuông góc với nhau: Łrx . i y . j , trong đó xy, là 2 thành phần độc lập của Łr nằm trên 2 trục với các vector đơn vị ij, . Di chuyển của B nằm trong Oxy là VCB và phù hợp liên kết, ta nói chất điểm B nằm trên mặt phẳng có 2 DCKD độc lập và có 2 bậc tự do. Nếu B di chuyển theo phương vuông góc với Oxy, thì không phải di chuyển khả dĩ. 63 * Nhận xét: 1. DCKD chỉ ra những khả năng di chuyển của cơ hệ từ vị trí đang xét phù hợp với liên kết, không quan hệ với lực tác dụng, không diễn ra trong thời gian và không phụ thuộc vào điều kiện đầu như di chuyển thực. 2. Các di chuyển thực thoả mãn điều kiện VCB cũng là các di chuyển khả dĩ 4.1.2.ăCôngăkhădƿă(côngăo) - Định nghĩa: Công khả dĩ (công ảo) là công sinh ra bởi lực tác dụng lên chất điểm trên di chuyển trùng với di chuyển khả dĩ của chất điểm đó. - Kí hiệu: + Công khả dĩ của lực hoạt động ( F ): AF  F. r . + Công khả dĩ của phản lực liên kết ( N ): AN  N. r . 4.1.3.ăLiênăktălỦătng - Định nghĩa: Liên kết lý tưởng là liên kết mà tổng công của tất cả các phản lực liên kết trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệ đều bằng không. N ŁAkk  N . rk 0 (4.1) - Ví dụ: Chất điểm tựa trên mặt trơn nhẵn vì phản lực N nằm trên phương pháp N tuyến n nên: ŁAk  .N rk  0, nên chất điểm này chịu liên kết lý tưởng. * Chú ý: 1. Lực tác dụng lên cơ hệ được chia làm 2 loại: lực hoạt động Fk và phản lực liên kết N k 2. Mọi liên kết không ma sát đều liên kết lý tưởng. Thực tế, nếu bỏ qua ma sát và tính đàn hồi thì đa số các liên kết đều là lý tưởng, như: vật rắn quay quanh trục cố định, vật liên kết bản lề, liên kết dây mềm, đều là các liên kết lý tưởng. 3. Một số liên kết có ma sát có thể coi là liên kết lý tưởng, như bánh xe chuyển động song phẳng lăn không trượt trên mặt đường, bỏ qua ngẫu lực ma sát lăn, ma sát trượt giữa bánh xe và mặt đường không sinh công. 4.1.4.ăSăbcătădoăcaăc h 4.1.4.1. Định nghĩa Số bậc tự do của cơ hệ là số tối đa các di chuyển khả dĩ độc lập của cơ hệ. 64 Xét chất điểm M chuyển động trên đường cong (H. 4.2). Mọi DCKD  r của chất điểm đều nằm trên tiếp tuyến của đường cong tại M, khi chọn 1 DCKD  r0 nào đó của chất điểm làm cơ sở thì:  r   r0 với  là hằng số. Vậy chất điểm có 1 bậc tự do. r M r0 s O Hình 4.2 Đối với chất điểm chuyển động trên bề mặt cong, mọi DCKD của chất điểm đều được viết dưới dạng:  r  1 r1  2 r2 thì chất có 2 bậc tự do. - Ví dụ: + Vật chuyển động tịnh tiến thẳng: có 1 di chuyển độc lập khả dĩ Łs  một bậc tự do. + Vật chuyển động tịnh tiến phẳng: có 2 di chuyển độc lập khả dĩ theo 2 phương  hai bậc tự do. + Vật chuyển động quay quanh trục cố định: có 1 di chuyển độc lập khả dĩ Ł  một bậc tự do. + Vật chuyển động song phẳng: có 3 di chuyển độc lập khả dĩ (2 theo điểm chọn làm cực và 1 quay quanh cực)  ba bậc tự do. + Chất điểm tự do trong không gian: có 3 bậc tự do. + Vật rắn tự do: có 6 bậc tự do. 4.1.4.2. Phương pháp thực hành xác định bậc tự do của cơ hệ: - Giả sử cơ cấu đang chuyển động, nếu ta dừng 1 khâu nào đấy (chuyển động tịnh tiến hoặc quay) mà toàn bộ cơ cấu phải dừng lại thì hệ có 1 bậc tự do. Nếu giữ đến khâu thứ hai mới dừng thì hệ có 2 bậc tự do. Tóm lại, nếu cơ hệ được cố định bởi bao nhiêu khâu thì có số bậc tự do bằng số khâu được cố định. 65 Ví dụ 4.1: Xác định số bậc tự do của các cơ hệ cho trên hình vẽ (H. 4.3) Giải: sA sA A A B s B B C a) b) Hình 4.3 - Cơ hệ ở Hình 4.3a: Ta định vị vật A bởi toạ độ s A thì vật B được định vị theo. Vậy cơ hệ có 1 bậc tự do. - Cơ hệ ở Hình 4.3b: Ta định vị vật A bởi toạ độ s A thì vật B và vật C vẫn chưa được định vị. Ta chọn thêm toạ độ sB để định vị vật B thì vật C được định vị. Vậy cơ hệ có 2 bậc tự do. 4.2.ăNGUYểNăLụăDIăCHUYNăKHăDƾ Nguyên lý: Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết lý tưởng cân bằng tại 1 vị trí đã cho là tổng công nguyên tố của các lực hoạt động trong mọi di chuyển khả dĩ của hệ đều bằng không. Biểu thức: F ŁAk = F k . r k  0 (4.2) Chứng minh: F - Điều kiện cần: GT: Hệ cân bằng  KL: ŁAk  0. Cơ hệ cân bằng nên chất điểm phải cân bằng: Fk  Nk  0. 66 Với DCKD  rk bất kỳ của chất điểm, ta có: Fk . rk  Nk . rk  0. Đối với toàn cơ hệ: Fk . rk  Nk . rk  0. N Do hệ chịu liên kết lý tưởng ( ŁAk  Nk . rk  0 ) do đó: F Ak  Fk . rk  0 F - Điều kiện đủ: GT: ŁAk  0  KL: Hệ cân bằng. GT cơ hệ khởi động từ vị trí đạng xét, thì độ biến thiên động năng của cơ hệ sẽ dương dT > 0. Áp dụng định lý biến thiên động năng: dTk  Fk . rd k  Nk . rd k  0 N Hệ chịu liên kết lý tưởng nên: ŁAk  Nk . rk  0 , suy ra: Fk . rk  0 Điều này trái với giả thiết, nên hệ cân bằng. * Chú ý: 1. Biểu thức (4.2) có thể viết dưới dạng giải tích: F ŁAk (F.x xk k FF yk .y  k  zk .z)0  k  (4.3) 2. Nếu lực hoạt động còn có momen M k thì biểu thức (4.2) sẽ thành: F ŁAk  F.k  sk  M k . k  0 (4.4) 3. Số phương trình viết dưới dạng (4.2) bằng với số bậc tự do của cơ hệ. 4.3. BÀI TOÁN ÁP DNGăNGUYểNăLụăDIăCHUYNăKHăDƾ 4.3.1. Các bài toán Nguyên lý DCKD thiết lập được điều kiện cân bằng của cơ hệ bất kỳ ở dạng tổng quát. Do đó nó cho phép ta chuyển bài toán tĩnh học sang bài toán động học để giải đơn giản hơn. Nguyên lý này có thể vận dụng giải được những bài toán khi có ma sát và coi lực ma sát như là lực hoạt động. Tương tự cũng có thể áp dụng để tính các phản lực liên kết. Bài toán áp dụng nguyên lý DCKD có 2 loại: 67 - Tìm liên hệ giữa các lực hoạt động để hệ cân bằng. - Xác định phản lực khi hệ cân bằng (xem như lực hoạt động) 4.3.2.ăTrìnhătăgii 1. Xác định hệ khảo sát và số bậc tự do. Hệ phải có liên kết lý tưởng. 2. Đặt các lực hoạt động lên hệ (có thể là lực ma sát hoặc phản lực) 3. Cho hệ 1 di chuyển khả dĩ tuỳ ý rồi biểu diễn các di chuyển khả dĩ các điểm đặt lực của lực hoạt động theo di chuyển khả dĩ đã cho. 4. Lập điều kiện cân bằng theo nguyên lý [như biểu thức (4.2), (4.3) hoặc (4.4)]. Đối với hệ nhiều bậc tự do, ta lập các điều kiện cân bằng riêng cho từng dịch chuyển khả dĩ độc lập còn lại. Số phương trình cân bằng bằng số bậc tự do của cơ hệ. 5. Giải để tìm các kết quả. Ví dụ 4.2: Hai vật A và B cùng trọng lượng P được nối với nhau bằng sợi dây không dãn, không trọng lượng được lồng qua các ròng rọc cố định C, E và ròng rọc động D (H. 4.4). Tại tâm ròng rọc D có treo vật K trọng lượng Q. Bỏ qua trọng lượng các ròng rọc và ma sát ở các trục ròng rọc. Xác định: a) Biểu thức quan hệ giữa P và Q. b) Hệ số ma sát f giữa vật A và mặt phẳng nằm ngang. Giải: - Hệ khảo sát: Các vật A, B, K và các ròng rọc. - Hệ có 2 bậc tự do nên có 2 điều kiện cân bằng. - Ta xem lực ma sát Fms giữa vật A và mặt phẳng: Fms  f .N  f. P là lực hoạt động của hệ lực cân bằng, nên hệ có liên kết lý tưởng. - Các lực hoạt động: P,Q,,P F ms . Hệ có 2 bậc tự do nên ta lập được 2 phương trình cân bằng. a) Biểu thức giữa P và Q: Cố định vật A cho vật B đi lên 1 đoạn sB , đồng thời vật K đi xuống 1 đoạn sK . Theo nguyên lý DCKD, ta có : F  A  Q.sK  P.sB  0 (a) Mặt khác: sB  2sK , thay vào (a), ta có:  Q.sK  P 2. sK  (Q  2P)sK  0 Hay: - Q + 2P = 0  Q = 2P 68 N E SA A C SB B Fms P D P SK K Q Hình 4.4 b) Hệ số ma sát f: Cố định vật B cho vật K rơi xuống 1 đoạn sK , đồng thời vật A di chuyển 1 đoạn s A . Theo nguyên lý DCKD, ta có : F A Q.sK  Fms .sA  0. (b) Mà: sA  2sQ .  Q.sK  Fms 2. sK  (Q  2 f.) P sK  0 Q  Q – 2 f.P = 0  f  1. 2P Kết quả: Q = 2P, f = 1. * Nhận xét: Ta có thể chuyển 1 số bài toán chịu liên kết không lý tưởng thành liên kết lý tưởng bằng cách xem các lực ma sát là lực hoạt động. Ví dụ 4.3: Hai dầm AC và CD nối với nhau bằng bản lề tại C và chịu tải trọng của lực P đặt tại E (H. 4.5). Tìm phản lực tại các gối đỡ A, B và D. Bỏ qua trọng lượng các dầm Giải: 69 - Hệ khảo sát: Các dầm AC và CD. - Hệ đã cho có bậc tự do bằng 0. Muốn tính các phản lực liên kết bằng nguyên lý DCKD ta phải giải phóng liên kết bằng các phản lực tương ứng để hệ đã cho là hệ có 1 bậc tự do rồi giải. - Bỏ qua ma sát nên các liên kết là liên kết lý tưởng. b a P B C E A D c d P SA C B E D A SC NA SE B SB C E SE D A NB P C SD B SE D A E ND Hình 4.5 * Xác định phản lực tại A: Để xác định phản lực tại gối A ta thay gối đỡ cố định B bằng phản lực liên kết N A và coi như lực hoạt động - Các lực hoạt động: PN, A . - Hệ có 1 bậc tự do nên có điều kiện cân bằng theo nguyên lý DCKD: F Ak N A.  s A  P .  s E  0 (a) 70 Vì hệ 1 bậc tự do mà lại có 2 DCKD nên ta phải tìm quan hệ giữa chúng. Áp dụng tính chất tỉ lệ của tam giác đồng dạng, ta có:  sA aa  ssAC  .  sC c a c a  sE bb  ssEC  .  sC d d ab Thay vào (a): N. s P . . s 0 ACCc a d ab Hay: (N . P ). s 0 ACc a d ab Vì:  s0  N .  P  0 CAc a d bca  Vậy: N. P A ad * Xác định phản lực tại B: Để xác định phản lực tại gối B ta thay gối đỡ di động B bằng phản lực liên kết N B và coi như lực hoạt động - Các lực hoạt động: P, N B . - Hệ có 1 bậc tự do nên có điều kiện cân bằng theo nguyên lý DCKD: F Ak N B.  s B  P .  s E  0 (b) Vì hệ 1 bậc tự do mà lại có 2 DCKD nên ta phải tìm quan hệ giữa chúng. Áp dụng tính chất tỉ lệ của tam giác đồng dạng, ta có:  sC ca  ssBC  .  sB a c  sC db  ssEC  .  sE b d ab Thay vào (b): N. s P . . s 0 BCCcd ab Hay: (N . P ). s 0 BCcd ab Vì:  s0  N .  P  0 CBcd bc Vậy: N. P B ad 71 * Xác định phản lực tại D: Để xác định phản lực tại gối D ta thay gối đỡ di động B bằng phản lực liên kết ND và coi như lực hoạt động - Các lực hoạt động: PN, D . - Hệ có 1 bậc tự do nên có điều kiện cân bằng theo nguyên lý DCKD: F Ak N D.  s D  P .  s E  0 (c) Vì hệ 1 bậc tự do mà lại có 2 DCKD nên ta phải tìm quan hệ giữa chúng. Áp dụng tính chất tỉ lệ của tam giác đồng dạng, ta có:  sE d b d b  ssED  .  sD d d db Thay vào (c): N. s P . . s 0 DCDd db Hay: (N P . ). s 0 DDd db Vì:  s00  N  P  DDd d - b Vậy: N. P D d * Nhận xét: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp tĩnh học hình học, nhưng lời giải sẽ dài hơn, vì: phải xét cân bằng của từng đoạn dầm và phải đặt các phản lực liên kết khác mà sau này ta phải loại khỏi các phương trình cân bằng. C. CÂU HỎI ÔN TP 1. Trình bày các khái niệm: di chuyển khả dĩ, bậc tự do của cơ hệ. Phương pháp thực hành xác định bậc tự do của cơ hệ. 2. Thế nào là công khả dĩ, liên kết lý tưởng? Ý nghĩa của liên kết lý tưởng. 3. Nội dung của nguyên lý di chuyển khả dĩ. Áp dụng nguyên lý để giải các dạng bài toán nào? 72 Chng 5. PHNG TRÌNH D'ALEMBER - LAGRANGE VÀ PHNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II A. MC TIÊU - Hiểu được nguyên lý d’Alembert - Lagrange và phương trình tổng quát ĐLH để giải các bài toán chuyển động hay cân bằng của cơ hệ (phương pháp tĩnh – động lực giải tích). - Hiểu và giải được các bài toán về phương trình Lagrange loại II. B. NỘI DUNG 5.1.ăPHNGăTRỊNHăD'ALEMBERTă- LAGRANGE 5.1.1.ăKháiănim - Nguyên lý d’Alembert cho phép chuyển bài toán ĐLH thành bài toán cân bằng tĩnh học. - Nguyên lý DCKD cho phuơng pháp tổng quát giải bài toán cân bằng tĩnh học bằng cách đưa về bài toán ĐLH. Do đó, kết hợp 2 nguyên lý trên sẽ cho ta phương pháp tổng quát để giải bài toán ĐLH. Đó là nguyên lý d’Alembert – Lagrange. 5.1.2.ăNguyênălỦăd’Alembertă ậ LagrangeăvƠăphngătrìnhătngăquátăđngălcă hc Xét hệ chất điểm với các liên kết lý tưởng đang hoạt động. Có các lực hoạt động qt Fk , phản lực liên kết Nk , tại mỗi thời điểm lực quán tính Fk mk .wk sẽ ở trạng thái cân bằng (theo nguyên lý d’Alembert). qt Fk  Nk  Fk  0 Cho hệ 1 DCKD, chất điểm k có DCKD  rk , theo nguyên lý DCKD ta có: F N qt Ak Ak Ak  0 N Do hệ chịu liên kết lý tuởng nên: Ak Nk . rk  0 F qt Do đó: Ak  Ak  0 (5.1) qt Hay: Fk  Fk rk  0  Fk mk .wk rk  0 (5.2) 73  Nguyên lý: Nếu cơ hệ chịu liên kết lý tưởng thì tại mỗi thời điểm tổng công nguyên tố của các lực hoạt động và các lực quán tính trên mọi di chuyển khả dĩ của hệ đều bằng không. Biểu thức (5.1) và (5.2) gọi là phương trình tổng quát động lực học. * Chú ý: 1. Phương trình (5.2) được biểu diễn dưới dạng toạ độ Descartes: X  m .x x  Y m .y y  Z m .z z 0  k k k k k k k k k k k k (5.3) 2. Trường hợp cơ hệ gồm các vật rắn, ta thay hệ lực quán tính của các chất điểm bằng các lực quán tính thu gọn của từng vật rắn. 5.1.3.ăBƠiătoánăápădngăphngătrìnhăd’Alembertăậ Lagrange 5.1.3.1. Phương pháp giải Phương pháp giải bài toán ĐLH bằng cách áp dụng nguyên lý d’Alembert – Lagrange được gọi là phương pháp tĩnh – động lực giải tích. Cách giải giống như bài toán nguyên lý DCKD, tuy nhiên ngoài tính công của các lực hoạt động ta phải kể thêm công của các lực quán tính. 5.1.3.2. Trình tự giải bài toán Tiến hành giải bài toán theo các bước sau: 1. Xác định hệ khảo sát và số bậc tự do, giả thiết về chiều , . 2. Đặt hệ lực tác dụng gồm: - Các lực hoạt động Fk . - Các lực quán tính F qt , M qt . 3. Cho hệ 1 di chuyển khả dĩ tuỳ ý, biểu diễn tất cả các di chuyển khả dĩ khác của hệ theo di chuyển khả dĩ đã cho rồi lập phương trình tổng quát của hệ: F qt Ak  Ak  0 4. Giải phương trình. Ví dụ 5.1: Hai vật A và B có trọng lượng P1 và P2 được nối với nhau bằng sợi dây không trọng lượng và co dãn vắt qua ròng rọc O có bán kính r trọng lượng Q (H. 5.1). Biết P1  P2 và coi ròng rọc như 1 vành tròn đồng chất. Xác định gia tốc của vật A Giải: 74 qt ε Mo O Q SB w B qt FB A P2 SA qt FA P1 Hình 5.1 - Hệ khảo sát: vật A, vật B và ròng rọc O. Hệ 1 bậc tự do có liên kết lý tưởng. - Hệ lực tác dụng: + Lực hoạt động: P1 , P2 ,Q . qt qt qt + Lực quán tính: FA ,FB ,M O với giả thiết gia tốc wA, wB ,  có chiều như w hình vẽ và: w  w  w,   . A B r P P P P Q w Qr F qt  1 .w  1 .w, F qt  2 .w  2 .w , M qt  J .  ..r 2   . A g A g B g B g O O g r g - Cho 1 DCKD: vật A đi xuống s A , vật B sẽ đi lên 1 sB  sA  s , ròng rọc O s s sẽ quay 1 góc   A  . r r Áp dụng nguyên lý d’Alembert – Lagrange: qt qt qt P1.sA  P2 .sB  FA .sA  FB .sB  M O .  0 P P Qr s  P.s  P .s  1 ..ws  2 ..ws  ..w  0 1 2 g g g r P  P  w  1 2 .g P1  P2  Q 75 * Chú ý: Bài toán ở ví dụ 5.1 có thể giải bằng định lý biến thiên momen động lượng: dLz  mz Fk . dt  P P Q v r Với: L  LA  LB  LC  1 v.. r  2 v.. r  ..r 2  P  P  Q .v . z z z z g. g g r g 1 2 dL r  z  P  P  Q .w dt g 1 2 Và: mzk F   P12 P  r P  P Vậy: w  1 2 .g P1  P2  Q Ví dụ 5.2: Con lăn A chuyển động lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng với phương ngang 1 góc  để nâng vật nặng C có trọng lượng P nhờ sợi dây không co dãn, không trọng lượng vắt qua ròng rọc cố định B. Con lăn A và ròng rọc B được coi như những đĩa tròn đồng chất có cùng bán kính r, cùng trọng lượng Q (H. 5.2). Tìm gia tốc tâm O của con lăn A. Giải: - Hệ khảo sát: Con lăn A + ròng rọc B + vật C. Hệ 1 bậc tự do có liên kết lý tưởng. - Hệ lực tác dụng: + Lực hoạt động: P, Q, Q . qt qt qt qt + Lực quán tính: FA , FC ,M A , M B với giả thiết gia tốc w, wC ,  có chiều như w hình vẽ và: w  w,   . C r Q P P Q w Qr F qt  .w, F qt  .w  .w, M qt  M qt  J .  ..r 2  .w. A g C g C g A B O 2g r 2g - Cho 1 DCKD: con lăn A đi xuống s , vật C sẽ đi lên 1 sC  s , con lăn A và s ròng rọc B sẽ quay 1 góc   . r - Áp dụng nguyên lý d’Alembert – Lagrange cho cơ hệ: qt qt qt qt Qsin FAABC   s  M .   M .    P  F   s  0 Thay các giá trị của lực quán tính và quan hệ giữa các di chuyển khả dĩ, ta có: 76  Q  Qr s  P  Qsin  .w s  2 ..w   P  ws  0  g  2g r  g  w  2Q  P   Qsin  P g Qsin  P Vậy gia tốc tâm con lăn: w  .g 2Q  P B qt MB A qt FA qt MA w O Q S S Q Fms C N qt FC P α Hình 5.2 * Chú ý: 1. Bài toán ở ví dụ 5.2 có thể giải bằng định lý động năng. e Áp dụng định lý động năng: T1   Ak P  2Q Với: T  T  T  T  .v2 1 A B C 2g C e Và:  Ak  Qsin  P .s P  2Q  .v2  Qsin  P .s 2g C P  2Q Đạo hàm 2 vế: .2. w v  Qsin  P .v 2g CC C Qsin  P  w  .g 2Q  P 2. Bài toán lăn không trượt luôn tồn tại lực ma sát, nhưng lực ma sát không sinh công trong mọi DCKD của con lăn nên liên kết này là liên kết lý tưởng. 5.2.ăPHNGăTRỊNHăLAGRANGEăLOIăII 5.2.1.ăCácăkháiănimămărngăăăăăă 77 5.2.1.1. Toạ độ sỐy rộng - Định nghĩa: Toạ độ suy rộng là các thông số độc lập đủ để xác định vị trí của cơ hệ trong 1 hệ qui chiếu xác định - Kí hiệu: q1,q2,...,qn  qk . * Chú ý: 1. Tọa độ suy rộng có thể là đoạn thẳng, các cung, các góc, các diện tích, không kể có thứ nguyên, có ý nghĩa hình học hoặc ý nghĩa 2. Số thông số độc lập đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ, nên việc chọn tọa độ suy rộng gắn liền với việc xác định số bậc tự do của cơ hệ. - Ví dụ: Con lắc phẳng (H. 5.3) có 1 bậc tự do (s = 1), nên vị trí của nó đựợc xác định bằng 1 toạ độ suy rộng q. Ta có thể lấy góc  , độ dài cung s hoặc diện tích quạt S (nhưng phải chọn chiều dương). Nếu ta chỉ chọn tung độ y làm toạ độ suy rông sẽ không xác định vị trí của điểm M vì có 2 vị trí cùng tung độ y. Nếu ta lấy góc  làm toạ độ suy rộng và cho 1 DCKD  , có thể biểu diễn của điểm M trong toạ độ Descartes: x  l.cos; y  l.sin (l = OM). Khi đó, ta có biểu thức: r  r() . xM O x  yM M A s y Hình 5.3 5.2.1.2. Lực sỐy rộng 78 a) Định nghĩa: Nếu thực hiện một di chuyển khả dĩ sao cho mọi toạ độ suy rộng dều biến thiên đồng thời thì biểu thức tổng công nguyên tố của các lực hoạt động trên di chuyển khả dĩ ấy viết dưới dạng: F Ak  Q1.q1  Q2 .q2 ...  Qn .qn (5.4). Các hệ số của các biến thiên toạ độ suy rộng trong biểu thức (12.1) trên được gọi là những lực suy rộng của hệ. Lực suy rộng Q j tương ứng với toạ độ suy rộng q j là: Aj Aj  Qj .q j  Qj  (5.5) q j * Chú ý: 1. Thứ nguyên của lực suy rộng Q j bằng thứ nguyên của công chia cho thứ nguyên của tọa độ suy rộng. 2. Trường hợp hệ là các lực thế U  Uxk , yk , zk  và    U , lực suy rộng đựơc xác định:  Q j   ; ( j  2,1 ,..., s) (5.6) q j b) Tính các lực suy rộng Ta tiến hành theo công thức (5.2) và qui về việc tính công khả dĩ. Ta tiến hành như sau: 1. Xác định số bậc tự do của cơ hệ. 2. Xác định hệ tác dụng gồm lực hoạt động và lực ma sát (nếu sinh công). 3. Chọn các toạ độ suy rộng rồi đặt các lực tác dụng lên sơ đồ. 4. Cho 1 DCKD q1 chỉ toạ độ q1 thay đổi, rồi tính công cho DCKD này. 5. Xác định đại lượng Q1 là hệ số thuộc q1 trong biểu thức này. Tiếp tục làm tương tự cho các lực Q2 ,Q3 ,... Ví dụ 5.3: Tính lực suy rộng của cơ hệ như hình vẽ (H.5.4), trong đó vật A trọng lượng P chuyển động trên mặt phẳng nghiêng nhẵn một góc , vật B trọng lượng Q chuyển động trên mặt ngang có hệ số ma sát f . Cả 2 vật được nối với nhau bằng 1 sợi dây vắt qua ròng rọc O. Bỏ qua trọng lường ròng rọc và dây. Giải: - Hệ có 1 bậc tự do. 79 - Hệ lực tác dụng: PQF,,ms - Vị trí đựợc xác định bằng toạ độ q1  x. N B Fms O Q A P Hình 5.4 α - Cho 1 DCKDx , công khả dĩ: A  AP AQ Ams  P.sin x  Fms .x  (.P sin  fQ)x . Vậy: Q1  P.sin  f .Q 5.2.2.ăPhngătrình Lagrange loiăII 5.2.2.1. Trường hợp chỐng Cơ hệ liên kết lý tưởng có s bậc tự do tương ứng s tọa độ suy rộng thì phương trình tổng quát động lực học của hệ được viết thành s phương trình và gọi là những phương trình Lagrange của hệ: d  T  T     Q (j 1,2,..., s) (5.7)    j dt  q j  q j Trong đó: T  Tq1,q2 ,..., qs q1,q2 ,..., qs  là động năng của hệ. * Chú ý: 1. Các phương trình (5.7) là hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ dưới dạng toạ độ suy rộng được gọi là phương trình Lagrange loại II. 2. Đây là hệ phương trình vi phân cấp 2 đối với toạ độ suy rộng q1,q2 ,..., qs có số phương trình đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ. 5.2.2.2. Trường hợp lực hoạt động là lực thế: Gọi hàm thế là:   (q1,q2 ,..., qs ) . 80 d  T  T  Từ biểu thức (5.7)       (j 1,2,...,s).    dt  q j  q j q j  Do:  0 , nên có thể viết. q j d  T    T           0 (j  1,2,...,s) (5.8)       dt  q j q j   q j q j  Đặt L = T -  gọi là hàm Lagrange nên (5.8) có dạng: d  L  L     0 (j 1,2,...,s) (5.9)    dt  q j  q j 5.2.3.ăBƠiătoánăápădngăphngătrìnhăLagrangeăloiăII 5.2.3.1. Áp dụng Phương trình Lagrange loại II cho ta 1 phương pháp duy nhất và khá đơn giản để giải bài toán động lực học. Dạng phương trình cũng như số phương trình không phụ thuộc vào số lượng các vật (hay chất điểm) của cơ hệ và cũng không phụ thuộc vào chuyển động của các vật đó mà nó chỉ phụ thuộc vào số bậc tự do của hệ (s). Ngoài ra các liên kết là liên kết lý tưởng nên trong phương trình chỉ có các lực hoạt động suy rộng mà không có phản lực liên kết Ta có số phương trình bằng số bậc tự do của hệ. 5.2.3.2. Trình tự giải bài toán 1. Xác định cơ hệ khảo sát, hệ lực hoạt động tác dụng, số bậc tự do của hệ và chọn những toạ độ suy rộng. 2. Xét hệ ở 1 vị trí bất kỳ, đặt các lực hoạt động Fk tác dụng lên hệ. Tính động năng T của hệ, biểu diễn T theo các toạ độ suy rộng q j và q j . T  Tq j,q j  3. Tính lực suy rộng Q j được xác định từ biểu thức tính công. Aj Aj  Qj .q j  Qj  q j 4. Tính các đạo hàm rồi thay vào phương trình (5.7): 81 d  T  T     Q (j 1,2,..., s)    j dt  q j  q j 5. Giải phương trình để tìm các các trị số cần thiết. Ví dụ 5.4: Thiết lập phương trình vi phân của vật rắn quay quanh trục cố định (H. 5.5). Giải: - Hệ khảo sát: Vật rắn quay quanh trục z. Hệ lực tác dụng: F1, F2, ..., Fn. Số bậc tự do: 1. Tọa độ suy rộng: q1  . z vK O mK FK ω Hình 5.5 - Phương trình Lagrange loại II: d  T  T     Q d     Ta có biểu thức tính động năng trong chuyển động quay: 1 T  ..J  2 2 z Cho hệ 1 DCKD   0, ta có: F A  Mk . k  mz Fk . k - Lực suy rộng là: Q  mz Fk  82 d  T  T d 1     - Đạo hàm:      x2.J z .   J z. d     dt  2   Vậy: J z .  mz Fk  Ví dụ 5.5: Một vật A trọng lượng P được buộc vào đầu một sợi dây không trọng lượng và co dãn vắt qua ròng rọc cố định O, đầu kia cuốn vào khối trụ B có trọng lượng Q, bán kính r (H. 5.6). Vật A có thể trượt trên mặt phẳng ngang và có hệ số ma sát là f. Tìm gia tốc vật A và gia tốc tâm C của khối trụ khi hệ chuyển động, bỏ qua khối lượng ròng rọc. Xem ròng rọc là vành tròn đồng chất. Giải: - Cơ hệ gồm: Vật A và vật B. Cơ hệ có 2 bậc tự do. Hệ lực hoạt động: P,Q,Fms (coi lực ma sát là lực hoạt động) Chọn toạ độ suy rộng: q1  x (khoảng cách từ vật A đến điểm B cố định nào đó) q2  y (khoảng từ C đến điểm O cố định). x N x A O Fms P y y B C Q Hình 5.6 Phương trình Lagrange của hệ sẽ là:  d  T  T      Qx dt  x  x  (a)  d  T  T     Qy dt  y  y 83 - Biểu thức công của các lực hoạt động: + Cho hệ 1 DCKD x  ,0 y  0, khi đó: F A  AQ AP AFms  PQ.x  Fms .x  (Q  fP)x Lực suy rộng ứng với toạ độ x: Q x  Q  fP F + Cho hệ 1 DCKD x  ,0 y  0, tương tự: A  Q.y  Qy  Q . - Biểu thức động năng của hệ: TTTAC (b) 1 P 1 P Vật A chuyển động tịnh tiến: T  v 2  .x 2 A 2 g A 2 g 1 Q 1 Vật C chuyển động song phẳng T  v 2  J  2 C 2 g C 2 C Trong đó: + vA  x + vC là vận tốc tâm khối trụ C bằng vận tốc tương đối (đối với dây) vr  y và vận tốc theo ve  x . Vì cả 2 lực đều có chiều đi xuống, nên vC  vr  ve  x  y . v y +  là vận tốc góc của khối trụ:   r  (vật C lăn không trượt tương đối r r so với dây, D là tâm vận tốc tức thời), khi x biến đổi thì C không quay. 1 Q + J  r 2 C 2 g Thay vào (b): 1 P 2 1 Q  2 1 2  1 P  Q 2 3 Q 2 Q T  x  x  y   y = x  y  x.y  2 g 2 g  2  2 g 4 g g Do đó: T P Q d  T  P Q T  x.  x  y  ,    x   x  y  ,  0 x g g dt  x  g g x T Q  1  d  T  Q  1  T   x  y  y  ,    x  y  y  ,  0 y g  2  dt  y  g  2  y Thế các giá trị vào (b) ta được: 84  PQ  x x  y   Q - fP  gg  PP  11x y  . y  Q  gg (P  Q)x  Qy  (Q  fP)g  2x  3y  2g Giải 2 phương trình trên ta được: Q  3 fP 1(2  f )P x  g và y  g Q  3P Q  3P Ta suy ra gia tốc khối tâm của A và C là: Q  3 fP w  x  g A Q  3P Q  P 2(  f ) w  x  y  g . C Q  3P * Nhận xét: 1. Ta có thể chọn toạ độ suy rộng theo nhiều cách. 2. Để tìm qui luật chuyển động của các khối tâm ta tích phân và được kết quả là các chuyển động biến đổi. C. CÂU HỎI ÔN TP 1. Phát biểu nguyên lý d’Alembert – Lagrange và phương trình tổng quát động lực học? 2. Trình tự giải bài toán bằng cách áp dụng phương trình tổng quát động lực học 3. Thế nào là toạ độ suy rộng, lực suy rộng? 4. Phương trình Lagrange loại II? 5. Trình tự giải bài toán bằng cách áp dụng phương trình Lagrange loại II. 85 TỔNG KẾT PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC ĐLH là phần lý thuyết toàn diện nhất của Cơ lý thuyết: Khảo sát chuyển động của các vật thể trong mối tương quan với lực. Những nội dung chủ yếu nhất gồm các chương: Chương 1. Các định luật của Newton và phương trình vi phân chuyển động Chương 2. Các định lý tổng quát của Động lực học Chương 3. Nguyên lý d’Alembert Chương 4. Nguyên lý di chuyển khả dĩ Chương 5. Phương trình d'Alembert – Lagrange và Phương trình Lagrange loại II. Giải mọi bài toán ĐLH chung qui là giải 2 bài toán cơ bản: tìm lực (theo chuyển động) hay tìm chuyển động (theo lực) và lý thuyết để giải các bài toán được áp dụng theo các quan điểm khác nhau đã học nhằm mục đích giải bài toán được hiệu quả. - Chngă1: Đây là phần lý thuyết cơ bản của ĐLH, ta lập các định luật cơ bản làm cơ sở cho phần ĐLH, trong đó định luật 2 nêu lên liên hệ giữa lực và chuyển động là 1 định luật chủ yếu. Phương trình vi phân suy ra từ định luật cho phép giải một cách cụ thể bằng giải tích 2 bài toán cơ bản. - Chngă2: Từ những định luật cơ bản, ta xây dựng hệ thống lý thuyết bằng cách lập các định lý tổng quát (động lượng, chuyển động khối tâm, momen động lượng và động năng) cho cơ hệ. Mỗi định lý nêu lên mối quan hệ giữa những đại lượng nhất định đặc trưng cho lực và đặc trưng cho vật thể chuyển động. Như thế, cơ sở để nắm vững các định lý đó là phải nắm được các đại lượng đặc trưng. Xét theo những phương diện khác nhau tác dụng của lực được biểu thị bằng các đại lượng như: xung lượng, momen hay công, và vật thể chuyển động được đặc trưng các đại lượng như: động lượng, momen động lượng hay động năng của nó. Đối với các đại lượng cần phải nắm được định nghĩa, ý nghĩa và nhất là phương pháp xác định cụ thể. 86 Cần chú ý khi xác định các đại lượng đặc trưng cho vật rắn chuyển động. Mỗi định lý đều có ý nghĩa và tác dụng khác nhau do các quan hệ mà nó thiết lập. Nắm được ý nghĩa định lý có tác dụng quan trọng trong việc vận dụng định lý đó vào các bài toán. Nắm được định lý cũng cần nắm các trường hợp đặc biệt (như các định luật bảo toàn, ); nhờ những trường hợp riêng này mà ta thấy rõ ý nghĩa và trường hợp nào sử dụng định lý thì có hiệu quả nhất. Nói chung, vận dụng các định lý tổng quát ta hoàn toàn có thể giải được một cách nhanh chóng, hiệu quả bài toán ĐLH. - Chngă3: Một phương pháp mới giải bài toán ĐLH theo nguyên lý d’Alembert là phương pháp tĩnh động. Lực quán tính là một khái niệm quan trọng, cần phải nắm vững việc xác định. Đối với cơ hệ, thu gọn hệ lực quán tính là một vấn đề đặt ra khá phức tạp, ta chỉ xét với các trường hợp đơn giản, quen thuộc. Phương pháp tĩnh động thường áp dụng trong các bài toán tìm lực và đặc biệt là tìm phản lực động lực xuất hiện ở các trục quay. - Chngă4: Nguyên lý di chuyển khả dĩ xét trong chương 4 nêu điều kiện cân bằng của cơ hệ không tự do (có liên kết). Những bài toán mà ta gặp trong thực tế thường là những cơ cấu gồm nhiều vật liên kết nhau, bằng phương pháp tĩnh động ta có thể đưa về bài toán cân bằng, nguyên lý DCKD cho phép giải một cách hiệu quả bài toán đó. - Chngă5: Kết hợp nguyên lý DCKD với nguyên lý d’Alembert cho phép giải mọi bài toán ĐLH một cách tổng quát. Chủ yếu chỉ sử dụng các nguyên lý vào mục đích giải các bài toán cân bằng. Điều kiện cân bằng nêu trong nguyên lý d’Alembert – Lagrange để nắm và vận dụng được nguyên lý ta cần nắm chắc các khái niệm, liên kết và di chuyển khả dĩ. Xác định một cơ hệ bằng tọa độ suy rộng là một phương pháp chọn lựa sâu sắc, giải bài toán theo phương pháp này cần chú ý đến việc tính các lực suy rộng. * Ktălun: Nhìn chung, ĐLH cung cấp những kiến thức và phương pháp cần thiết để giải bài toán các vật thể chuyển động. Cơ hệ chuyển động là bài toán phổ biến nhất, đối với 87 các dạng chuyển động quen thuộc (vật tịnh tiến, quay, chuyển động song phẳng), lý thuyết đã giải quyết tương đối triệt để, ta cần nắm chắc và vận dụng thành thạo. 88 TÀI LIỆU THAM KHO [1] Phan Văn Cúc - Nguyễn Trọng, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng – Hà Nội (2003). [2] Khổng Doãn Điền (Chủ biên), Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng – Hà Nội (2011). [3] Ninh Quang Hải, Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng – Hà Nội (1999). [4] Nguyễn Trọng (Chủ biên), Cơ học cơ sở tập 1, Nxb. Khoa học và Kỹ thuật – Hà Nội (2002). [5] Nguyễn Trọng (Chủ biên), Cơ học cơ sở tập 2, Nxb. Khoa học và Kỹ thuật – Hà Nội (2002). [6] X. M. Targ, Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết (dịch), Nxb. ĐH & THCN – Hà Nội (1979). 89