Tấm chịu uốn

6-1 Chương 6 TẤM CHỊU UỐN 6.1 Các phương trình cơ bản của tấm chịu uốn. Tấm là một kết cấu được giới hạn bởi hai mặt song song và cách nhau một khoản là t (gọi là chiều dày tấm). Tuỳ theo tỷ số giữa bề dày tấm và kích nhỏ nhất của mặt phẳng tấm b t mà người ta chia tấm thành hai loại: - Tấm dày: b t > 5 1 ; - Tấm mỏng khi 5 1 20 1 ≤≤ b t ; và có độ võng lớn nhất 4max t≤ω . Trong tấm mỏng các ứng suất màng là rất nhỏ so với ứng suất gây ra bởi sự uốn tấm do tải trọng vuông góc tấm gây ra khi tấm có độ võng nhỏ. Tuy nhiên nếu tấm có độ võng lớn 4 1 max fω các ứng suất do uốn này bị ảnh hưởng rất nhiều bởi các ứng suất màng. Khi đó phải tính toán với lý thuyết tấm có biến dạng lớn. Dưới đây sẽ đưa ra các phương trình cơ bản của tấm theo lý thuyết cổ điển(lý thuyết Kirchhoff). Lý thuyết Kirchhoff dựa trên các giả thuyết sau: - Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn còn thẳng và thẳng góc với mặt trung bình khi chịu uốn và độ dài của chúng là không đổi. - Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo nén hay trượt, nó là mặt trung hoà. - Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm. Xét tấm chịu uốn bởi các lực vuông góc mặt phẳng tấm với hệ trục toạ độ xyz sao cho mặt phẳng toạ độ xy trùng với mặt trung gian tấm và trục z là vuông góc với mặt phẳng tấm. Khi tấm chịu uốn, tại mặt trung hoà chuyển vị của một điểm bao gồm: độ võng, góc xoay theo x và theo y. z y x t b a MÆt trung hoµ Hình 6-1. Sơ đồ tải trọng của tấm uốn. 6-2 Trên cơ sở các giả thiết trên, các thành phần chuyển vị u, v của tấm sẽ được biểu diễn theo độ võng ω và góc xoay xθ , yθ của mặt trung hoà. z y x 0fyθ xy ∂ ∂−= ωθ x∂ ∂− ω Hình 6-2. Sơ đồ xác định góc xoay theo y. y x z 0fxθ yx ∂ ∂= ωθ y∂ ∂ω Hình 6-3. Sơ đồ xác định góc xoay theo x. ( )yx,ωω = là hàm độ võng, tức chuyển vị theo phương z của mặt trung hoà. Chuyển vị u, v (chuyển vị ngang và dọc) tại một điểm bất kỳ: y zzv x ∂ ∂−=−= ωθ ; x zzu y ∂ ∂−== ωθ ( 6-1) Quan hệ giữa biến dạng và độ võng ω được xác định như sau: xx zkx z x u =∂ ∂−=∂ ∂= 2 2ωε yy zky z y v =∂ ∂−=∂ ∂= 2 2ωε ( 6-2) xyxy zkyx z x v y u =∂∂ ∂−=∂ ∂+∂ ∂= ωε 2 2 6-3 Trong đó kx, ky, kxy lần lượt là độ cong theo x,y và 2 lần độ xoắn 2 2 x kx ∂ ∂−= ω ; 2 2 y k y ∂ ∂−= ω ; yx kxy ∂∂ ∂−= ω 2 2 ( 6-3) Các biến dạng εzx và εyz đều bằng 0 do giả thiết thứ nhất, Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng theo định luật Hooke, chú ý là 0=zσ : ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⋅ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ yx y x v v v v Ez v v v v E xy y x xy y x ω ω ω ε ε ε σ σ σ 2 2 2 2 2 22 2 2 100 01 01 1 2 100 01 01 1 ( 6-4) Các thành phần ứng suất về nội lực trong tấm uốn được thể hiện như sau: x y z xzτ xyτ xσ yzτ yxτ yσ Hình 6-4. Các vectơ ứng suất trên phần tử. Chỉ số của ứng suất tiếp được hiểu như sau: nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục của chỉ số thứ nhất và phương theo trục của chỉ số thứ hai. x z y My Qy Myx Mxy Mx Qx Mxy x Qx Mx Qy z Myx My y Hình 6-5. Sơ đồ xác định vecto nội lực. Trong đó: ∫ − = 2 2 t t xx zdzM σ ∫ − = 2 2 t t yy zdzM σ Mxy = ∫ − = 2 2 t t xyxy zdzM τ ( 6-5) 6-4 ∫ − = 2 2 t t xzx dzQ τ ∫ − = 2 2 t t yzy dzQ τ Các mômen nội lực: [ ] { }kD yx y x v v v D M M M xy y x ⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −⋅−=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ω ω ω 2 2 2 2 2 2 2 100 01 01 ( 6-6) Trong đó: )1(12 2 3 v EtD −= còn: [D] = D ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − 2 100 01 01 v v v ( 6-7) {k} = T yxyx ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∂∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂− ωωω 2 2 2 2 2 2 Lực cắt theo x và y được xác định như sau: ω2∇∂ ∂−= x DQx ; ω2∇∂ ∂−= y DQy 2 2 2 2 2 yx ∂ ∂+∂ ∂=∇ ωωω Độ võng ( )yx,ω của mặt trung hoà thoả mãn phương trình sau: D yxp yxyx ),(2 4 4 22 4 4 4 =∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ ωωω ( 6-8) p(x,y) - lực phân bố trên bề mặt tấm; 6.2 Phần tử tấm dạng tam giác 6.2.1 Ma trận độ cứng Xét một phần tử tấm mỏng dạng tam giác chịu uốn trong hệ trục toạ độ địa phương x, y, z: 6-5 y z x y x a b k(0,b) j(a,0) i(0,0) k i ji y q ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= ω2 1 qi =ω ix q ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= ω3 7qk =ω kx q ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= ω9 ky q ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= ω9 4qj =ω jyq ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= ω5 jx q ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= ω6 Hình 6-6. Sơ đồ chuyển vị nút của phần tử tam giác. Tại mỗi nút của phần tử có một độ võng ω và các góc xoay θx, θy theo các trục x,y. Phần tử có 9 bậc tự do mới liên hệ giữa góc xoay và chuyển vị thẳng ω tại mỗi nút như sau: ωi; i xi y ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= ωθ ; i yi x ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= ωθ ( 6-9) Hàm chuyển vị ω(x,y) có dạng xấp xỉ như sau: ( ) 392283726524321),( yxyyxxyxyxyxyx αααααααααω +++++++++= Hay: ( ) ( )[ ] { }αω ⋅= yxPyx ,, ( 6-10) ( )[ ] ( )[ ]3223221, yxyyxxyxyxyxyxP += Cho chuyển vị trùng với các nút ta có 9 chuyển vị nút ( )0,01 ωω == iq ; )0,0(2 yyq i ∂ ∂=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= ωω ; )0,0(3 xxq i ∂ ∂−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= ωω ; ( )0,4 aq j ωω == ; )0,(5 ayyq j ∂ ∂=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= ωω ; )0,(6 axxq j ∂ ∂−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= ωω ; ( )bq k ,07 ωω == ; ),0(8 byyq k ∂ ∂=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= ωω ; ),0(9 bxxq k ∂ ∂−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= ωω ; Dưới dạng ma trận { } [ ] { }α⋅= Aq e trong đó: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− − = 2 2 32 2 2 32 300200100 0000010 000001 0000100 003002010 000001 000000100 000000010 000000001 bb bb bbb aa aa aaa A 6-6 Sau khi nghịch đảo ta có: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− − − −− −−− =− 2322 2323 22 2 1 102000102 010100110 000012012 103000203 00000 00001302 2 3 000000100 000000010 000000001 bbbb bcacacbc aaaa bbbb bc a ac b ac b bc a aaa A Trong đó: c=b - a. Chuyển vị tại một điểm có thể tính theo chuyển vị nút như sau: ( ) [ ] { }eqNyx ⋅=,ω ; [ ] ( )[ ] [ ] 1, −⋅= AyxPN [ ] [ ]921 ... NNNN = Các hàm dạng có công thức như sau: 3 3 3 3 2 2 2 21 22331 y b x a y b x a N ++−−= 223 2 2 2 1112 xy bc yx bc x a xy bc ax a xN −−++−= 3 2 222 3 1112 y b xy ac yx ac y b xy ac byN −−−++−= 3 2 2 24 13 x a x a N −= 3 3 2 5 11 x a x a N +−= 22 6 11 xy ac yx ac xy ac bN ++−= ( 6-11) 3 3 2 27 23 y b y b N −= 22 8 11 xy bc yx bc xy bc aN ++−= 3 2 2 9 11 y b y b N −= Các biến dạng được xác định theo công thức 6-7 { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = yx y x z xy y x e ω ω ω ε ε ε ε 2 2 2 2 2 vì ( ) [ ] { } ( )[ ] [ ] { }ee uAyxPqNyx ⋅⋅=⋅= −1,,ω Nên biến dạng tính theo chuyển vị nút như sau: { } [ ] [ ] [ ] ee uA yxP yx yxP y yxP x z yx y x z ][][ ),(2 ),( ),( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −= ω ω ω ε ( 6-12) Đặt: [ ] [ ] [ ] [ ] { }α ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −= ),(2 ),( ),( 2 2 2 2 2 yxP yx yxP y yxP x k [ ][ ][ ] { }e xy y x uARD M M M 1−= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + −= 0440020000 620200000 026002000 yx yx yx R Hay { } [ ] { }ee qB ⋅=ε ma trận [ ]B có dạng: [ ] [ ] [ ] 1−⋅′⋅−= eABzB [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + =′ 0440020000 620200000 026002000 yx yx yx B ( 6-13) Ma trận độ ứng của phần tử theo công thức tổng quát 6-8 [ ] [ ]( ) [ ] 1''13 2 2 1''12 ]][[][ 12 ][]][[][)]([]][[][ −− − −− ⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛⋅⋅= === ∫ ∫ ∫∫ AdaBDBAt daABDBAdzzdvBBBK A TT t t A TT V T e ( 6-14) Đặt: [ ] ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ∫ A t T daBDBI '' ][][][ suy ra: [ ] [ ]( ) [ ] [ ] 11 −− ⋅⋅= AIAK Te trong đó: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −⋅= 2 100 01 01 v v v DD t ; )1(12 2 3 v EtD −= [ ] ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ + −⋅= 222322222 8887878584 322 18362712012000 000 1812012000 12012000 160000 12000 000 00 0 6 abbabababaab IIIII bababa abab ab ab DI νννν ν ν ν xøng èi§ ở đây một số hạng viết tắt có dạng: ( )baabI 2284 4 ν+= ; ( )( )baabI 2285 14 +−= ν ; ( )baabI 2286 4 += ν babaI 32287 69 ν+= ; ( )( ) ( )[ ]νν −+−+= 2232 223388 babaabI 6.2.2 Ma trận chuyển hệ trục tọa độ Ma trận chuyển hệ trục toạ độ có dạng: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =′ yx yx mm llT 0 0 001 ; [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ' ' ' ][0 ][ 0][ T T T T Trong đó lx, mx và ly, my là các cosin chi phương của trục x và y với các trục X, Y của hệ toạ độ tổng thể. 6.2.3 Véc tơ tải trọng nút Véc tơ tải trọng nút của phần tử {P}e do lực khối và lực bề mặt (coi là hằng số): { } ∫ ∫== A A TT e daNpdayxpNp ][),(][ { } ∫ ∫== V A TT e daNgtdvyxgNp ][),(][ ( 6-15) 6-9 Véc tơ tải trọng nút do nhiệt độ được định như sau: nếu gọi T0 và ΔT là nhiệt độ trung bình và chênh lệch nhiệt độ giữa mặt trên và mặt dưới các tấm và xem sự biến thiên nhiệt độ là tuyến tính theo chiều dày tấm thì nhiệt độ của điểm bất kỳ thuộc phần tử là: ( ) T t zTzyxT Δ+= 0,, Công thức tính tải trọng nút như sau: { } ∫ ∫ ∫ ∫ − − ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ Δ+−= = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == 2 2 ' 0 1 0 0 1 1 ][][)()]([ 0 1 1 ][][}]{[][ t t A TT Ve Ve TT e daDBdzT t zTzA dvTDBdvDBp α αε ( 6-16) ( ) ( ) ∫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + −−= − A T da y yx x A v tTE 6 2 6 2 0 2 0 0 0 ][ )1(4 1 2 0α Thực hiện tích phân ta được: { } ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + −= − b ba a A v tTEp Te 3 1 0 1 0 0 0 ][ )1(2 1 2 0α ( 6-17) 6.2.4 Véc tơ mô men nội lực [ ][ ][ ] { }e xy y x uARD M M M 1−= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 6-10 [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + −= 0440020000 620200000 026002000 yx yx yx R Đặt: [ ] [ ][ ][ ] 1−= ARDS [ ]S - ma trận nội lực. 6.3 Phần tử chữ nhật 6.3.1 Ma trận độ cứng b a 21 4 3 Hình 6-7. Phần tử hình chữ nhật. Với phần tử hình chữ nhật do có 4 đỉnh, mỗi nút có 3 chuyển vị nên độ võng được xấp xỉ bằng đa thức: 2 2 3 2 2 3 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x y x xy y x x y xy y x y xyω α α α α α α α α α α α α= + + + + + + + + + + + Các chuyển vị xoay được xác định thông qua độ võng như sau: x y y x ωθ ωθ ∂= ∂ ∂= − ∂ 2 2 3 2 3 5 6 8 9 10 11 122 2 3 3x x y xy xy y x xyθ α α α α α α α α= + + + + + + + 2 2 2 3 2 4 5 7 8 9 11 12( 2 3 2 3 )y x y x xy y x y yθ α α α α α α α α= − + + + + + + + Chuyển vị tại một điểm trong tấm chữ nhật xác định qua công thức: { } x y u ω θ θ ⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ ; [ ]{ }Pω α= [ ] 2 2 3 2 2 3 3 31P x y x xy y x x y xy y x y xy⎡ ⎤= ⎣ ⎦ { } 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 3 1 0 0 1 0 2 0 2 3 3 0 1 0 2 0 3 2 0 3 x y x y x xy y x x y xy y x y xy u x y x xy y x xy x y x xy y x y y ω θ θ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪ = =⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥− − − − − − − −⎩ ⎭ ⎣ ⎦ .{ }α Chuyển vị nút được xác định bằng cách cho tọa độ của x, y trùng với tọa độ của các nút (hệ tọa độ cục bộ có gốc tại nút 1, trục x nằm ngang, y nằm dọc): 6-11 { } [ ]{ }eu A α= Trong đó ma trận [ ]A được xác định theo công thức: [ ] 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 2 3 3 0 1 0 2 0 3 2 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 a a a a a a a a A a b a ab b a a b ab b a b ab a b a ab b a ab a b a ab b a b b b b b b b b − − − −= − − − − − − − − − − 2 30 0 0b b ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ Từ đây ta xác định được véc tơ hệ số: { } [ ] { }euA 1−=α Trong đó: [ ] 2 2 2 2 1 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 10 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 3 2 3 10 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 10 0 0 0 0 0 0 0 3 2 3 1 3 1 3 20 0 0 0 3 2 3 2 3 1 30 0 0 a a a a ab a b ab a ab ab b b b b b A a a a a a b ab a b ab a b ab a b ab ab ab ab ab ab ab ab − − − − − − − − − − − − −= − − − − − − − − 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 0 2 1 2 10 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2 1 2 10 0 0 0 2 1 2 1 2 1 2 10 0 0 0 ab b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b ab ab ab ab ab ab ab ab ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Độ võng được xác định thông qua các chuyển vị nút: 6-12 [ ] [ ] { }1. eP A uω −= Véc tơ mô men nội lức được xác định theo công thức: [ ][ ][ ] { }e xy y x uARD M M M 1−= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ [ ] [ ] [ ] [ ] { }α ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −= ),(2 ),( ),( 2 2 2 2 2 yxP yx yxP y yxP x k { } [ ]{ } [ ][ ] { }euARRk 1−== α Trong đó: [ ] [ ] [ ].R P= ∇ [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 22 330220010000 606200200000 060026002000 yxyx xyyx xyyx R Ma trận biến đổi của ma trận hàm dạng được xác định theo công thức: [ ] [ ] [ ] 1.B R A −= Khi đó ma trận độ cứng được xác định như sau: [ ] [ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ] [ ][ ] [ ]1 1 T v T T v K B D B dv A R D R dv A− − = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ Ma trận đàn hồi có dạng: 1 1 0 0 0 0 x y xy D D D D D D ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; Trong đó: xD F= ; yD F= ; 1 2xy vD F−= ; 1 .D v F= ; 3 212(1 ) EtF v = − Sau khi tích phân ta có: 6-13 [ ] [ ] [ ][ ]T v I R D R dv= ∫ 6-14 [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 6 2 2 6 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 6 2 2 6 3 3 0 0 0 6 0 6 12 x x x x xy xy xy xy xy y y y y x abD abD a bD ab D a bD ab D a b D a b D abD a bD ab D a bD ab D abD abD a bD ab D a bD ab D a b D a b D a bD a bD a bD I = 2 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 1 3 43 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 3 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1 3 4 9 6 6 4 340 0 0 2 2 3 ( ) 4 2 (2 ) 3 3 2 4 4 0 0 0 2 2 4 ( ) 3 (2 ) 3 3 x x x xy xyx x xy x xy x xy y xy xy y xy y xy a b D a bD a b D a b D a b D a bD a bDab Dab D a bD ab D a b D a b D D ab D a b D a b D D a bD ab D a bD ab D a bD a bD a b D D a b D a b D D + + + + + + 4 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 4 5 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 3 2 2 3 2 2 1 1 3 2 2 0 0 0 6 0 6 9 4 3 12 6 6 3 9 0 0 0 3 3 6 2 (2 ) 6 4 (4 ) 2 5 0 0 0 3 3 6 xy y y y y y xy xy x xy x x xy x xy xy y ab D a b D ab D ab D a b D ab D a b D ab D a b D a b D a bD a bD a b D a bD a b D a b D a b D a b D D a b D a b D a b D D a b D ab D a b D a b D a + + + + + 4 5 3 3 2 2 3 3 3 3 3 1 1 3 9 (2 ) 2 6 (4 ) 4 2 5 xy xy xy y y xy y ab D ab D b D D a b D a b D a b D D a b D ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Chương 6. Tấm chịu uốn 6-15 6.3.2 Véc tơ tải trọng nút Véc tơ tải trọng nút xác định theo công thức sau: { } [ ]Te A F N qda= ∫ Trong đó: [ ] [ ][ ]( ) [ ]( ) [ ]1 1T TT TN P A A P− −= = Với q= const, ta có: { } 2 2 2 2 2 2 2 2 4 24 24 4 24 24. 4 24 24 4 24 24 e ab ab a b ab ab a b F q ab ab a b ab ab a b ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ 6.3.3 Véc tơ nội lực Tương tự như phần tử tam giác: [ ][ ][ ] { }e xy y x uARD M M M 1−= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ Chương 6. Tấm chịu uốn 6-16 [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 22 330220010000 606200200000 060026002000 yxyx xyyx xyyx R Đặt: [ ] [ ][ ][ ] 1−= ARDS [ ]S - ma trận nội lực.