Một phương pháp xây dựng điều khiển dự báo dựa trên mô hình Gauss - Lê Thị Huyền Linh

Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 86(10): 195 - 200 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 195 MỘT PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO DỰA TRÊN MÔ HÌNH GAUSS Lê Thị Huyền Linh*, Nguyễn Thị Mai Hƣơng Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Mô hình Gauss cung cấp một mô hình xác xuất không tham số cho việc nhận dạng mô hình hộp đen phi tuyến. Mô hình Gauss có thể xác định các khu vực không gian đầu vào có chất lượng dự báo kém (do thiếu dữ liệu hoặc quá phức tạp) bằng cách chỉ ra những phương sai cao hơn lân cận giá trị trung bình dự đoán. Khi sử dụng mô hình Gauss chỉ cần rất ít tham số để đạt được sự tối ưu . Bài báo này giới thiệu khả năng áp dụng của mô hình Gauss trong điều khiển dự báo . Phương pháp này được ứng dụng trong việc điều khiển quá trình trung hòa độ pH . Từ khóa: Mô hình Gauss, Mô hình điều khiển dự báo, Mô hình xác xuất không tham số.  ĐẶT VẤN ĐỀ Model Predictive Control (MPC) là thuật toán điều khiển sử dụng mô hình tường minh để dự đoán đối tượng đáp ứng tương lai . Thuật toán này sẽ tối ưu các tham số điều khiển để có được đối tượng đáp ứng tương lai tối ưu . MPC được sử dụng trong bài toán xử lý những ràng buộc , tính ổn định thường gặp trong thực tế điều khiển mà các phương pháp điều khiển tối ưu thông thường không đáp ứng được. Trong điều khiển dự báo, chất lượng điều khiển phụ thuộc vào mô hình dự báo vì vậy một trong những phương pháp nâng cao chất lượng của hệ điều khiển dự báo là phương pháp xây dựng mô hình điều khiển. Nguyên tắc điều khiển mô hình dự báo phi tuyến (NMPC) với mô hình Gaus s thường được sử dụng để mô hình hóa các thông số phi tuyến tĩnh [1], [2]. Trong nghiên cứu này , mô hình Gauss được phát triển để ứng dụng cho việc mô hình hóa hệ thống động. MÔ HÌNH HÓA HỆ THỐNG ĐỘNG VỚI GAUSS Mô hình Gauss là một mô hình xá c suất không tham số linh hoạt với những dự báo không xác định . Mô hình này là tập hợp các biến ngẫu nhiên được phân bố theo đường  Tel: 0982 847826, Email: lethihuyenlinh@gmail.com cong Gauss . Giả thiết hàm y = f(x) là mối quan hệ giữa đầu vào x và đầu ra y. Trong đó: y 1 ,..y n ~ N(0,∑), ∑pq= Cov(yp, yq) = C(xp, xq) là hiệp phương sai giữa giá trị đầu ra và đầu vào tương ứng xp, xq. Do đó giá trị trung bình μ(x) ( luôn giả định bằng 0) và hàm hiệp phương sai C(xp, xq) sẽ xác định mô hình Gauss một cách đầy đủ . Chú ý rằng hàm hiệp phương sai C(xp, xq) có thể là bất cứ hàm nào với đặc tính là nó có thể tạo ra một ma trận hiệp phương sai xác định dương. Hàm hiệp phương sai thường được chọn là: 2 1 0 1 1 ( , ) exp[- ( ) ]+ (1) 2 D d d p q d p q d C x x x xu w u = = -å Trong đó : T 1 0 1[ ... ]Dw w u uQ = là các tham số bậc cao của hàm hiệp phương sai và D là chiều đầu vào . Ở đây , các tham số có thể được xác định dựa vào các dữ liệu đã có . Sau đó người ta có thể sử dụng tham số  như là những chỉ số để xác định mức độ quan trọng của các đầu vào tương ứng : nếu 0d  hoặc gần bằng 0, điều đó có nghĩa là đầu vào kích thước d chứa ít thông tin và có thể được bỏ qua. Hãy xét tập hợp các vector D chiều: đầu vào X = [x1, x2,. . ,xN] và đầu ra y =[y 1 , y 2 ,. . . , y N ] T. Dựa trên các dữ liệu (X, y), và một vector đầu vào mới x* đã cho, ta mong muốn tìm thấy những phân bố dự báo của đầu ra y * tương ứng. Với mô hình này, mục tiêu chính Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 86(10): 195 - 200 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 196 là điều chỉnh các tham số của hàm hiệp phương sai để đạt được sự tối ưu. Điều này được thực hiện bằng cách phát huy tối đa biểu đồ hợp lệ của tham số , yêu cầu của việc tính toán này chỉ là tương đối bởi vì nghịch đảo của ma trận hiệp phương sai dữ liệu (N x N) phải được tính theo mỗi bước lặp. Phương pháp này có thể dễ dàng sử dụng trong tính toán hồi quy. Trên cơ sở huấn luyện một lượng X, một ma trận hiệp phương sai K (N x N) được xác định. Như đã đề cập trước, mục đích là để tìm thấy sự phân bố của đầu ra y* tương ứng với một vector đầu vào x*: x * = [x1 (N + l), x2 (N + l) ,..., xD (N +1)] T Đối với một thử nghiệm đầu vào x*, việc phân bố dự đoán của đầu ra tương ứng y *|x*, (X, y) là đường cong Gauss, với giá trị trung bình và phương sai: * * 2 * * * 1 * 0 ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) T T T x k x K y x k x k x K k x v         Trong đó:      * 1 * *x [C x , x ,. . . ,C x , x T Nk  là Nx1 vector của hiệp phương sai giữa trường hợp kiểm tra và huấn luyện, và    * * *k x C x , x là hiệp phương sai giữa các thử nghiệm đầu vào và chính nó. Trước khi dự đoán ta phải tính toán các giá trị bất định cho các dự báo trong tương lai. Điều đó sẽ cung cấp đầu vào cho việc ước lượng những giá trị trung bình và những giá trị bất định trong tương lai xa hơn. Nếu bây giờ chúng ta xét một đầu vào ngẫu nhiên mới * *x ~ ( , )x xN   và một khai triển Taylor là *( )x và 2 *( )x lân cận x , thì phân bố dự báo lại chính là mô hình Gauss với giá trị trung bình và phương sai. * * * * * * ** * * * * 1 * 2 * * 2 * 2 2 * * * * ( ) * * * * ( )( ) ( ) [ ( )] ( ( ) ) (4) ( ) [ ( )] ar ( ( )) ( ( )) 1 ( ) { [ 2 ( ) ( ) ] ( ) ( ) } (5)T x T x x T x x x xx x m x E x k x K y r x E x v x x x trace x x x x x x x                              Phương trình (4) và (5) có thể được áp dụng cho tính toán trước dự báo với sự phân tán của các giá trị bất định. Mô hình Gauss giống như mạng Nơron được dùng cho các mô hình phi tuyến tĩnh và có thể được áp dụng cho mô hình hóa các hệ thống động, nếu đầu vào có trễ và tín hiệu đầu ra quay trở về đầu vào (tín hiệu hồi quy). Ưu điểm của mô hình Gauss là khi đạt được tối ưu xuất hiện ít tham số hơn việc sử dụng mô hình Nơron. Như vậy đầu ra hiện tại ở bước thứ k phụ thuộc vào đầu vào trước đó giống như việc điều khiển trước đầu vào. ˆ ˆ ˆ( ) [ ( -1), ( - 2),.... ( - ), ( -1), ( - 2),..., ( - )] ˆ( ) ( ( )) (6) T x k y k y k y k L u k u k u k L y k f x k e    Ở đây x biểu thị vector trạng thái bao gồm các giá trị đầu ra y, giá trị đầu vào u có độ trễ L và e là nhiễu trắng. Dựa trên các mối quan hệ đã trình bày trên, mô hình được tạo ra sẽ mô tả các đặc tính động của hệ thống phi tuyến, đồng thời cung cấp thông tin về độ tin cậy của các dự báo đó ở cùng một thời điểm. Mô hình Gauss có thể xác định các khu vực không gian đầu vào có chất lượng dự báo kém (do thiếu dữ liệu hoặc quá phức tạp) bằng cách chỉ ra những phương sai cao hơn lân cận giá trị trung bình dự đoán. MÔ HÌNH ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHI TUYẾN Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 86(10): 195 - 200 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 197 Hình 1. Sơ đồ khối mô hình hệ thống điều khiển dự báo Mô hình điều khiển dự báo phi tuyến được áp dụng với mô hình Gauss được mô tả bằng sơ đồ khối tổng quát như Hình 1. Mô hình được sử dụng là cố định, được nhận dạng off-line, có nghĩa là sử dụng thuật toán điều khiển không thích nghi. Vì vậy cấu trúc của toàn bộ vòng lặp điều khiển ít phức tạp như trong trường hợp mô hình biến thiên theo thời gian. Nội dung của phương pháp điều khiển dự báo được trình bày dưới đây: Dự báo tín hiệu đầu ra của hệ thống y(k+j) được tính cho mỗi lần lấy mẫu rời rạc k đối với một phạm vi rộng trong tương lai (j=N1,...,N2). Những dự báo này được biểu diễn là  ˆ |y k j k với j là bước dự đoán trước. N1 và N2 lần lượt là giới hạn dưới và trên của phạm vi dự báo. Giới hạn dưới và trên của miền tín hiệu đầu ra dự báo xác định trùng với phạm vi dự báo, trong đó có sự phối hợp giữa đầu ra và tín hiệu tham chiếu mong đợi. Đầu ra tín hiệu dự báo được tính toán từ mô hình đối tượng. Các dự báo này phụ thuộc vào khả năng điều khiển trong tương lai u (k + j|k), j = 0,. . . , Nu-1, được áp dụng từ trước thời điểm k. Quỹ đạo tham chiếu được xác định r(k+j|k), j = N1,...,N2, xác định quá trình đáp ứng tham chiếu từ giá trị hiện tại y(k) tới quỹ đạo điểm đặt ( )k . Vector của tín hiệu điều khiển tương lai (u (k + j|k), j = 0,. . . , Nu-1) được tính toán bằng cách tối thiểu hóa hàm mục tiêu sao cho sai lệch giữa đáp ứng tham chiếu r(k+j|k) và đáp ứng dự báo  ˆ |y k j k , j = N1.N2 là nhỏ nhất. Chỉ có giá trị đầu tiên u(k|k) của véctơ tín hiệu điều khiển tối ưu u (k + j|k), j = 0,. . . Nu-1 là được sử dụng. Trong lần lấy mẫu tiếp theo một mẫu đầu ra mới được xác định và toàn bộ quy trình sẽ được lặp lại. Nguyên lý này gọi là phạm vi chiến lược dịch dần (RHS). Hàm mục tiêu có dạng như sau: 2 ( ) ˆmin[ ( ) ( )] (7) U k r k P y k P   Với điều kiện biên: ir ˆvar ( ) (8) ( ) (9) ( ) (10) ( ) (11) ( ) (12) v ih sh sr y k P k U k k U k k x k k x k k         Trong đó U(k)=[u(k) u(k+P)] là tín hiệu đầu vào, P là điểm trùng hợp của giá trị đầu ra và giá trị tham chiếu, các bất đẳng thức từ (8) đến (12) biểu diễn sự ràng buộc của phương sai đầu ra kv, ràng buộc cứng của đầu vào kih, ràng buộc biến thiên của đầu vào kir, ràng buộc cứng của vectơ trạng thái ksh , ràng buộc biến thiên của vectơ trạng thái ksr. Mô hình như vậy được gọi là mô hình Gauss. Thuật toán tối ưu hóa thực chất là một chương trình để giải bài toán phi tuyến có ràng buộc, được tiến hành ở mỗi lần lấy mẫu trong phạm vi dự báo P, bao gồm hàng loạt các di chuyển mà mỗi di chuyển tương ứng với phạm vi điều khiển. Trong trường hợp này chỉ một phạm vi điều khiển được chọn để biểu diễn ràng buộc của phương sai, các ràng buộc còn lại không được tính đến. Tuy nhiên, điều này chỉ làm thay đổi về mặt số học chứ không thay đổi tính chất chung của giải pháp. Ngoài ra, NMPC với mô hình Gauss còn có thể được nhận biết như sau: - Hàm mục tiêu: Hàm mục tiêu được sử dụng ở công thức (7) chỉ là một lựa chọn. Sự lựa chọn hàm mục tiêu này có ảnh hưởng lớn đến khối lượng tính toán. - Vấn đề tối ưu hóa được nghiên cứu cho ΔU (k) thay vì U(k): Điều này không chỉ là một thay đổi về hình thức mà còn tạo ra các dạng Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 86(10): 195 - 200 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 198 NMPC khác. Chương trình điều khiển ma trận động (DMC) sử dụng nguyên tắc chung cùng với hàm mục tiêu tương ứng được đưa về dạng bình phương cực tiểu. - Hạn chế về phần mềm: Việc sử dụng thuật toán tối ưu có ràng buộc đòi hỏi rất nhiều công việc tính toán trong khi ràng buộc mềm, còn gọi là trọng số đối với các biến ràng buộc trong hàm mục tiêu lại có thể được sử dụng để giảm khối lượng tính toán. Có nhiều vấn đề quan tâm để áp dụng NMPC. Một trong số đó là giải pháp hiệu quả về mặt số học. Chương trình thuật toán phi tuyến tối ưu hóa yêu cầu khối lượng tính toán lớn. Các phương pháp ước lượng và các phương pháp khác chẳng hạn như phương pháp dự đoán kết quả được sử dụng để giảm khối lượng tính toán, nhất là trong các trường hợp đặc biệt, giống như các mô hình tuyến tính hoặc các hàm mục tiêu đặc biệt. Sự ổn định của hệ thống vòng lặp kín là vấn đề tiếp theo. Hiện nay chưa có điều kiện ổn định nào được suy ra từ mô hình Gauss như là sự biểu diễn của mô hình xác xuất không tham số. MÔ PHỎNG Quá trình pH Sơ đồ đơn giản hóa quá trình trung hòa độ pH [1], [2] được đưa ra trong Hình 2. Quá trình này bao gồm một dòng axit (Q1), dòng đệm (Q2) và dòng cơ sở (Q3) được trộn lẫn trong một bồn chứa T1. Trước khi trộn, đưa axit vào bồn T2 để tạo thêm động lực dòng chảy. Tỷ lệ các axit và dòng chảy cơ bản được điều khiển bằng các van điều khiển dòng, trong khi tỷ lệ dòng chảy đệm được điều khiển bằng tay với một lưu lượng kế. Dòng chảy ra pH là biến đo. Vì bộ cảm biến pH nằm ở hạ nguồn bồn T1, cho nên việc đo độ pH có một độ trễ (Td). Trong nghiên cứu này, độ pH được điều khiển bằng cách điều chỉnh tốc độ dòng chảy cơ bản. Mô tả chi tiết hơn của quá trình với mô hình toán học và các thông số cần thiết được trình bày trong [1], [3]. Hình 2. Hệ thống trung hòa độ pH Mô hình động của hệ thống trung hòa độ pH thể hiện trong Hình 2 được suy ra từ việc sử dụng các phương trình bảo toàn và các mối quan hệ cân bằng. Mô hình này cũng bao gồm các van và máy phát động lực cũng như các mối quan hệ thuỷ lực cho các dòng chảy thoát nước. Những giả định của mô hình bao gồm sự pha trộn một cách hoàn hảo nồng độ đồng đều, và sự hòa tan một cách hoàn toàn của các ion tham gia. Mô hình mô phỏng quá trình pH đã được sử dụng cho việc tạo ra các dữ liệu cần thiết, vì thế nó bao gồm rất nhiều các yếu tố phi tuyến cũng như hàm tính toán tính ẩn có giá trị đối với đường cong chuẩn độ phi tuyến cao. Nhận dạng mô hình Dựa trên các đáp ứng và chu trình cắt và thử lặp đi lặp lại một khoảng lấy mẫu thời gian 25 giây đã được lựa chọn (thời gian lấy mẫu này lớn hơn thời gian chết). Tín hiệu nhận dạng được chọn của 400 lần lấy mẫu đã được tạo ra từ một phân bố ngẫu nhiên đồng nhất và tỷ lệ là 50 giây. Siêu tham số thu được trong mô hình Gauss ở lệnh thứ ba là: 1 2 3 4 5 6 0 1[ , , , , , , , ] =[ 6.0505, 2.0823, 0.4785, 5.3388, 8.7080, 0.8754, 5.4164] (13) v v             Trong đó những siêu tham số từ 1 đến 3 biểu thị một trọng số cho mỗi đầu ra hồi quy, từ 4 đến 6 biểu thị một trọng số cho mỗi đầu Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 86(10): 195 - 200 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 199 vào hồi quy, v0 là phương sai nhiễu được dự đoán và v1 là phương sai dọc được dự đoán. Hình 3. Đáp ứng của mô hình Gauss với tín hiệu kích thích được sử dụng cho nhận dạng. Có thể thấy rằng mô hình này rất tương thích đối với việc nhận biết các tín hiệu đầu vào để sử dụng cho quá trình tối ưu hóa. Tuy nhiên, mô hình thu được chỉ chứa các thông tin chủ yếu trong vùng có pH dưới 7 như đã chỉ ra từ đáp ứng trong hình 3. Các tín hiệu hợp lệ có tần suất và quy mô thấp hơn với tín hiệu nhận dạng. Đó là, nếu như mô hình nhận dạng được kích thích bằng một tín hiệu cao hơn thì nó chắc chắn phải đáp ứng tốt với cả các tín hiệu có thành phần thấp hơn. Các tín hiệu hợp lệ đã được thu bằng máy phát điện của nhiễu ngẫu nhiên với sự phân phối đồng nhất và tỷ lệ 500 giây. Hình 4 mô tả đáp ứng của mô hình Gauss đối với tín hiệu hợp lệ so sánh với đáp ứng của quá trình. Sự phù hợp của đáp ứng đối với tín hiệu hợp lệ được biểu diễn bằng các thông số như sau: - Giá trị trung bình kiểm tra của sai số tuyệt đối: AE = 0.1276 - Giá trị trung bình kiểm tra của sai số bình phương: SE = 0.0373 - Sai số mật độ: LD = 1.9889 Hình 4. Đáp ứng của mô hình Gauss đối với tín hiệu hợp lệ Sau khi đạt được mô hình hợp lệ, mô hình này được dùng để thiết kế bộ điều khiển. Hình 5. Hình trên là đáp ứng điều khiển dựa trên mô hình Gauss, hình dưới là tín hiệu điều khiển trong trường hợp không có ràng buộc. Điều khiển Thuật toán điều khiển được mô tả ở trên dùng để mô phỏng điều khiển quá trình trung hoà độ pH. Quỹ đạo tham chiếu r được xác định sao cho nó tiệm cận với điểm đặt của hàm số mũ từ giá trị đầu ra hiện tại. Như đã nói ở trên điểm trùng hợp được chọn là 8 lần lấy mẫu và phạm vi điều khiển là một lần lấy mẫu. Những kết quả của điều khiển không ràng buộc được đưa ra ở hình 5 và 6. Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 86(10): 195 - 200 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 200 Hình 6. Độ lệch chuẩn tương ứng với hình 5 Các đáp ứng khác nhau tại các điểm đặt khác nhau đã cho thấy mô hình này hoạt động không đồng nhất tại tất cả vùng. Rõ ràng là phương sai tăng lên khi tín hiệu đầu ra tiệm cận những vùng mà không đủ dữ liệu nhận dạng. Tuy nhiên cũng chú ý rằng các phương sai này là tổng của các phương sai tương ứng với thông tin về độ tin cậy của mô hình dựa trên các dữ liệu giá trị nhận dạng đã có sẵn và các phương sai đáp ứng của đầu ra để chỉ ra tính chất của mô hình. Khi những phương sai tăng lên quá nhiều, sự đáp ứng có thể được tối ưu hóa với điều khiển ràng buộc. Kết quả thấy được ở hình 7 và 8. Ở đây đáp ứng của hệ thống kín đã tránh được vùng có phương sai lớn nhưng lại phải chịu sai số trạng thái nhất định do phải lựa chọn giữa chất lượng thiết kế và độ an toàn. Hình 7. Hình trên là đáp ứng của điều khiển dựa trên mô hình Gauss, hình dưới là tín hiệu điều khiển trong trường hợp có ràng buộc (σmax=0.15). Hình 8. Độ lệch chuẩn tương ứng với hình 7 KẾT LUẬN Nguyên lý của mô hình điều khiển dự báo dựa trên mô hình Gauss đã được trình bày trong bày viết và được minh họa điều khiển quá trình trung hoà độ pH. Trong ví dụ này ràng buộc đối với phương sai của mô hình đã được đưa vào. Bài viết này chỉ ra rằng việc sử dụng mô hình thuật toán Gauss đã đưa ra một phương án cho việc thiết kế và tạo ra một bộ điều khiển tốt hơn dựa vào các thông tin đã có trong mô hình. Tuy nhiên để việc ứng dụng thuật toán Gauss trong mô hình điều khiển dự báo được đưa vào ứng dụng trong thực tế cần phải có những nghiên cứu tiếp theo. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Kavˇ sek-Biasizzo K., ˇ Skrjanc I., Matko D., Fuzzy predictive control of highly nonlinear pH process, Computers & chemical engineering,Vol. 21, Supp. 1997, S613-S618, 1997. [2]. Kocijan J., Girard A., Banko B., Murray- Smith R., Dynamic Systems Identification with Gaussian Processes, Proceedings of 4th Mathmod, Vienna, 776-784, 2003. [3]. Camacho; Bordons (2004). Model predictive control. Springer Verlag. [4]. Findeisen; Allgöwer, Biegler (2006). Assessment and Future Directions of Nonlinear Model Predictive Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences. [5]. Grüne; Pannek (2009). "Practical NMPC suboptimality estimates along trajectories". System & Control Letters [6]. W.H. Kwon and S. Han (2005). Receding horizon control. Springer Verlag. [7]. Liuping Wang (2008) Model predictive control system design and implemetation. Springer Verlag. Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 86(10): 195 - 200 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 201 SUMMARY GAUSSIAN PROCESS MODEL BASED PREDICTIVE CONTROL Le Thi Huyen Linh  , Nguyen Thi Mai Huong College of Technology - TNU Gaussian process model provide a probabilistic non-parametric modelling approach for black-box identification of non-linear dynamic systems. Gaussian process model contain noticeably less coefficients to be optimized. This paper illustrates possible application of Gaussian process models within model based predictive control. The predictive control principle is demonstrated on control of pH process benchmark. Key words: Gaussian process model, predictive control model, probabilistic non-parametric model  Tel: 0982 847826, Email: lethihuyenlinh@gmail.com