Bài giảng Toán kinh tế - Chương 2: Vi tích phân hàm một biến

KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 1 TOÁN KINH TẾ CHƯƠNG 2. VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN  Cấp số và lãi suất.  Đạo hàm. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1 CẤP SỐ VÀ LÃI SUẤT  Nhắc lại cấp số.  Các bài toán tiền tệ theo lãi suất đơn.  Các bài toán tiền tệ theo lãi suất kép.  Chuỗi tiền tệ và vay góp, trả góp. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 2 NHẮC LẠI CẤP SỐ  Cấp số cộng  Cấp số nhân 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3 CẤP SỐ CỘNG  Định nghĩa: Dãy số {u1, u2, . , un} được gọi là cấp số cộng nếu un = un – 1 + d, với mọi n ϵ N d là hằng số ≠ 0, được gọi là công sai  Tính chất: uk + 1 + uk – 1 = 2uk 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 4 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 3 CẤP SỐ CỘNG  Số hạng tổng quát: un = u1 + (n – 1)d  Tổng n số hạng đầu: 1 1 2 . ... 2 n n n u u n S u u u 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 5 CẤP SỐ NHÂN  Định nghĩa: Dãy số {u1, u2, . , un} được gọi là cấp số nhân nếu un = un – 1.q, với mọi n ϵ N q là hằng số ≠ 0, 1, được gọi là công bội  Tính chất: uk + 1.uk – 1 = (uk) 2 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 6 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 4 CẤP SỐ NHÂN  Số hạng tổng quát: un = u1.q n–1  Tổng n số hạng đầu: 1 1 2 1 ... 1 n n n u q S u u u q 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7 NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN  Tiền lãi / lợi tức (interest): Là số tiền có được (hoặc phải trả) dựa trên việc đầu tư (hoặc được sử dụng) một lượng tiền ban đầu (vốn) trong một đơn vị thời gian, kí hiệu i.  Kì hạn / chu kì (tenor): đơn vị thời gian thương mại được chọn để tính mức tiền lãi: ngày, tháng, quý, nửa năm, năm. Kí hiệu T 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 8 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 5  Thời gian thương mại được quy đổi theo ngày như sau: tháng = 30 ngày; quý = 90 ngày; năm = 360 ngày. tiền lãi trong một kì hạn tiền vốn đầu tư kí hiệu r (%/T). NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN  Lãi suất (rate) = 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 9  Giá trị hiện tại (Present value): trị giá hiện tại của lượng tiền tệ hình thành trong tương lai ứng với mức lãi suất xác định, kí hiệu PV.  Giá trị tương lai (Future value): trị giá tương lai của lượng tiền tệ hiện tại ứng với mức lãi suất xác định, kí hiệu FV. NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 10 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 6 NHỮNG KHÁI NIỆM TÀI CHÍNH CƠ BẢN 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 11  Lãi suất tương đương: hai mức lãi suất ra(%/Ta) và rb(%/Tb) được gọi là tương đương nếu trong cùng khoảng thời gian và phương thức tính lãi, lợi tức có được không đổi. Kí hiệu: ra  rb.  Lãi suất trung bình: là lãi suất thay thế cho m mức lãi suất khác nhau của m giai đoạn khác nhau với cùng phương thức tính lãi sao cho lợi tức có được không đổi. PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN  Khái niệm: Tiền lãi sau mỗi kì hạn được rút / tách ra, không được nhập vào vốn để sinh lãi cho kì hạn sau  tiền lãi được tính theo vốn gốc ban đầu và luôn bằng nhau trong mỗi kì hạn.  Công thức: Giả sử tiền vốn ban đầu là PV I = PV.r 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 12 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 7 PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN  Giá trị tương lai của tiền vốn ban đầu sau mỗi kì hạn là tạo thành cấp số cộng với công sai d = I.  Tiền lãi sau n kì hạn: In = n.PV.r  Giá trị tương lai sau n kì hạn: FVn = PV.(1 + n.r) 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 13 PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN  Lãi suất trung bình trong lãi đơn: Có m giai đoạn, giai đoạn i có ni kì hạn với lãi suất ri 1 1 2 2 1 2 . . . ... . ... i i m m i m n r n r n r n r r n n n n 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 14  Lãi suất tương đương trong lãi đơn: ra  rb và Ta = k.Tb  ra = k.rb KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 8 PHƯƠNG THỨC LÃI ĐƠN  Các dạng bài tập:  Xác định giá trị đạt được vào cuối đợt đầu tư (FV)  Xác định thời gian đầu tư để đạt giá trị mong muốn  Xác định lãi suất tiền gởi  Xác định số vốn đầu tư ban đầu (trị giá hiện tại của vốn đầu tư) (PV) 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 15 PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP  Khái niệm: Tiền lãi sau mỗi kì khoản không được rút / tách ra mà phải nhập tiếp vào vốn thành vốn mới để sinh lãi cho kì hạn sau  tiền lãi ở mỗi kì hạn khác nhau và kì hạn sau lớn hơn kì hạn trước.  Từ đồng nghĩa: lãi nhập/gộp/ghép vốn 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 9 PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP  Giá trị tương lai của tiền vốn ban đầu sau mỗi kì hạn là tạo thành cấp số nhân với công bội q = 1 + r.  Giả sử tiền vốn ban đầu là PV:  giá trị tương lai sau n kì hạn:  tiền lãi sau n kì hạn: FVn = PV.(1 + r) n In = PV.[(1 + r) n – 1] 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 17 PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP ra  rb và Ta = k.Tb  1 + ra = (1 + rb) k 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 18  Lãi suất trung bình trong lãi kép: Có m giai đoạn, giai đoạn i có ni kì hạn với lãi suất ri  Lãi suất tương đương trong lãi kép: 1 2 1 2 ... 1 2 (1 ) .(1 ) ...(1 ) 1m m n n n n n n m r r r r KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 10 PHƯƠNG THỨC LÃI KÉP  Các dạng bài tập:  Xác định giá trị đạt được vào cuối đợt đầu tư (FV)  Xác định thời gian đầu tư để đạt giá trị mong muốn  Xác định lãi suất tiền gởi  Xác định số vốn đầu tư ban đầu (trị giá hiện tại của vốn đầu tư) (PV) 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 19 CHUỖI TIỀN TỆ  Khái niệm: là một chuỗi các khoản tiền phát sinh mới sau mỗi kì hạn.  Chuỗi tiền tệ hình thành khi đủ các yếu tố:  số lượng kì hạn (thời gian): n  số tiền mỗi kì hạn: a1, a2, , an.  lãi suất: r  Chuỗi tiền tệ được thực hiện với mục đích góp dần để tích luỹ một khoản vốn hay trả dần một khoản nợ. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 20 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 11 CHUỖI TIỀN TỆ  Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ: 1 2 1 2 1 .(1 ) .(1 ) .(1 ) ... n n i n n i n i FV a r a r a r a  Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ: 1 2 1 2 1 .(1 ) .(1 ) .(1 ) ... .(1 ) n i n i n i PV a r a r a r a r 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 21 CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU  Khái niệm: là chuỗi mà số tiền mọi kì hạn bằng nhau: a1 = a2 = = an = a  Giá trị tương lai của số tiền phát sinh mỗi kì là cấp số nhân với: - công bội q = 1/(1 + r) - Số hạng kì đầu tiên: u1 = a.(1 + r) n – 1 - Số hạng tổng quát kì thứ k: uk = a.(1 + r) n – k 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 22 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 12 CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU 1 1 n r FV a r  Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ đều = tổng n số hạng đầu của cấp số nhân giá trị tương lai số tiền phát sinh mỗi kì: 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 23 CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU  Giá trị hiện tại của số tiền phát sinh mỗi kì là cấp số nhân với: - công bội q = (1 + r) - Số hạng kì đầu tiên: u1 = a.(1 + r) –n - Số hạng tổng quát kì thứ k: uk = a.(1 + r) –(n – k) 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 24 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 13 CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU 1 1 n r PV a r  Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ đều = tổng n số hạng đầu của cấp số nhân giá trị hiện tại số tiền phát sinh mỗi kì: 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 25 CHUỖI TIỀN TỆ CẤP SỐ CỘNG  Khái niệm: là chuỗi mà số tiền kì hạn sau tăng hơn số tiền kì hạn liền trước một lượng cố định ai+1 = ai + d  Giá trị tương lai: 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 26 1 1 n rd nd FV a r r r KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 14 CHUỖI TIỀN TỆ CẤP SỐ NHÂN  Khái niệm: là chuỗi mà số tiền kì hạn sau tăng hơn số tiền kì hạn liền trước một tỷ lệ cố định ai+1 = ai.q  Giá trị tương lai: 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 27 1 1 nnq r FV a q r CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU  Các dạng bài tập: - Tính tiền phát sinh mỗi kì hạn - Tính lãi suất - Tính số lượng kì hạn - Tính giá trị tương lai, hiện tại của chuỗi 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 28 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 15 TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ  Giả sử số tiền vay là K được trả nợ trong thời gian n kì hạn với lãi suất r, ta đặt các kí hiệu sau: - ai: số tiền phải trả kì thứ i - Ii: tiền lãi phải trả kì thứ i - Mi: vốn gốc phải trả kì thứ i - Vi: dư nợ gốc đầu kì thứ i i = 1, 2, 3, , n 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 29 TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ  Tính chất: • ai = Ii + Mi • Ii = Vi – 1.r •Vi = Vi – 1 – Mi 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 16 TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ  Bảng hoàn trả: Kì hạn Dư nợ Lãi trả trong kì Vốn gốc trả trong kì Tiền trả nợ trong kì 1 V0 = K I1 = V0.r M1 a1 = I1 + M1 2 V1 = V0 – M1 I2 = V1.r M2 a2 = I2 + M2 . . . .... n Vn–1 = Vn–2 – Mn–1 In = Vn–1.r Mn an = In + Mn 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 31 TRẢ NỢ DẦN VỚI SỐ TIỀN MỖI KỲ CỐ ĐỊNH  Chuỗi tiền tệ đều có giá trị hiện tại là số vốn vay K  số tiền phải trả (vốn + lãi) cố định mỗi kì: 1 1 n r a K r 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 32 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 17 TRẢ NỢ DẦN VỚI SỐ TIỀN MỖI KỲ CỐ ĐỊNH  Vốn gốc phải trả trong mỗi kì tạo thành cấp số nhân với công bội q = 1/(1 + r): ( 1) 1 ; .(1 ) 1 1 n i in r M K M a r r  Số nợ đã trả sau i kì: 1 1 1 1 i i n r R K r 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 33 TRẢ NỢ DẦN CỐ ĐỊNH PHẦN VỐN GỐC  Vốn gốc phải trả trong mỗi kì bằng nhau: M1 = M2 = = Mn = K/n  Số tiền phải trả (vốn + lãi) mỗi kì tạo thành một cấp số cộng với công sai: d K i n 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 34 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 18 TRẢ NỢ DẦN ĐỊNH KỲ  Các dạng bài tập: - Tính tiền phát sinh, lãi suất, vốn phải trả trong kì hạn bất kì. - Tính số vốn vay ban đầu, vốn đã trả, vốn còn nợ. - Lập bảng hoàn trả. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 35 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Giả sử hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a ; b). Lấy x0 ϵ (a ; b), gọi ∆x là lượng thay đổi từ x0 đến x ϵ (a ; b) thì y sẽ có lượng thay đổi ∆y từ f(x0) đến f(x). 0 0 lim x y y Neáugiôùi haïn khi x laø höõuhaïïn töùc k x x thì số k được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0, kí hiệu f’(x). 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 36 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 19 QUY TẮC ĐẠO HÀM HÀM SƠ CẤP 1 2 2 1) : ' . 2)Haøm löôïnggiaùc : sin ' cos ; cos ' sin ; tan ' tan 1; cot ' cot 1 3) : ' .ln 1 4) log : log ' .ln x x a Haømluyõ thöøa x x x x x x x x x x Haømmuõ a a a Haøm x x a 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 TÍNH CHẤT ĐẠO HÀM ' 2 1) ' ' ' 2) . ' '. '. '. '. 3) 4) . ( ) ' . '( ) u v u v u v u v v u u u v v u v v k f x k f x Cho hai hàm số u(x) và v(x), ta có: 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 38 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 20 ĐẠO HÀM HÀM HỢP Cho hàm số f(t) và t(x), ta có: ' ' ' . x t x f f t 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 39 Ý NGHĨA ĐẠO HÀM  cho biết giá trị gần đúng lượng thay đổi ∆y của biến y khi biến x thay đổi một lượng nhỏ ∆x. Hay nói cách khác, đạo hàm phản ánh tốc độ thay đổi của y so với thay đổi của x. ' ' 0 lim ( ) ( ). x y f x y f x x x 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 40 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 21 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 41 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 42 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 22 ĐẠO HÀM CẤP HAI 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 43 TÍNH LỒI – LÕM ĐỒ THỊ HÀM SỐ  Khái niệm: o Đồ thị © của hàm số y = f(x) lồi trên khoảng K nếu tiếp tuyến của © tại mỗi điểm của nó đều nằm phía trên đồ thị. o Đồ thị © của hàm số y = f(x) lõm trên khoảng K nếu tiếp tuyến của © tại mỗi điểm của nó đều nằm phía dưới đồ thị. o Điểm uốn là điểm phân chia hai phần lồi và lõm của đồ thị. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 44 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 23 TÍNH LỒI – LÕM ĐỒ THỊ HÀM SỐ  Định lí: Giả sử hàm số có đạo cấp hai với mọi x ϵ khoảng K. o Nếu f”(x) < 0 thì đồ thị © của hàm số y = f(x) lồi trên khoảng K. o Nếu f”(x) > 0 thì đồ thị © của hàm số y = f(x) lõm trên khoảng K. o Nếu x0 là điểm uốn đồ thị © của hàm số y = f(x) thì f”(x0) = 0. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 45 CỰC TRỊ HÀM SỐ 0 0 0 Chohaømsoá xaùcñònh treân vaø xeùt .Neáu toà ( ;n taïi khoaûng vaø ( ; )th û :) oaa b xf D D x D xx a b  Khái niệm: o f(x) < f(x0) thì x0 được gọi là điểm cực đại o f(x) > f(x0) thì x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f và f(x0) được gọi là giá trị cực đại, cực tiểu (gọi chung là cực trị) 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 46 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 24 CỰC TRỊ HÀM SỐ  Điều kiện cần: Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f thì f’(x0) = 0.  Điều kiện đủ: Nếu điểm x0 thoả f’(x0) = 0 và o f”(x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0. o f”(x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 47 GIÁ TRỊ (CẬN) BIÊN  Khái niệm: Cho một đại lượng kinh tế phụ thuộc là hàm của biến độc lập y = f(x). Giá trị biên tại điểm x0 phản ánh mức độ thay đổi tuyệt đối của nó khi biến độc lập tăng một đơn vị trong điều kiện tất cả yếu tố khác không đổi.  giá trị biên một đại lượng phụ thuộc = đạo hàm cấp một hàm biến độc lập của nó. Đối với mỗi hàm kinh tế, giá trị biên có tên gọi cụ thể tương ứng. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 48 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 25 HÀM DOANH THU  Hàm doanh thu: là số tiền mà công ty thu được khi sản xuất và bán sản phẩm, kí hiệu R = P.Q.  Doanh thu biên: cho biết xấp xỉ lượng doanh thu thay đổi khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm, kí hiệu MR = R’(Q) = P. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 49 HÀM CHI PHÍ  Hàm chí phí: là toàn bộ chi phí mà xí nghiệp chi ra cho tất cả yếu tố sản xuất cố định và yếu tố sản xuất biến đổi để sản xuất sản phẩm trong mỗi đơn vị thời gian, kí hiệu C(Q).  Chi phí biên: cho biết xấp xỉ lượng chi phí thay đổi khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm, kí hiệu: MC = C’(Q). 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 50 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 26 HÀM TIÊU DÙNG, TIẾT KIỆM  Hàm tiêu dùng: là tổng lượng sản phẩm thoả mãn đạt được khi người tiêu dùng chi tiêu một số lượng tiền tệ nhất định cho sản phẩm trong một đơn vị thời gian, kí hiệu U(I).  Tiêu dùng biên: là sự thay đổi trong tổng lượng sản phẩm thoả mãn khi người tiêu dùng thay đổi chi tiêu một đơn vị tiền tệ cho sản phẩm trong một đơn vị thời gian, kí hiệu MU = U’(I). 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 51 HÀM TIÊU DÙNG, TIẾT KIỆM  Hàm tiết kiệm: kí hiệu S = I – U  Tiết kiệm biên: là sự thay đổi trong tổng lượng tiết kiệm được khi người tiêu dùng thay đổi tiết kiệm một đơn vị tiền tệ cho sản phẩm trong một đơn vị thời gian, kí hiệu MS = S’(I) = 1 – U' = 1 – MU. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 52 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 27 ĐỘ (HỆ SỐ) CO GIÃN ĐIỂM  Khái niệm: Cho một đại lượng kinh tế phụ thuộc là hàm của biến độc lập y = f(x). Độ co giãn tại điểm x0 phản ánh tỉ lệ % thay đổi tương đối của nó khi biến độc lập tăng một 1% trong điều kiện tất cả yếu tố khác không đổi, kí hiệu E.  Công thức: '0 0 0 0 0 0 . ( ) ( ) y x y y x xy E f x x x f x f x 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 53 ĐỘ CO GIÃN ĐIỂM CỦA CẦU THEO GIÁ  Khái niệm: đo lường sự nhạy cảm của người tiêu dùng, biểu hiện qua sự thay đổi lượng cầu khi giá cả hàng hoá thay đổi, kí hiệu Ed. Ed được xác định bằng tỉ lệ phần trăm thay đổi trong lượng cầu khi tại một điểm giá sản phẩm tăng 1%.  Công thức: 0 0 0 0 0 0 . '( ) ( ) ( ) d d d d Q Q Q P P E f P P P P f P f P 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 54 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 28 ĐỘ CO GIÃN ĐIỂM CỦA CẦU THEO GIÁ  Tính chất: Ed < 0 biểu hiện quan hệ tỉ lệ nghịch giữa lượng cầu và giá cả. Ý nghĩa mức độ của nó biểu hiện qua │Ed│. │Ed│> 1  ∆Qd > ∆P  cầu co giãn  không nên tăng giá vì doanh thu sẽ giảm. │Ed│< 1  ∆Qd < ∆P  cầu không co giãn  có thể tăng giá vì doanh thu vẫn tăng. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 55 TỐI ƯU TRONG KINH TẾ  Lợi nhuận nhiều nhất  Thỏa mãn tiêu dùng nhiều nhất  Chi phí sản xuất, tiêu dùng ít nhất 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 56 KHOA TOÁN – THỐNG KÊ BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ MÔN TOÁN KINH TẾ 29 LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm với các yếu tố sản xuất như sau: • Hàm chi phí là C(Qs) • Doanh thu của doanh nghiệp: R = P.Qs. • Tổng thuế doanh nghiệp phải đóng: T(t) = t.Qs, t là tham số mức thuế / đv sản phẩm. • Lợi nhuận của doanh nghiệp: П(Qs) = R – C – T. Tìm mức sản lượng Qs0 cần sản xuất để lợi nhuận đạt được nhiều nhất. 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 57 Thị trường cạnh tranh hoàn hảo Giá sản phẩm do thị trường quyết định  P = P0 ấn định trước. Thị trường độc quyền Giá sản phẩm do doanh nghiệp quyết định nhưng doanh nghiệp luôn muốn tiêu thụ được hết sản phẩm  Qs = Qd(P)  P(Qs) LỢI NHUẬN NHIỀU NHẤT 16/02/2016 C01120 - VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 58