Tập bài giảng Hệ thống điều khiển tự động

ruyền đạt của hệ thống điều khiển rời rạc là tỷ số biến đổi z của tín hiệu ra với tín hiệu vào lấy mẫu tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau. Giả sử ta muốn lấy mẫu một hệ thống với đáp ứng đầu ra như trên hình 7.8: Y(p) = e*(p)G(p) Dạng lấy mẫu của tín hiệu ra có dạng như sau: )p(G)p(e)]p(G)p(e[)p(Y *****  (7.22) Và: Y(z) = E(z)G(z) (7.23) Phương trình 7.22 và 7.23 có nghĩa là nếu có tối thiểu một hàm liên tục được lấy mẫu thì biến đổi z của tích bằng tích biến đổi z của mỗi hàm (chú ý rằng [e*(p)]* = e*(p), điều này có nghĩa là một tín hiệu đã được lấy mẫu rồi sẽ không có tác dụng lấy mẫu nữa W(z) = G(z) chính là hàm truyền đạt của hệ. Chú ý từ phương trình 7.23 chúng ta không có thông tin về Y(z) giữa các thời điểm lấy mẫu. Quan hệ giữa tín hiệu vào r(t) và tín hiệu ra y(t) của hệ thống rời rạc thường được mô tả bằng phương trình sai phân như sau: )k(rb)1k(rb...)1mk(rb)mk(rb)k(ya)1k(ya...)1nk(ya)nk(ya m1m10n1n10   (7.24) Trong đó: n  m và n gọi là bậc của hệ thống. Biến đổi z hai vế của phương trình 7.24 ta được: )z(Rb)z(zRb...)z(Rzb)z(Rzb)z(Ya)z(zYa...)z(Yza)z(Yza m1m 1m 1 m 0n1n 1n 1 n 0      Lập tỷ số Y(z)/R(z), ta được hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc là: G(p) Hình 7.8. Lấy mẫu một hệ thống e*(p) e(p) y(p) y*(p) 217 n1n 1n 1 n 0 m1m 1m 1 m 0 aza...zaza bzb...zbzb )z(R )z(Y )z(W        (7.25) Hàm truyền đạt trên có thể biến đổi tương đương về dạng: n n 1n 1n 1 10 m m 1m 1m 1 10 )mn( zaza...zaa zbzb...zbb(z )z(R )z(Y )z(W          (7.26) Ví dụ 7.4. Tìm hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân như sau: )k(r)2k(r10)k(y7)1k(y4)2k(y5)3k(y  Bài giải: Biến đổi z phương trình sai phân ta được: )z(R)z(Rz10)z(Y7)z(zY4)z(Yz5)z(Yz 223   7z4z5z 1z10 )z(R )z(Y )z(W 23 2     321 21 z7z4z51 )z10(z )z(R )z(Y )z(W      7.2.2. Biến đổi sơ đồ cấu trúc 1. Hệ thống điều khiển rời rạc hở a) Hệ thống điều khiển rời rạc không có bộ điều khiển số Xét hệ thống điều khiển rời rạc hở có sơ đồ khối như trên hình 7.9a và sơ đồ cấu trúc tương đương như trên hình 7.9b,c. Đối tượng điều khiển có hàm truyền đạt G2(p). Hàm truyền đạt phần liên tục quy đổi là: )p(G GZOH(p).G2(p) Tín hiệu ra là: Y(p) = G(p)R*(p) = GZOH(p)G2(p)R*(p) (a) Đối tượng ĐK Lấy mẫu và giữ mẫu r(t) y(t) r(t) GZOH(p) G2(p) y(t) r*(t) )t(r R(p) R*(p) )p(R Y(p) r(t) G(p) y(t) r*(t) R(p) R*(p) Y(p) (b) (c) Hình 7.9. Hệ thống lấy mẫu vòng hở 218 Lấy mẫu (biến đổi *(p) tín hiệu ra ta được: )p(R)]p(G)p([G)p(Y **2ZOH *  Biết rằng biến đổi *(p) và biến đổi z là tương đương, do đó: )z(R])p(G)p(G[Z)z(Y 2ZOH Vậy hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc hở là: )]p(G)p(G[Z )z(R )z(Y )z(W 2ZOH  ] p )p(G [Z z 1z )]p(G p e1 [Z )z(R )z(Y )z(W 22 pT      (7.27) Ví dụ 7.5. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc như trên hình 7.10. Biết 1p 1 )p(G 2   , hãy tìm hàm truyền đạt của hệ thống. Bài giải: Áp dụng công thức 7.27 ta xác định được hàm truyền đạt của hệ là: ] )1p(p 1 [Z z 1z )z(R )z(Y )z(W    Tách: 1p B p A )1p(p 1    Ta tính được: A = 1 và B = -1. Từ đó suy ra: 1p 1 p 1 )1p(p 1     Và: ] 1p 1 p 1 [Z z 1z )z(R )z(Y )z(W       TT ez 1z 1) ez z 1z z ( z 1z )z(R )z(Y )z(W          b) Hệ thống điều khiển rời rạc có bộ điều khiển số Xét hệ thống điều khiển rời rạc hở có bộ điều khiển (ĐK) số có sơ đồ khối như trên hình 7.11a. - Bộ biến đổi ADC tương đương với bộ lấy mẫu. - Bộ biến đổi DAC tương đương với bộ lưu giữ bậc không. - Đối tượng điều khiển (O) có hàm truyền đạt G2(p). R(p) GZOH(p) G2(p) Y(p) Hình 7.10. Sơ đồ cấu trúc hệ thống ví dụ 7.5 219 Bộ ĐK số có tín hiệu vào là tín hiệu số và tín hiệu ra cũng là tín hiệu số, nên hàm truyền đạt của bộ điều khiển số là: GBĐK(z) = )z(R )z(M Sơ đồ cấu trúc của hệ thống như trên hình 7.11b. Ta có: )p(M)p(G)p(G)p(M)p(G)p(Y *ZOH22  )p(R)p(G)p(M **BDK *  Lấy mẫu tín hiệu ra ta được: )p(R)p(G)]p(G)p(G[)p(M)]p(G)p(G[)p(Y **BDK * ZOH2 ** ZOH2 *  Hay: )z(R)z(G)]p(G)p(G[Z)z(Y BDKZOH2 Vậy hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển rời rạc hở có bộ điều khiển số là: )z(G)]p(G)p(G[Z R(z) Y(z) W(z) BDKZOH2 (7.28) 2. Hệ thống điều khiển rời rạc kín a) Hệ thống điều khiển rời rạc kín không có bộ điều khiển số Xét hệ thống điều khiển rời rạc kín không có bộ điều khiển số có sơ đồ cấu trúc như trên hình 7.12. Ta có: )p(E)p(G)p(E)p(G)p(G)p(E)p(G)p(Y **ZOH22  Trong đó: )p(G)p(G)p(G ZOH2 Lấy mẫu tín hiệu ra ta được: r(t) GBĐK(z) G2(p) y(t) Hình 7.11. Hệ thống điều khiển rời rạc hở có bộ điều khiển số r(t) ADC Bộ ĐK số DAC O y(t) (a) GZOH(p) R(p) r*(t) R*(p) M*(p) m*(t) )t(m )p(M Y(p) (b) E(p) GZOH(p) G2(p) Y(p) Hình 7.12. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển rời rạc kín không có bộ điều khiển số R(p) E*(p) )p(E 220 )p(E)p(G)p(Y ***  Mặt khác: )p(Y)p(R)p(E   )p(Y)p(R)p(E ***   )]p(Y)p(R)[p(G)p(Y ****  Từ đó suy ra: )p(R )p(G1 )p(G )p(Y * * * *   Hay: )z(R )z(G1 )z(G )z(Y   Vậy hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển rời rạc kín không có bộ điều khiển số là: )z(G1 )z(G )z(R )z(Y )z(W   (7.29) Trong đó: )]p(G)p(G[Z)z(G 2ZOH b) Hệ thống điều khiển rời rạc kín có bộ điều khiển số Xét hệ thống điều khiển rời rạc kín có bộ điều khiển có sơ đồ cấu trúc như trên hình 7.13. Ta có: )p(Y)p(R)p(E  )p(G)p(G)p(G 2ZOH )p(G)p(G)p(E)p(Y *BDK * Từ ba phương trình trên ta suy ra: )p(E)p(G)p(G)p(R)p(E **BDK Hay: )p(E)p(G)p(G)p(R)p(E ***BDK **  Từ phương trình trên suy ra: )p(G)p(G1 )p(R )p(E * BDK * * *   Vậy: )p(G)p(G )p(G)p(G1 )p(R )p(Y *BDK* BDK * *   Lấy mẫu tín hiệu ra ta có: E(p) GBĐK(z) G2(p) Y(p) Hình 7.13. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển rời rạc kín có bộ điều khiển số R(p) E*(p) GZOH(p) M*(p) )p(M 221 )p(G)p(G )p(G)p(G1 )p(R )p(Y **BDK* BDK * * *   Biến đổi z của tín hiệu ra có dạng: )z(G)z(G )z(G)z(G1 )z(R )z(Y BDK BDK  Từ biểu thức trên suy ra hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển rời rạc kín có bộ điều khiển số là: )z(G)z(G1 )z(G)z(G )z(W BDK BDK   (7.30) Trong đó: G(z) = Z[G(p)] = Z[GZOH(p)G2(p)] Ví dụ 7.6. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc như trên hình 7.14 Hãy tìm hàm truyền đạt của hệ thống, biết: 2 p2,0 2 p e5 )p(G   ; chu kỳ lấy mẫu T = 0,2 s và bộ điều khiển GBĐK(z) có quan hệ vào – ra mô tả bằng phương trình sai phân như sau: u(k) = 10e(k) – 2e(k-1) Bài giải: Biến đổi z phương trình sai phân của bộ điều khiển ta được: )z(Ez2)z(E10)z(U 1 Từ đó suy ra hàm truyền đạt của bộ điều khiển là: GBĐK(z) z 2z10 z210 )z(E )z(U 1   Ta có: G(z) = Z[GZOH(p)G2(p)] = ] p e5 p e1 [Z 2 p2,0pT  3 2 11 3 p2,0 1 )1z(2 )1z(z)2,0( z)z1(5] p e5 [Z)z1()z(G       2)1z(z )1z(1,0 )z(G    Áp dụng công thức 7.30 ta có: GBĐK(z) G2(p) Y(p) Hình 7.14. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển ví dụ 7.6 R(p) GZOH(p) e(k) u(k) 222 )2z10)(1z(1,0)1z(z )2z10)(1z(1,0 z 2z10 )1z(z )1z(1,0 1 z 2z10 )1z(z )1z(1,0 )z(G)z(G1 )z(G)z(G )z(W 22 2 2 BDK BDK              c) Hệ thống rời rạc điều khiển bằng máy tính Hệ thống điều khiển bằng máy tính có sơ đồ khối như trên hình 7.15a và sơ đồ cấu trúc tương ứng như trên hình 7.15b. Ta có: )p(M)p(G)p(G)p(M)p(G)p(Y *ZOH22   )p(M)]p(G)p(G[)p(Y **ZOH2 *  Hay: )z(M)]p(G)p(G[Z)z(Y ZOH2 Theo sơ đồ ta có: )p(G)]p(U)p(R[)p(G)p(E)p(M *BDK *** BDK **  Hay: )z(G)]z(U)z(R[)z(M BDK Mặt khác ta có: )p(M)p(G)p(G)p(G)p(Y)p(G)p(U *ZOH211  Nên: )p(M)]p(G)p(G)p(G[)p(U **ZOH21 *   )z(M)]p(G)p(G)p(G[Z)z(U ZOH21 Suy ra: )z(G)}z(M)]p(G)p(G)p(G[Z)z(R{)z(M BDKZOH21 Hay: )]p(G)p(G)p(G[Z)z(G1 )z(R)z(G )z(M ZOH21BDK BDK   Thay M(z) vào công thức của Y(z) ta được: )]p(G)p(G)p(G[Z)z(G1 )p(G)p(G[Z)z(R)z(G )z(Y ZOH21BDK ZOH2BDK   Từ đó xác định được hàm truyền đạt của hệ rời rạc điều khiển bằng máy tính là: Máy tính số Đối tượng ĐK Hình 7.15. Hệ thống rời rạc điều khiển bằng máy tính r(kT) DAC ADC Cảm biến y(t) GBĐK(z) G2(p) R*(p) GZOH(p) G1(p) Y(p) (a) e(kT) m(kT) )t(m u(t) u(kT) E*(p) U*(p) M*(p) )p(M U(p) (b) 223 )]p(G)p(G)p(G[Z)z(G1 )p(G)p(G[Z)z(G )z(W ZOH21BDK ZOH2BDK   (7.31) 7.2.3. Phương trình trạng thái 1. Dạng tổng quát của phương trình trạng thái Phương trình trạng thái hệ thống điều khiển rời rạc là hệ phương trình sai phân bậc một có dạng:      )k(xC)k(y )k(rB)k(xA)1k(x d dd (7.32) Trong đó:              )k(x ... )k(x )k(x )k(x n 2 1 ;              nn2n1n n22221 n11211 d aaa aaa aaa A     ;              n 2 1 d b b b B  ;  n21d cccC  2. Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân a) Khi vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín hiệu vào )k(rb)k(ya)1k(ya...)1nk(ya)nk(ya 0n1n10   (7.33) Ta đặt các biến trạng thái theo quy tắc: - Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra: )k(y)k(x1  - Biến thứ i đặt bằng cách làm sớm biến thứ i-1 một chu kỳ lấy mẫu: )1k(x)k(x 12  )1k(x)k(x 23  .. )1k(x)k(x 1nn   Làm tương tự như đối với hệ liên tục (chương 2) ta xác định được:              )k(x ... )k(x )k(x )k(x n 2 1 ;                      0 1 0 2n 0 1n 0 n d a a a a a a a a 1000 0100 0010 A      ;                    0 0 d a b 0 0 0 B   0001Cd  Ví dụ 7.7. Viết phương trình trạng thái mô tả hệ thống có quan hệ vào – ra cho bởi phương trình sai phân như sau: )k(r3)k(y4)1k(y5)2k(y)3k(y2  Bài giải: 224 Đặt các biến trạng thái: hệ bậc ba đặt ba biến trạng thái         )1k(x)k(x )1k(x)k(x )k(y)k(x 23 12 1 Phương trình trạng thái:      )k(xC)k(y )k(rB)k(xA)1k(x d dd Trong đó:             5,05,22 100 010 Ad ;            5,1 0 0 Bd ;  001Cd  b) Khi vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân tín hiệu vào )k(rb)1k(rb...)1mk(rb)mk(rb)k(ya)1k(ya...)1nk(ya)nk(ya m1m10n1n10   (7.34) Ta đặt các biến trạng thái theo quy tắc: - Biến trạng thái đầu tiên là nghiệm của phương trình: )k(r)k(x a a )1k(x a a ...)1nk(x a a )nk(x 1 0 n 1 0 1n 1 0 1 1   - Biến trạng thái thứ i (i = 2..n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ i-1 một chu kỳ lấy mẫu: )1k(x)k(x 12  )1k(x)k(x 23  .. )1k(x)k(x 1nn   Từ đó ta xác định được:              )k(x ... )k(x )k(x )k(x n 2 1 ;                      0 1 0 2n 0 1n 0 n d a a a a a a a a 1000 0100 0010 A      ;                  1 0 0 0 Bd          00 a b a b a b C 0 0 0 1m 0 m d  Ví dụ 7.8. Viết phương trình trạng thái mô tả hệ thống có quan hệ vào – ra cho bởi phương trình sai phân như sau: 225 )k(r3)2k(r)k(y4)1k(y5)2k(y)3k(y2  Phương trình trạng thái có dạng:      )k(xC)k(y )k(rB)k(xA)1k(x d dd Trong đó:             5,05,22 100 010 Ad ;            1 0 0 Bd ;  5,005,1Cd  7.3. Đáp ứng thời gian của hệ thống điều khiển rời rạc Đáp ứng thời gian của hệ thống điều khiển rời rạc có thể có được bằng cách tìm biến đổi z ngược của hàm đầu ra. Ví dụ 7.8. Đề bài cho như ví dụ 7.5. Hãy tìm đáp ứng đầu ra nếu đầu vào của hệ thống là: a. Hàm bước nhảy đơn vị. b. Hàm dốc. Bài giải: Theo ví dụ 7.5 ta đã tìm được: Tez 1z 1 )z(R )z(Y )z(W    Từ đó suy ra: ) ez 1z 1)(z(RW(z))z(R)z(Y T   a. Tín hiệu vào là một hàm bước nhảy đơn vị nên ta có: 1z z )z(R   Thay vào Y(z) ta được: )37,0z)(1z( z63,0 ) ez 1z 1( 1z z ) ez 1z 1)(z(R)z(Y TT            Suy ra: )37,0z)(1z( 63,0 z )z(Y   Đặt: 37,0z B 1z A z )z(Y     Tính được: A = 1 và B = -1. Từ đó suy ra: 37,0z z 1z z )z(Y     Sử dụng biến đổi z ngược ta tìm được đáp ứng đầu ra của hệ thống là: k)37,0(1)kT(y  Từ biểu thức trên ta tìm được: 226 y(0) = 0; y(1T) = 0,63; y(2T) = 0,86; y(3T) = 0,95. Vậy: ....)T4t(98,0)T3t(95,0)T2t(86,0)Tt(63,0)t(y  b) Tín hiệu vào là hàm dốc nên ta có: 2)1z( Tz )z(R   Khi chu kỳ lấy mẫu T = 1 s ta có: )37,0z()1z( z63,0 ) ez 1z 1)(z(R)z(Y 2T       37,0z74,1z37,2z z63,0 )z(Y 23   Sử dụng phương pháp chuỗi luỹ thừa có thể biểu diễn được y(z) dưới dạng: ...z43,3z45,2z5,1z63,0)z(Y 5432   Do đó đáp ứng đầu ra sẽ là: ....)5t(43,3)4t(45,2)3t(5,1)2t(63,0)t(y  7.4. Tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc Giả sử hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển rời rạc có dạng như sau: )z(A )z(B )z(R )z(Y )z(W  Khi đó: - A(z) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống. - Các giá trị của z thoả mãn B(z) = 0 gọi là không hay zero của hệ thống. - Các giá trị của z thoả mãn A(z) = 0 gọi là các cực của hệ thống. Tính ổn định của hệ thống sẽ phụ thuộc vào vị trí các cực, tức là phụ thuộc vào các nghiệm của phương trình đặc trưng. 7.4.1. Tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc Đối với các hệ thống điều khiển liên tục, mặt phẳng p được sử dụng để khảo sát ổn định của hệ thống. Tương tự đối với các hệ thống điều khiển rời rạc, mặt phẳng z được dùng để khảo sát ổn định của hệ thống. Trong phần này ta sẽ xét đến quan hệ tương đương giữa mặt phẳng p của hệ liên tục và mặt phẳng z của hệ rời rạc. Nếu phương trình p =  j mô tả một điểm trong mặt phẳng p thì ta có: TjTpT eeez  (7.35) T1.e)TsinjT(cosez TT   (7.36) Từ biểu thức 7.36, ta thấy thành phần )TsinjT(cos  luôn có môđun giới hạn bằng 1. Do đó môđun của z là: Tez  (7.37) 227 Từ biểu thức 7.37 ta thấy: 0 thì 1z  0 thì 1z  0 thì 1z  Từ các biểu thức trên ta thấy quan hệ giữa mặt phẳng p và mặt phẳng z như sau: Mặt phẳng p Mặt phẳng z 0 : Nửa bên phải mặt phẳng p 1z  : Bên ngoài vòng tròn đơn vị 0 : Trục ảo 1z  : Đường tròn bán kính 1 0 : Nửa bên trái mặt phẳng p 1z  : Bên trong vòng tròn đơn vị Quan hệ giữa mặt phẳng p và mặt phẳng z được biểu diễn trên hình 7.16. Như vậy ta có thể kết luận về tính ổn định của hệ thống ổn định như sau: - Hệ thống điều khiển rời rạc ổn định khi phương trình đặc trưng có tất cả các nghiệm có môđun nhỏ hơn 1. Hay tất cả các cực của hệ thống nằm bên trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng z. - Hệ thống điều khiển rời rạc không ổn định khi phương trình đặc trưng có ít nhất một nghiệm có môđun lớn hơn 1. Hay ít nhất một cực của hệ thống nằm ngoài vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng z. - Hệ thống điều khiển rời rạc ở biên giới ổn định khi phương trình đặc trưng có ít nhất một nghiệm có môđun bằng 1 và tất cả các nghiệm còn lại đều có môđun nhỏ hơn 1. Hay ít nhất một cực nằm trên vòng tròn đơn vị và tất cả các cực còn lại nằm trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng z. Ví dụ 7.9. Hãy xét tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc có hàm truyền đạt như sau: )ez)(e-(z e-1 W(z) T2T- -T   Im(p) Re(p) Re(p)<0 Miền ổn định Re(z) Miền ổn định 1z  z = epT Hình 7.16. Quan hệ giữa mặp phẳng p và z 0 0 Im(z) 228 Bài giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 0)ez)(ez( T2T   Giải phương trình đặc trưng được các nghiệm là:         T2 2 T 1 ez ez Vì chu kỳ lấy mẫu T > 0 nên 1z;1z 21  . Vậy hệ thống đã cho ổn định. Ví dụ 7.10. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc như trên hình 7.17. Hãy xét tính ổn định của hệ thống khi chu kỳ lấy mẫu T = 1 s. Bài giải: Áp dụng công thức 7.29, ta xác định được biểu thức hàm truyền đạt của hệ là: )z(G1 )z(G )z(R )z(Y )z(W   Trong đó: ] )2p(p 4 [Z)z1(] 2p 4 p e1 [Z)z(G 1 pT        T2 T2 T2 T2 1 ez )e1(2 )ez)(1z( )e1(z2 )z1()z(G            Với T = 1 s ta có: 135,0z 729,1 )z(G   Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 0 135,0z 594,1z 135,0z 729,1 1)z(G1        0594,1z   594,1z   1594,1z  . Vậy hệ thống không ổn định. p e1 pT 2p 4  Y(p) Hình 7.17. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển rời rạc ví dụ 7.10 R(p) 229 7.4.2. Các tiêu chuẩn ổn định 1. Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng Ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc có thể được phân tích bằng cách biến đổi mặt phẳng z sang mặt phẳng p rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz. Muốn vậy ta biến đổi biến z thành biến v như sau: 1v 1v z    . (7.38) Các nghiệm v biểu diễn trên mặt phẳng v như trên hình 7.18. Ta có sự tương quan giữa các nghiệm v và z như sau: - Nếu nghiệm v nằm bên trái trục ảo, ta có 1v1v  nên 1 1v 1v z     , do đó nghiệm z nằm bên trong vòng tròn đơn vị. - Nếu nghiệm v nằm bên phải trục ảo, ta có 1v1v  nên 1 1v 1v z     , do đó nghiệm z nằm bên ngoài vòng tròn đơn vị. - Nếu nghiệm v nằm trên trục ảo thì, ta có 1v1v  nên 1 1v 1v z     , do đó nghiệm z nằm trên vòng tròn đơn vị. Quan hệ giữa mặt phẳng z và mặt phẳng v biểu diễn như trên hình 7.19. Như vậy nếu chuyển mặt phẳng z sang mặt phẳng v thì việc xét tính ổn định của hệ thống cũng chuyển từ điều kiện tất cả các nghiệm z có 1z  sang điều kiện tất cả các nghiệm v có phần thực âm. Hay tất cả các nghiệm z nằm trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng z sang điều kiện tất cả các nghiệm v nằm bên trái trục ảo trên mặt -1 +1 v3 v3-1 v3+1 v2 -1 +1 v2-1 v2+1 -1 +1 V1 v1-1 v1+1 0 Re(v) Im(v) Hình 7.18. Biểu diễn nghiệm v trên mặt phẳng v 230 phẳng v. Các tiêu chuẩn đại số dùng để xét tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục hoàn toàn có thể áp dụng để xét tính ổn định cho hệ thống rời rạc. Ví dụ 7.11. Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng như sau theo tiêu chuẩn Routh – Hurwitz: 0104,0z202,0z135,0z83,0z)z(A 234  Bài giải: Đổi biến: 1v 1v z    , ta có phương trình tương đương: 0104,0 1v 1v 202,0 1v 1v 135,0 1v 1v 83,0 1v 1v 234                                  0597,1v378,5v624,6v79,1v611,0 234  Lập bảng Routh: 4v 0,611 6,624 1,597 3v 1,79 5,379 0 2v 4,788 1,597 1v 4,782 0 0v 1,597 Hệ thống đã cho ổn định do tất cả các số hạng trong cột thứ nhất của bảng Routh đều dương. 2. Tiêu chuẩn Jury Xét ổn định của hệ thống rời rạc có phương tình đặc trưng: 0aza...zaza)z(A n1n 1n 1 n 0    (7.39) Trong đó: a0 > 0. Im(v) Re(v) Re(v)<0 Miền ổn định Re(z) Miền ổn định 1z  1v 1v z    Hình 7.19. Quan hệ giữa mặp phẳng z và v Im(z) 0 0 231 * Lập bảng Jury 0z 1z 2z knz  1nz  nz 1 na 1na  2na  kna  1a 0a 2 0a 1a 2a ka 1na  na 3 1nb  2nb  3nb  k1nb  0b 4 0b 1b 2b kb ... 1nb  5 2nc  3nc  4nc  0c 6 0c 1c 2c 2nc      2n-5 3p 2p 1p 0p 2n-4 0p 1p 2p 3p 2n-3 2q 1q 0q - Các số hạng trong hàng thứ nhất là các hệ số của phương trình đặc trưng theo thứ tự chỉ số giảm dần. - Các số hạng thuộc hàng chẵn bất kỳ gồm các số hạng thuộc hàng lẻ trước đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại. - Các số hạng đuợc tính như sau: 1k0 1knn k aa aa b    ; 1k0 2kn1n k bb bb c    ; 1k0 3kn2n k cc cc d    ; 30 03 0 pp pp q  ; 10 23 2 pp pp q  . * Phát biểu tiêu chuẩn Điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển rời rạc ổn định là các số hạng trong bảng Jury đồng thời thoả mãn (n + 1) điều kiện sau: ;0)1(A  0)1(A  khi n chẵn và 0)1(A  khi n lẻ; 0n aa  ; 01n bb  ; 02n cc  ; (7.40) 03n dd  ................. 232 02 qq  Ví dụ 7.12. Xét ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc có phương trình đặc trưng như sau theo tiêu chuẩn Jury. A(z) = 5z3 + 2z2 + 3z +1 = 0 Bài giải: - Các hệ số của phương trình đặc trưng: a0 = 5 ; a1 = 2; a2 = 3; a3 = 1 - Kiểm tra các điều kiện: a0 = 5 > 0; A(1) = 11 > 0; A(-1) = -5 < 0 (thoả mãn) - Lập bảng Jury: Hàng 0z 1z 2z 3z 1 1 3 2 5 2 5 2 3 1 3 2b 1b 0b Trong đó: 24 15 51 aa aa b 30 03 2  ; 7 35 21 aa aa b 20 13 1  ; 13 25 31 aa aa b 10 23 0  . Kiểm tra các điều kiện còn lại: 0n aa  hay 1 < 5 (thoả mãn) 01n bb  hay 24 > 13 (thoả mãn) Vậy hệ thống đã cho ổn định. Ví dụ 7.13. Xét ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc có phương trình đặc trưng như sau theo tiêu chuẩn Jury: A(z) = 16z4 + 16z3 – 4z – 1 = 0 Bài giải: - Kiểm tra các điều kiện: a0 = 16 > 0; A(1) = 27 > 0; A(-1) = 3 (thoả mãn). - Lập bảng Jury: n = 4, vậy bảng Jury có 2n – 3= 5 hàng. Hàng 0z 1z 2z 3z 4z 1 -1 -4 0 16 16 2 16 16 0 -4 -1 3 3b 2b 1b 0b 4 0b 1b 2b 3b 5 2c 1c 0c 233 Trong đó: 255 116 161 b3     ; 252 416 161 b2     ; 0 016 01 b1    ; 48 1616 41 b0    ; 62721 25548 48255 bb bb c 30 03 2     ; 64260 25548 0255 bb bb c 20 13 1     ; 12096 048 255255 bb bb c 10 23 0    . Kiểm tra các điều kiện còn lại: 0n aa  hay 1 < 16 (thoả mãn); 01n bb  hay 255 > 48 (thoả mãn); 02n cc  hay 62721 > 12096 (thoả mãn). Vậy hệ đã cho ổn định. 3. Tiêu chuẩn Mikhailov Dựa vào tính chất tần số của đa thức đặc trưng để xét tính ổn định của hệ thống. Giả sử hệ thống có phương trình đặc trưng: 0aza...zaza)z(A n1n 1n 1 n 0    (7.41) có các nghiệm là zi với i = 1 n, thì đa thức đặc trưng của hệ thống có thể biểu diễn sang dạng tích như sau:    n 1i i0 )zz(a)z(A (7.42) Nếu xét trên mặt phẳng z thì mỗi thừa số trong biểu thức 7.42 là một véctơ có gốc tại vị trí nghiệm zi và ngọn nằm trên vòng tròn đơn vị:   jTj eez với  T . Hình 7.20 biểu diễn sự phân bố của các véctơ izz  khi vị trí nghiệm zi khác nhau . Re Hình 7.20. Các véc tơ izz  Im zi zi A D C B 2 1 234 - Nếu zi nằm trong vòng tròn đơn vị thì khi  biến thiên từ  đến  véctơ izz  sẽ bắt đầu quay từ điểm A (ứng với  =  ) ngược chiều kim đồng hồ tới điểm B (ứng với  =0) và quay tiếp đến điểm A (ứng với  =). Như vậy khi  biến thiên từ  đến  , véc tơ izz  quay đạt một góc 2 . Ký hiệu là:   2)zzarg( i (7.43) - Nếu zi nằm ngoài vòng tròn đơn vị thì khi  biến thiên từ  đến  véctơ izz  bắt đầu quay từ điểm A (ứng với  =  ) ngược chiều kim đồng hồ đến điểm C được một góc 1 , tiếp tục quay theo chiều kim đồng hồ đến điểm D được một góc  , và tiếp tục quay ngược chiều kim đồng hồ về điểm A (ứng với  =) được một góc 2 . Như vậy khi  biến thiên từ  đến  , véctơ izz  quay đạt một góc 021  . Ký hiệu là:   0)zzarg( i (7.44) Dựa vào biểu thức 7.42 ta có biểu đồ véctơ đa thức đặc trưng của hệ thống sẽ quay một góc bằng tổng n góc quay thành phần của các véctơ izz  khi  biến thiên từ  đến  . Tức là:     n 1i i )zzarg()z(Aarg (7.45) Hệ thống điều khiển rời rạc ổn định khi tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng 7.41 đều nằm trong vòng tròn đơn vị. Khi đó góc quay của biểu đồ véctơ đa thức đặc trưng của hệ thống là: n2)zzarg()z(Aarg n 1i i     (7.46) Trên thực tế do tính đối xứng của các nghiệm phức nên chúng ta chỉ cần xét khi  biến thiên từ 0 đến  . Khi đó: n)zzarg()z(Aarg n 1i 0 i 0     (7.47) Từ những phân tích trên ta có tiêu chuẩn ổn định theo nguyên lý góc quay của hệ thống rời rạc tương đương với tiêu chuẩn Mikhailov của hệ thống liên tục là: Hệ thống điều khiển rời rạc có phương trình đặc trưng bậc n sẽ ổn định nếu biểu đồ véctơ đa thức đặc trưng của hệ quay một góc bằng n quanh gốc toạ độ khi  thay đổi từ 0 đến  . Ví dụ 7.14. Xét ổn định của hệ thống rời rạc có phương trình đặc trưng bậc nhất: a0z + a1 = 0 Bài giải: 235 Thay   sinjcosez j vào phương trình đặc trưng ta được: 0sinjaacosa 010  Đặc tính phần thực: 10 acosa)(R  Đặc tính phần ảo:  sina)(I 0 Hình 7.21a mô tả biểu đồ đa thức đặc trưng của hệ ổn định (khi 01 aa  ), còn hình 7.21b mô tả biểu đồ đa thức đặc trưng của hệ không ổn định và ở biên giới ổn định (khi 01 aa  ). Trên hình 7.21a: - Đường 1 ứng với cả hai hệ số a0 và a1 đều dương. - Đường 2 ứng với a0 dương và a1 âm. - Đường 3 ứng với a0 âm và a1 dương. Theo tiêu chuẩn Mikhailov thì cả ba trường hợp này hệ thống đều ổn định vì biểu đồ véctơ đa thức đặc trưng của nó bao gốc toạ độ một góc bằng  . Trên hình 7.21b: - Đường 1 ứng với cả hai hệ số a0 và a1 đều âm. - Đường 2 ứng với a0 dương và a1 âm. - Đường 3 ứng với a0 âm và a1 dương. Theo tiêu chuẩn Mikhailov thì cả ba trường hợp này hệ thống đều không ổn định vì biểu đồ véctơ đa thức đặc trưng của hệ bao gốc toạ độ một góc bằng 0. Đường 4 ứng với trường hợp khi hệ thống ở biên giới ổn định (a1 = a0), biểu đồ véctơ đa thức đặc trưng đi qua gốc toạ độ. 7.5. Chất lượng của hệ thống điều khiển rời rạc Tương tự như hệ thống điều khiển liên tục, chất lượng của hệ thống điều khiển rời rạc cũng được đánh giá ở hai chế độ là chế độ xác lập và quá trình quá độ. (a) I() R() 1 2 3 I() R() 4 2 3 1 (b) Hình 7.21. Biểu đồ véctơ đa thức đặc trưng của hệ bậc nhất 0 0 236 7.5.1. Chất lượng hệ thống rời rạc ở quá trình quá độ 1. Các chỉ tiêu chất lượng ở quá trình qúa độ Tiêu chí ở quá trình quá độ được xác định theo đặc tính quá độ của hệ. Nếu chu kỳ lấy mẫu nhỏ hơn nhiều so với chu kỳ riêng của đối tượng thì đáp ứng quá độ của hệ liên tục và gián đoạn kiểu bậc thang nhờ bộ lưu giữ bậc không là giống nhau. Như vậy tương tự như hệ liên tục, quá trình quá độ của hệ rời rạc cũng được đánh giá theo các tiêu chí: a) Độ quá điều chỉnh Độ quá điều chỉnh được xác định bởi trị số cực đại của hàm quá độ so với giá trị xác lập của nó, thường được tính theo phần trăm: %100 y yy % max   (7.48) Trong đó: ymax và y là giá trị cực đại và giá trị xác lập của y(k). b) Thời gian quá độ Thời gian quá độ tqđ được xác định bởi thời điểm mà hàm quá độ y(t) không vượt ra khỏi biên giới của miền giới hạn  quanh giá trị xác lập. Thường )%52(  . c) Thời gian đáp ứng Thời gian đáp ứng tm được xác định bởi thời điểm mà hàm quá độ lần đầu tiên đạt được giá trị xác lập. d) Thời gian quá điều chỉnh Thời gian quá điều chỉnh t được xác định bởi thời điểm mà hàm quá độ đạt giá trị cực đại. Ngoài ra còn một số các chỉ tiêu khác. 2. Đánh giá chất lượng hệ thống theo phương pháp giải tích (dựa vào cặp cực quyết định) Chỉ tiêu chất lượng của quá trình quá độ được xác định theo hàm quá độ đối với hệ bậc hai bằng phương pháp giải tích, và kết quả này có thể áp dụng đối với hệ bậc cao hơn. - Cặp cực quyết định có dạng:  j* 2,1 rez (7.49) - Đối với hệ bậc cao hơn hai thì cặp cực quyết định là cặp cực gần vòng tròn đơn vị nhất. - Hệ số tắt dần và tần số dao động tự do của hệ là: 22)r(ln rln   (7.50) 237 22n )r(ln T 1  (7.51) (với T là chu kỳ lấy mẫu) - Độ quá điều chỉnh: %100e 21     (7.52) - Thời gian quá độ: tqđ n 3   (với %5 ) (7.53) 7.5.2. Chất lượng hệ thống rời rạc ở chế độ xác lập Chất lượng của hệ thống điều khiển rời rạc ở chế độ cũng được phản ánh qua sai số xác lập (hay còn gọi là sai số tĩnh), tức là sai số giữa đại lượng đầu ra và giá trị mong muốn của nó ở chế độ xác lập. Sai số xác lập của hệ thống càng nhỏ hệ thống có chất lượng càng cao, nếu hệ thống có chất lượng lý tưởng thì sai số xác lập này bằng không. Xét hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc như trên hình 7.22. Từ sơ đồ hình 7.22 ta xác định được biến đổi z của sai số là: )z(G)z(G1 )z(R )z(E BDK  (7.54) Với G(z) = Z[GZOH(p)G2(p)] Sai số xác lập của hệ được xác định là: )z(E)z1(Lim)k(eLim 1 1zk    (7.55) )z(G)z(G1 )z(R )z1(Lim)k(eLim BDK 1 1zk     (7.56) Ví dụ 7.15. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc như trên hình 7.23. Hãy: a. Xác định hàm truyền đạt của hệ thống. b. Xác định độ quá điều chỉnh, thời gian quá độ và sai số xác lập của hệ khi tín hiệu vào là hàm bậc thang đơn vị. Biết chu kỳ lấy mẫu T = 1 s. GBĐK(z) G2(p) Y(p) Hình 7.22. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển rời rạc kín R(p) GZOH(p) E(p) e(k) 238 Bài giải: a. Hàm truyền đạt của hệ thống (theo công thức 7.29): )z(G1 )z(G W(z)   Trong đó: ] )3p)(2p( 10 p e1 [Z)z(G pT      )ez)(ez)(1z( )BAz(z )z1(10] )3p)(2p(p 10 [Z)z1()z(G T3T2 11        Thay T = 0,1 s ta có: )741,0z)(819,0z( 036,0z042,0 )z(G    Thay G(z) và W(z) ta có hàm truyền đạt của hệ thống là : 643,0z518,1z 036,0z042,0 )741,0z)(819,0z( 036,0z042,0 1 )741,0z)(819,0z( 036,0z042,0 )z(W 2          b. Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 0643,0z518,1z)z(A 2  Cặp cực phức của hệ thống là nghiệm của phương trình đặc trưng: 0643,0z518,1z2   3285,08019,02587,0j7590,0z* 2,1   5579,0 3285,0)8019,0(ln 8019,0ln )r(ln rln 2222      Hình 7.23. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển rời rạc ví dụ 7.15 p e1 pT )3p)(2p( 10  Y(p) R(p) 239 3958,03285,0)8019,0(ln 1,0 1 )r(ln T 1 2222 n  - Độ quá điều chỉnh: %11,12%100) 5579,01 14,3.5579,0 exp(%100e 2 1 2       - Thời gian quá độ: tqđ 36,1 3958,0.5579,0 33 n    s. - Từ sơ đồ hình 7.23 ta xác định được biến đổi z của sai số là : )z(G1 )z(R )z(E   - Tín hiệu vào là hàm bậc thang đơn vị nên 1z z )z(R   , thay vào E(z) ta có: 679,0z476,1z 643,0z518,1z 1z z 643,0z518,1z 036,0z042,0 1 1z z )z(E 2 2 2         - Sai số tĩnh là: 679,0z476,1z 643,0z518,1z 1z z z 1z Lim)z(E)z1(Lim 2 2 1z 1 1z         616,0 203,0 125,0 679,0z476,1z 643,0z518,1z Lim 2 2 1z      7.6. Tổng hợp hệ thống điều khiển rời rạc Quy trình thiết kế các bộ điều chỉnh số gắn với việc xây dựng mô hình chính xác của quá trình. Do đó thuật toán điều khiển được phát triển để đạt được đáp ứng đầu ra của hệ thống theo mong muốn. Một hệ thống điều khiển rời rạc có nhiều dạng khác nhau, phụ thuộc vào kiểu tín hiệu đầu vào và kiểu cảm biến được sử dụng. Hình 7.24a là hệ thống rời rạc với tín hiệu vào là tín hiệu tương tự, hình 7.24b là hệ thống điều khiển rời rạc với tín hiệu vào là tín hiệu số. Một cách tổng quát có thể sử dụng sơ đồ cấu trúc như hình 7.25 để thiết kế bộ điều chỉnh số. Trong đó R(z) là tín hiệu vào, E(z) là tín hiệu sai lệch giữa tín hiệu đặt và tín hiệu phản hồi, U(z) là tín hiệu ra của bộ điều chỉnh cần được thiết kế và Y(z) là tín hiệu ra của hệ thống. GH(z) đặc trưng cho hàm truyền của đối tượng điều khiển đã được số hoá kết hợp với bộ lưu giữ bậc không. Hàm truyền đạt của hệ thống kín như trên hình 7.24a là: 240 )z(GH)z(D1 )z(GH)z(D R(z) Y(z) W(z)   (7.57) Với: )]p(G)p(G[Z)z(GH ZOH Từ 7.57 suy ra hàm truyền đạt của bộ điều chỉnh là: W(z)-1 W(z) )z(GH 1 )z(D  (7.58) Phương trình 7.58 có nghĩa là hàm truyền đạt của bộ điều chỉnh số có thể xác định được nếu chúng ta biết mô hình hay hàm truyền đạt của quá trình. Bộ điều chỉnh D(z) phải được thiết kế sao cho hệ ổn định và có thể thực thi bằng phần cứng. 7.6.1. Bộ điều chỉnh Deadbeat Bộ điều chỉnh Deadbeat được thiết kế dựa theo biểu thức 7.58. Bộ điều chỉnh Deadbeat được thiết kế để tín hiệu ra của hệ thống có dạng nhảy cấp giống tín hiệu vào nhưng trễ pha so với tín hiệu vào một hoặc vài chu kỳ lấy mẫu. Hàm truyền đạt của hệ thống khi đó sẽ là: kz R(z) Y(z) W(z)  (7.59) Trong đó: 1k  . Từ biểu thức 7.58 ta xác định được hàm truyền đạt của bộ điều chỉnh cần thiết kế là : Hình 7.25. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển rời rạc D(z) Y(z) GH(z) E(z) U(z) R(z) D(z) G(p) Y(p) Hình 7.24. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển rời rạc GZOH(p) E(z) U(z) R(p) (a) D(z) G(p) Y(p) GZOH(p) E(z) U(z) (b) R(z) 241 k- -k z-1 z )z(GH 1 )z(D  (7.60) Bộ điều chỉnh Deadbeat được dùng khi mô hình của đối tượng phải rất chính xác và nhiễu của đối tượng có thể không đáng kể hoặc có thể bỏ qua. Ví dụ 7.16. Thiết kế bộ điều chỉnh Deadbeat cho một hệ thống điều khiển với đối tượng điều khiển có hàm truyền đạt như sau: p101 e )p(G p2    Biết chu kỳ lấy mẫu T = 1 s. Bài giải: Ta có: ] )p101(p e [Z)z1(] p101 e p e1 [Z)]p(G)p(G[Z)z(GH p2 1 p2pT ZOH         Với giả thiết chu kỳ lấy mẫu T = 1 s ta có: )ez)(1z( )e1(z z)z1(] )p1,0(p 1,0 [Zz)z1()z(GH 1,0 1,0 2121        1 3 z904,01 z095,0 )z(GH     Do đó: k- -k 1 3 k- -k z-1 z z904,01 z095,0 z-1 z )z(GH 1 )z(D     Với giả thiết k = 3 ta có, hàm truyền đạt của bộ điều chỉnh cần tìm là )1z(095,0 z904,0z z-1 z z904,01 z095,0 )z(D 3 23 3- -3 1 3        Hình 7.26 biểu diễn đáp ứng đầu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là bậc thang đơn vị. 7.6.2 Bộ điều chỉnh Dahlin Bộ điều chỉnh Dahlin là sự cải tiến của bộ điều chỉnh Deadbeat và tạo nên đáp ứng theo hàm mũ trơn hơn đáp ứng của của điều chỉnh Deadbeat. Đáp ứng yêu cầu của hệ thống trong mặt phẳng p có thể được biểu diễn như sau: 0 y(t) t(s) 3 1 Hình 7.26. Đáp ứng đầu ra của hệ thống với bộ điều chỉnh Deadbeat 242 qp1 e p 1 )p(Y ap    (7.61) Trong đó a và q được chọn để đạt được đáp ứng theo mong muốn như trên hình 7.27. Nếu cho a = kT thì biến đổi z của đáp ứng yâu cầu của hệ thống là: )ze1)(z1( )e1(z )z(Y 1q T 1 q T 1k         (7.62) Và hàm truyền đạt của hệ thống là: 1q T q T 1k 1q T 1 q T 1k ze1 )e1(z z 1z )ze1)(z1( )e1(z )z(R )z(Y )z(W                 Trong đó: 1z 1 )z(R   Từ biểu thức 7.58 ta xác định được hàm truyền đạt của bộ điều chỉnh Dahlin là: 1kq T 1q T q T 1k z)e1(ze1 )e1(z )z(D          (7.63) Ví dụ 7.17. Thiết kế bộ điều chỉnh Dahlin cho một hệ thống có chu kỳ lấy mẫu T = 1s và đối tượng điều khiển có hàm truyền đạt là: p101 e )p(G p2    Bài giải: Theo ví dụ 7.16 ta đa tìm được: 1 3 z904,01 z095,0 )z(HG     Giả thiết chọn q = 10, ta có hàm truyền đạt của bộ điều chỉnh Dahlin là: 1k1,011,0 1,01k z)e1(ze1 )e1(z )z(D      Hoặc: 1k1 1k 3 1 z095,0z904,01 z095,0 z095,0 z904,01 )z(D        Nếu chọn k = 2 ta có: 0 y(t) t(s) q 1 Hình 7.27. Đáp ứng đầu ra của hệ thống với bộ điều chỉnh Dahlin a 243 0090,0z0858,0z095,0 z0858,0z095,0 )z(D 23 23     7.6.3. Bộ điều chỉnh tỷ lệ - vi tích phân (PID) số 1. Hàm truyền đạt của bộ điều chỉnh PID số Các bộ điều chỉnh PID số cũng làm chức năng tương tự như các bộ điều chỉnh PID liên tục. Bộ điều chỉnh này được sử dụng phổ biến trong công nghiệp. Trong một bộ điều chỉnh PID tín hiệu điều khiển được tạo ra từ một thành phần tỷ lệ với sai lệch, một thành phần tỷ lệ với tích phân của sai lệch và một thành phần tỷ lệ với đạo hàm của sai lệch. Phương trình mô tả mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra trong miền thời gian (liên tục) là: ] dt )t(de Tdt)t(e T 1 )t(e[K)t(u d t 0I p   (7.64) Trong đó: - u(t) là tín hiệu ra, e(t) là tín hiệu sai lệch đầu vào của bộ điều chỉnh; - Kp là hệ số tỷ lệ ; TI là hằng số thời gian tích phân; Td là hằng số thời gian vi phân. Tuỳ theo cách thực hiện xấp xỉ hai thành phần vi phân (D) và tích phân (I) mà ta có thuật toán điều chỉnh PID khác nhau. * Xấp xỉ thành phần tích phân  t 0I pI dt)t(e T 1 K)t(u Bản chất là phép xấp xỉ phần diện tích giới hạn bởi đường cong e(t) với các trục toạ độ. +) Phương pháp xấp xỉ hình chữ nhật: Chia phần diện tích giới hạn bởi đường cong e(t) với các trục toạ độ thành các hình chữ nhât có một cạnh là T và một cạnh là e(k) như trên hình 7.28a.    k 1iI pI )i(e T T K)k(u      1k 1iI pI )1i(e T T K)1k(u Từ đó ta có: )1k(e T T K)1k(u)k(u I pII   )z(Ez T T K)z(Uz)z(U 1 I p 1 I    1 1 I p I z1 z T T K )z(E )z(U     (7.65) 244 +) Phương pháp xấp xỉ hình thang (hình 7.26b)    k 1iI pI )]1i(e)i(e[ 2 1 T T K)k(u      1k 1iI pI )]1i(e)i(e[ 2 1 T T K)1k(u Từ đó ta có: )]1k(e)k(e[ 2 1 T T K)1k(u)k(u I pII   )]z(Ez)z(E[ T2 T K)z(Uz)z(U 1 I p 1 I    1 1 I p I z1 z1 T2 T K )z(E )z(U      (7.66) * Xấp xỉ thành phần vi phân dt )t(de TK)t(u dpd  Xấp xỉ dt )t(de tại các thời điểm t = kT bằng cách đặt: )nk(ec...)1k(ec)k(ec dt )t(de n10 kTt   Ảnh Laplace của biểu thức trên là: )ec...ecc)(p(E)p(pE pnTn pT 10   Khai triển chuỗi cho các biểu thức e mũ, sau đó so sánh hệ số hai vế để tìm các hệ số c0, c1, c2 - Nếu chọn n = 2 (xấp xỉ bậc 2) ta có: e(t) k 0 1T 2T 3T e(0) e(1) e(2) e(3) (a) e(t) k 0 1T 2T 3T e(0) e(1) e(2) e(3) (b) Hình 7.28. Phương pháp xấp xỉ thành phần tích phân n(b) 245 0ccc 210  1Tc2Tc 21  0cT2c 2 T 2 2 1 2  Giải ba phương trình trên ta được: T2 3 c0  ; T 2 c1   ; T2 1 c2  Vậy: )]2k(e)1k(e4)k(e3[ T2 1 dt )t(de kTt    )]2k(e)1k(e4)k(e3[ T2 T K)k(u dpd   )z(E]zz43[ T2 T K)z(U 21dpd    ]zz43[ T2 T K )z(E )z(U 21d p d   (7.67) - Nếu chọn n = 1(xấp xỉ bậc 1) ta có: )]1k(e)k(e[ T 1 dt )t(de kTt    )]1k(e)k(e[ T T K)k(u dpd   )z(E]z1[ T2 T K)z(U 1dpd   z 1z T2 T K]z1[ T2 T K )z(E )z(U d p 1d p d   (7.68) * Biến đổi z của thành phần tỷ lệ: )t(eK)t(u pp   )z(EK)z(U pp   p p K )z(E )z(U  (7.69) Như vậy ta có một số dạng hàm truyền đạt của bộ điều chỉnh PID số như sau: - Nếu thực hiện xấp xỉ thành phần tích phân theo phương pháp hình chữ nhật và thành phần vi phân bậc nhất thì hàm truyền đạt của bộ điều chỉnh PID số là: 246 ] z 1z T2 T z1 z T T 1[K )z(E )z(U )p(D d 1 1 I p       (7.70) - Nếu thực hiện xấp xỉ thành phần tích phân theo phương pháp hình thanh và thành phần vi phân bậc nhất ta có hàm truyền đạt của bộ điều chỉnh PID số là: ] z 1z T2 T z1 z1 T2 T 1[K )z(E )z(U )p(D d 1 1 I p        (7.71) 2. Thiết kế bộ điều chỉnh PID số Hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc như trên hình 7.24, với đối tượng điều khiển có hàm truyền đạt: pT1 Ke )p(G 1 pT2    Ziegler – Nichols đề xuất phương pháp để xác định các hệ số của bộ điều chỉnh P, PI hay PID cho hệ thống như trong bảng 7.1. Bảng 7.1. Bảng đặt các thông số cho các bộ điều chỉnh PID theo Ziegler – Nichols Bộ điều chỉnh Kp TI Td Tỷ lệ (P) 2 1 KT T Tỷ lệ - tích phân (PI) 2 1 KT T9,0 2T3,3 Tỷ lệ -vi tích phân 2 1 KT T2,1 2T2 2T5,0 Ví dụ 7.18. Thiết kế bộ điều chỉnh PID số cho hệ thống điều khiển có đối tượng điều khiển là động cơ điện một chiều có hàm truyền đạt p27,01 e468,1 )p(G p07,0    . Biết chu kỳ lấy mẫu T = 1s. Bài giải: Các bộ điều chỉnh PID số được xác định theo phương pháp Ziegler – Nichols như sau: - Bộ điều chỉnh tỷ lệ: 627,2 07,0.468,1 27,0 KT T K 2 1 p  - Bộ điều chỉnh tỷ - lệ tích phân: 247 364,2 07,0.468,1 27,0.9,0 KT T9,0 K 2 1 p  231,007,0.3,3T3,3T 2I  s - Bộ điều chỉnh tỷ lệ - vi tích phân: 153,3 07,0.468,1 27,0.2,1 KT T2,1 K 2 1 p  14,007,0.2T2T 2I  s 035,007,0.5,0T5,0T 2d  s 248 BÀI TẬP CHƯƠNG 7 Bài tập 7.1. Tìm biến đổi z ngược của các hàm sau: a. )7,0z)(5,0z( )1z(z )z(F    b. )7,0z)(5,0z(z )2z)(1z( )z(F    c. )7,0z)(5,0z( z5,0 )z(F   Bài tập 7.2. Tìm hàm truyền trong miền ảnh z từ các hàm truyền trong miền ảnh p. Biết chu kỳ lấy mẫu T = 1 s. a. )2p)(1p( 3p )p(G    b. )4p)(3p( )2p)(1p( )p(G    c. 4p 3p )p(G    d. )13p4p)(2p( 10 )p(G 2   Bài tập 7.3. Tìm hàm truyền đạt của các hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc trên hình 7.29. Bài tập 7.4. Tìm hàm truyền đạt của hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc trên hình 7.30. r(t) GZOH(p) G(p) y(t) Hình 7.29. Sơ đồ cấu trúc hệ thống bài tập 7.3 GZOH(p) G1(p) Y(p) R(p) G2(p) R(p) GBĐK(z) G1(p) Y(p) GZOH(p) G2(p) (a) (b) ADC D(z) DAC G1(p) Y(p) R(p) G2(p) (c) Hình 7.30. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển bài tập 7.4 249 Bài tập 7.5. Cho hệ thống điều khiển rời rạc được mô tả bằng hàm truyền đạt trong các trường hợp sau: a. 5,0zz2z 10 R(z) Y(z) W(z) 23   b. 1z3z2z 1z5z R(z) Y(z) W(z) 23 2    Hãy viết phương trình sai phân và phương trình trạng thái mô tả hệ. Bài tập 7.6. Hãy tìm đáp ứng của hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc trên hình 7.31. Khi tín hiệu vào là hàm bước nhảy đơn vị và hàm dốc, với chu kỳ lấy mẫu T = 1 s. Bài tập 7.7. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc trên hình 7.32. Hãy: a. Xét tính ổn định của hệ thống khi chu kỳ lấy mẫu T = 1 s. b. Xác định chu kỳ lấy mẫu T để hệ thống ổn định. Bài tập 7.8. Xét tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc có hàm truyền đạt như sau theo tiêu chuẩn Jury: )z(G1 )z(G R(z) Y(z) W(z)   ; Biết: 2,0z2,1z 5,0z2,0 )z(G 2    . Bài tập 7.9. ho hệ thống điều khiển rời rạc có phương trình đặc trưng như sau: a. 07,0zz)z(A 2  b. 01,0z4,1z2z)z(A 23  Hãy xét tính ổn định của hệ theo các tiêu chuẩn Routh – Hurwitz và Jury. )1p(p 1  Y(p) Hình 7.31. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển bài tập 7.6 R(p) R(p) GZOH(p) )2p)(1p( p  Y(p) (a) (b) 2p 4  Y(p) Hình 7.32. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển bài tập 7.7 R(p) GZOH(p) 250 Bài tập 7.10. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có phương trình đặc trưng như sau: 0 2,0z2,1z )5,0z2,0(k 1)z(G1 2     Hãy dùng tiêu chuẩn Jury xác định k để hệ thống ổn định. Bài tập 7.11. Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ cấu trúc trên hình 7.33. Hãy dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz xác định k để hệ thống ổn định. Bài tâp 7.12. Tính sai số tĩnh của hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc trên hình 7.30 khi tín hiệu vào là: a. 1(t) b. t1(t) c. t21(t) Bài tập 7.13. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ cấu trúc trên hình 7.34. Biết chu kỳ lấy mẫu T = 1 s. Hãy: a. Tìm hàm truyền đạt và viết phương trình trạng thái của hệ. a. Tìm đáp ứng của hệ khi tín hiệu vào là hàm bậc thang đơn vị. b. Tìm độ quá điều chỉnh, thời gian quá độ và sai số tĩnh của hệ. Bài tập 7.14. Thiết kế bộ điều chỉnh Deadbeat, Dahlin cho hệ thống điều khiển với đối tượng điều khiển có hàm truyền đạt như sau: p10 e )p(G p5    . Biết chu kỳ lấy mẫu T = 1 s. Bài tập 7.15. Thiết kế bộ điều chỉnh PID cho hệ thống điều khiển với đối tượng điều khiển có hàm truyền đạt như sau theo phương pháp Ziegler - Nichols: p51 e )p(G p2    Biết chu kỳ lấy mẫu T = 1 s. )2p(p k  Y(p) Hình 7.33. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển bài tập 7.11 R(p) GZOH(p) )2p)(3p( )5p(2   Y(p) Hình 7.34. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển bài tập 7.13 R(p) GZOH(p) 251 PHỤ LỤC A. BẢNG BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BIẾN ĐỔI Z f(t) F(p) F(z) )t( 1 1 1(t) p 1 1z z  t 2p 1 2)1z( Tz  2t 2 1 3p 1 3 2 )1z(2 )1z(zT   ate ap 1  Bz z  ; aTeB atte 2)ap( 1  2)B_z( TzB at2et 2 1  3)ap( 1  3 2 2 )Bz( zB )Bz(T 2 1   1- ate )ap(p a  )Bz)(1z( z)B1(   sinat 22 ap a  1aTcosz2z aTsinz 2  cosat 22 ap p  1aTcosz2z aTcoszz 2 2   ctsine at 22 c)ap( a  22 BcTcoszB2z cTsinzB  ctcose at 22 c)ap( ap   22 BcTcoszB2z )cTcosBz(z   252 PHỤ LỤC B. ỨNG DỤNG CONTROL SYSREM TRONG MATLAB ĐỂ PHÂN TÍCH, THIẾT KẾ VÀ MÔ PHỎNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG LIÊN TỤC Control system toolbox là một thư viện của Matlab dùng trong lĩnh vực điều khiển tự động. Cùng với các lệnh của Matlab, tập lệnh của control system toolbox sẽ giúp ta thiết kế, phân tích và đánh giá các chỉ tiêu chất lượng của hệ thống. 1. Khai báo hệ thống * Khi hàm truyền đạt của hệ thống có dạng tổng quát: n 1n 1 n 0 m 1m 1 m 0 a...papa b...pbpb W(p)      Lệnh khai báo: tf(num,den) Trong đó: num = [ b0 b1.......bm] là véctơ chứa các hệ số ở tử số từ bậc cáo đến bậc thấp; den = [a0 a1.....an] là véc tơchứa các hệ số ở mẫu số từ bậc cao đến bậc thấp; tf là từ khoá. * Khi hàm truyền đạt của hệ thống có dạng cực - zero: )pp)...(pp)(pp( )zp)...(zp)(zp(K W(p) m21 m21    Lệnh khai báo: zpk([z1 z2...zm], [p1 p2 ...pn]) Trong đó: zpk là từ khoá. * Khi hệ thống có phương trình trạng thái:      )t(Du)t(Cx)t(y )t(Bu)t(Ax)t(x Lệnh khai báo: sys = ss(A,B,C,D) * Chuyển hàm truyền đạt từ dạng cực – zero sang dạng tổng quát Lệnh chuyển: zpk(sys) Trong đó: sys là hệ thống đã được khai báo dưới dạng hàm truyền đạt dạng cực – zero. * Chuyển hàm truyền đạt sang phương trình trạng thái Lệnh chuyển: tf2ss(num,den) Trong đó tf2ss là từ khoá. * Chuyển từ phương trình trạng thái sang hàm truyền đạt Lệnh chuyển: ss2tf(A,B,C,D) Trong đó: ss2tf là từ khoá. 253 2. Biến đổi sơ đồ cấu trúc - Mắc nối tiếp: sys = series(sys1,sys2) - Mắc song song: sys = parallel(sys1,sys2) - Mắc phản hồi : sys = feedback(sys1,sys2,sign) Trong đó: sign = +1 nếu phản hồi dương và sign = -1 (hoặc không có sign) nếu phản hồi âm. 3. Phân tích hệ thống * Vẽ hàm quá độ - step(sys): lệnh vẽ hàm quá độ của hệ thống với khoảng thời gian vẽ và bước vẽ do Matlab chọn. - step(sys, t-end): lệnh vẽ hàm quá độ của hệ thống từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t- end. - step(sys1,sys2,sys3,): lệnh vẽ hàm quá độ cho nhiều hệ thống đồng thời. - [y,t] = step(sys): tính đáp ứng quá độ và lưu vào các biến y và t tương ứng. * Vẽ hàm trọng lượng impulse(sys) * Vẽ đặc tính Bode (đặc tính tần số logarith) - bode(sys): lệnh vẽ đặc tính bode với dải tần số do Matlab tự chọn. - bode(sys, {w-start, w-end}): lệnh vẽ đặc tính bode từ tần số w-start đến tần số w-end. - bode(sys1,sys2,sys3,): lệnh vẽ đặc tính bode của nhiều hệ thống đồng thời. - [mag,phi,w] = bode(sys,) lưu tất cả các điểm tính toán của đặc tính bode vào véctơ mag, phi ứng với tần số w tương ứng. * Vẽ đặc tính Nyquist (đặc tính biên độ - pha tần số) - nyquist(sys): lệnh vẽ đặc tính biên độ - pha tần số với dải tần số do Matlab chọn. - nyquist(sys, {w-start, w-end}): lệnh vẽ đặc tính biên độ - pha tần số từ tần số w-start đến tần số w-end. - nyquist(sys1,sys2,sys3,): lệnh vẽ đặc tính biên độ - pha tần số của nhiều hệ thống đồng thời. - [real,ima,w]: lưu tất cả các điểm tính của đặc tính biên độ - pha tần số vào véctơ real, ima ứng với tần số w tương ứng. * Một số hàm để phân tích - Hàm margin + margin(sys) vẽ đặc tính bode và chỉ ra độ dự trữ biên độ, độ dự trữ pha tại các tần số tương ứng. + [delta-L,delta-phi,w-L,w-phi]=margin tính và lưu độ dữ trữ biên độ vào biến delta-L tại tần số w-L, lưu độ dự trữ pha vào biến delta-phi tại tần số w-phi. 254 - Hàm pole Vec-pole=pole(sys): tính các điểm cực của hệ thống và lưu vào viến Vec-pole. - Hàm tzero Vec-zero=tzero(sys): tính các điểm zero của hệ thốngvà lưu vào biến vec-zero. - Hàm pzmap + [vec-pole,vec-zero]=pzmap(sys): tính các điểm cực và zero của hệ thống và lưu vào các biến tương ứng. + pzmap(sys): tính các cực, zero và biểu diễn trên mặt phẳng phức. - Hàm dcgain K=dcgain(sys): tính hệ số khuếch đại tĩnh của hệ thống và lưu vào biến K. 255 Tµi liÖu tham kh¶o [1]. Ph¹m C«ng Ng«. Lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tù ®éng. Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc Kü thuËt, 2000. [2]. NguyÔn v¨n Hßa. C¬ së lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tù ®éng. Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc Kü thuËt, 2003. [3]. NguyÔn Ph-¬ng Hµ. §iÒu khiÓn tù ®éng. Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc Kü thuËt. [4]. NguyÔn Th-¬ng Ng«. Lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tù ®éng hÖ tuyÕn tÝnh liªn tôc [5]. Stanley M Shinners. Modern control system theory and design. Unisys defense systems . Inc GreatNeck. New York). [6]. TrÇn Sum. Gi¸o tr×nh tù ®éng ®iÒu khiÓn. §¹i häc S- ph¹m Kü thuËt Hå ChÝ Minh. [7]. Robert H. Bishop .Modern control systems analysis and design using Matlab and simulink. The University of Taxas at Austin.