Về định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ tựa co trên không gian s-Mêtric thứ tự bộ phận

Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang 8 VỀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO LỚP ÁNH XẠ TỰA CO TRÊN KHÔNG GIAN S-MÊTRIC THỨ TỰ BỘ PHẬN Nguyễn Trung Hiếu1 và Nguyễn Thị Kiều Trang2 ABSTRACT The objectives of the present study were to construct several fixed-point theorems for contractive-like mappings in partially ordered S-metric spaces. The findings proved that several main results of Caballero, Harjani and Sadarangani (2010) were derived from these theorems. In addition, some examples were provided to illustrate the results obtained. Keywords: fixed point, S-metric space, contractive-like mapping, altering distance function Title: Towards several fixed-point theorems for contractive-like mappings in partially ordered S-metric spaces TÓM TẮT Mục tiêu của nghiên cứu này là thiết lập một số định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ tựa co trên không gian S-mêtric thứ tự bộ phận. Kết quả nghiên cứu chứng minh rằng các kết quả chính của Caballero, Harjani và Sadarangani (2010) được suy ra từ các định lí này. Đồng thời, nghiên cứu này cung cấp một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. Từ khóa: điểm bất động, không gian S-mêtric, ánh xạ tựa co, hàm biến thiên khoảng cách 1. GIỚI THIỆU Các định lí điểm bất động là công cụ hữu ích trong việc khảo sát sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan đến phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng. Trong lí thuyết điểm bất động, nguyên lí ánh xạ co Banach trên không gian mêtric đầy đủ có vai trò quan trọng nhất. Cùng với sự phát triển của toán học, nguyên lí ánh xạ co Banach được mở rộng cho những lớp ánh xạ khác nhau cũng như cho những không gian khác nhau. Trong hướng nghiên cứu đó, một số tác giả đã mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach sang một số không gian mêtric suy rộng. Gần đây, Sedghi, Shobe và Aliouche (2012) đã giới thiệu một khái niệm mêtric suy rộng như sau. Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập khác rỗng. Một S-mêtric trên X là ánh xạ : [0, )S X X X    thỏa mãn các điều kiện sau với mọi , , ,x y z a X . (1) ( , , ) 0S x y z  nếu và chỉ nếu x y z  ; (2) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )S x y z S x x a S y y a S z z a   . Cặp (X; S) được gọi là không gian S-mêtric. Đồng thời, Sedghi và cs. (2012) cũng đã giới thiệu một số tính chất của S-mêtric và mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach trên không gian mêtric đầy đủ sang không gian S -mêtric đầy đủ, kết quả chính là Theorem 3.1. Từ đó, việc mở rộng các định lí điểm bất động trên không gian mêtric sang không gian S-mêtric được một số tác giả quan tâm và đạt được một số kết quả nhất định (Trần Văn Ân & Nguyễn Văn Dũng, 2012; Nguyễn Văn Dũng, 2013; Nguyễn Văn Dũng & Nguyễn Trung Hiếu, 2013; Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Thị Thanh Lý & Nguyễn Văn Dũng, 2013; Sedghi & Nguyễn Văn Dũng, 2012). 1 ThS. Khoa Sư phạm Toán – Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Email: ngtrunghieu@dthu.edu.vn 2 Khoa Sư phạm Toán – Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang 9 Trong bài báo của mình, Khan, Swaleh và Sessa (1984) đã giới thiệu khái niệm hàm biến thiên khoảng cách như sau. Định nghĩa 1.2. Hàm : [0, ) [0, )y ¥ ® ¥ được gọi là hàm biến thiên khoảng cách nếu các điều kiện sau được thỏa mãn. (1) y là hàm liên tục và không giảm; (2) ( ) 0ty = nếu và chỉ nếu 0t = . Đồng thời, trong bài báo này các tác giả cũng đã thiết lập định lí điểm bất động bằng cách sử dụng hàm biến thiên khoảng cách. Từ đó, việc thiết lập các định lí điểm bất động thông qua lớp hàm biến thiên khoảng cách được một số tác giả quan tâm nghiên cứu (Sastry & Babu, 1999; Shatanawi & Al- Rawashdeh, 2012). Gần đây, Caballero, Harjani và Sadarangani (2010) đã giới thiệu lớp hàm F như sau. Định nghĩa 1.3. Kí hiệu F là lớp các hàm : [0, ) [0,1)b + ¥ ® thỏa mãn điều kiện: Nếu ( ) 1 n tb ® thì 0 n t ® . Bằng cách sử dụng lớp hàm biến thiên khoảng cách và lớp hàm F , Caballero và cs. (2010) đã giới thiệu lớp ánh xạ tựa co trên không gian mêtric thứ tự bộ phận và thiết lập một số định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ này, kết quả chính là Theorem 2.2, Theorem 2.3 và Theorem 2.4. Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu lớp ánh xạ tựa co trên không gian S-mêtric thứ tự bộ phận, thiết lập một số định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ này và chứng tỏ rằng từ các kết quả này có thể suy ra được các kết quả chính của Caballero, Harjani và Sadarangani (2010). Đồng thời, chúng tôi cũng xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. Trước hết, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả được sử dụng trong bài báo này. Các khái niệm và kết quả này được trích từ các kết quả của Sedghi và cs. (2012), Trần Văn Ân và Nguyễn Văn Dũng (2012), Caballero và cs. (2010 ). Mệnh đề 1.4. Cho ( , )X S là không gian S -mêtric. Khi đó ( , , ) ( , , )S x x y S y y x= với mọi ,x y XÎ . Mệnh đề 1.5. Cho ( , )X S là không gian S -mêtric. Khi đó ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )S x x z S x x y S y y z£ + với mọi , ,x y z XÎ . Định nghĩa 1.6. Cho ( , )X S là không gian S -mêtric. Khi đó (1) Dãy { } n x XÌ được gọi là hội tụ về x nếu ( , , ) 0 n n S x x x ® khi n ® + ¥ . Điều này có nghĩa là với mỗi 0e > , tồn tại 0 n Î ¥ sao cho với mọi 0 n n³ thì ( , , ) n n S x x x e< . Kí hiệu là lim nn x x ® + ¥ = hay n x x khi n ® + ¥ . (2) Dãy { } n x XÌ được gọi là dãy Cauchy nếu ( , , ) 0 n n m S x x x ® khi ,n m ® + ¥ . Nói cách khác { } n x là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mọi 0e > , tồn tại 0 n Î ¥ sao cho với mỗi 0 ,n m n³ thì ( , , ) n n m S x x x e< . (3) Không gian S -mêtric ( , )X S được gọi là đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy trong ( , )X S đều hội tụ. Mệnh đề 1.7. Cho ( , )S X là không gian S -mêtric. Nếu dãy { } n x trong X hội tụ thì giới hạn đó duy nhất. Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang 10 Mệnh đề 1.8. Cho ( , )S X là không gian S -mêtric. Nếu { } n x và { } n y là hai dãy trong X sao cho lim nn x x ® + ¥ = và lim nn y y ® + ¥ = thì lim ( , , ) ( , , ) n n nn S x x y S x x y ® + ¥ = . Mệnh đề 1.9. Cho :T X Y® là ánh xạ từ không gian S -mêtric X vào không gian S -mêtric Y . Khi đó, T liên tục tại x XÎ nếu và chỉ nếu n Tx Tx® với mọi dãy { } n x XÌ mà n x x® . Định nghĩa 1.10. Cho ( , )X £ là tập sắp thứ tự và ánh xạ :T X X® . Khi đó, T là ánh xạ đơn điệu không giảm nếu với ,x y XÎ mà x y£ thì Tx Ty£ . 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Trước hết, chúng tôi thiết lập và chứng minh mệnh đề được sử dụng nhiều trong kết quả chính của bài báo. Mệnh đề 2.1. Cho ( , )X d là không gian mêtric. Khi đó (1) Với mọi , ,x y z XÎ , 1 ( , , ) [ ( , ) ( , )] 2d S x y z d x z d y z= + là một S -mêtric trên X . (2) Dãy { } n x hội tụ trong ( , )X d khi và chỉ khi dãy { } n x hội tụ trong ( , ) d X S . (3) Dãy { } n x là Cauchy trong ( , )X d khi và chỉ khi dãy { } n x là Cauchy trong ( , ) d X S . (4) Không gian mêtric ( , )X d đầy đủ khi và chỉ khi không gian S -mêtric ( , ) d X S đầy đủ. Chứng minh. (1) Kiểm tra trực tiếp các điều kiện của một S -mêtric. (2) Suy ra từ đẳng thức ( , , ) ( , ). d n n n S x x x d x x= (3) Suy ra từ đẳng thức ( , , ) ( , ). d n n m n m S x x x d x x= (4) Suy ra từ (2) và (3). Tiếp theo, chúng tôi thiết lập và chứng minh các định lí chính của bài báo. Định lí 2.2. Cho ( , , )X S là không gian S -mêtric thứ tự bộ phận, đầy đủ và :T X X là ánh xạ liên tục, không giảm sao cho ( ( , , )) ( ( , , )). ( ( , , ))S Tx Tx Ty S x x y S x x y   với mọi x y , (1) trong đó,  là hàm biến thiên khoảng cách và   . Nếu tồn tại 0 x X sao cho 0 0 x T x thì T có điểm bất động. Chứng minh. Lấy 0 x X sao cho 0 0 x T x . Xét dãy { } n x trong X xác định bởi 1n n x Tx + = với mọi n Î ¥ . Do T là ánh xạ không giảm nên bằng qui nạp ta chứng minh được 0 1 2 1 ... ... n n x x x x x        với mọi n Î ¥ . (2) Do   và 1n n x x   với mọi n Î ¥ nên từ (2) ta được 1 1 1 ( ( , , )) ( ( , , )) n n n n n n S x x x S Tx Tx Tx      1 1 ( ( , , )). ( ( , , )) n n n n n n S x x x S x x x     1 ( ( , , )) n n n S x x x   . (3) Do tính chất không giảm của hàm  nên từ (3) ta có 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n n S x x x S x x x     . (4) Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang 11 Ta xét hai trường hợp sau. Trường hợp 1. Tồn tại 0 n Î ¥ sao cho 0 0 0 1 ( , , ) 0 n n n S x x x   . Suy ra 0 0 1n n x x   hay 0 0 1 1n n Tx x - - = . Do đó, 0 1n x - là điểm bất động của T . Trường hợp 2. 1 ( , , ) 0 n n n S x x x   với mọi n Î ¥ . Từ (4) ta suy ra 1 1 { ( , , )} n n n S x x x   là một dãy số dương, đơn điệu không tăng. Do đó, tồn tại 0r  sao cho 1 1 lim ( , , ) n n nn S x x x r    . (5) Giả sử 0r > . Do 1 ( , , ) 0 n n n S x x x   nên 1 ( ( , , )) 0 n n n S x x x   với mọi n Î ¥ . Do đó, từ (3) ta có 1 1 1 1 ( ( , , )) ( ( , , )) 1 ( ( , , )) n n n n n n n n n S x x x S x x x S x x x          . (6) Cho n   trong (6), kết hợp với (5) và tính chất liên tục của hàm  , ta được 1 1 lim ( ( , , )) 1 n n nn S x x x    . Suy ra 1 lim ( ( , , )) 1 n n nn S x x x   . (7) Vì   nên từ (7) ta suy ra 1 lim ( , , ) 0 n n nn S x x x   . Điều này mâu thuẫn với 0r > . Do đó 0r = . Suy ra 1 1 lim ( , , ) 0 n n nn S x x x    . (8) Tiếp theo, ta chứng minh { } n x là dãy Cauchy trong X . Giả sử rằng { } n x không là dãy Cauchy trong X . Khi đó, tồn tại 0  và tồn tại hai dãy con { } k n x , { } k m x của dãy { } n x sao cho k n là chỉ số nhỏ nhất thỏa mãn k k n m k  và ( , , ) k k k n n m S x x x  với mọi 1k  . (9) Suy ra 1 1 ( , , ) k k k n n m S x x x     . (10) Sử dụng Mệnh đề 1.5, kết hợp với (9) và (10), ta được 1 1 1 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) k k k k k k k k k n n m n n n n n m S x x x S x x x S x x x       1 2 ( , , ) k k k n n n S x x x     . (11) Cho k ® + ¥ trong (11) và kết hợp với (8), ta được lim ( , , ) k k k n n mk S x x x    . (12) Sử dụng Mệnh đề 1.4 và Mệnh đề 1.5, ta có 1 1 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) k k k k k k k k k n n m n n n m m n S x x x S x x x S x x x     1 1 1 1 1 2 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , ) k k k k k k k k k n n n m m m n n m S x x x S x x x S x x x         1 1 1 1 2 ( , , ) 2 ( , , ) 2 ( , , ) k k k k k k k k k n n n m m m n n n S x x x S x x x S x x x        Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang 12 1 1 ( , , ) k k k m m n S x x x    1 1 1 1 2 ( , , ) 2 ( , , ) 2 ( , , ) k k k k k k k k k n n n m m m n n n S x x x S x x x S x x x        1 1 2 ( , , ) ( , , ) k k k k k k m m m n n m S x x x S x x x     1 1 1 4 ( , , ) 4 ( , , ) ( , , ) k k k k k k k k k n n n m m m n n m S x x x S x x x S x x x       . (13) Cho k ® + ¥ trong (13) và sử dụng (8), (12), ta được 1 1 1 lim ( , , ) k k k n n mk S x x x      . (14) Do   và 1 1 k k n m x x - - ³ nên từ (1) ta có 1 1 1 ( ( , , )) ( ( , , )) k k k k k k n n m n n m S x x x S Tx Tx Txy y - - - = 1 1 1 1 1 1 ( ( , , )). ( ( , , )) k k k k k k n n m n n m S x x x S x x xb y - - - - - - £ 1 1 1 ( ( , , )) k k k n n m S x x xy - - - < . (15) Cho k ® + ¥ trong (15), kết hợp với (12), (14) và tính liên tục của y , ta được 1 1 1 ( ) lim ( ( , , )). ( ) ( ) k k k n n mk S x x x            . (16) Do ( ) 0y e > nên từ (16) ta suy ra 1 1 1 lim ( ( , , )) 1 k k k n n mk S x x x     . Do tính chất của hàm b nên 1 1 1 lim ( , , ) 0 k k k n n mk S x x x     hay 0e = . Điều này mâu thuẫn với 0e > . Do đó, { } n x là dãy Cauchy trong X . Vì X là không gian S -mêtric đầy đủ nên tồn tại z XÎ sao cho n x z® khi n ® + ¥ . Do tính liên tục của T nên 1 lim lim n nn n z x Tx T z +® + ¥ ® + ¥ = = = . Điều này chứng tỏ z là điểm bất động của T . Từ Định lí 2.2, bằng cách chọn ( )t ty = , ta nhận được hệ quả sau. Hệ quả 2.3. Cho ( , , )X S là không gian S -mêtric thứ tự bộ phận, đầy đủ và :T X X là ánh xạ liên tục, không giảm sao cho ( , , ) ( ( , , )). ( , , )S Tx Tx Ty S x x y S x x y với mọi x y , trong đó   . Nếu tồn tại 0 x X sao cho 0 0 x T x thì T có điểm bất động. Từ Định lí 2.2, bằng cách chọn S -mêtric như trong Mệnh đề 2.1 và sử dụng kết quả của Mệnh đề 2.1, ta nhận được hệ quả sau. Hệ quả 2.4 (Caballero và cs., 2010 ). Cho ( , , )X d là không gian mêtric thứ tự bộ phận, đầy đủ và :T X X là ánh xạ liên tục, không giảm sao cho ( ( , )) ( ( , )). ( ( , ))d Tx Ty d x y d x y   với mọi x y , trong đó,  là hàm biến thiên khoảng cách và   . Nếu tồn tại 0 x X sao cho 0 0 x T x thì T có điểm bất động Chú ý rằng, điều kiện liên tục của ánh xạ T trong Định lí 2.2 là điều kiện đủ chứ không là điều kiện cần. Trong phần tiếp theo, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ khác để T có điểm bất động. Xét giả Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang 13 thiết (H) như sau: Nếu { } n x là dãy không giảm trên X sao cho n x x® thì n x x£ với mọi n Î ¥ . Khi đó, ta được định lí sau. Định lí 2.5. Cho ( , , )X S là không gian S -mêtric thứ tự bộ phận, đầy đủ, thỏa mãn giả thiết (H) và :T X X là ánh xạ không giảm sao cho ( ( , , )) ( ( , , )). ( ( , , ))S Tx Tx Ty S x x y S x x y   với mọi x y , (17) trong đó,  là hàm biến thiên khoảng cách và   . Nếu tồn tại 0 x X sao cho 0 0 x T x thì T có điểm bất động. Chứng minh. Lập luận tương tự như trong chứng minh Định lí 2.2, ta tìm được dãy { } n x không giảm và n x z X® Î . Ta sẽ chứng minh Tz z= . Từ giả thiết (H) ta có n x z£ với mọi n Î ¥ . Khi đó, từ (17) ta có 1 1 ( ( , , )) ( ( , , )) n n n n S x x Tz S Tx Tx Tz     ( ( , , )) ( ( , , )) n n n n S x x z S x x z  ( ( , , )) n n S x x z . (18) Cho n ® + ¥ trong (18), sử dụng tính chất của hàm y và Mệnh đề 1.8, ta được 0 ( ( , , )) (0) 0S z z Tz    . Suy ra ( ( , , )) 0S z z Tz  . Từ tính chất của hàm y ta được ( , , ) 0S z z Tz  hay z T z= . Do đó, T có điểm bất động là z . Từ Định lí 2.5, bằng cách chọn ( )t ty = , ta nhận được hệ quả sau. Hệ quả 2.6. Cho ( , , )X S là không gian S -mêtric thứ tự bộ phận, đầy đủ, thỏa mãn giả thiết (H) và :T X X là ánh xạ không giảm sao cho ( , , ) ( ( , , )). ( , , )S Tx Tx Ty S x x y S x x y với mọi x y , trong đó   . Nếu tồn tại 0 x X sao cho 0 0 x T x thì T có điểm bất động. Từ Định lí 2.5, bằng cách chọn S -mêtric như trong Mệnh đề 2.1 và sử dụng kết quả của Mệnh đề 2.1, ta nhận được hệ quả sau. Hệ quả 2.7 (Caballero và cs., 2010 ). Cho ( , , )X d là không gian mêtric thứ tự bộ phận, đầy đủ, thỏa mãn giả thiết (H) và :T X X là ánh xạ không giảm sao cho ( ( , )) ( ( , )). ( ( , ))d Tx Ty d x y d x y   với mọi x y , trong đó,  là hàm biến thiên khoảng cách và   . Nếu tồn tại 0 x X sao cho 0 0 x T x thì T có điểm bất động Các giả thiết trong Định lí 2.2 và Định lí 2.5 không cho ta tính duy nhất của điểm bất động của ánh xạ T . Ví dụ sau chứng tỏ điều đó. Ví dụ 2.8. Xét 2{(1, 0),(0,1)}X = Ì ¡ và thứ tự thông thường trên X xác định bởi ( , ) ( , )a b c d£ Û ,a c b d£ £ . Trên X xét S -mêtric d S như trong Mệnh đề 2.1 với d là khoảng cách Euclid trên 2¡ . Khi đó, ( , ) d X S là không gian S -mêtric đầy đủ. Trên X xét ánh xạ Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang 14 Tx x= . Khi đó, T là ánh xạ liên tục và (1, 0) (1, 0) (1, 0)T£ = . Vì các phần tử của X chỉ so sánh được với chính nó nên với mọi hàm b Î Y và mọi hàm biến thiên khoảng cách y , ta có 0 ( ( , , )) ( ( , , )) ( ( , , )) 0 d d d S Tx Tx Ty S x x y S x x y     với mọi x y . Hơn nữa, X cũng thỏa mãn giả thiết (H). Như vậy, các giả thiết trong Định lí 2.2 và Định lí 2.5 được thỏa mãn. Tuy nhiên, T có hai điểm bất động là (0,1) và (1, 0) . Định lí sau cho ta tính duy nhất của điểm bất động. Định lí 2.9. Giả sử các giả thiết trong Định lí 2.2 hoặc Định lí 2.5 được thỏa mãn và với mỗi cặp ,x y XÎ tồn tại z XÎ sao cho z so sánh được với x và y . Khi đó (1) T có duy nhất điểm bất động z . (2) Với mỗi x XÎ , lim n n T x z ® + ¥ = . Chứng minh. (1) Vì ánh xạ T thỏa mãn các giả thiết trong Định lí 2.2 hoặc Định lí 2.5 nên ánh xạ T có điểm bất động. Ta chỉ cần chứng minh tính duy nhất của điểm bất động. Giả sử ,z y là hai điểm bất động của T và z y¹ . Khi đó, tồn tại x XÎ so sánh được với z và y . Do tính không giảm của T nên nT x so sánh được với nT z và nT y . Vì nT x so sánh được với nT z nên ( ( , , )) ( ( , , ))n n n nS z z T x S T z T z T x  1 1 1 1 1 1( ( , , )). ( ( , , ))n n n n n nS T z T z T x S T z T z T x       1 1( ( , , )). ( ( , , ))n nS z z T x S z z T x   1( ( , , ))nS z z T x  . (19) Từ (19) và tính chất không giảm của hàm y ta suy ra 1( , , ) ( , , )n nS z z T x S z z T x . Do đó, dãy { ( , , )}nS z z T x là dãy số không âm, đơn điệu không tăng. Suy ra, tồn tại 0a ³ sao cho lim ( , , )n n a S z z T x ® + ¥ = . (20) Ta sẽ chứng minh 0a = . Giả sử 0a > . Cho n ® + ¥ trong (19), kết hợp với tính liên tục của hàm y , ta được 1( ) lim ( ( , , )). ( ) ( )n n a S z z T x a ay b y y- ® + ¥ £ £ . Do ( ) 0ay > nên ta được 1lim ( ( , , )) 1n n S z z T xb - ® + ¥ = . Mà b Î Y nên 1lim ( , , ) 0n n S z z T x- ® + ¥ = . Điều này mâu thuẫn với 0a > . Do đó 0a = hay lim ( , , ) 0n n S z z T x ® + ¥ = . (21) Vì nT x so sánh được với nT y nên lập luận tương tự như trên, ta chứng minh được lim ( , , ) 0n n S y y T x ® + ¥ = . (22) Từ (21), (22) và sử dụng Mệnh đề 1.7, ta được y z= . (2) Do x , z XÎ nên tồn tại y XÎ so sánh được với x và z . Lập luận tương tự như trong chứng minh (1), ta được lim ( , , ) 0n n S z z T y ® + ¥ = và lim ( , , ) 0n n n n S T x T x T y ® + ¥ = . (23) Mặt khác, theo Mệnh đề 1.5 ta có Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang 15 ( , , ) 2 ( , , ) ( , , )n n n n nS z z T x S z z T y S T x T x T y£ + . (24) Cho n ® + ¥ trong (24) và kết hợp với (23), ta được lim ( , , ) 0n n S z z T x ® + ¥ = hay lim n n T x z ® + ¥ = . Từ Định lí 2.9, bằng cách chọn ( )t ty = , ta nhận được hệ quả sau. Hệ quả 2.10. Giả sử các giả thiết trong Hệ quả 2.3 hoặc Hệ quả 2.6 được thỏa mãn và với mỗi cặp ,x y XÎ tồn tại z XÎ sao cho z so sánh được với x và y . Khi đó (1) T có duy nhất điểm bất động z . (2) Với mỗi x XÎ , lim n n T x z ® + ¥ = . Từ Định lí 2.9, bằng cách chọn S -mêtric như trong Mệnh đề 2.1 và sử dụng kết quả của Mệnh đề 2.1, ta nhận được hệ quả sau. Hệ quả 2.11 (Caballero và cs., 2010 ). Giả sử các giả thiết trong Hệ quả 2.4 hoặc Hệ quả 2.7 được thỏa mãn và với mỗi cặp ,x y XÎ tồn tại z XÎ sao cho z so sánh được với x và y . Khi đó (1) T có duy nhất điểm bất động z . (2) Với mỗi x XÎ , lim n n T x z ® + ¥ = . Cuối cùng, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho Định lí 2.5. Hơn nữa, ví dụ này cũng chứng tỏ Định lí 2.5 mạnh hơn Theorem 3.1 của Sedghi và cs. (2012). Ví dụ 2.12. Trên { 3, 1, 0,2, 4}X = - - xét S -mêtric xác định bởi ( , , ) | | | |S x y z x z y z= - + - . Khi đó, ( , )X S là không gian S -mêtric đầy đủ. Trên X xét thứ tự bộ phận như sau: x y£ trên X nếu , { 3, 1, 0}x y Î - - và x y£ trên ¡ . Trên X xét ánh xạ T như sau: ( 3) ( 1) 0 3T T T- = - = = - , 2 1T = - , 4 0T = . Khi đó ( 2, 2, 0) ( 1, 1, 3) 2.| 1 3| 4S T T T S= - - - = - + = , (2,2, 0) 2.|2 0|= 4S = - . Do đó, không tồn tại [0,1)L Î để ( 2, 2, 0) . (2,2, 0)S T T T L S£ . Suy ra, T không thỏa mãn điều kiện co trong Theorem 3.1 của Sedghi và cs. (2012). Do đó, ta không thể áp dụng định lí Theorem 3.1 cho ánh xạ T trong ví dụ này. Tuy nhiên, T là ánh xạ đơn điệu không giảm, 3 ( 3) 3T- £ - = - và với { } n x là dãy không giảm, hội tụ về x thì n x x£ . Đồng thời, với ,x y so sánh được với nhau thì , { 3, 1, 0}x y Î - - . Do đó với mọi b Î Y và mọi hàm biến thiên khoảng cách y , ta có ( ( , , )) (0) 0 ( ( , , )) ( ( , , ))S Tx Tx Ty S x x y S x x y      . Như vậy, các giả thiết của Định lí 2.5 được thỏa mãn. Hơn nữa, 3- là điểm bất động của ánh xạ T . TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Ân., & Nguyễn Văn Dũng. (2012). Two fixed point theorems in S-metric spaces, submitted. Caballero, J., Harjani, J., & Sadarangani, K. (2010). Contractive-like mapping principles in ordered metric spaces and application to ordinary differential Equations. Fixed Point Theory and Appl. 2010, 1 - 14. Nguyễn Văn Dũng. (2013). On coupled common fixed points for mixed weakly monotone maps in partially ordered S-metric spaces. Fixed Point Theory Appl., 2013:48, 1 - 25. Tạp chí Khoa học – Số 01 (2013): 8 – 16 Trường Đại học An Giang 16 Nguyễn Văn Dũng., & Nguyễn Trung Hiếu. (2013). One fixed point theorem for g-monotone maps on partially ordered S-metric spaces, submitted. Nguyễn Trung Hiếu., Nguyễn Thị Thanh Lý., & Nguyễn Văn Dũng. (2013). A generalization of 'Ciric quasi- contractions for maps on S-metric spaces. Thai J. Math. accepted paper. Khan, S., Swaleh, M., & Sessa, S. (1984). Fixed point theorems by altering distances between the points. Bull. Austral. Math. Soc., 30(1), 1 - 9. Sastry, R., & Babu, R. (1999). Some fixed point theorems by altering distances between the points. Indian J. pure appl. Math., 30(6), 641 - 647. Sedghi, S., & Nguyễn Văn Dũng. (2012). Nonlinear coupled fixed point theorems inpartially ordered S-metric spaces. Mat. Vesnik, accepted paper. Sedghi, S., Shobe, N., & Aliouche, A. (2012). A generalization of fixed point theorem in S-metric spaces. Mat. Vesnik, 64(3), 258 - 266. Shatanawi, W., & Al-Rawashdeh, A. (2012). Common fixed points of almost generalized ( , )y j - contractive mappings in ordered metric spaces. Fixed Point Theory Appl., 2012:80, 1 - 13. Ngày nhận bài: 02/10/2013 Ngày bình duyệt: 15/10/2013 Ngày chấp nhận: 11/10/2013