Toán học - Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1

1/8/2015 1 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 1 1. Các khái niệm cơ bản Phương trình vi phân (PTVP) cấp 1 là phương trình có dạng trong đó Ví dụ 3.1 0 1( , , ) , ( )F x y y′ = . dyy dx ′ = 2 2 2 0; ( ) .y y x x y dy ydx′ + = + − = 2 Nếu giải phương trình (1) theo , ta được Nghiệm của PTVP hoặc trên khoảng là hàm số xác định trên sao cho khi thay vào PTVP ta được một đẳng thức đúng. Nghiệm có thể cho ở dạng tường minh hoặc dạng ẩn. y′ 2( , ). ( )y f x y′ = 1( ) 2( ) ( , )a b ( )y y x= ( , )a b 3 ( )y y x= Đồ thị của nghiệm được gọi là đường cong tích phân của Bài toán Cauchy (Côsi) (bài toán đầu) Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của PTVP hoặc thỏa mãn điều kiện đầu hay nói cách khác là tìm một đường cong tích phân của (1) hoặc (2) đi qua điểm 1( ) 2( ) 0 0 3( ) ( )y x y= 0 0( , ).x y 4 ( )y y x= 1( ). Hàm số được gọi là nghiệm tổng quát của PTVP cấp 1 trong miền nếu với mọi điểm tồn tại duy nhất một số sao cho là nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện đầu Điều đó có nghĩa là tồn tại duy nhất sao cho i) là nghiệm trong lân cận ii) 5 ( , )y x C= ϕ 2D ⊂ ℝ 0 0( , ) ,x y D∈ 0C 0( , )y x C= ϕ 0 0( ) .y x y= 0C 0( , )y x C= ϕ 0x 0 0 0( , ).y x C= ϕ Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số C một giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng. Nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào được gọi là nghiệm kỳ dị. 6 1/8/2015 2 Ví dụ 3.2 Giải PTVP Tìm nghiệm riêng thỏa mãn
Ta có với là hằng số tùy ý, là tất cả các nghiệm của phương trình.
Vì nên và nghiệm riêng cần tìm là 7 cosy x′ = 0 1( ) .y = cos sin ,y xdx C x C= + = +∫ C 1 0 0( ) sin ,y C= = + 1C = 1sin .y x= + 2. Một số dạng PTVP cấp 1 2.1 Phương trình tách biến (có biến phân li) Dạng cơ bản Phương pháp giải Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (4), ta được với là hằng số tùy ý. 8 4( ) ( ) ( )f x dx g y dy= ( ) ( ) ,f x dx g y dy C= +∫ ∫ C Ví dụ 3.3 Giải PTVP 9 2 0.xdx y dy− = Chú ý 1. Phương trình dạng có thể đưa về dạng (4): trước hết cần lưu ý - Nếu tại thì là nghiệm của (5). - Nếu tại thì là nghiệm của (5) . 10 1 1 2 2 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g y dx f x g y dy= 1 0( )g y = y b= 2 0( )f x = x a= b a - Các nghiệm khác tìm được bằng cách chia hai vế cho rồi lấy tích phân 2. Phương trình có thể đưa về biến phân ly bằng cách đổi biến 11 1 2( ) ( )g y f x 1 2 2 1 ( ) ( ) . ( ) ( ) f x g y dx dy Cf x g y= +∫ ∫ ( )y f ax by c′ = + + .z ax by c= + + Ví dụ 3.4 Giải PTVP Ví dụ 3.5 Giải PTVP 12 2 21 1 0( ) ( ) .x y dx y x dy+ + + = 2( ).y xy y′ = + 1/8/2015 3 Bài tập 1 Giải các PTVP sau 13 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 2 1 3 0 4 0 5 . ( ) ( ) . . ( ) . . ( ) . . ( ) ( ) . . ( ) . x y dx y x dy x y xy x yx y y xy x y x dx y x y dy ydx x a dy + + + = ′+ = ′ − + + = − + − = = − Bài tập 2 Tìm nghiệm của PTVP thỏa mãn điều kiện ban đầu 14 2 2 6 2 4 2 1 31 2 2 1 2 2 2 0 4 3 1 1 0 0 1 4 0 1 1 2 x x xy xy y x y x y x y y x y dx y x dy y e e ydx dy y x + + ′ = = + pi ′ + + = − = + + + = = pi − = = − . , ( ) . . cos( ) cos( ), ( ) . . ( ) ( ) , ( ) . . tan , ( ) . 2.2 Phương trình tuyến tính cấp 1 Dạng cơ bản Phương pháp giải Bước 1: Giải phương trình thuần nhất được nghiệm 15 6( ) ( ) ( )y p x y q x′ + = 0( )y p x y′ + = ( ) . . p x dx y C e−∫= Bước 2: Tìm nghiệm của (6) ở dạng Thế vào (6), ta được với là hằng số tùy ý. Thế (8) vào (7), ta được nghiệm của (6) 16 7( )( ). ( )p x dxy C x e−∫= 7( ) ( ) ( ) ( ). p x dxC x q x e∫′ = 1 8 p x dxC x C q x e dx∫⇒ = + ∫ ( ) ( ) ( ). ( ) 1C 1 p x dx p x dx y e C q x e dx−  ∫ ∫= +  ∫ ( ) ( ) . ( ). Ví dụ 3.6 Giải PTVP Ví dụ 3.7 Giải PTVP 17 4 .y y x′ + = 2 1 2( ) .x y xy′+ + = − Ví dụ 3.8 Giải PTVP Ví dụ 3.9 Giải PTVP Ví dụ 3.10 Giải PTVP 18 2 90 3, ( ) .y x y y e′ − = = − sincos .xy y x e−′ + = 2 2dy x 2xy y dx = + +