Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng tụ bose-Einstein hai thành phần

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM ? ? ? ? ? Phạm Thế Song NGHIÊN CỨU CÁC HIỆU ỨNG TRONG KHÔNG GIAN GIỚI HẠN CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 62.44.01.03 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Hà Nội, 2017 Danh sách từ viết tắt Ký hiệu Tiếng Anh Tiếng Việt BEC Bose-Einstein conden-sate ngưng tụ Bose-Einstein BECs two segregated Bose-Einstein condensates ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách CE Canonical ensemble tập hợp chính tắc GCE Grand canonical ensem-ble tập hợp chính tắc lớn DPA Double-parabola approx-imation gần đúng parabol kép MDPA Modified double-parabola approximation gần đúng parabol kép mở rộng GP Gross-Pitaevskii Gross-Pitaevskii GPE(s) Gross-Pitaevskii equa-tion(s) (hệ) phương trình Gross- Pitaevskii TIGPEs Time-independent Gross-Pitaevskii equa- tions hệ phương trình Gross- Pitaevskii không phụ thuộc thời gian TPA Tripple-parabola approx-imation gần đúng ba parabol MFA Mean-field approxima-tion gần đúng trường trung bình 2MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Áp dụng phương pháp DPA, các nghiên cứu về sức căng bề mặt và chuyển pha ướt của hệ BECs không giới hạn đã được Indekeu J. O. cùng các cộng sự giải quyết một cách có hệ thống và thu được rất nhiều kết quả quan trọng (Phys. Rev. A 91, 033615, (2015)). Tuy nhiên, tất cả các nghiên cứu đó đều chưa xem xét tới ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các đặc tính vật lý của hệ. Trong khi đó, hiệu ứng giới hạn không gian của các hệ lượng tử đã và đang được nghiên cứu chuyên sâu do ý nghĩa đặc biệt của nó đối với sự phát triển của công nghệ. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận án là Nghiên cứu các hiệu ứng trong không gian giới hạn của ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần. 2. Lịch sử vấn đề Giải Nobel vật lý năm 2001 trao cho Conell E. A., Wieman C. E. và Ketterle W. vì những thành tựu nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ khí loãng của các nguyên tử kiềm đã khẳng định những tiên đoán về trạng thái BEC của Einstein A. dựa trên một bài báo của Bose N. từ năm 1924, đồng thời thu hút sự quan tâm của đông đảo các nhà khoa học trên toàn cầu nghiên cứu về BECs cả trong lý thuyết và thực nghiệm. Bước phát triển cực kỳ quan trọng của nghiên cứu lý thuyết về BEC được đánh dấu bởi thành công của Gross E. P. và Pitaevskii L. P. trong việc thiết lập GPE(s) dựa trên MFA. Phát triển ý tưởng tuyến tính hóa các tham số trật tự của Ao P. và Chui S. T., Indekeu J. O. và các cộng sự đã xây dựng thành công phương pháp DPA, sau đó được mở rộng thành TPA, nhờ đó tìm được nghiệm giải tích gần đúng của GPEs. So sánh với kết quả tính số cho thấy nghiệm của GPEs trong DPA và TPA rất tiệm cận với nghiệm tính số ở mọi trạng thái phân tách của hệ từ phân tách yếu (weak segregation) tới phân tách mạnh (strong segregation). Từ đây các tác giả đã tính toán một cách chi tiết về sức căng bề mặt và dựa trên qui tắc Antonov để vẽ giản đồ chuyển pha ướt, đồng thời so sánh với các kết quả tính toán bằng lý thuyết GP. Trong luận án này, chúng tôi mở rộng phương pháp DPA để nghiên cứu hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng nhằm xem xét ảnh hưởng của các tường cứng tới các tính chất vật lý bề mặt tĩnh và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ. 3. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chất vật lý của hệ BECs ở trạng thái cân bằng. 4. Đối tượng, nhiệm vụ, phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng 3và hai tường cứng. • Nhiệm vụ nghiên cứu: – Tìm hàm sóng ngưng tụ của hệ thoả mãn điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên Robin tại các tường cứng; – Xác định sức căng mặt phân cách giữa hai thành phần; – Xác định sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng; – Vẽ giản đồ chuyển pha ướt của ngưng tụ trên bề mặt tường cứng; – Chỉ ra ảnh hưởng của sự giới hạn không gian đối với các tính chất vật lý của hệ; – Đề xuất mô hình thí nghiệm kiểm chứng kết quả nghiên cứu và một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo. • Phạm vi nghiên cứu: Hệ BECs ở nhiệt độ cực thấp, không phụ thuộc thời gian, trong GCE và CE. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp MFA, phương pháp MDPA, phương pháp tính số với sự hỗ trợ của một số phần mềm tính toán. 6. Đóng góp của luận án Luận án đóng góp những kết quả nghiên cứu mới về tính chất vật lý của hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng, những đóng góp chính được trình bày trong phần Kết luận của luận án. 7. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương: Chương 1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách Chương 2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng Chương 3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng 4Chương 1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách 1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein 1.1.1. Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein Nếu nhiệt độ của hệ hạt boson nhỏ hơn nhiệt độ mà tại đó thế hóa học bằng 0 (T < Tc) thì phần lớn số hạt trong hệ cùng chiếm trạng thái có mức năng lượng thấp nhất. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein. Số hạt ngưng tụ là N(ε = 0) = N −N(ε > 0) = N [ 1− ( T Tc )3/2] , trong đó N là tổng số hạt của hệ. 1.2. Phương trình Gross-Pitaevskii và các phương trình thuỷ động lực học của hàm sóng ngưng tụ a. Phương trình Gross-Pitaevskii + GPE phụ thuộc thời gian i~∂tψ = − ~ 2 2m ∇2ψ + U(~x)ψ +G|ψ|2ψ. + GPE không phụ thuộc thời gian − ~ 2 2m ∇2ψ(~x) + U(~x)ψ(~x) +G|ψ(~x)|2ψ(~x) = µψ(~x). b. Độ dài hồi phục của hàm sóng ngưng tụ: ξ = ~√ 2mGn . c. Các phương trình thủy động lực học của ngưng tụ + Phương trình liên tục của ngưng tụ: ∂tn+∇(n~v) = 0, trong đó n = |ψ|2, ~v = i~2mn ( ψ∇ψ∗ − ψ∗∇ψ ) là vận tốc của ngưng tụ, ~j = i~2 ( ψ∇ψ∗ − ψ∗∇ψ ) là mật độ động lượng của ngưng tụ. + Phương trình chuyển động của biên độ và pha: ∂t|ψ0|2 = − ~m∇(|ψ0|2∇φ) và ∂tφ = − 1~ δEδn . 1.2. Lý thuyết Gross-Pitaevskii cho hệ BECs không giới hạn 5+Mật độ Hamiltonian và mật độ thế tương tác của hệ BECs: Hˆb = Hb 2P = 2∑ j=1 φj ( − ξ 2 j ξ21 ∂2z ) φj + Vˆ(φ1, φ2), Vˆ(φ1, φ2) = V(Ψ1,Ψ2) 2P = 2∑ j=1 [ − |φj |2 + 1 2 |φj |4 ] +K|φ1|2|φ2|2. + TIGPEs (1.26): −∂2zφ1 − φ1 + |φ1|3 +K|φ2|2φ1 = 0, −ξ2∂2zφ2 − φ2 + |φ2|3 +K|φ1|2φ2 = 0. + Hệ BECs vô hạn, thành phần 1 (thành phần 2) chiếm vùng không gian z > 0 (z < 0), các hàm sóng của TIGPEs thỏa mãn điều kiện biên (1.28) φ1(z → +∞) = φ2(z → −∞) = 1, φ2(z → +∞) = φ1(z → −∞) = 0. + Hằng số của chuyển động (constant of the motion) hoặc tích phân thứ nhất (the first integral) (1.33): (∂zφ1) 2 + ξ2(∂zφ2) 2 + 2∑ j=1 [ |φj |2 − 1 2 |φj |4 ] −K|φ2|2|φ1|2 = 1 2 . 1.3. Phương pháp DPA cho hệ BECs không giới hạn Đối với hệ BECs, trong vùng z > z0(z 6 z0) ta có φ2 → 0(φ1 → 0), nên hàm sóng ngưng tụ ở mỗi phía của mặt phân cách được khai triển theo các hệ thức |φj | = 1 + εj , |φj′ | = δj′ , { z > z0, (j, j′) = (1, 2), z 6 z0, (j, j′) = (2, 1), với z0 = 0, εj và δj′ là những đại lượng thực không thứ nguyên sao cho (εj , δj′) 1. + TIGPEs trong DPA: Ở bên phải mặt phân cách (z > 0) −∂2zφ1 + 2(φ1 − 1) = 0, −ξ2∂2zφ2 + ηφ2 = 0; 6Hình 1.1: Khai triển hàm sóng ngưng tụ ở mỗi phía mặt phân cách bằng phương pháp DPA. Ở bên trái mặt phân cách (z 6 0) −∂2zφ1 + ηφ1 = 0, −ξ2∂2zφ2 + 2(φ2 − 1) = 0, η = K − 1. + Mật độ Hamiltionian trong DPA (1.37): HˆbDPA = Hb 2P = 2∑ j=1 φj ( − ξ 2 j ξ21 ∂2z ) φj + VˆDPA(φ1, φ2), VˆDPA(φ1, φ2) = 2(|φj | − 1)2 + η|φj′ |2 − 1 2 , { z > z0, (j, j′) = (1, 2), z 6 z0, (j, j′) = (2, 1). 1.4. Phương pháp MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng + Mật độ Hamiltonian trên mặt phân cách và trên bề mặt tường cứng: HˆA = HA 2P = 2∑ j=1 ξ2j Λ˜j φAj ∗ φAj , HˆWi = HWi 2P = 2∑ j=1 ξ2j λ˜Wij φWij ∗ φWij . 7+ Hamiltonian toàn phần trong MDPA: HˆMDPA = ∫ V HˆbDPAdV + ∫ A HˆAdS + ∑ i ∫ Wi HˆWidS. + TIGPEs không thứ nguyên trong MDPA cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng: Ở bên phải mặt phân cách (z > z0) (1.43) −∂2zφ1 + 2(φ1 − 1) = 0, −ξ2∂2zφ2 + ηφ2 = 0; Ở bên trái mặt phân cách (z 6 z0) (1.44) −∂2zφ1 + ηφ1 = 0, −ξ2∂2zφ2 + 2(φ2 − 1) = 0. + Các hàm sóng ngưng tụ φj(j = 1, 2) trong các phương trình trên thỏa mãn các điều kiện biên (1.45): Điều kiện Robin ∂zφj |z=z0−0 = 1 Λj φj(z = z0) = ∂zφj |z=z0+0 và điều kiện liên tục của hàm sóng tại mặt phân cách φj(z = z0 − 0) = φj(z0) = φj(z = z0 + 0); Điều kiện biên Robin ∂zφj |z=zWi = 1 λWij φj(z = zWi) hoặc là điều kiện biên Dirichlet tại các tường cứng φj(z = zWi) = 0 khi trường tại các tường cứng triệt tiêu. Ở đây, Λj = Λ˜j/ξ1, λWij = λ˜Wij /ξ1. 1.5. Năng lượng dư trên mặt phân cách của hệ BECs + Trong GCE: ∆Ω = 2APξ1 ∫ dz { − φ∗1∂2zφ1 − ξ2φ∗2∂2zφ2 + Vˆ(φ1, φ2) + 1 2 } , 8trong đó A là diện tích của mặt phân cách. + Trong CE: ∆E = PAξ1 ∫ dz(−φ∗1∂2zφ1 − ξ2φ∗2∂2zφ2). Tổng kết chương 1 Nhằm mục đích trình bày những kiến thức cơ sở cho các nghiên cứu ở các chương tiếp theo, chương 1 đã đạt được những kết quả chính như sau: • Sử dụng thống kê lượng tử Bose-Einstein để mô tả hiện tượng BEC trong hệ hạt boson lý tưởng đồng nhất; • Xây dựng GPE(s) trong gần đúng trường trung bình, từ đó chứng minh được các hàm sóng ngưng tụ thỏa mãn các phương trình thủy động lực học; • Trình bày những vấn đề cơ bản về phương pháp DPA và một số kết quả thu được từ phương pháp này; • Mở rộng phương pháp DPA để áp dụng cho hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng; Hàm sóng ngưng tụ tìm được bằng MDPA phải đảm bảo các tính chất quan trọng của nó như trong lý thuyết GP, nó chỉ có ý nghĩa khi trạng thái cơ bản của hệ trong lý thuyết GP chắc chắn tồn tại. • Xác định được năng lượng dư trên mặt phân cách giữa hai thành phần theo hàm sóng ngưng tụ và các tham số đặc trưng của hệ BECs. 9Chương 2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng 2.1. Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng Hình 2.1: Hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng tại z˜ = −h˜, mặt phân cách giữa hai thành phần tại z˜ = z˜0. 2.1.1. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng + Điều kiện biên: φ1(z = −h) = φ2(z = −h) = 0, φ1(z → +∞) = 1, φ2(z → +∞) = 0. + Hàm sóng ngưng tụ: φ1 = 1−A1e− √ 2z, φ2 = B1e − √ ηz ξ , trong vùng z > z0, φ1 = A2e √ η(−2h−z)(e2 √ η(h+z) − 1), φ2 = e − √ 2(2h+z) ξ (e √ 2(h+z) ξ − 1)(B2e √ 2(h+z) ξ +B2 + e √ 2h ξ ), trong vùng z 6 z0. 10 Hình 2.2b: Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet (φj(−h) = 0), K = 1.01, ξ = 1, h = 50(b). Đường màu đỏ và đường màu xanh tương ứng là MDPA và GP. K = 3, ξ = 3, h = 20∂zϕ2 z=-h = 0ϕ2 ϕ1 -20 -15 -10 -5 0 5 100.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 z Hình 2.4b: Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW2  1), K = 3, h = 20; ξ = 3. 2.2. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại tường cứng + Điều kiện biên: φ1(z = −h) = 0, ∂zφ2|z=−h = 0, φ1(z → +∞) = 1, φ2(z → +∞) = 0. 11 + Hàm sóng ngưng tụ: φ1 = 1−A1e− √ 2z, φ2 = B1e − √ ηz ξ , trong vùng z > z0, φ1 = A2e √ η(−2h−z)(e2 √ η(h+z) − 1), φ2 = 1−B2(e− √ 2(2h+z) ξ + e √ 2z ξ ), trong vùng z 6 z0. Cấu hình ngưng tụ trong MDPA tiệm cận với cấu hình ngưng tụ trong lý thuyết GP. Vị trí mặt phân cách phụ thuộc mạnh vào vị trí của tường cứng. 2.2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ BECs trong tập hợp chính tắc lớn 2.2.1. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt với điều kiện biên Dirichlet tại tường cứng Hình 2.5: (GCE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K với h = 0(đường màu đỏ) và h→ +∞(đường màu xanh). γ˜12 = 4 +∞∫ −h dz{−φ∗1∂2zφ1 − ξ2φ∗2∂2zφ2} = 4 +∞∫ −h dz{(∂zφ1)2 + ξ2(∂zφ2)2}. 12 + Sức căng bề mặt tại tường cứng: γ˜1W = 2 √ 2− 4 √ 2(h+ z0)( e √ 2(h+z0) ξ + 1 )2 − 4 √ 2(h+ z0) e √ 2(h+z0) ξ + 1 , γ˜2W = ( 2 √ 2− 4 e √ 2(h+z0) ξ + 1 ) ξ. + Quy tắc Antonov: γ˜1W = γ˜2W + γ˜12. Các hình 2.5 và 2.9 cho thấy ở điều kiện biên Dirichlet sự ảnh hưởng của vị trí tường cứng đối với sức căng mặt phân cách là rất nhỏ. Đối với giản đồ pha ướt, sự ảnh hưởng này chỉ xuất hiện rất yếu trong vùng (1/K, ξ) ∼ 0. Hình 2.9: (GCE) Giản đồ pha ướt của thành phần 2 trên bề mặt tường cứng ứng với h = 0 (đường màu đỏ) và h→ +∞(đường màu xanh). 2.2.2. Sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt với điều kiện biên Robin tại tường cứng γ˜12 = 2(I1 + ξ 2I2 + C1 + C2), trong đó I1 = +∞∫ −h (−φ∗1∂2zφ1)dz,C1 = z0∫ −h η|φ1|2dz + +∞∫ z0 2(|φ1| − 1)2dz, 13 ∂zϕ2 -h = 0 = 0, ξ = 1 h→+∞ h = 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 6 1 K γ 12 Pξ 1 Hình 2.11: (GCE) Hiệu ứng giới hạn không gian của sức căng mặt phân cách với ξ = 1. ∂zϕ2 z=-h = 0 partial wetting region complete wetting region ζ→+∞ζ = 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1/K ξ Hình 2.12: (GCE) Giản đồ pha ướt của thành phần 2 trên bề mặt tường cứng với ζ = (h+ z0) = 20 và ζ = (h+ z0)→ +∞. 14 I2 = +∞∫ −h (−φ∗2∂2zφ2)dz,C2 = z0∫ −h 2(|φ2| − 1)2dz + +∞∫ z0 η|φ2|2dz. + Sức căng bề mặt ngưng tụ tại tường cứng: γ˜1W = 4(h+ z0)√ 2(h+ z0) + 1 , γ˜2W = 2 √ 2 tanh (√2(h+ z0) ξ ) ξ. Các hình 2.11 và 2.12 cho thấy ở điều kiện biên Robin sự thay đổi vị trí của tường cứng hoàn toàn không ảnh hưởng tới sức căng mặt phân cách và giản đồ pha ướt. 2.3. Sức căng mặt phân cách của hệ BECs trong tập hợp chính tắc Γ˜12 = ∆E APξ1 = (I1 + ξ 2I2), hoặc là Γ˜12 = 1 N1 [ I1 + n 3/2 21 ξI2 ] , trong đó σ10 = g11n102 , n21 = n20 n10 ,N1 = +∞∫ −h φ21dz. Các hình 2.14, 2.15, 2.16, là các đồ thị mô tả sự thay đổi của Γ˜12 theo 1/K tại các vị trí khác nhau của tường cứng, với các giá trị khác nhau của ξ và n21, cho thấy trong CE sự ảnh hưởng của vị trí tường cứng tới sức căng mặt phân cách cũng rất yếu. Trong điều kiện biên Dirichlet, ảnh hưởng của các tham số của hệ tới sức căng mặt phân cách thể hiện rõ ràng hơn trong điều kiện biên Robin. Tổng kết chương 2 Trong chương 2, ta đã nghiên cứu tính chất bề mặt tĩnh của hệ BECs bị giới hạn trong nửa không gian bởi một tường cứng. Sau đây là phần tổng kết và thảo luận về các kết quả đạt được. • Nghiệm của TIGPEs trong MDPA tiệm cận với nghiệm tìm được bằng cách giải số TIGPEs không thứ nguyên trong lý thuyết GP là cơ sở quan trọng để khẳng định độ tin cậy của phương pháp MDPA. 15 (a) ϕ j(-h) = 0, ξ = 5, n21 = 1ζ = 100ζ = 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 10 20 30 40 1/K Γ 12 N 1 σ 10 (b) ∂zϕ2 z=-h= 0, ξ = 10, n21 = 1ζ = 100ζ = 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 1/K Γ 12 N 1 σ 10 Hình 2.14: (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K với n21 = 1, ζ = (h+ z0) = 20, 100; φj(−h) = 0, ξ = 5(a); ∂zφ2|z=−h = 0, ξ = 10(b). • Vị trí mặt phân cách giữa hai thành phần (z0 6= 0) phụ thuộc vào vị trí của tường cứng, z0 → 0 nếu tường cứng dịch ra xa vô cực. Hiện tượng này hoàn toàn khác với hệ vô hạn, mặt phân cách luôn ở z0 = 0 với mọi giá trị của các tham số. • Với điều kiện biên Dirichlet, sức căng mặt phân cách bị ảnh hưởng rất ít bởi vị trí tường cứng. Sự ảnh hưởng này hoàn toàn triệt tiêu 16 (a) ϕ j(-h)= 0, ζ = 20, n21=1ξ = 1ξ = 6ξ = 11 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 10 20 30 40 1/K Γ 12 N 1 σ 10 (b) ∂zϕ2 z=-h= 0, ζ = 20, n21=1ξ = 5ξ = 10ξ = 15 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 20 1/K Γ 12 N 1 σ 10 Hình 2.15: (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại n21 = 1, ζ = (h+ z0) = 20; φj(−h) = 0, ξ = 1, 6, 11(a); ∂zφ2|z=−h = 0, ξ = 5, 10, 15(b). ở điều kiện biên Robin. • Với những giá trị phù hợp của các tham số K và ξ, từ trạng thái không dính ướt bề mặt tường cứng ngưng tụ sẽ chuyển sang trạng thái dính ướt bề mặt tường cứng, hoặc từ trạng thái dính ướt một phần chuyển sang trạng thái dính ướt hoàn toàn, hiện tượng này được gọi là chuyển pha ướt, đây là chuyển pha loại 1. Với mọi 17 (a) ϕ j(-h)= 0, ζ = 20, ξ=1 n21 = 0.5 n21 = 1.0 n21 = 2.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 20 1/K Γ 12 N 1 σ 10 (b) ∂zϕ2 z=-h= 0, ζ = 20, ξ=1 n21 = 0.5 n21 = 1.0 n21 = 2.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 1/K Γ 12 N 1 σ 10 Hình 2.16: Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại ξ = 1, ζ = (h+ z0) = 20 với n21 = 0.5, 1.0, 2.0; φj(−h) = 0(a), ∂zφ2|z=−h = 0(b). vị trí của tường cứng, giản đồ pha ướt không có sự thay đổi nào đáng kể. 18 Chương 3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng 3.1. Trạng thái cơ bản của hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng Hình 3.1: Hệ BECs bị giới hạn bởi hai tường cứng tại z˜ = ±h˜, mặt phân cách giữa hai thành phần tại z˜ = z˜0. 3.1.1. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng + Điều kiện biên (3.1): φj(z = ±h) = 0 với j = (1, 2). + Hàm sóng ngưng tụ: φ1 = e −√2z(e √ 2z − e √ 2h)(A1(e √ 2h + e √ 2z) + 1), φ2 = B1(e √ ηz ξ − e √ η(2h−z) ξ ), ở bên phải mặt phân cách (z > z0), φ1 = A2e √ η(−(2h+z))(e2 √ η(h+z) − 1), φ2 = e − √ 2(2h+z) ξ (e √ 2(h+z) ξ − 1)(B2e √ 2(h+z) ξ +B2 + e √ 2h ξ ), ở bên trái mặt phân cách (z 6 z0). 3.1.2. Trạng thái cơ bản với điều kiện biên Robin tại hai tường cứng 19 + Điều kiện biên (3.4): φ1(z = −h) = 0, ∂zφ2|z=−h = 0, ∂zφ1|z=+h = 0, φ2(z = +h) = 0. + Hàm sóng ngưng tụ: φ1 = 1−A1(e √ 2z + e √ 2(2h−z)), φ2 = B1e − √ ηz ξ (e 2 √ ηz ξ − e 2 √ ηh ξ ), ở bên phải mặt phân cách (z > z0), φ1 = A2e √ η(−2h−z)(e2 √ η(h+z) − 1), φ2 = 1−B2(e √ 2z ξ + e− √ 2(2h+z) ξ ), ở bên trái mặt phân cách (z 6 z0). Hình 3.2b: Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Dirichlet (φj(±h) = 0) trong MDPA (đường liền) và trong lý thuyết GP (đường gạch), K = 3, ξ = 1. 3.2. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Dirichlet tại hai tường cứng. Lực Casimir- like 20 K = 1.2, ξ = 1, h = 10 ∂zϕ2 z=-h = 0 ϕ2 ϕ1 -10 -5 0 5 100.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 z Hình 3.3b: Cấu hình ngưng tụ với điều kiện biên Robin (λW11 , λ W2 2  1) trong MDPA (đường gạch) và trong lý thuyết GP (đường liền). 3.2.1. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc lớn γ˜12 = 4(I1 + ξ 2I2) + 2[−(ap + am − 4)h+ (ap − am)z0]. Ở đây I1 = +h∫ −h (∂zφ1) 2dz,I2 = +h∫ −h (∂zφ2) 2dz, ap = [(∂zφ1) 2 + ξ2(∂zφ2) 2] ∣∣∣ z=+h = 2(2A1e √ 2h + 1)2 + 4ηB21e 2h √ η/ξ, am = [(∂zφ1) 2 + ξ2(∂zφ2) 2] ∣∣∣ z=−h = 4A22ηe −2h√η + 2(2B2e− √ 2h/ξ + 1)2. Hình 3.4 cho thấy sức căng mặt phân cách biến thiên rất nhanh theo khoảng cách giữa hai tường cứng nếu h 6 ξ, sự biến thiên này chậm dần nếu h > ξ, sức căng mặt phân cách không còn phụ thuộc vào h nếu h ξ. 3.2.2. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc 21 Hình 3.4b: (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách tại ξ = 3(b) với các giá trị khác nhau của K = 1(đường liền), 1.1 (đường gạch), 3 (đường chấm). Γ12 = ∆E A = Pξ1 +h∫ −h dz(−φ1∂2zφ1 − ξ2φ2∂2zφ2) = Pξ1 +h∫ −h dz[(∂zφ1) 2 + ξ2(∂zφ2) 2] = Pξ1(I1 + ξ 2I2). Trường hợp m1 = m2 = m, g11 = g22 = g, σ10 = σ20 = σ0: Γ˜12 = 1 N 31 [ I1 + (n20 n10 )3/2 I2 ] , ở đây Γ˜12 = Γ12/σ0N31 . Trên hình vẽ 3.5 cho thấy tương tác giữa hai thành phần ngưng tụ làm cho áp suất của hệ tăng nếu thể tích giảm. Ngược lại, nếu thể tích 22 Hình 3.5b: (CE) Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo h tại ξ = 3 và K = 3. Hình 3.6b: Sự biến thiên của sức căng mặt phân cách theo 1/K tại ξ = 3 với h→ +∞(đường liền), h = 12 (đường chấm), h = 8(đường gạch). Màu xanh và màu đỏ lần lượt tương ứng với GCE và CE. 23 Hình 3.7b: (GCE) Sự phụ thuộc của lực Casimir-like trên một đơn vị diện tích tường cứng vào h tại ξ = 3 với K = 1(đường liền), K = 1.1 (đường gạch), K = 3(đường chấm). của hệ tăng thì áp suất giảm xuống, các hạt được phân bố đồng đều hơn do vậy sức căng mặt phân cách giảm xuống. + Công thức (3.24): γ12 Γ12 = 4 + 2[(ap − am)z0 − (ap + am − 4)h] I1 + ξ2I2 . Tỉ số γ12Γ12 không bằng 4 như kết quả đã tìm được cho hệ bán hữu hạn ở chương 2 và cho hệ không giới hạn trong Phys. Rev. A 91, 013626 (2015). Hình 3.6 vẽ sự biến thiên của γ˜12 và 4Γ˜12 theo 1/K với những giá trị khác nhau của h và ξ cho thấy rõ hiện tượng này. 3.2.3. Lực Casimir-like Lực Casimir-like tác dụng lên một đơn vị diện tích tường cứng được xác định theo công thức F˜GCE = −1 2 ∂hγ˜12, F˜CE = −1 2 ∂hΓ˜12. Từ hình vẽ 3.7 ta nhận thấy trong trường hợp hệ phân tách yếu (K < 3), lực Casimir-like là lực hút khi hai tường cứng ở khá gần nhau 24 (h ∼ ξ hoặc h lớn hơn ξ không nhiều), nó trở thành lực đẩy nếu hai tường tiến ra xa nhau (h  ξ), trong trường hợp hệ phân tách mạnh (K > 3), lực Casimir-like luôn là lực hút. Những tính chất này khác với lực Casimir, là lực hút hay lực đẩy tùy thuộc vào đặc điểm của điều kiện biên là điều hòa hay phi điều hòa. Lực Casimir-like triệt tiêu với mọi tham số của hệ khi h→ +∞. 3.3. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách với điều kiện biên Robin tại hai tường cứng 3.3.1. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc lớn γ˜12 = 4 +h∫ −h [(∂zφ1) 2 + ξ2(∂zφ2) 2]dz = 4(I1 + ξ 2I2). ξ = 1, ϕ1(-h) = ϕ2(h)= 0∂zϕ1 z=h = ∂zϕ2 z=-h = 0 K=3.0 K=1.1 K=1.0 0 2 4 6 8 10 12 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 h γ 12 Pξ 1 Hình 3.8: (GCE) Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách tại ξ = 1, với các giá trị khác nhau của K = 1.0(đường liền), 1.1 (đường gạch), 3 (đường chấm-gạch). Hình 3.8 và 3.9 cho thấy γ˜12 phụ thuộc mạnh vào h nếu hai tường cứng ở gần nhau. Khoảng biến thiên của khoảng cách giữa hai tường cứng mà trong đó γ˜12 phụ thuộc mạnh vào h càng rộng nếu sự phân 25 ξ=1 h→+∞ h=10 h = 7 h=4 ϕ1(h) = ϕ2(h)= 0 zϕ1 z
h = zϕ2 z
h = 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 6 1 K γ 1 2 P ξ 1 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Hình 3.9: (GCE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào 1/K tại ξ = 1 với h = 4, 7, 10 và h→∞. tách của hệ càng yếu. Trường hợp h  ξ, sức căng mặt phân cách tiến tới 0 nếu K → 1. Trường hợp h 6 ξ hoặc h lớn hơn ξ không nhiều, sức căng mặt phân cách không biến mất khi K → 1. Những hiện tượng này cho thấy thế tương tác bị ảnh hưởng mạnh bởi sự giới hạn không gian trong khoảng cách ngắn. 3.3.2. Hiệu ứng kích thước hữu hạn của sức căng mặt phân cách trong hệ tập hợp chính tắc Đồ thị hình 3.11 không những cho thấy áp suất của hệ tăng (giảm) theo sự tăng (giảm) của thể tích mà còn cho thấy sự tác động khá lớn của cường độ tương tác giữa các hạt đến áp suất của hệ. + Tỉ số γ˜12/Γ˜12 = 4, giống như kết quả đã tìm được cho hệ vô hạn và hệ bán hữu hạn. Tổng kết chương 3 Dưới đây là tổng kết và thảo luận về những kết quả quan trọng đã đạt được trong chương 3. • Trạng thái cơ bản thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên Robin tại các tường cứng trong MDPA tiệm cận với kết quả tìm được bằng phương pháp giải số TIGPEs trong lý thuyết GP cho thấy phương pháp MDPA áp dụng được cho hệ BECs với mọi cấu hình không gian. Sự xuất hiện của các tường cứng đã làm cho vị trí mặt phân cách phụ thuộc mạnh vào độ dài hồi phục của 26 n21 = 1, ξ = 1∂zϕ1 z=h = ∂zϕ2 z=-h = 0 K=3 K=2 K=1.1 0 2 4 6 8 10 12 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 h Γ 12 N 13 σ 10 Hình 3.11: (CE) Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào h tại n21 = 1, ξ = 1 với K = 1.1, 2.0, 3.0. hàm sóng ngưng tụ, mặt phân cách chỉ nằm tại z = 0 khi ngưng tụ đối xứng hoặc là các tường cứng dịch ra rất xa. • Sự phụ thuộc của thế tương tác vào khoảng cách giữa hai tường cứng chỉ đáng kể trong khoảng cách ngắn cho nên hiệu ứng kích thước hữu hạn đối với sức căng mặt phân cách chỉ thể hiện rõ khi hai tường cứng ở khá gần nhau (h ∼ ξ). • Sự biến thiên của năng lượng tương tác giữa hai thành phần theo khoảng cách giữa hai tường cứng làm xuất hiện một lực có tính chất giống như lực Casimir tác dụng lên hai tường cứng gọi là lực Casimir-like. 27 KẾT LUẬN Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu một cách có hệ thống tính chất bề mặt tĩnh của hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách bị giới hạn bởi các tường cứng. Dựa trên lý thuyết GP và phương pháp MDPA đã thu được những kết quả quan trọng về ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới cấu hình ngưng tụ, sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ. Sau đây chúng tôi chỉ nêu hai kết quả quan trọng nhất. 1. Đề xuất phương pháp MDPA để áp dụng cho hệ BECs hai thành phần phân tách bị giới hạn bởi các tường cứng, đây là phương pháp phù hợp cho hệ BECs với mọi cấu hình không gian, trong khi phương pháp DPA chỉ áp dụng được cho hệ BECs vô hạn và bán hữu hạn. Các hàm sóng ngưng tụ của TIGPEs tìm được bằng phương pháp MDPA cho phép xác định được sức căng mặt phân cách theo các tham số đặc trưng của hệ GCE và CE trong mọi trường hợp từ phân tách yếu (K ∼ 1) đến phân tách mạnh (K → +∞), với mọi độ dài hồi phục của hàm sóng ngưng tụ ξ ∈ (0,+∞). Trong khi đó, sử dụng nghiệm giải tích của TIGPEs tìm được trong lý thuyết GP chỉ xác định được tường minh sức căng mặt phân cách trong một vài trường hợp đặc biệt của K và ξ. 2. Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giới hạn không gian tới các tính chất bề mặt tĩnh của hệ BECs cho thấy hiệu ứng giới hạn không gian đối với sức căng mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt trong hệ BECs bị giới hạn bởi một tường cứng là rất nhỏ. Trong hệ bị giới hạn bởi hai tường cứng, hiệu ứng kích thước hữu hạn đối với sức căng mặt phân cách chỉ đáng kể nếu khoảng cách giữa hai tường cứng không quá lớn (h ∼ ξ hoặc h > ξ không nhiều). Sự phụ thuộc của sức căng mặt phân cách vào khoảng cách giữa hai tường cứng làm xuất hiện một lực tác dụng lên hai tường cứng có tính chất giống như lực Casimir, ta gọi đó là lực Casimir-like. Lực Casimir-like là lực hút hay lực đẩy tùy thuộc vào mức độ phân tách của hệ và khoảng cách giữa hai tường cứng, lực này triệt tiêu nếu hai tường ở rất xa nhau. Các kết quả nghiên cứu của luận án là có ý nghĩa khoa học và đáng tin cậy, đã được công bố trên hai tạp chí khoa học chuyên ngành có uy tín (Phys. Lett. A, J. Low Temp. Phys.). Tiếp tục phát triển những thành quả đã đạt được trong luận án này, chúng tôi đề xuất nghiên cứu hai vấn đề sau đây: 28 1. Sự ảnh hưởng của nhiệt độ tới các tính chất tĩnh của bề mặt ngưng tụ và hiện tượng chuyển pha ướt; 2. Dao động kích thích bề mặt, sự biến dạng của bề mặt trong hệ BECs bị giới hạn bởi các tường cứng. 29 Danh sách các công trình công bố kết qủa nghiên cứu của luận án • Le Viet Hoa, To Manh Kien and Pham The Song (2010), Study the phase transition in binary mixtures, Journal of science of HNUE Natural.Sci. Vol. 55, 6, p.3-13. • N. V. Thu, T. H. Phat, P. T. Song (2016),Wetting phase transition of two segregated Bose-Einstein condensates restricted by one hard wall, Phys. Lett. A 380, 1487. • N. V. Thu, T. H. Phat, P. T. Song (2017), Finite-size effects of surface tension in two segregated BECs confined by two hard walls, J. Low Temp. Phys. Vol. 186, 127.