Thiết kế bộ điều khiển lqr dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực - Nguyễn Đình Hòa

SĐT :0949823777. Email: hoa.nguyendinh@hust.edu.vn THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR DỊCH CHUYỂN CÓ CHỌN LỌC CÁC ĐIỂM CỰC Nguyễn Đình Hòa Đại học Bách khoa Hà Nội TÓM TẮT: Bài báo này trình bày một phương pháp để thiết kế bộ điều khiển LQR dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực cho các hệ tuyến tính dừng. Để dịch chuyển một hoặc một số điểm cực không mong muốn của hệ hở sang bên trái mặt phẳng phức trong khi các điểm cực còn lại không bị thay đổi, các ma trận trọng số của phiếm hàm tối ưu LQR được chọn dựa trên các vector riêng bên trái tương ứng với các giá trị riêng không mong muốn. Sau đó, chúng tôi chỉ ra miền xác định của các điểm cực mới. Một ví dụ minh họa được giới thiệu để minh chứng các kết quả lý thuyết đã đề xuất. Từ khóa: Phương pháp gán điểm cực; Phương pháp LQR; Dịch chuyển điểm cực có chọn lọc; Hệ tuyến tính dừng. ĐẶT VẤN ĐỀ Xét một hệ tuyến tính dừng có mô hình trạng thái: , , .n mx Ax Bu x u= + ∈ ∈
  (0.1) Hiện nay, các phương pháp phổ biến để thiết kế bộ điều khiển gán điểm cực cho các hệ tuyến tính dừng (0.1) bao gồm phương pháp trực tiếp, phương pháp Ackerman, phương pháp modal [1]. Mỗi phương pháp lại có ưu hoặc nhược điểm riêng, chẳng hạn phương pháp trực tiếp thì rất thủ công và không tổng quát. Phương pháp Ackerman có công thức tổng quát nhưng chỉ áp dụng được cho các hệ có một đầu vào. Phương pháp modal có thể áp dụng cho hệ có nhiều đầu vào nhưng cần một giả thiết quan trọng là ma trận hệ thống có thể biến đổi thành dạng đường chéo (diagonal) hoặc khối đường chéo (block- diagonal). Ngoài ra phương pháp modal còn có một đặc điểm nữa là nó chỉ có thể dịch chuyển được một số lượng các điểm cực không vượt quá ( )rank B , nghĩa là không vượt quá m . Đây có thể coi là nhược điểm mà cũng có thể coi là ưu điểm vì trong nhiều trường hợp ta không cần thiết dịch chuyển hết tất cả các điểm cực của hệ hở. Ngoài các phương pháp trên, ta còn có thể thiết kế bộ điều khiển gán điểm cực dựa trên phương pháp LQR. Điều này có thể thực hiện được bằng cách trước hết thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyển có chọn lọc một số điểm cực như trong các tài liệu [2-5], sau đó dựa vào các kết quả ấy để tìm các ma trận trọng số sao cho các điểm cực không mong muốn được dịch chuyển chính xác đến các vị trí biết trước. Tuy nhiên, các phương pháp trong [2-5] tồn tại một số nhược điểm như cần một số giả thiết về các ma trận trọng số trong phiếm hàm tối ưu LQR. Hơn nữa, các kết quả trong [2-5] mới chỉ xét đến việc thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực không mong muốn và xác định vùng mà chúng chuyển đến, chứ chưa xét đến việc tìm các ma trận trọng số để có thể dịch chuyển các điểm cực một cách chính xác đến các vị trí mong muốn. Để tiện cho việc trình bày, sau đây chúng tôi sẽ định nghĩa cụ thể hai bài toán khác nhau tương ứng với hai bước ở trên để thiết kế một bộ điều khiển gán điểm cực LQR. Bài toán thứ nhất: Thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyển có chọn lọc một số điểm cực không mong muốn của hệ (0.1) sang bên trái mặt phẳng phức. Bài toán thứ hai: Cho trước một số điểm cực mong muốn bên trái mặt phẳng phức, thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực không mong muốn của hệ (0.1) tới các vị trí biết trước đó. Bài báo này đề xuất một số kết quả mới trong việc sử dụng phương pháp LQR để thiết kế bộ điều khiển dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực cho hệ (0.1), từ đó tạo cơ sở để giải bài toán thứ hai hay nói cách khác là tạo cơ sở cho bước tiếp theo để giải bài toán thiết kế bộ điều khiển LQR gán điểm cực. Cụ thể hơn, bài báo chỉ ra cách chọn các ma trận trọng số của phiếm hàm tối ưu LQR sao cho các điểm cực không mong muốn của hệ (0.1) được dịch chuyển có chọn lọc sang bên trái mặt phẳng phức, mà không cần đến các giả thiết như ở trong [2-5]. Tiếp đó, miền bên trái mặt phẳng phức mà các điểm cực có 2 thể được dịch chuyển đến được chỉ ra một cách tường minh. Do khuôn khổ của bài báo nên lời giải cho bài toán thứ hai không được trình bày ở đây mà sẽ được giới thiệu trong các bài báo khác. Các phần tiếp theo của bài báo được trình bày như sau. Phần II giới thiệu các kết quả cho bài toán thuận với ba mục con cho phần dịch chuyển có chọn lọc một điểm cực thực, một cặp điểm cực phức liên hợp và một cặp điểm cực thực. Phần III giới thiệu một ví dụ minh họa. Phần IV là kết luận và các hướng mở rộng của bài báo. Trong bài báo có sử dụng một số ký tự như sau. ( )Aσ biểu thị cho tập các giá trị riêng của ma trận A . Ký hiệu gạch dưới, chẳng hạn x , là để chỉ các đại lượng vector. Ký hiệu gạch trên, ví dụ v là để chỉ giá trị phức liên hợp của .v Ngoài ra, ( )Re a chỉ phần thực của một số phức .a THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Xét phiếm hàm mục tiêu: ( ) 0 ,T TJ x Qx u Ru dt ∞ = +∫ (1.1) trong đó nQ ∈  là ma trận đối xứng, bán xác định dương, mR ∈  là ma trận đối xứng, xác định dương. Như đã biết trong lý thuyết điều khiển tối ưu [1], [6], bộ điều khiển tối ưu phản hồi trạng thái LQR cho hệ (0.1) được tính bằng: ,u Fx= − (1.2) với 1 TF R B P−= trong đó P là nghiệm của phương trình đại số Riccati: 1 0.T TPA A P PBR B P Q−+ − + = (1.3) Ngoài ra, để phương trình (1.3) có nghiệm duy nhất thì hai giả thiết sau phải được thỏa mãn: A1: ( ),A B là điều khiển được. A2: ( )1/2,Q A là quan sát được. Vấn đề đặt ra cho bài toán thuận là tìm cách thiết kế bộ điều khiển (1.2) sao cho chỉ một số các điểm cực không mong muốn được dịch chuyển sang bên trái mặt phẳng phức trong khi các điểm cực khác được giữ nguyên. Để đơn giản, chúng tôi chỉ trình bày kết quả cho các trường hợp dịch chuyển một điểm cực thực và dịch chuyển hai điểm cực phức liên hợp hoặc hai điểm cực thực. Các kết quả này có thể được tổng quát hóa cho trường hợp dịch chuyển một số lượng bất kì các điểm cực và sẽ được giới thiệu trong các bài báo sau. Ngoài ra, ta cũng có thể lặp lại nhiều lần phương pháp dịch chuyển một hoặc hai điểm cực này để dịch chuyển tất cả các điểm cực không mong muốn. A. Dịch chuyển có chọn lọc một điểm cực thực Giả sử λ ∈  là điểm cực thực không mong muốn của hệ (0.1). Gọi 0T Tv ≠ là vector riêng bên trái của A tương ứng với λ . Ta chọn ma trận trọng số Q như sau: 1 1 , 0.TQ v q v q= ≥ (1.4) Định lý sau chỉ rõ biểu thức của bộ điều khiển LQR và tập các điểm cực của hệ kín. Định lý 2.1. Với các giả thiết A1-A2 và ma trận Q chọn ở (1.4), bộ điều khiển LQR có dạng: ( )11 ,T Tu p R B vv x−= − (1.5) trong đó 2 1 1 1 1 1 1 , .T T r q p r v BR B v r λ λ − + + = = (1.6) Đồng thời, tập các điểm cực của hệ kín là: ( ) { } ( ) { }{ }2 1 1 \ .A BF rq Aσ λ σ λ− = − + ∪ (1.7) Chứng minh: Với ma trận Q chọn ở (1.4), dễ thấy 1 1 , 0TP vp v p= > là nghiệm của phương trình Riccati (1.3) trong đó 1 p tính theo (1.6) thu được bằng cách thay P vào (1.3) và giải phương trình bậc hai. Hơn nữa, với các giả thiết A1-A2, phương trình (1.3) có nghiệm duy nhất. Điều này có nghĩa là giá trị của P tính ở trên chính là nghiệm duy nhất ấy. Từ đó ta thu được bộ điều khiển LQR như ở (1.5). Giả sử α λ≠ là một giá trị riêng bất kỳ của A và w là vector riêng bên phải tương ứng với nó. Ta có w 0Tv = , do vậy: ( ) ( )w w, w, w. 1 1 T TA BF A p BR B vv A α − − = − = = Điều này chứng tỏ w cũng là vector riêng bên phải của ma trận hệ kín và tương ứng là giá trị riêng α . Nói cách khác ( ) { }{ } ( )\A A BFσ λ σ⊆ − . Ngoài ra, ( ) ( ) ( ) , , 1 1 1 1 1 1 2 1 1 , . T T T T T T T T v A BF v A p BR B vv v A p r v p r v rq v λ λ − − = − = − = − = − + Do vậy, Tv cũng là vector riêng bên trái của ma trận hệ kín và tương ứng là giá trị riêng 2 1 1 r qλ− + . Kết hợp cả hai kết luận trên về các giá trị riêng của hệ kín, ta thu được (1.7). ▄ Từ Định lý 2.1 ta thấy các điểm cực của hệ kín gồm 1n − điểm cực giống với hệ hở và chỉ có duy nhất một điểm cực không mong muốn của hệ hở là bị thay đổi. Hơn nữa, giá trị của điểm cực mới cho thấy nó nằm bên trái mặt phẳng phức, và cụ thể hơn là bên trái của điểm λ− trên trục thực. B. Dịch chuyển có chọn lọc một cặp điểm cực phức liên hợp Giả sử ( ),λ λ là một cặp điểm cực phức không mong muốn của hệ (0.1) và ( ),T Tv v là cặp vector riêng bên trái liên hợp của A tương ứng với chúng. Ta chọn ma trận trọng số Q như sau: 2 , T T v Q v v Q v    =       (1.8) trong đó 2 Q là ma trận Hermitian, bán xác định dương. Giả sử 11 12 2 11 22 12 22 ; , 0. q q Q q q q q   = ≥     Khi đó, 11 12 12 22 .T T T TQ q vv q vv q vv q vv= + + + Do Q và 12 12 T Tq vv q vv+ đều là các ma trận thực nên 11 22 T Tq vv q vv+ cũng phải là ma trận thực. Điều này dẫn đến 11 22 q q= . Để tránh rườm rà, ta ký hiệu 11 22 .q q q= Định lý sau chỉ rõ biểu thức của bộ điều khiển LQR và tập các điểm cực của hệ kín. Định lý 2.2. Với các giả thiết A1-A2 và ma trận Q chọn ở (1.4), bộ điều khiển LQR có dạng: 1 2 , T T T v u R B v v P x v −      = −        (1.9) trong đó 2 P là nghiệm của phương trình Riccati 2 2 2 2 2 2 2 2 0,TP P PR P QΓ Γ+ − + = (1.10) với 121 2 2 12 0 , . 0 T T T v r r R BR B v v r rv λ λ Γ −       = = =              Hơn nữa, các điểm cực không mong muốn của hệ hở được dịch chuyển tới các giá trị 1 2 ,µ µ được tính bằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 12 12 4 2 2 2 2 1 2 12 12 2 2 2 2 12 12 2 Re Re , 2 2Re , r q qr qr r q q q r r µ µ λ µ µ λ λ λ  + = + +   = + +    + − −        (1.11) trong khi các điểm cực khác được giữ nguyên tại vị trí. Chứng minh: Với ma trận Q chọn ở (1.8), dễ thấy 2 T T v P v v P v    =       là nghiệm của (1.3) trong đó 2 P là nghiệm của (1.10). Do có các giả thiết A1- A2 để đảm bảo phương trình Riccati (1.3) có nghiệm duy nhất nên giá trị đó của P chính là nghiệm duy nhất ấy. Tiếp theo, chứng minh tương tự như ở Định lý 1, ta có thể chỉ ra rằng chỉ có hai điểm cực ,λ λ của hệ hở là bị thay đổi, còn các điểm cực khác thì không bị ảnh hưởng. Mặt khác, 4 1 2 1 1 1 1 . T T T T T T T T T T T v R BR B v v v v BR B v v BR B v v BR B v v BR B v − − − − −    =         =      Ta thấy các phần tử trên đường chéo chính của 2 R là liên hợp với nhau nhưng do 2 R là ma trận Hermitian nên chúng phải là các giá trị thực, điều này dẫn đến các phần tử trên đường chéo của 2 R phải bằng nhau. Để đơn giản, ta ký hiêu lại 12 2 12 , 0. r r R r r r   = >     Xét ma trận Hamiltonian 2 2 2 2 . T R H Q Γ Γ   − =   − −   Giả sử điểm cực không mong muốn của hệ hở được dịch chuyển tới các giá trị 1 2 ,µ µ . Từ lý thuyết điều khiển tối ưu [6], ta đã biết 1 2 1 2 , , ,µ µ µ µ− − là các giá trị riêng của .H Nói cách khác, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 24 2 2 2 2 21 2 1 2 det , . sI H s s s s s s µ µ µ µ µ µ µ µ − = − − + + = − + + (1.12) Mặt khác, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 det det 0 0 det det 0 det . T R sI I sI H IsI Q I sI H I sI H Γ Γ     −  = −     +          = −      = − Ngoài ra, ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 det det det . T T R sI sI Q Q R sI Q sI Γ Γ Γ Γ −   −   +   = − − + Do đó, ta có cách khác để tính ( )det sI H− như sau: ( ) ( ) ( ) ( )( )12 2 2 2 2 det det det .T sI H Q R sI Q sIΓ Γ− − = − − + (1.13) Tiếp theo, thay các biểu thức của 2 2 ,Q R vào (1.13), ta tính được ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 12 12 4 2 2 12 12 2 2 2 2 12 12 det 2 Re Re 2 2Re . sI H s r q qr s qr r q q q r r λ λ λ λ   − = − + +   + + +    + − −        (1.14) So sánh (1.13) và (1.14) ta thu được (1.11). ▄ Vì 2 2 ,Q R là các ma trận bán xác định dương và xác định dương, nên 2 2 12 12 12 12 , .q q q r r r≥ ≥ Do vậy, ( ) ( ) 12 12 12 12 2 2 2 12 12 12 12 Re , Re . qr q r r q qr q r r qλ λ λ ≥ ≥ ≥ ≥ Vì thế, từ kết quả của Định lý 2, ta thu được miền xác định của các điểm cực mới 1 2 ,µ µ như sau: ( )2 2 21 2 4 2 2 1 2 2Re , . µ µ λ µ µ λ + ≥ ≥ (1.15) C. Dịch chuyển có chọn lọc hai điểm cực thực Giả sử ( )1 2,λ λ là hai điểm cực thực không mong muốn của hệ (0.1) và ( )1 2,T Tv v là các vector riêng bên trái của A tương ứng với ( )1 2,λ λ . Ta chọn ma trận trọng số Q như sau: 1 1 2 2 2 , T T v Q v v Q v    =       (1.16) trong đó 2 Q là ma trận đối xứng, bán xác định dương. Giả sử 11 12 2 11 22 12 22 ; , 0. q q Q q q q q   = ≥     Định lý sau chỉ rõ biểu thức của bộ điều khiển LQR và tập các điểm cực của hệ kín. Định lý 2.3. Với các giả thiết A1-A2 và ma trận Q chọn ở (1.16), bộ điều khiển LQR có dạng: 11 1 2 2 2 , T T T v u R B v v P x v −      = −        (1.17) trong đó 2 P là nghiệm của phương trình Riccati 2 2 2 2 2 2 2 2 0,TP P PR P QΓ Γ+ − + = (1.18) với 1 2 2 0 , 0 λ λ Γ   =      1 11 121 2 1 2 12 222 . T T T v r r R BR B v v r rv −      = =          Hơn nữa, các điểm cực không mong muốn của hệ hở được dịch chuyển tới các giá trị 1 2 ,µ µ được tính bằng: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 11 11 22 22 12 12 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12 12 1 2 11 11 2 22 22 1 2 2 11 22 12 11 22 12 2 , 2 , r q r q r q r q r q r q r r r q q q µ µ λ λ µ µ λ λ λ λ λ λ + = + + + + = + + + + − − (1.19) trong khi các điểm cực khác được giữ nguyên tại vị trí. Chứng minh: Phần chứng minh của Định lý này hoàn toàn tương tự như của Định lý 2.2, nên chúng tôi không trình bày lại ở đây. ▄ Từ tính xác định bán dương và xác định dương của 2 2 ,Q R , ta có ngay 2 2 11 22 12 11 22 12 , .q q q r r r≥ ≥ Do vậy, theo định lý Cauchy-Schvartz, ta có: 11 11 22 22 11 11 22 22 12 12 2 2 11 11 2 22 22 1 11 11 22 22 1 2 12 12 1 2 2 2 , 2 2 . r q r q r q r q r q r q r q r q r q r qλ λ λ λ λ λ + ≥ ≥ + ≥ ≥ Vì thế, từ (1.19) ta thu được: 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 , . µ µ λ λ µ µ λ λ + ≥ + ≥ (1.20) Hai bất đẳng thức trong (1.20) cho ta miền xác định của các điểm cực mới. Chú ý rằng các kết quả của Định lý 2.1, Định lý 2.2 và Định lý 2.3 cũng như miền xác định của các giá trị riêng mới là giống với các kết quả ở [4], [5]. Tuy nhiên, chúng thu được mà không cần thêm bất cứ giả thiết nào, trong khi các kết quả ở [4], [5] cần có một số giả thiết khác về các ma trận trọng số. VÍ DỤ MINH HỌA Xét một hệ tuyến tính dừng mô tả bởi (0.1) với: 0 1 0 0 0 0 1 , 0 . 2 5 3 1 A B         = =        − −     (1.21) Các giá trị riêng của ma trận A là 0.3283,1.6641 1.823i− ± . Do vậy, hệ là không ổn định vì có hai giá trị riêng nằm bên phải mặt phẳng phức. Tiếp theo, sử dụng phương pháp đề xuất trong bài báo, chúng tôi thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyển hai điểm cực 1.6641 1.823i± sang bên trái mặt phẳng phức trong khi điểm cực còn lại được giữ nguyên. Các ma trận trọng số được chọn như sau: 2 , 10.Q I R= = Kết quả mô phỏng trên hình H1 cho thấy điểm cực 0.3283− không bị thay đổi bởi bộ điều khiển LQR trong khi hai điểm cực khác đã được dịch chuyển sang bên trái mặt phẳng phức thành hai điểm cực phức liên hợp ổn định. Cuối cùng, với trạng thái đầu của hệ là [ 1;2; 3]− , hình H2 biểu diễn kết quả mô phỏng thu được và cho thấy hệ kín trở thành ổn định. -3 -2 -1 0 1 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Real axis Im a gi n a ry a xi s H1 Sự phân bố các điểm cực của hệ hở (ký hiệu bởi hình vuông màu đỏ ■) và của hệ kín thu được bởi bộ điều khiển LQR đề xuất (ký hiệu bởi hình tròn màu xanh ●). 6 0 5 10 15 -3 -2 -1 0 1 2 3 Time [s] St a te s x1 x2 x3 H2 Đáp ứng các trạng thái của hệ với bộ điều khiển LQR dịch chuyển có chọn lọc hai điểm cực. KẾT LUẬN Bài báo này đã đề xuất một phương pháp để thiết kế bộ điều khiển LQR dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực không mong muốn của các hệ tuyến tính dừng. Ý tưởng chủ đạo ở đây là việc chọn các ma trận trọng số của phiếm hàm mục tiêu LQR dựa trên các vector riêng bên trái của ma trận A tương ứng với các giá trị riêng không mong muốn. Đây là bước cơ sở để thiết kế bộ điều khiển gán điểm cực bằng phương pháp LQR. Các kết quả cho việc thiết kế bộ điều khiển LQR gán điểm cực sẽ được giới thiệu trong các bài báo tiếp theo. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Doãn Phước, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2009. [2] N. Kawasaki, E. Shimemura, “Determining quadratic weighting matrices to locate poles in a specied region", Automatica, vol. 19, pp. 557-560, 1983. [3] N. Kawasaki, E. Shimemura, J.-W. Shin, “On the quadratic weights of an LQ-problem shifting only the specified poles”, Proceedings of the Society of Instrument and Control Engineers, vol. 25(11), pp. 1248–1250, 1989. [4] F. Kraus, V. Kucera, “Linear quadratic and pole placement iterative design”, Proc. of European Control Conference, 1999. [5] J. Cigler, V. Kucera, “Pole-by-pole shifting via a linear- quadratic regulation”, Proc. of the 17th International Conference on Process Control, 2009. [6] B. D. O. Anderson, J. B. Moore, Optimal Control: Linear Quadratic Methods, Englewood Cli
s, NJ: Prentice Hall, 1990. SUMMARY LQR CONTROLLER DESIGN FOR SELECTIVE POLE SHIFT This paper proposes a method for designing state feedback controllers based on LQR approach for LTI systems. To selectively shift one or some undesirable poles of the open-loop system to the open left half complex plane while not affecting the other poles, the weighting matrices in the LQR performance index are chosen based on the left eigenvectors of the system matrix associated with the undesirable poles. Then we point out the region in which the shifted poles must lie in. A numerical example is presented to demonstrate the theoretical results. Keywords: Pole placement, LQR method, Selective pole shift, LTI systems.