Trường điện từ - Electromagnetic field theory

vector Hertz điện Tìm ? Thay (2.22) vào (2.12) ta được (2.27) Hay (2.28) Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được (2.29) Đặt (2.30) gọi là vector phân cực của nguồn điện Phương trình (2.29) được viết lại (2.31) Như vậy: vector phân cực là nguồn tạo ra vector Hertz điện . Do đó còn gọi là thế vector phân cực điện. 2.3.2 Vector Hertz từ Tương tự cách làm của vector Hertz điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn của hệ phương trình Maxwell ta có (2.32) Trong đó: gọi là vector Hertz từ (2.33) (2.34) (2.35) Nhận xét: và đươc biểu diễn qua vector Hertz từ Tìm ? (2.36) Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được (2.37) Đặt (2.38) gọi là vector từ hoá của nguồn từ (2.37) được viết lại (2.39) Như vậy: vector từ hoá là nguồn tạo ra vector Hertz từ . Do đó còn gọi là thế vector từ hoá. Nhận xét: và được biểu diễn qua vector Hertz điện hoặc vector Hertz từ đơn giản hơn phương pháp dùng các thế điện động. 2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ Trường hợp các vector Hertz điện và vector Hertz từ chỉ có một thành phần. Trong hệ toạ độ Decac các vector Hertz điện và vector Hertz từ theo phương z là (2.40) (2.41) - Trường của nguồn điện (ứng với vector Hertz điện một thành phần) sẽ có theo phương z bằng 0 (Hz = 0), còn các thành phần khác của nói chung khác 0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM - Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ một thành phần) sẽ có theo phương z bằng 0 (Ez = 0), còn các thành phần khác của nói chung khác 0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường điện từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ 2.4. Tìm nghiệm của phương trình sóng Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm của các phương trình d’ Alambert chỉ cần xác định hoặc . Do đó có thể sử dụng một hàm vô hướng để đại diện cho jE và jM hoặc bất cứ thành phần nào trong hệ toạ độ Decac của , , và , phương trình d’ Alambert được viết lại (2.42) g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V Nghiệm của (2.42) bằng tổng nghiệm của phương trình sóng thuần nhất không vế phải và nghiệm riêng của phương trình sóng thuần nhất có vế phải, tức là tìm nghiệm của phương trình sau (2.43) Đối với trường hợp nguồn điểm đặt ở gốc toạ độ. Vì nguồn điểm có tính đối xứng cầu nên hàm y chỉ phụ thuộc r và t. Trong hệ toạ độ cầu ta có (2.44) Đặt f = ry ta có (2.45) Nghiệm của phương trình vi phân (2.45) là (2.46) Suy ra (2.47) Trong đó: là vận tốc truyền sóng trong môi trường; f1 và f2 là các hàm tuỳ ý mô tả sóng cầu phân kì truyền từ nguồn ® vô cùng mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng ® nguồn Điều kiện bức xạ tại vô cùng: (2.48) Trong đó: là số sóng Nhận xét: vì là nguồn điểm đặt tại gốc toạ độ và không gian là vô hạn nên theo điều kiện bức xạ tại vô cùng ta chọn nghiệm của phương trình sóng (2.43) cho nguồn điểm là hàm f1 và loại bỏ hàm f2 Vậy (2.49) Nếu r ® 0 (tại gốc toạ độ) thì nghiệm (2.49) không thoả mãn phương trình sóng thuần nhất mà phải thoả mãn phương trình sóng d’ Alambert vì thế ta phải chọn dạng của f1 sao cho y là nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert và phải thoả mãn trường ở trạng thái dừng. Ở trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại (2.50) gọi là phương trình sóng Poisson và có nghiệm là (2.51) Lưu ý : r là khoảng cách từ vị trí quan sát trường đến yếu tố vi phân gdV. Theo (2.49) và (2.51) ta chọn dạng hàm của f1 như sau (2.52) Như vậy, nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert là (2.53) Nhận xét: trường ở thời điểm t tại vị trí quan sát bằng giá trị của nguồn ở thời điểm t’ sớm hơn t một khoảng thời gian là (2.54) Như vậy, trường tại vị trí quan sát chậm pha so với nguồn một khoảng thời gian t’ nên (2.53) gọi là thế chậm của trường điện từ. Tương tự như nghiệm (2.53) ta có (2.55) (2.56) Đối với trường điều hoà ta có (2.57) (2.58) (2.59) Các thế chậm được tính là (2.60) (2.61) (2.62) 2.5. Trường điện từ của lưỡng cực điện Lưỡng cực điện là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten. Thí dụ về lưỡng cực điện, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng điện biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài Để đơn giản ta có giả thiết như sau - đặt trong điện môi lí tưởng: s = 0; e, m = const - l << l, l là chiều dài của lưỡng cực điện và l là bước sóng của trường điện từ do nó phát ra - Dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện biến thiên điều hoà với tần số góc w - r >> l, r là khoảng cách r từ vị trí quan sát trường điện từ đến lưỡng cực điện Ứd phương pháp thế chậm để tính trường 2.5.1. Trường điện từ của yếu tố lưỡng cực điện Chọn hệ toạ độ cầu có gốc O nằm tại trọng tâm của lưỡng cực điện, trục lưỡng cực điện hướng theo Oz và dòng điện cung cấp cho lưỡng cực điện có dạng (2.63) Trong đó: S là tiết diện của lưỡng cực điện Vì dòng điện cung cấp hướng theo trục Oz và tồn tại trong thể tích V = Sl nên tại vị trí quan sát trường M chỉ có một thành phần hướng theo trục Oz. Thế chậm của lưỡng cực điện là (2.64) Lưu ý: Sở dĩ tính được tích phân (2.64) là do giả thiết biên độ và pha của dòng điện cung cấp là không đổi trên toàn lưỡng cực điện và do r >> l nên khoảng cách từ bất cứ điểm nào trên lưỡng cực điện đến vị trí xác định trường đều bằng r. Trong hệ toạ độ cầu ta có công thức (2.65) và là các vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu Khi đó (2.64) được viết lại (2.66) Cường độ từ trường của lưỡng cực điện là (2.67) Suy ra (2.68) là vector đơn vị trong hệ toạ độ cầu Từ hệ phương trình Maxwell không nguồn điện tích ta có (2.69) Khi đó cường độ điện trường của lưỡng cực điện được tính là (2.70) Nhận xét: Các biểu thức tính và trong (2.68) và (2.70) của bức xạ lưỡng cực điện đều có thừa số và biên độ tỉ lệ nghịch với r, có mặt đẳng pha là mặt cầu bán kính r. Như vậy trường bức xạ lưỡng cực điện có tính chất của sóng cầu. Vận tốc dịch chuyển của mặt đẳng pha gọi là vận tốc pha vph Ta có phương trình của mặt đẳng pha là f = wt – kr = const df = wdt – kdr = 0 (2.72) Và (2.73) Nếu nhân các biểu thức của (2.68) và (2.70) với eiwt và lấy phần thực của và ta có giá trị tức thời của chúng là (2.74) 2.5.2. Trường ở vùng gần Khi r > l thì gọi là trường ở vùng gần Do r << l nên kr = << 1 và trong (2.74) nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao so với và độ lệch pha kr ta có (2.75) Nhận xét: Hj lệch pha so với Er và Eq một góc nên vector Poynting trung bình = re = 0, có nghĩa là năng lượng trường điện từ của lưỡng cực điện ở vùng gần chủ yếu là của dao động xung quanh nguồn, không mang tính chất sóng, gọi là vùng cảm ứng . Hình 2.1 trình bày cấu trúc đường sức của và I 2.5.3. Trường ở vùng xa Khi r >> l thì thì gọi là trường ở vùng xa Do r >> l nên kr = >> 1 và trong (2.74) nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao so với ta có (2.76) Nhận xét: - Trường ở vùng xa của lưỡng cực điện chỉ gồm 2 thành phần Hj và Eq đồng pha, vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r, vector Poynting phức chỉ có phần thực = re ¹ 0, năng lượng trường điện từ bức xạ vào trong không gian. Vì vậy vùng xa gọi là vùng bức xạ - Biên độ của Hj và Eq tỉ lệ với w, tỉ lệ nghịch với l. Nếu có cùng giá trị dòng điện Im, ở cùng khoảng cách và tần số càng cao thì Hj và Eq càng lớn - Biên độ của Hj và Eq tỉ lệ với sinq nên trường bức xạ của lưỡng cực điện có tính định hướng trong không gian. Chúng đạt cực đại tại mặt phẳng và bằng 0 theo phương của lưỡng cực điện q = 0. - Trường bức xạ có tính định hướng, thường được mô tả bằng giản đồ hướng. Giản đồ hướng của lưỡng cực điện, kí hiệu F(q, j), là hàm được xác định bởi biểu thức: (2.77) q q = 00 q = 900 E = 0 E = Emax Mặt phẳng kinh tuyến j Mặt phẳng vĩ tuyến Z 2.5.4. Công suất bức xạ, trở bức xạ Công suất bức xạ của lưỡng cực điện được tính theo công thức (2.78) dq dj I r Trong đó (2.79) Vi phân mặt cầu dS = r2sinqdqdj Suy ra (2.80) Trong đó (2.81) Rbx - trở bức xạ của lưỡng cực điện Đặt [W] (2.82) zc - trở sóng của môi trường Trong chân không hoặc không khí, ta có e = m = 1, do đó 2.6. Trường điện từ của lưỡng cực từ Lưỡng cực từ là yếu tố bức xạ sóng điện từ, là thành phần cơ bản của anten Thí dụ về lưỡng cực từ, một đoạn dây dẫn ngắn mảnh bên trong có dòng từ biến đổi do nguồn cung cấp bên ngoài. Cách làm tương tự như đối với lưỡng cực điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn và trong các công thức (2.68) và (2.70) thay bằng , thay bằng , thay m bằng - e và thay bằng (2.83) (2.84) I Theo (2.83) và (2.84) cho thấy trường bức xạ của lưỡng cực từ cũng là sóng cầu, , ~ r, w , có tính định hướng trong không gian Vai trò của điện trường và từ trường lưỡng cực từ so với của lưỡng cực điện thay thế cho nhau. Vì vậy cấu trúc đường sức của chúng là giống nhau với và đổi chỗ cho nhau 2.6.1 Trường điện từ của vòng dây Nhận xét: trong thực tế, người ta có thể tạo ra trường điện từ xung quanh 1 vòng dây nhỏ mảnh có dòng điện biến đổi Im chạy qua tương tự như lưỡng cực từ. Vòng dây dẫn này gọi là anten khung nguyên tố. Giả sử: - mặt phẳng vòng dây nằm trùng với mặt phẳng vĩ tuyến của hệ toạ độ cầu - kích thước vòng dây rất nhỏ so với bước sóng của trường điện từ do nó phát ra - dòng điện biến đổi điều hoà theo thời gian với tần số góc w: với biên độ và pha dọc theo đường dây có giá trị như nhau Theo (2.61) thế chậm tại điểm Q thuộc trường điện từ do vòng dây phát ra (2.85) Trong đó: r’ là khoảng cách từ điểm Q đến yếu tố vi phân Ta có: , (2.86) Suy ra (2.87) Vì dòng điện chạy trong dây dẫn chỉ theo phương vĩ tuyến j nên thế chậm của nó cũng chỉ có 1 thành phần hướng theo phương vĩ tuyến Thí dụ: Xét 2 yếu tố vi phân của vòng dây đặt đối xứng với nhau qua mặt phẳng P đi qua điểm tính trường Q và vuông góc với mặt phẳng vòng dây (mặt phẳng P gọi là mặt phẳng kinh tuyến). Mỗi một yếu tố vi phân lại phân tích thành 2 yếu tố vi phân: // (P) và ^ (P). Nhận xét: - thế vector do các yếu tố vi phân tạo ra tại Q có cùng giá trị nhưng hướng ngược nhau nên bị triệt tiêu - thế vector do các yếu tố vi phân tạo ra tại Q có cùng giá trị và cùng hướng với nhau nên tăng gấp đôi. P j q r r’ O a a’ b R I Q O a’ R I j j dl dl’’ dl’ dl’ dl’’ dl Do đó tích phân trong (2.87) chỉ cần lấy theo yếu tố vi phân . Hơn nữa do tính đối xứng của đối với mặt phẳng P nên tích phân trên chỉ cần lấy theo nửa vòng dây và nhân đôi Ta có: dl’ = dl cosj = Rcosj dj (2.88) Trong đó: R là bán kính của vòng dây Suy ra: (2.89) Trong đó: là vector đơn vị hướng theo phương vĩ tuyến, theo hình vẽ trên ta có các hệ thức sau , (2.90) Hay (2.91) Trong đó: r là khoảng cách từ O đến Q Theo giả thiết r’ >> R nên cho R2 = 0 và từ (2.91) ta có Suy ra Và Khi l >> R thì kR << 1, do đó có thể xem Suy ra Thay vào tích phân trong (2.89) ta có (2.92) Và (2.93) (2.94) (2.95) Dễ thấy rằng trường bức xạ của vòng dây dẫn có tính chất tương tự như trường bức xạ của lưỡng cực từ và sẽ hoàn toàn giống nhau nếu thoả mãn điều kiện sau (2.96) Đặt (2.97) gọi là moment lưỡng cực từ Đặt (2.98) gọi là moment từ của vòng dây dẫn có dòng điện và diện tích S Khi đó trường bức xạ của lưỡng cực từ và vòng dây dẫn là tương đương nhau (2.99) Từ các biểu thức (2.94) và (2.95) ta tính được thành phần trường bức xạ của vòng dây ở vùng xa là (2.100) Công suất bức xạ và trở bức xạ của vòng dây được tính là (2.101) (2.102) 2.7. Trường điện từ của yếu tố diện tích mặt Xét trường bức xạ của yếu tố vi phân diện tích mà trên đó có dòng điện và từ mặt chảy vuông góc với nhau. Giả sử yếu tố vi phân diện tích nằm trong mặt phẳng xOy có dạng hình chữ nhật kích thước a, b Dòng điện mặt hướng theo trục x: IESx bthiên điều hoà theo thời gian Dòng từ mặt hướng theo trục y: IMSy bthiên điều hoà theo thời gian S << l nên biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là giống nhau trên toàn bộ yếu tố vi phân diện tích S, còn gọi là nguyên tố Huyghens IESx IMSy O a b x z y Áp dụng các nghiệm thế chậm cho trường bức xạ của yếu tố vi phân diện tích với dòng điện mặt IESx và dòng từ mặt IMSy ta có (2.103) (2.104) Vì dòng điện mặt IESx hướng theo trục x nên cũng chỉ có thành phần này, tương tự dòng từ mặt IMSy hướng theo trục y nên cũng chỉ có thành phần này Theo giả thiết, biên độ và pha của dòng điện và từ mặt là không đổi trên toàn yếu tố vi phân diện tích, khoảng cách từ điểm quan sát trường đến yếu tố diện tích lớn hơn rất nhiều so với kích thước của yếu tố diện tích, do đó có thể đưa các biểu thức trong dấu tích phân của (2.103) và (2.104) ra ngoài (2.105) (2.106) Trong đó: r là khoảng cách từ điểm quan sát trường đến gốc toạ độ S = ab là diện tích của yếu tố mặt Các thành phần của thế vector trong hệ toạ độ cầu và hệ toạ độ Decac liên hệ với nhau như sau (2.107) Do chỉ có và khác 0, ta có (2.108) (2.109) Áp dụng các công thức (2.6) và công thức 1 của (2.15) cho (2.108) và (2.109), ta được Khảo sát trường bức xạ của yếu tố diện tích ở vùng xa Khi tính trường ta chỉ quan tâm đến số hạng suy giảm , bỏ qua các số hạng bậc cao hơn . Do đó khi tính rot trong hệ toạ độ cầu của (2.108) và (2.109) ta chỉ giữ lại các thành phần với đạo hàm và được giữ lại, còn các số hạng bậc cao hơn được bỏ qua và ta có (2.110) Sử dụng các phương trình Maxwell thứ nhất và thứ hai cho các biểu thức (2.110) ta có (2.111) Lấy tổng các biểu thức của (2.110) và (2.111) theo các thành phần của Eq và Ej ta được (2.112) Trong đó: Tương tự, theo các thành phần của Hq và Hj ta được (2.113) Nhận xét: - Các công thức (2.112) và (2.113) cho thấy rằng trường bức xạ ở vùng xa của yếu tố vi phân diện tích trong mặt phẳng kinh tuyến có đặc trưng hướng dạng đường cong cardioid - Trường bức xạ của nguyên tố Huyghens cũng tương tự như trường bức xạ của lưỡng cực điện và lưỡng cực từ đặt vuông góc và cùng chung điểm giữa mặt phẳng xy C(1+acosq) z Chương 3 SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG Sóng phẳng: mặt đồng pha là mặt phẳng Sóng trụ: mặt đồng pha là mặt trụ Sóng cầu: mặt đồng pha là mặt cầu Trong thực tế, sóng điện từ được tạo ra từ các nguồn nhân tạo đều là sóng trụ và sóng cầu. Sóng phẳng chỉ là mẫu lí tưởng của sóng điện từ. Mục tiêu: khảo sát các tính chất của sóng điện từ phẳng lan truyền trong môi trường đồng nhất đẳng hướng và không đẳng hướng, sự phản xạ và khúc xạ tại các mặt phân cách, sự phân cực và các hiệu ứng khác. Nguồn sóng điện từ là điều hoà với w và rất xa với điểm khảo sát. 3.1. Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng 3.1.1. Sóng phẳng đồng nhất TEM (transverse electromagnetic wave) - Nếu trong mặt đồng pha của sóng điện từ có biên độ của và bằng nhau tương ứng tại mọi điểm thì sóng phẳng được gọi là đồng nhất - Phương trình Maxwell của sóng phẳng điều hoà trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng với các biên độ phức của và trong hệ toạ độ Decac có dạng (1) (2) (3) (4) (5) (6) P O l y z Trong đó: Oz º phương truyền sóng mặt phẳng đồng pha và đồng biên của sóng phẳng chính là mặt phẳng P // mặt phẳng xOy và có phương trình z = l và có giá trị như nhau trên toàn mặt phẳng P và Ï x, y; chỉ Î z, t. Khi đó: (3.1) (3.2) Vậy: sóng phẳng đồng nhất lan truyền trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng không có các thành phần dọc theo phương truyền sóng z của và . Các và nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Sóng phẳng đồng nhất có tính chất như vậy gọi là sóng điện từ ngang, kí hiệu là sóng TEM. 3.1.2. Nghiệm phương trình sóng Từ các phương trình (1), (2), (4) và (5) ta có: (7) (8) (9) (10) Trong đó: - số sóng phức Nhận xét: - vì các phương trình sóng (7), (8), (9) và (10) giống nhau nên chỉ cần tìm nghiệm của một trong số các phương trình sóng này. - đây là các phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất có hệ số không đổi, do đó nghiệm của phương trình sóng (7), chẳng hạn, có dạng là (3.3) P O l y z Trong đó: - biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z > 0: sóng tới tại mặt phẳng P - biểu thị sóng phẳng truyền theo trục z < 0: sóng phản xạ tại mặt phẳng P - , là các biên độ phức của sóng tới và sóng phản xạ tương ứng Tương tự ta có nghiệm của các phương trình sóng (8), (9) và (10) là (3.4) Suy ra (3.5) Để tìm mối liên hệ giữa và cho sóng tới và sóng phản xạ, bằng cách quay hệ toạ độ Decac sao cho trục x //, do đó trục y // , ta có x y O vì vì (3.6) Từ phương trình Maxwell (1), điều kiện (3.6) và các nghiệm (3.3), (3.4) ta có mối liên hệ giữa và cho sóng tới và sóng phản xạ như sau (3.7) Trong đó: (3.8) Từ (3.7) dạng của và cho sóng phẳng TEM được viết lại (3.9) Hoặc (3.10) b a g O x y z l Để đơn giản trong những phần sau ta chỉ xét đối với sóng tới lan truyền trong môi trường rộng vô hạn. Dạng của và của sóng phẳng TEM lan truyền dọc theo phương z được biểu diễn trong (3.9) hoặc (3.10). Tương tự theo phương l bất kỳ hợp với Ox, Oy và Oz tạo thành các góc a, b và g. Ta có: (3.11) nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương l. Và (3.12) là vector đơn vị của phương truyền sóng l. Số sóng phức kP và trở sóng phức ZP có thể viết lại (3.13) Trong đó a, b và y là các số thực a là hệ số tổn hao của môi trường b là hệ số pha của sóng y argument của trở sóng phức Khi đó a, b, và y biểu diễn qua w, e, m và thời giandE như sau (3.14) (3.15) (3.16) (3.17) Vận tốc pha vph của sóng phẳng chính là vận tốc dịch chuyển mặt đồng pha của nó. Khi đó theo (3.10) và (3.13), giả sử môi trường không tổn hao a = 0, mặt đồng pha của sóng tới có dạng (3.18) Suy ra (3.19) Cho nên vận tốc pha vph được xác định bởi (3.20) Trong đó v là vận tốc truyền sóng phẳng trong môi trường rộng vô hạn Vector Poynting trung bình của sóng tới hướng theo phương truyền z được tính là (3.21) Lưu ý: Vì và đồng pha nên y = 0 Þ 3.2 Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất và đẳng hướng 3.2.1. Sóng phẳng đồng nhất trong điện môi lí tưởng Xét sóng điện từ phẳng đồng nhất truyền dọc theo trục z > 0 (sóng tới) trong điện môi lí tưởng đồng nhất, đẳng hướng và rộng vô hạn. Vì môi trường truyền sóng điện từ là điện môi lí tưởng nên s = 0, , kP = k và ZP = Z. Từ các biểu thức (3.14) – (3.21) ta có (3.22) và có dạng là (3.23) Hoặc (3.24) Nhận xét: và vuông góc với nhau và cùng vuông góc với phương truyền sóng và luôn đồng pha và có biên độ không đổi dọc theo phương truyền sóng Vận tốc pha vph là hằng số bằng vận tốc truyền sóng trong môi trường Môi trường không tổn hao năng lượng, không tán sắc sóng điện từ, trở sóng Z là một số thực 3.2.2. Sóng phẳng đồng nhất trong môi trường dẫn điện Trong môi trường dẫn điện s ¹ 0, số sóng và trở sóng là các đại lượng phức, Như đã nói ở trên chỉ xét đối với sóng tới, do đó theo (3.10) và (3.13) và có dạng ....... (3.25) z x y Nếu môi trường có điện dẫn suất s rất lớn, chẳng hạn như kim loại, một cách gần đúng xem s ® ¥, do đó thời gian dE >> 1 nên theo các biểu thức (3.14) – (3.21) ta có (3.26) góc tổn hao a ¹ 0 nên sóng điện từ bị tổn hao năng lượng, biên độ của và suy giảm theo quy luật hàm mũ e-az dọc theo phương truyền sóng z. và lệch pha nhau một góc y = argZP vph là hàm số phụ thuộc tần số w, có nghĩa là w thay đổi trong quá trình lan truyền sóng điện từ Þ sóng phẳng trong môi trường dẫn điện bị tán sắc. Do đó môi trường dẫn điện là môi trường tán sắc. 3.3. Hiệu ứng bề mặt trong vật dẫn Nhận xét: Theo công thức nhận thấy rằng Trong vật dẫn điện tốt s rất lớn và nếu tần số sóng điện từ w càng cao thì a càng lớn. Do đó biên độ của và suy giảm rất nhanh khi truyền vào bên trong vật dẫn, có nghĩa là sóng điện từ chỉ tồn tại một lớp rất mỏng sát bề mặt của vật dẫn điện tốt. Dòng điện cao tần chạy trong vật dẫn cũng chỉ chạy ở lớp mặt ngoài. Chẳng hạn f = 1 kHz thì d = 2 mm và f = 100 kHz thì d = 0,2mm. Ứd: lưỡng kim thép – Cu làm dây dẫn dòng điện cao tần Å ¤ ¤ Å Thép Cu Hiện tượng sóng điện từ hoặc dòng điện cao tần khi truyền trong vật dẫn điện tốt chỉ tập trung ở một lớp mỏng bề mặt gọi là hiệu ứng bề mặt hay hiệu ứng skin Đại lượng đặc trưng cho hiệu ứng bề mặt là độ thấm sâu của trường hay độ dày lớp skin d, đó là khoảng cách sóng điện từ đi từ bề mặt vào sâu bên trong vật dẫn mà tại đó biện độ của và giảm đi e = 2,718... lần so với giá trị tại bề mặt. Theo (3.25) và (3.26) ta có (3.27) Trong đó: Em0 và Hm0 là biên độ của và tại bề mặt vật dẫn (z = 0). Theo định nghĩa độ thấm sâu của trường ta có (3.28) Suy ra (3.29) Nhận xét: Trong công thức (3.29), s và m là các tham số điện của vật dẫn điện. Độ thấm sâu của trường d tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của tần số w và điện dẫn suất s của vật dẫn. Chẳng hạn Ag, Cu, Al ... có độ thấm sâu của trường rất bé cỡ d = 0,5 mm ở dải sóng vô tuyến f = 106 Hz. Do đó các kim loại này dùng làm màn chắn sóng điện từ rất tốt. Do có h/ứ bm nên dòng điện cao tần có cường độ phân bố không đều trong cùng một tiết diện ngang của dây dẫn, do đó trở kháng cũng không đều nhau tương ứng. Để tiện tính toán người ta đưa ra khái niệm trở kháng mặt riêng của vật dẫn Trở kháng mặt riêng của vật dẫn, kí hiệu ZS, là tỉ số điện áp của trường rơi trên một đơn vị chiều dài theo chiều dòng điện và giá trị dòng điện chạy qua một đơn vị chiều rộng đặt vuông góc với nó Xét vật dẫn phẳng, rộng vô hạn và bề dày đủ lớn. Chọn hệ toạ độ Decac có trục z trùng với phương truyền sóng, mặt phẳng vật dẫn trùng với mặt phẳng xOy. x y z O Giả sử º Ox. Theo định luật Ohm ta có: (3.30) Lưu ý: Tích phân (3.30) được lấy từ 0 ® ¥, mặt dù bề dày vật dẫn là hữu hạn nhưng dòng điện cao tần chỉ chạy trên lớp bề mặt rất mỏng nên bề dày vật dẫn có thể xem là vô hạn. Cường độ điện trường tại bề mặt vật dẫn bằng điện áp rơi trên một đơn vị chiều dài dọc theo chiều dòng điện nên ta có do a = b (3.31) Trong đó: là điện trườngở mặt riêng của vật dẫn. (3.32) RS chính là nguyên nhân làm tổn hao sóng điện từ trong vật dẫn. Năng lượng sóng điện từ biến thành nhiệt năng đốt nóng vật dẫn. cS là phần kháng của trở kháng mặt riêng của vật dẫn ZS. Nhận xét: Biểu thức (3.32) cho thấy rằng muốn giảm tổn hao năng lượng sóng điện từ truyền dọc vật dẫn cần phải sử dụng các kim loại dẫn điện tốt như Au, Ag, Cu ... 3.4. Sự phân cực của sóng phẳng Sóng điện từ có các vector và dao động theo phương xác định gọi là sóng phân cực. Ngược lại nếu các vector và dao động theo mọi phương ngẫu nhiên gọi là sóng không phân cực. Sóng điện từ phẳng có nhiều dạng phân cực như: phân cực elip, phân cực tròn và phân cực thẳng. 3.4.1. Phân cực elip Trong quá trình truyền sóng nếu ngọn của vector vạch một hình elip trong không gian gọi là sóng phân cực elip. Sóng phân cực elip chính là tổng hợp của 2 sóng thành phần cùng tần số, cùng phương truyền, nhưng phương của vuông góc nhau. Giả sử có 2 sóng phẳng như sau: (3.33) Sóng tổng hợp có dạng (3.34) Đây là phương trình mô tả đường elip trong mặt phẳng toạ độ (E1, E2). Trục lớn của elip hợp với trục Ox một góc y được tính theo: (3.35) Trong đó: Emx > Emy Trong quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector tổng hợp vạch nên một đường elip xoắn trong không gian 3.4.2. Phân cực tròn Nếu 2 sóng thành phần có biên độ bằng nhau: Emx = Emy = Em và lệch pha nhau một góc . Suy ra , và phương trình (3.34) trở thành (3.36) Đây là phương trình mô tả đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (E1, E2). Trong quá trình truyền sóng theo trục z, ngọn của vector tổng hợp vạch nên một đường tròn xoắn trong không gian, gọi là sóng phân cực tròn. Nếu nhìn theo chiều truyền sóng vector tổng hợp quay thuận chiều kim đồng hồ, ta có sóng phân cực tròn quay phải. Nếu nhìn theo chiều truyền sóng vector tổng hợp quay ngược chiều kim đồng hồ, ta có sóng phân cực tròn quay trái. Chiều quay của vector tổng hợp phụ thuộc vào dấu của góc lệch pha 3.4.3. Phân cực thẳng (tuyến tính) Trong quá trình truyền sóng theo trục z, vector luôn hướng song song theo một đường thẳng gọi là sóng phân cực thẳng hay sóng phân cực tuyến tính. trường hợp này góc lệch pha của 2 sóng thành phần có giá trị j = 0, ±p, ±2p, ... Suy ra sinj = 0, cosj = ±1 và phương trình (3.34) trở thành (3.37) Hay (3.38) Đây là phương trình mô tả đường thẳng đi qua gốc toạ độ hợp với trục Ox một góc y’ được tính theo (3.39) Nhận xét: Tuỳ thuộc vào hướng của vector người ta còn phân thành 2 trường hợp phân cực ngang và phân cực đứng. x y y’ Emx Emy O 3.5. Sự phản xạ và khúc xạ của sóng phẳng Mục tiêu phần này nghiên cứu qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt phẳng phân cách rộng vô hạn giữa 2 môi trường có tham số điện khác nhau. Để đơn giản ta chỉ xét đối với sóng phẳng tới phân cực thẳng ngang và đứng. 3.5.1. Sóng tới phân cực ngang Nếu vector của sóng tới vuông góc với mặt phẳng tới, gọi là sóng phân cực ngang. Trong trường hợp này vector của sóng tới sẽ song song với mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Tìm qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ ? Chọn hệ toạ độ Decac có mặt xOy º mặt phẳng phân cách 2 môi trường, trục z trùng với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Hai môi trường là điện môi có các tham số điện e1, m1, e2, m2 tương ứng. Vì sóng tới là sóng phẳng truyền theo phương zt, lập với pháp tuyến z một góc jt nên có thể quay trục toạ độ quanh trục z để cho trục x của nó chỉ phương của vector của sóng tới. Tại mặt phẳng phân cách sẽ có sóng phản xạ lại môi trường 1 với góc phản xạ jphản xạ truyền theo hướng zpx, còn sóng khúc xạ tại mặt phẳng phân cách với góc khúc xạ y đi vào môi trường 2 theo phương zkx. Theo h.vẽ nhận thấy rằng của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ chỉ có 1 thành phần theo trục x, còn của các sóng trên có 2 thành phần theo trục y và z. Áp dụng các biểu thức (3.4) và (3.5) ta có: Sóng tới (3.40) Sóng phản xạ (3.41) Sóng khúc xạ (3.42) Trong đó: và là số sóng của môi trường 1 và 2 tương ứng. Các phương truyền sóng zt, zpx và zkx biểu diễn qua x, y, z như sau: (3.43) jpx jt y zpx zt zkx y z O Vì các môi trường đều là điện môi nên áp dụng điều kiện biên cho và tại mặt phẳng phân cách xOy (z = 0) ta có: (3.44) Thay các biểu thức (3.40) - (3.43) vào (3.44) và cho z = 0 ta có: (3.45) (3.45) luôn thoả mãn "y ta lại có: (3.46) Từ biểu thức cuối của (3.46) suy ra: (3.47) (3.48) Nhận xét: (3.47) mô tả định luật phản xạ sóng điện từ tại mặt phẳng phân cách. (3.48) mô tả định luật khúc xạ sóng điện từ. Đặt và (3.49) lần lượt là chiết suất của môi trường 1 và 2. Giả sử m1 = m2 = m thì định luật khúc xạ của sóng điện từ phẳng có dạng giống như trong quang học (3.50) Để mô tả giữa các biên độ phức của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ người ta đưa ra khái niệm hệ số phản xạ và hệ số khúc xạ. Hệ số phản xạ (reflective modulus) là tỉ số giữa biên độ phức của sóng phản xạ và sóng tới tính cho , kí hiệu R. Hệ số khúc xạ (refractive modulus) là tỉ số giữa biên độ phức của sóng khúc xạ và sóng tới tính cho , kí hiệu T. Đối với sóng phân cực ngang ta có: và (3.51) Theo hvẽ đối với sóng phân cực ngang ta có: (3.52) và (3.53) Trong đó: và là trở sóng của môi trường 1 và 2 tương ứng. Thay các biểu thức (3.52) và (3.53) vào (3.46) rồi chia cả 2 vế của chúng cho ta có (3.54) Suy ra: (3.55) (3.55) gọi là công thức Fresnel Góc khúc xạ y có thể tính được qua góc tới jt theo định luật khúc xạ (3.48) như sau: (3.56) Nếu 2 môi trường là điện môi có m1 = m2 = m thì (3.55) được viết lại (3.57) 3.5.2. Sóng tới phân cực đứng Nếu vector của sóng tới nằm trong mặt phẳng tới, gọi là sóng phân cực đứng. Trong trường hợp này vector của sóng tới sẽ song song với mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Tìm qui luật của sóng phản xạ và khúc xạ ? Chọn hệ toạ độ Decac có mặt xOy º mặt phẳng phân cách 2 môi trường, trục z trùng với pháp tuyến của mặt phẳng phân cách 2 môi trường và trục x chỉ phương của vector của sóng tới. jpx jt y zpx zt zkx y z O Theo h.vẽ nhận thấy rằng của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ chỉ có 1 thành phần theo trục x, còn của các sóng trên có 2 thành phần theo trục y và z. Tiến hành tương tự như đối với sóng phân cực ngang ta có: (3.58) Tđ và Rđ liên hệ với nhau theo công thức: (3.59) Nếu 2 môi trường là điện môi có m1 = m2 = m thì (3.58) được viết lại (3.60) 3.5.3. Sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân cách Khi sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân cách 2 môi trường, tức là jt = 0, theo định luật khúc xạ ta có cosy = 1 và do đó góc khúc xạ y = 0. Hệ số khúc xạ và hệ số phản xạ trong các biểu thức của (3.55) và (3.58) có dạng đơn giản như sau: (3.61) 3.5.4. Sự phản xạ toàn phần Nếu môi trường 1 có chiết suất lớn hơn môi trường 2 n1 > n2, theo (3.50) ta có: (3.62) có nghĩa là y > jt. Khi đó ta sẽ có góc tới giới hạn 0 < j0 < để đạt được điều kiện: (3.63) và y = . Khi đó sóng khúc xạ sẽ truyền sát mặt phẳng phân cách 2 môi trường. Nếu tiếp tục tăng jt > j0 thì sóng khúc xạ không đi vào môi trường 2 mà quay trở lại môi trường 1 (ứng với y > ), gọi là hiện tượng phản xạ toàn phần. Góc j0 gọi là góc giới hạn được xác định theo công thức: (3.64) Hiện tượng phản xạ toàn phần được ứng dụng để truyền ánh sáng trong sợi quang. 3.5.5. Sự khúc xạ toàn phần Nếu sóng tới truyền đến mặt phẳng phân cách vào môi trường 2 mà không phản xạ trở lại môi trường 1 gọi là sự khúc xạ toàn phần. Trong trường hợp này hệ số phản xạ bằng 0. Góc tới ứng với hiện tượng khúc xạ toàn phần gọi là góc Brewster, kí hiệu là jb. Từ (3.55) và (3.58) ta có góc Brewster đối với 2 trường hợp phân cực ngang và đứng của sóng tới như sau: (3.65) Nhận xét: - 2 phương trình trong (3.65) không thể có nghiệm đồng thời, tức là chỉ có 1 trong 2 trường hợp xảy ra hiện tượng khúc xạ toàn phần. LT và TN đã chỉ ra rằng chỉ có sóng phân cực đứng mới có hiện tượng khúc xạ toàn phần và góc Brewster jb được xác định như sau: (3.66) - Các kết quả đã nhận được đối với sóng phản xạ và khúc xạ tại mặt phẳng phân cách 2 môi trường là điện môi cũng đúng đối với các môi trường bất kì có điện dẫn suất s ¹ 0. Khi đó các công thức Fresnel trong (3.55) và (3.58) chỉ cần thay e = eP và Z = ZP. 3.6. Điều kiện biên gần đúng Leontovic Xét sóng phẳng khúc xạ tại mặt phẳng phân cách 2 môi trường từ điện môi (môi trường 1) vào môi trường có điện dẫn suất lớn s2 (môi trường 2), ta có: (3.67) Theo định luật khúc xạ (3.48) ta có: (3.68) Như vậy: với mọi góc tới jt khi thoả mãn điều kiện (3.67) thì góc khúc xạ y » 0, có nghĩa là sóng khúc xạ truyền vào môi trường có điện dẫn suất lớn theo phương pháp tuyến với mặt phẳng phân cách 2 môi trường không phụ thuộc vào góc tới jt. Nếu chọn trục z trùng với phương pháp tuyến của mặt phẳng phân cách thì và của sóng khúc xạ trong môi trường 2 có dạng: (3.69) Trong đó: - là vector đơn vị tiếp tuyến với mặt phẳng phân cách 2 môi trường - H2t, E2t là các thành phần tiếp tuyến của và của sóng khúc xạ ở sát mặt phẳng phân cách Theo điều kiện biên tổng quát tại mặt phẳng phân cách ta có: (3.70) Suy ra: (3.71) (3.71) mô tả quan hệ giữa các thành phần tiếp tuyến của và của sóng điện từ phẳng truyền từ môi trường điện môi qua môi trường dẫn điện có điện dẫn suất lớn, gọi là điều kiện biên gần đúng Leontovic. Trong thực tế điều kiện biên gần đúng Leontovic được ứng dụng để tính tổn hao của sóng điện từ truyền dọc bề mặt các kim loại dẫn điện tốt. 3.7. Sóng phẳng trong môi trường không đẳng hướng 3.7.1. Môi trường không đẳng hướng Môi trường đẳng hướng có các tham số điện từ e, m, s là các hằng số; //; // theo các phương trình vật chất: , (3.72) Trong tn ngoài các môi trường đẳng hướng còn có các môi trường không đẳng hướng, ở đó theo các hướng khác nhau các tham số điện từ e, m có giá trị khác nhau. e, m được biểu diễn dưới dạng tensor độ từ thẩm và tensor độ điện thẩm như sau: (3.73) Các phương trình vật chất trong môi trường không đẳng hướng sẽ là: , (3.74) Hay: (3.75) Nhận xét: - (3.75) cho thấy rằng #; # - Trong thực tế không tồn tại các môi trường mà cả e, m đều là tensor, chỉ có các môi trường không đẳng hướng như sau: Môi trường có e, s là hằng số và độ từ thẩm là tensor , gọi là môi trường không đẳng hướng từ quay. Thí dụ: ferrite bị từ hoá bởi từ trường không đổi là môi trường từ quay đối với sóng điện từ, được ứng dụng trong kỹ thuật siêu cao tần làm các tbị điều khiển sự truyền sóng. Môi trường có m, s là hằng số và độ điện thẩm là tensor , gọi là môi trường không đẳng hướng điện quay. Thí dụ: chất khí bị ion hoá (plasma) dưới tác dụng của từ trường không đổi là môi trường điện quay đối với sóng điện từ. Tầng ion của khí quyển trái đất cũng là môi trường điện quay đối với sóng điện từ, khi truyền sóng vô tuyến trong tầng ion cần xét đến tính không đẳng hướng của nó. 3.7.2. Tensor độ từ thẩm và tensor độ điện thẩm Ferrite chính là hợp chất Fe3O4 và một số oxide kim loại khác như MnO, MgO, NiO ... vừa có tính chất điện môi vừa có tính chất sắt từ, e = 5 – 20, s = 10-4 – 10-6 (Wm)-1. Khi không có từ trường không đổi , = 0, ferrite biểu hiện như một môi trường đẳng hướng đối với sự truyền sóng điện từ. Khi có từ trường không đổi, ¹ 0, ferrite biểu hiện tính chất của môi trường không đẳng hướng từ quay đối với sự truyền sóng điện từ. Tensor độ từ thẩm có dạng như sau: (3.76) Trong đó: (3.77) Với: - e là điện tích của electron - m0 là khối lượng của electron - M là độ lớn của vector từ hoá của ferrite - w là tần số của sóng điện từ - wM là tần số cộng hưởng từ quay - m0 là hằng số từ Khí bị ion hoá có một số lượng lớn các đ/tích tự do gồm electron và ion, gọi là môi trường plasma, có s rất lớn. Khi không có từ trường không đổi , = 0, plasma biểu hiện như một môi trường đẳng hướng đối với sự truyền sóng điện từ. Khi có từ trường không đổi, ¹ 0, plasma biểu hiện tính chất của môi trường không đẳng hướng điện quay đối với sự truyền sóng điện từ. Tensor độ điện thẩm có dạng như sau: (3.78) Trong đó: (3.79) Với: - wM là tần số cộng hưởng từ quay - e là điện tích của electron - m0 là khối lượng của electron - N là số electron trong 1 đơn vị thể tích - e0 là hằng số điện - m0 là hằng số từ - w là tần số của sóng điện từ 3.7.3. Sóng phẳng trong ferrite bị từ hoá Xét sóng phẳng điều hoà truyền dọc theo phương của vector từ trường không đổi từ hoá vật liệu ferrite rộng vô hạn. Chọn trục z trùng với phương truyền sóng và vector , sử dụng tensor độ từ thẩm (3.76) và điều kiện ngang của sóng phẳng TEM (3.1) cho các phương trình Maxwell ta có: (3.80) Nghiệm của (3.80) có dạng: (3.81) Thay (3.81) vào (3.80) ta có: (3.82) Suy ra: (3.83) Khi đó vận tốc pha và trở sóng được tính theo công thức: (3.84) Các thành phần của và của sóng phẳng trong ferrite bị từ hoá: (3.85) Và (3.86) Hay dưới dạng vector: (3.87) Và (3.88) Nhận xét: - (3.85) và (3.87) mô tả sóng phân cực tròn quay phải - (3.86) và (3.88) mô tả sóng phân cực tròn quay trái Như vậy: khi sóng phẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá bởi từ trường không đổi, môi trường này thể hiện các tham số điện từ khác nhau đối với sóng phân cực tròn quay phải và quay trái ứng với các số sóng k+ và k-; vận tốc pha vph+, vph- và trở sóng ZP+, ZP- khác nhau. Do đó độ từ thẩm của môi trường ferrite bị từ hoá có giá trị khác nhau đối với sóng phân cực tròn quay phải và quay trái như sau: (3.89) Nhận xét: khi sóng phân cực thẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá dọc theo từ trường không đổi hướng theo trục z thì vector của sóng điện từ sẽ quay đi một góc q. Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực của sóng phân cực thẳng truyền trong môi trường ferrite bị từ hoá gọi là h/ứng Faraday. Góc quay mặt phẳng phân cực của trong 1 đơn vị chiều dài trong ferrite gọi là hằng số Faraday, kí hiệu là q’ và được tính theo công thức: (3.90) Chương 4 NHIỄU XẠ SÓNG ĐIỆN TỪ 4.1. Khái niệm Nếu trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có một hay một nhóm vật thể mà các kích thước của chúng cỡ bước sóng của sóng điện từ thì tại đó có thể xảy ra hiện tượng sóng phản xạ lại môi trường, sóng khúc xạ truyền vào các vật thể và sự đi vòng của sóng tới qua các vật thể làm cho cấu trúc của trường sóng tới thay đổi. Hiện tượng trên gọi là sự nhiễu xạ sóng điện từ tại các vị trí bất đồng nhất của môi trường. Các vật thể này gọi là vật chướng ngại, sóng tới gọi là sóng sơ cấp, sóng phản xạ gọi là sóng thứ cấp. Trường điện từ nhiễu xạ toàn phần là trường tổng hợp của các sóng sơ cấp, sóng thứ cấp và sóng khúc xạ Mục tiêu: xác định trường thứ cấp hoặc trường toàn phần tại một điểm bất kì trong không gian môi trường đồng nhất và đẳng hướng tại thời điểm t bất kì khi đã biết các tham số điện và dạng hình học của vật chướng ngại, và cấu trúc của trường sóng sơ cấp. Vì vật chướng ngại có dạng hhọc rất phức tạp và ở những vị trí khác nhau so với nguồn sơ cấp, do đó bài toán nhiễu xạ sóng điện từ chỉ có thể giải gần đúng. Trong thực tế người ta thường dùng các đại lượng vật lí như tiết diện phản xạ tương đương, tiết diện hấp thụ toàn phần ... đặc trưng cho sự nhiễu xạ sóng điện từ. Việc giải chính xác bài toán nhiễu xạ sóng điện từ chỉ có thể thực hiện đối với vật chướng ngại có dạng hhọc đơn giản như htrụ tròn nhỏ dài vô hạn, hcầu đặt rất xa nguồn sóng sơ cấp, có nghĩa là cấu trúc của nguồn và trường sóng sơ cấp không phụ thuộc vào vật chướng ngại. 4.2. Nhiễu xạ của sóng phẳng trên vật dẫn trụ tròn dài vô hạn 4.2.1. Bài toán - Giả sử có một vật dẫn điện tốt dạng trụ tròn bán kính a dài vô hạn đặt trong kk và có sóng phẳng điều hoà truyền tới vuông góc với trục của vật dẫn. Xác định trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn. - Chọn hệ toạ độ trụ có trục z trùng với trục của vật dẫn và sóng phẳng điều hoà truyền dọc theo trục Ox và vuông góc với trục của vật dẫn. Khi đó sự phân cực của sóng tới có thể xảy ra 2 trường hợp: // Oz và ^ Oz. Nếu sóng tới là sóng phân cực thẳng bất kì của thì nó được xem như là tổng hợp của 2 trường hợp trên. Do đó việc giải bài toán nhiễu xạ sóng điện từ phẳng chỉ cần xét đối với dạng sóng phẳng phân cực đã nêu. - Vì sóng tới vuông góc với z nên đối với trường sóng phản xạ ta có: và các phương trình Maxwell có dạng: (4.1) và: (4.2) Nhận xét: - Hệ phương trình (4.1) chỉ gồm các thành phần , , và = 0 (phương truyền sóng thứ cấp). Đây gọi là trường thứ cấp điện ngang hay từ dọc, kí hiệu là TE hoặc H, ứng với trường hợp sóng tới phân cực // Oz. - Hệ phương trình (4.2) chỉ gồm các thành phần , , và = 0 (phương truyền sóng thứ cấp). Đây gọi là trường thứ cấp từ ngang hay điện dọc, kí hiệu là TH hoặc E, ứng với trường hợp sóng tới phân cực ^ Oz. - Hai hệ phương trình (4.1) và (4.2) có dạng tương tự nhau nên chỉ cần xét một trong 2 hệ phương trình trên là được, cụ thể là hệ phương trình (4.1). Vì vật dẫn điện tốt có s rất lớn nên trường sóng khúc xạ hầu như không tồn tại trong vật dẫn. Để đơn giản, xem vật dẫn có s ® ¥. Đối với sóng tới phân cực có // Oz thì điều kiện biên của phương trình (4.1) như sau: (4.3) tại: r = a ; 0 £ j £ 2p ; -¥ < z < ¥ - Sóng phản xạ từ bề mặt vật dẫn truyền ra xa vô hạn theo phương r phải có đặc trưng sóng tại vô cùng, có nghĩa là phải thoả mãn điều kiện bức xạ tại vô cùng: (4.4) Vậy: bài toán nhiễu xạ sóng phẳng trên vật dẫn trụ tròn dài vô hạn qui về việc xác định nghiệm của phương trình (4.1) và các điều kiện (4.3) và (4.4). 4.2.2. Trường thứ cấp Để tìm nghiệm của phương trình (4.1) với các điều kiện (4.3) và (4.4), ta chuyển (4.1) sang dạng phương trình sóng. Đặt các giá trị của , từ 2 phương trình đầu vào phương trình cuối của hệ (4.1) ta có: (4.5) Nghiệm của (4.5) có dạng: (4.6) Trong đó: Jm(kr) là hàm Bessel cấp m là hàm Hanken cấp m loại 2 4.2.3. Giản đồ hướng Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn có thể biểu diễn trực quan bằng giản đồ hướng như sau: - Tìm cường độ trường thứ cấp ở vùng xa thoả mãn kr >> 1. Áp dụng dạng tiệm cận của hàm Hanken cấp m loại 2 khi kr ® ¥ và bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao so với của (4.6) ta có: (4.7) Nhận xét: - Trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn chỉ có 2 thành phần , vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng r. - Theo (4.7) giản đồ hướng của trường thứ cấp phản xạ từ vật dẫn trụ tròn dài vô hạn như hvẽ (xem tài liệu KKL, trang 97, hình 4.2) với các tham số ka khác nhau. - Từ giản đồ hướng nhận thấy rằng khi ka » 1, a > 1, a >> l thì trường thứ cấp bắt đầu xh các cực đại ở phía đối diện với nguồn sóng tới và làm méo trường sóng tới ở phía này mạnh hơn. Khi ka ® ¥, a ® ¥ thì trường thứ cấp có cực đại quay về phía sóng tới và có một vùng tối ở phía đối diện, cường độ trường ở vùng này bằng 0. Để đánh giá tính chất của trường bức xạ thứ cấp khi trường sơ cấp truyền qua vật chướng ngại, người ta đưa ra đại lượng diện tích phản xạ tương đương. Đối với vật dẫn trụ tròn dài vô hạn thì diện tích phản xạ tương đương tính theo 1 đơn vị chiều dài của htrụ là s0 được xác định theo công thức: (4.8) Trong đó: Pbx là công suất bức xạ của trường thứ cấp tính theo 1 đơn vị chiều dài Ptbt là mật độ công suất bức xạ trung bình của sóng tới (4.9) (4.10) (4.11) Từ các biểu thức (4.7) – (4.11), diện tích phản xạ tương đương s0 được tính theo: (4.12) 4.3. Nguyên lí Huyghens-Kirchhoff Tìm nghiệm của phương trình sóng thuần nhất đối với hàm vô hướng y sau đây: (4.13) tại điểm P bất kì trong thể tích V được giới hạn bởi mặt kín S. Giả thiết rằng hàm y, đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của nó liên tục trong V và trên S. Áp dụng định lí Green ta có: (4.14) Trong đó hàm f, đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của nó cũng liên tục trong V và trên S. Chọn hàm f có dạng: (4.15) Trong đó: r là khoảng cách từ điểm P đến một điểm bất kì trong thể tích V. Nhận xét: - Hàm f dạng (4.15) thoả mãn định lí Green tại mọi vị trí trừ điểm P, vì tại điểm P: f ® ¥ khi r ® 0. Để áp dụng định lí Green đối với điểm P, bao điểm P bằng mặt cầu đủ nhỏ S0 bán kính R0. Khi đó miền V được giới hạn bởi các mặt S và S0. Vì hàm f dạng (4.15) cũng thoả mãn phương trình sóng (4.13) nên vế trái của (4.14) bằng 0 và ta có: (4.16) - Các đạo hàm theo pháp tuyến trên S và S0 lấy theo pháp tuyến hướng ra ngoài thể tích V. Do đó trên mặt cầu S0 ta có: (4.17) nên: (4.18) Suy ra: (4.19) Trong đó: và là các gtừ trườngb của hàm y và đạo hàm riêng của nó trên mặt cầu S0 có giá trị hữu hạn. Do đó xét trường hợp giới hạn cho mặt cầu S0 thu nhỏ thành 1 điểm ta có: (4.20) Theo (4.16) suy ra: (4.21) Nhận xét: - (4.21) là biểu thức của nguyên lí Huyghens-Kirchhoff. Từ biểu thức (4.21) có thể tìm được hàm y tại một điểm bất kì trong thể tích V. Nếu các giá trị của y và trên mặt S được coi là phân bố của các nguồn nguyên tố, thì giá trị của y tại một điểm bất kì trong thể tích V là chồng chất của các sóng cầu nguyên tố bức xạ ở trên mặt S bao quanh thể tích V. P R0 S0 S S R¥ a r’ r V’ S’ P V V - (4.21) cũng áp dụng được đối với trường hợp mặt S là giới hạn trong của miền V’ bên ngoài, thực vậy: Miền V’ được xem như giới hạn bởi mặt kín S và mặt cầu S’ có tâm nằm trong V với bán kính R¥ ® ¥, khi đó: (4.22) Vì R¥ >> r’, r’ là khoảng cách từ tâm hình cầu S’ đến điểm P, nên có thể xem R¥ // r, r là khoảng cách từ điểm P đến điểm bất kì của mặt cầu S’ rộng vô hạn, ta có: (4.23) Nên: (4.24) Trong đó: a là góc giữa R¥ và r’. Đối với mặt cầu S’ ta có: Do đó: (4.25) Trong trường hợp giới hạn, khi R¥ ® ¥ thì I¥ ® 0 nếu thoả mãn điều kiện sau: (4.26) hay: (4.27) Nhận xét: - Điều kiện (4.26) hoặc (4.27) dễ dàng được thoả mãn nếu y thoả mãn điều kiện bức xạ tại vô cùng, tức là hàm y tại vô cùng có dạng: (4.28) Vì hàm y dạng (4.15) thoả mãn phương trình (4.13) nên cũng đúng đối với miền ngoài V’. - Phương trình (4.13) có dạng tương tự như dạng của phương trình sóng thuần nhất cho và trong hệ toạ độ Decac. Do đó có thể áp dụng nguyên lí Huyghens-Kirchhoff để giải các bài toán nhiễu xạ. - Nguyên lí Huyghens-Kirchhoff đối với hàm vô hướng có thể xem như là trường hợp riêng của nguyên lí dòng tương đương. 4.4. Nguyên lí dòng tương đương Giả sử có các nguồn q1, q2, ..., qn đặt trong miền V trong mặt kín S, xác định trường tại điểm P bất kì trong không gian V’ ngoài mặt S. Theo nguyên lí H-K có thể xác định trường tại P trong V’ của các nguồn đã cho qua các nguồn bức xạ nguyên tố phân bố trên mặt S được gọi là các nguồn dòng tương đương (dòng điện mặt và dòng từ mặt). Trường do các nguồn dòng tương đương tạo ra tại điểm P bất kì trong V’ trùng với trường do các nguồn đã cho trong V tạo ra cũng tại điểm P. Còn trường do nguồn dòng tương đương tạo ra trong miền V bằng 0. Do đó điều kiện biên cho trường của nguồn dòng tương đương là (4.29) q1 · V V’ q2 · qn · P · S Theo định lí nghiệm duy nhất, muốn để trường của nguồn đã cho và trường của nguồn dòng tương đương tạo ra ở điểm P bất kì trong V’ trùng nhau phải có điều kiện là: (4.30) Nhận xét: Theo (4.29) và (4.30) nhận thấy rằng các thành phần tiếp tuyến của và của nguồn dòng tương đương biến đổi nhảy vọt từ 0 sang khác 0 khi qua mặt S. Theo điều kiện biên tổng quát, sự biến đổi nhảy vọt của các thành phần tiếp tuyến , của trường trên mặt S tương đương với sự tồn tại của dòng điện mặt IS và dòng từ mặt ISM chạy trên mặt S. Sự phụ thuộc của dòng điện mặt và dòng từ mặt vào và như sau: (4.31) Trong đó: là vector đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt S. Áp dụng phương pháp thế điện động ta xác định được biểu thức cho các thế chậm của vector điện và từ do các nguồn dòng tương đương và trên S tạo ra tại điểm P trong V’ theo (2.61), (2.62) và (4.31) ta có: (4.32) Nhận xét: - Trong (4.32) các tham số điện từ e, m và số sóng k phải tính đối với môi trường ngoài miền V’. - Các biểu thức (4.31) và (4.32) là biểu thức của nguyên lí dòng tương đương của trường điện từ. Nguyên lí này ứd để giải các bài toán nhiễu xạ sóng điện từ rất tiện lợi. - Trường nhiễu xạ được tính dựa trên các biểu thức của nguyên lí H-K và nguyên lí dòng tương đương có chính xác hay không tuỳ thuộc vào giá trị của nguồn thứ cấp nguyên tố hay nguồn dòng tương đương phân bố trên bề mặt S. Nói chung chỉ có thể giải gần đúng bài toán nhiễu xạ sóng điện từ. 4.5. Nhiễu xạ của sóng phẳng qua lỗ trên màn chắn phẳng rộng vô hạn Giả sử có sóng phẳng truyền theo phương của trục z đi tới vuông góc với một lỗ trên mặt phẳng dẫn điện lí tưởng rộng vô hạn, xác định trường nhiễu xạ của sóng phẳng qua lỗ tại vùng bên kia của màn chắn trong môi trường đồng nhất đẳng hướng. S S0 O y x z S1 Chọn hệ toạ độ Decac với trục z trùng với phương truyền của sóng tới, mặt phẳng màn chắn trùng với mặt xOy và của sóng tới hướng theo trục x. Biểu thức của cường độ trường sóng tới có dạng: (4.33) Chia màn chắn phẳng ra làm 2 phần là phần lỗ S0 và phần mặt kim loại S1. Áp dụng nguyên lí dòng tương đương để tính trường nhiễu xạ qua lỗ S0, tức là phải xác định các dòng điện và dòng từ mặt chạy trên S0 và S1. Một cách gần đúng xem màn chắn S trùng với mặt sóng của sóng tới. Khi đó trên lỗ S0 cường độ các vector và của nguồn dòng tương đương được xem bằng cường độ trường của sóng tới cũng tại mặt lỗ này (z = 0) nên: (4.34) Còn trên phần S1 của màn chắn dẫn điện lí tưởng (s ® ¥) về phía bên kia của sóng tới thành phần tiếp tuyến của điện trường và từ trường nguồn dòng tương đương bằng 0. (4.35) Chọn º Oz và áp dụng các biểu thức (4.32) của nguyên lí dòng tương đương ta được các thế chậm của trường nhiễu xạ ở nửa không gian z > 0 qua lỗ trên màn chắn như sau: (4.36) Trong đó: là khoảng cách từ điểm tính trường P(x, y, z) tới một điểm bất kì trên lỗ S0 có toạ độ (x’, y’, 0). Gọi khoảng cách từ tâm O của lỗ S0 đến điểm tính trường P là R, ta có: với Trong trường hợp xét trường nhiễu xạ ở vùng xa, tức là khoảng cách r, R lớn hơn nhiều so với bước sóng l và kích thước lỗ S0 tương ứng với điều kiện (4.37) và (4.38) Áp dụng (4.38) tích phân theo mặt lỗ S0 trong các biểu thức của thế chậm (4.36) có dạng: (4.39) Nhận xét: nếu tích phân (4.39) xác định được thì trường điện từ nhiễu xạ qua lỗ S0 sẽ là (4.40) Xét trường hợp lỗ S0 có dạng chữ nhật kích thước a, b trên màn chắn phẳng rộng vô hạn dẫn điện lí tưởng. Đối với trường nhiễu xạ ở vùng xa trong trường hợp này điều kiện (4.37) viết lại: R >> a, b >> l (4.41) Tích phân (4.39) đối với lỗ dạng chữ nhật có dạng là: (4.42) Các thế chậm vector điện và từ có dạng (4.43) Trong đó: (4.44) Chuyển sang hệ toạ độ cầu ta có: (4.45) Khi đó: (4.46) x y S0 a b 0 z x y j q r M Nhận xét: vì hàm f chứa thừa số dạng nên từ các biểu thức (4.40), (4.43), (4.44) và (4.46) cho thấy trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật ở vùng xa có dạng sóng cầu. Khi bỏ qua các số hạng nhỏ bậc cao so với và đối với trường ở vùng xa (r ® ¥) thì các biểu thức (4.43), (4.44) và (4.46) biểu diễn theo các toán tử grad, div và rot trong hệ toạ độ cầu ta có: (4.47) Trong đó: , và là các thành phần của các vector và theo phương bán kính, kinh tuyến và vĩ tuyến trong hệ toạ độ cầu. Trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật ở vùng xa theo (4.40), (4.43), (4.44), (4.46) và (4.47) như sau: (4.48) Từ biểu thức (4.48) chúng ta thấy rằng trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật có tính định hướng trong không gian theo các toạ độ q và j. Giản đồ hướng của trường nhiễu xạ: ở vùng xa và kích thước lỗ lớn hơn nhiều so với bước sóng thì hàm f biến đổi nhanh hơn hàm cosq nên một cách gần đúng giản đồ hướng của trường được xác định chủ yếu qua hàm f. Xác định hàm đặc trưng hướng của trường tại 2 mặt phẳng đặc biệt: - Tại mặt phẳng j = 0 (mặt phẳng E) giản đồ hướng có dạng (4.49) - Tại mặt phẳng j = (mặt phẳng H) giản đồ hướng có dạng (4.50) Nhận xét: Vì giản đồ hướng FE(q) và FH(q) có dạng hoàn toàn giống nhau nên chỉ cần vẽ đồ thị cho FE(q) hoặc FH(q). Đồ thị của giản đồ hướng dạng FH(q) được vẽ trong hệ toạ độ Decac và hệ toạ độ cực như hình vẽ 2q* q 0 F(q) p Từ giản đồ hướng trên cho thấy rằng trường nhiễu xạ qua lỗ chữ nhật có 1 búp sóng chính và nhiều búp phụ nhỏ khác. Điều này có thể giải thích bằng sự giao thoa của sóng bức xạ từ các diện tích nguyên tố trên mặt S0. Độ rộng của búp sóng chính là góc 2q* được xác định từ điều kiện: (4.51) Nếu lấy không điểm đầu tiên ta có: (4.52) Với góc q* nhỏ thì q* » sinq* và độ rộng của búp sóng chính là (4.53) Nếu kích thước lỗ b tăng so với bước sóng l hoặc khi l ® 0 thì búp sóng chính sẽ hẹp lại thành một tia giống như trong quang hình.