Toán học - Chương 1: Số phức, véc-Tơ, ma trận (phần 1 và 2)

CHƯƠNG 1 SỐ PHỨC, VÉC-TƠ, MA TRẬN (Phần 1 và 2) ThS. Huỳnh Văn Kha Email: huynhvankha@tdt.edu.vn https://sites.google.com/site/khahuynhtdt/bai -giang-toan1e1-toan1 NỘI DUNG CHÍNH 1. Số phức – Dạng đại số và các tính toán cơ bản – Dạng lượng giác, lũy thừa và lấy căn – Giải phương trình trong trường số phức 2. Véc-tơ – Véc-tơ hai và ba chiều – Tích vô hương, tích có hướng 3. Ma trận và hệ phương trình tuyến tính – Các phép toán cơ bản trên ma trận – Định thức và ma trận nghịch đảo – Hệ phương trình tuyến tính 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 2 1. SỐ PHỨC • Số phức (complex number) là số có dạng 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 trong đó 𝑎, 𝑏 là những số thực và 𝑖 là đơn vị ảo có tính chất 𝑖2 = −1. • Dạng trên được gọi dạng đại số của số phức. • Số thực 𝑎 được gọi là phần thực (real part) của 𝑧, số thực 𝑏 được gọi là phần ảo (imaginary part) của 𝑧 và thường được ký kiệu là Re 𝑧 = 𝑎, Im 𝑧 = 𝑏 • Ví dụ số phức 𝑧 = 2 − 3𝑖 có phần thực là 2 phần ảo là −3. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 3 Một số phép toán • Cho 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 và 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 thì ta có 𝑧 = 𝑤 ⇔ 𝑎 = 𝑐 𝑏 = 𝑑 𝑧 + 𝑤 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖 𝑧 − 𝑤 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖 𝑧𝑤 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 • Ta ký hiệu 𝑧2 = 𝑧𝑧, 𝑧3 = 𝑧2𝑧, 𝑧𝑘+1 = 𝑧𝑘𝑧, 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 4 Ví dụ 1. a) Tính 1 + 𝑖 3. b) Tính 𝑖2, 𝑖3, 𝑖4, 𝑖𝑛. Suy ra giá trị của 𝑖2015. Các câu c) đến f), tìm các số thực 𝑥, 𝑦 biết c) 1 + 2𝑖 𝑥 − 2 + 𝑖 𝑦 = 1 + 5𝑖 d) 2𝑥 + 𝑖 1 − 𝑖 + 𝑖𝑦 − 6𝑥 2 + 𝑖 = 4 + 9𝑖 e) 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑖𝑥𝑦 = 1 + 𝑖𝑥 f) 𝑒𝑥 2+𝑦2 + 𝑖2𝑦 = 𝑒−2𝑥𝑦 + 𝑖 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 5 Số phức liên hợp (conjugate) • Liên hợp của số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 là số phức 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 • Một số tính chất 𝑧 = 𝑧 𝑧 + 𝑧 = 2𝑎 + 0𝑖 = 2Re 𝑧 𝑧 − 𝑧 = 0 + 2𝑖𝑏 = 2𝑖 Im 𝑧 𝑧 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎2 + 𝑏2 • Nếu 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 và 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ≠ 0 thì ta có phép chia số phức 𝑤 𝑧 = 𝑤 𝑧 𝑧 𝑧 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 6 • Các phép cộng, trừ, nhân, chia số phức có đầy đủ các tính chất như đối với số thực. • Ngoài ra, với số phức liên hợp, ta còn có các tính chất sau đây 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 − 𝑧2 𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 7 Ví dụ 2. Tính (viết lại dưới dạng 𝑎 + 𝑏𝑖 với 𝑎, 𝑏 là các số thực). 𝑎) 1 1 + 2𝑖 𝑏) 𝑖 + 1 1 − 2𝑖 2 𝑐) 3 − 4𝑖 1 + 2𝑖 𝑑) 3 − 4𝑖 1 + 2𝑖 + 3 + 4𝑖 1 − 2𝑖 𝑒) 4 − 4𝑖 2 + 2𝑖 7 𝑓) 4 − 4𝑖 2 + 2𝑖 7 − 4 + 4𝑖 2 − 2𝑖 7 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 8 Mô-đun (Modulus) • Mô-đun của số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 được định nghĩa là 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 • Mô-đun của số phức là một số thực không âm, ví dụ 2 + 𝑖 = 4 + 1 = 5. • Một số tính chất 𝑧 𝑧 = 𝑧 2 𝑧 = 𝑧 𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1 𝑧2 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 9 Ví dụ 3. Tính mô-đun của các số phức 𝑎) − 𝑖 + 3 + 𝑖 1 − 𝑖 𝑏) 3 + 4𝑖 5 1 + 𝑖 3 𝑐) 2 − 3𝑖 2 3 + 3𝑖 3 𝑑) 1 + 𝑖 + 1 1 + 𝑖 𝑒) 1 1 − 𝑖 + 1 1 + 𝑖 + 5 1 + 2𝑖 𝑓) 1 − 𝑖 𝑛 2 + 2𝑖 𝑛 𝑛 ∈ ℕ 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 10 • Số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 có thể được biểu diễn thành một điểm trong mặt phẳng. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 11 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 12 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 13 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 14 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 15 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 16 Dạng lượng giác của số phức • Số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 có thể được diễn tả thông qua hai giá trị 𝑟 và 𝜃 như hình vẽ. • Rõ ràng 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 và ta gọi dạng này là dạng lượng giác của số phức 𝑧. 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 17 Argument chính • Nếu 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 thì – Giá trị 𝑟 chính là mô-đun của 𝑧. – Giá trị 𝜃 được gọi là argument của 𝑧, ký hiệu arg 𝑧. • Argument của số phức là không duy nhất, chẳng hạn 1 + 𝑖 = 2 cos 𝜋 4 + 𝑖 sin 𝜋 4 = 2 cos 𝜋 4 + 𝑘2𝜋 + sin 𝜋 4 + 𝑘2𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ • Argument chính của 𝑧 được định nghĩa là giá trị của arg 𝑧 nằm trong khoảng −𝜋, 𝜋 . 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 18 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 19 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 20 Nhân, chia dạng lượng giác • Cho 𝑧1 = 𝑟1 cos 𝜃1 + 𝑖 sin 𝜃1 và 𝑧2 = 𝑟2 cos 𝜃2 + 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 21 Lũy thừa nguyên số phức • Cho số phức 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 và 𝑛 ∈ ℕ thì 𝑧𝑛 = 𝑟𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 𝑧−𝑛 = 1 𝑧𝑛 = 𝑟−𝑛 cos −𝑛𝜃 + 𝑖 sin −𝑛𝜃 • Nếu 𝑟 = 1 ta có công thức DeMoivre’s cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 𝑚 = cos𝑚𝜃 + 𝑖 sin𝑚𝜃 , 𝑚 ∈ ℤ Ví dụ 5. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác a) 1 + 𝑖 3 11 b) 1 + 𝑖 3 3 + 𝑖 3 c) 3 − 4𝑖 6 d) 3 + 4𝑖 −6 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 22 Căn bậc 𝑛 số phức • Căn bậc 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) của số phức 𝑧 được định nghĩa là số phức 𝑤 thỏa 𝑤𝑛 = 𝑧. • Ký hiệu của căn bậc 𝑛 là 𝑛 𝑧 hoặc 𝑧1/𝑛. • Nếu 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 thì 𝑛 𝑧 = 𝑛 𝑟 cos 𝜃 𝑛 + 𝑘2𝜋 𝑛 + 𝑖 sin 𝜃 𝑛 + 𝑘2𝜋 𝑛 , 𝑘 = 0,1,2, , 𝑛 − 1 • Cho 𝑛 ∈ ℕ và 𝑚 ∈ ℤ ta định nghĩa 𝑧𝑚/𝑛 = 𝑛 𝑧 𝑚 = 𝑛 𝑟 𝑚 cos 𝑚𝜃 𝑛 + 𝑘𝑚2𝜋 𝑛 + 𝑖 sin 𝑚𝜃 𝑛 + 𝑘𝑚2𝜋 𝑛 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 23 Ví dụ 6. Tính 𝑎) −1 𝑏) 𝑛 1 𝑐) 1 + 𝑖 3 1/5 𝑑) 3 27𝑖 𝑒) 1 + 𝑖 5/6 𝑓) 4 2 3 − 2𝑖 𝑔) 8 1 − 𝑖 3 + 𝑖 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 24 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 25 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 26 Giải phương trình trên tập số phức • Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các số phức, 𝑎 ≠ 0. Xét phương trình 𝑎𝑧2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 • Đặt Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 thì nghiệm là 𝑧 = −𝑏+ Δ 2𝑎 Ví dụ 7. Giải các phương trình 𝑎) 𝑤2 + 𝑤 + 𝑖 4 = 0 𝑏) 𝑤6 + 𝑤3 + 1 = 0 𝑐) 𝑧2 + 1 − 𝑖 𝑧 + 4 + 7𝑖 = 0 𝑑) 𝑖𝑧4 − 3 + 2𝑖 𝑧2 + 2 − 2𝑖 = 0 e) 1 + 𝑧 + 𝑧2 + 𝑧3 + 𝑧4 = 0 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 27 2. VÉC-TƠ • Véc-tơ trong không gian hai chiều là một bộ gồm hai số thực có dạng 𝑎, 𝑏 . • Véc-tơ trong không gian ba chiều là một bộ gồm ba số thực có dạng 𝑎, 𝑏, 𝑐 . • Tích vô hướng của 𝑢1 = 𝑎1, 𝑏1 và 𝑢2 = 𝑎2, 𝑏2 là 𝑢1, 𝑢2 = 𝑎1𝑎2 + 𝑏1𝑏2 • Tích vô hướng của 𝑣1 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 và 𝑣2 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 là 𝑣1, 𝑣2 = 𝑎1𝑎2 + 𝑏1𝑏2 + 𝑐1𝑐2 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 28 • Tích có hướng của hai véc-tơ 𝑣1 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 và 𝑣2 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 trong không gian ba chiều là 𝑣1, 𝑣2 = 𝑏1 𝑐1 𝑏2 𝑐2 , 𝑐1 𝑎1 𝑐2 𝑎2 , 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 = 𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1, 𝑐1𝑎2 − 𝑐2𝑎1, 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 31/12/2015 Toán 1E1 và Toán 1 - Chương 1 29