Tài liệu học tập Mạch điện

tầm thường (tức các nghiệm iktd ≠ 0) thì định thức của các hệ số phải triệt tiêu: (p) = 0 (8.9) Biểu thức (8.9) cho phép ta xác định được được các số mũ tắt của đáp ứng tự do trong mạch, ta gọi (8.9) là phương trình đặc trưng của mạch. Từ đó ta rút ra các bước để lập phương trình đặc trưng như sau:  Triệt tiêu các nguồn ngoài, viết hệ phương trình vi phân mô tả mạch khi tác động đóng mở đã thực hiện, đáp ứng trong mạch lúc này là đáp ứng tự do;  Đại số hoá hệ phương trình vừa viết bằng cách thay d dt bằng p và thay dt bằng 1 p  Tính định thức (p) của hệ đã đại số hóa và cho triệt tiêu ((p) = 0) ta sẽ được phương trình đặc trưng của mạch. Nhận xét: Từ phương trình Kirhof 2 của hệ đã đại số hoá (8.9), hệ số của nó có dạng: R + pL + 1/pC nếu thay p = j ta có: 108 K Hình 8.1 E R1 R2 R3 C L i1 i3 i2 R + jL +1/jC = Z(j) Nó có dạng giống tổng trở phức của mạch ở chế độ xác lập điều hòa, ta gọi hệ số ấy là tổng trở toán tử ký hiệu : Z(p) = R + pL +1/pC Từ đó ta rút ra cách khác để lập phương trình đặc trưng như sau:  Triệt tiêu các nguồn ngoài, đại số hóa sơ đồ (bằng cách thay L bằng pL và C bằng 1/pC).  Tính tổng trở toán tử vào nhìn từ nhánh bất kỳ và cho triệt tiêu, ta sẽ được phương trình đặc trưng: (ZV(p) = 0). Ví dụ: Hãy lập phương trình đặc trưng của bài toán quá độ hình 8.1. Giải  Cách 1: Tính (p) Triệt tiêu nguồn E, ta có hệ phương trình: 1td 2td 3td 1 1td 2 2 td 2 td ' 1 1td 3 3td 3td i i i 0 1 R i R i i dt 0 C R i R i Li 0                (8.10) Đại số hóa hệ (8.10) ta được:   1td 2td 3td 1 1td 2 2td 3td 1 1td 2 td 3 3td i - i - i = 0 1 R i + R + i + 0.i = 0 pC R i + 0.i + R +pL i = 0            (8.11) Định thức các hệ số của hệ (8.11) là 1 2 1 3 1 1 1 1 (p) R R 0 0 pC R 0 R pL        Sau khi tính định thức và biến đổi, ta được phương trình đặc trưng là: LC(R1+R2)p 2 + (R1R2C+R1R3C+ R2R3C+L)p + (R1+R3) = 0 (8.12)  Cách 2: Tính ZV(p) 109 Hình 8.2 R1 R2 R3 C L i1 i3 i2 Z1V(P) Sơ đồ mạch sau khi triệt tiêu nguồn ngoài và đại số hóa như hình (8.2). Tổng trở vào của mạch nhìn từ cửa 1 là:     1V 1 3 2 3 2 1 3 2 1 Z (P) R R PL / / R PC 1 R PL R PC R 0 1 R PL R PC                      Sau khi biến đổi, ta cũng thu được phương trình đặc trưng (8.12). b) Hình dáng của đáp ứng tự do Trong trường hợp tổng quát, phương trình đặc trưng là một đa thức bậc cao. Tùy thuộc vào thông số và kết cấu của mạch mà phương trình đặc trưng có thể có các nghiệm thực, đơn, nghiệm phức liên hợp hay nghiệm bội, tương ứng đáp ứng tự do có các hình dạng khác nhau. Ta xét các trường hợp cụ thể sau: + Phương trình đặc trưng có các nghiệm thực, đơn (âm) Giả thiết phương trình đặc trưng có các nghiệm p1  p2   pn, khi đó đáp ứng tự do có dạng: 1 2 k k n P t P t P t P t td 1 2 k k k 1 i (t) A e A e ... A e ... A e         Trong đó Ak là các hằng số tích phân được xác định từ sơ kiện. Ta thấy, mỗi số hạng Ak e pkt là một hàm mũ tắt dần, do đó qúa trình tự do sẽ tắt dần mà không dao động (Hình 8.3a) + Phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp itd t 0 itd t 0 itd t 0 a) b) c) Hình 8.3 a,b,c 110 Giả thiết phương trình đặc trưng có cặp nghiệm phức liên hợp: pk và kpˆ với: pk = - k + jk. Đáp ứng tự do có dạng:    k k k kˆP t P t P ttd k1 k2 k k ki A e A e 2Re A e 2A e cos t       Trong đó Ak và  là các hằng số tích phân được xác định từ sơ kiện. Ta thấy quá trình tự do có tính chất dao động tắt dần (Hình 8.3b). + Phương trình đặc trưng có các nghiệm bội Giả thiết phương trình đặc trưng có nghiệm kép: P1 = P2. Đáp ứng tự do có dạng: 1 2p t p t td 1 2i (t) A e A te  Quá trình tự do ở biên giới giữa dao động và không dao động gọi là không dao động tới hạn (Hình 8.3c). 8.1.3. Các bước tính QTQĐ bằng phương pháp tích phân kinh điển Để tính QTQĐ trong mạch điện tuyến tính bằng phương pháp tích phân kinh điển ta thực hiện theo các bước sau:  Giải mạch ở chế độ xác lập mới (sau khi tác động đóng/mở đã thực hiện) để tìm đáp ứng xác lập mới;  Lập và giải phương trình đặc trưng để tìm dạng của đáp ứng tự do;  Xác định sơ kiện của bài toán;  Dựa vào sơ kiện để tính các hằng số tích phân trong biểu thức của đáp ứng quá độ.  Ví dụ: Tìm các dòng điện quá độ của mạch điện hình 8.4. Biết: E = 100V (không đổi); R1 = R2 = R3 = 100() ; L = 100(mH); C = 1000(F). Chế độ trước khi khóa K đóng là xác lập. Giải Hình 8.4 E R1 R2 R3 C L K iR iC iL 111 + Ở chế độ xác lập mới: Ta dễ dàng tìm được: i1xlm = i3xlm = 1 3 E 100 0,5(A) R R 200    ; i2xlm = 0(A) + Phương trình đặc trưng Ở phần trên ta đã lập được phương trình đặc trưng của mạch là: LC(R1 + R2)p 2 + (R1R2C + R1R3C + R2R3C + L)p + (R1 + R3) = 0 Thay số và biến đổi ta được: P2 + 505p + 104 = 0 Giải phương trình đặc trưng ta được 2 nghiệm đơn: p1 = -484,35; p2 = -20,65. Vậy, đáp ứng tự do có dạng: 484,35t 20,65t tdi (t) Ae Be    Dòng điện quá độ trong các nhánh là: 484,35t 20,65t 1 1xlm 1td 1 1 484,35t 20,65t 2 2xlm 2td 2 2 484,35t 20,65t 3 3xlm 3td 3 3 i (t) i (t) i (t) 0,5 A e B e i (t) i (t) i (t) 0 A e B e i (t) i (t) i (t) 0,5 A e B e                          (8.8) + Xác định sơ kiện Trong ví dụ ở chương 14 ta đã xác định được các sơ kiện như sau: i1(0) = i2(0) = i3(0) = 0(A); i'1(0) = 500(A/s); i'2(0) = -500(A/s); i'3 = 1000(A/s) + Xác định các hằng số tích phân Để xác định các hằng số tích phân A1, B1 ta dựa vào biểu thức: 484,35t 20,65t 1 1 1i (t) 0,5 A e B e     Đạo hàm 2 vế ta có: 1 2P t P t 1 1 1i ' (t) 484,35A e 20,65B e   Thay giá trị sơ kiện vào 2 biểu thức trên ta được: 1 1 1 1 0 0,5 A B 500 484,35A 20,65B        (8.16) Giải hệ phương trình (8.16) ta được: A1 = -1,056; A2 = 0,056 112 Vậy, dòng điện quá độ trong nhánh 1 bằng: 484,35t 20,65t 1i (t) 0,5 1,056e 0,056e     Tương tự ta tìm các hằng số tích phân trong biểu thức của i2 và i3 8.2. QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ TRONG MẠCH R-C 8.2.1. Quá trình tự do Ta hãy xét quá trình phóng điện của tụ điện có điện dung C qua điện trở R (Hình 8.5a). Trước đó khóa K đang ở vị trí 1, tụ điện C được nạp điện, ở chế độ xác lập điện áp trên tụ bằng điện áp nguồn và bằng U0, dòng điện qua tụ bằng không. Chuyển khóa K sang vị trí 2, tụ C phóng điện qua điện trở R. Quá trình phóng điện của C không được nguồn ngoài duy trì nên đó chính là quá trình tự do. Phương trình viết cho mạch khi khóa K ở vị trí 2 là: Ritd + uCtd = 0 Thay itd = Cu’td vào phương trình trên ta có: RC Ctd du dt + uCtd = 0 Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất, phương trình đặc trưng của nó là: RCp + 1 = 0 Nghiệm của phương trình đặc trưng: 1 1 p RC      (với  = RC) Điện áp tự do trên điện dung có dạng: Hình 8.5a,b U0 R1 R C K + i 2 - a) 1 uC(t) i(t) t u,i U0 0U R  0 b) 113 uCtd = Ae -t/RC = Ae-t/ Với sơ kiện uC(0) = uC(-0) = U0 tính được A = U0 Vậy, điện áp trên điện dung và dòng điện trong mạch là: UCtd = t t- - τ RC 0 0U e = U e (8.17) itd = iCtd = t t t- - -ctd 0 0 0τ τ RC du U U U C = C e = e = e dt RC R R (8.8) Đường cong dòng điện và điện áp tự do có dạng như hình 8.5b. Từ các đường cong điện áp và dòng điện, ta có nhận xét sau: Nhận xét: Điện áp trên điện dung biến thiên liên tục tại thời điểm đóng mở (t = 0) còn dòng điện trong mạch biến thiên gián đoạn, tại thời điểm đóng mở sau dòng điện tăng đột ngột lên giá trị 0 U R sau đó giảm dần về không. 8.2.2. Đóng mạch R-C vào điện áp 1 chiều Khi đóng mạch R-C vào điện áp 1 chiều U (Hình 8.6a), đây chính là quá trình nạp điện cho tụ điện. Điện áp quá độ trên điện dung sẽ bao gồm 2 thành phần: Thành phần tự do và thành phần xác lập mới t C Cxlm Ctdu u u U Ae      (8.19) Trong đó: ucxlm = U, t Ctdu Ae   , A là hằng số tích phân. Để xác định A ta thay sơ kiện uC(0) = 0 vào biểu thức của điện áp, khi đó: 0 U A A U     t K + - Hình 8.6 a,b U R C i a) uC(t) i(t) t u,i U U R 0 b) 114 Vậy điện áp nạp trên điện dung là:  tCu (t) U 1 e   và dòng điện nạp là: t Cdu Ui(t) C e dt R    (8.20) Đường cong điện áp và dòng điện nạp cho tụ được chỉ ra trên hình 8.6b. Nhận xét: - Từ đồ thị ta thấy điện áp nạp trên tụ biến thiên liên tục từ trị số ban đầu bằng 0 đến giá trị xác lập U còn dòng điện lúc đầu nhảy vọt từ 0 đến giá trị U/R sau đó giảm dần về 0. -  = RC gọi là hằng số thời gian của mạch RC, nó cho biết tốc độ tắt của quá trình tự do trong mạch,  càng lớn quá trình tự do và do đó quá trình quá độ càng kéo dài. Điều này có thể giải thích một cách định tính như sau:  = RC lớn dẫn đến hoặc R lớn hoặc C lớn. + Nếu C lớn, tụ điện có khả năng nạp được nhiều điện tích, dẫn đến quá trình nạp điện hoặc phóng điện kéo dài. + nếu R lớn dòng điện nạp hoặc phóng nhỏ do đó quá trình nạp hoặc phóng điện kéo dài. - Ta có thể xác định hằng số thời gian  từ đường cong đồ thị uC (t) hoặc i(t). Thật vậy, ta có: Tại 1 điểm M bất kỳ trên đường cong uC(t) hình 8.7, kẻ tiếp tuyến với đường cong, nó cắt trục hoành tại điểm B. Độ dài đoạn AB bằng  (Hình 8.7) Hình 8.7 uC(t) t u U0 0 A B M  C td C td C td C td i = = ,i u τ u ' 115 8.2.3. Đóng mạch R-C vào điện áp xoay chiều Giả thiết đóng mạch R-C vào điện áp xoay chiều hình sin (Hình 8.a): u = UMsin(t + ) Điện áp xác lập trên điện dung cũng có dạng hình sin: uCxlm(t) = M C CM U x sin t U sin t z 2 2                     Trong đó: 2 2 1 1z = R + ; = arctg ωC ω RC             Thành phần điện áp tự do có dạng: -t τ Ctdu = Ae Điện áp quá độ trên điện dung là: t C Cxlm Ctd CMu u u U sin t Ae 2             Từ điều kiện đầu của bài toán: uC(0) = uC(-0) = 0 ta có: UCMsin( -  - /2) + A = 0  A = - UCMsin( -  - /2) Vậy: t C CM CMu U sin t U sin e 2 2                    (8.14) Dòng điện quá độ trong mạch bằng: Đường cong điện áp quá độ như hình 8.7b t CM C CM U i(t) i (t) C U cos t sin e 2 RC 2                         t Hình 8.8a,b K a) uCxlm u 0 b) u R C i uC(t) uCtd 116 Đường cong của điện áp quá độ trên điện dung và dòng điện quá độ trong mạch được biểu diễn trên hình 8.b. Nhận xét: - Từ uC(0) = uCxlm(0) - uCtd(0) = 0  uCtd(0) = uCxlm(0) ta thấy rằng nếu đóng mạch đúng lúc điện áp xác lập trên tụ đi qua trị số 0 thì đáp ứng tự do sẽ bằng 0 và đáp ứng quá độ bằng đáp ứng xác lập mới. Tức là quá trình xác lập được thành lập ngay tức khắc, không qua quá trình quá độ. - Tại thời điểm ban đầu vì uC(0) = 0 nên tụ điện như bị ngắn mạch. điện áp nguồn hoàn toàn đặt lên điện trở R. Lúc đó dòng điện trong mạch là: i(0) = M U sinψu(0) = R R Vì vậy nếu mạch R-C điện trở R nhỏ và đóng mạch đúng vào thời điểm điện áp nguồn đi qua giá trị cực đại thì dòng điện trong mạch ở thời điểm ban đầu có thể rất lớn. 8.3. QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ TRONG MẠCH R-L NỐI TIẾP Việc tính toán quá trình quá độ trong mạch R-L (Hình 8.8) tương tự như tính QTQĐ trong mạch R-C, chỉ khác nhau ở hằng số thời gian. Thật vậy: Phương trình dòng điện tự do trong mạch có dạng: tdtd di R i + L = 0 dt Phương trình đặc trưng là: R + pL = 0 Nghiệm của phương trình đặc trưng là: p = R L  Do đó dòng điện tự do có dạng: tR t L tdi Ae Ae    Trong đó:  = L/ R gọi là hằng số thời gian của mạch L-R 8.4. QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ TRONG MẠCH R-L- C NỐI TIẾP 8.4.1. Quá trình tự do Giả thiết tụ điện C được nạp trước tới điện áp U0 rồi phóng điện qua cuộn dây có điện trở R và điện Hình 8.8 U R L K i K Hình 8.9 U0 R1 R C + i 2 - a) 1 L 117 cảm L (Hình 8.9). Vì không có nguồn ngoài duy trì nên quá trình trong mạch là quá trình tự do uC = uCtd và i = itd. Phương trình của mạch, khi khóa K đã chuyển sang vị trí 2 là: Ritd + Li’td + uCtd = 0; Thay i = Cu’Ctd vào phương trình, ta có: Ctd Ctd Ctd R 1 u + u + u = 0 L LC   (8.21) Phương trình đặc trưng: 2 R 1P + p + = 0 L LC Đây là phương trình đại số bậc hai, có 2 nghiệm là : 2 1,2 R R 1 p = - ± - 2L 2L LC       Tuỳ theo quan hệ giữa các trị số R, L, C mà p1,2 có thể là hai nghiệm thực khác nhau, nghiệm phức liên hợp hay nghiệm kép, tương ứng quá trình tự do sẽ là không dao động, dao động hoặc không dao động tới hạn. Ta sẽ xét các trường hợp cụ thể: a) Trường hợp phóng điện không dao động Trường hợp này ứng với 2 R 1 L Δ = - Hay R > 2 2L LC C       Phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt, do đó điện áp tự do trên tụ và dòng điện trong mạch có dạng:   1 21 1 21 p t p t Ctd 1 2 p t p tC td 1 1 2 2 u = A e + A e du i = C = C P A e + P A e dt (8.22) Để xác định các hằng số A1, A2 , ta sử dụng các sơ kiện: uC(0) = uC(-0) = U0 và i(0) = iL(0) = iL(-0) = 0, thay vào biểu thức của uC và I, ta có hệ phương trình: 0 1 2 1 1 2 U = A + A 0 = p A + p A    Giải ra ta được: 2 11 0 2 0 2 1 2 1 p -p A = U A = U p - p p - p Vậy điện áp và dòng điện tự do là:  1 2p t p t0Ctd 2 1 2 1 U u = p e - p e p - p (8.23) 118       1 2 1 2p t p t p t p t1 2 0 0 td 2 1 2 1 Cp p U U i = e - e = e - e p - p L p - p Giả thiết 2 1P > P ta vẽ được các đường cong điện áp và dòng điện như hình 8.10a,b. Từ các đồ thị ta thấy điện áp trên tụ điện giảm một cách đơn điện từ giá trị Uc đến không và dòng điện phóng có chiều không đổi. Vậy quá trình quá độ có tính chất không dao động. b)Trường hợp phóng điện dao động Khi L R < 2 C Δ < 0 , phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp: P1,2 = -   j0 Trong đó: 2 0 R 1 R α = - ω = - 2L LC 2L       Điện áp và dòng điện tự do có dạng: uCtd = Ae - t sin(0t + ). Với A và  là các hằng số tích phân iCtd = Cu’C = -αt -αt 0 0 0C - ω Ae sin(ω t + β) - αAe cos(ω t + β)   Từ các điều kiện đầu uC(0) = U0 và i(0) = iL(0) = 0 ta được hệ: 0 0 U Acos 0 sin cos        Giải hệ trên ta tìm được: 0 00 U A ; arctg LC       a) 0 Hình 8.10a,b t u uC 1P t2 0 2 1 P U e P P 2P t1 0 2 1 PU e P P t i i(t)   2P t0 2 1 U e L P P   1Pt0 2 1 U e L P P 0 b) 119 Điện áp trên tụ và dòng điện phóng có dạng dao động tắt dần với tần số góc 0 và hệ số tắt  được xác định bởi các thông số của mạch. Đồ thị điện áp và dòng điện có dạng như hình 8.11. Ta thấy rằng quá trình phóng điện có tính chất dao động, đó là do có sự trao đổi năng lượng giữa kho điện và kho từ. c) Trường hợp phóng điện không dao động tới hạn Khi L R = 2 Δ = 0 C  Phương trình đặc trưng có nghiệm kép: p1 = p2 = - = R - 2L . Đáp ứng tự do có dạng: uCtd = (A1 + A2t)e - t itd = Cu’C = C(A2 - A1 - A2t)e - t Từ các điều kiện đầu ta xác định được: A1 = U0 và A2 = U0 Điện áp và dòng điện tự do là: uCtd = U0(1 - t)e - t itd = CU0( -  -  2t)e- t itd = - 2te- t Dạng đường cong điện áp trên điện dung và dòng điện trong mạch được chỉ ra trên hình 8.12. t Hình 8.11a,b t u uCtd 0 a) u0 i itd 0 b) u0 Hình 8.12 u, i uCtd 0 itd u0 120 8.4.2. Đóng mạch R-L-C vào điện áp không đổi Khi đóng mạch R-L-C vào điện áp không đổi có giá trị bằng U, điện áp quá độ trên điện dung bao gồm 2 thành phần: Thành phần xác lập mới uCxlm = U và thành phần tự do có thể là một trong 3 dạng: Không dao động, dao động hoặc không dao động tới hạn tùy thuộc các thông số của mạch. Dòng điện trong mạch chỉ có thành phần tự do vì dòng điện xác lập mới bằng không. 8.4.3. Đóng mạch R-L-C vào điện áp xoay chiều Khi đóng mạch R-L-C nối tiếp vào nguồn điện áp xoay chiều hình sin: u(t) = UMsin(t+) thì điện áp quá độ trên điện dung và dòng điện quá độ bao gồm 2 thành phần: Thành phần xác lập mới và thành phần tự do tương tự như mục 8.5.2, chỉ khác là đáp ứng xác lập mới cũng là xoay chiều hình sin. CÂU HỎI HƯỚNG DẪN ÔN TẬP, THẢO LUẬN 1) Phân tích cơ sở toán học của phương pháp tích phân kinh điển; ý nghĩa của đáp ứng tự do và đáp ứng xác lập mới; 2) Trình bày các phương pháp lập phương trình đặc trưng của bài toán quá độ; 3) Phân tích mối liên hệ giữa nghiệm của phương trình đặc trưng và dạng đáp ứng tự do, vẽ các dạng đó; 4) Tại sao tất cả các nhánh đều có chung nghiệm phương trình đặc trưng? ?ại sao nghiệm phương trình đặc trưng của bài toán mạch thường phải có phần thực âm? 5) Nêu các bước tính QTQĐ trong mạch điện bằng phương pháp tích phân kinh điển, cho ví dụ để minh họa; 6) Phân tích quá trình phóng điện và quá trình nạp điện của điện dung C qua điện trở R; quá trình quá độ khi đóng mạch mạch R-C nối tiếp vào điện áp xoay chiều hình sin; 7) Phân tích quá trình quá độ trong mạch R-L nối tiếp; BÀI TẬP ỨNG DỤNG 8-1. Tìm dòng điện quá độ trong mạch điện hình 8-13 Biết trước khi xảy ra đóng mở tụ C chưa được nạp, các thông số cho như sau: R = 1 ; L = 1 H; C = 1 F; E = 1 v. R e(t) Hình 8 - 14 E R L K E C L R Hình 8 - 13 K 121 8-2. Tính dòng điện quá độ qua nhánh R-L của mạch điện hình 8-14 bằng phương pháp tích phân kinh điển, biết v)15tsin(102100e(t) 03  ; E = 400 v; L = 0,01 H; R = 10 , trước khi xảy ra đóng mở mạch ở chế độ xác lập. 8-3. Tính dòng điện quá độ trong nhánh không nguồn của mạch điện hình 8-14 bằng phương pháp tích phân kinh điển, biết v)45tsin(102100e(t) 04  ; A )531tsin(1022j(t) 04  ; C = 2 F; L = 5 mH; R = 100 , trước khi xảy ra đóng mở mạch ở chế độ xác lập. 8-4. Tính dòng quá độ đi qua tụ C trong mạch điện hình 8-15 theo phương pháp tích phân kinh điển. Biết trước khi xảy ra đóng mở tụ C chưa được nạp, các thông số cho như sau: R1 = 50 ; R2 = 100 ; C = 50 F; E = 150 v (1C). E R1 K Hình 8-15 C R2 R j(t) e(t) Hình 8-14 L C K 122 CHƯƠNG 9 CÁC PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ TÍNH QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ TRONG MẠCH ĐIỆN MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG Cung cấp cho sinh viên các phương pháp toán tử Laplace để phân tích quá trình quá độ trong mạch điện: - Nội dung của phương pháp toán tử LapLace là làm ứng các hàm thời gian 1(t)f(t) thành các hàm biến phức F(p) sao cho hệ phương trình vi phân đối với f(t) ứng với một hệ phương trình đại số đối với F(p) - khiến cho việc giải bài toán quá trình quá độ dễ dàng hơn. - Cách lập và dùng sơ đồ toán tử của mạch điện để tính quá trình quá độ; các bước giải bài toán quá độ bằng phương pháp toán tử. 9.1. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ Các phương pháp tích phân trình bày ở Chương 8 có ưu điểm là đơn giản, có thể áp dụng cho phần lớn các bài toán quá độ, song chúng có nhược điểm là dài, khối lượng tính toán nhiều; cần phân biệt bài toán chỉnh và bài toán không chỉnh; khi nguồn kích thích có dạng phức tạp như một chuỗi xung răng cưa, xung chữ nhật, việc tìm đáp ứng xác lập mới khó khăn. Để khắc phục những nhược điểm trên, ta sử dụng các phương pháp toán tử, bao gồm toán tử Laplace và toán tử Fourier. Nội dung cơ bản của các phương pháp toán tử là chuyển hệ phương trình vi phân mô tả mạch trong miền thời gian sang hệ phương trình đại số thông qua phép biến đổi Laplace hoặc phép biến đổi Fourier. Giải hệ phương trình đại số để tìm đáp ứng dưới dạng ảnh toán tử, sau đó sử dụng phép biến đổi ngược để tìm đáp ứng gốc. Trước khi đi vào nội dung các phương pháp toán tử, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về phép biến đối Laplace và phép biến đổi Fourier. 9.2. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 9.2.1. Phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace thuận là làm ứng một hàm gốc 1(t)f(t) với hàm ảnh F(s), với: 123 st 0 F(s) 1(t)f (t)e dt     (9.1) Trong đó f(t) là hàm gốc (hàm thời gian) F(s) gọi là hàm ảnh, là một hàm phức biến phức, được xác định trên toàn mặt phẳng phức. Phép biến đổi Laplace ngược là làm ứng hàm ảnh F(s) với gốc 1(t)f(t) với: a j st a j 1 1( t )f ( t ) F(s)e ds 2 j       (9.2) Vậy ta có sự tương ứng 1-1 giữa hàm gốc 1(t)f(t) và ảnh F(s): 1(t)f(t)  F(s) Tuy nhiên, các công thức (9.1) và (9.2) chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết. Thực tế, khi cần tìm ảnh khi biết gốc và ngược lại, ta thường sử dụng bảng ảnh - gốc và các công thức khai triển Hêvixai. 9.2.2. Bảng ảnh - gốc của một số hàm cơ bản: Dưới đây là bảng ảnh - gốc của một số hàm cơ bản hay dùng trong kỹ thuật điện. Bảng ảnh - gốc đầy đủ có thể tím được trong sổ tay toán học cao cấp. Bảng 9.1: Ảnh - gốc của một số hàm cơ bản STT Hàm gốc Hàm ảnh 1 (t) 1 2 1(t) 1 s 3 t 2 1 s 4 tn n 1 n! s  5 e-at 1 s a 6 te-at  2 1 s a 7 sinat 2 2 a s a 8 cosat 2 2 s s a 124 9.2.3. Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace a) Định lý dịch gốc (chậm trễ): Nếu hàm 1(t)f(t) có ảnh là F(s) thì hàm    1(t )f(t ) có ảnh là F(s)e -s (Khi dịch gốc đi một khoảng thời gian  theo chiều trục thời gian t, tương ứng với việc nhân ảnh của gốc đó với e-s. b) Ảnh của đạo hàm gốc: Nếu hàm 1(t)f(t) có ảnh là F(s) ảnh của đạo hàm gốc sẽ là: d 1(t)f (t) sF(s) f (0) dt   Đạo hàm cấp cao: n n n 1 n 2 (n 1) n d 1(t)f (t) s F(s) s f (0) s f '(0) ... f (0) dt        Trong đó f(0), f'(0), f''(0), là giá trị của hàm cùng các đạo hàm của chúng tại t = 0, chúng chính là các sơ kiện của bài toán quá độ. Bài toán có sơ kiện bằng không thì đạo hàm cấp n của gốc khi chuyển sang toán tử ta chỉ cần nhân ảnh của nó với sn. c) Ảnh của tích phân gốc: Nếu hàm 1(t)f(t) có ảnh là F(s) ảnh của tích phân gốc sẽ là: 1 ( t) f ( t )d t F (s ) s  Đối với tích phân bội: n n F ... f ( t )d t s   (s) Vậy, ảnh của tích phân gốc có được bằng cách chia ảnh của gốc đó cho s 9.2.4. Các công thức khai triển Hêvixai Khi giải bài toán quá độ bằng phương pháp toán tử Laplace, ta thu được đáp ứng ảnh là một phân thức hữu tỉ có dạng tổng quát:   m m-1 m m-1 1 01 n n-1 2 n n-1 1 0 b s + b s +...+ b s + bF (s) F s = = F (s) a s + a s +...+ a s + a (9.3) Trong đó: n > m; các phương trình F1(s) = 0 và F2(s) = 0 không có nghiệm chung. Để tìm gốc f(t), ta phân tích ảnh F(s) thành những phân thức đơn giản mà gốc của chúng có thể dễ dàng tra trong bảng ảnh - gốc. Muốn vậy, trước hết ta giải phương trình F2(s) = 0, có thể xảy ra các trường hợp sau: a) Phương trình F2(s) = 0 có các nghiệm đơn: Giả thiết F2(s) = 0 có các nghiệm đơn: s1  s2   sn Khi đó: 125 n1 1 2 k k 12 1 2 k n n F (s) A A A A F(s) ... F (s) s s s s s s s s           (9.4) Trong đó các hằng số Ak được tính theo công thức: 1 k k 2 k F (s ) A F ' (s )  Tra bảng ảnh gốc ta được: k k n n s t s t1 k k k 1 k 1 2 k F (s ) 1(t)f (t) A e e F' (s )        (9.5) b) Phương trình F2(s) = 0 có nghiệm phức liên hợp: Giả thiết F2(s) = 0 có một cặp nghiệm phức liên hiệp: ˆs = -α + jβ, s = -α - jβk k Áp dụng như trường hợp nghiệm đơn thu được gốc đối với cặp nghiệm phức liên hợp là: k k k 2 1 k k k kk k 1 k k k k k k ˆF (s ) F (s ) ˆs t s t 1(t)f (t) = e + e = ' ˆF' (s )F (s ) F (s )ˆF (s ) -αtsˆ t1 = 2Re e = 2 e cos(βt + γ) ˆF' (s )2 F' (s )         (9.6) Trong đó: 1 k 1 k 2 2 k 2 k 1 k k F (s ) F' (s ) F (s ) F (s ) = modul ; γ = argm F' (s ) F' (s )             c) Phương trình F2(s) = 0 có nghiệm bội Giả thiết F2(s) = 0 ngoài k nghiệm đơn còn có nghiệm sp bội r, khi đó:     1 1 2 2 r 2 1 2 p p p p1 p2 prA A AF(s) A A F(s) ... ... F (s) s s s s s s s s s s              Các hệ số của nghiệm bội được xác định như sau:           p p p p r pr p s s r pr 1 p s s 2 r pr 2 p2s s (r 1) r p1 p(r 1)s s A Lim F(s) s s d A Lim F(s) s s ds 1 d A Lim F(s) s s 2! ds 1 d A Lim F(s) s s r 1 ! ds                  Tra bảng ta thu được gốc: 126 pi k 1 i ' i 1 2 i s 2 r 1A A t A t A t tp1 p2 p3 prs t 1(t)f (t) e ... e 0! 1! 2! (r 1)! F (s ) F (s )                 9.2.5. Phép biến đổi Fourier và phổ tần của hàm thời gian a. Phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier thuận là làm ứng gốc 1(t)f(t) với ảnh F(j): 0 F( j ) 1( t )f ( t )dt     (9.7) F(j) là hàm ảnh, là một hàm phức biến ảo. So sánh với tích phân thuận Laplace st 0 F(s) 1(t)f (t)e dt     ta thấy tích phân thuận Fourier là trường hợp riêng của tích phân thuận Laplace khi thay s = j. Với phép biến đổi Laplace ảnh F(s) là một hàm phức, biến phức và xác định trên toàn mặt phẳng phức, còn với phép biến đổi Fourier ảnh F(j) là hàm phức biến ảo và chỉ xác định trên trục ảo. Phép biến đổi Fourier ngược là làm ứng ảnh F(j) với gốc 1(t)f(t) được tính: j j t j 1 1( t )f ( t ) F( j )e d j 2 j           (9.8) So sánh với tích phân ngược Lplace (9.1) a j st a j 1 1( t )f ( t ) F(s)e ds 2 j       ta thấy tích phân ngược Fourier là trường hợp riêng của tích phân ngược Laplace khi thay s = j và a = 0. Vậy, trong mọi trường hợp phép biến đổi Fourier đều là trường hợp riêng của phép biến đổi Laplace. Do đó tất cả các tính chất của phép biến đổi Laplace cũng đúng cho phép biến đổi Fourier, bảng ảnh - gốc Fourier cũng được suy từ bảng ảnh - gốc Laplace bằng cách thay s bằng j. b. Phổ tần của hàm thời gian (hàm gốc) Xét tích phân ngược Fourier: j j t j t j 1 1 F( j ) 1(t)f (t) F( j )e dj e d 2 j 2                   (9.9) So sánh với chuỗi Fourier của hàm chu kỳ: jk t k k 1(t)f (t) A e      (9.10) Ta thấy rằng tích phân ngược Fourier là tổng vô hạn các hàm điều hòa có biên độ và góc pha biến thiên liên tục theo tần số, với vi phân biên độ: 127 F( j ) dA d     Hàm F(j) đặc trưng đầy đủ cho hàm thời gian 1(t)f(t) nên ta gọi là phổ phức của hàm thời gian, vì F(j) là số phức nên ta có thể viết F(j) dưới 2 dạng: F(j) = F()ej() = F1() + jF2() Trong đó: F() gọi là phổ biên độ; () gọi là phổ pha; F1() gọi là phổ tần thực; F2() gọi là phổ tần ảo Chúng đều là những hàm liên tục theo tần số nên phổ của chúng là phổ liên tục hay phổ đặc (khác với phổ vạch của chuỗi Firie của hàm chu kỳ). Người ta đã chứng minh được rằng phổ biên độ và phổ tần thực là những hàm chẵn, phổ pha và phổ tần ảo là những hàm lẻ.  Ví dụ: vẽ các phổ tần của hàm f(t) = 6e50t Giải Tra bảng ảnh - gốc ta được phổ phức của hàm f(t) = 6e50t là: jarctg 50 2 22 6 6 300 F( j ) e j 50 2500 25002500               Các phổ tần là: 2 1 22 2 6 F( ) ; ( ) arctg 502500 300 F ( ) ; F ( ) 2500 2500                    Các phổ tần được vẽ trên hình 9.1a,b,c 128 -6000 -3000 0 3000 6000 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Tan so -500 -300 -100 100 300 500 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 Tan so -500 -300 -100 100 300 500 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Tan so a) b) c) Hình 9.1a,b,c: Các đặc tính tần số của hàm 6e-50t F1() F() 9.4. ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ TÍNH QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ 9.4.1. Sơ đồ toán tử Laplace Để thành lập sơ đồ toán tử Laplace của mạch điện, trước hết ta thiết lập sơ đồ toán tử của các phần tử riêng biệt bằng cách viết quan hệ điện áp và dòng điện trên mỗi phần tử, sau đó chuyển quan hệ này sang toán tử Laplace, từ đó rút ra sơ đồ toán tử. Sau đây ta xét cách lập sơ đồ toán tử của các phần tử cụ thể: - Điện trở R: Trên phần tử điện trở (Hình 9.2a), điện áp và dòng điện liên hệ với nhau theo biểu thức của định luật Ôm: u = Ri; chuyển phương trình sang toán tử Laplace ta có: U(s) = RI(s) (9.11) Vậy điện trở R khi chuyển sang sơ đồ toán tử Laplace được giữ nguyên (Hình 9.2b). R i u I(s) U(s) R a) b) Hình 9.2 a,b 129 - Điện cảm L: Trên phần tử điện cảm (Hình 9.3a), điện áp và dòng điện liên hệ nhau theo biểu thức: di u L dt  Chuyển sang ảnh Laplace, ta có: U(s) = sLI(s) - LiL(0) (9.12) Mặt khác, từ (9.12) ta có: L i (0)1 I(s) I(s) sL s   (9.19) Từ biểu thức (9.12) ta có sơ đồ hình 9.19b và từ biểu thức (9.19) ta có sơ đồ hình 9.19c. Vậy điện cảm L khi chuyển sang sơ đồ toán tử được thay bằng 2 phần tử mắc nối tiếp: Tổng trở toán tử sL và nguồn áp có giá trị LiL(0) có chiều trùng với chiều dòng điện (Hình 9.9b), hoặc thay bằng 2 phần tử song song: Tổng trở toán tử sL và nguồn dòng có giá trị L i (0) s có chiều trùng với chiều điện áp (Hình 9.9c). - Điện dung C: Trên phần tử điện dung (Hình 9.4a), điện áp và dòng điện liên hệ nhau theo biểu thức: t C 0 1 u u (0) idt C    Chuyển sang ảnh Laplace, ta có: U(s) = C u (0) 1 I(s) s sC  (9.14) L a) sL LiL(0) i u I(s) U(s) b) sL Li (0) s U(s) I(s) c) Hình 9.3 a,b,c Hình 9.4a,b,c C a) 1 sC i u I(s) U(s) CuC(0) U(s) I(s) b) c) 1 sC Cu (0) s 130 Hình 9.5a,b,c,d a) b) e(t) E(s) c) d) j(t) J(s) Mặt khác, từ (9.14) ta có: C U(s) I(s) cu (0) 1 sC   (9.15) Biểu thức (9.4) và (9.5) tương ứng với sơ đồ hình 9.4b,c. Vậy, điện dung C khi chuyển sang sơ đồ toán tử được thay bằng 2 phần tử mắc nối tiếp: Tổng trở toán tử 1 sC và nguồn áp có giá trị C u (0) s có chiều ngược với chiều dòng điện (Hình 9.9b), hoặc thay bằng 2 phần tử mắc song song: Tổng trở toán tử 1 sC và nguồn dòng có giá trị CuC(0) có chiều ngược với chiều điện áp (Hình 9.9c). - Nguồn áp: e(t) được thay bằng E(s) (Hình 9.5b) - Nguồn dòng: j(t) được thay bằng J(s) (Hình 9.5d)  Chú ý: - Các giá trị iL(0) và uC(0) trong các sơ đồ toán tử của điện cảm và điện dung là các sơ kiện độc lập, đối với bài toán chỉnh nó chính là iL(-0) và uC(-0), đối với bài toán không chỉnh, ta vẫn lấy các giá trị iL(-0) và uC(-0), các luật đóng mở không chỉnh sẽ tự thỏa mãn. - Đối với điện cảm và điện dung, khi chuyển sang sơ đồ toán tử, ta có thể thay bằng sơ đồ gồm 2 phần tử mắc nối tiếp hoặc sơ đồ gồm 2 phần tử mắc song song, chúng hoàn toàn tương đương nhau, việc sử dụng sơ đồ nào là tùy điều kiện cụ thể.  Các bước lập sơ đồ toán tử: Để thành lập sơ đồ toán tử ta thực hiện theo các bước sau:  Giải mạch ở chế độ xác lập cũ để tìm iL(-0) = ixlc(0) và uC(-0) = uxlc(0)  Điện trở R được giữ nguyên  Điện cảm L được thay bằng 2 phần tử nối tiếp như hình 9.9b hoặc 2 phần tử song song như hình 9.9c  Điện dung C cũng được thay bằng 2 phần tử nối tiếp như hình 9.4b hoặc 2 phần tử song song như hình 9.4c 131  Nguồn áp e(t) được thay bằng E(s); nguồn dòng j(t) được thay bằng J(s). 9.4.2. Các luật Kirhof dưới dạng toán tử Laplace 9.4.2.1. Luật Kirhof 1 Từ phương trình luật Kirhof 1 dưới dạng tức thời: ki (t) 0 nót chuyển sang toán tử Laplace, ta có: kI (s) 0 nót (9.16) Phát biểu: Tổng đại số các ảnh Laplace của dòng điện tại 1 nút bằng không. 9.4.2.2. Luật Kirhof 2 Từ phương trình luật Kirhof 2 dưới dạng tức thời: t k k k k Ck k k k 0 di 1 R i (t) L u (0) i dt e (t) dt C            vßng vßng Chuyển phương trình sang toán tử Laplace, ta có: Ck k k k k k Lk k k k u (0) 1 R I (s) L I (s) sL i (0) I (s) E (s) s sC             vßng vßng Ck k k k k Lk k k u (0)1 R sL I (s) L i (0) E (s) sC s                    vßng vßng vßng trong k k k kZ (s)I (s) E (s) E (s)    ngoµi vßng vßng vßng (9.17) Trong đó: - k k k k 1 Z (s) R sL sC          là tổng trở toán tử - trong Ckk k Lk u (0) E L i (0) s        là ảnh sức điện động trong - kkE E (s) ngoµi là ảnh sức điện động ngoài Phát biểu: Đi theo một vòng kín bất kỳ, tổng đại số các ảnh điện áp trên các phần tử bằng tổng đại số các ảnh sức điện trong và ảnh sức điện động ngoài. 9.4.3. Các bước tính quá trình quá độ bằng phương pháp toán tử Laplace Để tính QTQĐ bằng phương pháp toán tử Laplace ta thực hiện qua các bước sau: 132  Lập sơ đồ toán tử (trong bước này, ta cần giải mạch ở chế độ xác lập cũ để tính các giá trị iL(-0) và uC(-0), sau đó theo các bước đã trình bày trong mục 9.4.1 để lập sơ đồ toán tử);  Tìm đáp ứng quá độ ảnh (Để tìm đáp ứng ảnh, ta dựa vào sơ đồ toán tử, các luật Kirhof dưới dạng toán tử và có thể áp dụng các phương pháp đã học giống như đối với số phức ở chế độ xác lập điều hòa);  Tìm các đáp ứng quá độ gốc (Sử dụng các công thức khai triển Hevixaid, bảng ảnh - gốc và các tính chất của phép biến đổi Laplace).  Ví dụ: Tính dòng điện quá độ khi đóng mạch R-L vào các điện áp: a) e(t) = 50.1(t) ; b) e(t) = 100[1(t) - 1(t-0,5) ; c) e(t) = 100e-50t.1(t) biết R = 50(); L = 0,2(H); trước khi đóng khóa K, mạch ở chế độ xác lập. Giải Ở chế độ xác lập cũ ta có ixlc(t) = 0  iL(-0) = 0, sơ đồ toán tử như hình 9.6b. Ta có dòng điện ảnh trong mạch là:       U(s) U(s) U(s) 5U(s) I(s) Z(s) R sL 50 s0, 2 s 250        (9.18) a) Cho nguồn e(t) = 50.1(t) tác động: Chuyển sang sơ đồ toán tử Ta có: 2 2a b 50 U(s) = s , thay vào biểu thức (9.18) ta có:     5U(s) 5.50 1 1 I(s) s 250 s s 250 s s 250        Tra bảng ảnh-gốc ta được dòng điện quá độ: i(t) = 1(t).(1-e-250t) R L u(t) K R sL U(s) Hình 9.6a,b I(s) 133 b) Cho nguồn e(t) = 100[1(t) - 1(t-0,5)] tác động: Chuyển sang sơ đồ toán tử, ta có: 0,5s100 100U(s) e s s   , thay vào biểu thức (9.18) ta có:       0,5s5U(s) 5.100 5.100I(s) e s 250 s s 250 s s 250       Khai triển Hevixai ta có: 0,5s2 2 2 2I(s) e s s 250 s s 250                Tra bảng ảnh-gốc và áp dụng định lý chậm trễ, ta có: i(t) = 1(t-0,5).2(1- e-250t).1(t) - 2(1- e-250(t-0,5)) c) Cho nguồn e(t) = 100e-50t.1(t) tác động: Chuyển sang sơ đồ toán tử Ta có: 50P 100 )p(U   ; Tra bảng ảnh-gốc ta có: i(t) = 1(t).(2,5-50t – 2,5-250t) CÂU HỎI HƯỚNG DẪN ÔN TẬP, THẢO LUẬN 1) Dẫn ra các sơ đồ toán tử Laplace của điện trở, điện cảm, điện dung; 2) Trình bày các luật Kirhof dưới dạng toán tử Laplace; 3) Các bước tính QTQĐ bằng phương pháp toán tử Laplace và phương pháp toán tử Fourier, lấy ví dụ để minh họa; 4) Phân tích ưu điểm của phương pháp toán tử Fourier so với phương pháp toán tử Laplace. BÀI TẬP ỨNG DỤNG 9-1. Tính dòng quá độ đi qua C của mạch hình 9-7 theo phương pháp toán tử Laplace. Biết trước khi xảy ra đóng mở tụ C chưa được nạp và mạch có các thông số: R1 = 10; R2 = 20; C = 50F; e(t) = 100(1- e -200t ) v.     5U(s) 5.100 2,5 2,5 I(s) s 250 (s 50) s 250 (s 50) (s 250)          134 9-2. Tính dòng quá độ qua nhánh R-L của mạch điện hình 9-8 theo phương pháp Laplace biết: R=10; L=10 mH;e(t)=200 2 sin(103t+300) v; E = 100 v (1 chiều), trước khi xảy ra đóng mở mạch ở chế độ xác lập. 9-2. Tính dòng quá độ đi qua R2 của mạch hình 9-9 theo phương pháp toán tử Laplace. Biết trước khi xảy ra đóng mở tụ C chưa được nạp và có các thông số: R1 = 10; R2 = 20; C = 100 F; E = 100v (1 chiều). R1 K Hình 9-9 e(t) C R2 Hình 9-8 e(t) E R L R K R1 K Hình 9-7 e(t) C R2 135 CHƯƠNG 10: MẠCH PHI TUYẾN Ở CHẾ ĐỘ XÁC LẬP VỚI KÍCH THÍCH KHÔNG ĐỔI MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG Cung cấp cho sinh viên phần tử phi tuyến cơ bản và các thông số đặc trưng của chúng; tính chất mạch phi tuyến; tổng quan về các phương pháp phân tích mạch phi tuyến. Giới thiệu phương pháp đồ thị, phương pháp tính dò và phương pháp tính lặp để phân tích mạch điện phi tuyến ở chế độ xác lập với kích thích không đổi. Mạch phi tuyến với kích thích không đổi thường gặp nhiều trong thực tế như các rơ le 1 chiều, khi khảo sát việc chế độ làm việc của các tầng khuếch đại 10.1. ĐẶC ĐIỂM CỦA MẠCH PHI TUYẾN VỚI KÍCH THÍCH KHÔNG ĐỔI. Nguồn cung cấp cho mạch là nguồn không đổi, do đó ở chế độ xác lập điện áp và dòng điện trong mạch không biến thiên theo thời gian; trong mạch chỉ có điện trở (tuyến tính và phi tuyến) mà không có điện cảm hoặc điện dung; phương trình viết cho mạch là hệ phương trình đại số phi tuyến. Để giải mạch phi tuyến với kích thích không đổi người ta thường dùng phương pháp đồ thị và phương pháp dò và phương pháp lặp. 10.2.PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Bài toán phân tích mạch phi tuyến một chiều thường cho biết trước sơ đồ mạch; giá trị của các điện trở tuyến tính; đặc tuyến V-A của điện trở phi tuyến và các nguồn kích thích. Yêu cầu tìm các đáp ứng (dòng điện các nhánh hoặc điện áp trên các phần tử của mạch, công suất mạch tiêu thụ). U b) a) Hình 10.1a,b I Phi tuyến bất kỳ U U I I 0 136 Nội dung phương pháp đồ thị là dựa vào sơ đồ mạch, đặc tuyến của các phần tử và các luật Kirhof để tìm nghiệm bằng cách vẽ đồ thị. Ta biết rằng đối với một mạng 2 cực phi tuyến bất kỳ, khi đã biết đặc tuyến V-A của mạng thì từ kích thích ta dễ dàng tìm được đáp ứng (Hình 10.1). Vì vậy vấn đề đặt ra là cần biết cách vẽ đặc tuyến V-A của các mạng 2 cực phi tuyến. 10.2.1. Đặc tuyến V-A của hai cực gồm các phần tử nối tiếp Xét mạng 2 cực gồm 2 phần tử mắc nối tiếp như hình 10.2a. Biết đặc tuyến V-A của R1(I) và R2(I), cần vẽ đặc tuyến V-A của mạng. Theo luật Kirhof 2 ta có: 2 1 2 k k 1 U(I) U (I) U (I) U     (10.1) Ứng với giá trị dòng điện Ik ta có 2 giá trị điện áp U1(Ik) và U2(Ik), cộng 2 điện áp này ta được điểm M(Uk,Ik). làm tương tự với các điểm khác ta thu được đặc tuyến V-A của mạng 2 cực (Hình 10.2b). Nhận xét: - Khi mạng 2 cực có nhiều phần tử mắc nối tiếp, để có đặc tuyến V-A của mạng ta chỉ cần cộng theo điện áp đặc tuyến V-A của n phần tử. - Khi trong mạng có chứa nguồn cách vẽ đặc tuyến V-A cũng tương như trên. Thật vậy, xét mạng 2 cực như hình 10.3a. Ta có: UR(I) - U(I) = -E  U(I) = UR(I) + E. Đặc tuyến V-A như hình 10.3b U I Ik U1 U2 Uk = U1 + U2 M U1(I) U2(I) U(I) a) I R1(I) R2(I) U U1(I) U2(I) b) Hình 10.2 137 10.2.2. Đặc tính V-A của 2 cực gồm các phần tử ghép song song Xét mạng hai cực gồm 2 phần tử mắc song song như hình 10.4a. Vì các nhánh ghép song song nên điện áp trên mỗi nhánh đều bằng nhau và bằng điện áp U trên mạng 2 cực, dòng điện vào bằng tổng đại số các dòng điện các nhánh. I(U) = I1(u) + I2(U) = 2 1  IK(U) (10.2) Từ (10.2) ta vẽ được đặc tính V-A của mạng hai cực gồm phần tử ghép song song bằng cách cộng các đặc tính theo dòng điện. Tại mỗi giá trị điện áp Uk ta có 2 giá trị dòng điện là I1 và I2 Cộng 2 giá trị dòng điện này, ta được điểm M trên đặc tuyến V-A. Làm tương tự với các điểm khác ta vẽ được toàn bộ đặc tính (Hình 10.4b). Khi mạng 2 cực có nhiều phần tử ghép song song, ta chỉ cần cộng đồ thị của các phần tử theo dòng điện sẽ được đặc tuyến V-A của mạng. E I U(I) UR(I) U b) Hình 10.3.a,b UR(I) U(I) I E a) E I I2(U ) Uk Ik I2 I1 U I1(U) I(U) I1(U) U I I2 I2(U) a) b) Hình 10.4 a,b I1 M U 138 10.2.3. Đặc tính V-A của 2 cực gồm các phần tử ghép hỗn hợp Khi mạng 2 cực gồm các phần tử ghép hỗn hợp (nối tiếp, và song song), ta chia mạch thành nhiều phần, trong mỗi phần đó chỉ gồm các phần tử mắc nối tiếp hoặc song song, vẽ đặc tuyến V-A của từng phần đó, sau đó ghép lại ta sẽ được đặc tuyến V-A của mạng. Ví dụ: Hãy vẽ đặc tuyến V-A của mạnh điện hình 10.5a Giải Để vẽ đặc tuyến V-A của mạng, ta chia mạng thành 2 phần: Phần 1 chỉ có điện trở tuyến tính R; phần 2 gồm 2 điện trở phi tuyến mắc song song. Vẽ đặc tuyến V-A của phần 2 bằng cách cộng 2 đặc tuyến của chúng theo dòng điện: I(Uab) = I1(Uab) + I2(Uab). Sau đó ghép với phần 1, ta có phương trình: U(I) = UR(I) + UAB(I), cộng 2 đặc tuyến theo điện áp ta được đặc tuyến V-A của mạng 10.2.4. Các bước giải mạch phi tuyến với kích thích không đổi bằng đồ thị Để giải mạch phi tuyến với kích thích không đổi bằng phương pháp đồ thị ta thực hiện theo các bước sau:  Tách riêng nguồn Ek ở 1 nhánh k nào đó, phần còn lại là một mạng 2 cực phi tuyến, vẽ đặc tuyến V-A của mạng 2 cực đó.  Từ đặc tuyến V-A và từ giá trị nguồn Ek ta tìm được dòng điện trong nhánh k. Từ đó tìm được các dòng điện và các thông số trạng thái khác. Ví dụ: Cho mạch điện như hình 10.5a. Biết R1 = 5(Ω); đặc tuyến V-A của điện trở R2(I) là: UR2(I) = I 3. U = 6(V). Tính dòng điện trong mạch và điện áp trên các phần tử của mạch. I I2(U ) Uk Ik I2 I1 U I1(U) I1(U) U I I2 I2(U) a) b) Hình 10.5 a,b I1 A B UR(I) UR(I) UAB(I) U(I) 139 Giải Tách riêng nguồn E, phần còn lại là mạng 2 cực không nguồn gồm 2 phần tử mắc nối tiếp. Phương trình viết cho mạch là: U(I) = R1I + UR2(I) = 5I + I 3 (10.3) Vẽ đặc tuyến V-A của các phần tử và của mạng 2 cực như hình 10.5b. Từ giá trị E = 6V, dóng sang đường đặc tuyến V-A ta được điểm M, từ M dóng xuống trục dòng điện ta tìm được dòng điện trong mạch (I = 1A), đường dóng này cắt đặc tuyến U1(I) tại P, cắt đặc tuyến U2(I) tại Q. Từ P và Q dóng sang trục điện áp ta tìm được các điện áp U1 = 5V và U2 = 1V. Nhận xét: Từ phương trình mạch: E = R1I + UR2(I) = 5I + I 3 R2(I) b) Hình 10.5a,b a) I R1 U U1(I) U2(I) E M 0,5 1 1,5 2 U1(I) U(I) U2(I) P Q I U 10 8 6 4 2 0 Hình 10.6 M 0,5 1 1,5 2 U1(I) E-RI U2(I) P I(A) U(V) 10 8 6 4 2 0 140 Chuyển số hạng tuyến tính sang một vế ta được: E - R1I = UR2(I) (10.4) đặc tuyến V-A ở vế trái của phương trình (10.4) là một đường thẳng qua 2 điểm C và D có tọa độ C(E,0) và D(0,E/R1) (Hình 10.6). Đường thẳng này cắt đặc tuyến U2(I) tại M. Từ M dóng xuống trục dòng điện, ta tìm được dòng điện trong mạch, đường dóng này cắt đặc tuyến U1(I) tại P, từ P và M dóng sang trục điện áp ta tìm được các giá trị U1 và U2. 10.3. PHƯƠNG PHÁP DÒ Để giải mạch phi tuyến với kích thích không đổi bằng phương pháp dò ta thực hiện theo tiến trình sau: Chọn nguồn ở nhánh m (Em) nào đó để so sánh. Tùy ý giả thiết một giá trị dòng điện nào đó (Ik (1)) ở nhánh k. Tính giá trị dòng điện các nhánh khác và tính ngược lại sức điện động Em (1) ở nhánh m. Thông thường Em (1) khác với Em đã cho, dựa vào sự sai khác đó ta chọn lại giá trị của Ik (2) Quá trình cứ thế tiếp tục cho đến khi Em (n)  Em thì dừng lại. Chú ý: Ta có thể lập trình để tính các đáp ứng của mạch điện theo phương pháp này. Trong trường hợp tính bằng tay, thường người ta chỉ tính 3-10 lần, sau đó vẽ quan hệ của Em(Ik) rồi dùng phương pháp nội suy để tìm giá trị Ik gần đúng nhất (Hình 10.7). Quá trình nội suy như sau: Từ giá trị Em đã cho, dóng sang đường cong Em(Ik) ta được điểm M, từ M dóng xuống trục dòng điện ta sẽ được giá trị dòng điện gần đúng nhất. Hình 10.7 B Ik1 Ik2 Ik3 Ik Ik10 I U(V) Em10 Em Em3 Em2 Em1 A C M D 141 Ví dụ: Tính dòng điện các nhánh của mạch điện như hình 10.8. Biết: R1 = 10(Ω); R2 = 10(Ω); R3 = 5(Ω); đặc tuyến V-A của điện trở R10(I) là: UR10(I) = 3I 3; E1 = 15(V); E2 = 10(V). Giải: Chọn sức điện động E1 để so sánh. Giả thiết dòng điện ở nhánh 3 là: I3 (1) = 1(A); ta tính được điện áp trên điện trở UR10 (1) là: UR10 (1) = 3.1 = 3(V); điện áp trên điện trở R3 là: UR3 (1) = R1I3 (1) = 5(V); điện áp UAB (1) = UR3 (1) + UR10 (1) = 3 + 5 = 8(V); điện áp rơi trên điện trở R2 là: UR2 (1) = E2 - UAB (1) = 10 - 8 = 2(V); dòng điện nhánh 2 là: I2 (1) = (1) (1) R 2 2 2 U 2 I 0,2(A) R 10    . Từ phương trình Kirhof 1 cho nút A ta có dòng điện nhánh 1 là: I1 (1) = I3 (1) - I2 (1) = 1 - 0,2 = 0,8(A); sức điện động E1 (1) tính được là: E1 (1) = R1I1 (1) + UAB (1) = 10.0,8 + 8 = 16(V). Sức điện động này khác với sức điện động đã cho, ta chọn lai giá trị của I1 (2) Quá trình tính toán những bước tiếp theo được liệt kê trong bảng 10.1. Bảng 10.1: Quá trình tính dò n I3 (n) UR10 (n) UR3 (n) UAB (n) UR2 (n) I2 (n) I1 (n) E1 (n) 1 1 3 5 8 2 0,2 0,8 16 2 0,98 2,8236 10,9 7,7236 2,27610 0,2276 0,75210 15,2107 3 0,975 2,7806 10,875 7,6556 2,3101010 0,231010 0,71006 15,061 10 0,9735 2,7678 10,8675 7,6353 2,36107 0,2365 0,737 15,006 Kết quả cuối cùng ta tính được dòng điện các nhánh là: I1 = 0,737(A); I2 = 0,2365(A); I3 = 0,9735(A) 10.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH LẶP Như trên đã biết, phương trình viết cho mạch phi tuyến 1 chiều là hệ phương trình đại số phi tuyến có dạng tổng quát: F(X) = 0 (10.5) Trong đó X = {x1, x2, xn}. Để giải hệ phương trình này, ta chuyển sang giải hệ phương trình: R1 R2 R3 R10(I) E1 E2 I1 I2 I3 Hình 10.8 A B 142 X = φ(X) (10.6) Trong đó vế trái là các số hạng phi tuyến. Từ bộ thông số X0 tùy chọn, thay vào (10.6) ta tìm được: X1 = φ(X0) Thay X1 vào (10.6) ta được: X2 = φ(X1) . .. Xn = φ(Xn-1) Nếu phép tính lặp hội tụ thì Xn  Xn-1 là nghiệm của bài toán. Để tìm điều kiện hội tụ của phép tính lặp, ta xét trường hợp 1 phương trình: x = φ(x) (10.7) Về mặt hình học, nghiệm của phương trình (10.7) là hoành độ giao điểm 2 đường: Đường thẳng y = x và đường cong y = φ(x). Hình 10.9a,b,c,d minh họa hình học tiến trình tính lặp ứng với đường cong φ(x) có độ dốc khác nhau. Ta thấy rằng khi độ dốc của đường cong y = φ(x) nhỏ hơn độ dốc của đường thẳng y = x (có độ dốc bằng 1) thì phép tính lặp hội tụ (Hình 10.9a,b). Vậy, điều kiện để phép lặp hội tụ là ở vùng lân cận nghiệm (x*) , độ dốc của đường cong φ(x) phải nhỏ hơn 1, '(x) 1  (10.8a) Từ điều kiện hội tụ của phép tính lặp một phương trình đại số phi tuyến, ta dễ dàng rút ra điều kiện hội tụ khi tính lặp hệ phương trình đại số phi tuyến là ở vùng lân cận nghiệm (X*) của bài toán phải thỏa mãn điều kiện: '(X) 1  (10.8b) Với là một véc tơ: XT = [x1, x2, x3, xn] Từ các phân tích ở trên, ta rút ra các bước giải bài toán mạch phi tuyến bằng phương pháp tính lặp như sau: (x) y x0 x* x x x x (x) (x) x (x) x* x0 x a) b) c) d) y y x y x x* x0 x0 x* Hình 10.7a,b,c,d 143 Các bước: - Lập phương trình, chuyển về dạng (10.6): X = φ(X) - Kiểm tra điều kiện hội tụ ở vùng lân cận nghiệm - Nếu phép lặp thỏa mãn điều kiện hội tụ, ta chọn bộ thông số ban đầu X0 và tiến hành tính lặp. Chú ý: Để kiểm tra điều kiện hội tụ, ta cần có được bộ thông số ở vùng lân cận nghiệm, việc này nhiều khi rất khó khăn, cần phải căn cứ vào điều kiện cụ thể của bài toán. Khi điều kiện hội tụ không thỏa mãn, ta chỉ kết luận bài toán không thể giải được bằng phương pháp tính lặp chứ không có bất cứ nhận xét nào về nghiệm của bài toán. Ví dụ: Tính dòng điện trong mạch hình 10.8. Biết R1 = 10(Ω); UR2(I) = 2I 3; U = 15(V) Giải Phương trình viết cho mạch là: R1I + UR2(I) = U Từ đó rút ra: 3R 2 1 U U (I) I 1,5 0,2I (I) R       (10.8) Dòng điện trong mạch không bao giờ đạt tới giá trị 1,5A (U/R1). Vì vậy ta kiểm tra điều kiện hội tụ tại lân cận I = 1(A), Ta có: 2 I 1 I 1 (I) 0,6I 0,6 1       . Vậy, phép tính lặp hội tụ. Tiến hành tính lặp từ biểu thức (10.8) với I0 = 1 bằng cách lập trình trên máy tính, kết quả tính một số bước được ghi trong bảng 2. Sau 50 bước tính ta thu được dòng điện trong mạch là: I = 1,1753(A) Bảng 10.2: Kết quả một số bước tính lặp I0 I1 I2 I3 I10 I5 I6 I7 1 1,3 1,0606 1,26139 1,09859 1,23108 1,23103 1,21610 I8 I9 I106 I107 I108 I109 I50 1,110 1,2 1,17535 1,17531 1,197529 1,1753 1,1753 U UR2(I) I R1 Hình 10.8 144 CÂU HỎI HƯỚNG DẪN ÔN TẬP, THẢO LUẬN 1) Phân tích những đặc điểm của mạch phi tuyến với kích thích không đổi ở chế độ xác lâp. 2) Nội dung phương pháp đồ thị, cho ví dụ minh họa. 3) Nội dung phương pháp tính dò, cho ví dụ minh họa; tại sao xếp phương pháp dò vào nhóm các phương pháp số. 4) Nội dung phương pháp tính tính lặp, điều kiện để phép tính lặp hội tụ; cho ví dụ minh họa. BÀI TẬP ỨNG DỤNG 10-1. Tính dòng điện trong các nhánh của mạch điện hình 10-9 bằng phương pháp dò; các thông số của mạch cho như sau: E1= 36 v; R1 = R3 = R5 = 3; đặc tính V- A của các điện trở phi tuyến cho dưới dạng biểu thức giải tích: 2 22 2 4 2U = 4,5I v; U =1,5I v . Đảm bảo sai số tính theo phần trăm (sai số tương đối) E%  0,1 % . 10-2. Tính dòng điện trong các nhánh của mạch điện hình 10-10 bằng phương pháp dò; các thông số của mạch cho như sau: E1= 12,4 V; R1 = 5; R2 = 4,8 ; R5 = 3; đặc tính V- A của các điện trở phi tuyến cho dưới dạng biểu thức giải tích: 244 2 33 I5,1U;I4,0U  . Đảm bảo sai số tính theo phần trăm (sai số tương đối) E%  0,1 % . 10-3. Cho mạch điện như hình 10-11, biết: E1 = 40 (v); R1 = 9,2 (); R3 = 1(); đặc tính V- A của R2; R4 cho dưới dạng biểu thức giải tích: 344 2 22 I4,0U;I3,0U  . Tính dòng điện trong các nhánh của mạch điện bằng phương pháp dò, đảm bảo sai số tính theo phần trăm (sai số tương đối) E%  0,1 % . Hình 10-9 R3 R5 R1 E1 R4 R2 Hình 10-10 R2 R3 R5 R1 E1 R4 R4 R1 E1 R3 Hình 10-11 R2 145 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lại Khắc Lãi "Cơ sở lý thuyết mạch" Tập 1, tập 2, Nhà xuất bản Đại học Thái Nguyên, 2009; [2] Nguyễn Bình Thành, Lê Văn Bảng "Cơ sở kỹ thuật điện" Quyển 1, quyển 2, Nhà xuất bản Đại học & Trung học chuyên nghiệp, 1972; [3] Phương Xuân Nhàn, Hồ Anh Túy "Lý thuyết mạch" Tập I, tập II, tập III, Nhà xuất bản Khoa học & Kỹ thuật, 1996; [4] Đỗ Huy Giác, Nguyễn Văn Tách "Lý thuyết mạch - Tín hiệu" tập I, tập II, Nhà xuất bản Khoa học & Kỹ thuật, 2009.