Trường điện từ - Chương 3: Mật độ điện thông, định luật GAUSS, và định lý Divergence

1Chương 3: MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG, ĐỊNH LUẬT GAUSS, VÀ ĐỊNH LÝ DIVERGENCE 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 1. Định nghĩa: D (C/m2) Mật độ điện thông D do điện tích Q tạo ra tại P là 1 vectơ có chiều của điện trường E và có độ lớn bằng mật độ điện tích ρs tại P. (2) 3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG D = eoE (C/m2) 2. Mật độ điện thông của điện tích tại 1 điểm (Fig C3.1) Trong hệ tọa độ cầu 24 = r Q rp D a (1) Figure C3.1 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 2 3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG 3. Mật độ điện thông của điện tích phân bố theo đường (Fig C3.2) 2 = L r r pr D a (C1) 4. Mật độ điện thông xuyên qua mặt phẳng S (Fig C3.3) TRong hệ tọa độ trụ (CCS) dọc theo trục z ρL : là mật độ điện tích rS :Là mật độ điện tích mặt N2 = S rD a (C2) Figure C3.2 Figure C3.3 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 3 VD 3.1. Điện tích phân bố đều với mật độ ρL = 8nC/m dọc theo trục z. Tìm E và D tại điểm P cách trục z khoảng 3m. Giải. Điện trường E tại P (r, f, z) là 9 12 8 10 143.8 (V / m) 2 2 (8.854 10 ) - - ´ = = = ´ L o r r r r pe r rp E a a a Tại r = 3m, E = 47.9 ar(V/m) Thông qua E, ta tìm D 9 9 28 10 1.273 10 (C/ m ) 2 2 - -´ ´ = = =L r r r r pr pr r D a a a Tại r = 3m thì D = 0.424ar (nC/m2) 3.1. MẬT ĐỘ ĐIỆN THÔNG 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 4 DRILL PROBLEM 3.1. Given a 90 mC point charge located at the origin, find the total electric flux passing through: (a) that portion of the sphere r = 26cm bounded by 0 < q < p/2 and 0 < f < p/2; (b) the closed surface defined by r = 26cm and z = ±26cm; (c) the plane z = 26cm. ANSWERS. (a) 7.5 (mC); (b) 60 (mC); (c) 30 (mC) DRILL PROBLEM 3.2. Calculate D in rectangular coordinates at point P (2, –3, 6) produced by: (a) a point charge QA = 55mC at PA (–2, 3, –6); (b) a uniform line charge rSB = 20mC/m on the x axis; (c) a uniform surface charge rSC = 120mC/m2 on the plane z = –5m. ANSWERS: (a) 6.38 ax – 9.57 ay + 19.14az (mC/m2); (b) –212 ay + 424 az (mC/m2); (c) 60az (mC/m2) 3.1. Electric Flux Density 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 5 1. Mật độ điện thông Φ a. D đều, S phẳng, D vuông góc với S 3.2. ĐỊNH LUẬT Gauss Φ = DS (C3) ! Nếu S là vectơ có hướng aN, thì độ lớn: Φ = D . S (C4) Figure C3.4a 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 6 b. Nếu D đều, S phẳng, D có hướng bất kỳ. Φ = DN S Φ = DS cosq Φ = D . S (C5) !Φ > 0 nếu 0 £ q < p/2; !Φ < 0 nếu p/2 < q £ p; !Φ = 0 nếu q = p/2 3.2. ĐỊNH LUẬT Gauss Figure C3.4b 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 7 l Chia S thành nhiều diện tích vi phân dS l aN là vectơ pháp tuyến của S tại P. l dS = dSaN là vectơ phần tử mặt tại P của S. c. D và S bất kỳ (Fig 3.2) dΦ = DN dS = DdScosq = D . dSaN = D . dS (C6) 3.2. Gauss’s Law Figure 3.2 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 8 1. Điện thông tổng xuyên qua S theo hướng an: = òS dy D S× (C7) 2. Nếu S là mặt kín, vectơ an hướng ra ngoài: .out encS d Qy = =ò D sÑ (5) 3.2. Gauss’s Law =òout encS D S× 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 9 Gauss có thể viết (6) (C8) (line charge)LL Q dLr= ò (C9) (surface charge)= ò SSQ dSr (C10) (volume charge)vv Q dvr= ò (C11) · · · · 1 (point charge) n k k Q Q = = å 3.2. Gauss’s Law Điện tích Q được bỡi những công thức sau: =×ò ò vS vd dvrD S 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 10 2 ;4 = =r r Q d dS ap D a aS Điện thông tổng thoát ra khỏi mặt cầu S 24 × =ò òS S Qd dS ap D S 2 24 4 = = =òS Q QdS S Q a ap p Φout = Qchay (Gauss’s Law) 3.2. Gauss’s Law Định luật Gauss: Điện thông tổng thoát ra khỏi S bằng điện tích tổng chứa trong S. Chứng minh định luật Gauss Figure 3.316/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 11 DRILL PROBLEM 3.4. Calculate the total electric flux leaving the cubical surface formed by the six planes x, y, z = ±5, if the charge distribution is: (a) two point charges: 0.1 mC at (1, –2, 3) and 1/7mC at ( –1, 2, –2) (b) a uniform line charge of p (mC/m) at x = –2, y = 3. (c) a uniform surface charge of 0.1 (mC/m2) on the plane y = 3x ANSWERS (a) 0.243 mC; (b) 31.4 mC; (c) 10.54 mC DRILL PROBLEM 3.3. Given the Electric Flux Density D = 0.3 r2ar (nC/m2) in free space: (a) Find E at point P (r = 2, q = 25o, f = 90o) (b) Find the total charge within the sphere r = 3 (c) Find the total elctric flux leaving the sphere r = 4 ANSWERS. (a) 135.5 ar (V/m); (b) 305nC; (c) 965nC 3.2. Gauss’s Law 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 12 Dùng dịnh luật Gauss để tìm D, rồi suy ra E 1. Chia S ra 2 phần § S┴ trên đó D vuông góc với S (D // dS), thì D.dS = D.Ds § S// trên đó D song song với S (D ┴ dS), thì D.dS = 0 2. Trên S┴ biên độ của D là: D = constant Áp dụng định luật Gauss: 3.3. Áp dụng định luật Gauss: ^ ^ ^× = × = = =ò ò òS S Sd d DdS DS QD DS S Suy ra Nand ^ ^ = = Q QD S S D a (C12) aN là vectơ pháp đơn vị của S^ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 13 3.3. Application of Gauss’s Law 24 Q Q QD S S rp^ = = = 24r r QD rp = =D a a 24 = = r o o Q re pe DE a VD 3.1. Cho điện tích Q trong tọa độ cầu (Fig C3.3). Dùng ĐL Gauss tìm D và E tại P (r, q, f). GIẢI. Figure C3.3 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 14 D = Dr (r)ar VD3.3. Dùng ĐL Gauss để tìm điện trường đo điện tích phân bố đều với mật độ ρL trên đường thẳng vô tận. GIẢI. Chọn đường thẳng mang địện tích là 2 trục z. Chọn mặt Gauss đặc biệt là mặt trụ tròn xoay, bán kính ρ và chiều cao L. Điểm P(r, f, z) Figure 3.4 3.3. Application of Gauss’s Law 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 15 Here = S2, and SII = S1US3 Using (C12), we have: 2 2 L LQ LD D S Lr r r pr pr^ = = = = 2 LDr r r r pr = =D a a 2 = = L o E Er r pe r 2 = = L o Er r r r pe r E a a 3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD S^ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 16 ( ) 2 0 ( ) < < = L a b a or b r r r pr r r a D (C12) where rL = 2parS là mật độ đường GIẢI. Tương tự như VD 3.3: VD 3.4. Xét một cáp đồng trục gồm hai mặt trụ đồng trục dài vô tận bán kính a và b (0<a<b). Giả sử mặt trụ trong mang điện tích mặt đều với mật độ mặt rS, còn mặt trụ ngoài mang điện tích bằng nhưng trái dấu với mặt trụ trong. Tìm D và E. Figure 3.5 3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD ì í î ïî ï í ì rpe r = r 0 a 2E 0 L (a>ρ or ρ>b) (a<ρ<b) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 17 9 2 3 30 10 9.55( / ) 2 2 (10 )(0.5) a Sa Q C m aL r m p p - - ´ = = = 9 2 3 30 10 2.39( / ) 2 2 (4 10 )(0.5) b Sb Q C m bL r m p p - - - ´ = = = - ´ · In the region 1 < r < 4mm, we have 29.55 1079( / ); ( / )= = = =Sa o DaD nC m E V mrr r r r r e r · · EXAMPLE 3.2. Cho một cáp đồng trục L= 50cm, a = 1mm and b = 4mm, Q = 30nC. Tìm rSa, rSb, D and E. SOLUTION · In the region r 4mm, D and E are zero 3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 18 2mC/m2 at r = 1cm, and –0.6mC/m2 at r = 1.8cm. DRILL PROBLEM 3.5. A point charge of 0.25mC is located at r = 0, and uniform surface charge densities are located as follows: Calculate D at: (a) r = 0.5cm; (b) r = 1.5cm; (c) r = 2.5cm (d) What uniform surface charge density should be established at r = 3cm to cause D = 0 at r = 3.5cm? ANSWERS (a) 796 ar (mC/m2) ; (b) 977 ar (m C/m2) (c) 40.8 ar (mC/m2); (d) –28.3 (m C/m2) 3.3. Application of Gauss’s Law: Some SCD 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 19 3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS: l Cho điểm bất kỳ P (x, y, z). l D = Dxoax + Dyoay + Dzoaz là mật độ điện thông tại tại P. l DS là 1 hộp chữ nhật nhỏ, có chiều dài là Dx, Dy, và Dz. l Dv = Dx Dy Dz là thể tích hộp chữ nhật nhỏ. l DS là mặt phẳng kín bao bọc Dv l DQ là tổng điện tích chứa trong Dv l rv là mật độ điện tích tại P l DΦ là thông lượng thoát ra khỏi hình hộp DS In Fig 3.6: Figure 3.6 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 20 3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS: D ¶æ ö¶ ¶ Dy = = D » + + Dç ÷¶ ¶ ¶è ø ×ò yx zS DD Dd Q v x y y D S (7) Áp dụng ĐL Gauss cho mặt kín DS bao quanh thể tích Dv và cho kết quả gần đúng ở công thức (7): (8) Áp dụng dịnh luật Gauss (5), thông lượng thoát ra khỏi DS bằng tổng điện tích chứa trong Dv Điện tích trong thể tích yx z DD Dv v x y z ¶æ ö¶ ¶ D » + + ´ Dç ÷¶ ¶ ¶è ø DQ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 21 sin ; sin ; 2- - ¶¶ ¶ = - = = ¶ ¶ ¶ yx xx zDD De y e y x y z Tổng điện tích trong thể tích Dv tại P(x, y, z) là: DQ = 2 Dv Tại gốc tọa độ, nếu Dv = 10–9m2, thì chúng ta có DQ = 2nC. 3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS: EXAMPLE 3.3. Tìm tổng điện tích trong một thể tích 10–9m3, tại gốc tọa độ, nếu cho: D = e–x siny ax – e–x cosy ay + 2z az (C/m2) SOLUTION. Trước tiên ta tìm 3 thành phần trong (8): 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 22 DRILL PROBLEM 3.6. In free space, let D = 8xyz4ax + 4x2z4ay + 16x2yz3az (pC/m2) (a) Find the total electric flux passing through the rectangular surface (z = 2, 0 < x < 2, 1 < y < 3), in the az direction. (b) Find E at (P (2, –1, 3). (c) Find an approximate value for the total charge contained in an incremental sphere located at P (2, –1, 3) and having a volume of 10–12 (m3). ANSWERS (a) 1365 (pC) (b) –146.4ax + 146.4ay – 195.2az (V/m) (c) –2.38 × 10–21 (C) 3.4. ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS: 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 23 3.5. Divergence Từ (7) có: ψ D¶¶ ¶ D D+ + » = = ¶ ¶ ¶ D D D ×òyx Sz dDD D Q x y z v v v D S 0 0 ψlim lim D ® D ® ¶¶ ¶ D D + + = = = ¶ ¶ ¶ D D yx z v v v DD D Q x y z v v r (9) Chúng ta có thể viết (9) dưới dạng 2 phương sau: 0 0 ψlim lim D D ® D ® ¶¶ ¶ D + + = = ¶ ¶ ¶ D D ×òyx Sz v v dDD D x y z v v D S ¶¶ ¶ + + = ¶ ¶ ¶ yx z v DD D x y z r · · (10) or (11) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 24 1. Định nghĩa: Nếu A là một trường vectơ, thì divergence của A tại điểm P được định nghĩa là: 0 lim D D ® F = = D ×ò S v d ddiv v dv A A Ñ S (13) Divergence của vectơ A bằng thông lượng thoát ra khỏi một mặt kín nhỏ trên đơn vị thể tích khi thể tích này co lại và tiến tới không. divA trong hệ trục tọa độ vuông góc yx zAA Adiv x y z ¶¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶ A ! 3.5. Divergence (C13) (C14) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 25 2. Divergence trong RCS, CCS, và SCS. ( ) ¶¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶ yx zDD Ddiv R x y z D 1 1( ) ( ) ¶¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶ zD Ddiv D C z f rrr r r f D 2 2 1 1 1( ) (sin ) ( ) sin sin ¶¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶r D div r D D S r r rr f qqq q q f D (15) · Nếu divD > 0 tại P thì P là điểm nguồn của D · Nếu divD < 0 tại P thì P là điểm giếng của D 3.5. Divergence (16) (17) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 26 VD 3.4. Tìm divD tại gốc tọa độ D = e–xsinyax – e–x cosyay + 2zaz GIẢI. Sử dụng công thức (15): yx zDD Ddiv x y z ¶¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶ D = –e–xsiny + e–xsiny + 2 = 2 Giá trị của divD là hằng số 2. Nếu đơn vị của D là C/m2, thì đơn vị của divD là C/m3. Đây là mật độ điện tích khối, khái niệm này sẽ được học trong phần tới. 3.5. Divergence 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 27 (a) D = (2xyz – y2) ax + (x2z – 2xy) ay + x2yaz (C/m2) at PA (2, 3, –1) (b) D = 2rz2sin2f ar + rz2sin2f af + 2r2zsin2f az (C/m2) at PB (r = 2, f = 110o, z = –1). (c) D = 2rsinqcosfar + rcosqcos faq– rsinfaf (C/m2) at PC (r = 1.5, q = 30o, f = 50o) ANSWERS: (a) –10.00 (C/m3); (b) 9.06 (C/m3); (c) 1.29 (C/m3) 3.5. Divergence DRILL PROBLEM 3.7. In each of the following parts, find a numerical value for divD at the point specified: 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 28 yx zDD Ddiv x y z ¶¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶ D 0 0 lim lim D D ® D ® Dy = = D D ×ò S v v d div v v D D Ñ S 3.6. Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh) (18) vdiv r=D (19) (20) · (18) là định nghĩa của divergence. · (19) là công thức để xác định divergence của một vectơ · (20) là công thức (11) được viết là từ mới divD Divergence được xác định: 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 29 Hoặc divD = rv Công thức (20), ĐL Gauss có: Chia 2 vế cho Dv l Đây là Phương trình Maxwell thứ nhất trong 4 phương trình Maxwell, và còn gọi là dạng điểm của ĐL Gauss. l ĐL Gauss gọi là dạng tích phân của phương trình Maxwell. Dy D = D D Q v v Cho thể tích Dv tiến dần về 0 0 0 lim lim D ® D ® Dy D = D Dv v Q v v 3.6. Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh) Dy = DQ (20) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 30 D = Drar + Dqaq + Dfaf (C15) Với 2 ;4r QD rp = Dq = 0; Df = 0 Sử dụng (17) để tính divD tại điểm P(r, q, f): ( )22 1 1 1div ( sin ) sin sin ¶¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶r D r D D r r rr f q qq q q f D 2 1 0 4 d Q drr p æ ö= =ç ÷ è ø (if r ¹ 0) Vậy rv = 0 khắp mơi, ngoại trừ ở gốc O thì nó bằng vô cùng VD C3.5. Kiểm tra phương trình Maxwell thứ nhất từ giá trị divD do một điện tích Q đặt tại gốc O tạo ra. GIẢI. Mật độ điện thông theo công thức (1), có thể viết: Phương Trình Maxwell Thứ Nhất (Trường điện tĩnh) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 31 2 2 2 4 2 2(a) = + -x y z xy x x y z z z D a a a (b) D = zsinfar + zcosfaf + rsinfaz (c) D = sinqsinf ar + cosqsinf aq + cosfaf ANSWERS. 2 2 3 4(a) ( )y x z z + ; (b) 0; (c) 0 DRILL PROBLEM 3.8. In each of the following parts, determine an expression for the volume charge density associatet with the D field: 3.6. Maxwell’s First Equation (Electrostatics) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 32 3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence ¶ ¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶x y zx y z a a aÑ (21) Khi làm toán với toán tử Ñ, cứ xem nó như một vectơ bình thường với điều kiện thay toán nhân vô hướng bỡi các đạo hàm riêng tương ứng. ( )¶ ¶ ¶æ ö= + + + +ç ÷¶ ¶ ¶è ø × ×x y z x x y y z zD D Dx y z D a a a a a aÑ ( ) ( ) ( )¶ ¶ ¶= + + ¶ ¶ ¶x y z D D D x y z ¶¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶ yx zDD D x y z div ¶¶ ¶ = = + + ¶ ¶ ¶ × yx z DD D x y z D DÑVậy (16) 1. Toán tử Ñ:Ta định nghĩa toán tử del Ñ là toán tử vectơ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 33 2. Định lý Divergence Từ ĐL Gauss và phương trình Maxwell, ta có: = = = ××ò ò òvS v vd Q dv dvrD DÑ S Ñ (22) Định lý Divergence =× ×ò òS vd dvD DÑ S Ñ 3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 34 3 2 3 0 0 0 2 4 12= = =×ò ò ò òS d ydydz dzDÑ S 3 2 1 0 0 0 2 2 12= = =ò ò ò ò òv vdv ydv ydxdydzDÑ × · · VD 3.5. Kiểm tra định lý divergence đối với trường vectơ D = 2xyax + x2ay (C/m2), v là hình hộp xác định bỡi 6 mặt x = 0 và 1, y = 0 và 2, z = 0 và 3. GIẢI y2)x( y )xy2( x D. 2 = ¶ ¶ + ¶ ¶ =ÑVới 3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 35 Chapter 3. Quizzes DRILL PROBLEM 3.9 Given the field D = 6rsin (f/2)ar +1.5rcos (f/2)af (C/m2), evaluate both sides of the divergence theorem for the region bounded by the five surfaces: r = 2, f = 0, f = p, z = 0 and z = 5 ANSWERS: 225; 225 3.7. Toán tử vectơ Ñ và định lý Divergence 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 36