Giáo trình Vật lý 1 Phần 1 - ThS. Trương Thành

Một xe có khối lượng 15 tấn chuyển động chậm dần với gia tốc bằng - 0,49 2s m và với vận tốc ban đầu v0 = 27 h km . Hỏi: 1) Lực hãm chuyển động? 2) Sau bao lâu xe dừng lại? Giải: Dùng hệ SI M = 15 tấn = 15.000kg Cho: a = 0,49m/s2 F = ? v0 = 27 km/h = 7,5m/s Tìm: t∆ = ? 1) Theo định luật Newton 2, lực gây ra gia tốc a (lực hãm) bằng: F = ma = 15.000 kg (-0,49)m/s2 = - 7.350N 2) Giả sử sau thời gian t∆ lực hãm làm cho xe dừng lại (v = 0) thì theo định lý “Xung lượng bằng biến thiên động lượng” F t∆ = mv - mv0 = - mv0 Vậy: t∆ 350.7 5,7000.150 − ×−== F mv t∆ =13,3s Bài tập mẫu 4: Trên đường ray có một xe khối lượng 10 tấn. Trên xe có một khẩu pháo khối lượng 0,5 tấn (không kể đạn). Mỗi viên đạn có khối lượng 1kg. Khi bắn có vận tốc ban đầu (so với đất) bằng 500m/s. Coi noöng pháo nằm ngang và chĩa dọc theo đường ray. Tính tốc độ của xe sau khi bắn trong hai trường hợp: Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 40 1) Ban đầu xe chuyển động với vận tốc 18km/h và đạn bắn theo chiều xe chạy. 2) Ban đầu xe chuyển động với vận tốc 18km/h và đạn bắn ngược chiều xe chạy. Coi ma sát không đáng kể. Giải: Dùng hệ SI M (xe) = 10 tấn = 10.000kg M’ (súng) = 0,5 tấn = 500kg M (đạn) = 1kg v (đạn) = 500m/s Tìm: v2 = ? Cho: V1 (xe) = 18km/h = 5m/s Lực tác dụng lên hệ (xe, sung, đạn ) triệt tiêu, vậy hệ tuân theo định luật bảo toàn động lượng. Động lượng của hệ trước khi bắn 1P = (M + M’+ m) 1V Động lượng của hệ sau khi bắn 2OP = (M + M’) 2V + mv Ta có: 1P = 2P (M + M’+ m) 1V = (M + M’) 2V + mv 2V = ' )'( 1 MM vmVmMM + −++ 1) Nếu đạn bắn theo chiều xe chạy thì: ' )'( 1 2 Mm mvVmMM V + −++= Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 41 = =+ ×−++ 500000.10 50015)1500000.10( 4,95 m/s V2 = 4,95 m/s 2) Nếu đạn bắn ngược chiều xe chạy. ( 1V và v ngược chiều) thì: ' )()'( 1 2 Mm mvVmMM v + −−++= = =+ +++ 500000.10 50015)1500000.10 5,05 m/s V2 = 5,05 m/s Bài tập tự giải: 1. Một thanh gỗ bị kẹp giữa hai mặt phẳng đứng, thanh gỗ có khối lượng 5kg, lực nén thẳng góc lên mỗi mặt của thanh gỗ bằng 150N. Hỏi muốn nâng hay hạ thanh gỗ theo phương thẳng đứng thì cần phải tác dụng lên thanh gỗ những lực bằng bao nhiêu? Biết hệ số ma sát giữa các mặt tiếp xúc là 0,2. Hướng dẫn và Đáp số: Dùng khái niệm lực ma sát khô. Cần chú ý đến chiều lực ma sát. Ta có: Fnâng = 109N; Fhạ = 10,95N. 2. Một xe có khối lượng 20 tấn chuyển động chậm dần dưới tác dụng của một lực hãm có giá trị bằng 6.120N. Vận tốc ban đầu của xe bằng: 54km/h. Tính: a) Gia tốc của xe. b) Sau bao lâu xe dừng lại. c) Từ lúc bắt đầu chuyển động chậm dần tới lúc dừng hẳn, xe đã chạy được quãng đường bao nhiêu? Đáp số: a) a = - 0,3m/s2, b) t = 50s, c) s = 375m 3. Một vật có khối lượng 5kg. Được đặt trên một mặt phẳng nghiêng với mặt nằm ngang một góc 300. Hệ số ma sát của vật trên mặt phẳng nằm nghiêng bằng 0,2. Tính gia tốc của vật? Đáp số: a = 3,24m/s 4. Một sợi dây được vắt qua một ròng rọc hai đầu buộc hai quả nặng có khối lượng lần lượt bằng m1 = 3kg, m2 = 2kg. Tính gia tốc của hệ và lực căng của dây? Giả sử ma sát không đáng kể, dây không giãn và không bỏ qua khối lượng. Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 42 Đáp số: a = 21 21 mm mm + − g = 1,96m/s2 T = g mm mm 2 212 + = 23,5N 5. Một bản gỗ A được đặt trên một mặt phẳng nghiêng với mặt nằm ngang với một góc α = 300. Dùng một sợi dây, một đầu buộc vào A, vòng qua một ròng rọc, đầu kia treo trên một bản gỗ B khác. Cho khối lượng của A bằng m1 = 1kg, của B bằng m2 = 1,5kg. Hệ số ma sát giữa A và mặt phẳng nghiêng là 0,2. ma sát ở chỗ ròng rọc không đáng kể. Tính gia tốc của hệ AB và lực căng của dây. Đáp số: a = 2 21 112 /24,3)cossin( sm mm gkmmm =+ −− αα T = m2(g - a) = 9,94 N 6. Một người di chuyển một chiếc xe với vận tốc không thay đổi. Lần đầu người ấy kéo xe về phía trước, lần sau người ấy đẩy xe về phía sau. Trong cả hai trường hợp càng xe hợp với phương nằm ngang một gócα . Hỏi trong trường hợp nào người tốn lực hơn? Biết rằng trọng lượng của xe là P, hệ số ma sát của bánh xe với mặt đất là k. Hướng dẫn và Đáp số: - Trường hợp kéo xe về phía trước, muốn xe chuyển động ít nhất phải: F1 = fms hay Fcosα = k(P - Fsinα ), suy ra: F = αα sincos k kP + A B  H.II-13 m1 m2 H.II-12 P msF 2F F 1F α H.II-14 Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 43 - Trường hợp đẩy xe về phía sau: F = αα sincos k kP − Vậy “đẩy xe về phía sau tốn lực hơn kéo xe về phía trước”. 7. Một toa xe có khối lượng 20 tấn chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 54km/h. Xác định lực trung bình tác dụng lên xe nếu toa xe dừng lại sau thời gian: a) 1 phút 40 giây b) 10 giây Đáp số: a) 3.000N, b) 30.000N 8. Một phân tử có khối lượng m = 4,65. 10-23gam, chuyển động với vận tốc 60m/s va chạm đàn hồi với thành bình dưới góc nghiêng α = 600. Tính xung lượng của lực tác dụng lên thành bình trong sự va chạm đó? Đáp số: 2,8.10-24N.s 9. Một viên đạn có khối lượng 10 gam chuyển động với vận tốc v = 200m/s xuyên thẳng vào một tấm gỗ và chui sâu vào trong tấm gỗ một đoạn l = 4cm. Hãy xác định lực cản trung bình của gỗ và thời gian viên đạn chuyển động trong tấm gỗ. Hướng dẫn: Dùng phương trình chuyển động chậm dần đều và định luật 2 Niutơn. Đáp số: F= 5.000N; t∆ = 4.10-4s. 10. Một vật có khối lượng 1kg chuyển động ngang với vận tốc 1m/s va chạm không đàn hồi vào vật thứ 2 khối lượng 0,5kg. Tính vận tốc của mỗi vật sau va chạm nếu: a) Vật thứ hai ban đầu đứng yên. b) Vật thứ hai ban đầu chuyển động cùng chiều với vật thứ nhất với vận tốc 0,5m/s. c) Vật thứ hai ban đầu chuyển động ngược chiều với vật thứ nhất với vận tốc 0,5m/s. Đáp số: a) 0,67m/s b) 0,83m/s c) 0,50m/s Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 44 11. Một ôtô trọng lượng P = 16.000N chạy trên một chiếc cầu cong lên phía trên với vận tốc không đổi v = 36km/h. Bán kính cong của cầu R = 83m. Tính lực mà ôtô tác dụng lên cầu khi nó ở vị trí cao nhất. Đáp số: F = 14.035N 12. Một chiếc thang máy treo ở đầu phía dây cáp. Khi lên thoạt tiên dây cáp chuyển động có gia tốc, sau đó chuyển động đều và trước khi dừng lại thì chuyển động chậm dần đều. Lực căng của dây thay đổi thế nào? Hướng dẫn và Đáp số: Khi chuyển động nhanh dần đều T > P khi chuyển động đều P = T khi chuyển động chậm đều T < P. 13. Trong ống lõm hai đầu bịt kín chứa một ít nước, một quả cầu nhôm, một quả cầu gỗ. Nếu làm ống quay quanh trục thẳng đứng thì xảy ra hiện tượng gì? Đáp số: - Bi gỗ đi xa trục - Bi nhôm gần trục 14. Một chiếc xe có khối lượng 20kg, có thể chuyển động không ma sát trên một con đường nằm ngang. Trên xe đặt một hòn đá khối lượng 4 kg . Hệ số ma sát giữa hòn đá và xe là k = 0,2. Lần đầu người ta đặt lên hòn đá một lực là 6N. Lần thứ hai đặt F2 = 20N. Hãy xác định lực ma sát giữa hòn đá và xe, gia tốc của hòn đá và xe trong cả hai trường hợp. Đáp số: Trường hợp đầu: fms = 5N. axe = ađá = 0,25m/s2 Trường hợp sau: fms = 3,92N ađá = 3,03m/s2 axe = 0,39m/s2 nhäm g ä H.II-15 Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 7. Nguyển Hữu Mình. CƠ HỌC. NXBGD năm 1998. 8. Nguyển Xuân Chi và các tác giả. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1, 2, NXBĐH và THCN năm 1998. 9. Lương Duyên Bình. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1,2, NXBGD1996. 10. Vũ Thanh Khiết và các tác giả. GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐẠI CƯƠNG. NXBGD năm 1977. 11. DAVID HALLIDAY (tập I - cơ học I) và các tác giả CƠ SỞ VẬT LÝ. NXBGD năm 1996. 12. DAVID HALLIDAY (tập II - cơ học II) và các tác giả CƠ SỞ VT LÝ. NXBGD năm 1996. Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 44 Chương III. ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM, ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 3.1. SƠ LƯỢC VỀ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ 3.1.1. HỆ CHẤT ĐIỂM, NỘI LỰC, NGOẠI LỰC, PHƯƠNG TRÌNH 3.1.1.1. Các định nghĩa Hệ chất điểm là một hệ gồm hai chất điểm trở lên. Những lực tác dụng qua lại giữa các chất điểm trong hệ gọi là nội lực. Những lực từ bên ngoài tác dụng vào hệ gọi là ngoại lực. Hệ chỉ có nội lực tác dụng gọi là hệ kín (hay hệ cô lập). Hệ có tác dụng của ngoại lực gọi là hệ không kín (hay hệ hở) 3.1.1.2. Phương trình chuyển động của hệ Giả sử ta có hệ gồm n chất điểm: m1, m2, ...,mn. Tác dụng lên chất điểm mk nào đó gồm hai lực là f k nội lực và Fk ngoại lực. Hệ gồm n chất điểm nên phương trình chuyển động là: 11 am = f 1 + F1 am2 2 = f 2 + F2 (III-1). amn n = f n + Fn . (Ta có tất cả là n phương trình). Cộng từng vế các phương trình này ta được phương trình chuyển động của hệ (phương trình động lực học): ∑ ∑∑∑ = =≠∀= += n 1k n 1k k k1 k n 1k kk Ffam (III-2). (Tác dụng lên mk gồm tất cả những chất điểm khác mk (nghĩa là gồm n-1 chất điểm) nên: f k = ∑ ≠∀ kl f lk. Ngoài ra hệ gồm n chất điểm nên số hạng thứ nhất bên phải có hai dấu∑ ) 3.1.2. ĐỘNG LƯỢNG, XUNG LƯỢNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM Ta xét một hệ gồm n chất điểm: m1, m2, ... mn thì phương trình chuyển động của mk như đã biết là: amk k = dt pd Ff klk kl lk r =+∑ ≠∀ . Xét cả hệ ta có: ∑ ∑ ∑∑∑ = ≠∀ === =+= n k kl n k k n k klk n k k dt pdFf dt pd 1 111 rrr . Trong đó: ∑ ∑ ∑ = ≠∀ = == n k kl n k k lk pdt d dt pd f 1 1 ;0 r r với ∑ = = n k kpp 1 rr là động lượng tổng cộng của cả hệ. Ngoài ra ∑ = n k kF 1 = F là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ, vậy ta có: Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 45 = dt pdr F (III-3). Độ biến thiên động lượng của hệ trong một đơn vị thời gian thì bằng tổng của các ngoại lực tác dụng lên hệ. Mặt khác từ (III-3) ta lại có: dtFpdtFpd ∫∫∫ =∆= rr hay (III-4). Trong đó dtF∫ gọi là xung lượng của hệ (nó bằng độ biến thiên động lượng) Hơn nữa nếu tổng hợp lực bằng không thì: 0= dt pdr , dẫn đến: constp =r . Hay: ....321 === ppp rrr Nếu tổng hợp lực tác dụng lên hệ chất điểm bằng không thì động lượng của hệ chất điểm là một đại lượng bảo toàn. 3.1.3. KHỐI TÂM 3.1.3.1. Khái niệm và định nghĩa Để đi đến khái niệm khối tâm trước hết ta xét một hệ gồm 2 chất điểm m1, m2, lần lượt đặt tại 2 điểm M1, M2, trong trọng trường. Trọng lượng của chúng lần lượt là gmpgmp rrrr 2211 , == . Tổng hợp lực của chúng có điểm đặt tại điểm G nằm trên trên đoạn M1M2 đồng thời thoả mãn: 1 2 1 2 2 1 m m gm gm GM GM == , hay GMmGMm 2211 = . 02211 =− GMmGMm 02211 =+ GMmGMm Ta có thể biểu diễn dạng vector như sau: 02211 =+ GMmGMm Tổng quát cho hệ n chất điểm: 0......2211 =+++ nn GMmGMmGMm , hay viết gọn hơn ∑ = = n k kk GMm 1 0 . G thoả mãn điều kiện trên là khối tâm của hệ, theo đó ta có định nghĩa khối tâm như sau: khối tâm là điểm đặc trưng cho hệ mà chuyển động của nó đặc trưng cho chuyển động của cả hệ. Trong trường hợp gốc tọa độ ta đặt tại một điểm O nào đó thì G được xác định so với O như sau: Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 46 GMOMOG kk += . Dẫn đến: ∑∑ ∑ ∑ == = = =+= n k kk n k n k n k kkkkk OMmGMmOMmOGm 11 1 1 (vì số hạng thứ hai bằng không theo chứng minh trên). Suy ra: ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = == n k k n k kk n k k n k kk m rm m OMm OG 1 1 1 1 r . Nếu ta đặt kZjYiXRGO rrrrr ++== thì các tọa độ của khối tâm có công thức tính như sau: ∑ ∑ = == n k k n k kk m xm X 1 1 , ∑ ∑ = == n k k n k kk m ym Y 1 1 , ∑ ∑ = == n k k n k kk m zm Z 1 1 . (III-5). (Trong đó kzjyixr kkkk rrrr ++= là vector định vị vẽ từ gốc O xác định vị trí của km ) 3.1.3.2. Vận tốc của khối tâm ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ == = = = = = ===== n k k n k k n k k n k k n k kk n k k n k kk m p m p m vm m rm dt dR dt dV 11 1 1 1 1 1 )()( rrrrrr (III-6). ( ∑ = = n k kpP 1 rr là động lượng tổng cộng của cả hệ). 3.1.3.3. Phương trình chuyển động của khối tâm Từ phương trình (III-6) ta có phương trình chuyển động của khối tâm: ∑ ∑∑ = == === n k n k k k k n k k Fdt vdm dt VdmF 1 11 rrrr (III-7). Kết quả này chứng tỏ việc xét chuyển động của một hệ chất điểm đưa về việc xét chuyển động của khối tâm. Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 47 3.2. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 3.2.1. CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN 3.2.1.1. Các định nghĩa Vật rắn tuyệt đối là vật rắn mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó luôn luôn không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động . Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của vật rắn luôn luôn song song với phương ban đầu trong suốt quá trình chuyển động. (các định nghĩa này đã có trong phần động học). Chuyển động của một xe trên một đường thẳng, tàu hỏa trên đoạn đường ray thẳng .v.v. là chuyển động tịnh tiến điển hình. 3.2.1.2. Phương trình động lực học Giả sử có một vật rắn khối lượng m đang chuyển động tịnh tiến dưới tác dụng của một lực F nào đó. Ta tưởng tượng chia vật rắn này thành những phần nhỏ (đủ để xem chúng như là những chất điểm): ∆ m1, ∆ m2,..., ∆ mn. Tổng nội lực f k và tổng ngoại lực Fk tác dụng lên mk nên phương trình động lực học của chúng là: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +=∆ +=∆ +=∆ nnnn Ffam Ffam Ffam ....................... 2222 1111 Cộng từng vế các phương trình này ta có: ∑ ∑ ∑ = = = +=∆ n k n k n k kkkk Ffam 1 1 1 . Mà vật rắn chuyển động tịnh tiến mọi điểm đều có cùng một gia tốc a: n21 a...aa == . Nên: ∑ ∑ = = =∆=∆ n k n k kkk amamam 1 1 )( Người ta chứng minh được tổng nội lực tác dụng lên hệ bằng không: 0 1 =∑ = n k kf . Còn FF n k k =∑ =1 là tổng của các ngoại lực tác dụng lên hệ. Tóm lại ta có: Fam = (III-8). Kết luận Fa rr, Hình III-1 V ∆mk Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 48 Chuyển động tịnh tiến của vật rắn được xem như chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của cả vật rắn đặt tại khối tâm của nó. 3.2.2. CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 3.2.2.1. Định nghĩa Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định là chuyển động mà mọi điểm của vật rắn (trừ các điểm trên trục quay) đều có quỹ đạo tròn có trục là trục quay. Ta có nhận xét là: vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định thì cả vật rắn có cùng vận tốc góc còn các điểm càng xa trục quay thì vận tốc dài càng lớn. 3.2.2.2. Phương trình cơ bản của chuyển động quay quanh một trục cố định, thành phần của lực gây ra chuyển động quay Ta xét một vật rắn bất kỳ, khối lượng m quay quanh trục ∆ với vận tốc góc ωr và gia tốc góc βr . Một chất điểm ∆ mk của vật rắn chịu tác dụng của một ngoại lực Fk nên quay quanh trục ∆ . Phân tích Fk thành hai thành phần 1F song song với trục quay và F2 vuông góc với trục quay: Fk = F1+ F2. Dễ dàng thấy rằng chỉ có F2 mới gây quay (còn F1 chỉ có tác dụng làm vật trượt theo trục quay là chuyển động tịnh tiến mà ta đã xét) Lại phân tích F2 thành hai thành phần: Ftk tiếp tuyến với quỹ đạo Fnk pháp tuyến với quỹ đạo: Ta có: F2 = F tk + Fnk . Ta cũng nhận thấy rằng lực gây ra chuyển động quay là Ftk. Ftk càng lớn và kr càng lớn thì khả năng quay càng mạnh. Tích rkFtk đặc trưng cho chuyển động quay của ∆ mk và gọi là moment quay của lực và ký hiệu là Mk. Vậy: Mk = rk.Ftk = ∆ mk .atk.rk (với atk = rk.β ). Xét cho toàn bộ vật rắn (gồm n chất điểm ) ta có: β.2 111 k n k k n k ktk n k k rmMFr ∑∑∑ === ∆== , hay viếït gọn lại là: Mrm k n k k =∆∑ = β.2 1 . 1F Hình III-2 ∆ kr0 nF 2F kF tF Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 49 Đặt: Irm k n k k =∆∑ = 2 1 (moment quán tính đối với trục ∆ ) (III-9). Dạng vector của moment lực: β= IM (III-10). (III-10) là phương trình cơ bản của vật rắn quay quanh một trục cố định. Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 50 3.3. MOMENT QUÁN TÍNH, MOMENT ĐỘNG LƯỢNG, NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN 3.3.1. MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN Công thức: Irm 2k n 1k k =∑ = chỉ dùng trong trường hợp vật rắn có khối lượng phân bố gián đoạn như trên hình III-3 (bỏ qua các khối lượng của các thanh). Hầu hết vật rắn có khối lượng phân bố liên tục như trên hình III-4 nên moment quán tính phải tính theo biểu thức: I( = ∫∫∫ V 2dmr (III-11). Mỗi vật rắn có moment quán tính đối với một trục quay nhất định là một giá trị xác định (đơn vị của I là kgm2). Ví dụ 1 Tìm moment quán tính của một thanh đồng chất dài l khối lượng m đối với trục quay là trung trực của thanh, khối lượng phân bố đều trên thanh (Hình III-5) Với cách đặt hệ tọa độ như hình vẽ tại tọa độ x lấy một đoạn dx thì khối lượng của dx là: dx l mdm = . Moment quán tính của dm đối với trục quay là: dx l mxdmxdI 220 == . Moment quán tính của cả thanh: ∫ − == 2 2 2 2 0 12 l l mldxx l mI (chỉ số 0 ký hiệu moment quán tính đối với trục đi qua khối tâm và vuông góc với thanh). Ví dụ 2 Tìm moment quán tính của một vòng dây đồng chất nặng m bán kính R đối với trục của nó. Hình III-5 ∆ 2 0 2 ldxxl− ∆ Hình III-3 ∆m1 r 1 r n ∆mn ∆m1 r Hình III-4 V dm ∆ dl Hình III-6 R O Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 51 Với cách đặt hệ tọa độ như hình vẽî ta lấy một đoạn dl khối lượng dm, dễ dàng tính được dm : . 2 . 2 ϕππ RdR mdl R mdm == Moment quán tính của dm đối với trục quay là: ϕπ dR mRdmRdI 2 32 0 == . Moment quán tính của cả đĩa: ∫ == π ϕπ 2 0 2 2 0 2 mRdmRI 3.3.2. MỘT SỐ BIỂU THỨC TÍNH MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC QUAY ĐI QUA KHỐI TÂM Sau đây là một số giá trị moment quán tính thường gặp mà trục quay đi qua khối tâm của vật: - Một thanh đồng chất có mật độ đều, dài l, khối lượng m đối với trục quay là đường trung trực của thanh: 12 2 0 mlI = - Một hình trụ đặc, một đĩa đặc khối lượng m, bán kính R đối với trục của nó là: 2 2 0 mRI = - Một vòng dây, một hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính R đối với trục của nó: I0 = mR2 - Một hình cầu đặc đồng chất bán kính R, khối lượng m, trục bất kỳ đi quay đi qua tâm: 5 2 2 0 mRI = 3.3.3. ĐỊNH LÝ HUYGENS - STENER Các giá trị moment quán tính nói trên như đã nói đếu có trục quay đi qua khối tâm của vật. Để tính moment quán tính đối với một trục quay bất kỳ ta dùng định lý Huygens- Stener. Ở đây chỉ nêu định lý và công thức mà sẽ không chứng minh. Trong đó ta ký hiệu: m là khối lượng của vật; 0∆ và ∆ là hai trục quay song song đi qua khối tâm và đi qua một vị trí bất kỳ, hai trục quay cách nhau một đoạn b và song song với nhau; moment quán tính tương ứng đối với hai trục này là I0 và I. Công thức định lý Huygens-Stener như sau: 2 0 mdII += (III-12). Moment quán tính đối với một trục quay bất kỳ song song với trục quay đi qua khối tâm của vật rắn bằng moment quán tính đối với trục quay đi qua khối tâm cộng với tích số giữa khối lượng của vật và bình phương khoảng cách giữa hai trục quay. 3.3.4. MOMENT ĐỘNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN d Hình III-7  (0 Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 52 3.3.4.1. Khái niệm Để đặc trưng cho khả năng bảo toàn trạng thái quay của các vật người ta cũng đưa ra khái niệm moment động lượng của vật rắn đối với một trục hay một điểm và cũng có ký hiệu là vector L r như moment động lượng của chất điểm. Từ công thức trên β= IM ta có thể khai triển dt Id dt dIM )( ωω rr == (III-13). (vì đối với một vật rắn nhất định và một trục quay nhất định thì I là một hằng số). Dễ dàng thấy rằng ωrI biến thiên càng lớn thì M càng lớn, ωrI đặc trưng cho sự bảo toàn quay và được gọi là moment động lượng của vật rắn quay quanh một trục. ωrr mL = (III-14). 3.3.4.2. Các định lý Thay (III-13) vào (III-14) ta có: dt LdM r = (III-15). Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của moment động lượng của vật rắn đối với một trục bằng tổng các moment lực tác dụng lên vật đối với trục đó. Mặt khác nếu: M = 0 thì dt Ld r = 0, đẫn đến constL =r . Hay: ....321 === LLL rrr hoặc .....332211 === ωωω rrr III (III-16). Nếu tổng các moment lực tác dụng lên vật rắn đối với một trục bằng không thì moment động lượng đối với một trục đó được bảo toàn. 3.3.5. ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY Bất kỳ một sự chuyển vị trí nào của vật rắn từ nơi này sang nơi khác cũng phân tích được thành hai chuyển động: một chuyển động tịnh tiến của khối tâm và các phép quay quanh khối tâm. Một vật chuyển động bất kỳ ngoài động năng của chuyển động tịnh tiến của khối tâm còn có động năng quay của nó quanh khối tâm: 2 2ωIWdq = (III-17). Do vậy cơ năng toàn phần của vật rắn là : W = Wt +Wđtt+Wđq Trong đó: Wt =mgh là thế năng Wđtt =mv2/2 là động năng tịnh tiến của khối tâm Wđq =Iω 2/2 là động năng quay quanh tâm Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 53 Bài tập chương III. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Bài tập mẫu 1: Tác dụng vào một bánh xe (coi như hình trụ rỗng) bán kính r = 0,5m, khối lượng m =50kg một lực tiếp tuyến Ft =100N. Hãy tìm: a) Gia tốc của bánh xe. b) Sau một thời gian bao lâu (kể từ lúc có lực tác dụng) bánh xe có tần số n = 100 vòng/phút. Giả thiết lúc đầu xe đứng yên. Giải: r = 0,5m M = 50kg β = ? Ft = 100N (t = ? Cho: ω = 2 π n/60 = 3 10 π rad/s Tìm: a) Tìm β Dùng phương trình cơ bản: Ι Μ=β Với M = rFt = 0,5.100 = 50Nm I = mr2 = 50.(0,5)2 = 12,5kgm2 Thay vào (1) có: 5,12 50== I Mβ = 4 rad/ s2 β = 4 rad/ s2 b) Tìm (t : Bánh xe quay nhanh dần đều (vì M = const). Do đó sự liên hệ giữa vận tốc góc và thời gian được biểu diễn theo công thức: ω = β t (Vì lúc đầu bánh xe đứng yên ω 0 = 0) t = 43 10 x π β ω = = 2,61s t = 2,61s Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 54 Bài tập mẫu 2: Một bánh đà hình đĩa hình tròn có khối lượng 500 kg, bán kính 20cm đang quay với tần số n = 480 vòng/ phút. Dưới tác dụng của lực ma sát bánh đà dừng lại Hãy tính moment của lực ma sát trong hai trường hợp: a) Bánh đà dừng lại sau thời gian 50s. b) Bánh đà dừng lại sau khi đã quay thêm được 200 vòng. Giải: m = 500kg r = 20cm = 0,2m ω = 2π n/60 = 50,2 rad/s M1 = ? Cho: ∆ t = 50s, N = 200 vòng Tìm: M2 =? 1) Áp dụng định lý Moment động: M. t∆ = I.ω 2 - Iω 1 ω 2 = 0 (dừng lại), nên: M = - t I ∆ 1.ω Bánh đà là đĩa tròn nên: I = 2 1 mr2 do đó : M = - t mr ∆2 2 .ω 1 M = - 502 20500 2 x ),( . 50,2 = -10Nm. M = -10Nm. Dấu trừ có nghĩa là moment hãm. 2) Nếu bánh đà còn tiếp tục quay thêm N = 200 vòng. Áp dụng định lý động năng quay: A = 2 . 2 . 21 2 2 ωω II − Khi dừng lại thì: ω 2 = 0, nên: A = - 2 2 1ω.I = - 2 2ω.I Mặt khác A = Mθ Nên Mθ = - 2 . 2ωI mà I = 2 1 mr2 Mθ = - 4 2mr 2ω Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 55 M = θ4 2mr 2ω M = - 20024 25020500 22 .. ),(.),(. π M = - 8 038, ≈ - 1Nm M = -1Nm Dấu (-) có nghĩa là moment hãm. Bài tập mẫu 3: Một ròng rọc bán kính r = 50 cm được gắn vào một bánh đà có cùng trục quay. Moment quán tính của cả hệ I = 10- 2 kgm2. Trên ròng rọc có quấn một sợi dây một đầu treo một quả cân có khối lượng m = 0,5kg. Hãy tính: a) Gia tốc rơi tự do của quả cân. b) Sức căng T của dây. c) Vận tốc của quả cân khi nó rơi được 0,5m. Giải: r = 5cm = 0,05m I = 10- 2 kgm2 A = ? m = 0,5kg T= ? Cho: s = 0,05m Tìm: V = ? a) Tính a: Trong trường hợp này hệ chuyển động gồm có 2 phần: Một phần quay và một phần chuyển động định tiến. Để áp dụng phương trình cơ bản ta tưởng tượng tách hệ ra làm 2 phần: - Một phần là vật chỉ tham gia chuyển động định tiến. - Một phần bánh đà chỉ tham gia chuyển động quay. Giả sử cắt dây ở một điểm A, muốn hệ giữ nguyên trạng thái động lực như cũ phải tác dụng vào các đoạn dây ở A những lực căng T. Ròng rọc và bánh đà dưới tác dụng của lực căng T của sợi dây sẽ chuyển động quay. Theo phương trình cơ bản của chuyển động quay ta có: Tr = I β (1) - Quả cân chuyển động định tiến dưới tác dụng của trọng lực P và lực căng T’. Theo định luật II Newton ta có: T’ A T + Hình III-8 Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 56 P - T’ = ma (2) Trong đó T’ = T a = β r P = mg Từ (1) và (2) ta suy ra được: mg - 2r Ia = m a = 2r Im mg + = 4 2 10.25 105,0 8,9.5,0 − − + = 1,08m/s2 a = 1,08m/s2 b) Tính sức căng T: Từ (1) ta suy ra: T = 4 2 2 1025 08110 − − ==β . ,. r Ia r I = 4,32 N T = 4,32 N c) Tính vận tốc: Khi quả cân rơi được một đoạn s thì vận tốc được tính theo công thức: s = 2 1 at2 (3) v = at (4) Từ (3) và (4) ta suy ra: v = as2 v = 500812 ,.,. = 1,03m/s v = 1,03m/s Bài tập tự giải: 1. Một trục quay hình trụ đặc khối lượng Mt = 10kg có thể quay xung quanh một trục nằm ngang. Trên trục có cuốn một sợi dây. Một đầu tự do của dây có treo một quả nặng có khối lượng m = 2kg. Hãy: a). Tìm gia tốc chuyển động của quả nặng nếu để nó tự chuyển động. Bỏ qua sức cản của không khí. b. Tính lực căng của dây. Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 57 Hướng dẫn: Tưởng tượng phân tích chuyển động cuả hệ 2 phần: phần chuyển động quay và phần chuyển động tịnh tiến rồi áp dụng công thức cơ bản: Đáp số: a) a = 2,8m/s2 b) T = 14N 2. Đặt bánh xe có bán kính r = 0,5 m và có moment quán tính I = 20kgm2, một moment lực không đổi M = 50Nm. Hãy: a. Tìm gia tốc góc của bánh xe. b. Vận tốc của một điểm trên vành bánh xe lúc t = 10giây (cho biết lúc đầu bánh xe đứng yên) Đáp số: a) β = 2,5 rad/ s2 b) v = 12,5 m/s 3. Một đĩa đặc đồng chất nặng 20N lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang với vận tốc v = 4m/s. Tính động năng của đĩa Hướng dẫn: Động năng của hệ bằng động năng động năng chuyển động tịnh tiến cộng với Động năng chuyển động quay Đáp số: Wđ = 24,5 J 4. Trên một hình trụ rỗng người ta quấn một sợi dây, đầu dây tự do gắn trên trần nhà. Trụ chuyển động xuống dưới, dưới tác dụng của trọng lực. Hãy: a) Tính gia tốc rơi của trụ b) Tính lực căng của sợi dây Cho biết khối lượng của trụ m = 1kg. Bỏ qua khối lượng và bề dày của sợi dây. Đáp số: a = g/2 = 4,9 m/s2, T = 2 P = 4,9 N 5. Hãy xác định động năng toàn phần khi lăn không trượt với vận tốc v trên mặt phẳng của những vật sau: a) Một hình trụ đặc khối lượng m b) Một quả cầu khối lượng m c) Một xe khối lượng m1 (không kể bánh). Có 4 bánh xe dưới dạng những đĩa đặc khối lượng mỗi bánh xe là m2. Đáp số: a) Wđ= 4 3 mv2 Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 58 b) Wđ = 10 7 mv2 c) Wđ = (m1 + 6m2) 2 2v 6. Hai vật khối lượng m1 và m2 (m1> m2) nối với nhau bằng một sợi dây luồn qua một ròng rọc. Ròng rọc có moment quán tính I và bán kính r. Khi m1,, m2 chuyển động thì ròng rọc quay quanh trục của nó. Hãy: a) Xác định gia tốc góc của ròng rọc. b) Tìm sức căng T ở các chỗ nối m1, m2 Hướng dẫn: Tách hệ thành từng phần chỉ tham gia chuyển động tịnh tiến và chỉ tham gia chuyển động quay. Rồi áp dụng các phương trình cơ bản tìm được β , T1, T2 Đáp số: β = I r)TT( 21 − T1 = m1g ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + 221 222 r Imm r Im T2 = m2g ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ + 221 22 2 r Imm r Im 7. Một người đứng ở giữa ghế Giucovski cầm trong tay hai quả tạ mỗi quả khối lượng m = 10kg. Khoảng cách từ quả tạ đến trục quay là 0,75m. ghế quay với vận tốc 1ω = 1 vòng/s. Hỏi: công của người đã sinh ra và vận tốc góc của ghế thay đổi thế nào nếu người đó co tay lại để khoảng cách từ mỗi quả tạ đến trục chỉ còn 0,2m. Cho moment quán tính của người và ghế đối với trục quay là I0 = 2,5Kg.m2. Đáp số: 2ω = 4.1 vòng/s A = 920J Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyển Hữu Mình. CƠ HỌC. NXBGD năm 1998. 2. Nguyển Xuân Chi và các tác giả. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1, 2, NXBĐH và THCN năm 1998. 3. Lương Duyên Bình. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1,2, NXBGD1996. 4. Vũ Thanh Khiết và các tác giả. GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐẠI CƯƠNG. NXBGD năm 1977. 5. DAVID HALLIDAY (tập I - cơ học I) và các tác giả CƠ SỞ VẬT LÝ. NXBGD năm 1996. 6. DAVID HALLIDAY (tập II - cơ học II) và các tác giả CƠ SỞ VT LÝ. NXBGD năm 1996. Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 60 Chương IV. CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG 4.1. CÔNG, CÔNG SUẤT 4.1.1. CÔNG 4.1.1.1. Định nghĩa Một vật có năng lượng thì có khả năng sinh công, và vật sinh công càng nhiều thì chứng tỏ nó có năng lượng càng lớn, công cơ học giống với công trong đời sống ở chỗ là muốn thực hiện công thì phải tiêu tốn một năng lượng. Tuy nhiên về cơ bản thì chúng khác nhau. Cụ thể là trong cơ học công được định nghĩa như sau: Công cơ học nguyên tố dA của lực F làm dịch chuyển một chất điểm được một đoạn d rr là: dA = rdF r r = F.drcosα (IV-1). (α là góc hợp bởi giữa Fr và rdr ) (Hay dA = Fxdx + Fydy + Fzdz Trong đó Fx, Fy, Fz là thành phần của lực F trên các trục tọa độ làm dịch chuyển những đoạn tương ứng là dx, dy, dz, công của lực bằng tổng công của các lực thành phần trên các trục toạ độ. Công toàn phần trên một đoạn đường AB nào đó: A = rdF B A r∫ (IV-2). ( hay A= dzFdyFdxF z B A yx ++∫ ) 4.1.1.2. Nhận xét - Nói đến công cơ học là phải có dịch chuyển - và đây cũng là điểm khác của nó với công trong đời sống - Nếu α = 0 thì dA có giá trị lớn nhất (dA = dAmax). Công của lực có giá trị lớn nhất khi lực tác dụng cùng phương chiều với phương dich chuyển. - Nếu α = 2 π -> dA = 0 nghĩa là những lực tác dụng vuông góc với phương chuyển dời thì không sinh công. - Nếu α = π thì dA < 0. Nghĩa là công của lực cản thì âm. - Nếu lực tác dụng không đổi sFsdFA B A rr.== ∫ (IV-3). Công thức này chúng ta cũng đã quen thuộc trong chương trình phổ thông trung học. 4.1.2. CÔNG SUẤT α B A F rdr Hình IV-1 Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 61 Như trên ta đã biết tất cả các lực đều có khả năng sinh công, các lực khác nhau thì nói chung khả năng sinh công cũng khác nhau. Để đặc trưng cho khả năng sinh công của lực này nhiều hay ít hơn lực kia người ta đưa ra khái niệm công suất với định nghĩa: Công suất là công của lực thực hiện được trong một đơn vị thời gian. dt dAP = , Trong đó dA là công của lực thực hiện được trong thời gian dt. mà sdFdA r r= . Nên: vF dt sdFP == Tóm lại αcos. FvvFP == (IV-4). α là góc giữa lực và vận tốc Hay: P = Fxdx + Fydy + Fzdz (công suất của lực bằng tổng công suất của các lực thành phần trên các trục toạ độ) Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 62 4.2. ĐỘNG NĂNG, ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG 4.2.1. ĐỘNG NĂNG 4.2.1.1. Định nghĩa Mọi vật chuyển động thì có khả năng sinh công, chứng tỏ nó có năng lượng. Năng lượng mà vật có ở dạng chuyển động như vậy gọi là động năng. Động năng là năng lượng chuyển động của vật, nó là đại lượng đặc trưng cho khả năng sinh công khi vật chuyển động. Ta có nhận xét rằng vận tốc và khối lượng của vật càng lớn thì động năng cũng càng lớn. Điều này có thể kiểm nghiệm qua chuyển động của các vật thường gặp như xe cộ, tàu thuyền .v.v..Như vậy thì động năng phải được tính qua khối lượng và vận tốc. Ngoài ra vì công là một dạng của năng lượng nên có thể tìm động năng bằng cách xuất phát từ biểu thức tính công: sd dt vdmrdFdA r rr == . mà v dt sd = nên ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛== 2 2mvdvdvmdA (*). Dễ dàng chứng minh được 22 vv =r . Đại lượng 2 2mvWd = có thứ nguyên năng lượng và theo logic lập luận của chúng ta thì nó chính làì động năng của chất điểm, ngoài ra 2 mv2 càng lớn thì A cũng càng lớn, chúng có cùng đơn vị là đơn vị của năng lượng 1kgm2/s2 = 1J. Thay Wđ vào (*) dẫn đến: dA = dWđ Tích phân hai vế ∫∫ = 2 10 d d W W d A dWdA Ta được: 22 2 1 2 2 mvmvWA d ==∆= (IV-5). 4.2.1.2. Định lý Độ biến thiên động năng của chất điểm bằng tổng công của các ngoại lực tác dụng (Định lý này chỉ đúng khi thế năng không đổi hoặc bằng 0). 4.2.2. ĐỘNG NĂNG CỦA HỆ, ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG 4.2.2.1. Động năng của hệ chất điểm Ta cũng xét một hệ gồm n chất điểm: m1, m2, ...,mn tác dụng lên mk của hệ gồm nội lực f k và ngoại lực Fk vậy công nguyên tố của lực thực hiện trên mk là: dAk = ( ) kkkkkkk rdFrdfrdFf +=+ Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 63 hay dAk = dA nk +dA ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 2 2 kkng k vmd (Trong đó dA nk là công của nội lực kf còn dA ngk là công của ngoại lực Fk, ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 2 2 kk vm là động năng của km 4.2.2.2. Định lý động năng của hệ chất điểm Xét cho toàn hệ ta có: ∑ ∑ ∑∑∑ = = === +===⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ n 1k n 1k n 1k ng k n kk n 1k 2 kk n 1k 2 kk dAdAdA 2 vmd 2 vmd Tóm lại ta có: dA = dAn + dAng = dWđ (An, Ang, Wd tương ứng là công nội lực, công của ngoại lực, động năng của hệ) Dẫn đến: dA = dWđ hay 22 2 1 2 2 0 2 1 mvmvdWdA d d W W d A −== ∫∫ . Hay ta viết gọn: A = ∆ Wđ (IV-6). Độ biến thiên động năng của hệ bằng tổng công của các nội lực và các ngoại lực tác dụng lên hệ. 4.2.2.3. Hệ quả - Đối với vật rắn lý tưởng thì do các chất điểm không dịch chuyển tương đối với nhau nên công của nội lực bằng không. Vậy dA = dAng = dWd hay Ang = ∆ Wd tức là độ biến thiên động năng của vật rắn thì bằng công của ngoại lực tác dụng. - Nếu vật rắn tự do (không có ngoại lực tác dụng) thì F = 0 dẫn đến dA = 0 = dWd ⇒ Wd = const động năng là một đại lượng bảo toàn. Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 64 4.3. THẾ NĂNG, ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG 4.3.1. KHÁI NIỆM THẾ NĂNG Một chiếc quạt treo trên trần, một thác nước, v.v... đều có một năng lượng ngay cả khi chúng không chuyển động, và dĩ nhiên là không phải động năng. Điều mà ta có nhận xét ở đây là tất cả chúng đều cách Trái đất một khoảng cách nào đó. Năng lượng như vậy gọi là thế năng, do vị trí tương đối giữa các vật hay nói là do lực hấp dẩn. Nói chung thì công của lực phụ thuộc vào dạng của đường cong dịch chuyển nhưng công của trường lực hấp dẩn thì chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối của đoạn đường đó. Những lực như vậy gọi là lực thế và trường lực gọi là trường thế. Tóm tại: - Thế năng là năng lượng của trường thế - Trường thế là trường của các lực xuyên tâm - Trường các lực xuyên tâm là trường của các lực có đường tác dụng (hay vector trường) luôn luôn đi qua một điểm cho trước Trường xuyên tâm mà ta bắt gặp nhiều nhất là trường lực hấp dẫn, điện trường của điện tích điểm. 4.3.2. CÔNG CỦA TRƯỜNG THẾ, BIỂU THỨC THẾ NĂNG 4.3.2.1. Công của trường hấp dẫn, biểu thức thế năng Công của lực hấp dẫn của chất điểm M tác dụng lên m đặt cách M một đoạn r làm cho m dịch chuyển một đoạn dr là: 3r rdrMmGrdFdA rrrr −== . Nên công của lực dịch chuyển m từ vị trí 1 sang vị trí 2 là: ∫= 2 1 3 r r r rdrGMmA rr Ta chứng minh được rdrrdr =rr thực vậy: rdrrdrrdrdr zyxdzdzydyxdxrdr kdzjdyidxkzjyixrdr === ++=++= ++++= 2 2 2 2 )( ))(( 2 222 rr rr rrrrrrrr ) x y z 1r r 2r r M Hình IV-2 m O F r rdr rr 2 1 Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 65 Do đó: ∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −== 2 1 12 3 11r r rr GMm r rdrGMmA rr (IV-7). Rõ ràng là công không phụ thuộc vào dạng đường đi. Người ta đặt 1 1 r GMmW −= thế năng ở vị trí 1 2 2 r GMmW −= thế năng ở vị trí 2. Do đó WWWWWA ∆−=−−=−= )( 1221 Ta có định lý thế năng: Công của lực của trường thế thế thì bằng độ giảm thế năng. Tóm lại thế năng của m trong trường hấp dẫn của M, đặt cách M một đoạn r là: r GMmW −= (IV-8). 4.3.2.2. Thế năng của một vật ở độ cao h so với mặt đất Xét một vật có khối lượng m được đặt cách mặt đất một đoạn h (tại vị trí A), tâm Trái đất là O, B ở trên mặt đất và trên đoạn thẳng OA. Vì thế năng có tính cộng được nên: BOAOABBOABAO WWWWWW −=→+= h hRR GMm R GMm hR GMmWAB )( )( +=−−+−= (Trong đó R là bán kính Trái đất, h là độ cao của vật so với mặt đất, M là khối lượng Trái đất, m là khối lượng của một vật nào đó ta cần tính thế năng ). Nói chung hR >> nên 2)( RhRR ≈+ , dẫn đến: h R GMmWW hAB 2)( == , đặt gsm R GM =≈ 2/8,9 , do đó: mghW h =)( (IV-9). 4.3.2.3. Các vận tốc vũ trụ Ta sử dụng lại hình vẽ IV-3 ở trên với gốc toạ độ đặt tại mặt đất, gọi vận tốc tại mặt đất của tên lửa là v0 ở trên quỹ đạo là v. Nếu bỏ qua tất cả các lực cản thì cơ năng của tên lửa bảo toàn: WW =0 Hay: )( 2 )( 2 22 0 hR GmMmv R GmMmv +−+=−+ Trong đó m là khối lượng của tên lửa, M và R là khối lượng và bán kính của Trái đất. R Hình IV-3 h B A o O Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 66 Mặt khác lực hấp dẫn gây ra chuyển động của tên lửa nên lực hấp dẫn là lực hướng tâm: 22 22 2 mv r GmM r mv r GmM =⇒= Dẫn đến: )( 2 )( 2 2 0 r GmM r GmM R GmMmv −+=−+ . Hay: ) 22 2 0 r GmM R GmMmv −= Rr RrGMv −= 20 Với các hành tinh bay gần Trái Đất thì quỹ đạo gần như một đường tròn. Nên ta có thể lấy gần đúng: RhRr ≈+= nên: s km s m R GM R GMv 9,77900 10.637 110.6.10.67,6 11 4 2411 01 =≈ == − 01v gọi là vận tốc vũ trụ cấp một. Với vận tốc vũ trụ cấp hai 02v là vận tốc mà vệ tinh ở rất xa Trái đất, khi đó: ∞≈ R h : s kmv R GM rRr rRrrGMv 2,119,7.2.2 02 / //2 0 02 ≈== +=−= s kmv 2,1102 ≈ 4.3.3. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG 4.3.3.1. Định luật bảo toàn cơ năng Khi nghiên cứu động năng của một chuyển động ta có định lý động năng trong trường hợp thế năng không thay đổi là: dA = dWd. Khi nghiên cứu thế năng của một chất điểm trong trường thế (trường lực bảo toàn) ta có định lý thế năng: dA = - dWt. Trừì từng vế cho nhau hai phương trình ta được: d(Wd + Wt) = 0. Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 67 Do đó: Wd + Wt = Const (IV-10). Định luật 1: Cơ năng của chất điểm trong trường thế trong trường hợp không có tác dụng của ngoại lực là một đại lượng bảo toàn . 4.3.3.2. Định luật biến đổi cơ năng Trong trường lực bất kỳ hay trong trường hợp vật chịu tác dụng của ngoại lực thì cơ năng của chất điểm nói chung hay các vật thể nói riêng là không bảo toàn. Thực vậy từ công thức tính cơ năng: W = Wt + Wd , Ta suy ra: dW = dWt + dWd = dA ∫ ∫=A WW dWdA0 21 WWWA ∆=−=⇒ 12 (IV-11). Định luật 2: Độ biến thiên cơ năng của chất điểm bằng tổng công của các ngoại lực tác dụng. Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 68 4.4. VA CHẠM 4.4.1. KHÁI NIỆM Trong Vật Lý, va chạm chỉ quá trình tương tác giữa các vật, với ý nghĩa là một sự tương tác có tiếp xúc, sự đụng độ giữa các vật. Chẳng hạn, khi hai vật ở cách nhau một khoảng lớn, tương tác giữa chúng không đáng kể, khi đi lại gần nhau tương tác rất mạnh. Trong một thời gian ngắn có khi chỉ một phần nghìn giây hay ít hơn. Kết quả tương tác có thể là những hiện tượng rất khác nhau: hai vật tương tác có thể dính lại làm một, có thể những hạt mới xuất hiện, có thể xẩy ra va chạm đàn hồi..v.v.. Chúng ta sẽ xét hai loại va chạm phổ biến thường gặp là va chạm đàn hồi và không đàn hồi và dùng các định luật bảo toàn động lượng và năng lượng để nghiên cứu. 4.4.2. VA CHẠM ĐÀN HỒI 4.4.2.1. Định nghĩa, va chạm đàn hồi xuyên tâm Va chạm đàn hồi là va chạm mà sau va chạm các vật không bị biến dạng và chuyển động độc lập đối với nhau. Có thể lấy ví dụ va chạm đàn hồi là: sự va chạm của các quả bida. Ta hãy xét va chạm đàn hồi của hai chất điểm có khối lượng m1 m2 . Gọi vận tốc trước và sau va chạm của hai vật lần lượt là ',',, 2121 vvvv rrrr . Bởi nội năng của hai chất điểm trong quá trình va chạm không thay đổi nên ta không cần quan tâm tới nó. Vì trước và sau va chạm các vật không còn tương tác, ngoài ra xét hai vật va chạm trên mặt phẳng nằm ngang nên định luật bảo toàn năng lượng chỉ cần viết đối với động năng: 2 22 2 11 2 22 2 11 '2 1' 2 1 2 1 2 1 vmvmvmvm +=+ . (a) Định luật bảo toàn động lượng: 21112211 '' vmvmvmvm rrrr +=+ . (b). Giải hệ phương trình (a) và (b) ta được vận tốc của hai vật sau va chạm: 21 22121 1 2)(' mm vmvmmv + +−= rrr 21 11212 2 2)( ' mm vmvmmv + +−= rrr (IV-12). 4.4.2.2. Nhận xet: - Trường hợp m2 >> m1, 02 =vr 21 121 1 )(' mm vmmv + −= rr 1v r 2v rm2 m1 H.V. 3a Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 69 21 11 2 2' mm vmv += rr (IV-13). Trước hết từ hai phương trình trên thay 02 =vr ta được: Xét trường hợp m2 >> m1 nên: 0'2 ≈vr do đó 2121' vv ≈ , 11' vv rr −≈ Như vậy khi một chất điểm nhẹû đến va chạm với một chất điểm nặng đứng yên thì nó chỉ thay đổi phương của vận tốc của nó còn độü lớn vận tốc của nó vẫn giữ nguyên. - Trường hợp m2 = m1. Trường hợp này các định luật bảo toàn có dạng đơn giản hơn: 2 2 2 1 2 1 '' vvv += . (c) 211 '' vvv rrr += . (d). Biểu thức (d) cho thấy ba vector vận tốc lập thành một tam giác, trong khi đó biểu thức (c) cho thấy sau va chạm vận tốc của hai vật vuông góc với nhau (chất điểm m1 phản xạ ngược trở lại) - Sau va chạm chất điểm m1 chuyển động không đổi hướng nếu m1 > m2 và ngược lại nếu m1 < m2 . Chất điểm m2 cũng chuyển động cùng chiều với m1. 4.4.3. VA CHẠM KHÔNG ĐÀN HỒI Va chạm không đàn hồi là va chạm mà sau va chạm hai vật dính lại với nhau thành một vật. Ta cũng giả thiết hai chất điểm có khối lượng m1 m2 . Gọi vận tốc trước và sau va chạm của hai vật và của hệ hai vật dính với nhau lần lượt là ',, 21 vvv rrr . Các định luật bảo toàn động lượng và biến thiên động năng (do các vật chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang) là: ')( 112211 vmmvmvm rrr +=+ (c) 2 11 2 21 2 1')( 2 1' vmvmmWWW ddd −+=−=∆ (d) trong đó dd WW ', là động năng trước và sau va chạm, dW∆ là độ biến thiên động năng: 21121 21 2 1 2 1 )(2 1 vmv mm mWd −+=∆ dd Wmm mv mm mmW 21 22 1 21 21 )(2 +−=+−=∆ (IV-14). Độ biến thiên động năng này chính là phần năng lượng làm cho vật biến dạng và nóng lên. Nghĩa là nội năng của vật tăng một lượng: dd Wmm mWU 21 2 +=∆−=∆ (IV-15). Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 70 Phần động năng còn lại để cho vật tiếp tục chuyển động với vận tốc 'vr theo biểu thức (d): 11 2211' mm vmvmv + += rrr (IV-16). Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 71 Bài tập chương IV. CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG Bài tập mẫu 1: Một chiếc xe có khối lượng m = 20.000 kg chuyển động chậm dần dưới tác dụng của lực ma sát có giá trị bằng 6.000N. sau một thời gian thì dừng lại. vận tốc ban đầu của xe là 54 km/h. Tính: a) Công của lực ma sát. b) Quãng đường mà xe đi được từ lúc có lực hãm đến lúc xe dừng lại. Giải: m = 20.000kg = 2.104kg v1 = 54km/h = 15m/s A =? Cho: F = 6.000 N = 6.103N Tìm: s =? 1) Áp dụng định lý về động năng: 22 2 1 2 2 mvmvA −= Dưới tác dụng của lực ma sát vận tốc của xe giảm dần từ v1 = 15 m/s tới v2 = 0 (dừng lại). Do đó ta có: 24 2 1 15.10.2 2 1 2 ×−=−= mvA A = -2,25. 106 J Vậy: A < 0 Chứng tỏ công này là công cản . 2. Tính quãng đường s ta áp dụng biểu thức tính công. A = Fs nên s = F A s = m375 10.6 10.25,2 3 6 = s = 375m Bài tập mẫu 2: Một vật rơi từ độ cao h = 240m xuống đất với vận tốc ban đầu v1 = 14 m/s. Vật đi sâu vào đất một đoạn s = h s m gmP = H. IV-5 Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 72 0,2 m. Tính lực cản trung bình của đất lên vật. Cho khối lượng của vật m = 1kg. Coi ma sát của không khí là không đáng kể. Giải: Cho: h = 240m S = 0,2 m v1 = 14m/s m = 1kg Tìm: F = ? Nếu gọi vận tốc của vật khi vừa tới đất là v2. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có cơ năng ở độ cao h bằng cơ năng trên mặt đất (động năng cộng thế năng) bằng động năng mặt đất 2 2 1Vm + mgh = 2 2 2mV + 0 Cơ năng này biến thành công để vật đi xuống đất sâu đoạn là s. Áp dụng định lý động năng ta có: A = 2 2 3mV - 2 2 2mV Với V3 là vận tốc sau cùng của vật. Rõ ràng V3 = 0 Nên: A = - 2 2 2mV = - ( 2 1 m 21V + mgh) A = - m ( 2 1 m 21V + gh) Mặt khác: A = Fs Nên F = s A = 20 2408914 2 11 2 , )x,x( +− = - 12740N vậy F < 0 (Vì lực cản) Bài tập mẫu 3: Tính công suất của một động cơ xe khối lượng 1.000 kg nếu xe chạy với tốc độ không đổi 36km/h. Trong 3 trường hợp: a. Xe chạy trên một đường nằm ngang. b. Xe chạy lên dốc với góc nghiêng α sao cho sinα = 0,05. c. Xe chạy xuống dốc với góc nghiêng α sao cho sinα = 0,05. Hệ số ma sát trong cả 3 trường hợp k = 0,07. Giải: m = 1.000kg = 103kg Cho: v = 36km/h = 10m/s = const sin α = 0,05 Tìm: N = ? k = 0,07 a) Trường hợp xe chạy trên đường ngang: Các lực tác dụng lên xe là: - Trọng lực P = mg - Phản lực R của mặt đường kFmsf N H. IV-6 Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 73 - Lực kéo kF . Phản lực R của mặt đường phân tích thành 2 thành phần: - Phản lực pháp tuyến N cân bằng với trọng lực P của xe. - Lực ma sát msf Theo đầu bài xe chuyển động thẳng đều v = const nên tổng ngoại lực tác dụng lên xe phải triệt tiêu, nên ta có: kF + msf = 0 Hay Fk = fms = kmg Vậy công suất N của xe theo định nghĩa là: N = Fkv = kmgv N = 0,07.103.9,8.10 = 6860W b) Trường hợp xe chạy lên dốc: các ngoại lực tác dụng lên xe vẫn là: Trọng lực P, phản lực R của mặt đường và lực kéo kF . Trong trường hợp này trọng lực P được phân tích thành 2 thành phần: nP và tP . Trong đó thành phần nP được cân bằng bởi N . Vậy coi như xe chỉ chịu tác dụng của ba lực: kF ; msf ; tP . Vì theo đầu bài xe chuyển động thẳng đều với v = const nên: kFN rr + + msf + P = 0 Hay Fk = fms + Pt Với Fms = kPn = kmgcosα = kmg (vì α nhỏ nên coi cos α = 1). Vậy: Fk = kmg + mgsin α = mg (k + sin α ). Công suất N của xe theo định nghĩa là: N = Fkv = mgv (k + sinα ) N =103.10.9,8 (0,07 + 0,05) N = 11760W. c) Trường hợp xe xuống dốc: các ngoại lực tác dụng lên xe cũng vẫn là: Trọng lực P, phản lực R của mặt đường và lực kéo kF .Trong trường hợp này trọng lục P cũng phân tích thành 2 thành phần: nP và tP . Trong đó thành phần nP được cân bằng bởi N . Như vậy xe coi như chịu tác dụng của 3 lực kF ; msf ; tP .Vì xe chuyển động với vận tốc không đổi v = const, nên: kF + msf + tP = 0 R N msf kF tP nP Hình IV-7 R msf N tP kP nP Hình IV-8 Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 74 hay Fk + Pt = fms Fk = fms- Pt = kmgcos α - Pt (vì α nhỏ nên coi cos α ( 1) Fk = (k - sin α )mg N = Fkv = (k - sin α ) mgv N = (0,07 - 0,05).103.9,8.10 N = 1960W Bài tập tự giải: 1. Tính công để nâng một vật lên cao theo mặt phẳng nằm nghiêng trong các điều kiện sau: - Vật có khối lượng m = 100kg, chiều dài của mặt phẳng nghiêng s = 2m. Mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang một gócα = 300. hệ số ma sát k = 0,1. Gia tốc của vật trên mặt phẳng nghiêng a = 1m/s2. Biết rằng ở chân mặt phẳng nghiêng vật đang nằm yên. Hướng dẫn và Đáp số: Phân tích lực và tìm các lực tác dụng lên hệ. Áp dụng định luật II Newton và áp dụng công thức tính A = F.S. Đáp số: A = 1349,4 J 2. Hỏi động cơ máy bay phải có công suất trung bình là bao nhiêu. Biết rằng máy bay có khối lượng m = 3.000kg lên cao 1 km mất 1 phút. Bỏ qua sức cản của không khí Đáp số: N = 4,9:105W 3. Một đoàn tàu có khối lượng 5.105kg chuyển động trên một con đường nằm ngang với vận tốc không đổi bằng 36km/h. Công suất của đầu máy là 220500W. Tính hệ số ma sát k. Đáp số: k = 0,0045 4. Tính công cần thiết để làm cho đoàn tàu khối lượng m = 800 tấn: a) Tăng tốc từ 36km/h đến 54km/h. b) Dừng lại nếu vận tốc ban đầu bằng 72km/h. Hướng dẫn: Dùng định lý động năng. Đáp số: a) A = 5.107J b) A = 16.107J ( công cản) 5. Một vật có khối lượng m = 3kg chuyển động với vận tốc v = 4m/s va chạm vào một vật cùng khối lượng đứng yên. Biết rằng va chạm là không đàn hồi. Hãy tính nhiệt lượng toả ra khi va chạm. Hướng dẫn: - Dùng định luật bảo toàn động lượng để tính vận tốc của hệ sau khi va chạm. - Tính biến thiên động năng của hệ. Đáp số: Q = 2,88 calo. Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 75 6. Một khẩu pháo có khối lượng m = 450 kg bắn theo phương nằm ngang. Viên đạn có khối lượng 5kg. Tốc độ ban đầu v = 450m/s. Khi pháo bắn dật lùi 45 cm. Hãy tính lực hãm trung bình tác dụng lên pháo. Hướng dẫn: - Dùng định luật bảo toàn động lượng tính vận tốc lùi của pháo. - Dùng định lý động năng và biểu thức tính công: A = Fs F = - 125.102N (lực cản) 7. Một chiếc xe chuyển động trên một mặt phẳng nghiêng DC từ độ cao h và dừng lại sau khi đã đi được một đoạn đường CB. Biết AB = s, AC = l. Hãy: - Xác định hệ số ma sát k. - Gia tốc của xe trên đoạn DC và CB. Xem hệ số ma sát k trong đoạn DC và CB là giống nhau. Hướng dẫn: - Xác định hệ số ma sát k: Dùng biểu thức tính công A = Fs và định lý động năng. - Xác định gia tốc: dùng biểu thức của định luật II Newton: a = m F a) k = s h Đáp số: b)aCD = )s ( h gh 11 122 −+ aCB = gs h 8. Một viên đạn có khối lượng m = 10g đang bay với vận tốc v = 100m/s thì gặp một bảng gỗ và cắm sâu vào trong bảng gỗ một đoạn là s= 4cm. Hãy: a) Tính lực cản trung bình của bảng gỗ và thời gian chuyển động trong bảng gỗ nếu coi đó là chuyển động chậm dần đều. b) Nếu bảng gỗ chỉ dày có s’ = 2cm thì hiện tượng xảy ra thế nào? Tính vận tốc của viên đạn sau khi ra khỏi bảng F = - 1,25.103N Đáp số: t = 8.10-4s v2 = 102 50, m/s A C s B h Hình IV-9 Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 7. Nguyển Hữu Mình. CƠ HỌC. NXBGD năm 1998. 8. Nguyển Xuân Chi và các tác giả. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1, 2, NXBĐH và THCN năm 1998. 9. Lương Duyên Bình. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1,2, NXBGD1996. 10. Vũ Thanh Khiết và các tác giả. GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐẠI CƯƠNG. NXBGD năm 1977. 11. DAVID HALLIDAY (tập I - cơ học I) và các tác giả CƠ SỞ VẬT LÝ. NXBGD năm 1996. 12. DAVID HALLIDAY (tập II - cơ học II) và các tác giả CƠ SỞ VT LÝ. NXBGD năm 1996.