Giáo trình Giải tích B2 - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM

; y ; z/ D x 2 4 C y2 C z 2 9 . Ta có rF D hx=2; 2y ; 2z=9i, suy ra rF .P/ D h1; 2;2=3i. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến tại P là 1.x C 2/C 2.y 1/ 2 3 .z C 3/ D 0 x C 2 1 D y 1 2 D z C 323 2 GIẢI TÍCH B2 154/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.6. Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient Ý NGHĨA CỦA VECTƠ GRADIENT Như đã biết ở trước, vectơ gradient tại một điểm P.x0; y0/ của hàm số hai biến f , chỉ một hướng mà theo hướng đó giá trị hàm số có tốc độ tăng lớn nhất. Hướng này vuông góc với tiếp tuyến tại P của đường đồng mức f .x ; y/ D f .P/. Tại điểm x0; y0; f .P/
trên một đường viền của ruộng bậc thang, ta đi theo hướng vuông góc với các đường viền ruộng bậc thang (tượng trưng cho đồ thị của f ), ta sẽ lên đỉnh đồi với độ dốc cao nhất. GIẢI TÍCH B2 155/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện Trên đồ thị của một hàm số như hình bên, có hai đỉnh đồi và hai thung lũng. Nếu điểm a; b; f .a; b/
là đỉnh ngọn đồi thì f .a; b/ lớn mọi giá trị f .x ; y/ gần đó, ta nói f có cực đại địa phương tại .a; b/. Có một đỉnh đồi cao nhất, tại đó f đạt cực đại tuyệt đối, hay giá trị lớn nhất. Ta cũng có khái niệm tương tự cho điểm đáy thung lũng. GIẢI TÍCH B2 156/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện Định nghĩa Một hàm số 2 biến f có cực đại địa phương (gọi tắt là cực đại) tại điểm .a; b/ có nghĩa là tồn tại một đĩa tròn T tâm .a; b/ bên trong miền xác định sao cho: 8.x ; y/ 2 T ; f .a; b/  f .x ; y/. Số f .a; b/ được gọi là giá trị cực đại (địa phương) của f . Nếu bất đẳng thức đúng với mọi .x ; y/ thuộc miền xác định của f thì ta nói f có cực đại tuyệt đối (hay là giá trị lớn nhất) tại điểm .a; b/. Nếu dấu bất đẳng thức ở trên đổi chiều, ta có khái niệm cực tiểu địa phương, cực tiểu tuyệt đối. Định lý: điều kiện cần của cực trị Nếu f đạt cực trị địa phương tại .a; b/, và tồn tại các đạo hàm riêng tại đó, thì .a; b/ là điểm dừng (stationary point) của f , nghĩa là fx .a; b/ D fy .a; b/ D 0. GIẢI TÍCH B2 157/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện Nếu thay fx .a; b/ D fy .a; b/ D 0 vào phương trình của mặt phẳng tiếp xúc, ta thấy mặt phẳng này nằm ngang, song song với mặt Oxy. Chiều đảo của định lý trên không đúng. Ví dụ, xét hàm số f .x ; y/ D y2 x2 có đồ thị như hình bên, thì fx .0; 0/ D fy .0; 0/ D 0, nghĩa là .0; 0/ là điểm dừng của f , nhưng tại đó f không có cực trị. Ta gọi điểm dừng này là điểm yên ngựa (saddle point) của f . GIẢI TÍCH B2 158/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện Định lý: điều kiện đủ của cực trị Giả sử f có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên một đĩa tròn tâm .a; b/, đồng thời .a; b/ là điểm dừng của f . Đặt D.a; b/ D det  fxx .a; b/ fxy .a; b/ fyx .a; b/ fyy .a; b/  D fxx .a; b/fyy .a; b/  fxy .a; b/ 2 (a) Nếu D.a; b/ > 0 và fxx .a; b/ > 0 thì f .a; b/ là cực tiểu địa phương. (b) Nếu D.a; b/ > 0 và fxx .a; b/ < 0 thì f .a; b/ là cực đại địa phương. (c) Nếu D.a; b/ < 0 thì .a; b/ là điểm yên ngựa, nghĩa là f không có cực trị tại .a; b/. (d) Nếu D.a; b/ D 0 thì ta không có kết luận tổng quát, tùy bài toán cụ thể mà ta xét. GIẢI TÍCH B2 159/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện Ví dụ Khảo sát cực trị của f .x ; y/ D x4 C y4 4xy C 1. Giải. Sinh viên tự kiểm chứng: Các điểm dừng của f là .0; 0/, .1; 1/ và .1;1/. D.x ; y/ D fxx fyy f 2xy D 144x2y2 16. (a) Vì D.0; 0/ < 0 nên .0; 0/ là điểm yên ngựa. (b) Vì D.1; 1/ D 128 và fxx .1; 1/ D 12 > 0 nên .1; 1/ là điểm cực tiểu. (c) Vì D.1;1/ D 128 và fxx .1;1/ D 12 > 0 nên .1; 1/ cũng là điểm cực tiểu. 2 GIẢI TÍCH B2 160/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện Ví dụ Một hộp chữ nhật không có nắp, được làm từ 12m2 bìa cứng. Hãy tìm thể tích lớn nhất của hộp này. Giải. Với kích thước như hình bên thì thể tích hộp là V D xyz với điều kiện 2xz C 2yz C xy D 12. Từ điều kiện này thì z D .12 xy/=Œ2.x C y/, do đó thể tích là V D xy 12 xy 2.x C y/ D 12xy x2y2 2.x C y/ Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ @V @x D y 2.12 2xy x2/ 2.x C y/2 D 0 @V @y D x 2.12 2xy y2/ 2.x C y/2 D 0 GIẢI TÍCH B2 161/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện Vì x > 0 và y > 0 nên ta suy ra được x D y . Thay y D x vào phương trình trên ta được 12 3x2 D 0, điều này cho x D y D 2 và z D .12 2:2/=Œ2.2C 2/ D 1. Vậy .2; 2; 1/ là điểm dừng duy nhất. Hơn nữa, vật liệu hữu hạn sẽ cho thể tích hộp lớn nhất có thể, đạt được tại điểm dừng .2; 2; 1/ mà thôi Vmax D 2:2:1 D 4 .m3/ 2 GIẢI TÍCH B2 162/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện CỰC TRỊ TUYỆT ĐỐI Ta đã biết các bước tìm cực trị tuyệt đối của hàm một biến trên đoạn đóng Œa; b. Đối với hàm hai biến, ta đưa ra khái niệm tương tự đoạn đóng, đó là khái niệm tập hợp đóng trong R2, là tập hợp chứa mọi điểm biên của nó. Điểm .a; b/ được gọi là điểm biên của một tập hợp D trong R2 có nghĩa là mọi đĩa tròn tâm .a; b/ luôn có điểm chung với cả hai phần: D và phần bù R2 n D. Hình ảnh minh họa hai tập đóng Hình minh họa ba tập hợp không đóng GIẢI TÍCH B2 163/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện Tập hợp D được gọi là bị chặn nghĩa là có một đĩa tròn chứa D. Nói cách khác, tập bị chặn không trải dài vô tận, nó bị bao quanh bởi một đường tròn. Ta thừa nhận định lý sau Định lý Nếu f là hàm số liên tục trên một tập D đóng và bị chặn trong R2, thì f đạt một cực đại tuyệt đối tại .x1; y1/ 2 D và đạt một cực tiểu tuyệt đối tại .x2; y2/ 2 D. Trong định lý trên, nếu .x1; y1/ không nằm trên biên của D (không là điểm biên của D) mà nằm ở miền trong (là điểm trong của D) thì .x1; y1/ phải là điểm dừng của f (nếu tồn tại các đạo hàm riêng của f ). Tương tự cho điểm .x2; y2/. Do đó ta có các bước tìm cực trị tuyệt đối như sau GIẢI TÍCH B2 164/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện Cách tìm cực trị tuyệt đối Để tìm cực trị tuyệt đối của một hàm số f liên tục trên một tập D đóng và bị chặn trong R2: 1 Tính các giá trị của f tại các điểm dừng bên trong D. 2 Tìm cực trị tuyệt đối của f ở trên biên của D. 3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong số các giá trị ở các bước 1 & 2 là cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối của f trên toàn D. GIẢI TÍCH B2 165/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện Ví dụ Tìm cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối của f .x ; y/ D x22xy C2y trên hình chữ nhật D D ˚.x ; y/ j 0  x  3; 0  y  2 . Giải. Vì f là đa thức, hàm sơ cấp hai biến, nên liên tục trên D. Hơn nữa hình chữ nhật D bị chặn và đóng, do đó f có max và min trên D. Bước 1: sinh viên tự kiểm chứng f có một điểm dừng duy nhất bên trong D là .1; 1/ và f .1; 1/ D 1. Bước 2: trên cạnh L1 ta có f .x ; 0/ D x2, suy ra max L1 f .x ; 0/ D 32 D 9 min L1 f .x ; 0/ D 02 D 0. GIẢI TÍCH B2 166/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.7. Cực trị không điều kiện Trên cạnh L2 thì f .3; y/ D 9 4y , suy ra max L2 f .3; y/ D 9 4.0/ D 9 min L2 f .3; y/ D 9 4.2/ D 1. Trên cạnh L3 thì f .x ; 2/ D x2 4x C 4 D .x 2/2, suy ra max L3 f .x ; 2/ D .0 2/2 D 4 min L3 f .x ; 2/ D .3 2/2 D 1. Trên cạnh L4 thì f .0; y/ D 2y , suy ra max L4 f .0; y/ D 2.2/ D 4 min L4 f .0; y/ D 2.0/ D 0. Bước 3: so sánh các giá trị ở bước 1 & 2 thì max D f .x ; y/ D f .3; 0/ D 9 và min D f .x ; y/ D f .0; 0/ D f .2; 2/ D 0. 2 GIẢI TÍCH B2 167/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện CỰC TRỊ CÓ MỘT ĐIỀU KIỆN Trong một ví dụ trước đây, ta tìm thể tích lớn nhất, V D xyz , của hộp chữ nhật không có nắp với một điều kiện 2xy C 2xz C yz D 12. Điều kiện này nói rằng vật liệu làm hộp chỉ có 12m2 bìa cứng. Trong mục này, ta xét bài toán dạng đó 1 Tìm cực trị của hàm 3 biến f .x ; y ; z/ với một điều kiện g.x ; y ; z/ D k , k là hằng số. 2 Tìm cực trị của hàm 2 biến f .x ; y/ với một điều kiện g.x ; y/ D k . Lagrange đưa ra một phương pháp giải quyết bài toán trên, được gọi là phương pháp nhân tử Lagrange. GIẢI TÍCH B2 168/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Cơ sở hình học của phương pháp nhân tử Lagrange được giải thích dễ hơn trong trường hợp hai biến: tìm cực trị của f .x ; y/ với một điều kiện g.x ; y/ D k, nghĩa là điểm .x ; y/ bị hạn chế trên đường cong g.x ; y/ D k , .x ; y/ không chạy tự do trong mặt phẳng. Hình bên trình bày các đường đồng mức f .x ; y/ D c , với c D 7; 11, và đường cong màu xanh g.x ; y/ D k . Khi .x ; y/ chạy trên đường xanh, giá trị c D f .x ; y/ thay đổi. Có vẻ như khi .x ; y/ D .x0; y0/ làm cho c0 D f .x0; y0/ là cực đại, thì tại đó đường xanh và đường đồng mức tiếp xúc nhau. Nói cách khác, tại điểm .x0; y0/, vectơ pháp tuyến của đường xanh và đường đỏ cùng phương, nghĩa là có số  sao cho rf .x0; y0/ D rg.x0; y0/. Số  được gọi là nhân tử Lagrange. GIẢI TÍCH B2 169/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Cơ sở hình học của phương pháp nhân tử Lagrange ở trên chỉ có tính trực quan. Lập luận chính xác ở trong phần chứng minh của định lý sau Định lý: Điều kiện cần của cực trị có điều kiện Nếu hàm số 3 biến f .x ; y ; z/ khả vi và đạt cực trị tại P.x0; y0; z0/ với một điều kiện g.x ; y ; z/ D k , trong đó hàm g cũng khả vi và rg.P/ ¤ !0 , thì tồn tại nhân tử Lagrange  sao cho rf .x0; y0; z0/ D rg.x0; y0; z0/: Đối bài toán hai biến, kết quả cũng tương tự. Chứng minh. Gọi (S) là mặt cong g.x ; y ; z/ D k thì P 2 .S/. Với đường cong bất kỳ .C / W !r .t/ D ˝x.t/; y.t/; z.t/˛ nằm trong (S) và đi qua P khi t D t0, nghĩa là !r .t0/ D hx0; y0; z0i, thì hàm hợp h.t/ D f x.t/; y.t/; z.t/
đạt cực trị tại t0. Theo định lý Fermat của hàm một biến thì GIẢI TÍCH B2 170/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện 0 D h0.t0/ D fx .x0; y0; z0/x 0.t0/C fy .x0; y0; z0/y 0.t0/C fz.x0; y0; z0/z 0.t0/ D rf .x0; y0; z0/
!r 0.t0/ Điều này cho thấy vectơ rf .x0; y0; z0/ vuông góc với tiếp tuyến tại P của mọi đường cong (C) nằm trong mặt (S), nghĩa là rf .x0; y0; z0/ cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại P, tức là rg.x0; y0; z0/. Vậy có số  sao cho rf .x0; y0; z0/ D rg.x0; y0; z0/ 2 Căn cứ vào định lý trên, ta có cách để tìm cực trị tuyệt đối (được giả sử rằng tồn tại) trên mặt cong của hàm số 3 biến, hoặc trên đường cong của hàm số 2 biến GIẢI TÍCH B2 171/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Phương pháp nhân tử Lagrange Cho hai hàm số 3 biến f và g khả vi. Giả sử tồn tại cực trị tuyệt đối của f trên mặt cong .S/ W g.x ; y ; z/ D k , và rg ¤ !0 tại mọi điểm trên mặt cong .S/. Khi đó, ta tìm cực trị nói trên theo các bước sau (a) Tìm tất cả các giá trị của x ; y ; z và  sao cho rf .x ; y ; z/ D rg.x ; y ; z/ và g.x ; y ; z/ D k (b) Tính các giá trị của f tại các điểm .x ; y ; z/ tìm được ở bước (a). Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong số các giá trị này chính là cực đại (cực tiểu) tuyệt đối của f trên mặt cong (S). Trong trường hợp hai biến, cách làm tương tự. GIẢI TÍCH B2 172/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Ví dụ Một hộp chữ nhật không có nắp, được làm từ 12m2 bìa cứng. Tìm thể tích lớn nhất của một hộp như vậy. Giải. Sự tồn tại của giá trị lớn nhất của thể tích V D xyz với điều kiện g.x ; y ; z/ D 2xz C 2yz C xy D 12 là điều tự nhiên, vì với vật liệu bìa cứng hữu hạn, không thể nào làm thể tích lớn tùy ý, mà chỉ đạt một thể tích tối đa cần tìm. Trước hết ta giải hệ Vx D gx I Vy D gy I Vz D gz I g D 12 hay là yz D .2z C y/ (1) xz D .2z C x/ (2) xy D .2x C 2y/ (3) 2xz C 2yz C xy D 12 (4) GIẢI TÍCH B2 173/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Không có phương pháp tổng quát để giải hệ trên, mà đôi khi phải dùng trực giác. Nhân (1) với x ; (2) với y ; (3) với z ta được xyz D .2xz C xy/ D .2yz C xy/ D .2xz C 2yz/ (5) Nếu  D 0 thì từ (1)-(3) sẽ cho xy D yz D zx D 0, điều này mâu thuẫn với (4). Do đó  ¤ 0, và từ (5) ta suy ra xz D yz , xy D 2xz . Hơn nữa x ; y ; z > 0 nên ta suy ra x D y D 2z , thay tất cả vào (4) ta được 4z2 C 4z2 C 4z2 D 12) z D 1 và x D y D 2 Thể tích lớn nhất cần tìm là Vmax D 2:2:1 D 4m3. 2 GIẢI TÍCH B2 174/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện CỰC TRỊ CÓ HAI ĐIỀU KIỆN Ta xét bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số 3 biến f với hai điều kiện g.x ; y ; z/ D k và h.x ; y ; z/ D c . Về mặt hình học, điều này có nghĩa là khi điểm .x ; y ; z/ chạy trên đường cong giao tuyến C của hai mặt cong g.x ; y ; z/ D k và h.x ; y ; z/ D c (hình bên), vị trí nào của .x ; y ; z/ làm cho f .x ; y ; z/ đạt giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)? Giả sử vị trí đó là P.x0; y0; z0/, thì theo chứng minh của điều kiện cần cực trị có điều kiện ở trước,rf .P/ vuông góc với (tiếp tuyến của) C tại P, đồng thời rg.P/ và rh.P/ cũng vậy. Điều này cho thấy ba vectơ đồng phẳng. Do đó tồn tại hai nhân tử Lagrange  và  sao cho rf .P/ D rg.P/C rh.P/ GIẢI TÍCH B2 175/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f .x ; y ; z/ D xC2yC3z trên đường cong giao tuyến của mặt phẳng x y C z D 1 và mặt trụ x2 C y2 D 1. Giải. Đường cong giao tuyến (xem hình bên) là tập hợp đóng (vì mỗi điểm thuộc đường cong đều là điểm biên của nó), đồng thời bị chặn trong R3. Hơn nữa hàm số f liên tục nên f có max và min trên đường cong này. Điều kiện Lagrange là rf D rg C rh, do đó ta giải hệ GIẢI TÍCH B2 176/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 2.8. Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện 1 D C 2x (6) 2 D C 2y (7) 3 D  (8) x y C z D 1 (9) x2 C y2 D 1 (10) Thay  D 3 ở (8) vào (6)-(7), ta được x D 1 và 2y D 5, suy ra x D 1= và y D 5=.2/. Thay tất cả vào (10), ta được 1 2 C 25 42 D 1) 2 D 29 4 )  D ˙ p 29 2 Do đó .x ; y/ D  ˙2p 29 ; 5p 29  . Từ (9) ta suy ra z D 1 x C y D 1 7p 29 . Tính f tại các giá trị này, ta có max f và min f là 3˙p29. 2 GIẢI TÍCH B2 177/?? TÍCH PHÂN BỘI Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật THỂ TÍCH VÀ TÍCH PHÂN KÉP Hình bên là đồ thị của một hàm số f không âm, xác định trên hình chữ nhật R R D Œa; b  Œc; d  D ˚.x ; y/ 2 R2 ˇˇ a  x  b và c  y  d Đồ thị là mặt cong có phương trình z D f .x ; y/. Gọi S là khối nằm dưới đồ thị của f và nằm trên hình chữ nhật R S D ˚.x ; y ; z/ 2 R3 ˇˇ 0  z  f .x ; y/; .x ; y/ 2 R Mục này của chương muốn đưa ra định nghĩa thể tích của khối S . GIẢI TÍCH B2 179/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Chia đoạn Œa; b thành m đoạn con Œxi1; xi  đều nhau với độ dài x D .b a/=m; chia đoạn Œc; d  thành n đoạn con Œyj1; yj  đều nhau với độ dài y D .d c/=n. Như vậy ta có mn hình chữ nhật con có dạng Rij D Œxi1; xi   Œyj1; yj  D ˚ .x ; y/ ˇˇ xi1  x  xi ; yj1  y  yj với diện tích A D xy . GIẢI TÍCH B2 180/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Trên mỗi ô con Rij , chọn một điểm mẫu .x  ij ; y  ij / ngẫu nhiên. Ta có thể xấp xỉ một phần thể tích của khối S nằm phía trên ô con Rij bằng thể tích cột dạng hộp có đáy Rij và chiều cao bằng f .x  ij ; y  ij /. Thể tích này bằng f .xij ; yij /A GIẢI TÍCH B2 181/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Và thể tích toàn khối S được xấp xỉ bởi V  mX iD1 nX jD1 f .xij ; yij /A GIẢI TÍCH B2 182/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Định nghĩa tích phân kép Tích phân kép (The double integral) của hàm f trên một hình chữ nhật R là “ R f .x ; y/dA D lim m;n!1 mX iD1 nX jD1 f .xij ; yij /A; miễn là giới hạn trên tồn tại theo nghĩa: với mọi số " > 0 cho trước, luôn có một số tự nhiên N sao choˇˇˇˇ “ R f .x ; y/dA mX iD1 nX jD1 f .xij ; yij /A ˇˇˇˇ < " đúng với mọi số m; n lớn hơn N và với mọi cách chọn điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij . Một hàm f như trên được gọi là khả tích trên R. GIẢI TÍCH B2 183/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ta thừa nhận định lý sau đây Điều kiện đủ để khả tích Nếu 1 hàm số f bị chặn trên hình chữ nhật R, nghĩa là có hằng số dương M sao cho 8.x ; y/ 2 R; ˇˇf .x ; y/ˇˇ  M 2 f liên tục trên R, ngoại trừ, có thể gián đoạn trên vài đường cong trơn bên trong R (Đường cong trơn là đường cong được biểu diễn bởi hàm vectơ có đạo hàm liên tục.) thì f khả tích trên R. GIẢI TÍCH B2 184/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ghi chú. 1 Tổng mX iD1 nX jD1 f .xij ; yij /A được gọi là tổng Riemann và được dùng để xấp xỉ giá trị của tích phân kép. 2 Vì điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij được chọn tùy ý, nên ta có thể chọn theo nhiều cách cho các mục đích khác nhau. 3 Nếu f .x ; y/  0; 8.x ; y/ 2 R, thì thể tích khối S nằm dưới đồ thị của f và nằm trên hình chữ nhật R được định nghĩa bởi công thức V D “ R f .x ; y/dA miễn là f khả tích trên R. GIẢI TÍCH B2 185/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ví dụ Hãy ước tính thể tích khối nằm trên hình vuông R D Œ0; 2  Œ0; 2 và nằm dưới mặt z D 16 x22y2, bằng cách chia thành bốn hình vuông nhỏ và chọn điểm mẫu là góc trên bên phải của mỗi hình vuông con Rij . Phác họa khối đó và các hộp chữ nhật để tính xấp xỉ. Giải. Yêu cầu của phép xấp xỉ ứng với m D n D 2, A D 1, và ta có V  2X iD1 2X jD1 f .xi ; yj /A D f .1; 1/AC f .1; 2/A C f .2; 1/AC f .2; 2/A D 13.1/C 7.1/C 10.1/C 4.1/ D 34 2 GIẢI TÍCH B2 186/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ta thấy nếu m; n càng lớn thì phép xấp xỉ càng chính xác. GIẢI TÍCH B2 187/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật QUY TẮC TRUNG ĐIỂM: XẤP XỈ TÍCH PHÂN Tổng Riemann dùng để xấp xỉ tích phân với điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij tùy ý. Có nhiều cách chọn điểm mẫu cho thuận tiện, trong đó có quy tắc sau đây Quy tắc trung điểm của tích phân kép “ R f .x ; y/dA  mX iD1 nX jD1 f .x i ; yj /A trong đó x i là trung điểm của đoạn Œxi1; xi  và yj là trung điểm của đoạn Œyj1; yj . Nói cách khác, .x i ; yj / là tâm của hình chữ nhật con Rij . Ví dụ Dùng quy tắc trung điểm với m D n D 2, hãy xấp xỉ giá trị của“ R .x 3y2/dA, trong đó R D Œ0; 2  Œ1; 2. GIẢI TÍCH B2 188/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Giải. Diện tích của mỗi hình chữ nhật con là A D 1 2 . Theo quy tắc trung điểm thì “ R .x 3y2/dA  2X iD1 2X jD1 f .x i ; yj / 1 2 D 1 2  f .x1; y1/C f .x1; y2/C f .x2; y1/C f .x2; y2/  D 1 2 h f 1 2 ; 5 4
C f 12 ; 74
C f 32 ; 54
C f 32 ; 74
i D 1 2 h 6716
C 13916
C 5116
C 12316
i D 95 8 D 11:875 Vì vậy “ R .x 3y2/dA  11:875 2 GIẢI TÍCH B2 189/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Giá trị trung bình Giá trị trung bình (the average value) của hàm f hai biến được định nghĩa là fave D 1 A.R/ “ R f .x ; y/dA trong đó A.R/ là diện tích của R. Định lý Nếu hàm số f liên tục trên R thì tồn tại .; / 2 R sao cho f .; / D fave . Hình trên nói rằng nếu z D f .x ; y/  0 mô tả bề mặt địa hình, thì ta có thể cắt bỏ các chỏm đồi tại độ cao fave và dùng đất dư để lấp các thung lũng thì ta được một vùng hoàn toàn bằng phẳng có cao độ fave . GIẢI TÍCH B2 190/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật GIẢI TÍCH B2 191/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ví dụ Ở trang trước là một contour map biểu thị độ dày (đơn vị inch) của tuyết phủ ở bang Colorado trong hai ngày 20 và 21, tháng 12, 2006. Bang này có hình chữ nhật, từ Tây sang Đông là 388 dặm, từ Nam lên Bắc là 276 dặm. Hãy ước tính độ dày trung bình của tuyết phủ trên toàn bang. Giải. Lấy góc Tây Nam của bang làm gốc tọa độ thì bang Colorado được biểu thị bởi hình chữ nhật R D Œ0; 388  Œ0; 276. Đặt f .x ; y/ là độ dày tuyết phủ tại vị trí sang Đông x dặm và lên Bắc y dặm tính từ gốc. Khi đó độ dày trung bình của tuyết phủ toàn bang là fave D 1 A.R/ “ f .x ; y/dA trong đó A.R/ D 388:276 dặm vuông. GIẢI TÍCH B2 192/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Để ước tính giá trị của tích phân kép ở trước, ta dùng quy tắc trung điểm với m D n D 4, nghĩa là chia bang Colorado thành 16 hình chữ nhật đều nhau, với diện tích mỗi hình là A D 116.388:276/ D 6693 dặm vuông Contour map cho ta ước đoán giá trị của f tại mỗi tâm hình chữ nhật con, do đó fave D 1 A.R/ “ R f .x ; y/dA  1 A.R/ 4X iD1 4X jD1 f .x i ; yj /A  A A.R/ .0C 15C 8C 7C 2C 25C 18; 5C 11C 4; 5 C 28C 17C 13; 5C 12C 15C 17; 5C 13/ D 6693 388:276 .207/  12; 9 inches 2 GIẢI TÍCH B2 193/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP Giả sử các tích phân sau tồn tại. Khi đó 1 “ R  f .x ; y/C g.x ; y/dA D“ R f .x ; y/dAC “ R g.x ; y/dA 2 “ R cf .x ; y/dA D c “ R f .x ; y/dA 3 Nếu f .x ; y/  g.x ; y/ với mọi .x ; y/ 2 R thì“ R f .x ; y/dA  “ R g.x ; y/dA Tính chất 1, 2 được gọi tính chất tuyến tính của tích phân kép. GIẢI TÍCH B2 194/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.2. Tích phân lặp Các tích phân dưới đâyZ b a Z d c f .x ; y/dydx D Z b a  Z d c f .x ; y/dy  dxZ d c Z b a f .x ; y/dxdy D Z d c  Z b a f .x ; y/dx  dy được gọi là các tích phân lặp (iterated integral), vì chúng là kết quả lấy tích phân theo từng biến x và y riêng lẻ. Hai tích phân lặp ở trên có thứ tự lấy tích phân theo các biến khác nhau. GIẢI TÍCH B2 195/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.2. Tích phân lặp Định lý Fubini Giả sử f là hàm số liên tục trên hình chữ nhật R D Œa; b  Œc; d . Khi đó “ R f .x ; y/dA D Z b a Z d c f .x ; y/dydx D Z d c Z b a f .x ; y/dxdy : Tổng quát hơn, có thể lấy giả thiết f bị chặn trên R, chỉ bị gián đoạn trên vài đường cong trơn bên trong R, và tồn tại các tích phân lặp. Ta không chứng minh định lý trên, thay vào đó, ta nêu ý tưởng hình thành định lý này theo cách trực quan GIẢI TÍCH B2 196/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.2. Tích phân lặp Trong hình bên, gọi S là khối nằm trên R và dưới mặt z D f .x ; y/; V là thể tích khối S; C là đường cong vết trong mặt phẳng x D hằng số; A.x/ D Z d c f .x ; y/dy là diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng trên cắt khối S. Nếu khối S bị cắt thành nhiều lát có độ dày x đều nhau và ta cộng thể tích các lát thì ta có xấp xỉ V  mX iD1 A.xi /x . Nếu cho số lát ngày càng nhiều (x ! 0), ta thấy“ R f .x ; y/dA D V D lim m!1 mX iD1 A.xi /x D Z b a A.x/dx D Z b a  Z d c f .x ; y/dy  dx : GIẢI TÍCH B2 197/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.2. Tích phân lặp Lập luận tương tự như trên với n lát cắt vuông góc với trục Oy, có độ dày y D .d c/=n, diện tích mỗi lát là A.yj / D Z b a f .x ; yj /dx như hình bên, ta cũng có “ R f .x ; y/dA D V D lim n!1 nX jD1 A.yj /y D Z d c A.y/dy D Z d c  Z b a f .x ; y/dx  dy : GIẢI TÍCH B2 198/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.2. Tích phân lặp Ví dụ Tính tích phân kép “ R .x 3y2/dA với R D ˚.x ; y/ ˇˇ 0  x  2; 1  y  2 . Lời giải 1. Định lý Fubini cho“ R .x 3y2/dA D Z 2 0 Z 2 1 .x 3y2/dydx D Z 2 0 .xy y3/ˇˇyD2 yD1dx D Z 2 0 .x 7/dx D x2 2 7x ˇˇˇ2 0 D 12 Lời giải 2. “ R .x 3y2/dA D Z 2 1 Z 2 0 .x 3y2/dxdy DZ 2 1 x2 2 3xy2 xD2 xD0dy D Z 2 1 .2 6y2/dy D .2y 3y3/ˇˇ2 1 D 12 2 GIẢI TÍCH B2 199/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.2. Tích phân lặp Ví dụ Tính “ R y sin.xy/dA với R D Œ1; 2  Œ0; . Lời giải 1. Dùng định lý Fubini, lấy tích phân lặp theo biến x trước“ R y sin.xy/dA D Z  0 Z 2 1 y sin.xy/dxdy D Z  0  cos.xy/xD2 xD1dy D Z  0 . cos 2y C cos y/dy D  1 2 sin 2y C sin y  0 D 0 Lời giải 2. Nếu tính theo tích phân lặp với thứ tự ngược lại, ta phải tích phân từng phần, lời giải dài hơn, nhưng cho cùng kết quả. 2 GIẢI TÍCH B2 200/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.2. Tích phân lặp Trường hợp đặc biệt, hàm số f .x ; y/ có dạng tách biến, f .x ; y/ D g.x/h.y/, trong đó g và h là hai hàm số 1 biến, thì định lý Fubini có dạng“ R f .x ; y/dA D Z b a g.x/dx Z d c h.y/dy với R D Œa; b  Œc; d : GIẢI TÍCH B2 201/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Mục 3.2 trình bày tích phân kép trên một hình chữ nhật. Mục này bàn đến tích phân kép trên một miền D có hình dạng tổng quát hơn, bị chặn, như hình bên. Ta chọn một hình chữ nhật R bao quanh miền D và đưa ra hàm mới F xác định trên R, F .x ; y/ D ( f .x ; y/ nếu .x ; y/ 2 D 0 nếu .x ; y/ 2 R n D Tích phân của F trên hình chữ nhật R, nếu tồn tại, không bị ảnh hưởng bởi miền bên ngoài D, nghĩa là ta có thể lấy hình chữ nhật R tùy ý bao quanh D. GIẢI TÍCH B2 202/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Đồ thị của f và của F được minh họa như sau Nếu F khả tích trên R thì ta định nghĩa tích phân kép của f trên D như sau “ D f .x ; y/dA D “ R F .x ; y/dA GIẢI TÍCH B2 203/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Định lý Giả sử hàm f chỉ gián đoạn ở những điểm trên vài đường cong trơn bên trong D. Hơn nữa, biên của tập D được ghép bởi vài đường cong trơn. Khi đó f sẽ khả tích trên D, nghĩa là tồn tại “ D f .x ; y/dA. Định lý Fubini có thể áp dụng cho tích phân kép trên miền D tổng quát theo cách phân biệt miền D thành hai loại: 1 Miền D được gọi là lồi theo phương Oy, hoặc là đơn giản theo phương Oy, nếu D nằm giữa hai đồ thị của hai hàm số theo biến x , D D ˚.x ; y/ ˇˇ x 2 Œa; b; g1.x/  y  g2.x/ 2 Miền D được gọi là lồi theo phương Ox, hoặc là đơn giản theo phương Ox, nếu D nằm giữa hai đồ thị của hai hàm số theo biến y , D D ˚.x ; y/ ˇˇ y 2 Œc; d ; h1.y/  x  h2.y/ GIẢI TÍCH B2 204/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Sau đây là vài hình ảnh cho miền lồi theo Oy: Và minh họa cho miền lồi theo Ox: GIẢI TÍCH B2 205/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Định lý Fubini Cho hàm số f khả tích trên miền D. 1 Nếu D D ˚.x ; y/ ˇˇ x 2 Œa; b; g1.x/  y  g2.x/ (D lồi theo phương Oy), thì“ D f .x ; y/dA D Z b a Z g2.x/ g1.x/ f .x ; y/dy dx ; miễn là tích phân lặp ở trên tồn tại. 2 Nếu D D ˚.x ; y/ ˇˇ y 2 Œc; d ; h1.y/  x  h2.y/ (D lồi theo phương Ox), thì (miễn là tích phân lặp ở dưới tồn tại)“ D f .x ; y/dA D Z d c Z h2.y/ h1.y/ f .x ; y/dx dy ; GIẢI TÍCH B2 206/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Ví dụ Tính “ D .xC2y/dA, D bị bao bởi hai parabola: y D 2x2 và y D 1Cx2. Giải. Giao điểm hai parabola là .1; 2/ và .1; 2/. Do đó D có dạng D D ˚.x ; y/ ˇˇ x 2 Œ1; 1; 2x2  y  1C x2 “ D .x C 2y/dA D Z 1 1 Z 1Cx2 2x2 .x C 2y/dydx D Z 1 1 .xy C y2/ ˇˇˇyD1Cx2 yD2x2 dx D


D 32 15 2 GIẢI TÍCH B2 207/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Lưu ý. Khi tính tích phân kép thông qua tích phân lặp, điều chủ yếu là vẽ sơ đồ mũi tên để biểu diễn miền lấy tích phân dưới dạng lồi theo một phương, giống như trong hình của ví dụ trước. Nó giúp ta xác định cận dưới và trên của tích phân lặp. Ví dụ Tìm thể tích của miền nằm dưới paraboloid z D x2Cy2 và nằm trên miền D trong mặt phẳng xy bị bao bởi hai đường y D 2x và y D x2. GIẢI TÍCH B2 208/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Với hai sơ đồ mũi tên trong miền D dưới đây: thì ta có hai cách biểu diễn D lồi theo phương Oy hoặc Ox: D D ˚.x ; y/ ˇˇ x 2 Œ0; 2; x2  y  2x D D ˚.x ; y/ ˇˇ y 2 Œ0; 4; 12y  x  py GIẢI TÍCH B2 209/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Do đó, thể tích V của khối nằm dưới mặt z D x2 C y2 và nằm trên D được tính theo hai cách Cách 1: V D “ D .x2 C y2/dA D Z 2 0 Z 2x x2 .x2 C y2/dy dx D Z 2 0 .x2y C 1 3 y3/ ˇˇˇyD2x yDx2 dx D


D 216 35 Cách 2: V D “ D .x2 C y2/dA D Z 4 0 Z py 1 2 y .x2 C y2/dx dy D Z 4 0 . 1 3 x3 C xy2/ ˇˇˇxDpy xD 12 y dy D


D 216 35 2 GIẢI TÍCH B2 210/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Ví dụ Tính tích phân lặp Z 1 0 Z 1 x sin.y2/dydx . Giải. Nếu tính tích phân theo biến y trước thì bất khả thi, vì ta không tìm được nguyên hàm. Do đó, ta dùng định lý Fubini cho tích phân kép trên miền D như hình dưới GIẢI TÍCH B2 211/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát và ta cóZ 1 0 Z 1 x sin.y2/dy dx D “ D sin.y2/dA D Z 1 0 Z y 0 sin.y2/dx dy D Z 1 0 y sin.y2/dy D 1 2 Z 1 0 sin tdt (đổi biến t D y2) D 1 2 cos t ˇˇˇ1 0 D 1 2 1 2 cos 1 2 GIẢI TÍCH B2 212/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP TRÊN MIỀN TỔNG QUÁT Giả sử các tích phân dưới đây tồn tại, khi đó“ D  f .x ; y/C g.x ; y/dA D“ D f .x ; y/dAC “ D g.x ; y/dA (3.1)“ D cf .x ; y/dA D c “ D f .x ; y/dA (3.2) Nếu f .x ; y/  g.x ; y/ với mọi .x ; y/ 2 D thì“ D f .x ; y/dA  “ D g.x ; y/dA (3.3) Nếu D1 và D2 không “giẫm đè” lên nhau, ngoại trừ có thể dính nhau trên biên, thì“ D1[D2 f .x ; y/dA D “ D1 f .x ; y/dAC “ D2 f .x ; y/dA (3.4) GIẢI TÍCH B2 213/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Tính chất (3.4) được dùng khi D không có dạng lồi theo phương nào. Trong trường hợp đó ta có thể chia D thành nhiều miền, mỗi miền lồi theo một phương Ox hoặc Oy Miền D trong hình trên không lồi theo phương nào, khi chia ra thì miền D1 lồi theo Oy, miền D2 lồi theo Ox. GIẢI TÍCH B2 214/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Nếu ta lấy tích phân của một hàm hằng f .x ; y/  1 trên miền D, thì ta được trị số của diện tích miền D“ D 1dA D A.D/ (3.5) Nếu m  f .x ; y/  M với mọi .x ; y/ 2 D thì mA.D/  “ D f .x ; y/dA  MA.D/ (3.6) GIẢI TÍCH B2 215/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.3. Tích phân kép trên một miền tổng quát Ví dụ Dùng tính chất (3.6), hãy đánh giá trị số của “ D esin x cos ydA, với D là đĩa tròn có tâm ở gốc, bán kính 2. Giải. Vì 1  sin x cos y  1 nên e1  esin x cos y  e1 D e Dùng tính chất (3.6) với m D e1, M D e, và A.D/ D .2/2, ta có 4 e  “ D esin x cos ydA  4e 2 GIẢI TÍCH B2 216/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực TỌA ĐỘ CỰC Với mỗi điểm P.x ; y/ trong mặt phẳng tọa độ Descartes Oxy, ta đặt r D OP D p x2 C y2I  D ]!i ;!OP
thì x D r cos  và y D r sin  . Cặp số .r ; / được gọi là tọa độ cực của điểm P. Quy ước. Trong tọa độ cực, điểm .r ; / đối xứng với điểm .r ; / qua gốc O.0; 0/ Vậy một tập hợp D trong mặt phẳng Descartes có dạng D D ˚.x ; y/ ˇˇ x và y thỏa tính chất (T) nào đó có thể được viết dưới dạng tọa độ cực như sau D D ˚.r ; / ˇˇ r và  thỏa tính chất “tương đồng” với (T) GIẢI TÍCH B2 217/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực Miền R trong hình (a) ở bên có thể viết theo ba dạng sau R D ˚.x ; y/ ˇˇ x2 C y2  1 R D ˚.x ; y/ ˇˇ x D r cos ; y D r sin ; .r ; / 2 Œ0; 1  Œ0; 2 R D ˚.r ; / ˇˇ 0  r  1; 0    2 Trong hình (b) thì miền R được viết dưới dạng R D ˚.x ; y/ ˇˇ 1  x2 C y2  4; y  0 R D ˚.x ; y/ ˇˇ x D r cos ; y D r sin ; .r ; / 2 Œ1; 2  Œ0;  R D ˚.r ; / ˇˇ 1  r  2; 0     Hình (a): Hình (b): GIẢI TÍCH B2 218/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực Người ta chứng minh được rằng Công thức đổi biến tích phân theo tọa độ cực Nếu hàm số hai biến f liên tục trên một miền D được biểu diễn theo dạng tọa độ cực sau đây D D ˚.r ; / ˇˇ  2 Œ˛; ˇ; h2./  r  h2./ thì Hình minh họa cho miền D có dạng tọa độ cực đơn giản theo r.“ D f .x ; y/dA D Z ˇ ˛ Z h2./ h1./ f .r cos ; r sin / r dr d GIẢI TÍCH B2 219/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực Ví dụ Tìm thể tích của khối bị bao bởi mặt z D 0 và paraboloid z D 1x2y2. Giải. Mặt z D 0 cắt paraboloid tạo thành hình tròn D W x2C y2  1, có biểu diễn tọa độ cực là .r ; / 2 Œ0; 1  Œ0; 2. Do đó, thể tích khối là V D “ D .1 x2 y2/dA D Z 2 0 Z 1 0 .1 r2/rdrd D 2  r2 2 r 4 4 ˇˇˇ1 0 D  2 2 GIẢI TÍCH B2 220/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực Ví dụ Tìm diện tích một cánh tạo bởi đường cong hình hoa 4 cánh có phương trình r D cos 2 . (Xem hình.) Giải. Ta thấy miền D có dạng tọa độ cực D D ˚.r ; / ˇˇ  2 Œ 4 ;  4 ; 0  r  cos 2 Do đó diện tích một cánh hoa là A.D/ D “ D dA D Z =4 =4 Z cos 2 0 rdrd D Z =4 =4 h1 2 r2 icos 2 0 d D


D  8 2 GIẢI TÍCH B2 221/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực Ví dụ Tính thể tích khối nằm trên mặt phẳng xy, nằm dưới mặt paraboloid z D x2 C y2 và nằm trong mặt trụ x2 C y2 D 2x . Giải. Khối cần tìm nằm trên hình tròn D với biên có phương trình x2 C y2 D 2x , .x 1/2 C y2 D 1 Dạng tọa độ cực của D là D D ˚.r ; / ˇˇ  2 h  2 ;  2 i ; 0  r  2 cos  (Xem hình trang kế.) GIẢI TÍCH B2 222/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.4. Tích phân kép trong tọa độ cực Do đó thể tích cần tính là V D “ D .x2 C y2/dA D Z =2 =2 Z cos 2 0 .r2/rdrd D Z =2 =2 h r4 4 i2 cos  0 d D 4 Z =2 =2 cos4 d D 4 Z =2 =2 1C cos 2 2 2 d D


D 3 2 2 GIẢI TÍCH B2 223/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.5. Tích phân bội ba TÍCH PHÂN BỘI BA TRÊN MỘT HỘP (BOX) Xét một hàm số f , có 3 biến, xác định trên một hộp chữ nhật B B D ˚.x ; y ; z/ ˇˇ a  x  b; c  y  d ; r  z  s Định nghĩa tích phân bội ba của f trên B cũng giống như trường hợp hàm hai biến, nghĩa là chia B thành nhiều hộp con Bijk . Trong đó ta chia Œa; b thành l đoạn con đều nhau có độ dài x D .b a/=l , chia Œc; d  thành m đoạn con có độ dài y D .d c/=m, chia Œr ; s  thành n đoạn con có độ dài z D .s r/=n, và ta có lmn hộp con dạng Bijk D Œxi1; xi   Œyj1; yj   Œzk1; zk , thể tích mỗi hộp con là V D xyz . GIẢI TÍCH B2 224/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.5. Tích phân bội ba Trong mỗi hộp con Bijk , chọn một điểm mẫu .x  ijk ; y  ijk ; z  ijk/ tùy ý và lập tổng Riemann như sau lX iD1 mX jD1 nX kD1 f .xijk ; yijk ; zijk/V Định nghĩa tích phân bội ba trên một hộp Tích phân bội ba (triple integral) của f trên hộp B được định nghĩa là • B f .x ; y ; z/dV D lim l;m;n!1 lX iD1 mX jD1 nX kD1 f .xijk ; yijk ; zijk/V miễn là giới hạn trên tồn tại. Khi đó ta nói f khả tích trên B. GIẢI TÍCH B2 225/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.5. Tích phân bội ba Điều kiện đủ để khả tích Nếu f liên tục trên hộp B thì f khả tích trên B. Định lý Fubini Nếu f liên tục trên hộp B D Œa; b  Œc; d   Œr ; s  thì• B f .x ; y ; z/dV D Z s r Z d c Z b a f .x ; y ; z/dxdydz Tổng quát hơn, nếu f khả tích trên B và tích phân lặp ở trên tồn tại thì đẳng thức trên đúng. GIẢI TÍCH B2 226/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.5. Tích phân bội ba TÍCH PHÂN BỘI BA TRÊN MỘT KHỐI TỔNG QUÁT Nếu hàm ba biến f xác định trên một khối E bị chặn trong không gian (bị bao quanh bởi một mặt cầu), thì ta chọn một hộp chữ nhật B chứa E và định nghĩa hàm F xác định trên B sao cho: F trùng với f bên trong E ; F triệt tiêu bên ngoài E . Khi đó ta định nghĩa• E f .x ; y ; z/dV D • B F .x ; y ; z/dV Tích phân trên sẽ tồn tại nếu f liên tục trên E và biên của E là hợp của vài mặt cong trơn, nghĩa là mặt cong có phương trình dạng G .x ; y ; z/ D k , k là hằng số, các đạo hàm riêng của G liên tục. Chú ý Tích phân bội ba của f trên E không mang ý nghĩa hình học, nhưng nếu f  1 thì thể tích của E là V .E / D • E 1dV . GIẢI TÍCH B2 227/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.5. Tích phân bội ba KHỐI ĐƠN GIẢN (LỒI) THEO MỘT PHƯƠNG & ĐỊNH LÝ FUBINI Định lý Fubini được áp dụng cho tích phân bội ba trên một khối E thuộc các kiểu sau đây: Loại lồi theo phương Oz, có dạng E D ˚.x ; y ; z/ ˇˇ .x ; y/ 2 D; u1.x ; y/  z  u2.x ; y/ trong đó D là hình chiếu của khối E lên mặt phẳng xy. Khi đó • E f .x ; y ; z/dV D “ D h Z u2.x;y/ u1.x;y/ f .x ; y ; z/dz i dA GIẢI TÍCH B2 228/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.5. Tích phân bội ba Loại lồi theo phương Oy, có dạng E D ˚.x ; y ; z/ ˇˇ .y ; z/ 2 D; u1.x ; z/  y  u2.x ; z/ trong đó D là hình chiếu của khối E lên mặt phẳng xz. Khi đó • E f .x ; y ; z/dV D “ D h Z u2.x;z/ u1.x;z/ f .x ; y ; z/dy i dA GIẢI TÍCH B2 229/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.5. Tích phân bội ba Loại lồi theo phương Ox, có dạng E D ˚.x ; y ; z/ ˇˇ .y ; z/ 2 D; u1.y ; z/  x  u2.y ; z/ trong đó D là hình chiếu của khối E lên mặt phẳng yz. Khi đó • E f .x ; y ; z/dV D “ D h Z u2.y ;z/ u1.y ;z/ f .x ; y ; z/dx i dA GIẢI TÍCH B2 230/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.5. Tích phân bội ba Ví dụ Tính • E p x2 C y2dV , trong đó E là miền bị bao quanh bởi mặt y D x2 C z2 và mặt y D 4. Giải. Nếu chúng ta xem E là miền lồi theo phương Oz, thì hình chiếu của E lên mặt xy là D1 như hình dưới GIẢI TÍCH B2 231/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.5. Tích phân bội ba Phương trình y D x2 C z2 cho z D ˙ p y x2, mặt xy: z D 0, cắt mặt y D x2 C z2 thành parabola y D x2. Do đó E D ˚.x ; y ; z/ ˇˇ .x ; y/ 2 D1; py x2  z py x2 D1 D ˚ .x ; y/ ˇˇ x 2 Œ2; 2; x2  y  4 • E p x2 C z2dV D Z 2 2 Z 4 x2 Z pyx2 pyx2 p x2 C z2 dz dy dx Theo cách trên thì tích phân lặp rất khó tính toán. Do đó, ta xem khối E như là khối đơn giản theo phương Oy, với hình chiếu lên mặt xz là hình tròn D3 W x2 C y2  4, và ta viết E D ˚.x ; y ; z/ ˇˇ .x ; z/ 2 D3; x2 C z2  y  4 • E p x2 C z2dV D “ D3 Z 4 x2Cz2 p x2 C z2 dy dA GIẢI TÍCH B2 232/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.5. Tích phân bội ba D “ D3 .4 x2 z2/ p x2 C z2 dA D Z 2 0 Z 2 0 .4 r2/ p r2:r dr d (đổi biến x D r cos  , z D r sin ) D 2 Z 2 0 .4r2 r4/ dr D 2 4r3 3 r 5 5 ˇˇˇ2 0 D 128 15 2 GIẢI TÍCH B2 233/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ TỌA ĐỘ TRỤ Mỗi điểm P.x ; y ; z/ trong hệ tọa độ Descartes, có hình chiếu Q.x ; y ; 0/ lên mặt phẳng xy, thì điểm Q trong mặt phẳng xy có tọa độ cực là .r ; ; 0/. Khi đó, bộ ba số .r ; ; z/ được gọi là tọa độ trụ (cylindrical coordinate system) của điểm P. Hai hệ phương trình chuyển đổi giữa tọa độ Descartes và tọa độ trụ như sau r2 D x2 C y2; tan  D y x ; z D z (3.7) x D r cos ; y D r sin ; z D z (3.8) r được gọi là bán kính trục, khoảng cách từ P đến trục Oz. GIẢI TÍCH B2 234/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Ví dụ a) Vẽ điểm có tọa độ trụ .2; 2=3; 1/ và tìm tọa độ Descartes của nó. b) Tìm tọa độ trụ của điểm có tọa độ Descartes .3;3;7/. a) Điểm có tọa độ trụ .2; 2=3; 1/ được vẽ ở hình bên phải. Tọa độ Descartes được tính bởi x D 2 cos 2 3 D 1 y D 2 sin 2 3 D p3 z D 1 Vậy điểm đã cho là .1;p3; 1/ trong tọa độ Descartes GIẢI TÍCH B2 235/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ b) Ta có r D p 32 C .3/2 D 3p2; tan  D 3 3 D 1, do đó  D  4 C 2n ; z D 7. Vậy tọa độ trụ của điểm đã cho là .3 p 2;=4;7/. 2 Ghi chú. Tọa độ trụ thường dùng trong bài toán có hình đối xứng quanh một trục, và ta đồng nhất trục này với trục Oz. Ví dụ, mặt trụ có phương trình Descartes là x2 C y2 D c2, trục đối xứng là Oz. Trong tọa độ trụ, phương trình của nó đơn giản hơn, r D c . GIẢI TÍCH B2 236/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Ví dụ Hãy mô tả mặt có phương trình z D r trong tọa độ trụ. Giải. Phương trình này cho biết mỗi điểm trên mặt có giá trị z , cũng là độ cao, bằng với giá trị r , là khoảng cách từ điểm đó đến trục Oz. Vì  không xuất hiện, có nghĩa là giá trị của nó thay đổi tùy ý. Vì vậy, mỗi vết ngang trong mặt phẳng z D k (k > 0) là đường tròn bán kính k. Những vết này tạo nên mặt nón. Phán đoán ở trên có thể được kiểm chứng bằng cách đổi phương trình mặt trong tọa độ trụ thành phương trình trong tọa độ Descartes, z2 D r2 D x2 C y2. Rõ ràng z2 D x2 C y2 là phương trình mặt nón. 2 GIẢI TÍCH B2 237/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ TÍNH TOÁN TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG TỌA ĐỘ TRỤ Giả sử E là miền lồi theo phương Oz, E D ˚.x ; y ; z/ ˇˇ .x ; y/ 2 D; u1.x ; y/  z  u2.x ; y/ trong đó D là miền trong R2 có biểu diễn tọa độ cực là D D ˚.r ; / ˇˇ  2 Œ˛; ˇ; h1./  r  h2./ GIẢI TÍCH B2 238/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ thì tích phân bội ba của hàm số f .x ; y ; z/ trên khối E được tính theo công thức • E f .x ; y ; z/dV D “ D Z u2.x;y/ u1.x;y/ f .x ; y ; z/ dz dA D Z ˇ ˛ Z h2./ h1./ Z u2.r cos ;r sin / u1.r cos ;r sin / f .r cos ; r sin ; z/ r dzdrd Tích phân trong tọa độ trụ chia khối E thành những phân tố thể tích (volume element) dV , được tính như là thể tích của khối vô cùng nhỏ bên trong E , có hình dạng ở bên, dV D .rd/drdz D r dzdrd . GIẢI TÍCH B2 239/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Ví dụ Khối E bên trong mặt trụ x2 C y2 D 1, nằm dưới mặt phẳng z D 4 và trên mặt paraboloid z D 1 x2 y2 như hình bên. Mật độ khối lượng tại mỗi điểm của khối, tỷ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến trục của mặt trụ. Hãy tính khối lượng của khối E . Chú thích. Gọi m và V lần lượt là khối lượng và thể tích của một khối nhỏ bất kỳ, chứa điểm .x ; y ; z/ bên trong khối E . Người ta định nghĩa .x ; y ; z/ D lim V!0 m V là mật độ khối lượng của E tại điểm .x ; y ; z/. Tỉ số m V được xem như là khối lượng riêng quanh khu vực điểm .x ; y ; z/. GIẢI TÍCH B2 240/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Giải. Hàm mật độ khối .x ; y ; z/ tỉ lệ với khoảng cách từ .x ; y ; z/ đến trục Oz, do đó .x ; y ; z/ D K p x2 C y2 D Kr , K > 0 là hằng số tỉ lệ. Hơn nữa, khối E được biểu diễn dưới dạng tọa độ trụ như sau E D ˚.r ; ; z/ ˇˇ  2 Œ0; 2; r 2 Œ0; 1; 1 r2  z  4 Khối lượng của khối E được tính như sau m D “ E .x ; y ; z/dV D K “ E p x2 C y2dV D K Z 2 0 Z 1 0 Z 4 1r2 r :r dzdrd D


D K Z 2 0 d Z 1 0 .3r2 C r4/dr D


D 12K 5 GIẢI TÍCH B2 241/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Ví dụ Tính Z 2 2 Z p4x2 p4x2 Z 2 p x2Cy2 .x2 C y2/ dz dy dx . Giải. Tích phân lặp ở trên bằng“ D Z 2 p x2Cy2 .x2 C y2/dz dA, trong đó D D ˚.x ; y/ ˇˇ x 2 Œ2; 2; p 4 x2  y  p 4 x2 D ˚.x ; y/ ˇˇ x2 C y2  4 D ˚.r ; / ˇˇ r 2 Œ0; 2;  2 Œ0; 2 GIẢI TÍCH B2 242/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.6. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ Vậy tích phân nói trên là tích phân bội ba trên khối E E D ˚.r ; ; z/ ˇˇ .r ; / 2 Œ0; 2  Œ0; 2; r  z  2 Do đóZ 2 2 Z p4x2 p4x2 Z 2 p x2Cy2 .x2 C y2/ dz dy dx D • E .x2 C y2/dV D Z 2 0 Z 2 0 Z 2 r r2r dz dr d D Z 2 0 d Z 2 0 .2r3 r4/dr D 2 1 2 r4 1 5 r5 ˇˇˇ2 0 D 16 5  GIẢI TÍCH B2 243/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu TỌA ĐỘ CẦU Xét điểm P có tọa độ Descartes .x ; y ; z/, hình chiếu của P lên mặt xy là P 0.x ; y ; 0/. Ta đặt  D OP;  D ].!i ;!OP 0/;  D ].!k ;!OP/ Bộ ba số .; ; / được gọi là tọa độ cầu của điểm P. Lưu ý,  2 Œ0; . Nếu đặt r D  sin thì .r ; / là tọa độ cực của điểm hình chiếu P 0 trong mặt xy. Ghi chú. Không có sự thống nhất cho ký hiệu tọa độ cầu. Hầu hết các sách Vật lý đều đảo ngược ý nghĩa của  và , sử dụng r thay cho . GIẢI TÍCH B2 244/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Chú giải. Trên mặt địa cầu, .; / 2 Œ1; 2  Œ1; 2 biểu diễn các điểm giữa hai kinh tuyến ı1 và ı2 từ Tây sang Đông; giữa hai vĩ tuyến ı1 và ı2 (với vĩ tuyến gốc là Bắc cực, không phải xích đạo). Những điểm này cách tâm địa cầu một khoảng .; /. Phương trình chuyển đổi tọa độ cầu và tọa độ Descartes là x D  sin cos ; y D  sin sin ; z D  cos và 2 D x2 C y2 C z2 GIẢI TÍCH B2 245/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Ví dụ Điểm .2; =4; =3/ được cho trong tọa độ cầu. Hãy vẽ điểm này và tìm tọa độ Descartes của nó. Giải. Điểm được định vị như hình bên. Ta có x D  sin cos  D 2 sin  3 cos  4 D r 3 2 y D  sin sin  D 2 sin  3 sin  4 D r 3 2 z D  cos D 2 cos  3 D 1 Vậy tọa độ Descartes của điểm đã cho là . p 3=2; p 3=2; 1/. GIẢI TÍCH B2 246/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Ví dụ Điểm .0; 2 p 3;2/ được cho trong tọa độ Descartes. Hãy tìm tọa độ cầu cho điểm này. Giải. Ta có  D p x2 C y2 C z2 D p0C 12C 4 D 4 Ngoài ra cos D z  D 2 4 D 1 2  D 2 3 cos  D x  sin D 0  D  2 (Lưu ý rằng  ¤ =2, vì y D 2p3 > 0.) Vậy điểm đã cho có tọa độ cầu là .4; =2; 2=3/. GIẢI TÍCH B2 247/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Sau đây là vài mặt được biểu diễn bởi phương trình theo tọa độ cầu Mặt cầu có phương trình  D c , c là hằng số. Nửa mặt phẳng có phương trình  D c , c là hằng số. GIẢI TÍCH B2 248/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Nửa mặt nón  D c , c là hằng số, 0 < c < =2. Nửa mặt nón  D c , c là hằng số, =2 < c <  . GIẢI TÍCH B2 249/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG TỌA ĐỘ CẦU Ta thừa nhận công thức sau Nếu một khối E có biểu diễn tọa độ cầu là E D ˚.; ; / ˇˇ .; / 2 Œ1; 2  Œ1; 2; 1.; /    2.; / thì• E f .x ; y ; z/dV D Z 2 1 Z 2 1 Z 2.;/ 1.;/ f . sin cos ;  sin sin ;  cos/ 2 sin d d d Chú ý. Trong không gian, ta có thể gặp những khối E có biểu diễn theo tọa độ cầu với dạng khác với dạng trong công thức trên, thứ tự tích phân lặp sẽ khác đi, nhưng hàm trong tích phân vẫn vậy. GIẢI TÍCH B2 250/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Ví dụ Dùng tọa độ cầu, hãy tính thể tích của khối nằm trên mặt nón z Dp x2 C y2 và dưới mặt cầu x2 C y2 C z2 D z . Giải. Lưu ý tâm mặt cầu là .0; 0; 12/, đường kính bằng 1. Với  cố định thì  “chạy” từ 0 đến =4. GIẢI TÍCH B2 251/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Những điểm trong khối có  “chạy” từ 0 đến 2 . Với  và  cố định thì điểm trong khối có  “chạy” từ 0 đến cos. Do đó khối đã cho có biểu diễn theo tọa độ cầu là E D ˚.; ; / ˇˇ .; / 2 Œ0; 2  Œ0;  4 ; 0    cos GIẢI TÍCH B2 252/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội 3.7. Tích phân bội ba trong tọa độ cầu Vậy thể tích khối cần tính là V .E / D • E dV D Z 2 0 Z =4 0 Z cos 0 2 sin d d d D Z 2 0 d Z =4 0 sin 3 3 ˇˇˇDcos D0 d D 2 3 Z =4 0 sin cos3  d D 2 3  cos 4  4 ˇˇˇ=4 0 D  8 GIẢI TÍCH B2 253/??