Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương V: Phần tử hai chiều chịu uốn ngoài mặt phẳng phần tử (tấm chịu uốn)

5/30/2015 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Website:  Bộmôn Cầu và Công trình ngầm Website:  PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học:  Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 275 CHƯƠNG V Phần tử hai chiều chịu uốn ngoài mặt phẳng phần tử (tấm chịu uốn) 5/30/2015 2 276 5.1. Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn • Định nghĩa và phân loại tấm chịu uốn – Phần tử tấm chịu uốn được giới hạn bởi 2 mặt phẳng song  song và cách nhau một khoảng là t (gọi là chiều dày tấm). Tùy theo tỷ số giữa bề dày tấm (t) và kích thước nhỏ nhất của mặt phẳng tấm (b) mà người ta có thể chia tấm chịu uốn làm 2 loại sau: • Tấm dày: • Tấmmỏng:                                   và độ võng lớn nhất Chú ý: Trường hợp với tấmmỏng có độ võng z > zmax thì dưới tác dụng của tải trọng vuông góc với tấm, các ứng suất trong tấm bao gồm cả ứng suất màng và ứng suất do tấm bị uốn => khi đó phải tính toán tấm sử dụng lý thuyết tấm có biến dạng lớn. 1 5 t b  1 1 20 5 t b   max 4 tz  277 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) • Lý thuyết cổ điển của Kirchhoff – Các giả thiết • (1) Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn và độ dài của chúng là không đổi • (2) Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo nén hay trượt • (3) Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm – Xét tấm chịu uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm như hình vẽ.  Mặt phẳng xy của hệ tọa độ trùng với mặt trung bình z y x Mặt trung bình b at 5/30/2015 3 278 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) – Áp dụng các giả thiết, các thành phần chuyển vị u và v của tấm được biểu diễn theo độ võng q và góc xoay θx , θy của mặt phẳng trung bình như sau: trong đó: q = q(x,y) là hàm độ võng, tức chuyển vị theo phương z của mặt phẳng trung bình. y q x     q x   x q y    q y   x qv z z y       y qu z z x      279 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) – Khi đó, các thành phần biến dạng của một điểm bất kỳ thuộc tấm được tính như sau: trong đó: kx, ky và kxy lần lượt là độ cong theo phương x, y và hai lần độ xoắn. – Các biến dạng góc εzx = εyz = 0 theo giả thiết số (1) – Ứng suất theo phương z là σz = 0 theo giả thiết số (3)   2 2 y x x zu qz z k x x x             2 2 x y y zv qz z k y y y                2 2 22y xxy xyz zu v q q qz z z z ky x y x y x x y x y                             5/30/2015 4 280 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) – Áp dụng định luật Hooke để tìm các thành phần ứng suất khác trong phần tử như sau: Với: 2 2 2 2 2 2 x y xy qk x qk y qk x y             2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 10 0 0 0 2 2 x x x y y y xy xy xy k E zE k k                                                             2 2 2 2 2 2 '1 0 1 0 ' 1 1 '0 0 2 2 x x y y xy xy q x z E q z y q x y                                                      281 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) – Nội lực trong tấm chính là hợp lực của các thành phần ứng suất tương ứng, do đó: – Hoặc viết lại dưới dạng véc tơ như sau: /2 /2 t x x t M zdz    /2 /2 /2 2 2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 2 2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 2 2 /2 /2 /2 ' ' ' ' ' ' t t t x x x t t t x t t t y y y y t t t xy t t t xy xy xy t t t zdz z dz z dz M M zdz z dz z dz M zdz z dz z dz                                                                              3 3 3 3 ' 12 ' ' ' 12 12 ' ' 12 x x y y xy xy t t t t                                         /2 /2 t y y t M zdz    /2 /2 t xy xy t M zdz    5/30/2015 5 282 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) – Như vậy các giá trị nội lực kể trên sẽ được biểu diễn theo hàm độ võng q(x,y) của phần tử như sau: trong đó: D được gọi là độ cứng trụ của tấm chịu uốn – Nếu đặt: với [D]t là ma trận các hệ số đàn hồi của tấm chịu uốn 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 ' 1 0 1 0 ' 1 0 1 0 12 12 1 1 1' 0 0 0 0 2 22 2 x x y y xy xy q q x xM t t E q qM D y y M q q x y x y                                                                                                        3 212 1 EtD     1 0 1 0 10 0 2 t D D             283 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) – Ta có: trong đó: {k} được gọi véc tơ độ cong của tấm chịu uốn       2 2 2 2 2 2 x y t t xy q xM qM D D k y M q x y                              2 2 22 2 2 T T x y xy q q qk k k k x y x y              5/30/2015 6 284 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) • Lý thuyết tấm có kể tới biến dạng trượt của Mindlin – Các giả thiết • (1) Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm trước biến dạng vẫn là thẳng nhưng không nhất thiết là vuông góc với mặt phẳng trung hòa khi biến dạng • (2) Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo nén và là mặt trung hòa của tấm khi biến dạng • (3) Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm – Xét tấm chịu uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm như hình vẽ.  Mặt phẳng xy của hệ tọa độ trùng với mặt trung bình z y x Mặt trung bình b at 285 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) – Nếu gọi γx là biến dạng trượt trung bình đối với mặt cắt x =  const nào đó thì góc xoay θy tính như sau: – Tương tự góc xoay θx bằng: trong đó: q = q(x,y) là hàm độ võng, tức chuyển vị theo phương z của mặt phẳng trung bình. y x q x     q y  q x   q x   x y q y      5/30/2015 7 286 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) – Do vậy, các biến dạng trượt trung bình tính như sau: – Như vậy, so với lý thuyết Kirchhoff, sự khác biệt chỉ ở giả thiết thứ nhất tức là biến dạng trượt khác 0.  Nếu bỏ qua biến dạng trượt thì ta sẽ trở lại ngay các kết quả của lý thuyết Kirchhoff tức là: và khi x y q x      y x q y       0x y  y qx   x q y    287 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) – Các biến dạng trượt trong công thức của Mindlin có quan hệ với ứng suất tiếp theo định luật Hooke. – Đối với vật liệu đẳng hướng thì quan hệ giữa biến dạng với ứng suất như sau: – Các biến dạng trượt được giả thiết là không đổi trên suốt bề dày tấm nên hợp lực của các ứng suất tiếp này trên 1 đơn vị dài mặt cắt được tính theo các biến dạng trượt như sau   1 0 0 12 1 xz x yz y E                       ,x y  ,xz yz  ,x y  ,xz yz    1 0 0 12 1 x xz x y yz y Q E tt Q                                      5/30/2015 8 288 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) Trong đó: • α = 5/6 = hệ số hiệu chỉnh kể đến sự phân bố bậc 2 theo bề dày của biến dạng trượt • t = bề dày tấm • mô đun đàn hồi trượt – Như vậy, lực cắt {Q} trong tấm được biểu diễn theo biến dạng trượt. – Mômen {M} trong tấm được biểu diễn theo độ cong {k} giống như đã phân tích ở bài toán theo lý thuyết của Kirchhoff.        1 0 0 12 1 x x c y y Q E t Q D Q                          2 1 E G   289 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) – Với tấm có vật liệu đẳng hướng, mômen {M} và lực cắt {Q}  trong tấm được tính như sau: – Hoặc viết ở dạng gọn hơn như sau:       3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 12 1 0 00 0 1 / 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 12 1 x x y y xy xy x x y y M k M kEt M k E tQ Q                                                                                       0 0 u x T yc DM k Q D                                    5/30/2015 9 290 Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo) – Các thành phần nội lực trong tấm chịu uốn 291 5.2. Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác • Phần tử tấm dạng tam giác theo lý thuyết Kirchoff – Xét một phần tử tấmmỏng dạng tam giác chịu uốn trong hệ tọa độ địa phương xyz như hình vẽ sau: • Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do => phần tử có 9 bậc tự do. y x  0,0 k ji  0,b  ,0a b a y x z 3 i qq x      k ji 1 iq q 4 jq q 2 i qq y      7 kq q 5 j qq y      6 j qq x      8 k qq y      9 k qq x           1 2 3 4 5 6 7 8 9T Ti xi yi j xj yj k xk ykeq q q q q q q q q q q q q       5/30/2015 10 292 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Do phần tử tam giác có 9 bậc tự do nên hàm độ võng q(x,y)  được xấp xỉ hóa bằng 1 đa thức chứa 9 tham số. – Ngoài ra, để đảm bảo tính đẳng hướng hình học, hàm đa thức xấp xỉ của độ võng có dạng như sau: – Nhận xét: đây là loại phần tử không tương thích • Giả sử có 2 phần tử liền kề có chung biên là ij thì độ dốc tại các nút i và j là như nhau đối với cả 2 phần tử nhưng có thể độ dốc là khác nhau tại các điểm khác dọc theo cạnh biên chung ij (sẽ chứng minh tính không tương thích của phần tử tấm tam giác chịu uốn ở phần sau). • Mặc dù phần tử tam giác là phần tử không tương thích nhưng vẫn cho ra kết quả tốt và được sử dụng rộng rãi trong thực tế.    1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tea a a a a a a a a a    2 2 3 2 2 31 2 3 4 5 6 7 8 9,q x y a a x a y a x a xy a y a x a x y xy a y          293 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Hàm xấp xỉ độ võng có thể biểu diễn dưới dạng ma trận quen thuộc như sau: Trong đó: [P(x,y)] = ma trận các đơn thức: và {a} là véc tơ tham số: – Chuyển vị tại các nút được biểu diễn dưới dạng véc tơ {q}e    1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tea a a a a a a a a a      , ,q x y P x y a       2 2 3 2 2 3, 1P x y x y x xy y x x y xy y         T i j ke i j ki j k q q q q q qq q q q y x y x y x                                                  5/30/2015 11 294 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Thực hiện đồng nhất chuyển vị nút với giá trị của hàm chuyển vị tại các nút.    1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 i i i j e j j k k k q q y q q q x q q q qq q y q qq xq qq q y q x                                                                                   1 2 3 2 3 4 2 5 2 6 2 3 7 2 8 2 9 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 3 0 0 , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 a a a a a a a a a a H x y a aa a ab b b ab b ab b                                                      295 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Nghịch đảo của ma trận [H] là ma trận [H]‐1 trong đó: c = b ‐ a This image cannot currently be displayed. y x  0, 0 k ji  0,b  , 0a b a 5/30/2015 12 296 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Như vậy sau khi thực hiện đồng nhất các bậc tự do của phần tử với giá trị hàm chuyển vị tại nút ta có thể tìm được véc tơ tham số {a} như sau:  – Thay {a} vào công thức hàm độ võng ta có: trong đó [N] là ma trận các hàm dạng Sau khi thực hiện phép nhân ma trận ta được các hàm dạng Ni như sau:            1,e eq H x y a a H q                    1, , , ,e eq x y P x y a P x y H q N x y q                    1 1 2 3 4 5 6 7 8 9,N P x y H N N N N N N N N N        1,P x y H    297 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) 2 2 3 3 1 2 2 3 3 3 3 2 21N x y x y a b a b      2 3 2 2 2 2 2 1 1 1aN x x xy x x y xy a bc a bc bc       2 3 2 2 3 2 2 1 1 1bN y xy y y x y xy ac b b ac ac        2 3 4 2 3 3 2N x x a a   2 3 5 2 1 1N x x a a    2 2 6 1 1bN xy x y xy ac ac ac     2 3 7 2 3 3 2N y y b b   2 3 9 2 1 1N y y b b   2 2 8 1 1aN xy x y xy bc bc bc     5/30/2015 13 298 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Các biến dạng trong tấm bao gồm 3 thành phần: – Do: nên biến dạng có thể được biểu diễn theo véc tơ chuyển vị nút {q}e như sau:                1, , , ,e eq x y P x y a P x y H q N x y q               2 2 2 2 2 2 x x y ye xy xy q xk qz k z y k q x y                                         299 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Hoặc có thể viết gọn lại như sau: trong đó [B] được gọi là ma trận tính biến dạng                                12 22 2 22 12 22 2 2 2 2 212 , , , , ,,2 22 e e e e P x y H q P x yq x xx P x y H q P x yqz z z H y y y q P x yP x y H q x y x yx y                                                                                              1 eq     e eB q       1B z L H   5/30/2015 14 300 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)         2 2 2 2 2 , 0 0 0 2 0 0 6 2 0 , 0 0 0 0 0 2 0 2 6 0 0 0 0 2 0 0 4 4 0 , 2 P x y x x y P x y L x y y x y P x y x y                                 301 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng – Ma trận độ cứng của phần tử tấm uốn dạng tam giác xác định như sau: – Thay vào phương trình trên ta có:       Te V K B D B dV       1B z L H            1 1Te V K z L A D z L A dV                    /2 1 12 /2 t T T e t A K z dz H L D L H dA      5/30/2015 15 302 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Do [H]‐1 chỉ chưa các hằng số => có thể đưa [H]‐1 ra ngoài dấu tích phân như sau: với A là diện tích phần tử.  – Ta có thể viết [K]e ở dạng gọn hơn như sau: với                        /2 1 12 /2 3 1 1 12 t T T e t A T T e A K z dz H L D L H dA tK H L D L dA H                      1 1TeK H I H         T t A I L D L dA  303 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Ma trận [D]t trong công thức được gọi là ma trận các hệ số đàn hồi của tấm chịu uốn: với là độ cứng trụ của tấm        T t A I L D L dA    1 0 1 0 10 0 2 t D D               3 212 1 t ED   5/30/2015 16 304 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Khi tính tích phân cần lưu ý:        T t A I L D L dA  2A abdA A  Là diện tích tam giác phần tử 2 6yA a bxdA S  Là mô men tĩnh của tam giác phần tử với trục y y x  0, 0 k ji  0, b  , 0a b a 3 2 12yA a bx dA J  Là mô men quán tính của tam giác phần tử với trục y 2 2 8xyA a bxydA J  Là mô men quán tính ly tâm của tam giác phần tửđối với hệ trục xy 305 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Thực hiện tính tích phân được: trong đó:        T t A I L D L dA      2 2 3 84 85 86 87 88 2 2 2 2 3 2 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 6 1 6 0 0 0 12 0 12 0 0 0 12 0 12 18 0 0 0 0 0 0 12 0 12 27 6 3 18 ab DI ab ab ab a b a b a b I I I I I ab ab a b a b a b ab                        Đối xứng  2 284 4I ab a b    2 285 4 1I a b ab    2 284 4I ab a b  2 2 3 87 9 6I a b a b      3 3 2 288 2 3 2 2I a b ab a b        5/30/2015 17 306 Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo) – Sau khi tính được ma trận [I] sẽ xác định được ma trận độ cứng của phần tử tam giác chịu uốn trong hệ tọa độ địa phương như sau: – Để xác định ma trận độ cứng [K]e của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể (OXYZ) cần sử dụng ma trận chuyển hệ trục tọa độ [T]e như sau:         1 1Tek H I H         Te e e eK T k T