Trường điện từ - Chương 9: Trường biến thiên và hệ phương trình Maxwell's

1Chương 9 TRƯỜNG BIẾN THIÊN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL’S n Trong các chương trước ta thấy rằng l Một phân bố điện tích tĩnh rv, sẽ tạo ra 2 trong 4 vectơ trường cơ bản là: E and D. l Còn một phân bố dòng không đổi J, sẽ tạo ra 2 vectơ trường cơ bản khác là H and B. < Trong chương này, chúng ta sẽ khảo sát trường hợp của trường điện từ do các điện tích chuyển động biến thiên theo thời gian. Lúc đó, mật độ điện tích khối rv và mật độ dòng điện J tại điểm P bất kỳ có thể biến thiên theo thời gian. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 2Các vectơ biến thiên theo thời gian E, D, H, B sinh ra cũng có dạng < Nếu r là vectơ vị trí của điểm trường P và nếu (x, y, z) là tọa độ Đề các của P, thì rv = rv (r, t) = rv (x, y, z, t) J = J (r, t) = J (x, y, z, t) (1) (2) A = A (r, t) = A (x, y, z, t) (3) A = Ax (x, y, z, t) ax + Ay (x, y, z, t) ay + Az (x, y, z, t) az (4) Chương 9 TRƯỜNG BIẾN THIÊN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Maxwell’s 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 3(5) (6) <Hai khái niệm mới sẽ được giới thiệu: l Từ trường biến thiên sẽ sinh ra một điện trường. l Điện trường biến thiên sẽ sinh ra một từ trường. ! Hai phương trình của Maxwell Ñ × E = 0 cho điện trường tĩnh Ñ × H = J cho từ trường tĩnh không còn đúng với trường biế thiên, nên phải sửa đổi. ! Sự sửa đổi này rất đáng làm, nhờ đó ta sẽ có nhiều thiết bị hữu ích không thể có nếu chỉ quanh quẩn với trường tĩnh. Chương 9 TRƯỜNG BIẾN THIÊN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Maxwell’s 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 49.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1. Định luật Faraday and định luật Lenz Figure 10.1 <Gọi S là 1 mặt hở có biên là 1 đường kín C (Fig 10.1). Định luật Faraday chỉ ra rằng: Nếu từ thông F xuyên qua S, biến thiên theo thời gian F(t), thì xuất hiện 1 sức điện động cảm ứng (emf) E trong C: (V)de dt F  (7) ! Nếu vòng kín C có N vòng, ta có de N dt F  (8) 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 5<Chiều của sức điện động e cho bỡi định luật Lenz: Sức điện động cảm ứng có khuynh hướng chống lại nguyên nhân đã sinh ra nó (điều này thể hiện bỡi dấu trừ trước đạo hàn của Fm). <Đường cong kín C có 3 dạng: • Dây dẫn khép kín. •Dây dẫn hở mạch (VD: Nguồn áp) •Là một đường tưởng tượng trong không gian. < Có 3 nguyên nhân làm cho từ thông Fm thay đổi: •Từ thông biến thiên xuyên qua đường kín đứng yên. •Chuyển động tương đối giữa một từ thông không biến thiên và một đường kín. •Cả hai nguyên nhân trên cùng xảy ra 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 6( ). ¶Ñ´ = - × ¶ò ò BE S S S S d d tÑ Ñ (12) < Từ thông xuyên qua S theo chiều dS là: and (9) Như vậy, định luật Faraday trở thành: (11) Áp dụng định lý Stokes, ta có m S C .d e .d F B S E L    Ñ (10) . . C S de d d dt E L B S  Ñ 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 7(13) ¶ Ñ´ = - ¶ BE t Figure 10.2 Vì vậy (13) Là 1 trong 4 HPT Maxwell của trường biến thiên dạng điểm (or dạng vi phân). l Trường hợp 1. C là dây dẫn khép kín mạch (Fig 10.2) (a) (b) 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 8Fig 10.2 trình bày một vòng dây tròn C và 1 từ trường biến thiên B xuyên qua S có biên hở C. Khi B biến thiên theo thời gian t, nó sẽ cảm ứng ra một sức điện động cảm ứng E phân bố dọc theo C. ! Dùng định luật Lenz, ta xác định được chiều của Bi, E, and ii khi B tăng (Fig 10.2a) or giảm (Fig 10.2b). 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 9l Trường hợp 2. C là dây dẫn hở mạch (Fig 10.3) Nếu C là vòng hở (Fig 10.3), thì SSĐ sẽ xuất hiện giữa hai đầu a và b theo hiện tượng phân ly điện tích. SSĐ này sẽ tác động lên các điện tử tự do của dây dẫn 1 lực F = QE. Figure 10.3 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 10 ! Tổng quát, xét 1 vòng dây dẫn C và mặt hở S bất kỳ (Fig 10.4). Khi đặt trong từ trường biến thiên B sẽ xuất hiện 1 SSĐ e mà độ lớn và cực tính được xác định theo các bước sau: Figure 10.4(a) (b) 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 11 1. Chọn 1 mặt hở S tùy ý có C là biên. 2. Cọn chiều dS của S và dl của C phù hợp với nhau theo quy tắc bàn tay phải. 3. Tính SSĐ cảm ứng 4. Đặt bàn tay phải sao cho ngón tay cái có chiều dS thì 4 ngón kia chỉ đầu dương của SSĐ e. SSĐ cảm ứng e xuất hiện giữa 2 đầu của vòng dây C hoạt động y như có 1 nguồn áp được chen vào vòng dây này. 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. . S de d dt B S  (14) 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 12 (16) B = Boekt az (Bo > 0, k > 0) (15) EXAMPLE 10.1. Một từ trường biến thiên được cho trong tọa độ trụ r < a (Fig 10.5) Xác định điện trường cảm ứng E tại P (r, f, z) (r < a). (a) Dùng định luật Faraday (11); (b) Dùng phương trình Maxwell (13). E = Ef(r)af SOLUTION. (a) E có dạng l Trường hợp 3. C là 1 đường tưởng tượng (Fig 10.01) Trong trường hợp này, từ thông biến thiên F(t) cho bỡi (9) sẽ sinh ra điện trường cảm ứng E phân bố dọc theo C. 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 13 Nếu C là 1vòng tròn có bán kính r < a trong mặt phẳng z = 0, thì từ thông F xuyên qua mặt phẳng S có biên là C theo hướng az là: 2. ktoS d B eprF  B S E = 2prEf = –kBopr2ekt Định luật Faraday (11) cho: Vì vậy 1 2 kt okB e frE a (17) Figure 10.5 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 14 (b) Sử dụng công thức (13), (25) trong mục 8.3, ta có: ( ) kto d E kB e d f r r r  ! Nếu C là 1 dây dẫn có điện trở là R, thì dòng điện cảm ứng iư chạy dọc trong C theo hướng -af, chiều của từ thông cảm ứng trong C theo hướng -az khi từ thông tăng và az khi từ thông giảm.   ( )1ktz z o EB kB e t fr r r        E Þ Þ 2 1 2 kt oE kB efr r Þ 1 2 kt okB e frE a < 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 15 EXAMPLE 10.2. Trong Fig 10.6, là 1 đoạn dây dẫn chiều dài l đặt vuông góc trên 1 cặp đường và chuyển động về phía phải với vận tốc v = vay trong từ trường đều hướng lên B = Baz. Xác định Vab. SOLUTION. Từ thông xuyên qua mặt phẳng S tại thời điểm t là: F = BLy = BLvt From (7), we obtain: Vab = E = –BLv (18)Figure 10.6 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 16 Figure 10.7 < Xét thanh dẫn trong Fig 10.6, nhìn vào Fig 10.7. Thanh dẫn này có chiều dài L và chuyển động với vận tốc v = vay trong 1 từ trường đều B = Baz. 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 17 Lực từ trên thanh dẫn là (Fig 10.7a): (19) eEax = evBax E = vB (20) FM = –ev × B = –evBax Lực này là nguyên nhân làm cho điện tích âm tại a và điện tích dương tại b: một điện trường E trong Fig 10.7b. Điện trường E sinh ra một lực FE và FM bằng độ lớn nhưng ngược chiều nhau(Fig 10.7c): Vì vậy Hiệu điện thế giữa a and b is Vab = –EL = –vBL (21) 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 18 < Giả sử thanh dẫn chuyển động giống như 1 nguồn áp hở mạch: điện tích dương tại b và điện tích âm tại a. Fig 10.8: dòng I chạy qua mạch ngoài hướng từ a đến b, thì lực từ FM làm cho hiệu điện thế không đổi. ! Thanh dẫn có 1 ssđ chuyển động cho bỡi (21) ! Hướng của I xác định bỡi định luật Lenz Figure 10.8 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 19 (22) Lực trên một đơn vị điện tích được gọi là điện từ chuyển động Em: (23) < Tổng quát, lực F do 1 Q chuyển động trên thanh dẫn ab, với vận tốc v trong 1 từ trường B (Fig10.9) là: F = Q(v × B) m Q    FE v BFigure 10.9 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. E = –Em (24) 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 20 Điện trường tiếp tuyến bằng không dọc theo vật dẫn. Hiệu điện thế giữa hai điểm a and b là (Fig 10.9): . . a a ab mb b V d d  E L E L (25)( ). a ab b V d  v B L ! Cho một vòng kín (Fig 10.10), tích phân đường (25) phải dọc theo toàn bộ đường kín đó.Figure 10.10 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 21 . ( ). a ab mb V d    E L v B LE (26) (27)Hoặc là ! Nếu vật dẫn là đoạn ab có chiều dài L chuyển động với vận tốc v trong một từ từ trường B (Fig 10.11), thì điện trường chuyển động Em = v × B theo hướng của Lba = L. Vì vậy, ssđ chuyển động sinh ra bỡi vật dẫn chuyển động là: Figure 10.11 BLvabV E 9.1. ĐỊNH LUẬT Faraday. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 22 9.1 Faraday’s Law DRILL PROBLEM 10.1. Within a certain region, e = 10–11(F/m) and m = 10–5(H/m). If Bx = 2 × 10–4 cos105tsin10–3y(T): (a) Use Ñ × H = e¶E/¶t to find E; (b) Find the total magnetic flux passing through the surface x = 0, 0 < y < 40 (m), 0 < z < 2(m), at t = 1(ms); (c) Find the value of the closed line integral of E around the perimeter of the given surface. ANSWERS: (a) –2 × 104sin105tcos10–3yaz(V/m); (b) 0.318(mWb); (c) –3.19(V) DRILL PROBLEM 10.2. With reference to the sliding bar shown in Fig 10.6, let L = 7(cm), B = 0.3az(T), and v = 0.1e20yay (m/s). Let y = 0 at t = 0. Find: (a) v(0); (b) y(0.1); (c) v(0.1); (d) Vab(0.1) ANSWERS. (a) 0.1(m/s); (b) 1.12(cm);(c) 0.125(m/s); (d) –2.63(mV) 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 23 Chúng ta biết: từ trường biến thiên sinh ra một điện trường (28) (29) 9.2. Dòng dịch chuyển < Trong phần 10.1, phương trình Maxwell ở dạng vi phân t     BE J = sE <Trong chương này, có hai loại mật độ dòng: lMật độ dòng dẫn là sự chuyển động của điện tích trong một miền có mật độ điện tích tổng bằng không; và mật độ dòng đối lưu 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 24 J = rvv (30) Là sự chuyển động của phân bố điện tích khối. Cả hai loại mật độ này được kí hiệu chung là J, thể hiện bỡi phương trình Maxwell của từ trường dừng: lMật độ dòng đối lưu (31) (32) < Trong trường biến thiên, Eq (31) là không đúng, and Maxwell được sửa đổi: t      DH J Ñ × H = J ! Một điện trường biến thiên sinh ra một từ trường biến thiên. 9.2. Dòng dịch chuyển 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 25 ¶D/ ¶t có thứ nguyên của mật độ dòng và được gọi là: mật độ dòng dịch chuyển. d t    DJ (33) Ở đây J tương ứng là mật độ dòng dẫn và đối lưu. Trong vật không dẫn điện (s = 0) tì tương ứng (rv = 0), J = 0 thì ( 0)if t      DH J (34) Sự đương xứng giữa (35) and (28) (35) Vì vậy Ñ × H = J + Jd t     BE (28) 9.2. Dòng dịch chuyển 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 26 ! Tổng dòng dẫn và dòng đối lưu xuyên qua mặt phẳng S is . S I d  J S (36) < Định luật Ampere cho từ biến thiên. Lấy tích phân hai vế của (32) toàn bộ S có biên kín là C (Fig 10.12), ( ). . S S S d d d t        DH S J S S .d dS SI d dt       DJ S S (37) Và áp dụng định lý Stokes, ta có: . d C d I I  H LÑ (38) ! Tổng dòng dịch xuyên qua mặt phẳng S is 9.2. Dòng dịch chuyển 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 27 < Bản chất của dòng dịch (Fig 10.2) . . . d dS S S I d d t d d dt         J S D S D S or d dI dt y  (39) where ( ) . S t dy   D S (40) Là điện thông tổng xuyên qua S. ! Nếu so sánh với định luật Fraday: Fd dt E (7) Figure 10.12 9.2. Dòng dịch chuyển 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 28 <Tỉ số J và Jd E = Eosinwt Giả sử cho biến thiên hình sin của điện trường trong vật dẫn, ta có: Mật độ dòng dẫn là J = sE = sEosinwt = Jdosinwt Tỉ số biên độ của hai mật độ dòng này là: o do J J s we  (41) Mật độ dòng dịch là cos cosd o do dD dEJ E t J t dt dt e we w w    9.2. Dòng dịch chuyển 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 29 EXAMPLE 10.3 ! Đối với đồng, và vật dẫn điện khác, ta an tâm bỏ qua dòng dịch. 7 12 6 12 5.8 10 10 (2 10 )(8.854 10 o do J J s we p        8 4 6 12 3 10 2.57 10 (2 10 )(2.1 8.854 10 ) o do J J s we p            SOLUTION, Using (4 1), we have ! Đối với Teflon ở 1MHz, ta có thể bỏ qua dòng dẫn. (a) (b) Hãy so sánh mật độ dòng dẫn và dòng dịch của vật liệu mỗi sau ở tần số 1MHz:(a) Đồng (e ; eo, m ; mo, and s = 5.8 × 107 (S/m)). (b) Teflon (e ; 2.1eo, m ; mo, and s ; 3 × 10–8 (s/m)). 9.2. Dòng dịch chuyển 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 30 9.2. Displacement Current DRILL PROBLEM 10.3. Find the amplitude of the displacement current density: (a) adjacent to an automobile antenna where the magnetic field intensity of an FM signal is Hx = 0.15cos [3.12 (3×108t – y)] (A/m); (b) in the air space at a point within a large power distribution transformer where B = 0.8cos [1.257×10–6 (3×108t – x)] ay (T); (c) within a large, oil- filled power capacitor where er = 5 and E = 0.9cos[1.257×10–6(3×108t–z ax (MV/m); (d) in a metallic conductor at 60Hz, if e = eo, m = mo, s = 5.8 ×107(S/m); and J = sin (377t – 117.1z)ax (MA/m2) 5)] ANSWERS (a) 0.468 (A/m2); (b) 0.800 (A/m2); (c) 0.0150 (A/m2); (d) 57.6 (pA/m2) 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 31 9.3 Các phương trình Maxwell dạng vi phân t     BE (42) l Nhớ lại hai phương trình của trường tĩnh vr D (44) l Ta có 2 phương trình Maxwell cho trường biến thiên and t      DH J (43) 0 B (45) u (44) Xuất phát từ mật độ điện tích dương source (rv > 0) or sink (rv < 0) of electric flux lines. 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 32 (46) (47) (48) Độ điện thẩm e, độ từ thẩm m, và điện dẫn suất s là các hằng số. l Nếu gặp vật liệu “không đẹp”, trong công thức (46) và (47) ta phải xác định vectơ phân cực điện P và vectơ phân cực từ M (49) (50) l Trong các vật liệu tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng (môi trường đơn giản), ta có các biểu thức sau: D = eE B = mH J = sE D = eo E + P B = mo (H + M) 9.3 Các phương trình Maxwell dạng vi phân 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 33 l Đối với vật liệu tuyến tính, ta có quan hệ P với E và M với H: Đối với 1 phân bố điện tích khối ρv, Ta được lực trên đơn vị thể tích (mật độ lực) P = ceeoE M = cmH (51) (52) Trong đó ce là độ cảm điện và cm là độ cảm từ của vật liệu. l Cuối cùng, bỡi vì nó là thành phần cơ bản quan trọng, ta có phương trình Lorentz F= Q(E + v × B) (N/m3) 9.3 Các phương trình Maxwell dạng vi phân f = rvE + J × B (N/m3) (53) (54) J = rvUVới 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 34 DRILL PROBLEM 10.4. Let m = 10–5 (H/m), e = 4 × 10–9(F/m), s = 0 and rv = 0. Find k (including units) so that each of the following pairs of fields satisfies Maxwell’s equations: (a) D = 6ax – 2yay + 2zaz (nC/m2); H = kxax + 10yay – 25zaz (A/m) (b) E = (20y – kt) ax (V/m); H = (y + 2 × 106t) az (A/m) ANSWERS. (a) 15 (A/m2); (b) – 2.5 × 108 (V/m.s) 9.3 Các phương trình Maxwell dạng vi phân 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 35 . . C S S dd d d t dt        BE L S B SÑ l Lấy tích phân (42) toàn mặt hở S co biên là đường cong kín C, ta được định luật Faraday: l Tương tự áp dụng cho (43), ta được định luật Ampere: (56) Fd dt E (55)or or . . . C S S dd d d dt    H L J S D SÑ I d dt y   C = I + Id 9.3 Các phương trình Maxwell dạng tích phân 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 36 l Lấy tích phân (44) trong một thể tích v có biên là mặt kín S, ta được định luật Gauss cho điện trường (57)v eS vd dv Qy r    D SÑ (58)0 S dF   B SÑ ! Bốn phương trình tích phân cho chúng ta tìm điều kiện biên của E, H, D và B là một phần bắt buộc để tìm nghiệm, và nói chung gần như hoàn toàn giống với trường tĩnh. l Tương tự cho (45), ta được định luật Gauss cho từ trường: 9.3 Các phương trình Maxwell dạng tích phân 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 37 9.5 Điều kiện biên của các vectơ trường Gọi S là mặt biên giữa hai vùng 1 và 2 ta có các hằng số vật liệu s1, s2; e1, e2; m1, m2 (Fig 10.13). l P là một điểm trên S; P1 và P2 là hai điểm vô cùng gần P và nằm lần lượt trong miền 1 và 2. l aN là vectơ pháp đơn vị của S tại P và hướng từ 1 đến 2. l E1, H1, D1, B1 và E2, H2, D2, B2 là các vectơ trường tại P1 và P2. Figure 10.13 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 38 l Trường hợp 1. Hai miền có điện dẫn suất σ1, σ2 hữu hạn. Et2 = Et1 Ht2 = Ht1 Dn2 – Dn1 = rs Bn2 = Bn1 (59) (60) (61) (62) aN × (E2 – E1) = 0 aN × (H2 – H1) = 0 aN . (D2 – D1) = rs aN . (B2 – B1) = 0 (63) (64) (65) (66) or 9.5 Điều kiện biên của các vectơ trường 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 39 l Trường hợp 2. Miền 1 là vật dẫn lý tưởng (s1 = ¥) (Fig 10.14) ! Vật dẫn lý tưởng: tất cả trường biến thiên bằng 0, và điện trường tĩnh bằng 0: (67)J1 = E1 = H1 = D1 = B1 = 0 Et2 = 0 (68) Ht2 = K ×aN (69) Dn2 = rS (70) Bn2 = 0 (71) aN × E2 = 0 (72) aN × H2 = K (73) aN . D2 = rS (74) aN . B2 = 0 (75) or Figure 10.14 9.5 Điều kiện biên của các vectơ trường 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM 40 DRILL PROBLEM 10.5. The unit vector aN = 0.64ax + 0.6ay – 0.48az is directed from region 2 (er2 = 2, mr2 = 3, s2 = 0) toward region 1 (er1 = 4, mr1 = 2, s1 = 0). If B1 = (ax – 2ay + 3az)sin300t (T) at point P1 in region 1 adjacent to the boundary S, find the amplitude at P1 of: (a) BN1; (b) Bt1; (c) BN2; (d) B2 ANSWERS. (a) 2.00(T); (b) 3.16(T); (c) 2.00(T); (d) 5.15(T); DRILL PROBLEM 10.6. The surface y = 0 is a perfectly conducting plane, while the region y > 0 has er = 5, mr = 3 and s = 0. Let E = 20cos (2 × 108t – 2.58z) ay (V/m) for y > 0; and find at t = 6(ns): (a) rS at P(2, 0, 0.3); (b) HP; (c) KP. ANSWERS. (a) 0.81 (nC/m2); (b) –62.3ax(mA/m); (c) –62.3az (mA/m) 9.5 Điều kiện biên của các vectơ trường 1/16/2013 Châu Văn Bảo- ĐHCN TP.HCM