Thống kê ứng dụng trong quản lý và kỹ thuật - Chương 2: Khoảng tin cậy

1 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy 1 RƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM Khoa KTXD - Bộ mơn KTTNN Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr Web: Tél. (08) 38 691 592 - 098 99 66 719 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy 2 NỘI DUNG MƠN HỌC Chương 1. Thống kê mơ tả. Chương 1bis. Xác suất & phân phối thống kê. Chương 2. Khoảng tin cậy. Chương 3. Lý thuyết kiểm định thống kê. Chương 4. Kiểm định Cronbach’s Alpha. Chương 5. Phân tích phương sai (ANOVA). Chương 6. Hồi quy tuyến tính & giả tuyến tính. Chương 7. Xử lý số liệu thực nghiệm. Chương 8. Giới thiệu phần mềm SPSS. PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy 3 KHOẢNG TIN CẬY PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy ƯỚC LƯƠïNG & SỰ LẤY MẪU Trong thực tế nghiên cứu các thông số thống kê của một tập hơp mẹ “lớn”  người ta thường tính toán trên mẫu được chọn từ tập hợp mẹ một cách có lý luận được gọi là thống kê mẫu. Ví dụ X và  biểu thị giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của tập hợp mẹ (thông thường là các đại lượng không biết vì kích thước mẫu lớn, tiến hành xác định đúng thường tốn kém hoặc không khả thi !). 4 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy x  5 s Độ lệch chuẩn, σ Tỷ lệ, Sai biệt giá trị trung bình 2 tập hợp mẹ: μ 1 - μ 2 Trung bình, μ Đai lượng đánh giá Thông số tập hợp mẹ p 1 2x x PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy ÔN Trung bình số học: Phương sai & độ lệch chuẩn: n x...xxxx X ni321   6 1n )Xx( V n 1i 2 i      V (Average) (VAR) (STDEV) 2 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy CHÚ Ý Độ lệch chuẩn “kinh nghiệm”  Độ lệch chuẩn “khơng lệch” (Hàm trong Excel) 7 N )Xx( n 1i 2 i    1N )Xx( n 1i 2 i      PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy ÔN Hiệp phương sai của 2 biến X, Y: Hệ số tương quan giữa X & Y: 8 N )Yy)(Xx( )Y,X(Cov n 1i ii     11r)Y,X(Covr YX    (COVAR) Theo định nghĩa kinh nghiệm PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Phân phối của giá trị trung bình của mẫu Xem xét một tập hợp mẹ với kích thước vô hạn. Xét tập hợp các mẫu có kích thước n lấy ngẫu nhiên từ tập hợp mẹ.  Từ đó tính giá trị trung bình của từng mẫu & từ đó tính độ lệch chuẩn của các giá trị trung bình này. Giả thiết tập hợp mẹ là vô hạn và sẽ hoàn trả lại mẫu sau lần thực hiện. Lý thuyết thống kê cho biết: 9 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Phân phối giá trị trung bình của mẫu Trong trường hợp kích thước mẫu (n) là lớn: N kích thước tập hợp mẹ x N n * N 1n      10 E(x)  x n    (giá trị trung bình tập hợp mẹ) (σ độ lệch chuẩn tập hợp mẹ n kích thuớc tập hợp con) hệ số hiệu chỉnh <=1 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Ví dụ 1: Tính độ lệch chuẩn của giá trị trung bình từ mẫu cĩ kích thước n=36. Biết rằng độ lệch chuẩn tập hợp mẹ là =12. Giả thiết kích thước tập hợp mẹ lớn (X=12/36 0.5=2). Ví dụ 2: Lấy một mẫu ngẫu nhiên cĩ n=16. Kết quả tính cho biết độ lệch chuẩn của mẫu là s=60. Xác định độ lệch chuẩn của giá trị trung bình cho 2 t/h: a. Tập hợp mẹ cĩ kích thước lớn (=60/160.5=15). b. Tập hợp mẹ cĩ N=200. 11 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Xét một tập hợp mẹ bất kỳ. Thực hiện lấy mẫu ngẫu nhiên có kích thước là n và tính giá trị X tb trung bình của mẫu.  Nếu số n đủ lớn (thông thường >30), phân phối của giá trị trung bình X tb sẽ có dạng phân phối chuẩn N(X,). 12 3 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Phân phối Chuẩn N(0,1) 13 t α=Pr(Xi>t) 0 p Hàm mật độ xác suất (Bảng tra ở sau) X PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy KHOẢNG TIN CẬY CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG TRƯỜNG HỢP BIẾN TRUNG BÌNH TUÂN THEO PHÂN PHỐI CHUẨN Định nghĩa: Khoảng tin cậy của giá trị trung bình là một khoảng giá trị được thiết lập đối xứng quanh giá trị trung bình của mẫu sao cho khoảng tin cậy này chứa giá trị trung bình của tập hợp con với một xác suất định trước. 14 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy : giá trị trung bình tính từ mẫu khảo sát. Ghi chú: Những khoảng tin cậy sử dụng phổ biến trong thực tế áp dụng là các khoảng tin cậy 90%, 95% và 99%. X  15 (x e)(x e) Khoảng tin cậy e: biên độ khoảng tin cậy x X PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy 16 ) e tPr(1) eXxe Pr( xxxx          )Pr( 2 1 x e t     Phương trình toán học để xác định e: Với α biết, tra bảng tìm e/σ x  xác định e khi σx biết. )eXxeXPr(  X Xx t   với biến trung tâm & chuẩn hoá PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Ví dụ: Người ta muốn biết lương trung bình của một Xí nghiệp lớn. Mẫu n=100 công nhân được chọn ngẫu nhiên để phỏng vấn. Kết quả từ mẫu cho thấy lương trung bình là 200$ và độ lệch chuẩn là 25$. Xác định khoảng tin cậy của lương trung bình với độ tin cậy 90%, 95%. Cho biết lương trung bình tuân theo phân phối chuẩn. 17 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy 18 ) e tPr(1) eXxe Pr( xxxx          ) e tPr(05.0 2 9.01 x   Phương trình toán học để xác định e: Với phân phối chuẩn  645.1 e x   112.4 100 25 645.1 n s 645.1*645.1e x   $]1.204$9.195[  4 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy 19 Kết luận: Lương trung bình của công nhân Xí nghiệp khảo sát sẽ nằm trong khoảng từ 195.9$ đến 204.1$/tháng với xác suất là 90%.  Lý luận tương tự tính với =95% (khoảng tin cậy sẽ lớn hơn ?) $]1.204$9.195[  PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Bài tập: Để nghiên cứu gía trị trung bình của dung trọng tự nhiên  sẽ dùng trong thiết kế, từ 50 mẫu đất thí nghiệm trong phòng, giá trị trung bình là 17,2kN/m 3 và độ lệch chuẩn là 0,5kN/m 3 . Giả thiết giá trị trung bình của  tuân theo phân phối chuẩn. Xác định khoảng tin cậy của giá trị trung bình  với độ tin cậy 95% và 90%. 20 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Bài tập: Phòng thí nghiệm X muốn xác định ứng suất kéo chảy trung bình của thép do xưởng sản xuất để phục vụ tính toán thiết kế. Kết quả kéo thép từ 10 mẫu thí nghiệm cho kết quả như sau. Giả thiết ứng suất chảy trung bình theo phân phối chuẩn. a. Xác định khoảng tin cậy của giá trị trung bình với độ tin cậy 95% và 90%. b. Tính giá trị T 0 để xác suất : Mẫu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T(kN/cm2) 35.7 40.2 38.3 43.4 37.9 41.0 39.5 37.0 42.0 42.0 %95)TTPr( 0  21 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Hướng dẫn Với t tuân theo phân phối N(0,1) Tra bảng tìm a0  T0 %95)atPr() T tPr( %95) TT Pr(%95)TTPr( 0 T 0 T 0 T 0            22 T 0 0 T awith    PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Bài tập: Kết quả thí nghiệm nén bê tông của 50 mẫu trong phòng thí nghiệm có giá trị trung bình khả năng chịu nén là = 850N/cm2 và độ lệch chuẩn là 15N/cm 2 . Giả thiết giá trị trung bình của  tuân theo phân phối chuẩn. Xác định khoảng tin cậy của giá trị trung bình  với độ tin cậy 95% và 90%. 23 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Bài tập 1: Một mẫu lấy ngẫu nhiên n=36 cơng nhân và kết quả tính cho thấy lương trung bình tháng là =200USD và độ lệch chuẩn của mẫu là s=12USD. Xác định khoảng tin cậy của giá trị lương trung bình với độ tin cậy là 95% và 90%. Giả sử giá trị trung bình theo phân phối chuẩn và mẫu mẹ cĩ kích thước lớn. Bài tập 2: Tương tự bài 1 với n=50, =400USD và s=20USD. Bài tập 3: Tương tự bài 2 với n=100, =400USD và s=20USD.  Nhận xét các kết quả rút ra từ các ví dụ. 24 5 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy 25 KHOẢNG TIN CẬY CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI TRƯỜNG HỢP PHÂN PHỐI STUDENT PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Trong thực hành, khi sự lấy mẫu khơng thỏa mãn một số điều kiện  khả năng gặp sai số lớn khi nghiên cứu giá trị trung bình. Trong trường hợp đĩ  phân phối Student sẽ dùng thay phân phối chuẩn khi nghiên cứu giá trị trung bình. Cụ thể là khi: - Kích thước mẫu bé (n<30). - Độ lệch chuẩn của phân phối mẹ khơng biết.  Phân phối Student sử dụng cĩ bậc tự do là (n-1). 26 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Phân phối Student và phân phối chuẩn 27 Phân phối chuẩn N(0,1) Phân Student với bậc tự do df 0 Nhận xét: Biến theo phân phối Student phân tán xung quanh 0 LỚN hơn biến theo phân phối chuẩn. p t PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Ví dụ: Người ta muốn biết lương trung bình của một Xí nghiệp lớn. Mẫu 100 công nhân được chọn ngẫu nhiên để phỏng vấn. Kết quả tính từ mẫu cho thấy lương trung bình là 200$ và độ lệch chuẩn là 25$. Xác định khoảng tin cậy của lương trung bình với độ tin cậy 90% với phân phối Student. (So sánh với kết quả BT trước với phân phối chuẩn. Nhận xét). $]1.204$9.195[%90)BTtruoc(  28 $]16.204$84.195[%90  PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Bài tập: Kết quả tính trọng lượng đơn vị tự nhiên  trung bình từ 16 mẫu đất thí nghiệm trong phòng là 16,2kN/m 3 và độ lệch chuẩn là 0,65kN/m 3 . Giả thiết giá trị trung bình của  tuân theo phân phối chuẩn. Xác định khoảng tin cậy của giá trị trung bình  với độ tin cậy 95% và 90%. 29 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Ví dụ. Một mẫu lấy ngẫu nhiên gồm n=10 bóng đèn cho thấy tuổi thọ trung bình là X=4000h và độ lệch chuẩn của mẫu là s=200h. Xác định khoảng tin cậy của giá trị tuổi thọ trung bình bóng đèn với xác suất 95%. Ví dụ: Như trên với n=25, x=3500h, s=150h. Xác định khoảng tin cậy với 95%. Chú ý: Sử dụng phân phối Student với bậc tự do (n-1). 30 6 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Bài tập: Một thí nghiệm địa chất để xác định dung trọng tự nhiên trung bình dùng trong thiết kế của một tầng địa chất được lấy 10 mẫu và cĩ giá trị như sau. a. Xác định khoảng tin cậy của giá trị trung bình cho 2 t/hợp là 90% và 95%. b. Xác định giá trị  trung bình thiết kế với độ tin cậy là 99%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1,62 1,67 1,59 1,80 1,67 1,69 1,66 1,65 1,70 1,7 31 Hướng dẫn: γ=1.675T/m3 ; σ=0.056T/m3 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Bài tập: Thí nghiệm được thực hiện trên 10 mẫu lấy từ tầng địa chất khảo sát. Kết quả thí nghiệm dung trọng tự nhiên  được trình bày trong bảng sau. Tính giá trị  trung bình với độ tin cậy 99%. N0 1 2 3 4 5 γ 1.6 1.8 1.65 1.63 1.6 N0 6 7 8 9 10 γ 1.65 1.66 1.7 1.67 1.68 32 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Ví dụ: Một thí nghiệm địa cơ xác định dung trọng tự nhiên (T/m3) của một tầng điạ chất gồm cĩ 10 mẫu cho kết quả sau. Xác định khoảng tin cậy giá trị trung bình với độ tin cậy 95%. N 1 2 3 4 5 6 γ(t/m3) 1.7 1.7 1.7 1.7 1.6 1.67 N 7 8 9 10 TB sigma γ(t/m3) 1.65 1.6 1.65 1.75 1.672 0.047 33 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Phân phối Chuẩn 34 t α=Pr(Xi > t) 0 p Hàm mật độ xác suất p X PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5000 4960 4920 4880 4840 4801 4761 4721 4681 4641 0.1 4602 4562 4522 4483 4443 4404 4364 4325 4686 4247 0.2 4207 4168 4129 4090 4052 4013 3974 3936 3897 3859 0.3 3821 3873 3745 3707 3669 3632 3594 3557 3520 3483 0.4 3446 3409 3372 3336 3300 3264 3228 3192 3156 3121 0.5 3085 3050 3015 2981 2946 2912 2877 2843 2810 2776 0.6 2743 2709 2676 2643 2611 2578 2546 2514 2483 2451 0.7 2420 2389 2358 2327 2296 2266 2236 2206 2217 2148 0.8 2119 2090 2061 2033 2005 1977 1949 1922 1894 1867 0.9 1841 1814 1788 1762 1736 1711 1685 1660 1635 1611 1 1587 1562 1539 1515 1492 1469 1446 1423 1401 1379 1.1 1357 1335 1314 1292 1271 1251 1230 1210 1190 1170 1.2 1151 1131 1112 1093 1075 1056 1038 1020 1003 985 1.3 968 951 934 918 901 885 869 853 838 823 35 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy 1.4 808 793 778 764 749 735 721 708 694 681 1.5 668 655 643 630 618 606 594 582 571 559 1.6 548 537 526 516 505 495 485 475 465 455 1.7 446 436 427 418 409 401 392 384 375 367 1.8 359 351 344 366 329 322 314 307 301 294 1.9 287 281 274 268 262 256 250 244 239 233 2 228 222 217 212 207 202 197 192 188 183 2.1 179 174 170 166 162 158 154 150 146 143 2.2 139 136 132 129 125 122 119 116 113 110 2.3 107 104 102 99 96 94 91 89 87 84 2.4 82 80 78 75 73 71 69 68 66 64 2.5 62 60 59 57 55 54 52 51 49 48 2.6 47 45 44 43 41 40 39 38 37 36 2.7 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 2.8 26 25 24 23 23 22 21 20 20 19 2.9 19 18 18 17 16 16 15 15 14 14 3 13 13 13 12 12 11 11 10 11 10 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 36 : ti 7 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy Phân phối Student )tXPr( i  37 t 0 p Hàm mật độ xác suất p -t X PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy 38  dl (df) 80 60 40 20 10 5 2 1 1 ,325 ,727 1,376 3,078 3,314 12,706 31,821 63,657 2 ,289 ,617 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 3 ,277 ,584 ,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 4 ,271 ,569 ,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5 ,267 ,559 ,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6 ,265 ,553 ,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 7 ,263 ,549 ,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 8 ,262 ,546 ,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 9 ,261 ,543 ,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 10 ,260 ,542 ,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 11 ,260 ,540 ,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 12 ,259 ,539 ,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 13 ,259 ,538 ,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 14 ,258 ,537 ,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 15 ,258 ,536 ,866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 16 ,258 ,535 ,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 17 ,257 ,534 ,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 Bậc tự do (n-1) t PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy 16 ,258 ,535 ,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 17 ,257 ,534 ,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 18 ,257 ,534 ,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 19 ,257 ,533 ,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 20 ,257 ,533 ,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 21 ,257 ,532 ,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 22 ,256 ,532 ,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 23 ,256 ,532 ,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 24 ,256 ,531 ,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 25 ,256 ,531 ,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 26 ,256 ,531 ,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 27 ,256 ,531 ,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 28 ,256 ,530 ,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 29 ,256 ,530 ,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 30 ,256 ,530 ,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 40 ,255 ,529 ,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 60 ,254 ,527 ,848 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 120 ,254 ,526 ,845 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617  ,253 ,524 ,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 39 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT PHÂN PHỐI STUDENT Hàm Gamma(u) 40 n 1 2 2 n n 1 1 t2 p (t) . 1 n nn 2                    x u 1 0 (u) e x dx      PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT PHÂN PHỐI 2 41 2( 1) 2 2 2 2 ( ) 2 1 p( , ) e 2 2 ( ) 2                PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT PHÂN PHỐI FISHER 42   1 2 1 1 2 1 2 1 2 n n n t 2 2 n ,n 1 2 n n 1 2 2t 2 1 2 n n e2 p (t) 2n n . n n n e n 2 2                  8 PGS. TS. Nguyễn Thống THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT Chương 2: Khoảng tin cậy 43 HẾT CHƯƠNG