Bài tập giải tích toán học I - Nguyễn Xuân Viên

t−ơng ứng (11.7 - 11.9) 11.7. ( ) xxf = trên đoạn [ ]1;1− 11.8. ( ) 22 xxf −= π trên đoạn ( )ππ ;− 11.9. ( ) xxxf sin= trên đoạn [ ]ππ ;− 11.10. Phân tích ( ) π≤≤= xxxf 0, thành chuỗi Fourie chỉ có cosin. 11.11. Phân tích ( ) 2xxf = thành chuỗi Fourie 1. Trên [ ]ππ ;− theo cosin 2. Trên ( )π;0 theo sin 3. Trên ( )π2;0 theo cả sin và cosin Sử dụng để tính các tổng ∑∞ = = 1 21 1 n n S , ( )∑∞ = +−= 1 2 1 2 1 n n n S , ( )∑ ∞ = − = 1 23 12 1 n n S 11.12. Chứng minh rằng πππ ≤≤=+− ∑∞ = x n nxxx n 0,cos 12 263 1 2 22 11.13. Phân tích hàm ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= xxxf 2 π thành chuỗi Fourier trên ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 ;0 π 1. Theo các ( ) ,12cos xn − ∗∈Nn 2. Theo các ( ) ,12sin xn − ∗∈Nn 11.14. Phân tích trên ( )π;0 hàm ( ) 4 π=xf chỉ có sin. Theo chuỗi nhận đ−ợc hãy tìm các tổng Λ+−+−= 7 1 5 1 3 111S 180 Λ−++−−+= 17 1 13 1 11 1 7 1 5 112S Λ−+−+−= 13 1 11 1 7 1 5 113S 11.15. Phân tích ( )xf thành chuỗi Fourie chỉ có cosin, nếu ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ <<− ≤< = ππ π xx xx xf 2 ,cos 2 0,cos 181 Phần 2. Bài giải và đáp số Đ 1. Số thực 1.9. Giải. Giả sử nm ≥ (nếu nm n Theo thuật toán chia Euclid, tồn tại duy nhất Z∈rq, nrrqnm <≤+= 0, rrrrqn <≤+= 111 0, 12212 0, rrrrqr <≤+= … Sau hữu hạn b−ớc ta phải có 12 1111 0, ++ +++− = <≤+= sss ssssss rqr rrrrqr Khi đó dễ dàng thấy −ớc chung lớn nhất của m,n là ( ) 1, +== srnmUSCLNd Từ hệ thức tr−ớc cuối cùng, ta có ssss rqrdr 111 +−+ −== Từ hệ thức tr−ớc đó ta lại có sr biểu diễn qua Κ,, 21 −− ss rr cuối cùng ta đ−ợc biểu diễn vnumd += với Z∈vu, của ( ) dnmUSCLN =, là không duy nhất, ví dụ ( ) 15,3 =USCLN nh−ng ta lại có 1,2;5.13.21 −==−= vu và 2,3;5.23.31 =−=+−= vu Đ 2. Giới hạn d∙y số 2.2. a. 3 4 b. Giải. 132 10.210.210.21,0 −−−− ++++= nnx Κ 182 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++++= n10 1 10 11 100 21,0 Κ Cho ta 90 11lim =∞→ nn x Nh− vậy ( )21,0 90 11 = là biểu diễn của số hữu tỷ 90 11 thành số thập phân vô hạn tuần hoàn ΚΚ 212222,0 Đối với số ( ) ΚΚ babbbabaa 00 , ==α là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Nó là giới hạn của dãy số hữu tỷ { lần n n bbaax Κ,0= Ta có biểu diễn 90 ,0 baa +=α Một cách tổng quát, số thập phân vô hạn tuần hoàn ( ) 321 Κ321 Κ ΚΚΚΚ số số mn n mnm bbb aaaabbbaaa 000999 ,, 212102110 +==α Là giới hạn của dãy số ( )kx với 444 3444 21 ΚΚΚΚ Κ nbbbk nnmk bbbbbbaaaax 21 2121210 , nhóm = 2.4. 2 1 2.6. Giải. Xét ( ) 1 2 + += x xxf có ( ) ( ) 01 1 2 <+ −=′ x xf nên ( )xf là hàm nghịch biến. Có ( ) 2 3,1 121 === ufuu , ( ) 5 7 23 == ufu . Do ( )xf nghịch biến nên ( ) ( ) kkkkkk uufuufuu 21222121212 = −++−+ tức là kkkk uuuu 2221212 +−+ Vậy dãy ( )12 −ku đơn điệu tăng, ( )ku2 đơn điệu giảm. Cả hai dãy này đều giới nội nên có giới hạn α thoả mãn ph−ơng trình 22 1 2 2 =⇔+=+⇔+ += ααααα αα 183 2.7. a. { }nu là dãy đơn điệu tăng nếu 12 uu > , { }nu là dãy đơn điệu giảm nếu 12 uu < : dãy hội tụ b. Hai dãy { } { }122 , −kk uu là các dãy kề nhau. 2.8. a. 2 131+ b. 3 2.9. 2 1 2.10. 1 2.11. 3 1 2.12. 0 2.13. 0 2.14. 3 2.15. 0 2.16. −1 2.17. 2 1 2.18. 0 2.19. 2 3 e 2.27. Giải. Từ giả thiết, với ∗∈Nn ta có 10 nxxn ≤≤ hay 10 xn xn ≤≤ Tập ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ n xn giới nội nên tồn tại ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= n xninfα . Theo tính chất của cận d−ới đúng 2 0 εααε +∀ ∗ m x m mN Với ( )mnn ≥∈ ∗N , chia n cho m lấy d− mrrqmn <≤+= 0, Và ta sẽ có n x rqm qm m x n x rqm qx rmq xqx rqm x n x rm rmrmrqmn ++= ++=+ +=+=≤ +α Vì 10,0 mxxmr r <≤<≤ nên 0→n xr khi ∞→n , tức là 2 0 εε ∀ n xNnN r , còn 10 ≤+< rqm qm Nên ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +<+ 2 εα rqm qm m xm 184 Cuối cùng ta đã nhận đ−ợc đánh giá εαα +<≤ n xn đúng cho mọi Nn ≥ , Tức là α=∞→ n xn n lim 2.28. a. 1 b. 2 3 c. 1 2.32. Giải. 1. Chứng minh 1 1 +< nun bằng ph−ơng pháp quy nạp toán học; Ta giả thiết 1 1 +< nun đúng; Vì hàm ( ) 2xxxf −= có cực đại tại 2 1=x và do 2 1 1 1 <+n nên 1 1 +< nun suy ra ( ) ( ) ( ) 2 1 11 1 1 1 1 1 221 +<+=+−+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +<= + nn n nnn fuuf nn (đpcm) 2. Sử dụng: Nếu tồn tại axnn =∞→lim thì ( )*lim 21 a n xxx n n =+++∞→ Κ Từ giả thiết ( ) ( )kkkkk uuuuu −+=−=+ 1 11 1 11 1 cho k chạy từ 0 đến n là lấy tổng, ta có nn uuuuu − ++−+−+=+ 1 1 1 1 1 111 1001 Λ , do 1 1 1limlim =−= ∞→∞→ nnnn u x nên áp dụng (*) ta có ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++−+−+= +∞→∞→ 0110 11 1 1lim 1 1 1 1 1 1 1 1lim1 uunuuun nnnn Λ ( ) 11 1lim +∞→ + = nn un hay 1lim =∞→ nn nu Giới hạn trung bình cộng (*) bạn đọc tự chứng minh bằng định nghĩa. 185 2.33. 1 2.34. 0 2.35. Giải. Vì { }nb bị chặn d−ới, 1≥na nên 0ln ≥= n a b nn . Gọi { }nbl inf= . Ta chứng minh lbn n =∞→lim Thật vậy do { }nbl inf= nên εε +∀ lblNnN n110 Vì qnnq aa ≤≤1 nên n a qn aq nq a nnnq lnlnln0 =≤≤ Lấy 1Nn ≥ , chia n cho N1 lấy phần d− ∗∈<≤+= N11 0, NrrqNn Cho ta ,2 lnlnlnlnln ε+<+=+≤+≤= l n M N a n M qN a n a n a n a b NqNrqNnn Trong đó NNMn =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛> 1,max ε Vậy với Nn > , ta sẽ có ε20 +<≤ lbn cho ta lbn n =∞→lim Đ 3. Giới hạn hàm số, hàm liên tục 3.1. ππ 2 2 kx += 3.2. [ ]1;1− 3.3. R 3.4. R \ {0} 3.5. [ ]1;0 3.6. 2222 +≤≤− y 3.7. [ )∞;2 3.8. [ )1;1− 3.9. [ ]2;1− 3.10. [ ]22 2;2− 3.11. [ )∞;4 3.12. ( ) ππ 2 2 ;, ky +−≠+∞∞− 3.13. ⎥⎦ ⎤⎜⎝ ⎛− 4 ; 4 ππ 3.14. 0 186 3.15. ∞ 3.16. 2 3 3.17. 2 1 3.18. −1 3.19. ∞ 3.20. n m 3.21. 100 3.22. 0 3.23. 3 1 3.24. 2 1 3.25. 4 1− 3.26. à 3.27. α 3.28. lna 3.29. – sina 3.30. 2 3 3.31. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >∞ > = n m m n 0 m n 1 nếu nếu nếu 3.32. 3 2 3.33. ∞ 3.34. 2 1 3.35. 1 3.36. π2 1 3.37. 2 3 3.38. a − b 3.39. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 8 7ln 6 5ln 3.40. 1 3.41. 2−e 3.42. e 3.43. 2 1− e 3.44. 2e 3.45. a 1 3.46. e 3.47. 1 3.48. 2 1 3.49. 2 1− 187 3.50. 2 3.53. A = 4 3.54. ( ) 10 =f 3.55. a. ( ) nf =0 b. ( ) 20 =f c. ( ) 20 =f d. ( ) 00 =f e. ( ) 10 =f 3.56. x = 2 gián đoạn loại 2 3.57. x = −1 gián đoạn khắc phục đ−ợc 3.58. x = 0 gián đoạn loại 1 3.59. x = 0 gián đoạn khắc phục đ−ợc, 2,1, ±±== kkx π gián đoạn loại 2 gián đoạn vô hạn. 3.60. Κ1,0, ±== kkx π gián đoạn loại 2 gián đoạn vô hạn. 3.61. x = −1 gián đoạn khắc phục đ−ợc, x = 1 gián đoạn loại 1. 3.63. x = 1 gián đoạn loại 1 3.64. hàm liên tục 3.65. 1,53 3.67. Giải. Xét hàm ( ) m cx m bx m axxf mmm ++++= ++ 12 12 ( )xf liên tục trên [ ]1;0 có ( ) ( ) 010 == ff . Theo định nghĩa Rolle tồn tại ( )1;0∈α để ( ) 0=′ αf hay ( ) ( )cbxaxxxf m ++=′ − 21 có ( ) ( ) 021 =++=′ − cbaf m αααα hay ( ) 0=αf : đpcm Bài này có thể giải mà không dùng đến đạo hàm, chỉ sử dụng tính liên tục nh− sau Tr−ờng hợp c = 0 rõ ràng đúng. Giả sử 0≠c . Một mặt ( ) cf =0 , mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 1 212 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 + −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ++= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++++ ++=++ +++ +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + mm c m c m mc m a m b m mcc m mb m ma m mf Nh− vậy ( ) ( ) 022 1.0 2 <+ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + mm c m mff cho ta khẳng định 188 rằng tồn tại ( )1;0 2 1;00 ⊆⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + +∈ m mx để ( ) 0=αf 3.68. t−ơng tự bài 3.67 cách giải thứ hai. 3.72. liên tục đều 3.73. liên tục đều 3.74. không liên tục đều 3.75. không liên tục đều Giải. Theo định nghĩa, hàm ( )xf đ−ợc gọi là liên tục đều trên tập E nếu thoả mãn điều kiện ( ) ( )( )εδδε ∃>∀ 21212100 xfxfxxExEx Cho nên, để chứng mình hàm ( )xf không liên tục đều trên tập E, ta phải chỉ ra ( ) ( )( )01212210 00 εδδε ≥−∧∀>∃ xfxfxxExEx ở đây, ta chọn ∗∈+=== Nkkxkx ,2,2,2 210 πππε thì vì 0 22 2212 →++=−+=− πππ ππππ kk kkxx khi ∞→x nên δ<− 12 xx , với δ cho tr−ớc tuỳ ý, đồng thời ta lại đ−ợc ( ) 22cos2coscoscos 2122 =−+=− πππ kkxx 3.78. 12 +− xx 3.79. 0 3.80. Giải. ( ) axxf = ; trong đó ( )1fa = - hằng số tuỳ ý (bài 3.76) Cho ( ) ( )yfyfx −=−= ,0 cho ta ( )xf là hàm lẻ. Từ đây, ta có ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )yfxfyfxfyxfyxf +=−−=−−=+ đ−a về bài 3.76 3.81. Giải. Do ( ) ( )xgxf , liên tục trên [ ]ba; , ( ) ( )0.xgxf > nên Hàm ( ) ( ) 01 >−xg xf và là hàm liên tục trên đoạn [ ]ba; Nên [ ]bax ;1 ∈∃ để [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 011min; >=−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −∈ λxg xf xg xf bax Từ đó suy ra [ ]bax ;∈∀ 189 ( ) ( ) ( ) ( ) λ+=≥ 11 1 xg xf xg xf hay ( ) ( ) ( )xgxf λ+≥ 1 Đ 4. Đạo hàm và vi phân 4.1. (624; 1560) 4.2. (−1; 0,000011) 4.3. ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −∆+−∆+ xxxxxx 1; 4.4. ( ) ( ) ( )( )23322 33;33 xxxxxxxxx ∆+∆+∆+∆+∆ 4.5. ( ) ( )⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∆ −− ∆ ∆ x xx xx 122;122 4.6. ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∆+ ∆+−∆+ ∆+∆− 2222 2 2;2 xxx xx xxx xxx 4.10. 12 1 4.11. −1; 2; tgϕ = 3 4.13. ( ) ( ) ( ) ( )afagafag ′−′ 4.14. 2x π− 4.15. 42 3 3 1 352 − − −− xxx 4.16. 3 5 3 8 x 4.17. 3 232 3 2 3 4 xx a xx b − 4.18. ( )2cossin 2 xx − − 4.19. 21 arcsin x xx − + 4.20. xarctgx 4.21. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + 21 1arcsin x xex 4.22. xx x 1 0ln ln2 − 4.23. ( ) x xx 2ln 1ln2 − 4.24. xchxshx + 4.25. xch shxxxchx 2 22 − 4.26. ( ) xshxx shxchxxx 22ln ln3 +− 190 4.27. ( )4sin23cos10 xx −− 4.28. ( ) ( )2 2 2 1 arcsin3 12 1 x x arctgxx −+ 4.29. 21 1 x+ − 4.30. x x e e 21− − 4.31. ( ) ( )arctgxxxx 22 1 1ln_1 1 ++ 4.32. 21 1x+ 4.33. 2 1 bxa − 4.34. xe x βα sin 4.35. x x +1 4.36. xsin21 1 + 4.37. 31 1 x+ 4.38. x2coth2 4.39. 1ln 1 2 −xx 4.40. xArthx 4.42. ( ) ⎩⎨ ⎧ >− ≤−= − 0 01 xe x xf x nếu nếu 4.43. a. ( ) ( ) 10;10 =′−=′ +− ff b. ( ) ( ) a f a f 20;20 −=′=′ +− c. ( ) ( ) 00;10 =′=′ +− ff 4.45. ( ) ( )gxxxx x cotsinlnsin + 4.46. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xx x xx x lncossinsin 4.47. ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xxx x 1 111ln11 4.48. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ xx x xx xx x 2lnln1 4.49. ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ arctgxx xarctgxarctgx x 21 ln 4.50. ( ) ( )tgxxxxx x sincoslncoscos sin − 4.51. 191 a. ( )213 1 xxy +=′ b. xcos2 2− c. 21 2 x e+ 4.52. 2 2 3 t 4.53. tg t 4.54. ⎩⎨ ⎧ > <−= 01 01 t t yx nếu nếu 4.55. tg t 4.56. ∞ 4.57. 1 4.58. 2 2 y x− 4.59. ( ) yx yxx 2 23 2 + +− 4.60. 22 22 yxycx yxxcy ++ ++ 4.61. x y xxy yyx ⋅− − ln ln 4.62. 1−=′y 4.63. ( )322 xa x + − 4.64. 21 22 x xarctgx ++ 4.65. a xch a 1 4.66. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 2 sin πnx 4.67. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 2 cos πnx 4.68. ( ) ( )( )n n x n + −− − 1 !11 1 4.69. ( ) 11 !2 +− nx n 4.70. xx nexe + 4.71. ( ) ( )3 !461 − −− n n x n với 4≥n 4.72. ( ) ( ) ( )[ ]12 2 323.11 2 12 1 −−−− + − nx x n n n n Κ 4.73. ( )!1−n 4.74. 22 2 +t 4.75. tta sincos3 1 4 4.76. 2 2 y p− 4.77. 32 4 ya b− 4.78. 5 2 22 y y +− 192 4.79. ( ) 22 2 32 2 1; 1 ydy xd y y dx yd =−= 4.80. ( )21 x dx − 4.81. 22 xa dx − 4.82. 21 2 x dx − − 4.83. dx yx yxdy − +−= 4.84. dx 11 12 4.85. a. 0,485 b. 0,965 c. 1,2 d. 81,0025,0 4 ≈+π 4.86. 85,5200;13,470;16,210 333 ≈≈≈ 4.87. ( )( )232 2 1 x dx − − 4.88. ( )( )232 2 1 x dxx − − 4.89. ( )nn dxnx ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ 2 52sin2.3 π 4.90. ( )( )nx dxnxe ααα +sinsincos 4.91. 3 1; 3 1 21 =−= ξξ 4.92. không vì 2 π=x là điểm gián đoạn của hàm số 4.96. a. 9 14=ξ b. 4 πξ = Đ 5. Các ứng dụng của đạo hàm 5.1. a. ( ) ( ) ( ) ( ) ξex e x e x e x e ex !4 11 !3 11 !2 1111 432 ++++++++= , ( ) 10,11 <<++−= θθξ x 193 b. ( ) ( )( ) ξen x k x e e nn k k x !1 1 ! 11 1 0 + +++= + = ∑ , ( ) 10,11 <<++−= θθξ x 5.2. ( ) ( ) ( )3 3 2 3 11 2 11ln ξ −+−−−= xxxx , trong đó ( ) 10,11 <<−+= θθξ x 5.4. 7 360 1 x− Giải. ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= 6 sinsin 6 sin 33 xxxxxf là VCB trong quá trình 0→x Theo công thức Macloran ( ) ( )1 6!7 1 6!5 1 6!3 1 66 sin 8 73533333 xoxxxxxxxxxx +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ( ) ( )2 !7!5!3 sin 8 753 xoxxxxx ++−+−=− ( ) ( )3 !7!5!36 1 6 sin 8 37533 xoxxxxx +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+−= Cộng vế với vế ba hệ thức cuối cùng, các hệ số của 65432 ,,,,, xxxxxx đều bằng 0. Hệ số của 7x trong (1) là !7 1 6 1 !5 1 36 1 !3 1 4 5 1 3 −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+− CC = !7 1 144 1 72 1 −−− Hệ số của 7x trong (3) là 720 13 !3 1 !3 1 !5 1 6 3 =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+ Nh− vậy hệ số của 7x của ( )xf là 360 1 720 13 144 1 72 1 −=+−− 5.5. ( )886753 32 1 1206 xoxxxxx +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−+− 5.6. 40 1 !5 3 =δ 5.8. 3 1− 5.9. ∞ 5.10. 1 194 5.11. 2 1 5.12. 3 5.13. 0 5.14. 0 5.15. 1 5.16. ∞ 5.17. 0 5.18. −1 5.19. 1 5.20. e 1 5.21. e 1 5.22. −48 5.23. 1 5.24. 6 1− e 5.25. 2 1− 5.26. 0 5.27. ∞ 5.28. e 5.29. 2 1 5.31. Đơn điệu tăng 5.32. ( ) ( )∞∪∞− ;20; : đồng biến, ( )2;0 : nghịch biến 5.33. ( ) ( )∞∪−∞− ;22; : nghịch biến 5.34. ( )1;∞− : đồng biến, ( )∞;1 : nghịch biến 5.35. ( ) ( )∞∪−∞− ;11; : đồng biến, ( )1;1− : nghịch biến 5.36. Đồng biến 5.37. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ e 1;0 : nghịch biến, ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∞;1 e : đồng biến 5.38. ( )2;∞− : nghịch biến, ( )∞;2 : đồng biến 5.39. ( ) ( )1;00; ∪∞− : nghịch biến, ( )∞;1 : đồng biến 5.40. ( ) 16 92,3max =y 5.41. 33 3 2;33 3 2 minmax =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− yy 5.42. ( ) 20max =y 5.43. ( ) ( ) 332;332 minmax =−=− yy 5.44. ( ) ( ) 10;01 maxmin ==± yy 5.45. 3 2 3 6 ;3 2 3 6 maxmin =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− ππππ kyky 5.46. ( ) 00min =y 195 5.47. ( ) 01;41 min22max ==⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ y ee y 5.48. ( ) e y 11min −=− 5.49. ( ) ey =1min 5.50. 3 3 2 min −=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛y 5.54. Tam giác vuông cân 5.55. Hình trụ có chiều cao bằng đ−ờng kính đáy 5.56. Chiều cao hình nón là 3 4Rh = 5.57. Chiều cao hình nón là Rh 3 4= 5.58. ( )2; −∞− : lõm; ( )∞;2 : lồi; Điểm uốn ( )12;2U 5.59. ( ) ( )6;06; ∪−∞− : lồi; ( ) ( )∞∪− ;60;6 : lõm; Điểm uốn ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− 2 9;6,0;0, 2 9;6 321 UUU 5.60. ( ) ( )3;03; ∪−∞− : lồi; ( ) ( )∞∪− ;30;3 : lõm; Điểm uốn ( ) ( ) ( )0;3,0;0,0;3 321 UUU − 5.61. ( )( )ππ 12;2 +kk : lồi; ( )( )ππ kk 2;12 − : lõm; Uốn tại πkx = 5.62. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 3 1;0 e : lõm; ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∞;1 3e : lồi; Điểm uốn ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 33 2 3;1 ee U 5.63. ( )0;∞− : lồi; ( )∞;0 : lõm; Điểm uốn ( )0;0U 5.64. ( ) ( )∞−∪−∞− ;13; : lồi; ( )1;3 −− : lõm; Điểm uốn ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛− e U e U 2;1,10;3 231 5.65. 0,2 == yx 5.66. 0,3,1 === yxx 5.67. 1,2 =±= yx 5.68. 1,1 =−= iphảtrái yy 196 5.69. xyxyx =−=±= iphảtrái ,;1 5.70. 22,2 −=−= xyy iphảtrái 5.71. 1,0 == yx 5.72. 2=y 5.73. 0,1;0 === iphảtrái yyx 5.74. 0=y 5.75. ππ +=−= xyxy iphảtrái , 5.76. ay = 5.77. Hàm lẻ, chỉ cần xét 0≥x . Tiệm cận đứng 1±=x . Không có tiệm cận xiên. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 3max3min 2 3,3; 2 3,3 yy ; Uốn: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 3,3, 2 3,3 21 UU 5.78. Điểm uốn ( )2;12,1 à±U ; Tiệm cận 0=x 5.79. ( ) 20max −=y ; Tiệm cận 0,2 =±= yx 5.80. ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ±±=−=− 2 3;32,0;0,12max,12 3,21min UUyy ; Tiệm cận 0=y 5.81. ( )0;0U ; Tiệm cận 0,2 =±= yy 5.82. ( ) ( )2;4&2;0 BA : điểm tự cắt; ( ) 222max =y 5.83. ( ) ( ) ( )0;3&0;0,0;3 BOA : điểm tự cắt; ( ) 21max =−y 5.84. ( ) ( ) 10,01 minmax −==− yy 5.85. ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 33min 100 12;12, 2 36 Uy ; Tiệm cận 2=x 5.86. ( ) ( ) 20,01 maxmin ==− yy , ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− 1; 2 1U ; Tiệm cận 1=y 5.88. ; 524 533 4 539; 32 3 max + −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −±= ay xa xaxy 524 533 4 539 min + −−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ay 197 Giải. , 3 2 3 2 2 xa axx y − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − = TXĐ ax 30 <≤ xa xaxy −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −±= 32 3 đồ thị hàm số gồm 2 nhánh đối xứng với nhau qua Ox. Xét 1 nhánh xa xaxy −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 32 3 1 ( ) ( ) aaxyy aax xxa aaxxy 4,0854 8 533 57,0 4 539 0 34 9184 11 1 2 3 22 1 ≈−−== ≈−=⇔ = − −+−=′ Bảng biến thiên x 0 0 0 3a − +1y′ 1y 1x 1y ∞+ ( ) ( ) 00, 38 329 2 52 3 2 >∀>′′ − +=′′ xy xax axay ⇒ hàm lõm với mọi [ )ax 3;0∈ Tiệm cận đứng ax 3= Trục Oy tiếp xúc với đồ thị ( )( )∞=′ 0y (đồ thị hình 5.1) 198 0 3a x y 2 3a Hình 5.1 5.89. Hàm tuần hoàn chu kỳ π2 , 2 22 4 3, 2 22 4 maxmin −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ππππ kyky Tiệm cận: ππ kx += 4 3 5.90. Hàm chẵn, điểm tự cắt ( ) ( ) 57,10,57,1;83,2 max2,1 ≈−± yA 5.91. ( ) ( ) −∞→+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛≈−≈ xxyUyy , 2 ; 2 ;0;856,11,285,11 maxmin ππ 5.92. TXĐ: Z∈⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − kkk , 2 12, 2 12 ππ ; tuần hoàn chu kỳ π2 ; ( )0;2 πkUk 5.93. Tuần hoàn chu kỳ π2 , ,0 2max =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ππ ky tiệm cận: πky = 5.94. Điểm tới hạn tự cắt ( ) ( ) ,44,1,0;0 1 max ≈= eeeyA tiệm cận 1=y 5.95. ( ) ( ) ( ) ( )311,311 minmin =−=−==−== xtyytx 5.96. Cho [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ayyaxyaxt −====−=∈ minmaxmin ;00,0,2;0 ππ tự cắt ( )0 2 3 >= xt π , ay =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2max π : điểm tự cắt ( )0>x nên 4 7, 4 5, 4 3, 4 ππππ=t ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ±=±= 2 , 22 ayax 199 5.97. ( ) ( ) ( ) ( )ex e yey e x ==−=−=− 11;11 maxmin , với 2,2−=t , tiệm cận 0,0 == yx 5.98. ( ) ( ) 10,10 minmin == yx (tự cắt), ( )∞→= txy 2 5.99. ( ) 00min =y 5.100. Tiệm cận xiên ( ) ; 2 311;,6 max ππ +−=−==+= tyxyxy ( ) 2 311min π−==ty , điểm uốn ( )0,3π−U Giải. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −= arctgtty tx 6 3 3 3 π Xác định ( )R∈∀∀ xt Tiệm cận: Không có tiệm cận đứng Tiệm cận xiên: ( ) ( ) xytarctgttbtx tya tt ==+−−=== +∞→+∞→ ;036lim;1lim 33 π Tiệm cận xiên thứ hai: ( ) ( ) πππ 6;636lim;1lim 33 +==+−−=== −∞→−∞→ xytarctgttbtx tya tt ( ) ( ) 10 1 633 1 63;03 2 34 2 22 ±=⇔≠+ −+=+−= ′>=′ t t tt t ttyttx ( ) 0;101 222 24 =∞±=⇔=+ −+=′ ′=′ tt tt tt x yy t t x với ( ) ( )225 2 2224 3 13 48 31 48 tt t ttt ttyx + += + +=′′ t ∞− 0 ∞+ xy ′′ − + ( )0;3π−uốnU Bảng biến thiên: 200 x -1 0 1 − +tx′ tx ∞− 0 ∞+ + + + ty′ ty xy′ xy π31−− π3− π31− 0 0-6+ +− 2 31 π+− 2 31 π−0 0 0+ +− − max 2 31 π+− min 2 31 π− uốn 0 Đồ thị: hình 5.2 π6− π6 1−=t 1=t π31−− π31− x y O Hình 5.2 5.101. Tiệm cận xiên exy += 2 , 2 51 min2 51 max 4 526 2 51, 4 526 2 51 +− +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= etyety 201 :3=t điểm uốn ( )33 5,1; eeU 5.102. hoa hồng 3 cánh. O điểm tự cắt 3 lần tiếp xúc các trục và đ−ờng thẳng 3 πϕ ±= , cực trị 2 , 6 5, 6 πππϕ = 5.103. Trong [ ]π2,0 trừ 2 πϕ = và 2 3πϕ = . Trục đối xứng 0x và 2 πϕ = ; ax ±= : tiệm cận. 5.104. 0=ϕ có cực đại bằng 2a, πϕ = cực tiểu bằng 0, cong kín đối xứng trục cực 0x, tập xác định mọi ϕ . 5.105. Tập xác định mọi ϕ , 0=ϕ có cực đại bằng ( )ba +1 , πϕ = có cực tiểu bằng ( )ba −1 5.106. Tập xác định [ ]1;1−∈t , bên phải trục 0y; Đ−ờng cong kín, max(t = 0), không có uốn, 1±=t tiếp xúc với 0y. 5.107. Hoa hồng 4 cánh. Gốc toạ độ điểm tự cắt 2 lần tiếp xúc. 5.108. đối xứng qua các trục toạ độ và xyxy =−= , ; kín, 4 điểm tự cắt ( ) ( ) ( ) ( )aaaa −− ;0,0;,;0,0; gốc toạ độ điểm cô lập. 5.109. ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−∈ 2 2; 2 2 aax ; gốc toạ độ là tâm đối xứng; x = 0 tiệm cận; uốn ( )0;0 tiếp xúc với 0x. Còn 2 điểm uốn nữa. 5.110. Đối xứng qua các trục toạ độ, trục đối xứng: các đ−ờng phân giác của các góc và trục toạ độ. Tiệm cận ( ) 2 12 =± yx , gốc toạ độ điểm tự cắt 4 lần, các nhánh đồ thị tiếp xúc với các trục toạ độ. Đ 6. Tích phân bất định 6.1. ( ) 2cos1cos ++− xx 6.2. 43ln2 ++ x x 6.3. 6 2 +xx 6.4. Cxxx +−− 2 34 34 202 6.5. Cxxx ++− 3 2 5 35 6.6. Cx xx ++−− ln2442 6.7. Cxx +8 7 15 8 6.8. C x x ++ − 53 53ln 152 1 6.9. Cxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ 13ln 2 6.10. Cxx +−− 2ln2 1 5ln5 1 6.11. 2ln21 22 + xx e 6.12. Cxxxx +−+− 3 2 7 18 5 3616 3 3 73 5 6.13. Cxxcotg +−− 6.14. Cthxx +− 6.15. Cxx +− coth 6.16. 1. Sai 2. Đúng 3. Sai 6.18. C x + 3 3 6.19. ( ) ( ) C xxxx +−−+++ 2 11 2 11 6.20. ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥+ <++−= − 0 02 xCe xCe xF x x nếu nếu 6.21. ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >++ ≤+ = 1 3 2 1 3 xCsignxx xCx xF nếu nếu 6.22. ( ) Cbax a x ++− 2sin 4 1 2 6.23. C a axbx ++ 4 2sin 2 2cos 6.24. ( ) C a bxbx ++− 4 2sin 2 cos 6.25. ( ) ( ) Cbaxa +++ +11 1 α α 6.26. Cxarctg +− 31 54 31 2 6.27. C x x +− + 31 53ln 18 1 203 6.28. Cxxx ++++ 2 2 1ln 6.29. Cx +− 5 34arcsin 2 1 6.30. Cxx ++− 173ln 2 6.31. ( ) Cxarctgxx +−−+− 31 310 315 11532ln 10 3 2 6.32. Cxx ++− 543 2 6.33. Cxxx +−+−+− 5 12arcsin 4 31 2 1 242 6.34. Cxxxxxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++++++++ 521ln252 2 1 22 6.35. ( ) Cxxxx +−+−− 12arcsin 8 1 4 12 2 6.36. ( ) Cx ++ 33 1 9 2 6.37. ( ) ( ) Cxx ++−+ 35 1 3 21 5 2 6.38. ( ) Cxxxx +−+++ 116865 35 2 23 6.39. ( ) Cxxx +++− 44 1ln442 6.40. C x x +−1 2 6.41. ( ) Cx x ++ 66 1ln 6.42. Cxth +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 ln 6.43. Carctgex +2 6.44. ( )( ) CxChxCh ++− 22 1ln 2 1 6.45. Cx +7sin 7 1 6.46. ( ) Cx ++− cos1ln 6.47. Cxtg +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 42 ln π 6.48. Cx +− cos2 6.49. 2 , 3 2 32 1 π<+ xCtgxarctg 204 6.50. Cxx +− cos2cos 5 2 5 6.51. Cx ++− cos21 6.52. Cxx ++− 2coscos2ln 2 1 6.53. Cx +lnsin 6.54. Ctgx +2ln 4 1 6.55. Ctgxetgx ++ ln 6.56. Cearctg x +−12 sin 6.57. Cx +2 3 arcsin 3 2 6.58. Cxarctg +3 3 1 6.59. ( ) Cxarctg +2 6.60. Cearctg x +2 6.61. C x xarctgx +⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +− 212 1 6.62. ( ) ( ) Cxxx +−+− 75cos 25 175sin 5 6.63. Cxxxx +−− 2cos 8 12sin 44 2 6.64. Cxxtgx ++ cosln 6.65. Cxcotgx +− 2 6.66. ( ) Cxxarctgx ++− 21ln 2 1 6.67. ( ) Carctgxxx +++ 2 12 6.68. Ctgxxxtg +− lncos 2 ln 6.69. ( ) ( ) Cxxxx +−−− arcsin1 3 13 9 2 3 22 6.70. ( ) ( ) CChxxShxxx +−−+− 1232 6.71. ( ) ( ) Cxxxxxx +−++− cos54sin2110 224 6.72. ( ) Cxxx ++− 2ln2ln2 205 6.73. Cxxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++− − 2ln3ln 4 9 27 8 22 3 6.74. Caxxaaxx +++++ 22 ln 22 6.75. Ce ba bxbbxa ax ++ − 22 cossin 6.76. Ce ba bxbbxa ax ++ + 22 sincos 6.77. ( ) Cxexxx x +−+ 2 cos1sin 6.78. ( ) Cxxx +− 2 lncoslnsin 6.79. ( ) Cxxx ++ 2 lncoslnsin 6.80. Cexx x +−− arccos 2 2 1 6.81. ( ) Cexxxxx x +++++++− −!8!86.7.87.88 5678 Κ 6.82. Cxxxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+− 432 3ln 8 3ln 4 3ln 4 23 6.83. Cxxxxxx +⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− 5ln3645940530 3 8 16 1 2235 6.84. Cxxx +++ sin 15 8cos4cos3 24 6.85. Cxxxx ++++− 16 52sin 96 15sin10sin8 24 6.86. Cxtg x x x x ++−− 2 ln 8 3 sin8 cos3 sin4 cos 24 6.87. ( ) 21 2 1 2 xex −+− 6.88. ( ) Cex x +−12 206 6.89. Cexxxxx x +⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+−+− 120120602052 2 1 2 3 22 5 6.90. C x x e xx +−+−+ 11lnln1 2 2 6.91. ( ) Cxxxx ++− sin4cos22 6.92. ( ) ( ) Cxxxx +++ 2cos 4 12sin 22 6.93. ( ) Cxarctgxxx ++−+ sin2sin2sin1lnsin 2 6.94. ( ) Cxarctgxx ++− 422 1ln 4 1 2 1 6.95. ( ) Cxxxarctgx +++−+ 1ln212 6.96. ( ) ( ) C x xxxxsign ++++−− 1 2arcsin112 6.97. ( ) Cxxf += 2 6.98. ( ) Cxxf −+= 1 2 ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤+− >+ = 0 2 0 2 3 xCxx xCx xg nếu nếu 6.99. ( ) Cxxxf +−= 2 cos 12 4 ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤−+− >−+ = 01 2 cos 12 0 2 cos 12 4 4 xCxx xCxx xg nếu nếu Giải. Tích phân 2 vế của ( ) ( ) xxgxf sin=′−′ nhận đ−ợc ( ) ( ) 1cos cxxgxf +−=− , cùng với ( ) ( ) 6 4xxgxf =+ ta nhận đ−ợc 207 ( ) 22 cos 12 1 4 cxxxf +−= ( ) 22 cos 12 1 4 cxxxg ++= hay ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 cos 12 1 2 cos 12 4 4 > ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −+= +−= x cxxxg cxxxf nếu Từ điều kiện ( ) ( ) 022 =−′−′ xgxf , với 0>x , ta có ( ) ( ) 0=−′−′ tgtf hay ( ) ( )tftg ′−=−′ , lấy tích phân ( ) ( ) 2ctftg +−=−− hay ( ) ( ) 2ctftg −−=− hay ( ) ( ) 2cxfxg −=− hay theo (1) ( ) ( )3 2 cos 12 2 4 ccxxxg −+−=− Ta giả thiết thêm ( )xg liên tục tại 0=x , theo (2) và (3) ( ) ( ) ( ) cxgccxgg x x x x −==−+−=−= > → > → 2 1lim 2 1lim0 0 0 2 0 0 cho ta 122 −= cc hay từ (3) ta nhận đ−ợc ( ) cxxxg −+−=− 1 2 cos 12 4 , với 0>x , tức là hàm ( )xg đ−ợc xác định cả với 0≤x , trong đó (thay ( )0≥− xx thành ( )0≤xx ) ( ) cxxxg −+−= 1 2 cos 12 4 6.100. ( ) 2 2xCxf −= ; ( ) Cxxxg −−= 2 sin 4 6.101. C x x ++ − 1 2ln 3 1 6.102. Cxx +++− 12ln 10 12ln 5 2 6.103. Cxxx +++−+ 2ln 2 32ln 2 11 2 3 2 208 6.104. ( ) ( ) Cxarctgxxx +−++−+ 38106ln3 2 6.105. ( )( )( ) Cx xx ++ +− 4 3 2 31ln 12 1 6.106. ( ) ( )( ) Cx xx ++ −− 10 37 1 132ln 15 1 6.107. ( ) ( ) C x xx +−+ 11 29 3213ln 33 1 6.108. ( )( ) C x xxxxx ++ −+− + 2 112 ln 2 22 6.109. ( )( ) Cxx xxx ++−+ ++− 1ln813 51298 3 2 6.110. Cxx +−+ − 1ln 4 4 6.111. Cxarctg xx xx +−++− ++ 3 12 3 1 1 12ln 6 1 2 2 6.112. Carctgxxx +−++− 2 11ln 4 11ln 4 3 6.113. ( ) Cxarctgxarctgxx +−+++− 3 12 3 2 33 11ln 2 6.114. ( ) Cxx xx ++−+ ++ 12 1 1 12ln 4 1 2 2 6.115. Carctgx x xx +−−+− 5 24 15 3515 6.116. ( )( ) Carctgxx xx ++++ 81718 533 22 2 6.117. ( ) Cxxx +++− 1ln22 6.118. Cxxxxx ++−−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− 1ln 2 11 2 22 209 6.119. 332 2 1 1, 1 2 3 12 3 2 12 1ln 3 1 − +=+−+ +++− ++ x xtC t ttarctg tt tt 6.120. C x xx +++ −+++ 24 24ln242 6.121. ( )( ) Cxxx +−+− 4 2852 45 4 6.122. C x x x x +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 5 9 5 4 1 9 51 4 5 6.123. ( ) Cxxx +++− 663 1ln663 6.124. Cxxx +−+++++ 112ln312312 2 3 663 6.125. Cxxxx +−−−+− 5 21arcsin 8 111 4 21 2 6.126. Cxxxxxxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++++++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− 1 2 1ln 16 71 24 1 12 5 3 22 2 6.127. Cxxxxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++−++ 4ln24 4 2 223 6.128. Cxxxxx +−+−+++− 2 1arcsin421 6 1952 22 6.129. C xxx x + +++− + 121 1ln 2 6.130. Cxxxx +−+++ 1ln6236 6 1 2 1 3 1 6 1 6.131. ( ) ( ) ( ) Cxxx ++++−+ 3538311 15 31 4 31 11 3 6.132. Ctarctgtarctg tt tt t t +−+++++ +−++ − 3 12 32 1 3 12 32 1 1 1ln 12 1 1 1ln 6 1 2 2 6.133. ( ) C x x +−− 2 3 23 4 2 210 6.134. x xtCtarctg tt tt 3 3 2 2 1, 3 12 3 1 12 1ln 6 1 +=++−+− −+ 6.135. Cxx +− 8 4sin 4 2sin 6.136. Cxx +− 12 6cos 4 2cos 6.137. ( ) ( ) Cxx ++−+− 4 32cos 8 14cos 6.138. Cxxxxx +++++ 80 10sin 24 6sin 16 4sin 16 2sin 4 6.139. Cxshxsh +− 12 6 16 8 6.140. Cxarctgsh +2 2 1 6.141. C x + cos 2 6.142. Cxx +− 2coscosln2 6.143. C xx +− 42 sin4 1 sin 2 6.144. ( ) Cxtgxtg +2ln 8 1 6.145. Cxx +− 3 sinsin 3 6.146. Cxx +− 5 cos 7 cos 57 6.147. Cxxx ++− 24 2sin 10 2sin 16 2sin 12108 6.148. Cxxx +−+− 3 57 cos3 5 cos24 7 cos16 6.149. Cxch + 4 4 6.150. Cchxxchxch ++− 35 5 2 6.151. Cxxxx +++− 320 2sin 2048 8sin4sin824 5 6.152. Cxtg x x +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ 42 ln 2 1 cos2 sin 2 π 6.153. C x x x xtg ++−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 2cos2 sin sin 1 42 ln 2 3 π 211 6.154. C chx xth ++ 1 2 ln 6.155. Carctge xch shx xch shx x +++ 4 3 8 3 4 24 6.156. ( ) Cx +− 21cos36 1 6.157. ( ) Cxx x ++++ − cos12 1 cos1 cos1ln 4 1 6.158. Cxx ++ cossinln 6.159. Caxaa ++− 2 sinlnsin2cos 6.160. C xtg xtg + −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 5 2 3 5 2 3 ln 15 1 6.161. Cxtgarctg +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 25 3 15 2 6.162. Cxtg +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ 2 1ln 6.163. C xtg xtg + −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 3 2 5 2ln 6.164. ( ) CeC xth xth x ++−=+ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −21ln 2 1 3 2 1 2ln 2 1 6.165. 22 11 122 11 22 11 ,, ba bbaaccC ba abbaB ba bbaaA + +−=+ −=+ += 6.166. C xtg xtg x + +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− 1 2 2ln2 6.167. ( ) Cxtgxxx +⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −−++− 82212sincosln212 π Đ 7. Tích phân xác định và ứng dụng 212 7.1. 2 9=nσ 7.2. 1. 24 125 2 175 4 116 nn ++ 2. ∑ = n k n k n 1 1 7.3. 1. 1−e 2. 1 3. xsin 4. 2 1 7.4. 2ln 2 1 7.5. 64 7.6. 6 π 7.7. e 4 Giải. ( ) ( )( ) ( ) ,1211121! !2 nn n n n n nnnnn nnnn n n n S ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=+++== ΛΚ Từ đó ( )11 1ln ln 1 1 ∑ ∑ = = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = n k n k n n kf nn n k S với ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ n k n kf 1ln hay ( ) ( )xxf += 1ln vế phải của (1) là tổng tích phân của hàm ( ) ( )xxf += 1ln trên [ ]1;0 với phân hoạch chia đều, điều kiện n k ik =ξ là mút bên phải của đoạn chia, cho nên ( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1ln2ln 1 1ln1lnlim xx dx x xxxdxxSn n ++−= +−+=+= ∫∫∞→ 12ln2 −= , hay 12ln2ln −=S cho ta e S 4= 213 7.13. 1. IJ > 2. JI > 3. JI > 4. IJ > 7.16. 1. 0 2. a2sin− 3. b2sin 7.17. 412 xx + 7.18. 812 2 1 2 1 3 x x x x + − + 7.19. ( ) ( )xxxx 33 sincoscoscoscossin ππ −− 7.20. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −12 2 3 3 2x 7.21. 15 19 7.22. 6 π 7.23. 4 45 7.24. 2ln 3 7.25. 12 π 7.26. 2ln 7.27. 4 π 7.28. 2ln27 + 7.29. 21 52ln + + 7.30. 2ln2− 7.31. 1sin 7.32. 12 25 7.33. 6 12 12 1 +Sh 7.34. 2ln 7.35. 33 π 7.36. ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+− 23ln2136 349π 7.37. 12312 −+π 7.38. ( ) 2 1cos1sin −e 7.39. 1 7.46. có 7.48. 0 7.49. 0 7.50. 2 π 7.51. 0 7.52. 9 sin6 π 7.53. 16 π 214 7.54 2 4 π− 7.55. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 ln 2 1 e 7.56. 4 1 7.57. 1 7.58 13 6 +−π 7.59. ( )122 − 7.60. 9 32π 7.61. 2 6 1 2 1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ arctgarctg 7.62. 7 249ln 2 1 + 7.63. 7 468− 7.64. 270 29 7.65. 6 1 7.66. 1024 2252ln 8 3 − 7.67. 9 72ln 8 3 − 7.68. ( )2 11 1 1ln 1 + −−+ ++ n nn n n nn 7.69. 2 3 3 2 −π 7.70. 4 π 7.71. ( )1 5 3 −πe 7.72. ( )112 −− e 7.73. 27 5 3e , xác định thêm ( ) 00 =f 7.74. 3 3 4 −π 7.75. 28 3 a 7.76. 322 3ln π− 7.77. 2ln 8 π 7.78. 22 ba − π 7.79. α π sin2 7.80. 2 5 2 2 3 7.81. n4 7.87. Giải. Do giá trị hàm số ( )xf bằng nhau trên [ ]ba; đối xứng qua trung điểm 2 ba + nên ( ) ( )( ) ( )xbafaxbfxf −+=−−= 215 Nên ( ) ( )∫∫ −+== b a b a dxxbaxfdxxxfI , đổi biến [ ]( )bax ;∈ uxba =−+ , dxdu −= , abu →: , cho ta ( ) ( ) ( ) ( ) IduufbaduufubaI b a b a −+=−+= ∫∫ , hay ( )∫+= b a duufbaI 2 7.89. ( ) ( )αβ +−+ xfxf 7.90. ( )( )signaa 21ln22 ++ 7.92. 21 2 ε π − 7.93. 2200 7.94. 4 2π 7.95. ab π4 7.96. π22 7.100. Giải. Lấy tích phân hai vế của đẳng thức ( ) ( )xfTxf =+ , ta nhận đ−ợc ( ) ( )∫∫ =+ x x x x dttfdtTtf 00 hay ( ) ( )∫∫ = + + x x Tx Tx dttfduuf 00 hay ( ) ( ) ( )∫∫∫ =− ++ x x Tx x Tx x dttfdttfdttf 0 0 00 , tức là ( ) ( ) ( )1CtFTxF =−+ , Trong đó ( )∫ + = Tx x dxxfC 0 0 Gọi ( ) ( ) ( )2baxxFx −−=ϕ , với T Ca = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) baxbTxaxFTxFxTx ++−+−−+=−+ ϕϕ 216 0=−=−= T CTCaTC Nh− vậy ( )xϕ là hàm tuần hoàn chu kỳ T, từ (2) ta nhận đ−ợc biểu diễn ( ) ( ) baxxxF ++= ϕ (đpcm) 7.104. 2005 7.105. 221 ba b ++ 7.106. 7 7a 7.107. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++−− 4 ln 2 1 3 3 πttgtgtttg Giải. ( ) ∫ ∫∫∫ −= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − =−== t ttt xtg xdtgxtg dx x x xtgdx x xtgdx x xtgtI 0 2 4 0 2 2 4 0 2 4 0 4 , 1 cos 12cos1cos22cos Đặt ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∈→= 4 ;00:, 4 πtttguutgx , ta có ( ) ( ) tt tttgtttg tgt tgttgtttg u dtduu u duutI tgttgttgt sincos cossinln 2 1 31 1ln 2 1 3 1 1 1 33 0 2 0 2 0 2 4 − ++−−=− ++−−= −++−=−= ∫∫∫ hay ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++−−= 4 ln 2 1 3 3 πttgtgtttgtI do ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∈ 4 ;0 πt nên ( ) 0>tI , cho ta ( ) 3 3 34 ln 23 tgtttgtgtttgttg +=+>⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + π , hay ( )3 3 2 4 ln 2 +>⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ttgtgtttg π , tức là 217 ( )⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +>⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + 332exp4 2ttgtgtttg π 7.109. ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− ∑ = 2ln1 2 1 1 n k kn k 7.110. 2 7.111. b aln 7.112. 12 125 7.113. 12 − 7.114. ( ) aa a a a ln 11 22 −−− 7.115. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 3 32 2 πa 7.116. 3 25 7.117. 3 2 2 −π 7.118. 72ln 2 153 2 15 −+⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ arctgarctg 7.119. 4 7.120. ( )211 2 ae a +− − 7.121. 3 1 2 −π 7.122. 2ln 2ln1− 7.123. 9 24 3 8arcsin66 −−π 7.124. 13ln62ln12 +− 7.125. 1. 4 9 2. 4 9 7.126. a yayay y yaa ay 0220 2 0 0 2 0 2 0 arccos2 1 2 1ln +−+−+− 7.128. 2 3 2aπ 7.129. 8 3 2aπ 7.130. ( ) ab ba 8 3 222 −π 7.131. 60 5a 7.132. 15 8 5a 7.133. ( ) 4 4 π− 218 7.134. 3 4 2a 7.135. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − π π 4 2 2a 7.136. ( )31322224 ϕϕπ −a 7.137. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ − 21 2 11 2 ϕϕ a 7.138. ( )12 222 4 ϕϕ kk ee k R − 7.139. 4 2aπ 7.140. 2 3 2aπ 7.141. 2 2 22 ba +π 7.142. 22a 7.143. 3 33 π− 7.144. 3 63322 −+πa 7.145. a xab 0arcsin 2 7.146. 2 2 BAC − π 7.147. a babarctg ba baab 4arcsin2 22 22 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −−ππ 7.148. 22aπ 7.149. 2a 7.150. 28 2aπ 7.151. 222 ayx ≥+ 7.152. 74 7.153. 3 14 7.154. 27 134 7.155. 3 25 7.156. 8,10 7.157. sha 7.158. ash2 7.159. 4 3ln4+ 7.160. 3ln 7.161. ( )32ln + 7.162. 4 1+π 7.163. 2 1 219 7.164. 1,0,,1 −≠∈+= nn n n Zα 7.165. a6 7.166. ( ) ab ba 334 − 7.167. a8 7.168. ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −12 2 1 2 3 0tch 7.169. ( )11 02 −+ αϕαα ea 7.170. 02tsh 7.171. ( ) ( )∫ ′+′′′21tt dttftf 7.172. 3 3π 7.173. a6 7.174. 1. 33 4 2. 8 7.175. 1. 0t 2. 0ln t 7.176. 9 16ay = 7.177. aπ 7.178. ( )12211 ϕϕ kk eeka −+ 7.179. a8 7.180. ( )328 − 7.181. 2 3 aπ 7.182. 3 16a 7.183. 2 1ln1 200 2 00 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++++ ϕϕϕϕ a 7.184. 3 1558 −a 7.185. 0, >= ccer aϕ 7.186. 1. 8 2. ( ) aa ++12ln 2 3. ( ) ba aba +−+ 434 7.187. 0 22 tba + 7.188. ( ) ( )( )1122 23233 tttta +−+ 220 7.189. 02sht 7.190. 10 7.191. ( ) 11 2 22 12 ++− b a k kzz 7.192. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+− 1 22 1 2 2 ln t ttt 7.193. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++++ 200200 212ln2 121 2 tttta 7.194. a9 7.195. 126 7.196. 36 7.197. 6 432 −= πHRV z x y H D C B A O x R -R Hình 7.9 Giải. (xem hình 7.9) Do tính đối xứng, gọi 1V là phần thể tích của vật với 0,, ≥zyx , 12VV = Gọi ( )xS là diện tích mặt cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox với 0>x ; mặt cắt là hình chữ nhật ABCD. Với 1 cạnh H R xRH R xzADxRAB −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −==−= 1,22 221 ( ) ( )xRxR R HxS −−=⇒ 22 cho ta ( )∫ −−= R dxxRxR R HV 0 222 , Đổi biến 2 0,sin π≤≤= ttRx Cho ta ( ) ∫∫∫ ++=−= 2 0 22 2 0 2 2 0 22 coscos2 2 2cos12cossin12 πππ ttdHRdttHRtdttHRV ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 3 1 4 2 2 πHR hay 6 432 −= πHRV 7.198. 2paπ 7.199. 2 3aπ 7.200. 7 3 2abπ 7.201. 4 2π 7.202. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + a bShaba 2 22 2π 7.203. 2 3π 7.204. 3ln 2 π 7.205. ( )38 2 a +ππ 7.206. ( )2ln86−π 7.207. ( ) 4 2−ππ 7.208. π20 7.209. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− 4 2ln2 5 2ln 6 2π 7.210. 2 3 4 abπ 7.211. ( )ahh a b 3 3 2 2 2 +π 7.212. ( ) 6 3103 ππ −R 7.213. 24 4ln24353 −aπ 7.214. 2 2ln1615−π 7.215. 3 2ln24173 −aπ 7.216. 21 154 22 −ππ 7.217. ( )2ln863 −aπ 222 7.218. 3 8 3aπ 7.220. 1−eπ 7.221. 2lnπ 7.222. ( ) 228 π+n 7.223. ( )1sin1−π 7.224. 3 15503 ππ −a 7.225. a. ( ) 30 5ab −π b. ( )( ) 6 3abab −+π 7.226. a. 2 2π b. 22π 7.227. a. ( ) 4 82 −ππ b. 4 2π 7.228. a. ( ) 8 2 3a+π b. 2ln3aπ 7.229. a. ( )3ln27444 −π b. ( ) 3 35274 ππ − 7.230. a. 15 32 3pπ b. 3 4 3pπ 7.231. a. ( )3ln924 +π b. ( ) 3ln13ln23 −π 7.232. a. 8 3 2 23 ππ + b. 2 3π 7.233. a. 3 4 2abπ b. 3 4 2baπ 223 7.234. a. 105 32 2abπ b. 105 32 2baπ 7.235. 1. ππ 43 − 2. 2π 7.236. 28 3 2π 7.237. 1. 3 15 272 pπ 2. 4 45 3pπ 3. 15 264 3pπ 7.239. 3 2π 7.240. 21 4 3aπ 7.241. 322 aπ 7.242. 3 8 3aπ 7.243. 4 32aπ 7.244. 9 316 32aπ 7.245. 4 32aπ 7.246. abHπ2 7.247. c abH 2π 7.248. abcπ 3 4 7.249. 4 3aπ 7.250. 3 16abc 7.251. 2 2ba 7.252. 3 98π 7.253. 27 1102 3 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −π 7.254. ( )( )21ln22 ++π 7.255. 3 56π 7.256. ( )baa −π2 224 7.257. 5 128 2aπ 7.258. π2,59 7.259. ( ) 6 3ln162ln95 +−−π 7.260. 9 3ln920 +π 7.261. ( ) 8 12ln7211 ++π 7.262. 1. 23 aπ 2. 5 356 2aπ 7.263. 1. 5 1243 2 −aπ 2. 26 2aπ 7.264. 1. ( )224 2 −aπ 2. 224 aπ 3. 28 aπ Đ 8. Tích phân suy rộng 8.1. 2 8.2. Phân kỳ 8.3. 3ln2 8.4. Phân kỳ 8.5. ( )32ln 2 ++π 8.6. 4 9π 8.7. 2ln 1 8.8. Phân kỳ 8.9 .Phân kỳ 8.10. 2 3− 8.11. 4 8.12. Phân kỳ 8.13. 12 −− e 8.14. Phân kỳ 8.15. 8 2π 8.16. π2 225 8.17. 2 1 8.18. 4 π 8.19. Phân kỳ 8.20. 23 1 e 8.21. Phân kỳ 8.22. Phân kỳ 8.23. Phân kỳ 8.24. 31 2π 8.25. Phân kỳ 8.26. 1 8.27. 2ln 1 2 8.28. Phân kỳ 8.29. Phân kỳ 8.30. π 8.31. 178 265 8.32. ( )12ln2 − 8.33. 2 π 8.34. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− 4 3arcsin 2 π 8.35. ( )12 2 −π 8.36. 2 nếu ab ≤ ; b a2 nếu ab ≥ 8.37. ( ) ( )!! !!1 n n − nếu n lẻ; ( ) ( )2!! !!1 n n π− nếu n chẵn 8.38. 2 π 8.39. 9 7 8.40. ( ) 2 2lnπ− 8.41. ( ) 2 2ln2π− 8.42. ( ) n n 4 1 1π−− 8.43. 2 π 8.44. 120 1 8.45. 6 π− 8.46. ( )2ln12 − 8.47. ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+ 3 5 23 1 6 7ln arctgπ 8.48. 22 π 8.49. 3 2 8.50. 9 3π 8.51. 22 ba b + 226 8.52. n! 8.53. 4 3π 8.54. 33 2π 8.55. ( ) 4 323 2 ln3 2 +− π 8.56. 18 3π 8.57. 0 8.58. 4 π 8.59. 5 22 8.60. 7 10 8.61. ( ) 2 ba +π 8.62. 2 8.63. 1 8.64. 2 8.65. 1 8.66. 2 1 4 +π 8.67. 1 2 −π 8.68. 24 8.69. 5 π 8.70. 1 1 2 1 − + π π e e 8.71. 23 aπ 8.72. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 2 1 8 9 2 πa 8.73. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 2 22 πa 8.74. π4 8.75. 3 8 8.76. 2 8.77. 2 2 π+ 8.85. Hội tụ 8.86. Hội tụ 8.87. Phân kỳ 8.88. Phân kỳ 8.89. Hội tụ 8.90. Hội tụ 8.91. Phân kỳ 8.92. Hội tụ 8.93. Hội tụ 8.94. Phân kỳ 8.95. Hội tụ 8.96. Phân kỳ 8.97. Hội tụ 8.98. Hội tụ 8.99. Phân kỳ 8.100. Phân kỳ 8.101. Hội tụ t−ơng đối 8.102. Phân kỳ 227 8.103. Hội tụ t−ơng đối 8.104. Hội tụ tuyệt đối với 1≥α , t−ơng đối với 12 −≤<− α 8.105. Hội tụ tuyệt đối với 0>α , t−ơng đối với 01 ≤<− α 8.106. Hội tụ t−ơng đối 8.107. Hội tụ t−ơng đối 8.108. Hội tụ t−ơng đối 8.109. Phân kỳ 8.110. Hội tụ tuyệt đối với 2<α , t−ơng đối với 32 ≤≤α 8.111. Hội tụ tuyệt đối với 1>α , t−ơng đối với 1 2 1 ≤≤α 8.112. Hội tụ tuyệt đối với 12 −<<− α , t−ơng đối với 01 <≤− α Đ 9. Chuỗi số 9.2. 1 9.3. 18 1 9.4. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++ mm 1... 2 111 9.5. n nS ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 5 1 2 1 2 1 ; 2 1=S 9.6. ( )1 1 3 1 4 1 4 3 − −−+= n n nS ; 4 3=S 9.7. 3 1 3 1 +−= nSn ; 3 1=S 9.8. ( )( )⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ++−= 21 1 2 1 2 1 nn Sn ; 4 1=S 9.9. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= 14 11 4 1 n Sn ; 4 1=S 9.10. 28 1; 17 1 4 1 7 1 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= SnSn 9.11. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++−= 2 1 1 1 2 1 4 3 nn Sn ; 4 3=S 9.12. ( )( )( )( )43214 34 32 1 ++++ +− nnnn n ; 32 1=S 9.13. ( )21 11 +−= nSn ; 1=S 228 9.14. 21 121 ++++−= nnSn ; 21−=S 9.15. ( )⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += n nSn 2 1ln ; 2ln−=S 9.16. 3ln; 3 2ln −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += S n nSn 9.17. ( ) 1;!2 11 =+−= SnSn 9.18. 4 ; 1 π=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += Sn narctgSn 9.20. 36 5 9.21. 36 1− 9.22. 90 1 9.23. 28 31 9.33. Hội tụ 9.34. Hội tụ 9.35. Hội tụ 9.36. Phân kỳ 9.37. Phân kỳ 9.38. Phân kỳ 9.40. Hội tụ 9.41. Hội tụ 9.42. Phân kỳ 9.43. Hội tụ 9.44. Phân kỳ 9.45. Hội tụ 9.46. Hội tụ 9.47. Hội tụ 9.48. Phân kỳ 9.49. Phân kỳ 9.50. Hội tụ 9.51. Hội tụ 9.52. Phân kỳ 9.53. Hội tụ 9.54. Hội tụ 9.55. Phân kỳ 9.56. Hội tụ 9.57. Phân kỳ 9.58. Hội tụ 9.59. Phân kỳ 9.60. Hội tụ 9.61. 1. 2 1>α 2. 2 1>α 3. 3 1−>α 4. 3 1>α 5. 3 2>α 229 9.62. Hội tụ 9.63. Hội tụ 9.64. Hội tụ 9.65. Phân kỳ 9.66. Phân kỳ 9.67. Hội tụ 9.68. Hội tụ 9.69. Hội tụ nếu 10 << a , phân kỳ nếu 1≥a 9.70. Phân kỳ 9.71. Hội tụ 9.72. Hội tụ 9.73. Hội tụ 9.74. Hội tụ với mọi a 9.75. Hội tụ 9.76. Phân kỳ 9.77. Hội tụ 9.78. Hội tụ 9.79. Hội tụ 9.80. Hội tụ 9.81. Hội tụ 9.82. Phân kỳ 9.83. Phân kỳ 9.84. Hội tụ 9.85. Hội tụ với 2>α , phân kỳ với 2≤α 9.95. Hội tụ t−ơng đối 9.96. Hội tụ tuyệt đối 9.97. Hội tụ t−ơng đối 9.98. Hội tụ t−ơng đối 9.99. Phân kỳ 9.100. Hội tụ t−ơng đối 9.101. Hội tụ t−ơng đối 9.102. a. 1>α b. 10 ≤<α 9.103. a. Không b. Ν∈≠ kk,α 9.104. a. 1>α b. 10 ≤<α 9.105. a. 1>α b. 10 ≤<α 9.106. a. 2>α b. 20 ≤<α Giải. a. Xét hội tụ tuyệt đối ∑∞ =1n na , ( ) ( ) α ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= n nan 26.4.2 125.3.1 Κ Κ Theo dấu hiệu Raabe (nếu 0>na ( )N∈n và tồn tại 230 q a an n n n =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − +∞→ 1lim 1 thì với 1>q chuỗi ∑∞ =1n na hội tụ, còn khi 1<q chuỗi phân kỳ) ta có ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ∞→+∞→ 1 12 22lim1lim 1 α n nn a an nn n n ,1 212 12 1 1 12 11 lim >=+⋅+ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= ∞→ α α n n n n n tức 2>α Chuỗi hội tụ tuyệt đối, 2<α chuỗi không hội tụ tuyệt đối với 2=α . Chuỗi ( ) ( )∑ ∞ = ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − 1 2 26.4.2 125.3.1 n n n Κ Κ phân kỳ theo dấu hiệu Gauss (nếu 0>na ( )N∈n và δ γβα ++ ++= 11 nna a n n n , trong đó 0, >< δγ cn , thì a) Chuỗi ∑∞ =1n na hội tụ nếu 1>α , phân kỳ nếu 1<α b) Khi 1=α và 1>β chuỗi hội tụ, còn 1=α , 1≤β chuỗi phân kỳ) b. Khi 0≤α rõ ràng chuỗi ( )∑∞ = −− 1 11 n n n a phân kỳ vì không thoả mãn điều kiện cần ( )1≥na . Khi 0<α chuỗi ( )∑∞ = −− 1 11 n n n a hội tụ theo dấu hiệu Leibniz ( ) ( )n nan 26.4.2 125.3.1 Κ Κ −= đơn điệu giảm: 1+> nn aa ; ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= nk an 2 11 2 11 4 11 2 11 ΚΚ có ∑ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= n k n k a 1 2 11lnln có nn 2 1~ 2 11ln −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − (khi ∞→n ) nên −∞→naln tức là 0↓na (khi ∞→n ) 231 Cùng với phần a) ta có miền hội tụ tuyệt đối 2>α , hội tụ t−ơng đối với 20 ≤<α Đ 10. Chuỗi hàm, d∙y hàm 10.1. 0)( =xf 10.2. 3 )( 2xxf = 10.3. xxf =)( 10.4. 0)( =xf 10.5. 2 1)( x xf = 10.12. Hội tụ đều đến 0 10.13. Hội tụ đều đến 0 10.14. Hội tụ đều đến xxf =)( 10.15. Hội tụ đều đến tgx 10.16. Hội tụ đều trên R 10.17. Không hội tụ dều đến 0)( =xf 10.18. Không hội tụ dều đến 0)( =xf 10.19. Không hội tụ dều đến xxf ln)( = 10.20. Hội tụ tuyệt đối với 1>x 10.21. Hội tụ tuyệt đối Rx∈∀ 10.22. Hội tụ t−ơng đối với 62 << x 10.23. Hội tụ t−ơng đối với 0>x 10.24. Hội tụ t−ơng đối Ζ∈≤− kkx , 4 ππ 10.25. Hội tụ tuyệt đối 2 7 2 1 <<− x 10.26. Hội tụ t−ơng đối 3<x 10.27. Hội tụ với Ζ∈= kkx , 10.28. Hội tụ t−ơng đối Rx∈∀ 10.29. Hội tụ tuyệt đối Rx∈∀ 10.30. Hội tụ tuyệt đối 0≥∀x 10.31. Hội tụ đều 10.32. Hội tụ đều 10.33. Hội tụ đều 10.34. Hội tụ đều 10.35. Hội tụ đều 10.36. Hội tụ đều 10.37. Hội tụ đều 10.38. Hội tụ đều 10.39. Hội tụ đều 232 10.40. Hội tụ đều 10.41. Hội tụ đều 10.42. Hội tụ đều 10.43. Hội tụ đều 10.44. Hội tụ đều 10.45. Không hội tụ đều 10.46. Không hội tụ đều 10.47. Không hội tụ đều 10.48. Hội tụ đều 10.49. Hội tụ đều 10.50. Hội tụ đều 10.51. Hội tụ đều 10.52. Không hội tụ đều 10.53. Hội tụ đều 10.61. 4 3 10.62. 2 π 10.64. 1=R 10.65. 2=R 10.66. 3e 10.67. ∞=R 10.68. 1=R 10.69. eR = 10.70. e R 1= 10.71. 2eR = 10.72. 9=R 10.73. 2;0;20;1 ==<<= xxxR hội tụ tuyệt đối 10.74. ; 2 1 2 7; 2 3 −<<−= xR Khi 2 1, 2 7 −=−= xx Phân kỳ 10.75. 1,11;1 =<<−= xxR hội tụ t−ơng đối, 1−=x phân kỳ 10.76. 2,42;3 −=<<−= xxR hội tụ t−ơng đối, 4=x phân kỳ 10.77. 0,2,02;1 =−=<<−= xxxR hội tụ tuyệt đối 10.78. 1,11;1 =<<−= xxR phân kỳ, 1−=x hội tụ t−ơng đối 10.79. 2,0,20;1 ==<<= xxxR phân kỳ 10.80. , 3 2 3 4; 3 1 −<<−= xR 2 mút phân kỳ 10.81. Rx −= hội tụ tuyệt đối nếu ba < t−ơng đối nếu ba ≥ Rx = hội tụ tuyệt đối nếu ba < , phân kỳ nếu ba ≥ 10.82. 1;11;1 −=<<−= xxR hội tụ tuyệt đối nếu 0≥a và phân kỳ nếu 1;0 =< xa hội tụ tuyệt đối nếu 0≥a , t−ơng đối nếu 01 <<− a 10.83. 0;0 == xR 10.84. 33 exe <<− 10.85. 0>x 233 10.86. 2 11 >−x 10.87. Ζ∈+<<+ kkxk ; 3 2 3 ππππ 10.88. Ζ∈<− kkx ; 4 ππ 10.93. ( ) ( ) ( ) 2,12!!22 !!32 2 1 2 2ln 2 2 2 1 12 =−− −−++ ∑∞ = − − R n x n nxx n n n n 10.94. ( ) ( ) ( ) 21,12!!2 !!1222 1 2444 12 42 =−+ −++− ∑∞ = +++ Rxx n x n nxx n nn n 10.95. ( ) ( ) 1,12 1 1 2 1 =− −∑∞ = − Rx nnn n n 10.96. ( ) ( )( ) 1,!!122 !!321 6 5 2 121 3 =+ −−+++ ∑∞ = +− Rx nn nxx n n n n 10.97. ( ) ( )∑∞ = + =+− 0 2 1,11 n nn Rxn 10.98. ( ) ( ) 1, 4 1121 0 =−+−∑∞ = Rxn n n n 10.99. ( ) 1, 54 11 2 0 1 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+∑∞ = + R x n n n n 10.100. 3 2, 3 2 2 3 2 3ln 1 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+∑∞ = R n xn n nn 10.101. ( ) ( ) ∞=+ −− + ∞ = +∑ Rxn nn n n , !122 151 22 0 12 10.102. ( ) ( )( ) ∞=+ −− + ∞ = +∑ Rxn nn nn , !124 1331 12 1 21 10.103. ( )( )( ) 1,121 0 1 =−−∑∞ = +− Rx n nn 10.104. ( ) ( ) ( ) ( ) 3,3911 0 22 =−+−∑∞ = +− Rxn n nnn 234 10.105. ( ) ( ) ( )∑∞ = + =− −−+ 1 2 13 2,52! !!121 2 1 n n n n Rx n n 10.106 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∞= + +−++−+++ ∑ ∑∞ = ∞ = ++− R n xx n x n n nnn n nn , !12 1212sin1 !2 212cos1 2 2cos1 1 0 222 12 12 10.107. ( ) ( )∑∞ = − =+− 1 2 1 1,11 n n n Rx n 10.108. ( )( )( )∑∞ = −−− =−−−+ 1 1 2,223116ln n nnnn Rx n 10.109. ( ) 1, 12 1 4 0 12 1 =+−+∑ ∞ = ++ R n x n n nπ 10.110. ( ) 1, 12 12 0 12 1 =+−+∑ ∞ = ++ R n xarctg n n n 10.111. ( ) 1, 12 12 0 12 =+ −∑∞ = + Rx nn n n 10.112. ( ) ( ) ∞=+ −∑∞ = + Rx nnn n n , 12! 1 0 12 10.113. ( ) 1,12 2 0 2 12 =+∑ ∞ = + R n x n n 10.114. ( )( ) ( ) 1,14!!2 !!12 1 14 =+ −+∑∞ = + R n x n nx n n 10.115. 0, >xx 10.116. 0,1 >x x 10.117. ( ) 11,1 1ln ≤≤−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ − xx 10.118. ( ) 1,21 2 2 <− x x 10.119. ( )( ) 1,1 3 3 <− − x x xx 10.120. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ 1 24 2 2 xxe x 10.121. 1, 1 1ln 2 1 <− + x x x 10.122. ( ) 1,1ln 2 <−− xx 235 10.123. ( ) 1,1 1 3 <− + x x x 10.124. ( ) 2221 xex+ Giải. ( ) ( )∑∞ = += 0 2 ! 12 n n n xnxf có miền hội tụ R (dấu hiệu D’alembert) với mọi R∈x , ( ) ( ) 2 0 2 0 12 0 !! x n n n nx xe n xx n xdttf === ∑∑∫ ∞ = ∞ = + Từ đây, lấy đạo hàm hai vế của ( ) 2 0 x x xedttf =∫ , ta có ( ) ( ) 2221 xexxf += 10.125. 2e 10.126. 23e 10.127. 2 3 10.128. 2 π Giải. Ta sử dụng phân tích ( ) ( ) 1,!!2 !!121 1 1 1 2 2 <−+= − ∑ ∞ = xx n n x n n (mà có thể dễ dàng dẫn ra từ phân tích của ( ) ( )αxxf += 1 trong Đ10.I.e) Từ ( ) ( )( )∑ ∞ = + + −+= 1 12 12!!2 !!121 n n n x n nxS , 1<x , Ta có ( ) ( )( ) ( )111 1 !!2 !!12 21 2 − − =−=′ ∑∞ = x x n nxS n n Lấy tích phân 2 vế hệ thức ( ) 1 1 1 2 − − =′ x xS ta có ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ −−=−=′ x xx dt t dtSxSdttS 0 0 2 0 1 0 hay vì ( ) 10 =S , 236 ta nhận đ−ợc ( ) ( )21arcsin +−= xxxS Khi 1=x , ( ) ( )( )∑ ∞ = + −+= 1 12 1 !!2 !!1211 n nn nS chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Gauss (xem bài 9.106). Theo dấu hiệu Abel về hội tụ chuỗi luỹ thừa thì tổng S cần tìm ( ) ( ) ( )1arcsinlimlim1 0101 +−=== −→−→ xxxSSS xx 2 11 2 ππ =+−= 10.129. 2ln 3 2 9 8 − 10.130. 18 32ln 3 1 π+ 10.131. 2ln2 6 33 −− π 10.132. 3ln 2 3 6 33 −− π 10.133. 0,946 10.134. 0,608 10.135. 1,057 10.136. 0,783 Đ 11. Chuỗi Fourier 11.1. 1. x2cos 2 1 2 1 − 2. xx 3cos 4 1cos 4 3 − 3. xx 4cos 8 12cos 2 1 8 3 −− 11.2. ( ) 0;,sin12 1 1 ππ <<−−= ∑∞ = + x n nxx n n 11.3. ( ) ( ) 2 1;0, 12 12sin2 2 1 0 ππ <<+ ++= ∑∞ = x n xnxf n 11.4. ( )( ) ππππ π ;, 12 12cos4 2 0 2 ≤≤−+ +−= ∑∞ = x n xnx n 11.5. ( ) ( )( ) ( ) 2 ;,sin1cos11 4 1 2 ππππ π ≤≤−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−−−= ∑∞ = x n nx n nxxf n nn 11.6. ( ) ( )( ) ( ) 2 5;,sin1cos115 4 5 1 2 ππππ π ≤≤−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−−−= ∑∞ = x n nx n nxxf n nn 237 11.7. ( )( )∑ ∞ = − −− 1 22 12 12cos4 2 1 n n xnπ π 11.8. ( )∑∞ = +−+ 1 2 1 2 cos14 3 2 n n nx n π 11.9. ( )∑∞ = + − −+− 2 2 1 cos 1 12cos 2 11 n n nx n x 11.10. ( )( )∑ ∞ = − −− 1 212 12cos4 2 n n xn π π 11.11. 1. ( )∑∞ = −+ 1 2 2 cos14 3 n n n nxπ 2. ( ) ( )( )∑∞ = + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−−− 1 3 2 1 sin11212 n n n nx nn π π 3. ∑∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+ 1 2 2 sincos4 3 4 n n nx n nx ππ ; 8 ; 12 ; 6 2 3 2 21 πππ === SSS 11.13. 1. ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∞ = −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −+−− 1 2 12cos 12 141 12 12 n n xn nn π 2. ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∞ = −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+− − 1 32 12sin12 8 12 12 n n xn nn π 11.14. ( ) 32 ; 3 ; 4 ; 12 12sin 321 1 πππ ===− −∑∞ = SSS n xn n 11.15. ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−+∑ ∞ = − 1 2 1 14 2cos1 2 14 n n n nx π 238 239 Tài liệu tham khảo 1. Берман Г.И. - Сборник задач по курсу математического анализа - Наука - Москва 1969. 2. Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу - Наука - Москва 1969. 3. Демидович Б.П. - Задачи и упражнения по математическому анализу, для втузоб - Наука - Москва 1978. 4. Кудрявцев л.д. и д.р. - Сборник задач по математическому анализу (интегралы, ряды) - Наука - Москва 1986. 5. Jean-Marie Monier - Giải tớch 1, 2 - NXB Giỏo dục - Hà Nội 2002.