Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 4: ĐLNN 2-chiều - Hàm của ĐLNN

CHÖÔNG 4 ÑLNN 2-chieàu – Haøm cuûa ÑLNN 1. Ñaïi löôïng ngaãu nhieân 2-chieàu 1.1 Khaùi nieäm Khi cho töông öùng moãi keát quaû cuûa pheùp thöû vôùi hai soá coù thöù töï, ta coù ÑLNN 2-chieàu. Xeùt ÑLNN 2-chieàu (X, Y). X, Y goïi laø caùc ÑLNN thaønh phaàn. Neáu X, Y ñeàu rôøi raïc thì (X, Y) goïi laø ÑLNN 2-chieàu rôøi raïc. Neáu X, Y ñeàu lieân tuïc thì (X, Y) goïi laø ÑLNN 2-chieàu lieân tuïc. Xeùt (X, Y) laø ÑLNN 2-chieàu rôøi raïc. Bieán coá X nhaän giaù trò x vaø Y nhaän giaù trò y ghi laø (X=x, Y=y) hay (X=x)(Y=y). Xaùc suaát cuûa bieán coá naøy ghi laø P(X=x, Y=y) hay P((X=x)(Y=y)). Ví duï (1) Goïi X vaø Y laø ñieåm thi moân Toaùn vaø tuoåi cuûa moät sinh vieân gaëp ngaãu nhieân thì (X, Y) laø ÑLNN 2- chieàu rôøi raïc. (2) Goïi X laø chieàu daøi, Y laø troïng löôïng cuûa moät con gia suùc ñöôïc choïn ngaãu nhieân thì (X, Y) laø ÑLNN 2- chieàu lieân tuïc. 1.2 Baûng phaân phoái xaùc suaát 1.2.1 Baûng phaân phoái ñoàng thôøi Quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa ÑLNN 2-chieàu rôøi raïc ñöôïc xaùc ñònh bôûi baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi (baûng PPXSÑT). Baûng PPXSÑT cuûa ÑLNN (X, Y) lieät keâ taát caû giaù trò xi, yj maø X, Y coù theå nhaän vaø caùc giaù trò pij laø P((X=xi)(Y=yj)): X Y y1 y2 ... yn Σ x1 p11 p12 ... p1n p1 x2 p21 p22 ... p2n p2 ... ... ... ... ... ... xm pm1 pm2 ... pmn pm Σ q1 q2 ... qn Baûng PPXSÑT kyù hieäu ((xi, yj), pij), i=1,m; j=1,n. Ñaët: pi = pi1 + pi2 +... + pin i=1,m (coäng theo doøng) qj = p1j + p2j +... + pmj j=1,n (coäng theo coät) Ta phaûi coù: pi > 0, qj > 0 i=1,m; j=1,n pij ≥ 0 i=1,m; j=1,n p11 + p12 +... + p1n +... + pmn = Σpi = Σqj = 1 1.2.2 Baûng phaân phoái thaønh phaàn Baûng PPXS cuûa caùc ÑLNN thaønh phaàn cuûa ÑLNN 2-chieàu rôøi raïc goïi laø Baûng phaân phoái xaùc suaát thaønh phaàn (baûng PPXSTP). Töø baûng PPXSÑT, ta laäp baûng PPXSTP X laø (xi, pi), i=1,m vaø baûng PPXSTP Y laø (yj, qj), j=1,n. Baûng PPXSTP coøn goïi laø baûng phaân phoái bieân hay baûng phaân phoái leà. Kyø voïng, phöông sai, ñoä leäch chuaån cuûa caùc ÑLNN thaønh phaàn goïi laø kyø voïng leà, phöông sai leà, ñoä leäch chuaån leà. Caùc tham soá ñaëc tröng naøy cuûa ÑLNN thaønh phaàn X kyù hieäu laø E(X), 2 Xσ , Xσ . Ví duï Xeùt ÑLNN (X, Y) coù baûng PPXSÑT sau: X Y –1 0 1 3 0 0,12 0,10 0,05 0,10 0,37 1 0,03 0,11 0,07 0,05 0,26 2 0,10 0,04 0,03 0,20 0,37 0,25 0,25 0,15 0,35 Baûng phaân phoái theo thaønh phaàn X vaø Y laø: X 0 1 2 Y –1 0 1 3 P 0,37 0,26 0,37 P 0,25 0,25 0,15 0,35 E(X) = 1 2Xσ = 0,74 E(Y) = 0,95 2 Yσ = 2,6475 1.2.3 Baûng phaân phoái coù ñieàu kieän Xeùt ÑLNN 2-chieàu. Neáu bieát moät thaønh phaàn ñaõ xaûy ra thì thaønh phaàn coøn laïi goïi laø ÑLNN thaønh phaàn coù ñieàu kieän. Baûng PPXS cuûa ÑLNN thaønh phaàn coù ñieàu kieän goïi laø Baûng phaân phoái coù ñieàu kieän. (Baûng PPXSCÑK). Kyø voïng, phöông sai, ñoä leäch chuaån cuûa ÑLNN loaïi naøy goïi laø kyø voïng phöông sai, ñoä leäch chuaån coù ñieàu kieän. Xeùt ÑLNN (X, Y) coù baûng phaân phoái ñoàng thôøi ((xi,yj), pij), i=1,m; j=1,n. Giaû söû bieát bieán coá (Y=yj) xaûy ra. ÑLNN theo X coù ñieàu kieän Y=yj kyù hieäu laø X /Y=yj hay X /yj. Xaùc suaát ñeå X nhaän giaù trò xi laø xaùc suaát coù ñieàu kieän cuûa bieán coá (X=xi) bieát (Y=yj), kyù hieäu P(X=xi /yj) hay P(X=xi /Y=yj). Ta coù: P(X=xi /yj) = i j j P(X x ,Y y ) P(Y y ) = = = = ij j p q Kyø voïng cuûa ÑLNN X /Y=yj kyù hieäu laø E(X /yj) hay E(X /Y=yj). Töông töï, baûng phaân phoái cuûa ÑLNN coù ñieàu kieän Y /X=xi seõ coù: P(Y=yj /xi) = i j i P(X x ,Y y ) P(X x ) = = = = ij i p p Ví duï Xeùt ÑLNN (X, Y) coù baûng phaân phoái sau: X Y –1 0 1 3 0 0,12 0,10 0,05 0,10 1 0,03 0,11 0,07 0,05 2 0,10 0,04 0,03 0,20 Laáy 2 soá leû, baûng phaân phoái cuûa X coù ñieàu kieän Y=0 vaø baûng phaân phoái cuûa Y coù ñieàu kieän X=1 laø: E(X /0) = 0,76 E(Y /1) = 0,72 X /Y=0 0 1 2 P 0,40 0,44 0,16 Y /X=1 –1 0 1 3 P 0,12 0,42 0,27 0,19 Ghi chuù Laáy moãi thaønh phaàn cuûa coät Y=0 chia cho toång cuûa coät naøy ta coù P cuûa X. Laáy moãi thaønh phaàn cuûa doøng X=1 chia cho toång cuûa doøng naøy ta coù P cuûa Y. 1.3 Hieäp phöông sai vaø heä soá töông quan Ñeå ñaùnh giaù möùc ñoä phuï thuoäc giöõa hai ÑLNN thaønh phaàn, ta ñöa ra khaùi nieäm hieäp phöông sai vaø heä soá töông quan. 1.3.1 Hieäp phöông sai Hieäp phöông sai cuûa hai ÑLNN thaønh phaàn X vaø Y, kyù hieäu cov(X, Y), ñöôïc ñònh nghóa: cov(X, Y) = E([X – E(X)].[Y – E(Y)]) cov(X, Y) thöôøng ñöôïc tính theo coâng thöùc: cov(X, Y) = E(X.Y) – E(X).E(Y) = m n m n i j ij i i j j i 1 j 1 i 1 j 1 x y p x p y q = = = =    −           ∑∑ ∑ ∑ Hieäp phöông sai ño möùc ñoä phuï thuoäc giöõa X, Y: X, Y ñoäc laäp thì E(X.Y) = E(X).E(Y) neân cov(X,Y) = 0. Hieäp phöông sai coù caùc tính chaát sau: (i) cov(X, X) = var(X) (ii) var(aX ± bY) = a2var(X) + b2var(Y) ± 2ab.cov(X, Y) Ví duï Xeùt ÑLNN (X, Y) coù baûng phaân phoái: X Y –1 0 1 3 0 0,12 0,10 0,05 0,10 1 0,03 0,11 0,07 0,05 2 0,10 0,04 0,03 0,20 Töø caùc baûng phaân phoái leà, ta ñaõ coù E(X) = 1 vaø E(Y) = 0,95. Vaäy: cov(X, Y) = m n i j ij i 1 j 1 x y p E(X).E(Y) = = −∑∑ = 1,25 − 1×0,95 = 0,3 1.3.2 Heä soá töông quan Heä soá töông quan cuûa hai ÑLNN thaønh phaàn X vaø Y, kyù hieäu XYρ , ñöôïc ñònh nghóa: XY X Y Cov( X , Y) . ρ = σ σ Heä soá töông quan coù caùc tính chaát sau: (i)  XYρ  ≤ 1 (ii) XYρ > 0 ⇒ X, Y ñoàng bieán XYρ < 0 ⇒ X, Y nghòch bieán. (iii)  XYρ  = 1 ⇔ P(Y = aX + b) = 1. Heä soá töông quan ño möùc ñoä phuï thuoäc tuyeán tính giöõa hai ÑLNN thaønh phaàn. Ví duï Xeùt ÑLNN (X, Y) coù baûng phaân phoái sau: X Y –1 0 1 3 0 0,12 0,10 0,05 0,10 1 0,03 0,11 0,07 0,05 2 0,10 0,04 0,03 0,20 Ta ñaõ tính ñöôïc: cov(X, Y) = 0,3 2Xσ = 0,74 ⇒ σX = 0,86 2Yσ = 2,6475 ⇒ σY = 1,6371 ⇒ XYρ = cov(X, Y)/(σX.σY) = 0,2144 2. Haøm cuûa ÑLNN 2.1 Khaùi nieäm 2.1.1 Haøm moät bieán ngaãu nhieân Xeùt haøm soá y = g(x). Neáu thay x bôûi ÑLNN X thì Y = g(X) laø ÑLNN goïi laø haøm moät bieán ngaãu nhieân. Kyø voïng, phöông sai, ñoä leäch chuaån cuûa ÑLNN g(X) khi bieát g vaø X tính theo caùc coâng thöùc quen thuoäc, mieãn laø thay x bôûi g(x). Chaúng haïn vôùi ÑLNN X coù baûng phaân phoái (xi, pi), i=1,n thì: E(g(X)) = n i i i 1 g (x )p = ∑ var(g(X)) = E(g(X)2) – [E(g(X))]2 Ví duï Cho ÑLNN X coù baûng phaân phoái: X –2 –1 2 4 5 p 6% 14% 30% 20% 10% Ñaët Y = X2 + X − 1 thì: E(X2+X−1) = 5 2 i ii i 1 (x x 1)p = + −∑ = 8,12 var(X2+X−1) = 2 5 5 2 2 2 i i i ii i i 1 i 1 (x x 1) p (x x 1)p = =   + − − + −    ∑ ∑ = 98,0656 2.1.2 Haøm n-bieán ngaãu nhieân Xeùt haøm soá n-bieán y = g(x1, x2, ..., xn). Neáu thay x1, x2, ..., xn bôûi caùc ÑLNN X1, X2, ..., Xn thì Y = g(X1, X2, ..., Xn) laø ÑLNN goïi laø haøm n-bieán ngaãu nhieân. Caùc bieåu thöùc Y = X1+X2, Y = X1.X2 trong ñoù X1, X2 laø ÑLNN laø caùc ví duï veà haøm 2-bieán ngaãu nhieân. Ví duï Loâ haøng I goàm 8 chính phaåm vaø 2 pheá phaåm. Loâ haøng II goàm 6 chính phaåm vaø 4 pheá phaåm. Moät ngöôøi mua 2 saûn phaåm töø loâ haøng I vaø 1 saûn phaåm töø loâ haøng II. Goïi X laø soá chính phaåm mua ñöôïc. Laäp baûng phaân phoái cuûa ÑLNN X. Goïi X1, X2 laø soá chính phaåm mua ñöôïc töø loâ haøng I, II thì Y = X1 + X2. Do X1~H(10; 8; 2) vaø X2~H(10; 6; 1) neân baûng phaân phoái cuûa X1, X2 nhö sau: Do hai loâ haøng ñoäc laäp nhau neân ta coù: X1 0 1 2 X2 0 1 p 1/45 16/45 28/45 p 0,4 0,6 P(Y = x) = ΣP(X1=xi, X2=x–xi) = ΣP(X1=xi).P(X2=x–xi) Laäp baûng ñeå tính caùc giaù trò maø Y coù theå nhaän vaø xaùc suaát töông öùng: X1 (P) X2 (P) 0 (1/45) 1 (16/45) 2 (28/45) 0 (0,4) Y=0 (4/450) Y=1 (64/450) Y=2(112/450) 1 (0,6) Y=1 (6/450) Y=2 (96/450) Y=3(168/450) Suy ra baûng phaân phoái cuûa Y: Y 0 1 2 3 p 4/450 70/450 208/450 168/450 3.2 Phaân phoái cuûa haøm n-bieán ngaãu nhieân Khoâng coù coâng thöùc toång quaùt ñeå tìm ra quy luaät phaân phoái cuûa ÑLNN Y = g(X1, X2, ..., Xn) khi bieát quy luaät phaân phoái cuûa caùc ÑLNN X1, X2, ..., Xn. Tuy nhieân, ta cuõng ñaõ bieát moät soá keát quaû khi caùc ÑLNN thaønh phaàn coù cuøng phaân phoái Nhò Thöùc, cuøng phaân phoái Poisson hay cuøng phaân phoái Chuaån.