Bài giảng chương 5: Định giá quyền chọn

Khoa TC-NH 1 Chương 5 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN Khoa TC-NH 2 Tài liệu tham khảo • Hull, chương 10, 12. Khoa TC-NH 3 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN * Hai mô hình định giá cơ bản: + Mô hình nhị thức (Binomial Model). + Mô hình Black-Scholes (Black-Scholes Model). Khoa TC-NH 4 Định giá quyền chọn theo mô hình nhị thức (Binomial Model) ( Giả định giá cổ phiếu sau một khoảng thời gian nhất định chỉ nhận một trong hai giá trị: hoặc tăng hoặc giảm so với giá trị ban đầu của nó. ( Những giả định thêm: - Không có các rào cản của thị trường. - Vay, cho vay theo lãi suất phi rủi ro. - Không tồn tại các cơ hội arbitrage. Khoa TC-NH 5 Mô hình nhị thức một bước Ví dụ: Giả sử chúng ta cần định giá một quyền chọn mua kiểu châu Âu trên một cổ phiếu với thời gian đến hạn T = 3 tháng. Giá thực hiện K = 21$; Giá cổ phiếu hiện tại S0 = 20$; Lãi suất phi rủi ro r = 12%/năm. Khoa TC-NH 6 Mô hình nhị thức một bước (tt) Giả định rằng sau 3 tháng, giá cổ phiếu sẽ là hoặc 22$ hoặc 18$. ( Quyền chọn chỉ nhận một trong hai giá trị vào ngày đến hạn: hoặc là 1$, hoặc là 0$. S0 = 20$ S1 = 22$ c = 1$ S1 = 18$ c = 0$ Khoa TC-NH 7 Mô hình nhị thức một bước (tt) Xem xét một danh mục đầu tư gồm ∆ cổ phiếu và vị thế bán 1 quyền chọn mua. 1 Có thể chọn một giá trị của ∆ sao cho danh mục đầu tư không có rủi ro sau 3 tháng? Khoa TC-NH 8 Mô hình nhị thức một bước (tt) - Nếu giá cổ phiếu tăng đến 22$ khi đến hạn của quyền chọn, giá trị của danh mục đầu tư sẽ là: 22∆ - 1 - Nếu giá cổ phiếu giảm còn 18$ khi đến hạn của quyền chọn, giá trị của danh mục đầu tư sẽ là: 18∆ Khoa TC-NH 9 Mô hình nhị thức một bước (tt) Danh mục sẽ không có rủi ro nếu ∆ được chọn sao cho giá trị của danh mục là bằng nhau trong cả 2 tình huống giá cổ phiếu tăng, hoặc giảm. Cụ thể: 22∆ - 1 = 18∆ ⇒ ∆ = 0,25 ( Danh mục phi rủi ro sẽ gồm: + Nắm giữ 0,25 cổ phiếu. + Vị thế bán 1 quyền chọn mua. Khoa TC-NH 10 Mô hình nhị thức một bước (tt) * Vào ngày đến hạn của quyền chọn: 3 Nếu giá cổ phiếu tăng đến 22$, giá trị của danh mục sẽ là: 0,25*22 - 1 = 4,5$ 3 Nếu giá cổ phiếu giảm còn 18$, giá trị của danh mục sẽ là: 0,25*18 = 4,5$ ( Bất kể giá cổ phiếu tăng hay giảm, giá trị của danh mục vẫn là 4,5$ vào ngày đến hạn của quyền chọn. Khoa TC-NH 11 Mô hình nhị thức một bước (tt) * Giá trị của danh mục đầu tư vào ngày hôm nay: 0,25*20 - c = 5 - c ( Để không tồn tại cơ hội arbitrage, danh mục đầu tư phải mang lại tỷ suất lợi tức bằng với lãi suất phi rủi ro. hay 5 - c = 4,5e-0,12*3/12 = 4,367$ ⇒ c = 0,633 Khoa TC-NH 12 Mô hình nhị thức một bước (tt) * Tổng quát mô hình nhị thức một bước: Giả định trong thời gian tồn tại của quyền chọn, thay đổi giá cổ phiếu được thể hiện theo cây nhị thức sau: Trong đó: u > 1 và d < 1. S0 c S0u cu S0d cd Khoa TC-NH 13 Mô hình nhị thức một bước (tt) * Tổng quát mô hình nhị thức một bước (tt): Xem xét một danh mục đầu tư gồm ∆ cổ phiếu và vị thế bán 1 quyền chọn mua. 1 Xác định giá trị của ∆ sao cho danh mục đầu tư không có rủi ro vào ngày đến hạn của quyền chọn? Khoa TC-NH 14 Mô hình nhị thức một bước (tt) * Tổng quát mô hình nhị thức một bước (tt): + Vào ngày đến hạn của quyền chọn: - Nếu cổ phiếu tăng giá, giá trị của danh mục đầu tư sẽ là: S0u*∆ - cu - Nếu cổ phiếu giảm giá, giá trị của danh mục đầu tư sẽ là: S0d*∆ - cd Khoa TC-NH 15 Mô hình nhị thức một bước (tt) * Tổng quát mô hình nhị thức một bước (tt): Để danh mục không có rủi ro vào ngày đến hạn của quyền chọn, giá trị của danh mục phải là như nhau trong cả hai tình huống giá cổ phiếu tăng hay giảm. Cụ thể: S0u*∆ - cu = S0d*∆ - cd hay (5.1)dSuS cc 00 du − −=Δ Khoa TC-NH 16 Mô hình nhị thức một bước (tt) * Tổng quát mô hình nhị thức một bước (tt): + Giá trị của danh mục đầu tư vào ngày hôm nay: S0*∆ - c Khoa TC-NH 17 Mô hình nhị thức một bước (tt) * Tổng quát mô hình nhị thức một bước (tt): ( Để không tồn tại cơ hội arbitrage, danh mục đầu tư phải mang lại tỷ suất lợi tức bằng với lãi suất phi rủi ro. Cụ thể: S0*∆ - c = (S0u*∆ - cu)e-rT hay c = S0*∆ - (S0u*∆ - cu)e-rT Khoa TC-NH 18 Mô hình nhị thức một bước (tt) Thay thế ∆ từ biểu thức (5.1) và thực hiện một số biến đổi, có được: c = e-rT[π*cu + (1- π)*cd] (5.2) Trong đó: (5.3) ( Biểu thức (5.2) và (5.3) cho phép định giá quyền chọn kiểu châu Âu theo mô hình nhị thức một bước. du de rT − −=π Khoa TC-NH 19 Mô hình nhị thức một bước (tt) Sử dụng lại ví dụ trên với u = 1,1; d = 0,9; r = 0,12; T = 0,25; cu = 1; và cd = 0. Từ (5.3): Từ (5.2): c = e-0,12*0,25(0,6523*1 + 0,3477*0) = 0,633 65230 9011 90250120 , ,, ,e du de ,,rT =− −=− −= ´π Khoa TC-NH 20 Định giá quyền chọn theo nguyên lý trung tính rủi ro (Risk-Neutral Valuation) ( Khi không tồn tại cơ hội arbitrage, giá trị của π thay đổi từ 0 đến 1. Vì vậy, có thể diễn giải π ở (5.2) như là xác suất giá cổ phiếu (hoặc giá quyền chọn) tăng, và (1- π) như là xác suất giá cổ phiếu (hoặc giá quyền chọn) giảm. π được gọi là xác suất trung tính rủi ro (Risk-Neutral Probability) Khoa TC-NH 21 Định giá quyền chọn theo nguyên lý trung tính rủi ro (Risk-Neutral Valuation) (tt) ( Một cách diễn đạt khác cho (5.2): Giá trị của quyền chọn ở thời điểm hiện tại bằng với giá trị kỳ vọng của quyền chọn vào ngày đến hạn trong môi trường trung tính rủi ro được chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro. Khoa TC-NH 22 Định giá quyền chọn theo nguyên lý trung tính rủi ro (Risk-Neutral Valuation) (tt) ( π có thể được xác định từ (5.3), hoặc tính toán dựa vào giá cổ phiếu trong môi trường trung tính rủi ro. Ví dụ: Định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu trên một cổ phiếu với thời gian đến hạn T = 3 tháng. Giá thực hiện K = 21$; Giá cổ phiếu hiện tại S0 = 20$; Lãi suất phi rủi ro r = 12%/năm. Giả định sau 3 tháng, giá cổ phiếu sẽ là 22$ hoặc 18$. Khoa TC-NH 23 Định giá quyền chọn theo nguyên lý trung tính rủi ro (Risk-Neutral Valuation) (tt) * Trong môi trường trung tính rủi ro, giá cổ phiếu sau 3 tháng: St = S0erT = 20e0,12*3/12 Mặt khác, giá trị kỳ vọng của cổ phiếu sau 3 tháng: 22π + 18(1-π) Do vậy, 22π + 18(1-π) = 20e0,12*3/12 hay π = 0,6523 Khoa TC-NH 24 Định giá quyền chọn theo nguyên lý trung tính rủi ro (Risk-Neutral Valuation) (tt) * Giá trị kỳ vọng của quyền chọn sau 3 tháng: 0,6523*1 + 0,3477*0 = 0,6523 ( Giá quyền chọn ở thời điểm hiện tại: 0,6523e-0,12*3/12 = 0,633$ Khoa TC-NH 25 Mô hình nhị thức hai bước Phân tích trên có thể được mở rộng cho cây nhị thức hai bước. Ví dụ: Giả sử giá cổ phiếu hiện tại là 20$; Giá thực hiện K = 21; Ở mỗi bước thời gian, giá cổ phiếu có thể tăng 10% hoặc giảm 10%; Độ dài của mỗi bước thời gian là 3 tháng; Lãi suất phi rủi ro r = 12%/năm. Khoa TC-NH 26 Mô hình nhị thức hai bước (tt) Cây nhị thức với hai bước thời gian cho ví dụ trên được thể hiện dưới đây: 24,2 3,2 20 1,2823 19,8 0,0 16,2 0,0 F E D C BA 22 2,0257 18 0,0 Khoa TC-NH 27 Mô hình nhị thức hai bước (tt) ( Để định giá quyền chọn ở thời điểm hiện tại (nút A), đi ngược từ cuối cây đến đầu cây. 1 Giá quyền chọn ở các nút cuối cùng của cây (nút D, E, F) được xác định như thế nào? 1 Tính giá quyền chọn tại nút C và nút B. 1 Cuối cùng, tính giá quyền chọn ở thời điểm hiện tại (nút A). Khoa TC-NH 28 Mô hình nhị thức hai bước (tt) * Để tính giá quyền chọn ở nút B, tách riêng một phần của cây như sau: E D B 19,8 0,0 24,2 3,2 22 2,0257 Khoa TC-NH 29 Mô hình nhị thức hai bước (tt) Sử dụng các ký hiệu như trước: u = 1,1; d = 0,9; r = 0,12; T = 0,25. Từ (5.3): π = 0,6523. Từ (5.2), giá trị quyền chọn ở điểm B sẽ là: e-0,12*0,25(0,6523*3,2 + 0,3477*0) = 2,0257 Khoa TC-NH 30 Mô hình nhị thức hai bước (tt) * Cuối cùng, để tính giá quyền chọn ở thời điểm hiện tại (nút A), tập trung vào bước đầu tiên của cây. C B A 18 0,0 22 2,0257 20 1,2823 Khoa TC-NH 31 Mô hình nhị thức hai bước (tt) Từ (5.2), giá quyền chọn tại nút A sẽ là: e-0,12*0,25(0,6523*2,0257 + 0,3477*0) = 1,2823 Khoa TC-NH 32 Mô hình nhị thức hai bước (tt) * Tổng quát mô hình nhị thức hai bước: Cây nhị thức hai bước tổng quát: S0d2 cdd S0ud cud S0u2 cuu S0 c S0u cu S0d cd Khoa TC-NH 33 Mô hình nhị thức hai bước (tt) * Tổng quát mô hình nhị thức hai bước (ttheo): Sử dụng biểu thức (5.2) tương ứng cho mỗi phần của cây, chúng ta có được: cu = e-rδt[π*cuu + (1-π)*cud] (5.4) cd = e-rδt[π*cud + (1-π)*cdd] (5.5) ( c = e-rδt[π*cu + (1-π)*cd] (5.6) Khoa TC-NH 34 Mô hình nhị thức hai bước (tt) * Định giá quyền chọn bán kiểu châu Âu trên cổ phiếu khi giá cổ phiếu thay đổi theo cây nhị thức: Ví dụ: Định giá một quyền chọn bán kiểu châu Âu với giá thực hiện K = 52$, giá hiện tại của cổ phiếu S0 = 50$, thời gian đến hạn T = 2 năm, lãi suất phi rủi ro r = 5%. Giả sử có hai bước thời gian, mỗi bước thời gian có chiều dài δt = 1 năm. Trong mỗi bước thời gian, giá cổ phiếu có thể hoặc tăng với tỷ lệ 20% hoặc giảm với tỷ lệ 20%. Khoa TC-NH 35 Mô hình nhị thức hai bước (tt) * Định giá quyền chọn bán kiểu châu Âu trên cổ phiếu khi giá cổ phiếu thay đổi theo cây nhị thức (ttheo): Từ (5.3), xác suất trung tính rủi ro (π) được xác định: ( Giá quyền chọn có thể được tính bằng cách sử dụng biểu thức (5.2) và đi ngược từ cuối cây đến đầu cây. 6282,0 8,02,1 8,0e du de 105,0tr =− −=− −=π ´δ Khoa TC-NH 36 Mô hình nhị thức hai bước (tt) * Định giá quyền chọn bán kiểu châu Âu trên cổ phiếu khi giá cổ phiếu thay đổi theo cây nhị thức (ttheo): Cây nhị thức với các giá quyền chọn trung gian được thể hiện ở dưới đây: 32 20 48 4 72 0 50 4,1923 60 1,4147 40 9,4636 Khoa TC-NH 37 Mô hình nhị thức hai bước (tt) * Định giá quyền chọn kiểu Mỹ: Cách thức vẫn được tiến hành tương tự như đối với quyền chọn kiểu châu Âu. Tuy nhiên, ở mỗi nút trung gian, giá trị quyền chọn sẽ là giá trị lớn nhất trong hai giá trị: + Giá trị được tính bởi biểu thức (5.2). + Thanh toán từ quyền chọn do thực hiện sớm. Khoa TC-NH 38 Mô hình nhị thức hai bước (tt) * Định giá quyền chọn kiểu Mỹ (ttheo): Sử dụng lại ví dụ về quyền chọn bán ở trên, với giả thiết bây giờ là quyền chọn kiểu Mỹ. 1 Xác định giá quyền chọn ở các nút trên cây. Khoa TC-NH 39 Mô hình nhị thức hai bước (tt) * Định giá quyền chọn kiểu Mỹ (ttheo): Cây nhị thức với các giá quyền chọn trung gian được thể hiện ở dưới đây. C B A 32 20 48 4 72 0 50 5,0894 60 1,4147 40 12,0 Khoa TC-NH 40 Mô hình nhị thức hai bước (tt) * Xác định thông số u và d: Trên thực tế khi xây dựng cây nhị thức, các thông số u và d thường được xác định phù hợp với tính bất ổn định của giá cổ phiếu (σ). Cụ thể: (5.8) (5.9)ted δσ−= teu δσ= Khoa TC-NH 41 Cây nhị thức trong thực tế Trên thực tế, thời gian tồn tại của quyền chọn thường được chia thành 30 (hoặc nhiều hơn) bước thời gian. Với 30 bước thời gian, sẽ có 31 nút kết thúc của cây nhị thức thể hiện giá cổ phiếu và 230 nhánh cây (khoảng 1 tỷ !!!). Khoa TC-NH 42 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (Black-Scholes Model) *Những giả định của mô hình Black-Scholes: + Giá cổ phiếu ở một thời điểm nào đó trong tương lai có phân phối logarit chuNn (lognormal distribution). Cụ thể, Trong đó: - : Ký hiệu phân phối chuNn với giá trị kỳ vọng m và độ lệch chuNn s. - : Tỷ suất lợi tức kỳ vọng trên cổ phiếu ( và σ được giả định là hằng số). ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ T,T)(Sln~Sln T σσμφ 2 2 0 μ )s,m(φ μ Khoa TC-NH 43 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) *Những giả định của mô hình Black-Scholes (ttheo): + Các nhà đầu tư được phép thực hiện bán khống. + Không có các chi phí giao dịch khi mua, bán cổ phiếu. + Cổ phiếu không có cổ tức trong thời gian tồn tại của quyền chọn. + Không tồn tại cơ hội arbitrage. + Lãi suất phi rủi ro là hằng số và giống nhau cho tất cả các kỳ hạn. + Quá trình giao dịch chứng khoán diễn ra liên tục. Khoa TC-NH 44 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) *Công thức Black-Scholes: - Quyền chọn mua: c = S0N(d1) - Ke-rTN(d2) (5.10) - Quyền chọn bán: p = Ke-rTN(-d2) - S0N(-d1) (5.11) Khoa TC-NH 45 5.2. Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo): *Công thức Black-Scholes (ttheo): Với: T T)2/r()K/Sln(d 2 0 1 σ σ++= Td T T)2/r()K/Sln(d 1 2 0 2 σ−=σ σ−+= Khoa TC-NH 46 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) *Công thức Black-Scholes (ttheo): ( Các thông số trong công thức Black- Scholes đều có thể được thu thập dễ dàng (S0, K, r, T) , ngoại trừ tính bất ổn định của giá cổ phiếu (σ). * Một số cách ước lượng σ: - Ước lượng từ dữ liệu quá khứ của giá cổ phiếu theo cách thông thường. - Phân tích tình huống. - Sử dụng các mô hình phức tạp hơn (như mô hình GARCH). Khoa TC-NH 47 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) * Tính bất ổn định hàm ý (Implied Volatilities): 1 Hạn chế của σ được ước lượng từ dữ liệu lịch sử? ( Tính bất ổn định hàm ý (σ*) là một giá trị của σ sao cho khi thay giá trị đó vào công thức Black- Scholes, chúng ta sẽ có được một giá trị quyền chọn bằng đúng với giá quyền chọn hiện tại đang được giao dịch trên thị trường. Khoa TC-NH 48 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) *Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp cổ phiếu có cổ tức: - Quyền chọn mua: c = (S0 - D)N(d1) - Ke-rTN(d2) (5.12) - Quyền chọn bán: p = Ke-rTN(-d2) - (S0 - D)N(-d1) (5.13) Trong đó: D: Giá trị hiện tại của cổ tức được nhận trong thời gian tồn tại của quyền chọn. Khoa TC-NH 49 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) *Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp cổ phiếu có cổ tức (ttheo): Với: T T)2/r(]K/)DSln[(d 2 0 1 σ σ++−= Td T T)2/r(]K/)DSln[(d 1 2 0 2 σ−=σ σ−+−= Khoa TC-NH 50 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) *Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp cổ phiếu có cổ tức (ttheo): Ví dụ: Một quyền chọn mua kiểu châu Âu trên một cổ phiếu với cổ tức sẽ được nhận 2 đợt sau thời gian 2 tháng (đợt 1) và 5 tháng (đợt 2), mỗi đợt được dự tính là 0,5$/1 cổ phiếu. Giá cổ phiếu hiện tại là 40$; Giá thực hiện là 40$; Tính bất ổn định của giá cổ phiếu là 30%/năm; Lãi suất phi rủi ro là 9%/năm; Thời gian đến hạn của quyền chọn là 6 tháng. Khoa TC-NH 51 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) *Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp cổ phiếu có cổ tức (ttheo): * Giá trị hiện tại của cổ tức là: 0,5e-0,1667*0,09 + 0,5e-0,4167*0,09 = 0,9741 2017,0 5,03,0 5,0*)2/3,009,0(]40/)9741,040ln[(d 2 1 =++−= 0104,0 5,03,0 5,0*)2/3,009,0(]40/)9741,040ln[(d 2 2 −=−+−= Khoa TC-NH 52 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) *Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp cổ phiếu có cổ tức (ttheo): Sử dụng bảng tra: N(d1) = 0,5800 và N(d2) = 0,4959 Từ (5.12), giá trị quyền chọn mua: (40 - 0,9741)*0,5800 - 40e-0,09*0,5*0,4959 = 3,67$ Khoa TC-NH 53 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) *Điều chỉnh công thức Black-Scholes trong trường hợp tài sản cơ sở là chỉ số chứng khoán, đồng tiền: * Đối với chỉ số chứng khoán: Gọi q: Tỷ lệ cổ tức trên danh mục tài sản cơ sở của chỉ số trong thời gian tồn tại của quyền chọn, với q được thể hiện theo tỷ lệ%/năm và được tính kép liên tục: - Quyền chọn mua: c = S0e-qTN(d1) - Ke-rTN(d2) (5.14) - Quyền chọn bán: p = Ke-rTN(-d2) - S0e-qTN(-d1) (5.15) Khoa TC-NH 54 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) * Đối với chỉ số chứng khoán (ttheo): Với: T T)2/qr()K/Sln(d 2 0 1 σ σ+−+= Td T T)2/qr()K/Sln(d 1 2 0 2 σ−=σ σ−−+= Khoa TC-NH 55 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) * Đối với chỉ số chứng khoán (ttheo): Ví dụ:Một quyền chọn mua kiểu châu Âu trên chỉ số S&P 500 với thời gian đến hạn là 2 tháng. Giá trị hiện tại của chỉ số là 930, giá thực hiện là 900, lãi suất phi rủi ro là 8%/năm, và tính bất ổn định của chỉ số là 20%/năm. Tỷ lệ cổ tức dự tính nhận được trong khoảng thời gian tồn tại của quyền chọn là 3%/năm. Khoa TC-NH 56 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) * Đối với chỉ số chứng khoán (ttheo): N(d1) = 0,7069, N(d2) = 0,6782 c = 930*0,7069e-0,03*2/12 - 900*0,6782e-0,08*2/12 = 51,83$ 5444,0 12/22,0 12/2)2/2,003,008,0()900/930ln(d 2 1 =+−+= 4628,0 12/22,0 12/2)2/2,003,008,0()900/930ln(d 2 2 =−−+= Khoa TC-NH 57 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) * Đối với các đồng tiền: - Quyền chọn mua: (5.16) - Quyền chọn bán: (5.17))d(NeS)d(NKep 1 Tr 02 rT f −−−= −− )d(NKe)d(NeSc 2 rT 1 Tr 0 f −− −= Khoa TC-NH 58 Mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes (ttheo) *Đối với các đồng tiền (ttheo): Với: T T)2/rr()K/Sln(d 2 f0 1 σ σ+−+= Td T T)2/rr()K/Sln(d 1 2 f0 2 σ−=σ σ−−+=