Ước lượng xác suất phá sản trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với dãy số tiền thu, dãy lãi suất là các xích Markov thuần nhất - Phùng Duy Quang

Phùng Duy Quang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 113(13): 33 - 38 33 ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT PHÁ SẢN TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM TỔNG QUÁT CÓ TÁC ĐỘNG CỦA LÃI SUẤT VỚI DÃY SỐ TIỀN THU, DÃY LÃI SUẤT LÀ CÁC XÍCH MARKOV THUẦN NHẤT Phùng Duy Quang* Trường Đại học Ngoại thương Hà Nội TÓM TẮT Trong bài báo này chúng tôi xây dựng phương trình đệ quy và phương trình tích phân cho xác suất phá sản và từ đó xây dựng công thức ước lượng xác suất phá sản trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với dãy số tiền thu, dãy lãi suất là các xích Markov thuần nhất, còn dãy số tiền trả bảo hiểm độc lập cùng phân phối (dãy số tiền thu, dãy số tiền đòi trả, dãy lãi suất là độc lập với nhau). Từ khóa: phương trình đệ quy, phương trình tích phân, xác suất phá sản, số tiền đòi trả, số tiền thu, dãy lãi suất, xích Markov thuần nhất. ĐẶT VẤN ĐỀ* Đối với mô hình bảo hiểm tổng quát với thời gian rời rạc có tác động của lãi suất, ở mỗi thời kỳ số tiền thu bảo hiểm X = { } 0iiX ≥ , số tiền đòi trả bảo hiểm Y = { } 0jjY ≥ , dãy lãi suất I ={ } 0kkI ≥ được giả thiết là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập cùng phân phối và ba dãy biến ngẫu nhiên này là độc lập với nhau. Khi đó, ở mỗi thời kỳ n ( 1n ≥ ), vốn của kỳ trước được đem đầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên I. Khi đó, vốn ở thời kỳ n được xác định như sau: ...,2,1n;YX)I1(UU nnn1nn =−++= − (1.1) Uo = u > 0 Khi đó, xác suất phá sản đến thời kỳ n được định nghĩa bởi       <=Ψ = ∪ n 1k kn )0U(P)u( (1.2) và xác suất phá sản (với thời gian vô hạn) là       <=Ψ=Ψ ∞ = ∞→ ∪ 1n nn n )0U(P)u(Lim)u( (1.3) Sự tác động của lãi suất đến xác suất phá sản, đã được Sundt và Teugels ([7], 1995; [8], 1997) nghiên cứu cho trường hợp hằng số, trong mô hình rủi ro Poisson phức hợp. Chủ đề này được tiếp tục nghiên cứu trong các mô hình rủi ro, bởi nhiều tác giả như Rolski et al * Tel:0912083250; Email: quangmathftu@yahoo.com ([5], 1999), Asussen ([1], 2000), Yang ([10], 1999) đã xét mô hình (1.1) trong trường hợp đặc biệt khi dãy lãi suất { } 1nnI ≥ là các hằng số. Ngoài ra, Cai ([3], 2004), Xu, L. và Wang, R. ([9], 2006) cũng đã xét mô hình (1.1) và (1.2) khi { } 0nnI ≥ là xích Markov và dãy { } 0iiX ≥ , { } 0jjY ≥ là các dãy biến ngẫu nhiên độc lập hoặc dãy tự hồi quy cấp 1. Bài báo tiếp cận theo hướng xây dựng phương trình đệ quy và phương trình tích phân cho xác suất phá sản và từ đó xây dựng công thức ước lượng xác suất phá sản của mô hình (1.1) với giả thiết X ={ } 0iiX ≥ , I = { } 0kkI ≥ là các dãy biến ngẫu nhiên không âm,là các xích Markov thuần nhất còn Y= { } 0jjY ≥ , là các dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối và X, Y, I là độc lập. Nội dung của bài báo gồm các mục: Mục 2 xây dựng phương trình tích phân cho xác suất phá sản của mô hình (1.1) với giả thiết 2.1 – 2.5 được giới thiệu ở định lý 2.1; Mục 3 của bài báo đưa ra Bổ đề 3.1 chỉ ra sự tồn tại duy nhất hằng số Ro>0 để kết hợp với định lý 2.1 thu được một ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất phá sản của mô hình (1.1), kết quả này được trình bày trong định lý 3.1. Cuối cùng mục 4 đưa ra các kết luận thu được của bài báo. Phùng Duy Quang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 113(13): 33 - 38 34 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN CHO XÁC SUẤT PHÁ SẢN CỦA MÔ HÌNH (1.1) VỚI DÃY SỐ TIỀN THU BẢO HIỂM, DÃY LÃI SUẤT LÀ CÁC XÍCH MARKOV THUẦN NHẤT Xét mô hình (1.1) với các giả thiết sau: Giả thiết 2.1: vốn ban đầu Uo = u > 0. Giả thiết 2.2: Dãy số tiền thu X ={ } 0nnX ≥ là xích Markov thuần nhất nhận giá trị không âm trong { }M21X x...,,x,xE = với phân phối ban đầu: )Ex()xX(Pp Xkk0k ∈== , giá trị ban đầu Xo = xi , [ ] Xjiinj1nij Ex,x);Nn(,xXxXPp ∈∈=== + thỏa mãn : ∑ ∈ =≤≤ XEj ijij 1p,1p0 . Giả thiết 2.3: Dãy lãi suất I ={ } 0nnI ≥ là xích Markov thuần nhất nhận giá trị không âm trong { }N21I i...,,i,iE = với phân phối ban đầu: )Ei()iI(Pq Ikk0k ∈== , giá trị ban đầu Io = ir, [ ] Isrrns1nrs Ei,i);Nn(,iIiIPq ∈∈=== + thỏa mãn: ∑ ∈ =≤≤ IEs rsrs 1q,1q0 . Giả thiết 2.4: Dãy số tiền trả Y = { } 0nnY ≥ là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối với hàm phân phối )yY(F)y(F 0 ≤= . Giả thiết 2.5: X, Y, I là độc lập với nhau. Trước hết, từ (1.1) ta có: ∏∏ ∑ +== = +−++= n 1kj j n 1k n 1k kkkn )I1()YX()I1(.uU .(2.1) Gọi Tu là thời điểm phá sản của công ty bảo hiểm: { }0U:jinfT ju <= . Khi đó, xác suất phá sản của mô hình (1.1) ở thời kỳ n và thời điểm vô hạn xác định như sau: )nT(P)i,x,u( urin ≤=ψ .         ===<= = roioo n 1j j iI,xX,uU)0U(P ∪ . (2.2) )i,x,u(lim)T(P)i,x,u( rin n uri ψ=+∞<=ψ ∞→         ===<= ∞ = roioo 1j j iI,xX,uU)0U(P ∪ .(2.3) Bài toán đặt ra là với các giả thiết 2.1 – 2.5, hãy ước lượng các xác suất (2.2) và (2.3). Trước hết, ta ký hiệu đuôi của phân bố B(x) là )x(B1)x(B −= . Khi đó, ta thu được phương trình tích phân của xác suất phá sản (2.2) và (2.3): Định lý 2.1. Với mỗi n = 1, 2, 3, ta có [ ]∑ ∑ ∫ ∈ ∈ ++ +     −++ψ=ψ Xj Is js Ex Ei x)i1(u 0 sjjsnrsijri1n )y(Fdi,x,yx)i1(uqp)i,x,u( [ ]}js x)i1(uF +++ (2.4) Đặc biệt: [ ]∑ ∑ ∈ ∈ ++=ψ Xj IsEx Ei jsrsijri1 x)i1(uFqp)i,x,u( (2.5) Đồng thời: [ ]∑ ∑ ∫ ∈ ∈ ++     −++ψ=ψ Xj Is js Ex Ei x)i1(u 0 sjjsrsijri )y(Fdi,x,yx)i1(uqp)i,x,u( [ ]}js x)i1(uF +++ (2.6) Chứng minh: Đặt yY,iI;xX 1s1j1 === . Khi đó yx)i1(uYX)I1(UU js111o1 −++=−++= Đặt { }yY,iI,iI,xX,xX,uUA 1s1roj1ioo ======= * Nếu u(1 + is) + xj < y ta có: ( ) 1A0UP 1 =< 1A)0U(P 1n 1k k =      <⇒ + = ∪ .(2.7) * Ngược lại, js x)i1(uy0 ++≤≤ thì ( ) 0A0UP 1 =< . (2.8) Xây dựng dãy bản sao độc lập { } { } { } 0nn0nn0nn I~,Y~,X~ ≥≥≥ tương ứng của các dãy Phùng Duy Quang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 113(13): 33 - 38 35 { } 0nnX ≥ , { } 0nnY ≥ , { } 0nnI ≥ với .iII~,yYY~,xXX~ s1o1oj1o ====== Khi đó, với js x)i1(uy0 ++≤≤ do (2.8) nên ta có:       <=      < + = + = A)0U(PA)0U(P 1n 2k k 1n 1k k ∪∪ [ ]      +−++= + = = ∏∪ 1n 2k k 2j jjs )I1(yx)i1(uP    <+−+∑ ∏ = += k 2j k 1jp pjj 0)I1()YX( ( ) ) s1j1js1 iI,xX,yxi1uU ==−++=           <+−++= = = +== ∑ ∏∏∪ n 1k k 1j k 1jp pjj k 2j jo 0)I ~1()Y~X~()I~1(U~P ) sojojso iI ~ ,xX~,yx)i1(uU~ ==−++= = )i,x,yx)i1(u( sjjsn −++ψ . (2.9) Mà theo định nghĩa, ta có:       ===<=ψ + = + roioo 1n 1k kri1n iI,xX,uU)0U(P)i,x,u( ∪ Khi đó, ta có: )y(dFA)0U(Pqp)i,x,u( Xj IsEx 0 1n 1k k Ei rsijri1n ∑ ∫∑ ∈ +∞ + =∈ +       <=ψ ∪           <= ∫∑ ∑ ++ + =∈ ∈ js Xj Is x)i1(u 0 1n 1k k Ex Ei rsij )y(dFA)0U(Pqp ∪           <+ ∫ +∞ ++ + =js x)i1(u 1n 1k k )y(dFA)0U(P ∪ (2.10) Thay (2.7) và (2.9) vào (2.10) ta thu được: )i,x,u( ri1n+ψ ∑ ∫∑ ∈ ++ ∈     −++ψ= Xj js IsEx x)i1(u 0 sjjsn Ei rsij )y(dF)i,x,yx)i1(u(qp [ ]}js x)i1(uF +++ . (2.11) Hay ta có (2.4). Đặc biệt [ ]∑ ∑ ∈ ∈ ++=ψ Xj IsEx Ei jsrsijri1 x)i1(uFqp)i,x,u( Từ (2.4) cho n +∞→ và định lý hội tụ của hàm dưới dấu tích phân ta thu được (2.6). Vậy định lý 2.1 đã được chứng minh ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT PHÁ SẢN CỦA MÔ HÌNH (1.1) VỚI DÃY SỐ TIỀN THU BẢO HIỂM, DÃY LÃI SUẤT LÀ CÁC XÍCH MARKOV THUẦN NHẤT Để thu được bất đẳng thức đánh giá ước lượng cho xác suất phá sản của mô hình (1.1), ta đưa ra bổ đề sau: Bổ đề 3.1. Với mỗi Xi Ex ∈ , nếu ( )io11 xXXE)Y(E =< và ( ) 0xX0)XY(P io11 >=>− (3.1) thì tồn tại duy nhất hằng số 0R i > thỏa mãn phương trình: ( ) 1xXeE io)XY(R 11i ==− (3.2) Chứng minh: Xét hàm số: { } ),0(r;1xXeE)r(f iio)XY(ri 11i ∞+∈−== − . Ta có [ ]{ }io)XY(r11i xXe)XY((E)r('f 11i =−= − [ ]{ } 0xXe)XY((E)r(''f io)XY(r211i 11i ≥=−= − . Nên f(ri) là hàm lồi trên ),0( ∞+ (3.3) với f(0) = 0 và 0)xXX(EEY)0('f io11 <=−= . (3.4) Mặt khác ( ) 0xX0)XY(P io11 >=>− nên tồn tại số 0>δ để: ( ) 0xX0)XY(P io11 >=>δ>− Do đó, ta có { } 1xXeE)r(f io)XY(ri 11i −== − { } { } 11.xXeE io1111i xX)XY(io)XY(r −=≥ =δ>−− { } 1xX)XY((P.e io1ri −=δ>−≥ δ . Phùng Duy Quang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 113(13): 33 - 38 36 Điều này suy ra +∞= +∞→ )r(flim i ri . (3.5) Từ (3.3), (3.4) và (3.5) suy ra tồn tại duy nhất 0R i > thỏa mãn (3.2) . Ký hiệu: ( ){ })Ex(1xXeE:0RminR Xiio)XY(Rio 11i ∈==>= − . Sử dụng kết quả của bổ đề 3.1 và định lý 2.1, ta thu được ước lượng xác suất phá sản cho mô hình (1.1) với các giả thiết 2.1 – 2.5 như sau: Định lý 3.1. Với u > 0, xi > 0, ir > 0 ta có : [ ] ro )I1(uR 1ri iIeE.)i,x,u( 1o =β≤ψ +− . (3.6) Trong đó: )t(F.e )y(dFe inf tR t yR 0t 1 1 o o∫ +∞ ≥ − =β . (3.7) Chứng minh: Trước hết, ta có: Ro > 0 nên hàm tRoe là hàm tăng theo biến t trên ),0( ∞+ . Do vậy )t(F.e )y(dFe inf)t(F.e )y(dFe inf tR t tR 0ttR t yR 0t 1 1 o o o o ∫∫ +∞ ≥ +∞ ≥ − ≥=β 1111)t(F )y(dF inf 1 1 t 0t ≤β⇒≥β⇒== ∫ +∞ ≥ Với 0t ≥ , ta có ∫ ∫ ∞+ − −+∞             = t yRtR 1 tR t yR )y(dFe.e.)t(F.e )y(dFe )t(F oo o o ∫ +∞ −β≤ t yRtR 1 )y(dFe.e. oo (3.8) [ ]1oooo YRtR1 0 yRtR 1 eE.e.)y(dFe.e. − +∞ − β=β≤ ∫ . (3.9) Mặt khác, theo (2.5) và áp dụng (3.9) ta có: [ ]js Ex Ei rsijri1 x)i1(uFqp)i,x,u( Xj Is ++=ψ ∑ ∑ ∈ ∈ [ ] [ ]jso Xj Is 1o x)i1(uR Ex Ei rsij YR 1 eqp.eE ++− ∈ ∈ ∑ ∑β≤ [ ] [ ][ ] roio X)I1(uRYR 1 iI,xXeE.eE 11o1o ==β≤ ++− [ ] [ ] ro )I1(uR io )XY(R 1 iIeE.xXeE 1o11o ==β≤ +−− [ ] ro )I1(uR 1 iIeE 1o =β≤ +− Hay ta có [ ] ro )I1(uR 1ri1 iIeE.)i,x,u( 1o =β≤ψ +− . (3.10) Bây giờ, cần chứng minh bất đẳng thức: [ ] ro )I1(uR 1rin iIeE.)i,x,u( 1o =β≤ψ +− . (3.11) Từ (3.10) suy ra (3.11) đúng với n = 1. Giả sử (3.10) đúng với n, cần chứng minh (3.11) đúng với n + 1. Thật vậy, ta có: [ ] [ ][ ] so )I1(yx)i1(uR* 1 sjjsn iIeE. )i,x,yx)i1(u 1js * o =β≤ −++ψ +−++− [ ]yx)i1(uR* 1 js * oe. −++−β≤ . (3.12) )0yx)i1(u,Ei,Ex( jsIsXj >−++∈∈ trong đó )t(F.e )y(dFe inf tR t yR 0t 1* 1 * o * o∫ +∞ ≥ − =β , ( ) 1xXeE jo)XY(R 11*o ==− và .0RR o*o >≥ Do )t(F )y(dFe )t(F.e )y(dFe :0t t )ty(R tR t yR o o o ∫∫ +∞ − +∞ =≥∀ )t(F.e )y(dFe )t(F )y(dFe tR t yR t )ty(R * o * o * o ∫∫ +∞+∞ − =≤ Phùng Duy Quang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 113(13): 33 - 38 37 nên ≤=β ∫ +∞ ≥ − )t(F.e )y(dFe inf tR t yR 0t 1 1 o o )t(F.e )y(dFe inf tR t yR 0t 1* 1 * o * o∫ +∞ ≥ − =β 1 * 1* 11 11 β≤β⇔β≤β⇔ Đồng thời [ ] [ ] 0yx)i1(uRyx)i1(uR jsojs*o >−++≥−++ nên ta có [ ] [ ]yx)i1(uR1sjjsn jsoe.i,x,yx)i1(u −++−β≤−++ψ (3.13) )0yx)i1(u,Ei,Ex( jsIsXj >−++∈∈ Áp dụng công thức (2.4), kết quả (3.8) và (3.13), ta được: )i,x,u( ri1n+ψ [ ] ∑ ∑ ∫ ∈ ∈ ++ −++−    β≤ Xj Is js jso Ex Ei x)i1(u 0 yx)i1(uR 1rsij )y(dFeqp [ ]    β+ ∫ +∞ ++ ++− js ojso x)i1(u yRx)i1(uR 1 )y(dFee [ ] ∫∑ ∑ +∞ ++− ∈ ∈ β≤ 0 yRx)i1(uR Ex Ei rsij1 )y(dFeeqp ojso Xj Is [ ] [ ][ ]roioX)I1(uRYR1 iI,xXeE.eE 11o1o ==β≤ ++− [ ] [ ]ro)I1(uRio)XY(R1 iIeE.xXeE 1o11o ==β≤ +−− Hay [ ]ro)I1(uR1ri1n iIeE.)i,x,u( 1o =β≤ψ +−+ (3.14) Từ (3.14) suy ra (3.11) đúng với mọi n = 1,2, Cho n +∞→ trong (3.11) ta thu được (3.6) Chú ý 3.1. Nếu giả thiết phụ thuộc xích Markov thuần nhất thay bởi giả thiết độc lập và mô hình có In = 0 thì định lý 3.1 trở thành: Giả sử tồn tại số 0R o > thỏa mãn điều kiện: ( ) 1eE )XY(R 11o =− (3.15) và với u > 0, xi > 0 ta có : uR 1i oe.)x,u( −β≤ψ . (3.16) Trong đó: )t(F.e )y(dFe inf tR t yR 0t 1 1 o o∫ +∞ ≥ − =β . (3.17) Đây chính là kết quả của mô hình tổng quát không có tác động của lãi suất với dãy số tiền thu bảo hiểm X = { } 0iiX ≥ , số tiền đòi trả bảo hiểm Y = { } 0jjY ≥ được giả thiết là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập cùng phân phối và hai dãy biến ngẫu nhiên này là độc lập với nhau. KẾT LUẬN Bài báo đã mở rộng được công thức ước lượng xác suất phá sản của mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất (1.1) với giả thiết dãy số tiền thu bảo hiểm X ={ } 0nnX ≥ và dãy lãi suất I = { } 0nnI ≥ là các xích Markov thuần nhất nhận giá trị không âm, dãy số tiền đòi trả Y = { } 0nnY ≥ là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối (trong đó X, Y, I là độc lập). Các kết quả chính của bài báo là các định lý 2.1 và định lý 3.1. Các kết quả này có thể suy ra tương tự cho mô hình mà vốn ở thời kỳ n được xác định như sau: ...),2,1n(Y)I1)(XU(U nnn1nn =−++= − với Uo = u > 0 Tác giả bài viết xin cảm ơn PGS. TS Bùi Khởi Đàm đã gợi ý cho tác giả vấn đề nghiên cứu và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn thiện bài báo. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Asmussen, S. (2000), Ruin probabilities, World Scientific, Singapore. [2]. H. Albrecher. (1998), Dependent risks and ruin probabilities in insurance. IIASA Interim Report, IR-98-072. [3]. Cai, J. and Dickson, D. C M (2004), Ruin Probabilities with a Markov chain interest model, Phùng Duy Quang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 113(13): 33 - 38 38 Insurance: Mathematics and Economics 35, pp.513-525. [4]. H. Nyrhinen. (1998), Rough descriptions of ruin for a general class of surplus processes. Adv. Appl. Prob., 30: 1008-1026. [5]. Rolski , T., Schmidli, H., Schmidt, V., and Teugels, J. L. (1999), Stochastic Processes for Insuarance and Finance, John Wiley, Chichester [6]. S.D. Promislow.(1991), The probability of ruin in a process with dependent increments. Insurance: Mathematics and Economics, 10: 99-107. [7]. Sundt, B. and Teugels, J. L (1995), Ruin estimates under interest force, Insurance: Mathematics and Economics 16, pp.7-22. [8]. Sundt, B. and Teugels, J. L (1997), The adjustment function in ruin estimates under interest force. Insurance: Mathematics and Economics 19, pp.85-94. [9]. Xu, L. and Wang, R. (2006), Upper bounds for ruin probabilities in an autoregressive risk model with Markov chain interest rate, Journal of Industrial and Management optimization, Vol.2 No.2, pp.165- 175. [10]. Yang, H. (1999), Non – exponetial bounds for ruin probability with interest effect included, Scandinavian Actuarial Journal 2, pp.66-79. SUMMARY RUIN PROBABILITY IN A GENERALIZED RISK PROCESS UNDER INTEREST FORCE WITH MARKOV CHAIN PREMIUMS AND MARKOV CHAIN INTEREST Phung Duy Quang* Foreign Trade University The aim of this paper to give an recursive and integral equation for ruin probabilities for generalized risk processes under interest force with markov chain premiums and markov chain interests and these sequence are usually assumed to be nonnegative – valued random variables. Generalized Lundberg inequalities for ruin probabilities are derived by using recursive technique. Keywords: Recursive equation, integral equation, ruin probabilities, premiums, claims, interests, homogeneous Markov Chain. Ngày nhận bài: 06/9/2013; Ngày phản biện: 20/10/2013; Ngày duyệt đăng: 18/11/2013 Phản biện khoa học: TS. Nguyễn Văn Minh – Trường ĐH Kinh tế & QTKD – ĐHTN * Tel:0912083250; Email: quangmathftu@yahoo.com