Vẽ biểu đồ nội lực trong sức bền vật liệu

Chương 1 Biểu đồ nội lực 1.1. Tóm tắt lý thuyết 1a. Chuyên đề 1a: BIỂU ĐỒ NỘI LỰC - Phương pháp “mặt cắt biến thiên” Các bước thực hiện: 1. Giải phóng liên kết và xác định các phản lực liên kết (nếu cần thiết) 2. Chia đoạn thanh sao cho biểu thức xác định các thành phần ứng lực trên mỗi đoạn là liên tục và duy nhất (ranh giới các đoạn có thể là: mặt cắt ngang có lực tập trung, mô men tập trung, có sự thay đổi đột ngột của cường độ lực phân bố,…) 3. Dùng phương pháp mặt cắt để lập biểu thức xác định các thành phần ứng lực trên từng đoạn. 4. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực căn cứ vào các biểu thức thu được ở bước 3 • Biểu đồ lực dọc và lực cắt vẽ về phía nào cũng được, miễn là mang dấu của chúng • Biểu đồ mô men vẽ về phía thớ căng (chiều dương của mô men hướng xuống) 5. Kiểm tra lại biểu đồ từ các nhận xét mang tính trực quan, tính kinh nghiệm (thu được từ các ví dụ cụ thể) NHẬN XÉT: ƒ Tại mặt cắt có lực tập trung thì biểu đồ lực cắt có bước nhảy, độ lớn bước nhảy bằng giá trị lực tập trung. Xét từ trái qua phải chiều bước nhảy cùng chiều lực tập trung. Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 1 ƒ Tại mặt cắt có mô men tập trung thì biểu đồ mô men có bước nhảy, độ lớn bước nhảy bằng giá trị mô men tập trung. Xét từ trái qua phải nếu mô men quay thuận chiều kim đồng hồ thì bước nhảy đi xuống. ƒ Tại mặt cắt có lực cắt bằng 0 thì biểu đồ mô men đạt cực trị. ƒ Biểu đồ mô men luôn có xu hướng “hứng” lực. Bài mẫu 1: Vẽ các biểu đồ nội lực cho dầm chịu lực như hình vẽ 1.1 Số liệu: a=1m; F=15 kN; M0= 9 kNm; q=6kNm qM F o 2a a Hình 1.1 Bài giải: 1. Xác định các phản lực: Từ điều kiện cân bằng của dầm (hình 1.2) ta có: 2 0 1.3 0 2C A M V a M Fa qa= + − − =∑ => 0 5 1 3 3( ) 3 6 3A MF qaV k a = + − = + − = N A 0 5.3 .2 0 2C aM V a M F aa qa= − − − =∑ => 02 5 5 10 3 18( ) 3 6 3C MF qaV k a = + + = + + = N Thử lại: 6 15 21( )A CV V qa F kN+ = + = + = 2. Thiết lập các biểu thức tính nội lực trên mỗi đoạn dầm: Trên đoạn AB (hình 1.2): Dùng mặt cắt ngang 1-1, giữ lại phần bên trái để xét cân bằng ( ) 10 2z a≤ ≤ 0N = 3AQ V= = 1 13AM V z z= = Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 2 Trên đoạn AB (hình 1.2): Dùng mặt cắt ngang 2-2, giữ lại phần bên phải để xét cân bằng ( ) 20 z a≤ ≤ 0N = 2 26 1CQ qz V z= − = − 8 2 2 2 2 2 1 18 3 2C 2 M V z qz z z= − = − 3. Vẽ biểu đồ: Dựa vào các biểu thức Q, M thu được ở trên, tiến hành vẽ đồ thị trên từng đoạn (biểu đồ N không thể hiện vì N=0 ∀ z) Chú ý: nếu có mặt cắt ngang với Q=0 thì phải tính giá trị M cực trị tại mặt cắt ngang này và thể hiện trên biểu đồ) 4. Kiểm tra lại biểu đồ theo các nhận xét đã trình bày phần đầu Chú ý: Thể hiện sơ đồ tải trọng, biểu đồ lực cắt và biểu đô mô men trên cùng hàng dọc như hình vẽ 1.2 để dễ theo dõi và kiểm tra V B V C A AV C V F q Q N M M N Q Z1 Z2 18 12 33 6 15 + _ Q M kN kNm 1 2 1 2 2a a M F o q Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 3 Hình 1.2. Biểu đồ nội lực 1b. Chuyên đề 1b: BIỂU ĐỒ NỘI LỰC – Phương pháp vẽ theo từng điểm Dựa vào mối liên hệ vi phân ( )2 2d M dQ q zdz dz= = , khi biết biến thiên của tải trọng phân bố có thể nhận xét dạng biểu đồ Q và M, từ đó xác định số điểm cần thiết phải tính giá trị các thành phần ứng lực (các điểm đặc biệt). Giả sử trên đoạn thanh AB: ƒ q(z)=0 => Biểu đồ Q=const => Cần xác định QA, hoặc QB => Biểu đồ M bậc 1 => Cần xác định MA, MB ƒ q(z)=const => Biểu đồ Q bậc 1 => Cần xác định QA, QB => Biểu đồ M bậc 2 => Cần xác định MA, MB và M cực trị (nếu có), hoặc tính lồi, lõm của biểu đồ. Giá trị các thành phần ứng lực tại các điểm đặc biệt có thể tính theo: ƒ Phương pháp mặt cắt. ƒ Nhận xét bước nhảy. ƒ ; ph tr qQ Q S= + ph tr QM M S= + với Sq – biểu đồ tải trọng; SQ biểu đồ lực cắt Bài mẫu 1b: Vẽ biểu đồ nội lực cho khung phẳng chịu tải trọng như hình vẽ Mo F q a a a a K V VA HA B C D K Bài giải: 1. Xác định các phản lực: Từ điều kiện cân bằng của khung ta có: 0X =∑ = > AH q= a 0AM =∑ => 2 2 20 1 1.2 .2 2 02 2K KV a Fa M qa V a qa qa qa− − − = − − − =2 => 74KV q= a Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 4 0KM =∑ => 2 2 2 203 3.2 .2 . .2 2 2 02 2A A AaV a H a qa M Fa V a qa qa qa qa+ − + − = + − + − = => A 1 4 V q= a 2. Nhận xét dạng biểu đồ các thành phần ứng lực trên từng đoạn: + Biểu đồ lực dọc: Bằng phương pháp mặt cắt dễ dàng xác định 1 4AB BC A N N V q= = − = − a 0DK CDN N= = (trên hai đoạn DK,CD không có tải trọng theo phương dọc trục) + Biểu đồ lực cắt, mô men: Trên đoạn AB: q=const Ö Biểu đồ Q bậc nhất => Cần xác định: QA = HA = qa (theo nhận xét về bước nhảy của biểu đồ Q tại A); QB = QA+Sq = qa+(-q).a = 0 Ö Biểu đồ M bậc hai => Cần xác định: MA = 0 (khớp A không có mô men tập trung), MB = MA+SQ = 0+qa.a = qa2; tại B có Q = 0 => Mmax=qa2 Trên đoạn BC: q=0 Ö Biểu đồ Q=const => Cần xác định QB=qa (tại B không có lực tập trung, biểu đồ Q không có bước nhảy) B Ö Biểu đồ M bậc nhất => Cần xác định ( ) 2ABB BM M q= = a ; 2 20C B QM M S qa qa= + = + = Trên đoạn DK: q=0 Ö Biểu đồ Q=const => Cần xác định QK=-VK (theo nhận xét về bước nhảy của biểu đồ Q tại K) Ö Biểu đồ M bậc nhất => Cần xác định 0KM = (khớp K không có mô men tập trung); 27 70 4 4D K Q M M S qa a qa⎛ ⎞= − = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠ Trên đoạn CD: q=0 Ö Biểu đồ Q=const => Cần xác định ( )DK 72 4D D Q F Q qa q= − = − a (lực tập trung F tại D); Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 5 Ö Biểu đồ M bậc nhất => Cần xác định 27 4D M qa= (tại D không có mô men tập trung, biểu đồ mô men không có bước nhảy); 2 27 1 3 4 4 2D D Q M M S qa qa a qa⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 3. Vẽ biểu đồ N, Q, M trên từng đoạn (xem hình 1.2) 4. Xét cân bằng các mắt khung Tại mắt C, biểu diễn các ngoại lực, các thành phần ứng lực trên hai mặt cắt ngay sát C thuộc đoạn BC và CD theo chiều thực (căn cứ vào các biểu đồ) Kiểm tra điều kiện cân bằng: Tại mắt khung tổng nội lực và ngoại lực bằng không. 0X =∑ ; ; 0Y =∑ 0CM =∑ kN _ _ qa 4 1 N + + _ qa 4 1 qa 1 4 qa 7 4 qa kN Q 4 7 qa 2 qa 2 3 2 2 qa 2 qa kNm M 1 2 C 2 qa qa 23 2 qa 4 1 1 4 qa qa 2 1 2 Hình 1.2. Biểu đồ nội lực của khung Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 6 1c. Chuyên đề 1c: BIỂU ĐỒ NỘI LỰC CỦA THANH CONG PHẲNG Một số lưu ý khi vẽ biểu đồ nội lực thanh cong phẳng: - Dùng phương pháp mặt cắt, vị trí của mặt cắt ngang được xác định trong hệ toạ độ cực. - Qui ước dấu của lực dọc N và lực cắt Q như đối với thanh thẳng, còn thành phần mô men M được qui ước là dương khi làm thanh cong thêm. - Khi vẽ chú ý đặt các tung độ theo phương vuông góc với trục thanh (phương bán kính) Bài giải mẫu: Sơ đồ H (BTL Sức bền Vật liệu 1) Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong chịu tải trọng như hình vẽ Biết: R= 2m; M1=5 kNm; M2=10 kNm; P1=15kN. AV HA E V 1M M2 1PC D B EA 2R 2R 1 1 2 2 4 4 3 3 Bài giải: 1. Tính phản lực tại các gối A và E Ta có : => 0X =∑ 1 15AH P kN= = ( )1 21 2 10 5.4 0 1,8754 8A E E M MM M M V R V kN R + += + − = => = = =∑ 1,875A EV V kN= = 2. Chia thanh làm 4 đoạn. a. Xét đoạn AB: 10 2 πϕ≤ ≤ Ta có: 1 1 1. os .sin = 1,875 os 15sinA AN V c H c 1ϕ ϕ ϕ= − + − + ϕ 1 ; 1 1 1.sin . os 1,875sin 15 osA AQ V H c cϕ ϕ ϕ= − − = − − ϕ ; VA HA ϕ1 ϕ1 ϕ1 Q N M 1 1 1 1 1 1. .(1 os ) . .sin 3,75. os 30sin 3,75A AM V R c R H cϕ ϕ ϕ ϕ= − − − = − − Bảng biến thiên: Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 7 1ϕ [rad] 0 6 π 4 π 3 π 2 π N [kN] -1,88 5,88 9,28 12,05 15 Q[kN] -15 -13,98 -11,93 -9,12 -1,88 M[kNm] 0 -15,50 -22.31 -27,86 -33,75 b. Xét đoạn BC: 20 2 πϕ≤ ≤ HA Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 8 Ta có: 2 2 2 2.sin . os 1,875.sin 15. osA AN V H c cϕ ϕ ϕ= + = + 2 ϕ 2 2 2os sin 1,875 os 15sinA AQ V c H cϕ ϕ ϕ= − + = − + ϕ ; Q=0 => 02 7,13ϕ = B VA M1 ϕ2 ϕ2 ϕ2 M N Q 2 2 ( )2 1 2 2 21 sin os 3,75 3,75sin 30 os 5A AM V R M H Rc cϕ ϕ ϕ ϕ= − + + − = − − − + ( )02ax 7,13 29( )mM M kϕ == = Nm Bảng biến thiên: 2ϕ [rad] 0 6 π 4 π 3 π 2 π N [kN] 15,00 13,93 11,93 9,12 1,88 Q[kN] -1,88 5,88 9,28 12,05 15 M[kNm] -28,75 -26,61 -22,61 -17,00 -2,5 c. Xét đoạn ED: 30 2 πϕ≤ ≤ Ta có: 3 1 3 3. os .sin 1,875. os 15.sinEN V c P c 3ϕ ϕ ϕ ϕ= − + = − + 3 E 3 1 3 3.sin . os 1,875.sin 15. osQ V P c cϕ ϕ ϕ= − − = − − ϕ 3 3 1 3 3 . .(1 os ) . .sin = 3,75. os 30.sin 3,75 EM V R c R P c ϕ ϕ ϕ ϕ = − − − − − − V E E N M Q 3 3 P1 ϕ3 ϕ3 ϕ3 Bảng biến thiên: 3ϕ [rad] 0 6 π 4 π 3 π 2 π N [kN] -1,88 5,88 9,28 12,05 15,00 Q[kN] 15,00 12,05 9,28 5,88 -1,88 M[kNm] 0 -15,5 -22,31 -27,86 -33,75 d. Xét đoạn CD: 40 2 πϕ≤ ≤ Ta có: Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 9 4 1 4 4.sin . os 1.875.sin 15. osEN V P c c 4ϕ ϕ ϕ= + = + ϕ 4 4 1 4 4. os .sin 1,875. os 15. osEQ V c P c cϕ ϕ ϕ ϕ= − + = − + 4 ; Q=0 => 04 7,13ϕ = 4 2 1 4 4 . .(1 sin ) os 3.75 3,75sin 30. os 10 EM V R M PRc c ϕ ϕ ϕ ϕ = − + + − = − − − + ( )04ax 7,13 24( )mM M kϕ == = Nm E V E 2M D 1P M M M 2 2 ϕ4 ϕ4 ϕ4 Bảng biến thiên: 4ϕ [rad] 0 6 π 4 π 3 π 2 π N [kN] 15,00 13,93 11,93 9,12 1,88 Q[kN] -1,88 5,88 9,28 12,05 15,00 M[kNm] -23,75 -21,61 -17,61 -12,00 2,50 BIỂU ĐỒ NỘI LỰC kN 15 N15 1,88 5,88 9,28 12,05 9,12 11,93 13,93 1,88 5,88 9,28 12,05 13,93 11,93 9,12 1,88 + 7,13o + + kN 10 Q + 5,88 9,28 12,05 5,88 9,28 12,05 12,05 9,28 5,88 15 13,98 11,93 9,12 1,88 15 15 _ + + 1,88 o7,13 7,13o kNm 2,5 10 M 15,50 22,31 27,86 33,75 28,75 Mmax=29 26,61 22,61 17,00 12,00 17,61 21,61 Mmax=24 23,75 33,75 27,86 22,31 15,50 7,13 o 7,13 o Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 10 1.2. Đề bài tập tự giải Bài 1.1: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của dầm chịu tải trọng như hình vẽ F =qa a a a M=4qa2 2 1 q F =2qa Bài 1.2: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của dầm chịu tải trọng như hình vẽ q 2M=qa 2F=qa a 3a a Bài 1.3: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của dầm chịu tải trọng như hình vẽ Biết q=10kN/m; F=4kN; M0=2kNm; a=1m. aa q a 0M F Bài 1.4: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của dầm chịu tải trọng như hình vẽ Biết q=30kN/m; F=36kN; M0=48kNm; a=2m. q M 00 a a a 2a M F Bài 1.5: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của thanh cong chịu tải trọng như hình vẽ. Biết F=5kN; R=4m. Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 11 FF F 45 R R 0 Bài 1.6: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của thanh cong chịu tải trọng như hình vẽ theo q và R. q R Bài 1.7: Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của khung phẳng chịu tải trọng như hình vẽ với M0=4kNm; F=5kN; q=2kNm F M 0 a a a 2a Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 12 Bài 1.8: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm cho trên hình sau: Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 13 Bài 1.9: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm cho trên hình sau: Bài 1.10: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm cho trên hình sau: a, b, Bài 1.11: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm cho trên hình sau: q=2kN/m A B 2m1m c P=4kN M=16kNm 1m q=10kN/m A B M=5kNm P=10kN 2m 1m 1m c d q A B M=qa 2a a c P=qa 2 a d q A B 2aa c P=6qa a q B a, Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 14 b, Bài 1.12: Không cần tính phản lực, vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn của dầm Bài 1.13: Không cần tính phản lực, vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn của dầm a, b, Bài 1.14: Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn của dầm chịu tải trọng là ngẫu lực phân bố như trên hình sau. Hãy phát biểu quan hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực trong trường hợp này. 3m P=4kN A 1m 1m qo=2kN/m B A B 3a qM=qa2 a A B a M M 3a q a a P=qa A B a m 2 .sin zq a π Bài 1.15: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu tải phân bố q(z)= Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 15 2 .sin zq a π Bài 1.16: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu tải trọng phân bố không đều q(z) như hình sau: a, b, Bài 1.17: Vẽ biểu đồ nội lực của các dầm tĩnh định nhiều nhịp như hình sau: a, 3a a 2q q A B a L q parabol bËc 2 L parabol bËc 2 q P=2qa a 1.5a a b, a a a qq q c, Bài 1.18: Đã biết biểu đồ mômen uốn của các dầm đặt trên hai gối tựa A và B như trên hình sau. Hãy vẽ biểu đồ lực cắt và xác định tải trọng tác dụng len các dầm đó. - Pa Pa A B a a a + a, Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 16 b, A B qa2 1,5qa2 parabol bËc 2 - + Bài 1.19: Đã biết biểu đồ lực cắt Q và một phần biểu đồ mômen uốn M của dầm cho trên hình vẽ. Hãy vẽ đầy đủ toàn bộ biểu đồ M và sơ đồ tải trọng tác dụng lên dầm. a 2a 2a a2a Mo=3qa2 2a 1,6a 1,4a 2qa2 1,2qa2