Tải trọng và tác động - Chương 4: Các phương pháp tính gần đúng

CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.1. Phương pháp năng lượng Rayleigh: Tổng thế năng U và động năng K ở mọi thời điểm là một hằng số (bỏ qua các tổn thất về năng lượng): U + K = const Khi hệ dao động điều hòa, tại thời điểm ở xa vị trí cân bằng nhất thế năng đạt Umax, động năng K = 0, tại vị trí cân bằng động năng đạt Kmax, thế năng U = 0: Umax + 0 = 0 + Kmax. Xét hệ mang khối lượng phân bố m(z) và các khối lượng tập trung m1, m2, m3, như hình vẽ, dao động theo phương trình: m(z)dz m(z) m1 mj mn z dz z1 ).sin()(),( iiii tzytzy  += Biểu thức thế năng của hệ khi chỉ kể đến ảnh hưởng của biến dạng uốn có dạng: = dz EI2 zM U 2 )( , )(),( EI zM z tzy Do 2 2 -=   .)]sin()([] ),( [ dztzy 2 EI d z tzy 2 EI U 2iiiz 2 2 2  +=   -=  dzzyEI 2 1 U 2 i = )]([max Động năng của hệ: . )(  += 2 vm dz 2 vzm K 2 jj 2 z Từ phương trình dao động ta có: )cos()i( ),( iiiz tzy t tzy v  +=   =  Vz max = yi(z)i , )cos()i( ),( iiij tzjy t tzjyv  +=   =  Vj max = yi(zj )i ,  += j j 2 ij 2 i 2 i zymdzzyzm 2 K )]()()([max  Thay vào phương trình cơ bản của Rayleigh:    +  = j j 2 ij 2 i 2 i2 i zymdzzyzm dzzyEI )()()( )]([  Để xác định i ta cần biết trước dạng dao động chính thứ i của hệ. Nếu yi(z) là đường đàn hồi do trọng lượng các khối lượng đặt trên hệ gây ra thì thế năng Umax của hệ được xác định bằng công của ngoại lực Tmax: . )()()( maxmax  +== j jiji 2 zym gdz 2 zyzm gTU . )()().( )(.)().(.     + + = j j 2 ij 2 i j jiji 2 i zymdzzyzm zymgdzzyzmg  Ví dụ1: Tìm tần số dao động riêng của dầm đơn giản có nhịp l, mang khối lượng phân bố đều m và khối lượng tập trung m1 = 18ml/35 đặt ở giữa nhịp. m1 l/2 mEI l /2 Giải: Chọn dao động của dầm là đường đàn hồi do lực P đặt ở giữa nhịp gây ra: ,)( 3 32 3 323 l z4zl3 f l z4zl3 EI48 Pl zy - = - = Với giá trị: 0  z  l/2, f độ võng giữa dầm. )()( 3l z24 fzy -= Áp dụng công thức vừa thành lập: 42l 0 2 3 32 2 2l 0 3 2 ml EI48 mlf 35 18 dz l z4zl3 fm2 dz l 24 fEI2 = + - - =   / / ][ )]([  s1 m EI l 92826 2 / , =  Nếu sử dụng công thức thứ 2, đường đàn hồi của dầm vẫn chọn như trên, song f phải là độ võng của dầm ở giữa nhịp do trọng lượng dầm và trọng lượng khối lượng tập trung m1 gây ra: . EI13440 mgl319 EI384 ql5 EI48 Pl f 443 =+= Sau khi thay vào biểu thức ta cũng tìm được: s1 m EI l 92826 2 / , =  * Nếu dầm không mang khối lượng tập trung m1 = 0. Chọn dạng dao động: l zi fzyi  sin)( = 4 44 l 0 2 2 l 0 2 22 2 i ml EIi dz l zi fm dz l zi f l i EI     = - =   ]sin[ ]sin[ ,/ , ,/ , s1 m EI l 478639 m EI l 2 2i s1 m EI l 86969 m EI l 1i 22 2 2 22 2 1 === ===     Nếu tính theo công thức thứ hai, đường đàn hồi vẫn chọn như trên và f là độ võng giữa dầm: EI l mg 384 5 f 4 =    .. )cos.(. if i12g i - = Với i = 1 ta có: m EI l 88869 f g4 21 , . ==   Sai số là 0,19% Ví dụ 2: Xác định tần số dao động riêng của dầm côngxôn có tiết diện thay đổi như hình vẽ. Cho biết bề rộng tiết diện ngang b không đổi, khối lượng, chiều cao tiết diện ngang, mô men quán tính tiết diện ngang thay đổi theo quy luật: .)(,)( ,)( 3 3 o o o l z IzIz l h zh l z mzm == = hoh(z) z l hoh(z) z l q * Chọn dạng dao động y(z) là đường đàn hồi của dầm có tiết diện không đổi do tải trọng phân bố đều gây ra: EI24 ql A l z l z4 3Azy 4 4 4 = +-= ),()( . , ][ ][ 4 o l 0 2 4 4 2 o 2 4 2 2 l 0 3 3 o 2 i ml EI376239 dz l z l z4 3A l z m dz l z12 A l z EI = +- =    hoh(z) z l q s1 m EI l 2756 o o 21 / , = Giá trị đúng: s1 m EI l 3155 o o 21 / , = Sai số trong trường hợp này 18%. hoh(z) z l q Nếu chọn dạng dao động là đường đàn hồi của dầm côngxôn do tải trọng phân bố bậc nhất gây ra cho dầm . y(z) = B(1-z/l)2, với B=ql4/12EIo. 4 o o l 0 22 o l 0 2 23 3 o 2 1 lm EI30 dz l z 1 l z m dz l 2 l z EI = - =   ])[( )(  s1 m EI l 47725 o o 21 / , = Sai số  3% CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.2. Phương pháp năng lượng Lagrange - Ritz: Khi hệ ở trạng thái cân bằng thì thế năng toàn phần U của hệ đạt cực tiểu - là tổng của thế năng của nội lực U* và thế năng ngoại lực T. (chiều ngoại lực hướng xuống là dương, tjees năng của nội lực luôn luôn ngược dấu với thế năng của ngoại lực), ta có:  --=-= )( * ),()()()]([ )( j jj l 0 2 l 0 zyPdzzyzqdzzy 2 zEI TUU Pj, q(z) – lực kích thích tập trung và lực kích thích phân bố bao gồm cả các lực quán tính do các khối lượng tập trung và khối lượng phân bố gây ra khi hệ dao động. CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.2.1. Dao động riêng: Xét hệ có khối lượng phân bố m(z) và dao động theo dạng chính yj(z) với tần số riêng j. Phương trình dao động: ).sin()(),( jjjj tzytzy  += Lực quán tính của khối lượng tại thời điểm đạt giá trị cực trị bằng: Zj(t) = m(z) 2 jyj(z), lực quán tính có giá trị thay đổi nên công của lực quán tính có giá trị bằng một nửa giá trị của lực nhân với chuyển vị tương ứng:  -= l 0 2 j 2 j l 0 2 j dzzyzm 2 1 dzzyzEI 2 1 U .)()()]()[(  Tìm dạng chính thứ j dưới dạng chuỗi:  = = n 1i iij zazy )()(  ai – các hệ số chưa biết cần xác định. n – số nguyên bất kỳ, i(z) – các hàm độc lập tuyến tính được chọn trước, thỏa mãn các điều kiện biên của hệ và càng phù hợp với dạng dao động càng tốt. zdzazm 2 1 dzza 2 zEI U l 0 n 1i 2 ii 2 j n 1i 2 ii l 0   == -= )]([)()]([ )(  Thế năng toàn phần U là hàm của các hệ số chưa biết ai: U = U(a1, a2, a3, , an) Từ điều kiện cực tiểu của thế năng toàn phần: )...,,,(; n21k0 a U k ==      == =-=   l 0 n 1i kii 2 j l 0 n 1i kii k 0dzzzazmdzzzazEI a U )()]()[()()]()[(   -= l 0 ki 2 jk l 0 iki dzzzzmdzzzzEIC .)()()()()()(  Ta có hệ phương trình: Dễ dàng nhận thấy: Cki = Cik. Sau khi biến đổi hệ phương trình trên có dạng: ),...,,,(;... n321k0aCaCaC nkn22k11k ==+++ ),...,,,(;... n321k0aCaCaC nkn22k11k ==+++ Đây là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất, để các nghiệm ai  0, tức là để tồn tại dao động, thì định thức các hệ số trong hệ phương trình phải bằng không: . ... ............ ... ... 0 CCC CCC CCC nn2n1n n22221 n11211 = Khai triển định thức ta được phương trình bậc n đối với 2j. Đó là phương trình tần số xác định tần số dao động riêng j. Nếu chọn nghiệm là dạng chính thứ j dưới dạng chuỗi với số một số hạng của chuỗi (n = 1). Phương trình tần số có dạng:  =-== l 0 2 1 2 j 2 l 0 111111 0dzzzmdzzzEIC0aC )()(])()[(  0z dzzzm dzzzEI 1l 0 2 1 l 0 2 1 2 j   =   )(; )()( )]()[(     Nếu chọn với hai số hạng của chuỗi (n = 2) thì: 0CCC 2122211 =- CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.2.2. Dao động cưỡng bức: Biểu thức thế năng toàn phần của hệ sẽ là:    = -- --= l 0 n 1j jj l 0 22 l 0 2 zyPdzzyzq dzzyzm 2 1 dzzyzEI 2 1 U ),()()( )()()]()[(  q(z): Lực kích thích phân bố; Pj : Biên độ lực kích thích tập trung thứ j. Chọn nghiệm dưới dạng chuỗi như phần trước và thế vào phương trình trên: .)()()( )]([)()]()[(        = = = == -- --= l 0 n 1i n 1j n 1i jiijii l 0 l 0 n 1i 2 ii 2 n 1i 2 ii zaPdzzazq dzzazm 2 1 dzzazEI 2 1 U   Từ điều kiện cực tiểu của thế năng toàn phần ta được hệ phương trình:    = == ==-- --=   n 1j jkj l 0 k n 1i kii l 0 2 k l 0 n 1i ii k n21k0zPdzzzq zazmdzzzazEI a U ....,,,;)()()( )]([)()()()[(   Gọi:   = --= -= n 1j jkj l 0 kkP l 0 ki 2 ki l 0 ki zPdzzzqC zzmdzzzzEIC ).()()( ;)()()()()(   Lúc này hệ phương trình có dạng: n21kCaCaCaC kPnkn22k11k ,...,,;... =++++ Giải hệ này ta tìm được các hệ số ai, tiếp đó sẽ tìm được chuyển vị động, nội lực động trong hệ dao động cưỡng bức. Khi tính với tải trọng tĩnh ta cho  = 0 Ví dụ 3: Xác định gần đúng tần số dao động cơ bản của dầm đơn giản có nhịp l và mang khối lượng phân bố đều m như hình vẽ. EI = const m l Chọn n = 1 và dạng dao động của dầm (trùng với biểu thức chính xác của dao động chính) là: z l z1   sin)( = , )(sin )sin( ml EI dzz l m dzz ll EI 4 4 2 l 0 2 l 0 2 2 2 1     = - =   s1 m EI l 86969 21 /, , =  Kết quả trùng với giá trị chính xác của tần số 1. * Nếu chọn n = 1 và dạng dao động của dầm là đường đàn hồi do tải trọng phân bố đều gây ra: EI24qlAlzlz2zlAz 444331 /,/)()( =+-= ml EI 5697 dz l z l z2 l z mA dzzz l 12 z l 12 EIA 4l 0 2 4 4 3 3 3 2 l 0 43 2 2 1 , )( )( = +- +- =    s1 m EI l 87729 21 /, , =  So với kết quả chính xác, sai số 0,1%. * Nếu chọn n = 1 và dạng dao động của dầm là đường đàn hồi do tải trọng tập trung ở giữa dầm gây nên: 2lz0 l z4 l z 3Bz 3 3 1 /),()( -= trong đó: B = l3/48EI ml EI 708598 dz l z4 l z 3mB dz l z 24EIB 42l 0 2 3 3 2 2l 0 2 3 2 2 1 , )( )( / / = - - =    m EI l 93529 21 , =  So với kết quả chính xác, sai số là 0,67% Ví dụ 4: Xác định gần đúng độ võng, mô men uốn tại tiết diện ở giữa dầm đơn giản có nhịp l chịu lực kích thích P(t) = Psint như trên hình vẽ. Cho biết l = 2 m, E = 2.104 kN/cm2, I = 800 cm4,  = 900 1/s, m = 0,00001 kNs2/cm EI = const m l Psint Chọn n = 1 và 1 = sin( z / l), ta có: ,sin)( z l azy 1  = .sin)()( z ll azy 2 2 1EI zM =-= Khi z = l/2, tại tiết diện giữa nhịp ta có: .)/(;)/( 2 2 11 l EI a2lMa2ly  == Phương trình xác định hệ số a1: .0CaC P1111 =+ ,)(sin]sin[ 2 ml l2 EI dzz l mdzz ll EIC 2 3 4l 0 222 l 0 2 2 11    -=-=  .)(sin P 2 l l PPC1 -=-=  .., , cmP109460 1164 P C C a 4 11 P1 1 -==-= Độ võng và mô men uốn tại tiết diện giữa dầm: cm109460a2ly 41 -== .,)/( Trị số chính xác: y(l/2) = 61,094.104 cm. .,)/( kNcmP582240a l EI 2lM 12 2 ==  Trị số chính xác: M(l/2) = 250,1102 kNcm. Nếu chọn n = 2 và y(z) = a1sin(z/l)+a2sin(3z/l): .][)/()/( ,]sinsin[)()( ,)/( EI l 9 a l a2lyEI2lM EIz l 3 l 9 az ll azyEIzM aa2ly 2 2 22 2 1 2 2 22 2 1 21   -=-= +=-= -= Hệ phương trình xác định các hệ số: . , 0Caa 0Caa P22221 P11211 =++ =++ .sin ,sin ,)(sin)sin( ,sinsinsinsin ,)(sin)sin( P 2 l l 3 PC P 2 l l PC 2 l m l2 EI81 dzz l 3 mdzz l 3 l 9 EIC l 3 z l mzdz l 3 l 9 z ll EICC 2 l m l2 EI dzz l mdzz ll EIC P2 P1 2 3 4l 0 222 l 0 2 2 22 l 0 2 2 2l 0 2 2 2112 2 3 4l 0 222 l 0 2 2 11 == -=-= -=-= -== -=--=                 Thay các giá trị này vào hệ phương trình trên ta tìm được các hệ số: ..,.., cmP101280acmP109460a 4 2 4 1 -- -== Độ võng và mô men uốn tại tiết diện giữa dầm: .,][)/( ..,)()/( kNcmP13245EI l 9 a l a2lM cmP1006861aa2ly 2 2 22 2 1 4 21 =-= =-= -   Khi chọn chuỗi nghiệm với hai số hạng, kết quả nhạn được chính xác hơn khi chọn chuỗi nghiệm với một số hạng. CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.3. Phương pháp BUPVÔV – GALOOCKIN : 4.3.1: Dạng dao động riêng: Để giải phương trình vi phân biểu thị dao động tự do với dạng chính thứ j của hệ có số bậc tự do bằng vô cùng: .)()()]()([ 0zyzmzyzEI z j 2 jj2 2 =-    Ta giả thiết nghiệm yj(z) được tìm dưới dạng chuỗi:  = = n 1i iij zazy )()(   = = n 1i iij zazy )()(  ai – các hệ số chưa biết cần xác định. n – số nguyên bất kỳ, i(z) – các hàm độc lập tuyến tính được chọn trước, thỏa mãn các điều kiện biên của hệ và càng phù hợp với dạng dao động càng tốt.  == =-   n 1i ii 2 j n 1i ii2 2 0zazmzazEI z .)()()]()([  Phương trình này nghiệm đúng với mọi giá trị z và cũng nghiệm đúng khi nhân hai vế với một hàm k(z) bất kỳ. Sau khi nhân hai vế với k(z) và lấy tích phân theo chiều dài thanh ta thu được: .).()()(])()([ 0dzzzazmzazEI z k l 0 n 1i ii 2 j n 1i ii2 2 =       -     ==  Cho i =1, 2, 3, và khai triển ta thu được hệ phương trình chứa các ẩn số ai: n321k0aCaCaC nkn22k11k ,...,,,;... ==+++ Với: .)()()()()]()([ dzzzzmzzzEI z C l 0 ki 2 jki2 2 ki        -   =  Khi các hàm i(z) và k(z) thỏa mãn các điều kiện biên của hệ thì Cki = Cik. .... ............ ... ... 0 CCC CCC CCC nn2n1n n22221 n11211 = Khai triển định thức này ta được phương trình bậc n đối với 2j. Phương trình này gọi là phương trình tần số. Giải phương trình này ta tìm được i . Nếu chọn nghiệm đã chọn với n = 1, phương trình xác định ai có dạng: 0C0aC 11111 == .)()( )(])()([     = l 0 2 1 1 l 0 12 2 2 j dzzzm dzzzzEI z    Nếu 1(z) được chọn dưới dạng đa thức thì cần thỏa mãn điều kiện: 0zzEI z 12 2    )]()([  CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.3. Phương pháp BUPVÔV – GALOOCKIN : 4.3.2: Dao động cưỡng bức: Khi hệ dao động cưỡng bức chịu lực kích thích tuần hoàn q(z, t) = q(z)sint. Phương trình vi phân dao động có dạng (không cản): .sin)( ),( )(] ),( )([ tzq z tzy zm z tzy zEI z 2 2 2 2 2 2 -=   +     Biểu thị nghiệm phương trình dưới dạng: y(z,t)=y(z)sint )()()()]()([ zqzyzmzyzEI z 2 2 2 -=-     Thực hiện tương tự như trong dao động riêng, ta đưa phương trình động về dạng: 0aCaCaC nkn22k11k + CkP... =+++ .)()()()()]()([ dzzzzmzzzEI z C l 0 ki 2 ki2 2 ki        -   =  = l 0 kkP dzzzqC .)()(  Khi có lực kích thích tập trung tác dụng:  = = n 1i jkjkP zPC ).( Ví dụ 5: Xác định tần số dao động cơ bản 1 của dầm côngxôn như hình vẽ. Dầm có bề rộng tiết diện ngang không đổi, chiều cao tiết diện ngang, khối lượng và mômen quán tính thay đổi theo quy luật: .)( 3 3 o l z IzI =,)( o l z mzm =,)( o z l h zh = hoh(z) z l z Dạng dao động của dầm i(z) có thể chọn là đường đàn hồi do các tải trọng khác nhau tác dụng trên dầm gây ra. Chọn dạng dao động là đường đàn hồi của dầm công xôn có tiết diện không đổi do tải trọng phân bố đều gây nên: hoh(z) z l z q )()( 4 4 i l z l z 43Az +-= Thay vào biểu thức tính tần số dao động riêng: o 4 o2 1 l 0 2 4 4 2 o l o 4 4 2 2 3 3 o2 2 2 1 ml EI3839 dz l z l z 43A l z m dz l z l z4 3A l z12 A l z EI z , )( )(][ = +- +-   =     s1 m EI l 2756 o o 21 / , = hoh(z) z l z q s1 m EI l 2756 o o 21 / , = So sánh với kết quả chính xác: s1 m EI l 3155 o o 21 / , = Sai số là 18,1%. hoh(z) z l z q Nếu chọn dạng dao động là đường đàn hồi do tải trọng phân bố có dạng tam giác và hàm này thỏa mãn điều kiện biên: 2 1 l z 1z )()( -= s1 m EI l 4775 ml EI30 dz l z 1 l z m dz l z 1 l 2 l z EI z 0 o 21 o 4 o l 0 4 o l 0 2 23 3 02 2 2 1 / , )( )]([ = = - -   =     Sai số 3% Nếu chọn dạng dao động 1(z)=(1-z/l) 3 thỏa mãn các điều kiện biên: o 4 o l 0 6 o l 0 3 23 3 o2 2 2 1 ml EI633 dz l z 1 l z m dz l z 1 l z 1 l 6 l z EI z , )( ))(([ = - --   =    ./ , s1 m EI l 79655 o o 21 = Sai số so với kết quả chính xác là 9%. Để có kết quả chính xác hơn, ta chọn nghiệm với hai số hạng: 2 1 l z 1z )()( -= 3 2 l z 1z )()( -= Ta thu được phương trình tần số có dạng: 0 CC CC 2221 1211 =  = = n 1i jkjkP zPC ).( Áp dụng biểu thức tính khi có lực kích thích: 42 l m 10 6 l EI dz l z 1 l z 1 l z m l z 1 l z 1 l 6 l z EI z CC 56 l m 10 6 l EI dz l z 1 l z m l z 1 l z 1 l 6 l z EI z C 30 l m l EI dz l z 1 l z m l z 1 l 2 l z EI z C 2 1o3 o l 0 32 o 2 1 2 23 3 o2 2 2112 2 1o3 o l 0 6 o 2 1 3 23 3 o2 2 22 2 1o3 o l 0 3 o 2 1 2 23 3 o2 2 11       -=       -----   == -=       ----   = -=       ---   =    )()())](([ . )())](([ , )()]([ Thay các giá trị vừa tìm được vào phương trình tần số ta thu được nghiệm nhỏ nhất của phương trình là: s1 m EI l 3195 o o 21 / , = So sánh với kết quả chính xác, sai số là 0,1%.  Khi chọn dạng dao động càng sát với dạng dao động của hệ và lấy số hạng trong chuỗi nghiệm càng nhiều thì kết quả càng chính xác. CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.4. Phương pháp thay thế khối lượng: Phương pháp thay thế khối lượng là một trong các phương pháp gần đúng có hiệu quả hay được sử dụng trong thực tế để tính toán dao động công trình. Nội dung của phương pháp này là dựa trên cơ sở đơn giản hóa sơ đồ khối lượng nhằm giảm số bậc tự do của hệ, nghĩa là thay khối lượng phân bố và các khối lượng tập trung bằng các khối lượng tập trung với số lượng ít hơn. Chia khối lượng phân bố thành nhiều khoảng rồi thay thế theo: * Tập trung khối lượng phân bố trên mỗi khoảng chia về trọng tâm khoảng chia. * Tập trung khối lượng phân bố trên mỗi khoảng về hai khối lượng đặt ở hai đầu doạn chia theo nguyên tác đòn bẩy Xét dầm đơn giản như hình vẽ có khối lượng phân bố đều m và độ cứng EI = const. Ta có các sơ đồ thay thế khối lượng như hình vẽ. Tương ứng với mỗi sơ đồ thay thế ta xác định được các tần số dao động riêng chính xác gần đúng. Ta có bảng liệt kê: m EI l 2 i i   = EI m l a m.l /8 m.l /8m.l /4m.l /4 m.l /4 l /4 b m.l /6 m.l /6m.l /3 m.l /3 l /3 c m.l /4 m.l /4m.l /2 l /2 l /2 d TT Hình a Hình b Hình c Hình d Kết quả Sai số % Kết quả Sai số % Kết quả Sai số % 1 9,87 9,865 0,05 9,86 0,1 9,789 0,7 2 39,48 39,2 0,7 38,2 3,24 - - 3 88,74 84,6 4,7 - - - - Khối lượng thay thế càng nhiều thì sai số kết quả tính càng nhỏ. Khi chỉ cần xác định tần số cơ bản i thì độ chính xác cũng đủ đáp ứng nếu tập trung khối lượng của dầm thành một khối lượng đặt ở giữa nhịp. CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.5. Phương pháp quy đổi về hệ có một khối lượng tương đương: * Thay hệ có bậc tự do hữu hạn hay vô hạn bằng hệ có bậc tự do bằng một tương đương: Hai hệ tương đương về động năng thì dao động cùng chung một tần số: K = K*. * Giả thiết trước đường đàn hồi của hệ thực khi dao động có dạng: )().(),()().(),( tTzytzytTzytzy && == * Chọn trước vị trí khối lượng thay thế M trên hệ tương đương. Thông thường nên chọn là vị trí tương ứng trên hệ thực nơi có chuyển vị lớn nhất khi hệ dao động. Nếu trên hệ thực có đặt các khối lượng tập trung thì nên đặt khối lượng thay thế M tại vị trí tương ứng với khối lượng tập trung lớn nhất. . )]().([ , )]().([)]().()[( * 2 tTayM K 2 tTzym dz 2 tTzyzm K 2 2 jj 2 & && = +=  2 2 jj 2 ay zymzyzm M )]([ ]([)]()[( + = Xác định gần đúng tần số 1 theo công thức tìm tần số dao động riêng của hệ dao động có bậc tự do bằng một. aa 1 M 1   = Sai số của kết quả tính phụ thuộc vào việc ta chọn đường đàn hồi và vị trí đặt khối lượng thay thế tương đương M Ví dụ 6: Xác định gần đúng tần số dao động riêng 1 của dầm đơn giản có khối lượng phân bố đều m nhịp l và độ cứng EI = const như trên hình vẽ. EI m l a M l * Giả định đường đàn hồi của dầm khi dao động là đường đàn hồi khi dầm chịu lực P = 1 đặt ở giữa nhịp: P = 1 l/2 l/2 f EI48 l fy 3 aa2 l === )( l z4zl3 yzy 3 32 2 l - = )()( Khối lượng thay thế đặt tại giữa dầm: ml4860 f dz l z4zl3 fm M 2 l 0 3 32 , ][ = - =  Giá trị gần đúng của tần số cơ bản: s1 m EI l 929 EI48 l ml4860 1 231 / , , =  = So với kết quả chính xác (9,87), sai số +0,5%. * Giả định đường đàn hồi của dầm khi dao động là đường đàn hồi của dầm khi chịu tải trọng phân bố đều với cường độ q = 1. 2lz0zlz2zl l5 16 yzy 433 42 l /);()()( +-= Thực hiện tính toán tương tự ta tìm được: s1 m EI l 769 21 / , = Sai số là -0,9% * Giả định đường đàn hồi khi dao động có dạng nửa bước sóng hình sin: l z yzy 2 l  sin)()( = %),(/ , 70s1 m EI l 819 21 -=  Khi giả định đường đàn hồi của dầm chịu lực tập trung đặt ở giữa nhịp và khối lượng thay thế M đặt ở giữa nhịp nơi có chuyển vị lớn nhất, kết quả tính toán chính xác hơn. Bây giờ xét một dầm mang khối lượng phân bố m và các khối lượng tập trung mj (j = 1, 2, 3, , n) có các liên kết ở hai đầu khác nhau. Giả định dạng dao động thứ nhât của dầm là đường đàn hồi khi dầm chịu lực tập trung tĩnh tại vị trí tương ứng với điểm đặt khối lượng thay thế M trên dầm tương ứng và gọi: yaa – chuyển vị tại tiết diện có hoành độ a khi dầm chịu tải trọng tập trung bằng đơn vị tác dụng tĩnh tại điểm đó (điểm đặt khối lượng thay thế M) yja, yza – chuyển vị tại các tiết diện có hoành độ zj và z khi dầm chịu lực đơn vị đặt tại tiết diện có hoành độ là a. Công thức tính khối lượng thay thế:   += += j jj 2 aa ja j j 2 l 0 aa za mlmMHay y y mdz y y mM  ..: )()( EI l y 3 aa  = Các trị số ,  được tra theo bảng 331 Ml EI EIMl 1    == / Ví dụ 7: Xác định tần số dao động riêng cơ bản của dầm một nhịp có hai đầu ngàm mang khối lượng phân bố m và khối lượng tập trung m1 như hình vẽ. Z1= l/4 mm1 Cho biết: EI = 1.107 kN/m2, z1 = 2,5 m, l = 10m, m = 0,153 kNs2/m, m1 = 2,038 kNs 2/m. Áp dụng quy đổi về hệ có một khối lượng. Tra bảng:  = 192,  = 0,37  .l = 0,37,10 = 3,7, z1 / l = 2,5 / 10 = 0,25 = 1 M = .m.l + 1.m1 =3,7. 0,153 + 0,25.2,038 = 1.0756 kNs 2/m Tần số dao động riêng cơ bản của dầm: s111336 1007561 101192 Ml EI 3 7 31 /, , =   ==   CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.6. Phương pháp giải đúng dần: Nhược điểm của 5 phương pháp đã nghiên cứu là khó đánh giá được sai số của kết quả tính khi chưa biết giá trị chính xác của tần số dao động riêng. Phương pháp giải đúng dần sẽ khắc phục được nhược điểm trên và cho phép xác định gần đúng giá trị của tần số dao động riêng càng sát với giá trị chính xác nếu càng thực hiện hiều lần tính toán. Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp này là quá dài và khối lượng tính toán quá lớn. * Nội dung phương pháp: Xét dầm mang khối lượng phân bố m(z) và các khối lượng tập trung mj như hình vẽ. m(z) m1 mj mn Nếu dạng chính thứ k của dao động xác định bằng phương trình y(z) thì lực quán tính tại các khối lượng trên hệ là: q(z) = m(z)2k yk(zj) yk(z) zj = mj(z) 2 k yk(zj) ).( ),()()( jk 2 kjj k 2 k zymz zyzmzq   = = m(z) m1 mj mn q(z) = m(z)2k yk(zj) yk(z) zj = mj(z) 2 k yk(zj) q(1)(z) = m(z) yk(zj) y(1)k (z) Z(1)j(z) = mj yk(zj) Nếu giảm lực quán tính tác dụng trên hệ xuống 2k lần: )( ),()( )( )( jkj 1 j k 1 zymz zyzmq = = Do vậy phương trình đường đàn hồi của hệ y(1)k(z) do các lực quán tính gây ra cũng giảm xuống 2k lần so với ban đầu. . )( )( )( zy zy 1 k k k = . )( )( )( zy zy 1 k k k = Vì hàm yk(z) chưa biết nên trong lần tính gần đúng thứ nhất cần giả thiết dạng dao động chính là hàm k(z) nào đó và xác định giá trị gần đúng thứ nhất của tần số dao động riêng theo công thức: . )( )( )( )( z z 1 k k1 k    = trong đó: (1)k(z) – đường đàn hồi của hệ do các lực quán tính Lại chọn đường đàn hồi thứ hai có dạng (2)k(z) : . )( )( )( )( z z 2 k 1 k2 k    = Qúa trình tính gần đúng cứ tiếp tục cho đến khi trị số k (i+1) xấp xỉ bằng k (i) trong lần tính thứ i thì dừng lại. Lúc này k (i+1) ứng với các điểm khác nhau trên hệ đều có cùng một giá trị. Ví dụ 8: Xác định tần số cơ bản dao động riêng của dầm có khối lượng phân bố đều như hình vẽ. l EI m * Chia dầm thành sáu khoảng bằng nhau và thay thế khối lượng phân bố đều bằng 5 khối lượng tập trung như hình vẽ. m1 m2 m3 m4 m5 m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = ml/6 l EI m m1 m2 m3 m4 m5 ij Pi = 1 z zi l - zi * Chọn dạng dao động là đường đàn hồi 1(z) do trọng lượng của các khối lượng mi tập trung gây ra. Do tính đối xứng của dầm ta có: .max)( ),()( ),()( 131 4121 5111 z zz zz    = = = * Xác định các chuyển vị ta sử dụng phương trình ảnh hưởng của chuyển vị: ji 2 i 2 j 2ji ij zzzzll l z EI6 zl --- - = ];)([ ij chuyển vị tại tiết diện đặt khối lượng mi do Pj = 1 đặt tại vị trí khối lượng mj gây ra. Tọa độ tìm chuyển vị Tọa độ đặt lực P = 1 z1 = l/6 z2=2l/6 z3=3l/6 z4=4l/6 z5=5l/6 ij z1 50 76 78 62 34 300 z2 76 108 138 112 62 496 z3 78 138 162 138 78 594 Tọa độ tìm chuyển vị Tọa độ đặt lực P = 1 z1 = l/6 z2=2l/6 z3=3l/6 z4=4l/6 z5=5l/6 ij z1 50 76 78 62 34 300 z2 76 108 138 112 62 496 z3 78 138 162 138 78 594 .)( ,,)()( ,)()( 5 4 5 3 31 5 4 5 3 4121 5 4 5 3 5111 6 mgl 99 6 mgl EI6 l 594z 6 mgl 666682 6 mgl EI6 l 496zz 6 mgl 50 6 mgl EI6 l 300zz == === ===    Tìm các tải trọng gây ra đường đàn hồi (1)1(z): .)( ,,,)( ,)( )( )()( )()( EI6 glm 99 EI6 mgl 99 6 ml zmZ EI6 glm 66682 EI6 mgl 666682 6 ml zmZZ EI6 glm 50 EI6 mgl 50 6 ml zmZZ 6 52 5 4 313 1 3 6 52 5 4 212 1 4 1 2 6 52 5 4 111 1 5 1 1 === ==== ====    Độ võng lớn nhất ở giữa dầm : 210 52 6 52 5 3 1 333 1 232 1 1313 1 1 EI6 glm 6667775 EI6 glm EI6 l 99162266668213825078 ZZ2Z2z )( , )](),()[( )( )()()()( = ++= =++=  m EI l 959 glm6667775 EI6 EI6 mgl 99 z z 252 210 5 4 3 1 1 311 1 , , )( )( )( )( )( ===    So với kết quả tính chính xác sai số là 0,81% Tiếp tục thực hiện ta thu được kết quả chính xác hơn. Bây giờ ta chọn đường đàn hồi của dầm là do khối lượng tập trung đặt ở giữa dầm gây ra: M = ml/2 EI96 ml EI48 l 2 ml z 23 11 ==)( Tải trọng tập trung tại vị trí đặt tại vị trí có độ võng max EI192 lm EI96 ml 2 ml zMZ 524 11 1 1 === )()(  . )( )( 2 82352 1 1 EI48192 lm EI48 l EI192 lm  == s1 m EI l 89 lm EI48192 EI96 lmz 2 82 242 1 1 11 1 / , )()( )( )( = =  ==    Tiếp tục thực hiện nhiều lần sẽ tìm được giá trị chính xác. CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.7. Phương pháp sai phân: Chuyển phương trình vi phan thành phương trình sai phân hữu hạn. Trường hợp dao động tự do không có lực cản, phương trình vi phân cho thanh có khối lượng phân bố đều m, EI = const: EI m k0yky 2 44IV ==- ; Đặt z = lx  dz = ldx, *k4 = ml42/EI 0yk d yd 4 4 4 =- .* x Chia dầm thành n đoạn bằng nhau có độ dài: n 1 l n l z === xx Khi chuyển sang sai phân ta thay vi phân d bằng sai phân  và: 2i1i11i2i 4 y 2i1ii1i 3 y 1ii1i1iy 2 y 1iiy yy4y6y4y yy3y3y yy2yiy yy --++ --+ -++ - +-+-= ++-= +-=-= -= )()( Thay vào ta thu được phương trình sai phân: 0yy4y n k 6y4y 2i1i1 4 1i2i =+-      -+- ++-- Mỗi điểm chia ta được một phương trình. Cộng các điều kiện biên ta giải và tìm được k và suy ra 