Phổ tán sắc Plasmon của hệ Graphene hai lớp với điện môi nền không đồng nhất ở nhiệt độ không tuyệt đối

Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 36 PHỔ TÁN SẮC PLASMON CỦA HỆ GRAPHENE HAI LỚP VỚI ĐIỆN MÔI NỀN KHÔNG ĐỒNG NHẤT Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG TUYỆT ĐỐI Nguyễn Văn Mện Trường Đại học An Giang Thông tin chung: Ngày nhận bài: 13/06/2016 Ngày nhận kết quả bình duyệt: 22/08/2016 Ngày chấp nhận đăng: 12/2016 Title: Plasmon dispersions of double layer graphene with nonhomogenous dielectronic background at zero temperature Keywords: Damping rate, dynamical dielectric function, nonhomogenous dielectric background, Plasmon dispersion modes Từ khóa: Điện môi nền không đồng nhất, hàm điện môi động, hệ số suy giảm, phổ tán sắc plasmon ABSTRACT We have investigated the dynamical dielectric function of Double layer Graphene systems (DLGs), made of two parallel Single layer Graphene (SLG) with separation of d and nonhomogenous dielectric background at zero temperature. The results were used to calculate the Plasmon dispersion modes and damping rate of DLGs, and compare to those of similar DLGs with homogenous dielectric background. It was shown that the plasmon modes and damping rate of nonhomogenous dielectric background DLGs were mostly lower than those in homogenous ones for several interlayer separation and layer carrier densities. TÓM TẮT Chúng tôi tính toán hàm điện môi động của hệ graphene hai lớp (Double layer graphene – DLG) được tạo thành từ hai đơn lớp graphene (Single layer Graphene – SLG) song song và cách nhau một khoảng d với điện môi nền không đồng nhất ở nhiệt độ không tuyệt đối. Hàm điện môi này được sử dụng để tính toán phổ tán sắc plasmon và hệ số suy giảm của hệ DLG, so sánh với hệ tương tự có hằng số điện môi nền đồng nhất. Chúng tôi phát hiện ra rằng, phổ plasmon và hệ số suy giảm của hệ DLG có điện môi nền không đồng nhất luôn thấp hơn phổ plasmon của hệ DLG có hằng số điện môi nền đồng nhất ở các khoảng cách khác nhau giữa hai lớp và các tỷ lệ khác nhau giữa mật độ hạt tải ở hai lớp SLG 1. GIỚI THIỆU Graphene là hệ cấu trúc hai chiều gồm một lớp nguyên tử carbon được sắp xếp chặt chẽ tạo thành mạng tinh thể hai chiều hình lục giác, và là cơ sở cho các cấu trúc khác của carbon. Đây là vật liệu thấp chiều thu hút được rất nhiều sự quan tâm trong giới khoa học những năm gần đây bởi những tính chất vật lý khác biệt của nó so với các cấu trúc hai chiều truyền thống. Sự khác biệt đó có thể kể tới như: đây là vật liệu có bề dày mỏng nhất được biết đến hiện nay (chỉ một lớp nguyên tử) nhưng lại rất bền (có thể so sánh với kim cương) và dẫn điện, dẫn nhiệt rất tốt (độ linh động của điện tử trong graphene lớn gấp hàng trăm lần so với vật liệu silicon, các electron có thể dễ dàng đi qua mà không bị cản trở gì nhiều). Cũng chính bởi những tính chất đặc biệt này làm cho việc nghiên cứu về graphene được xem là một hướng đi mới trong công nghệ vật liệu thấp chiều, thay thế công nghệ silicat đã rất thịnh hành trong những năm qua. Tiến sĩ Walter de Heer, Viện Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 37 Georgia Tech cho biết: “Transitor sử dụng silicon có thể đạt được tốc độ xử lý tối đa, cố gắng có thể đạt được tốc độ đó nhưng không thể nhanh hơn nữa – hiện nay, đạt đến tốc độ gigahertz thì silicon không thể tăng thêm được, nhưng với graphene, tốc độ có thể lên đến mức terahertz, gấp ngàn lần gigahertz, và điều đó sẽ rất tuyệt”. Hình thức luận điện môi là một phương pháp nghiên cứu cấu trúc hai chiều dựa trên những tính toán về hàm điện môi động và các ứng dụng của nó. Hàm điện môi động là một đặc trưng quan trọng của hệ hai chiều, từ kết quả về hàm điện môi động trong hình thức luận điện môi ta có thể tìm ra phổ kích thích tập thể (hay phổ plasmon), hệ số suy giảm và những đặc tính quan trọng khác của hệ (như tính chất vận chuyển chẳng hạn). Do đó, để nghiên cứu về đặc tính kích thích tập thể của hệ hai chiều nói chung và graphene nói riêng thì việc sử dụng hình thức luận điện môi là một trong những cách làm hiệu quả. Trong hầu hết các cấu trúc lớp của graphene thì cấu trúc hệ DLG là cấu trúc thường gặp trong các thí nghiệm nghiên cứu cũng như các linh kiện điện tử. Vì vậy, việc nghiên cứu những tính chất của hệ DLG là điều cần thiết và thời sự. Phổ plasmon của hệ DLG với điện môi nền đồng nhất ở cả nhiệt độ không và nhiệt độ hữu hạn đã được nhiều nhà khoa học trong nước cũng như trên thế giới nghiên cứu dựa trên hình thức luận điện môi và công bố trong những năm gần đây (E. H. Hwang, & S. D. Sarma, 2007; Đinh Văn Tuân & Nguyễn Quốc Khánh, 2013; A.H. MacDonald và cs., 2009; 2012). Bên cạnh đó, hệ DLG với điện môi nền không đồng nhất ở nhiệt độ hữu hạn đã được nhóm của Badalyan nghiên cứu và công bố năm 2012. Những công bố trên cho thấy, việc nghiên cứu, hoàn chỉnh lý thuyết về graphene đang nhận được sự quan tâm đáng kể của các nhà khoa học và là vấn đề nóng trong giai đoạn hiện nay trong lĩnh vực công nghệ vật liệu. Tuy nhiên, các công bố này cũng cho thấy chưa có một nghiên cứu nào về phổ plasmon của hệ DLG có hằng số điện môi nền không đồng nhất ở nhiệt độ không tuyệt đối trong khi những hệ graphene loại này lại là những hệ vật lý thường gặp. Nhận ra điều đó và cũng bắt nhịp với định hướng chung, chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của sự không đồng nhất của điện môi nền lên phổ plasmon và hệ số suy giảm của cấu trúc DLGs ở nhiệt độ không tuyệt đối; đồng thời cũng khảo sát sự ảnh hưởng của tỷ lệ mật độ hạt tải giữa hai lớp lên phổ plasmon và hệ số suy giảm khi điện môi nền không đồng nhất ở nhiệt độ không tuyệt đối. Bài báo này nhằm công bố kết quả tính toán về phổ tán sắc plasmon và hệ số suy giảm của graphene (hai trong những đặc tính quan trọng của vật liệu) góp phần hoàn chỉnh lý thuyết về vật liệu đặc biệt này. 2. LÝ THUYẾT Cấu trúc graphene mà chúng tôi nghiên cứu gồm hai đơn lớp graphene song song nhau, cách nhau một khoảng d và hằng số điện môi thay đổi theo từng khoảng (Hình 1). Trong gần đúng pha ngẫu nhiên (random – phase approximation – RPA), hàm điện môi động của hệ DLG được định nghĩa bằng biểu thức (E. H. Hwang, & S. D. Sarma, 2009): Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 38 Hình 1. Cấu trúc DLG có hằng số điện môi nền không đồng nhất            21 2 12 1 2, , , , , ,q q q v q q q            (1) Trong đó:  là tần số plasmon của hệ ứng với giá trị vector sóng q ;      1,2 11,22 1,2, 1 ,q v q q     (2) là hàm điện môi động của từng đơn lớp graphene tương ứng;  1,2 ,q là hàm phân cực của đơn lớp graphene ở nhiệt độ không tuyệt đối.     22 ij ij e v q q q    (3) là thế tương tác Coulomb nội lớp và xuyên lớp graphene (Badalyan & Peeters, 2012)  ij q là hằng số điện môi hiệu dụng trung bình được xác định bằng hệ thức (Badalyan & Peeters, 2012):         2 3 2 11 2 1 3 1 3 2 2 cosh sinh1 cosh sinh qd qd q qd qd               (4)         2 1 2 22 2 1 3 1 3 2 2 cosh sinh1 cosh sinh qd qd q qd qd               (5)       2 2 12 2 1 3 1 3 2 21 cosh sinhq qd qd             (6) Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 39 Bằng cách sử dụng các biến số mới: ; F F q x y k E    (7) Với 4 F s n k g g    và F E lần lượt là độ dài vector sóng Fermi và năng lượng Fermi (giữa chúng có quan hệ F F F E v k  , chọn 1 trong toàn bộ bài viết này), E.H. Hwang và D. Sarma (2007) đã tìm được hàm phân cực của hệ SLG như sau:           0 1 2, , , ,Fx y D E x y x y x y         (8)  0 sF F g g n D E v   (9) 2 s g g    là thừa số suy biến spin và suy biến valley; n là mật độ hạt tải; 300F c v  là vận tốc graphene. Các hàm trong dấu ngoặc của (8) có phần thực và phần ảo được xác định như sau:                      1 12 2 1 2 1 Re , 1 , 2 8 sgn 2 , 2 , 2 2 x y y x f x y y x y x y x f x y y x f x y x y x y                                 (10)                 2 32 2 3 2 1 Re , 1 , 2 8 , 2 2 2 2 x y x y f x y x y x y f x y x y x y x y x                                  (11)             1 32 2 2 Im , , 2 8 2 2 2 y x x y f x y x y y x x x y x y                         (12)            2 4 42 2 2 Im , , , 2 8 x y y x x y f x y f x y x y x y                  (13) Với: Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 40           2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 , 2 2 ln y y x f x y y y x x y x y            (14)   2 2 2 2 , ln y y x f x y x x    (15)       2 2 2 1 3 2 , 2 2 sin y f x y y x y x x       (16)           2 2 2 2 2 4 2 2 , 2 2 ln y y x f x y y y x x x          (17) Và      2 2 2 2 2 , 8 x y y xx x y i x y y x                (18) Phổ tán sắc plasmon của hệ có thể thu được bằng cách tìm các điểm không của phần thực hàm điện môi động (E. H. Hwang, & S. D. Sarma, 2007):  Re , 0pq   (19) Hệ số suy giảm được định nghĩa bằng biểu thức (T. Vazifehshenas, T. Amlaki, M. Farmanbar, & F. Parhizgar, 2010):     1 Re , Im , p p q q                      (20) Trong đó p  là tần số plasmon ứng với giá trị tương ứng của vector sóng q . Nghiệm số của phương trình (19) và giá trị của hàm  trong (20) được chúng tôi tính bằng phương pháp chia đôi, trên nền ngôn ngữ lập trình C++ của Microsoft Visual Studio 2010. Các bảng số liệu thu được làm cơ sở dữ liệu cho phần mềm vẽ đồ thị OriginPro 8. 3. KẾT QUẢ GIẢI SỐ VÀ THẢO LUẬN Trong phần này, chúng tôi trình bày những kết quả thu được bằng phép tính số đối với hệ DLG ở một vài khoảng cách khác nhau giữa hai lớp và mật độ hạt tải. Hệ DLG mà chúng tôi khảo sát được tạo thành từ ba lớp nền gồm:  2 1 3, 8SiO   ,  2 3 2 6, 0Al O   và không khí  3 1, 0  (Badalyan & Peeters, 2012). 3.1 Phổ tán sắc plasmon Hình 2 biểu diễn phổ tán sắc plasmon của hệ DLG đã nêu với những giá trị khoảng cách khác nhau giữa hai lớp graphene trong hệ có mật độ hạt tải ở hai lớp bằng nhau, hệ hoàn toàn cân đối ( 12 -2 2 1 10 cmn n  ). Để tiện so sánh, chúng tôi vẽ kèm trong đồ thị phổ plasmon của hệ có hằng số điện môi nền đồng nhất bằng trung bình cộng của hằng số điện môi của lớp 1 và lớp 3 Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 41 (  1 3 1 2, 4 2      ) với cùng khoảng cách và mật độ hạt tải. Các hình vẽ từ 2a đến 2d cho thấy: ở các khoảng cách khác nhau giữa hai lớp graphene, hệ có hằng số điện môi nền không đồng nhất có tần số nhánh quang và nhánh âm thấp hơn tần số nhánh quang và nhánh âm tương ứng của hệ có hằng số điện môi nền đồng nhất. Khoảng cách giữa hai lớp càng lớn thì sự khác biệt càng rõ ràng hơn. Khi khoảng cách giữa hai lớp đủ lớn, hai nhánh (nhánh quang và nhánh âm) của hệ có hằng số điện môi nền đồng nhất tiếp xúc nhau, trong khi điều này hoàn toàn không xảy ra đối với hệ có hằng số điện môi nền không đồng nhất. a) 1d nm b) 5d nm c) 30d nm d) 50d nm Hình 2. Phổ tán sắc plasmon của hệ DLG có hằng số điện môi nền không đồng nhất ở một vài giá trị khác nhau của khoảng cách giữa hai lớp. Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 42 a) Plasmon của hệ có hằng số điện môi nền đồng nhất b) Plasmon của hệ có hằng số điện môi nền không đồng nhất Hình 3. Plasmon của hệ DLG thay đổi theo khoảng cách giữa hai lớp graphene Hình 3a và 3b là phổ plasmon của hệ có điện môi nền đồng nhất và không đồng nhất. Cả hai trường hợp, tần số plasmon ở nhánh âm tăng dần theo khoảng cách d giữa hai lớp graphene trong khi tần số nhánh quang thì giảm theo khoảng cách này. Hình 4a đến 4d mô tả phổ tán sắc plasmon của hệ không đồng nhất khi nồng độ hạt tải ở hai lớp graphene mất cân bằng và khoảng cách giữa hai lớp không đổi ( 10d nm ). Các hình này cho thấy, ở các quan hệ khác nhau của mật độ hạt tải trong hai lớp graphene, tần số plasmon của hệ khi hằng số điện môi không đồng nhất đều thấp hơn tần số này của hệ đồng nhất với mật độ hạt tải tương ứng. Khi mật độ hạt tải ở hai lớp càng mất cân bằng ( 2 1 n n càng nhỏ) thì tần số plasmon (cả hai nhánh quang học và âm học) càng thấp và hai nhánh càng sít lại gần nhau, càng gần đường biên dưới. a) 2 1 0, 2n n b) 2 1 0, 5n n Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 43 c) 2 1 0, 8n n d) thay đổi quan hệ giữa 2 n và 1 n Hình 4. Phổ plasmon của hệ DLG khi thay đổi mật độ hạt tải 3.2 Hệ số suy giảm Các Hình 5a đến 5d là đồ thị biểu diễn hệ số suy giảm của hệ DLG có hằng số điện môi nền không đồng nhất (đường màu xanh, liền nét) như một hàm theo vector sóng; đường đứt nét màu đỏ là đồ thị hệ số suy giảm tương ứng của hệ có hằng số điện môi nền đồng nhất với cùng mật độ hạt tải và khoảng cách giữa hai lớp. Các đồ thị này cho thấy, sự không đồng nhất của hằng số điện môi nền làm giảm hệ số suy giảm của dao động plasmon đối với cả hai nhánh quang học và âm học; đồng thời sự suy giảm bắt đầu ở vùng có độ dài vector sóng lớn hơn. a) 1d nm b) 5d nm Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 44 c) 10d nm d) 30d nm Hình 5. Hệ số suy giảm của hệ DLG với một vài khoảng cách khác nhau giữa hai lớp Các Hình 6a và 6b vẽ đồ thị hệ số hấp thụ như một hàm của vector sóng cho nhánh quang và nhánh âm của phổ plasmon hệ DLG có hằng số điện môi nền không đồng nhất. Hình 6a cho thấy đồ thị hệ số hấp thụ đối với nhánh quang của phổ plasmon có độ dốc càng lớn khi khoảng cách giữa hai lớp tăng lên và sự hấp thụ bắt đầu với vùng có năng lượng càng lớn. Hình 6b thì cho thấy đồ thị hệ số hấp thụ có một cực đại và vector sóng ứng với cực đại này càng nhỏ khi khoảng cách giữa hai lớp càng tăng. Khi khoảng cách giữa hai lớp càng lớn thì hệ số hấp thụ càng ít thay đổi, các đồ thị càng sít lại gần nhau. a) Nhánh quang hệ số suy giảm b) Nhánh âm hệ số suy giảm Hình 6. Hệ số suy giảm của hệ DLG có hằng số điện môi nền kkhông đồng nhất Ảnh hưởng của sự mất cân bằng về nồng độ hạt tải ở hai lớp graphene trong hệ DLG có hằng số điện môi nền không đồng nhất được thể hiện trên các Hình 7a đến 7f . Cũng giống như khi mật độ hạt tải ở hai lớp graphene cân bằng nhau, hệ số hấp thụ của hệ không đồng nhất có giá trị thấp hơn nhiều so với hệ đồng nhất. Sự mất cân bằng càng lớn thì hệ số hấp thụ càng nhỏ (ở cả hai nhánh âm học và quang học) và vector sóng ứng với cực đại của hệ số hấp thụ ở nhánh âm càng dịch về phía năng lượng cao. Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 45 a) 2 1 0, 2n n b) 2 1 0, 5n n c) 2 1 0, 8n n d) 2 1 n n e) Nhánh quang khi mật độ hạt tải thay đổi f) Nhánh âm khi mật độ hạt tải thay đổi Hình 7. Đồ thị hệ số hấp thụ của hệ DLG có hằng số điện môi nền không đồng nhất khi mật độ hạt tải giữa hai lớp graphene khác nhau Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 36 – 46 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 46 Sự không đồng nhất của hằng số điện môi nền không làm thay đổi dáng điệu của phổ plasmon và đường cong hấp thụ của hệ DLG mà chỉ làm suy giảm tần số kích thích tập thể và hệ số hấp thụ của hệ so với hệ có hằng số điện môi nền đồng nhất ở những khoảng cách và mật độ hạt tải khác nhau của hai lớp graphene. Đây là một trong những điều cần chú ý khi sử dụng loại vật liệu này. 4. KẾT LUẬN Sự không đồng nhất của hằng số điện môi nền trong cấu trúc graphene hai lớp làm cho tần số plasmon và hệ số guy giảm đều giảm đi ở cả hai nhánh quang học và âm học. Đối với DLGs có hằng số điện môi nền không đồng nhất, khi khoảng cách giữa hai lớp graphene tăng lên thì tần số nhánh âm tăng lên trong khi tần số nhánh quang thì giảm xuống, kết quả là hai nhánh của phổ plasmon càng sít lại gần nhau nhưng không tiếp xúc nhau như đối với hệ có hằng số điện môi nền đồng nhất, hệ số hấp thụ càng ít thay đổi theo khoảng cách. Khi nồng độ hạt tải ở hai lớp graphene càng mất cân bằng, hệ số hấp thụ càng nhỏ, phổ plasmon càng thấp và sự hấp thụ xảy ra tại vị trí có vector sóng càng lớn đồng thời cực đại của hấp thụ (đối với nhanh âm) cũng dịch chuyển cùng chiều. LỜI CẢM TẠ Tác giả xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp quý báu của PGS. TS Nguyễn Quốc Khánh để tác giả hoàn thành bài báo này. TÀI LIỆU THAM KHẢO Badalyan, S. M. & Peeters, F. M. (2012). Effect of nonhomogenous dielectric background on the plasmon modes in graphene double-layer structures at finite temperatures. Physical Review. 85. Dinh Van Tuan & Nguyen Quoc Khanh. (2013). Plasmon modes of double-layer graphene at finite temperature. Physica, E54. 267–272. Hwang, E. H. & Sarma, S. D. (2007). Dielectric function, screening, and plasmons in 2D graphene. Physical Review. B 75. Hwang, E. H. & Sarma, S. D. (2009). Exotic plasmon modes of double layer graphene. Phys. Rev. B 80. Ramezanali, M.R., Vazifeh, M.M., Reza Asgari, Marco Polini, & MacDonald, A.H. (2009). Finite-temperature screening and the specific heat of doped graphene sheets. J. Phys. A: Math. Theor. 42. Rosario E. V. Profumo, Reza Asgari, Marco Polini, & MacDonald, A. H. (2012). Double- layer graphene and topological insulator thin- film plasmons. Phys. Rev. B 85. Vazifehshenas, T., Amlaki, T., Farmanbar, & M., Parhizgar, F. (2010). Temperature effect on plasmon dispersions in double-layer graphene systems. Physics Letters. A 374, 4899–4903.