Trường điện từ - Chương 1: Giải tích Vector

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP. HCM KHOA ĐIỆN TRƯỜNG ĐIỆN TỪ ĐỐI TƯỢNG: SV NGÀNH ĐIỆN 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 1 Giới thiệu 1. Số tiết: 45 tiết 2. Yêu cầu: · Thi giữa kỳ · Tiểu luận · Thi kết thúc 4. Tài liệu tham khảo: § Nguyễn Kim Đính Trường điện từ NXB ĐH Quốc Gia TP. HCM, 2006 § William H. Hayt, Jr & John A. Buck Engineering Electromagnetics, Sixth Edition McGraw-Hill International Edition 2006 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 2 NỘI DUNG 1. Giải tích Vector 2. Định luật Coulomb và cường độ trường điện 3. Mật độ từ thông, định luật Gauss’s và Divergence 4. Năng lượng và điện thế 5. Dòng điện và vật dẫn điện kim loại 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 3 NỘI DUNG 6. Vật liệu cách điện và tụ điện 7. Trường từ dừng 8. Lực từ, vật liệu và điện cảm 9. Trường biến thiên và hệ phương trình Maxwell 10. Sóng điện từ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 4 Chương 1 Giải tích Vetor 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 5 1.1 Vô hướng và Vectơ · Vô hướng dùng để chỉ các đại lượng mà giá trị chỉ phụ thuộc một số thực. „ VD: Nhiệt độ tại từng điểm trong phòng học là một trường vô hướng. · Vectơ: dùng để chỉ các đại lượng vừa có độ lớn vừa có hướng trong không gian. „ VD: Lực, vận tốc, gia tốc · Vectơ A được ký hiệu: A · Độ lớn vectơ A ký hiệu: A 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 6 1.2 Đại số vectơ · Cộng vectơ bằng qui tắc hình bình hình (Fig 1.1a) hoặc bằng qui tắc nối-đuôi-vào – đầu (Fig 1.1b) · CộngVectơ theo qui tắc sau: * Giao hoán : A + B = B + A * Kết hợp : A + (B + C) = (A + B) + C Figure 1.1a Figure 1.1b 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 7 1.2. Đại số vectơ · A - B = A + (–B) · Phân bố · k(A + B) = kA + Kb · (r + s) (A + B) = r (A + B) + s (A + B) = rA + rB + sA + sB · (k + h) A = kA + hB 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 8 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC (RCS) Figure 1.2a 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 9 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC · Hệ tọa độ vuông góc thuận (Fig 1.2a). Đinh ốc quay thuận từ trục x sang trục y theo góc nhỏ sẽ tiến theo chiều trục z. · Gọi P(x,y,z) là một trong không gian 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 10 Figure 1.2b 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 11 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC · Fig 1.2b biểu diễn P (1, 2, 3) and Q (2, –2, 1) · Điểm P có x = 1, y = 2, and z = 3 · Điểm Q is có x = 2, y = –2 and z = 1 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 12 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC Figure 1.2c 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 13 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC Fig 1.2c biểu diễn P (x, y, z). Nếu chúng ta tăng x, y, và z bỡi dx, dy và dz, ta có P’ rất gần P. P’ (x + dx, y + dy, z + dz). · Thể tích dv = dxdydz · Diện tích các mặt dSz =dxdy, dSx=dydz, dSy=dzdx · Đường chéo 2 2 2' ( ) ( ) ( )= = + +dL PP dx dy dz 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 14 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ Figure 1.3 o o P 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 15 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ Điểm P(x,y,z) , vector r = OP(Fig 1.3a) · Tổng các thành phần: r = x + y + z · In Fig 1.3b, ax, ay và az vectors đơn vị, có độ lớn bằng 1 · Các vectơ ax, ay và az hướng theo chiều tăng của tọa độ thực, tương ứng với các mặt phẳng x = 0, y = 0, and z = 0. 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 16 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ Figure 1.3c 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 17 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ · In Fig 1.3c p x y z = + 2 + 3r a a a Q x y z = 2 – 2 + r a a a = -PQ Q PR r r 4 2= - -x y za a a = + +P x y zx y zr a a a 1 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )= - + - + -P P x y zx x y y z zR a a a „ Tổng quát, if P (x, y, z), P1 (x1, y1, z1), and P2 (x2, y2, z2), then 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 18 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ • B trường vectơ: „ Bx, By, and Bz là hình chiếu B lên các trục x, y, z „ Hình chiếu thành phần của B · Độ lớn của B là (1) · Vectơ đơn vị theo hướng r · Vectơ đơn vị theo hướng B là: = + +x x y y z zB B BB a a a , ,= = =x x x y y y z z zB B BB a B a B a 2 2 2| | = = + +x y zB B B BB 2 2 2 = = + + r r x y z r ra 2 2 2B x y z B B B B = = + + B Ba 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 19 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ EXAMPLE 1.1 Tìm vectơ đơn vị từ gốc O đến G (2, –2, –1) SOLUTION. Vectơ đơn vị theo hướng G là Độ lớn của G, Vectơ đơn vị theo hướng G là 2 2= - -x y zG a a a 2 2 2(2) ( 2) ( 1) 3= + - + - =G 2 2 1 0.667 0.667 0.333 3 3 3 = = - - = - -G x y z y y zG Ga a a a a a a 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 20 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ DRILL PROBLEM D1.1 Cho 3 điểm M (–1, 2, 1), N (3, –3, 0), và P (–2, –3, –4), tìm: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ANSWERS MNR MN MP+R R Mr MPa 2 3-P Nr r 4 5x y z- -a a a 3 10 6x y z- -a a a 0.14 0.7 0.7x y z- - -a a a (a) (b) (c) (d) (e) 2.45 15.56 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 21 Gọi P (x, y, z) , và r là vectơ vi trí của P. · T là hàm vô hướng của vectơ T = T(r) tức là hàm vô hướng của ba biến x, y, z 1.5 Trường vectơ (C2) ( ) ( , , )T T T x y z= =r ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )= + +x x y y z zA x y z A x y z A x y zA r a a a Figure C1.1 · Trường vectơ A là một hàm vectơ r A=A(r) Ax, Ay, Az là các hàm vô hướng của x, y, z (C1) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 22 1.5 Trường vectơ BT: 1.2 Một trường vectơ S được cho trong tọa độ vuông bỡi: 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 125 ( 1) ( 2) ( 1) x y zx y z x y z - + - + + = - + - + + a a a S 5.95 11.90 23.8x y z+ +a a a 0.218 0.436 0.873x y z+ +a a a 2 2 2 2( 1) ( 2) ( 1) (125)x y z- + - + + = (a) (b) (c) (a) Tìm S tại P (2, 3, 4) (b) Xác định vectơ đơn vị chỉ hướng của S tại P (c) Viết phương trình mặt cong, sao cho |S| = 1 ANSWERS 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 23 1.6 Tích vô hướng · In Fig C1.2, tích vô hướng, (or tích chấm) của hai vectơ A và B là: · Tích chấm có tính chất giao hoán cos ABAB q× =A B × = ×A B B A 1x x y y z z× = × = × =a a a a a a 0x y y x y z z y z x x z× = × = × = × = × = × =a a a a a a a a a a a a Figure C1.2 (C3) (C4) (3) · Nếu ax, ay, và az là 3 vectơ đơn vị của hệ tọa độ vuông góc, thì: (4) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 24 · In Fig C1.2, nếu cho A và B dưới dạng và thì, từ (C3) và (C4), ta có · Tích chấm của A với chính nó là độ lớn bình phương · Nếu aA là vectơ đơn vị thì: x x y y z zA B A B A B× = + +A B 1.6 Tích vô hướng x x y y z zA A A= + +A a a a x x y y z zB B B= + +B a a a 22A× = =A A A 1A A× =a a (C5) (6) (5) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 25 ! BcosqBa dương nếu và âm nếu · In Fig 1.4b, thành phần vectơ của B theo hướng của a là 1.6 Tích vô hướng · In fig 1.4a, thành phần vô hướng của B theo hướng xác định bỡi vectơ đơn vị a là: cos cosq q× = =Ba BaBB a B a ( ) ( )cos BaB q× =B a a a 0 90q£ £ ° 90 180Baq° £ £ ° Figure 1.4a Figure 1.4b (C6) (C7) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 26 1.6 Tích vô hướng VD 1.2 Cho trường vectơ Và điểm Q (4, 5, 2). Tìm: (a) Vectơ G tại Q (b) Thành phần vô hướng của GQ tại Q theo hướng vectơ (c) Thành phần vectơ GQ theo hướng vectơ aN (d) Góc giữa GQ và aN 2.5 3= - +x y zy xG a a a 1 (2 2 ) 3 = + -N x y za a a a Gaq 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 27 SOLUTION (a) Thay tọa độ của của Q vào biểu thức của G , ta được (b) Sử dụng (C6), ta có thành phầnvô hướng của G tại Q (c) Dùng (C7), ta có thành phần vectơ của G tại Q (d) Góc giữa GQ và aN từ (C6) ta có: và 1.6 Tích vô hướng ( ) ( ) 5 10 3Q Q x y zQ= = = - +G r G G a a a 1 1(5 10 3 ) (2 2 ) (10 10 6) 2 3 3 × = - + × + - = - - = -Q N x y z x y zG a a a a a a a 1( ) ( 2) (2 2 ) 1.333 0.667 1.333 3Q N N x y z x y z × = - + - = - - +G a a a a a a a a cosQ N GaG q× =G a 2 25 100 9cos Gaq- = + + 99 9Gaq = × ° 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 28 BT 1.3 Ba đỉnh của một tam giác ABC có tọa độ A (6, –1, 2), B (–2, 3, –4), and C (–3, 1, 5). Tìm: (a) RAB (b) RAC (c) Góc ở đỉnh A (d) Hình chiếu của RAB lên RAC 1.6 Tích vô hướng BACq 8 4 6x y z- + -a a a 9 2 3x y z- + -a a a 53.6° 5.94 1.139 1.979x y z- + +a a a ANSWERS (a) (b) (c) (d) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 29 1.7 Tích chéo (tích hữu hướng) Figure 1.5 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 30 1.7 Tích chéo Trong Fig 1.5, tích chéo, or tích có hướng of A and B is a vector, kí hiệu: A × B và đọc “A tích chéo B”. · Độ lớn: of A × B is sinq´ = ABABA B (C8) ·Phương: Vuông góc với A and B. · Chiều: là chiều tiến của 1 đinh ốc thuận khi ta quay đinh ốc từ A đến B theo góc nhỏ q 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 31 1.7 Tích chéo · Biểu thức có thể được viết: Trong đó: aN là pháp vector đơn vị của mặt phẳng (A, B) có hướng tiến của đinh ốc thuận quay từ A sang B. · Tích chéo có tính đối giao hoán: B × A = –A × B · Diện tích của tam giác hợp bỡi hai vector A and B is ( sin )AB NAB q´ =A B a sinq= = ´ABS AB A B (7) (C9) (C10) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 32 · Ba vector đơn vị trong tọa độ vuông (RCS): · If and , then , using (C11) and (C12), we have 1.7 Tích chéo x y z x y z x y z A A A B B B ´ = a a a A B 0´ = ´ = ´ =x x y y z za a a a a a x y y x z´ = - ´ =a a a a a y z z y x´ =- ´ =a a a a a z x x z y´ = - ´ =a a a a a x x y y z zA A A= + +A a a a x x y y z zB B B= + +B a a a (9) (C12) (C11) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 33 1.7 Tích chéo EXAMPLE C1.1 If and , find the cross product A × B SOLUTION Using (9), we have = [(–3) (5) – (1)(–2)]ax – [(2) (5) – (1)(–4)]ay + + [(2) (–2) – (–3)(–4)] az 2 3= - +x y zA a a a 4 2 5x y z= - - +B a a a 2 3 1 4 2 5 x y z ´ = - - - a a a A B 13 14 16= - - -x y za a a 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 34 1.7 The Cross Product DRILL PROBLEM D 1.4 Ba đỉnh của 1 tam giác ABC có tọa độ là: A (6, –1, 2), B (–2, 3, –4) và C(–3, 1, 5). Tìm: (a) (b) Diện tích của tam giác ABC. (c) Một vector pháp đơn vị của mặt phẳng chứa tam giác ABC ANSWERS (a) (b) 42 (c) AB AC´R R 24 78 20x y z+ +a a a 0.286 0.928 0.238x y z+ +a a a 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 35 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ (CCS) · Trong Fig C1.3 , điểm M nằm trong mặt phẳng xy cho bỡi: (1) Khỏang cách ρ từ gốc O đếm điểm M (2) Góc f nằm giữa trục x và tia OM Figure C1.3 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 36 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ (CCS) Cylindrical Coordinate System Figure 1.6a 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 37 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ · Trong hình 1.6a, P’ là hình chiếu của P lên trục z, và M là hình chiếu của P lên mặt phẳng xy ( tức là z = 0) · In the tọa độ trụ của P là bộ ba: (1) ρ là khỏang cách từ O đếm M (2) là góc ox và vectơ OM (3) z là khỏang cách từ P đến mặt phẳng z = 0. f 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 38 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ · Quan hệ giữa hệ tọa trụ và hệ tọa độ vuông góc, ta có · Ngược lại, ! Ρ ≥ 0 và f phải xét dấu x và y ví dụ: · If x = –3 and y = 4, then ρ = 5 and · If x = 3 and y = –4, then ρ = 5 and or . cosx r f= sinr f=y 2 2 ( 0)x yr r= + ³ 1tan y x f -= 126,9f = ° 53,1f = - ° 306.9° =z z =z z (11) (10) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 39 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ Figure 1.6b 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 40 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ • Trong hình 1.6b, ta có 3 vectơ đơn vị của CCS tại điểm P Các vectơ đơn vị (1) chỉ hướng tăng của ρ (2) chỉ hướng tăng của (3) az chỉ hướng tăng của z. ra 1 1 1( , , )zr f fa f 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 41 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ Figure 1.6c 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 42 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ · Trong hình 1.6c, giả sử ρ, f và z tăng lên một lượng vi phân dρ, df và dz · Hai mặt trụ bán kính ρ và ρ+dρ, hai nửa mặt phẳng tạo với nửa xOz các f và f + df và hai mặt phẳng nằm ngang có độ cao z và z+dz sẽ bao một thể tích vi phân có dạng hình nêm cụt có: Chiều dài ba cạnh là: dρ, ρdf and dz . Diện tích mặt: rdrdf, drdz, and rdfdz. Thể tích: dv = rdrdfdz 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 43 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ Figure 1.7 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 44 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ Nếu là một điểm trong miền R, và r là vectơ vị trí của P, thì · Trường vô hướng T được định nghĩa một hàm của r, or có 3 biến thực: ( , , )P zr f ( , , )T T zr f= ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )z zA z A z A zr r f fr f r f r f= + +A r a a a (C14) · Trường vectơ A được định nghĩa là hàm vectơ của r: (13) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 45 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ DRILL PROBLEM D 1.5 (a) Find the rectangular coordinates of the point (b) Find the cylindrical coordinates of the point (c) Specify the distance from C to D ANSWERS (a) C(x = –1.860, y = –3.99, z = 2) (b) (c) RCD = 8.36 ( 4.4, 115 , 2)r f= = - ° =C z ( 3.1, 2.6, 3)= - = = -D x y z ( 4.05, 140.0 , 3)r f= = ° =-D z 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 46 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU The Spherical Coordinate System (SCS) · Trong hình 1.8a, điểm P được cho bỡi: (1) r là khỏang cách từ gốc O đến điểm P (r ≥ 0) (2) θ là góc giữa trục z và vectơ OP (0 ≤ θ ≤ 180o) (3) f là góc tạo bỡi trục x và vectơ OM (Fig1.6a) Figure 1.8a 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 47 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU Figure 1.8b · Trong hình 1.8b, điểm gồm có P (r, θ, f) (1) r = constant: mặt cầu (2) θ = constant: mặt nón (3) f = constant: nửa mặt phẳng tạo với nửa mặt phẳng xOz. · Giao của mặt nón và mặt cầu là một circle có bán kính r = rsinq 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 48 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU · Trong hình 1.8c, các vectơ đơn vị tại điểm P(r1,q1,f1) ar chỉ hướng tăng của r, aθ chỉ hướng tăng của θ. af chỉ hướng tăng của f. Figure 1.8c 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 49 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU Figure 1.8d 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 50 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU · Trong hình 1.8d, và giả sử cho r, θ và f tăng lên một lượng vi phân dr, dθ và df · Hai mặt cầu có bán kính r và r+dr; và hai mặt nón có nữa đỉnh θ and θ+dθ ; and hai nửa mặt phẳng f and f +df sẽ bao một thể tích vi phân có dạng gần đúng một hình hộp vi phân với: Độ dài 3 cạnh là:dr, rdθ and rsinθdf Diện tích 3 mặt: rdrdθ, rsinθdrdf and r2sinθdθdf. Thể tích: 2 sindv r drd dq q f= 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 51 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU · Quan hệ giữa hệ tọa cầu và hệ tọa vuông góc sin cosx r q f= sin sinq f=y r cosz r q= 2 2 2r x y z= + + 1 2 2 2 cos (0 180 )z x y z q q-= ° £ £ ° + + 1tan y x f -= ( 0)r ³ (15) (16) · Ngược lại 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 52 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU Nếu là một điểm trong miền R, và r là vectơ vị trí của P, then: · T là một trường vô hướng được định nghĩa là hàm thực của r , or 3 biến thực: ( , , )P r q f ( , , )T T r q f= ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )q q f fq f q f q f= + +r rA r A r A rA r a a a (C15) (C16) · Trường vector A được định nghĩa như là hàm vector của r, or 3 biến thực 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 53 TÍCH CHẤM VUÔNG GÓC - TRỤ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 54 TÍCH CHẤM VUÔNG GÓC – CẦU 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 55 TÍCH CHẤM VUÔNG TRỤ – CẦU 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 56 1.9 The Spherical Coordinate System DRILL PROBLEM D 1.7 (a) Find the spherical coordinates of the point C (–3, 2, 1) (b) Find the rectangular coordinates of the point D (r = 5 , θ = 20o, f = –70o) (c) Specify the distance from C to D ANSWERS (a) (b) (c) ( 3.74, 74.5 , 146.3 )C r q f= = ° = ° ( 0.585, 1.607, 4.70)D x y z= = - = 6.29CDR = 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 57