Tích hợp phương pháp Monte Carlo và phương pháp phương trình cân bằng trong mô phỏng linh kiện Đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs

TÍCH HỢP PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO VÀ PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG TRONG MÔ PHỎNG LINH KIỆN ĐI-ỐT p-i-n BÁN DẪN GaAs ĐINH NHƯ THẢO Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế NGUYỄN ĐỨC NHÂN Học viên Cao học, Trường ĐHSP - Đại học Huế Tóm tắt: Bài báo này trình bày mô phỏng động lực học của hạt tải trong linh kiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs bằng phương pháp tích hợp giữa phương pháp Monte Carlo và phương pháp phương trình cân bằng. Chúng tôi đã tiến hành mô phỏng ứng với các giá trị điện trường ngoài vào cỡ 50, 70 và 100 kV/cm. Quá trình mô phỏng chỉ ra rằng phương pháp mới cho kết quả phù hợp với kết quả của phương pháp Monte Carlo nhưng với thời gian mô phỏng nhỏ hơn rất nhiều. 1 GIỚI THIỆU Trong lịch sử nghiên cứu linh kiện bán dẫn nano, đã có nhiều phương pháp mô phỏng khác nhau được sử dụng như phương pháp kéo theo khuếch tán, phương pháp phương trình cân bằng, phương pháp Monte Carlo, phương pháp hàm Green [1, 2, 3, 4]. Mỗi phương pháp đều có tốc độ tính toán, độ chính xác và khả năng ứng dụng khác nhau. Trong số các phương pháp này, phương pháp phương trình cân bằng và phương pháp Monte Carlo là hai phương pháp bán cổ điển thường được sử dụng. Phương pháp Monte Carlo cho kết quả có độ chính xác cao nhưng thời gian thực hiện lâu, trong khi đó phương pháp phương trình cân bằng có tốc độ tính toán nhanh song kết quả lại kém chính xác hơn [1]. Từ nhận định này, chúng tôi đã xây dựng thành công một bộ công cụ mô phỏng mới dựa trên việc tích hợp phương pháp Monte Carlo và phương pháp phương trình cân bằng. Chúng tôi sử dụng bộ công cụ mới này trong mô phỏng linh kiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs để tiện so sánh và đánh giá tính năng của nó. Bộ công cụ mô phỏng mới cho kết quả phù hợp với kết Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(13)/2010: tr. 23-29 24 NGUYỄN ĐỨC NHÂN - ĐINH NHƯ THẢO quả thu được từ phương pháp Monte Carlo với tốc độ tính toán nhanh hơn rõ rệt. 2 PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO Mô phỏng linh kiện Monte Carlo được thực hiện bằng việc tính toán xen kẽ các quá trình trôi dạt, tán xạ của hạt tải đồng thời với việc tính toán điện thế dựa trên một bộ số ngẫu nhiên trong suốt quá trình mô phỏng. Khi mô phỏng cho các quá trình động học của hạt tải, thay vì tính toán cho các hạt tải thực chúng ta sẽ tính toán cho các siêu hạt, mỗi siêu hạt tương ứng với một tập hợp cỡ 109 hạt thực. Trong quá trình trôi dạt, thời gian bay tự do τ được xác định một cách ngẫu nhiên thông qua công thức sau [1, 5, 6]: τ = − ln(r1) Γ , (1) với r1 là một số ngẫu nhiên nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Sự thay đổi vector sóng ∆~k của hạt được xác định theo công thức ∆~k = e ~E ~ τ , với e là điện tích hạt tải, ~E là vectơ điện trường ngoài. Để mô phỏng quá trình tán xạ chúng ta cần lựa chọn cơ chế tán xạ và xác định trạng thái của hạt sau tán xạ. Trong mô phỏng Monte Carlo, việc lựa chọn cơ chế tán xạ được xác định một cách ngẫu nhiên và trạng thái của hạt sau tán xạ được xác định dựa trên sự bảo toàn năng lượng và xung lượng. Việc tính toán điện thế được thực hiện thông qua việc giải phương trình Poisson cho các hạt tải thực. Đối với mô hình một chiều, phương trình Poisson cần giải có dạng sau: ∂2ϕ(x) ∂x2 = −ρ(x) ²s , (2) với ϕ(x) là điện thế, ρ(x) là mật độ điện tích, ²s là hằng số điện môi của vật liệu. TÍCH HỢP PP MONTE CARLO VÀ PP PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG... 25 3 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG Khi sử dụng phương pháp phương trình cân bằng, ta phải tiến hành giải đồng thời phương trình Poisson (2) và các phương trình cân bằng cơ bản sau: ∂n ∂t = −∇. (~vdn) + ( ∂n ∂t ) C , ∂ (n~pd) ∂t = −∇. (n~vd~pd) + en ~E −∇ ( nω − 1 2 m∗nv2d ) + ( ∂ (n~pd) ∂t ) C , ∂ (nω) ∂t = −∇. [ n~vdω + 2 3 ( n~vd − κ kB ∇ )( ω − m ∗v2d 2 )] en ~E~vd + ( ∂ (nω) ∂t ) C (3) trong đó n là mật độ hạt tải, ~vd là vận tốc trôi dạt trung bình, m ∗ là khối lượng hiệu dụng của hạt tải, ~pd là xung lượng trung bình trên mỗi hạt tải, ~E là vectơ điện trường, ω là năng lượng của hạt tải, κ là độ dẫn nhiệt, kB là hằng số Boltzmann. Để giải số, các phương trình trên sẽ được rời rạc hóa và giải bằng phương pháp lặp Newton. Từ việc giải hệ phương trình này ta xác định được mật độ hạt tải, xung lượng trung bình của hạt, năng lượng trung bình của hạt và phân bố điện thế. 4 KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ THẢO LUẬN Hình vẽ 1: Mô hình linh kiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs. Chúng tôi sử dụng mô hình đi-ốt p-i-n GaAs có kích thước như sau: phần p và n có bề dày đều là 20 nm, phần i ở giữa có bề dày 500 nm. Mật độ điện tử và lỗ trống nền lần lượt là 1.1011 cm−3 và 3.1011 cm−3, mật độ pha tạp ở phần p và n tương ứng là 1.1017 cm−3 và 5.1017 cm−3. Đi-ốt được phân cực nghịch như hình vẽ 1. Trong tính toán này chúng tôi sử dụng mô hình ba thung lũng gồm thung lũng Γ, thung lũng L và thung lũng X. 26 NGUYỄN ĐỨC NHÂN - ĐINH NHƯ THẢO Hình vẽ 2: Sơ đồ mô phỏng Monte Carlo tập hợp tự hợp tích hợp với phương pháp các phương trình cân bằng. Quá trình mô phỏng gồm hai giai đoạn chính: giai đoạn trước và sau khi linh kiện được kích thích quang. Khi chưa có kích thích quang, trong linh kiện chỉ có các hạt tải nhiệt. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp các phương trình cân bằng để mô tả chuyển động của các hạt tải nhiệt trong giai đoạn này. Các kết quả tính toán sẽ được sử dụng cho quá trình mô phỏng tiếp theo. Khi có kích thích quang, trong linh kiện sẽ có cả hạt tải nhiệt và hạt tải quang. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp để tính toán chuyển động của cả hai loại hạt tải. Thuật toán mô tả sự tích hợp giữa phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp với phương pháp các phương trình cân bằng được trình bày trong hình vẽ 2. Chúng tôi sử dụng mật độ hạt tải kích thích quang vào cỡ 1017 cm−3, bước thời gian là ∆t = 0.25 fs và kích thước không gian là ∆x = 1 nm. Các hình vẽ 3, 4 và 5 mô tả đồ thị vận tốc tương đối của điện tử và lỗ trống được tính theo hai phương pháp khác nhau, phương pháp tích hợp và phương pháp Monte Carlo, ứng với các giá trị điện trường là 50, 70 và 100 kV/cm. Ở hình vẽ 3(a), 4(a) và 5(a) ta thấy rằng đồ thị vượt quá vận tốc thu được từ hai phương pháp khá giống nhau. Sự sai khác trong kết quả thu được của hai phương pháp là rất nhỏ, điều này được TÍCH HỢP PP MONTE CARLO VÀ PP PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG... 27 chỉ ra ở các hình vẽ 3(b), 4(b) và 5(b). Do đó chúng tôi khẳng định rằng các kết quả mô phỏng bằng bộ công cụ mới phù hợp với các kết quả mô phỏng bằng phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp [5, 6]. Hình vẽ 3: Vận tốc trôi dạt tương đối ve−h theo thời gian ứng với Eext = 50 kV/cm. Hình vẽ 4: Vận tốc trôi dạt tương đối ve−h theo thời gian ứng với Eext = 70 kV/cm. 28 NGUYỄN ĐỨC NHÂN - ĐINH NHƯ THẢO Hình vẽ 5: Vận tốc trôi dạt tương đối ve−h theo thời gian ứng với Eext = 100 kV/cm. Quá trình chạy chương trình cho thấy bộ công cụ mô phỏng mới có tốc độ tính toán nhanh gần gấp 2 lần so với bộ cộng cụ cũ trong trường hợp số hạt mô phỏng là 13.066 siêu hạt. Do đó nếu chúng ta mô phỏng với số hạt vào cỡ số Avogađro thì thời gian mô phỏng sẽ giảm đi rất nhiều. Điều này là do một khối lượng tính toán lớn của phương pháp Monte Carlo mô phỏng cho hạt tải nhiệt đã được thay bởi phương pháp các phương trình cân bằng. 5 KẾT LUẬN Chúng tôi đã xây dựng thành công một bộ công cụ mô phỏng mới trên cơ sở tích hợp phương pháp Monte Carlo với phương pháp phương trình cân bằng và đã áp dụng để mô phỏng linh kiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs. Quá trình mô phỏng cho thấy bộ công cụ mô phỏng này cũng cho kết quả chính xác nhưng với thời gian mô phỏng nhanh hơn nhiều so với bộ công cụ mô phỏng dựa trên phương pháp Monte Carlo. Điều đó cho thấy bộ công cụ mô phỏng mới có các đặc trưng chính xác của phương pháp Monte Carlo và tốc độ tính toán nhanh của phương pháp phương trình cân bằng. TÍCH HỢP PP MONTE CARLO VÀ PP PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG... 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M. Akaru (2005), Monte Carlo simulation for electron dynamics in semiconductor devices, Mathematical and Computational Applications, 10, 19-26. [2] G. Satyabadh, R. P. Joshi (2002), Monte Carlo calculation of electron drift character- istics and avanlanche noise in bulk InAs, Journal of Applied Physics, 91, 1333-1335. [3] D. N. Thao, S. Katayama, T. D. Khoa and M. Iida (2004), Calculation of THz radia- tion due to coherent polar-phonon oscillations in p-i-n diode structure at high electric field, Semicond. Sci. Technol., 19, 304-307. [4] D. N. Thao, S. Katayama and K. Tomizawa (2004), Numerical simulation of THz radiation by coherent LO phonons in GaAs p-i-n diodes under high electric fields, Journal of the Physical Society of Japan, 73, 3177-3181. [5] D. N. Thao, S. Katayama, K. Tomizawa, P. P. N. Hoang, D. T. Chuong (2006), Monte Carlo analysis of THz radiation by coherent LO phonon oscillations in some GaAs devices under high electric fields, Comm. Phys. Suppl., 23-28. [6] D. N. Thao (2008),Monte Carlo Simulation of THz Radiation from GaAs p-i-n Diodes under High Electric Fields Using an Extended Valley Model, Comm. Phys., 18, 95-101. Title: INTERGRATING THE MONTE CARLO METHOD WITH THE BALANCE EQUATION METHOD IN SIMULATION OF GaAs p-i-n DIODES. Abstract: This paper presents the simulation of carrier dynamics in GaAs p-i-n diodes by a method that is an intergration of the Monte Carlo method and the balance equation method. We carry out the simulation with various electric fields of 50, 70 and 100 kV/cm. The simulation shows that the new method provides results which are consistent with Monte Carlo’s ones but it reduces much time for simulation. TS. ĐINH NHƯ THẢO Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế. NGUYỄN ĐỨC NHÂN Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế.