Chương 2. Cơ sở toán học của lý thuyết mật mã

Hàm một chiều Chúng ta nói hàm: f: XY là hàm một chiều nếu f(x) có thể tính toán hiệu quả với mọi x∈X, nhưng f-1(y) không thể tính toán hiệu quả với mọi y∈RY. “tính toán hiệu quả” ở đây chúng ta nói tới độ phức tạp tính toán Ví dụ: hàm RSA hàm bình phương modular hàm logarith rời rạc

pptx39 trang | Chia sẻ: vutrong32 | Ngày: 17/10/2018 | Lượt xem: 234 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Chương 2. Cơ sở toán học của lý thuyết mật mã, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương 2. Cơ sở toán học của lý thuyết mật mã Cho a, b≠0 là các số nguyên. Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại 1 số c sao cho:a=b.cKý hiệu b|aa là bội số của b (divisor), b là ước số của a ( mutiple)Ví dụ: 2| 6Tính chia hết của số nguyên2.1 Số học các số nguyên và thuật toán EuclideVới a, b, c, d, e ∈Z, ta có:- Nếu a|b và b|c ⇒ a|c- Nếu a|b, thì ac|bc ∀c- Nếu c|a và c|b, thì c| da+ be ∀d, e- Nếu a|b và b≠0, thì |a|≤|b|- Nếu a|b và b|a, thì |a|=|b|Tính chia hết của các số nguyênĐối với mọi số n, d\{0}, luôn tồn tại duy nhất các số q, r∈Z sao cho: n=qd+r với 0=bOutput: gcd(a, b).Trong khi b>=0 thực hiện: r a mod b a b b rCho kết quả (a)Thuật toán Euclide tìm UCLNThuật toán Euclid mở rộng dùng để tìm hai số x, y thỏa mãn phương trình sau:ax + by = gcd(a, b)Thuật toán Euclid mở rộngEuclide mở rộngCho a=4864, b= 3458, tìm (d, x, y)Ví dụ(38, 32, -45)Số tự nhiên 11đều có thể viết dưới dạng: n=p1a1 .p2a2 pkak Lưu ý: số 1 không pải là ngto cũng không phải là hợp số.Nguyên tố và hợp sốHàm đếm các số nguyên tố(prime counting function) ∏(n) cho kết quả là các số nguyên tố nhỏ hơn hay bằng n∈N ∏(n)=|{p∈P| p≤n}|Hàm đếm các số nguyên tốMỗi số tự nhiên n ∈N đều có thể phân tích thành các thừa số nguyên tố duy nhấtep (n): là số mũ của pVí dụ: 4725=32 .53 . 7 Phân tích hợp số thành thừa số nguyên tốVí dụ: tìm gcd và lcm của ( 143, 220)143=11.13220= 2^2. 5. 11Gcd(143, 220)= 2min(2,0) .5min(1,0) . 11. 13min(1, 0)lcm(143, 220)= 2max(2,0) .5max(1,0) . 11. 13max(1, 0)Phân tích hợp số thành thừa số nguyên tốDùng để đếm các số 1 thì a không có nghịch đảo nhân modulo n.Cách tìm nghịch đảo nhân(tt)Ví dụPhép tính đồng dư mod m tách tập số nguyên ra m lớp, mỗi lớp là tập các số nguyên đồng dư với nhau theo mod m.Ký hiệu: ℤ/mℤMỗi số lớp ℤ/mℤ có đúng 1 số nằm trong đoạn [0, m-1], cho nên mỗi số nguyên a đại diện cho 1 lớp.Các phép tính trong lớp thông qua đại diện lớp.Lớp đồng dư2.3 Định lý số dư trung hoaLà hệ thống gồm k phương trình đồng dư với n1,, nk từng đôi một là nguyên tố cùng nhau. Hệ thống có 1 nghiệm duy nhất x ∈ZnĐặt mi =n/ni với i=1,2,,k yi =m-1i (mod ni ) yi là nghịch đảo nhân của mi modulo ni.Khi đó nghiệm x được tính như sau:Tìm số dư trung hoaCho hệ 3 pt đồng dư sau:Hãy tìm nghiệm x???Ví dụ n1=7, n2=11. n3=13 (tất cả đều nguyên tố cùng nhau).n=n1*n2*n3=1001 m1=n/n1=1001/7=143 m2=1001/11=91 m3=1001/13=77 Ví dụ(tt)Tính y: y1143-1 (mod 7)=5 y291-1 (mod 11)=4 y377-1 (mod 13)=12Tính x: x=a1*m1*y1+ a2*m2*y2+ a3*m3*y3 = 5*143*5+3*91*4+11*77*12 = 14831 Ví dụ(tt)Xét hệ hai phương trình: Với gcd(n1,n2)=1Tính t=n2-1 (mod n1)Khi đó u(a2-a1)t(mod n2)Giải thuật này được ứng dụng nhiều trong mật mã RSA x=a 1+un12.4 Hệ hai phương trình đồng dưTính ab (mod n)???Giải thuật đơn giản nhất là nhân a(mod n) b lần.Ví dụ:2.5. Lũy thừa moduloLũy thừa moduloSử dụng triển khai số mũ b thành các phép bình phương và phép nhân.The square-and-multiply algorithmTính 722 (mod 11)B1: b=(22)10  (10110)2 B2: áp dụng giải thuật trênVí dụChúng ta nói hàm: f: XY là hàm một chiều nếu f(x) có thể tính toán hiệu quả với mọi x∈X, nhưng f-1(y) không thể tính toán hiệu quả với mọi y∈RY.“tính toán hiệu quả” ở đây chúng ta nói tới độ phức tạp tính toánVí dụ: hàm RSA hàm bình phương modular hàm logarith rời rạcHàm một chiềuA one-way function f : X → Y is a trapdoor function if there is a trapdoor information t and a PPT algorithm I that can be used to efficiently compute x’= I(f(x),t) with f(x’)= f(x).Trapdoor functionQ&A

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pptxchuong_2_2285.pptx
Tài liệu liên quan